Aufgaben:Aufgabe 4.10: Binär und quaternär - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^4.4 Autokorrelationsfunktion (AKF)^]]		[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^4.4 Autokorrelationsfunktion (AKF)^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.10:_Binary_and_Quaternary]]

Guenter am 20. März 2022 um 17:30 Uhr

2022-03-20T17:30:38Z

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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Der AKF-Wert an der Stelle  $\tau = 0$  entspricht der mittleren Signalleistung, also dem quadratischen Mittelwert von  $q(t)$. Für diesen gilt:		'''(1)'''  Der AKF-Wert an der Stelle  $\tau = 0$  entspricht der mittleren Signalleistung,  also dem quadratischen Mittelwert von  $q(t)$.  Für diesen gilt:
	[[Datei:P_ID385__Sto_A_4_10_b_neu.png\|right\|frame\|Dreieckförmige AKF]]		[[Datei:P_ID385__Sto_A_4_10_b_neu.png\|right\|frame\|Dreieckförmige AKF]]
	:$$\varphi_q(\tau = 0)= {1}/{6 } \cdot ({\rm 3\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot ({\rm 1\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot (-{\rm 1\,V})^2 + {1}/{6 } \cdot (-{\rm 3\,V})^2= \rm {22}/{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$		:$$\varphi_q(\tau = 0)= {1}/{6 } \cdot ({\rm 3\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot ({\rm 1\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot (-{\rm 1\,V})^2 + {1}/{6 } \cdot (-{\rm 3\,V})^2= \rm {22}/{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$
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	*Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf.		*Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf.
	*Im Bereich  $-T \le \tau \le +T$  ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckförmig.		*Im Bereich  $-T \le \tau \le +T$  ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear,  also dreieckförmig.



	~~<br clear=all>~~
	'''(3)'''  Die  AKF $\varphi_b(\tau)$  des Binärsignals ist aufgrund der statistisch unabhängigen Symbole im Bereich  $\| \tau\| > T$  ebenfalls identisch Null, und für  $-T \le \tau \le +T$  ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform.		'''(3)'''  Die  AKF $\varphi_b(\tau)$  des Binärsignals ist aufgrund der statistisch unabhängigen Symbole im Bereich  $\| \tau\| > T$  ebenfalls identisch Null, und für  $-T \le \tau \le +T$  ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform.
	*Für den quadratischen Mittelwert erhält man:		*Für den quadratischen Mittelwert erhält man:
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	* die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:  trotz  $\varphi_q(\tau) =\varphi_b(\tau)$  ist  $f_q(q) \ne f_b(b)$;		* die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:  trotz  $\varphi_q(\tau) =\varphi_b(\tau)$  ist  $f_q(q) \ne f_b(b)$;
	* die Momente höherer Ordnung:  für deren Berechnung benötigt man die WDF;		* die Momente höherer Ordnung:  für deren Berechnung benötigt man die WDF;
	* ~~Alle~~ Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften sind aus der AKF nicht erkennbar.		* alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften sind aus der AKF nicht erkennbar.

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 20. März 2022 um 17:19 Uhr

2022-03-20T17:19:58Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. März 2022, 19:19 Uhr
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	[[Datei:P_ID384__Sto_A_4_10.png\|right\|300px\|frame\|Binärsignal  $b(t)$  und Quaternärsignal  $q(t)$]]		[[Datei:P_ID384__Sto_A_4_10.png\|right\|300px\|frame\|Binärsignal  $b(t)$  und Quaternärsignal  $q(t)$]]
	Wir betrachten hier ein Binärsignal  $b(t)$  und ein Quarternärsignal  $q(t)$, wobei gilt:		Wir betrachten hier ein Binärsignal  $b(t)$  und ein Quarternärsignal  $q(t)$,  wobei gilt:
	*Die beiden Signale sind rechteckförmig, und die Dauer der einzelnen Rechtecke beträgt jeweils  $T$  (Symboldauer).		*Die beiden Signale sind rechteckförmig,  und die Dauer der einzelnen Rechtecke beträgt jeweils  $T$  (Symboldauer).
	*Die durch die Impulshöhen der einzelnen Rechteckimpulse dargestellten Symbole  $($mit Stufenzahl  $M = 2$  bzw.  $M = 4)$  sind statistisch unabhängig.		*Die durch die Impulshöhen der einzelnen Rechteckimpulse dargestellten Symbole  $($mit Stufenzahl  $M = 2$  bzw.  $M = 4)$  sind statistisch unabhängig.
	*Wegen der bipolaren Signalkonstellation sind beide Signale gleichsignalfrei, wenn die Symbolwahrscheinlichkeiten geeignet (symmetrisch) gewählt werden.		*Wegen der bipolaren Signalkonstellation sind beide Signale gleichsignalfrei,  wenn die Symbolwahrscheinlichkeiten geeignet  (symmetrisch)  gewählt werden.
	*Aufgrund der letztgenannten Eigenschaft folgt für die Wahrscheinlichkeiten der Binärsymbole:		*Aufgrund der letztgenannten Eigenschaft folgt für die Wahrscheinlichkeiten der Binärsymbole:
	:$${\rm Pr}\big[b(t) = +b_0\big] = {\rm Pr}\big[b(t) = -b_0\big] ={1}/{2}.$$		:$${\rm Pr}\big[b(t) = +b_0\big] = {\rm Pr}\big[b(t) = -b_0\big] ={1}/{2}.$$
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	''Hinweis:''		'''Hinweis:'''  Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].


Zeile 32:		Zeile 31:


	{Wie groß ist der AKF–Wert bei  $\tau = T$ ? Begründen Sie, warum die AKF–Werte für  $\|\tau\| > T$  genauso groß sind.  Skizzieren Sie den AKF–Verlauf.		{Wie groß ist der AKF–Wert bei  $\tau = T$ ?  Begründen Sie,  warum die AKF–Werte für  $\|\tau\| > T$  genauso groß sind.  Skizzieren Sie den AKF–Verlauf.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varphi_q(\tau = T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm V^2$		$\varphi_q(\tau = T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm V^2$

Guenter am 29. November 2019 um 15:59 Uhr

2019-11-29T15:59:32Z

Guenter am 29. November 2019 um 15:50 Uhr

2019-11-29T15:50:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. November 2019, 17:50 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:P_ID384__Sto_A_4_10.png\|right\|300px\|frame\|Binärsignal und Quaternärsignal]]		[[Datei:P_ID384__Sto_A_4_10.png\|right\|300px\|frame\|Binärsignal  $b(t)$  und Quaternärsignal  $q(t)$]]
	Wir betrachten hier ein Binärsignal $b(t)$ und ein Quarternärsignal $q(t)$, wobei gilt:		Wir betrachten hier ein Binärsignal  $b(t)$  und ein Quarternärsignal  $q(t)$, wobei gilt:
	*Die beiden Signale sind rechteckförmig, und die Dauer der einzelnen Rechtecke beträgt jeweils $T$ (Symboldauer).		*Die beiden Signale sind rechteckförmig, und die Dauer der einzelnen Rechtecke beträgt jeweils  $T$  (Symboldauer).
	*Die durch die Impulshöhen der einzelnen Rechteckimpulse dargestellten Symbole (mit Stufenzahl $M = 2$  bzw.  $M = 4$) sind statistisch unabhängig.		*Die durch die Impulshöhen der einzelnen Rechteckimpulse dargestellten Symbole  $($mit Stufenzahl  $M = 2$  bzw.  $M = 4)$  sind statistisch unabhängig.
	*Wegen der bipolaren Signalkonstellation sind beide Signale gleichsignalfrei, wenn die Symbolwahrscheinlichkeiten geeignet (symmetrisch) gewählt werden.		*Wegen der bipolaren Signalkonstellation sind beide Signale gleichsignalfrei, wenn die Symbolwahrscheinlichkeiten geeignet (symmetrisch) gewählt werden.
	*Aufgrund der letztgenannten Eigenschaft folgt für die Wahrscheinlichkeiten der Binärsymbole:		*Aufgrund der letztgenannten Eigenschaft folgt für die Wahrscheinlichkeiten der Binärsymbole:
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	''Hinweis:''		''Hinweis:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].


Zeile 27:		Zeile 27:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie den AKF–Wert $\varphi_q(\tau = 0)$ des Quarternärsignals.		{Berechnen Sie den AKF–Wert  $\varphi_q(\tau = 0)$  des Quarternärsignals.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varphi_q(\tau = 0) \ = \ $ { 3.667 3% } $\ \rm V^2$		$\varphi_q(\tau = 0) \ = \ $ { 3.667 3% } $\ \rm V^2$


	{Wie groß ist der AKF–Wert bei $\tau = T$? Begründen Sie, warum die AKF–Werte für $\|\tau\| > T$ genauso groß sind. Skizzieren Sie den AKF–Verlauf.		{Wie groß ist der AKF–Wert bei  $\tau = T$ ? Begründen Sie, warum die AKF–Werte für  $\|\tau\| > T$  genauso groß sind.  Skizzieren Sie den AKF–Verlauf.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varphi_q(\tau = T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm V^2$		$\varphi_q(\tau = T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm V^2$
Zeile 38:		Zeile 38:


	{Mit welchen Amplitudenwerten $(\pm b_0)$ hat das Binärsignal $b(t)$ genau die gleiche AKF?		{Mit welchen Amplitudenwerten  $(\pm b_0)$  hat das Binärsignal  $b(t)$  genau die gleiche AKF?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$b_0\ = \ $ { 1.915 3% } $\ \rm V$		$b_0\ = \ $ { 1.915 3% } $\ \rm V$

Guenter am 18. August 2018 um 13:15 Uhr

2018-08-18T13:15:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. August 2018, 15:15 Uhr
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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Der AKF-Wert an der Stelle $\tau = 0$ entspricht der mittleren Signalleistung, also dem quadratischen Mittelwert von $q(t)$. Für diesen gilt:		'''(1)'''  Der AKF-Wert an der Stelle $\tau = 0$ entspricht der mittleren Signalleistung, also dem quadratischen Mittelwert von $q(t)$. Für diesen gilt:
			[[Datei:P_ID385__Sto_A_4_10_b_neu.png\|right\|frame\|Dreieckförmige AKF]]
	:$$\varphi_q(\tau = 0)= {1}/{6 } \cdot ({\rm 3\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot ({\rm 1\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot (-{\rm 1\,V})^2 + {1}/{6 } \cdot (-{\rm 3\,V})^2= \rm {22}/{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$		:$$\varphi_q(\tau = 0)= {1}/{6 } \cdot ({\rm 3\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot ({\rm 1\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot (-{\rm 1\,V})^2 + {1}/{6 } \cdot (-{\rm 3\,V})^2= \rm {22}/{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$


	'''(2)'''  Die einzelnen Symbole wurden als statistisch unabhängig vorausgesetzt. Deshalb und wegen des fehlenden Gleichanteils gilt hier für jeden ganzzahligen Wert von $\nu$:		'''(2)'''  Die einzelnen Symbole wurden als statistisch unabhängig vorausgesetzt. Deshalb und wegen des fehlenden Gleichanteils gilt hier für jeden ganzzahligen Wert von $\nu$:
	~~:$${\rm E} \left [ q(t) \cdot q ( t + \nu T) \right ] = {\rm E} \left [ q(t) \right ] \cdot {\rm E} \left [ q ( t + \nu T) \right ]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$~~
	~~[[Datei:P_ID385__Sto_A_4_10_b_neu.png\|right\|Dreieckförmige AKF]]~~

	~~Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf. Im Bereich~~ $-T \le \~~tau~~ \le +T$ ~~ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckförmig.~~		:$${\rm E} \big [ q(t) \cdot q ( t + \nu T) \big ] = {\rm E} \big [ q(t) \big ] \cdot {\rm E} \big [ q ( t + \nu T) \big ]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$

			*Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf.
			*Im Bereich $-T \le \tau \le +T$ ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckförmig.
			<br clear=all>
	'''(3)'''  Die AKF $\varphi_b(\tau)$ des Binärsignals ist aufgrund der statistisch unabhängigen Symbole im Bereich $\| \tau\| > T$ ebenfalls identisch $0$, und für $-T \le \tau \le +T$ ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform. Für den quadratischen Mittelwert erhält man:		'''(3)'''  Die AKF $\varphi_b(\tau)$ des Binärsignals ist aufgrund der statistisch unabhängigen Symbole im Bereich $\| \tau\| > T$ ebenfalls identisch $0$, und für $-T \le \tau \le +T$ ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform. Für den quadratischen Mittelwert erhält man:
	:$$\varphi_b (\tau = 0) = b_{\rm 0}^{\rm 2}.$$		:$$\varphi_b (\tau = 0) = b_{\rm 0}^{\rm 2}.$$

	Mit $b_0\hspace{0.15cm}\underline{= 1.915\, \rm V}$ sind die beiden Autokorrelationsfunktionen $\varphi_q(\tau)$ und $\varphi_b(\tau)$ identisch.		Mit $b_0\hspace{0.15cm}\underline{= 1.915\, \rm V}$ sind die beiden Autokorrelationsfunktionen $\varphi_q(\tau)$ und $\varphi_b(\tau)$ identisch.


	'''(4)'''  Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>. Aus der Autokorrelationsfunktion lassen sich tatsächlich ermitteln:		'''(4)'''  Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>. Aus der Autokorrelationsfunktion lassen sich tatsächlich ermitteln:
	*die Periodendauer $T_0$ (diese ist für die Mustersignale und die AKF gleich),		*die Periodendauer $T_0$:   diese ist für die Mustersignale und die AKF gleich;
	* der lineare Mittelwert (Wurzel aus dem Endwert der AKF für $\tau \to \infty$, und		* der lineare Mittelwert:  Wurzel aus dem Endwert der AKF für $\tau \to \infty$; und
	* die Varianz (Differenz der AKF-Werte von $\tau = 0$ und $\tau \to \infty$).		* die Varianz:  Differenz der AKF-Werte von $\tau = 0$ und $\tau \to \infty$.


	Nicht ermittelt werden können:		Nicht ermittelt werden können:
	* die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (trotz $\varphi_q(\tau) =\varphi_b(\tau)$) ist $f_q(q) \ne f_b(b)$),		* die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:  trotz $\varphi_q(\tau) =\varphi_b(\tau)$ ist $f_q(q) \ne f_b(b)$;
	* die Momente höherer Ordnung (für deren Berechnung benötigt man die WDF), sowie		* die Momente höherer Ordnung:  für deren Berechnung benötigt man die WDF; sowie
	* alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften.		* alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften.

Guenter am 18. August 2018 um 12:55 Uhr

2018-08-18T12:55:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. August 2018, 14:55 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:P_ID384__Sto_A_4_10.png\|right\|300px\|~~Binär-~~ und Quaternärsignal]]		[[Datei:P_ID384__Sto_A_4_10.png\|right\|300px\|frame\|Binärsignal und Quaternärsignal]]
	Wir betrachten hier ein Binärsignal $b(t)$ und ein Quarternärsignal $q(t)$, wobei gilt:		Wir betrachten hier ein Binärsignal $b(t)$ und ein Quarternärsignal $q(t)$, wobei gilt:
	*Die beiden Signale sind rechteckförmig, und die Dauer der einzelnen Rechtecke beträgt jeweils $T$ (Symboldauer).		*Die beiden Signale sind rechteckförmig, und die Dauer der einzelnen Rechtecke beträgt jeweils $T$ (Symboldauer).
	*Die durch die Impulshöhen der einzelnen Rechteckimpulse dargestellten Symbole (mit Stufenzahl $M = 2$ bzw. $M = 4$) sind statistisch unabhängig.		*Die durch die Impulshöhen der einzelnen Rechteckimpulse dargestellten Symbole (mit Stufenzahl $M = 2$  bzw.  $M = 4$) sind statistisch unabhängig.
	*Wegen der bipolaren Signalkonstellation sind beide Signale gleichsignalfrei, wenn die Symbolwahrscheinlichkeiten geeignet (symmetrisch) gewählt werden.		*Wegen der bipolaren Signalkonstellation sind beide Signale gleichsignalfrei, wenn die Symbolwahrscheinlichkeiten geeignet (symmetrisch) gewählt werden.
	*Aufgrund der letztgenannten Eigenschaft folgt für die Wahrscheinlichkeiten der Binärsymbole:		*Aufgrund der letztgenannten Eigenschaft folgt für die Wahrscheinlichkeiten der Binärsymbole:
	:$${\rm Pr}(b(t) = +b_0) = {\rm Pr}(b(t) = -b_0) ={1}/{2}.$$		:$${\rm Pr}\big[b(t) = +b_0\big] = {\rm Pr}\big[b(t) = -b_0\big] ={1}/{2}.$$
	*Dagegen gelte für das Quarternärsignal:		*Dagegen gelte für das Quarternärsignal:
	:$${\rm Pr}(q(t) = +3 \hspace{0.05cm}{\rm V}) = {\rm Pr}(q(t) = -3 \hspace{0.05cm}{\rm V})= {1}/{6},$$		:$${\rm Pr}\big[q(t) = +3 \hspace{0.05cm}{\rm V}\big] = {\rm Pr}\big[q(t) = -3 \hspace{0.05cm}{\rm V}\big]= {1}/{6},$$
	:$${\rm Pr}(q(t) = +1 \hspace{0.05cm}{\rm V}) = {\rm Pr}(q(t) = -1 \hspace{0.05cm}{\rm V})= {2}/{6}.$$		:$${\rm Pr}\big[q(t) = +1 \hspace{0.05cm}{\rm V}\big] = {\rm Pr}\big[q(t) = -1 \hspace{0.05cm}{\rm V}\big]= {2}/{6}.$$


	''~~Hinweise~~:''


			''Hinweis:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].

Zeile 24:		Zeile 27:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie den AKF-Wert $\varphi_q(\tau = 0)$ des Quarternärsignals.		{Berechnen Sie den AKF–Wert $\varphi_q(\tau = 0)$ des Quarternärsignals.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varphi_q(\tau = 0) \ =$ { 3.667 3% } $\ \rm V^2$		$\varphi_q(\tau = 0) \ = \ $ { 3.667 3% } $\ \rm V^2$


	{Wie groß ist der AKF-Wert bei $\tau = T$? Begründen Sie, warum die AKF-Werte für $\|\tau\| > T$ genauso groß sind. Skizzieren Sie den AKF-Verlauf.		{Wie groß ist der AKF–Wert bei $\tau = T$? Begründen Sie, warum die AKF–Werte für $\|\tau\| > T$ genauso groß sind. Skizzieren Sie den AKF–Verlauf.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varphi_q(\tau = T) \ =$ { 0. } $\ \rm V^2$		$\varphi_q(\tau = T) \ = \ $ { 0. } $\ \rm V^2$


Zeile 37:		Zeile 40:
	{Mit welchen Amplitudenwerten $(\pm b_0)$ hat das Binärsignal $b(t)$ genau die gleiche AKF?		{Mit welchen Amplitudenwerten $(\pm b_0)$ hat das Binärsignal $b(t)$ genau die gleiche AKF?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$b_0\ =$ { 1.915 3% } $\ \rm V$		$b_0\ = \ $ { 1.915 3% } $\ \rm V$

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:48Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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Zeile 17:		Zeile 17:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

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2018-01-03T13:43:54Z

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(kein Unterschied)

Guenter am 24. März 2017 um 13:34 Uhr

2017-03-24T13:34:02Z

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Zeile 26:		Zeile 26:
	{Berechnen Sie den AKF-Wert $\varphi_q(\tau = 0)$ des Quarternärsignals.		{Berechnen Sie den AKF-Wert $\varphi_q(\tau = 0)$ des Quarternärsignals.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\~~varphi_x~~(\tau = 0) \ =$ { 3.667 3% } $\ \rm V^2$		$\varphi_q(\tau = 0) \ =$ { 3.667 3% } $\ \rm V^2$


	{Wie groß ist der AKF-Wert bei $\tau = T$? Begründen Sie, warum die AKF-Werte für $\|\tau\| > =T$ genauso groß sind. Skizzieren Sie den AKF-Verlauf.		{Wie groß ist der AKF-Wert bei $\tau = T$? Begründen Sie, warum die AKF-Werte für $\|\tau\| > T$ genauso groß sind. Skizzieren Sie den AKF-Verlauf.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\~~varphi_x~~(\tau = T) \ =$ { 0. } $\ \rm V^2$		$\varphi_q(\tau = T) \ =$ { 0. } $\ \rm V^2$


Zeile 55:		Zeile 55:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	~~:<b>a~~)~~</b> ~~ Der AKF-Wert an der Stelle ~~<i>&~~tau~~;</i>~~ = 0 entspricht der mittleren Signalleistung, also dem quadratischen Mittelwert von ~~<i>~~q~~</i>~~(~~<i>~~t~~</i>~~). Für diesen gilt:		'''(1)'''  Der AKF-Wert an der Stelle $\tau = 0$ entspricht der mittleren Signalleistung, also dem quadratischen Mittelwert von $q(t)$. Für diesen gilt:
	:$$\varphi_q(\tau = ~~\rm~~ 0)= ~~\rm \frac~~{1}{6 } (\rm 3\,V)^2 + ~~\rm \frac~~{2}{6 } (\rm 1\,V)^2 + ~~\rm \frac~~{2}{6 } (\rm -1\,V)^2 + ~~\rm \frac~~{1}{6 } (\rm -3\,V)^2= \rm ~~\frac~~{22}{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$		:$$\varphi_q(\tau = 0)= {1}/{6 } \cdot ({\rm 3\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot ({\rm 1\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot (-{\rm 1\,V})^2 + {1}/{6 } \cdot (-{\rm 3\,V})^2= \rm {22}/{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$

	~~:<b>~~2~~.</b> ~~ Die einzelnen Symbole wurden als statistisch unabhängig vorausgesetzt. Deshalb und wegen des fehlenden Gleichanteils gilt hier für jeden ganzzahligen Wert von ~~<i>&~~nu~~;</i>~~:		'''(2)'''  Die einzelnen Symbole wurden als statistisch unabhängig vorausgesetzt. Deshalb und wegen des fehlenden Gleichanteils gilt hier für jeden ganzzahligen Wert von $\nu$:
	:$$\rm E \left [ ~~\it~~ q(t) \cdot q ( t + \nu T) \right ] = \rm E \left [ ~~\it~~ q(t) \right ] \cdot E \left [ ~~\it~~ q ( t + \nu T) \right ]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$		:$${\rm E} \left [ q(t) \cdot q ( t + \nu T) \right ] = {\rm E} \left [ q(t) \right ] \cdot {\rm E} \left [ q ( t + \nu T) \right ]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$
	[[Datei:P_ID385__Sto_A_4_10_b_neu.png\|right\|]]		[[Datei:P_ID385__Sto_A_4_10_b_neu.png\|right\|Dreieckförmige AKF]]

	:Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf. Im Bereich -~~<i>~~T~~</i> ≤ <i>&~~tau~~;</i> ≤ <i>~~T~~</i>~~ ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckförmig.		Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf. Im Bereich $-T \le \tau \le +T$ ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckförmig.

	~~:<b>~~3~~.</b>~~ Die AKF ~~<i>φ<sub>b</sub></i>~~(~~<i>&~~tau~~;</i>~~) des Binärsignals ist aufgrund der statistisch unabhängigen Symbole im Bereich \|~~<i>&~~tau~~;</i>~~\| ~~> <i~~>T~~</i>~~ ebenfalls identisch 0, und für -~~<i>~~T~~</i> ≤ <i>&~~tau~~;</i> ≤ <i>~~T~~</i>~~ ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform.		'''(3)'''  Die AKF $\varphi_b(\tau)$ des Binärsignals ist aufgrund der statistisch unabhängigen Symbole im Bereich $\| \tau\| > T$ ebenfalls identisch $0$, und für $-T \le \tau \le +T$ ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform. Für den quadratischen Mittelwert erhält man:
			:$$\varphi_b (\tau = 0) = b_{\rm 0}^{\rm 2}.$$

	~~:Für den quadratischen Mittelwert erhält man:~~		Mit $b_0\hspace{0.15cm}\underline{= 1.915\, \rm V}$ sind die beiden Autokorrelationsfunktionen $\varphi_q(\tau)$ und $\varphi_b(\tau)$ identisch.
	:$$\~~varphi_b (~~\~~tau~~ = \~~rm 0) =\it b_{~~\rm 0}^{\~~rm 2}.~~$$

	~~:Mit~~ <u>~~<i>b</i><sub>0</sub> =~~ 1~~.915V~~</u> ~~sind~~ die ~~beiden Autokorrelationsfunktionen <i>~~&~~phi~~;~~<sub>q</sub></i>~~(~~<i>~~&tau~~;</i>)~~ und ~~<i>φ<sub>b</sub></i>~~(~~<i>&~~tau~~;</i>~~) ~~identisch~~.		'''(4)'''  Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>. Aus der Autokorrelationsfunktion lassen sich tatsächlich ermitteln:
			*die Periodendauer $T_0$ (diese ist für die Mustersignale und die AKF gleich),
			* der lineare Mittelwert (Wurzel aus dem Endwert der AKF für $\tau \to \infty$, und
			* die Varianz (Differenz der AKF-Werte von $\tau = 0$ und $\tau \to \infty$).

	~~:<b>4.</b> Aus der Autokorrelationsfunktion lassen sich ermitteln:~~

	:*die ~~Periodendauer <i>T</i><sub>0</sub>~~ (~~diese~~ ist für die ~~Mustersignale und die AKF gleich~~),		Nicht ermittelt werden können:
			* die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (trotz $\varphi_q(\tau) =\varphi_b(\tau)$) ist $f_q(q) \ne f_b(b)$),
			* die Momente höherer Ordnung (für deren Berechnung benötigt man die WDF), sowie
			* alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften.

	~~:* der lineare Mittelwert (Wurzel aus dem Endwert der AKF für <i>τ</i> → ∞), und~~

	~~:* die Varianz (Differenz der AKF-Werte von <i>τ</i> = 0 und <i>τ</i> → ∞).~~

	~~:Nicht ermittelt werden können:~~

	~~:* die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (siehe Punkt b und c),~~

	~~:* die Momente höherer Ordnung (für deren Berechnung benötigt man die WDF), sowie~~

	~~:* alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften.~~

	~~:Richtig sind also <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>.~~
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
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	'''(1)'''  Der AKF-Wert an der Stelle $\tau = 0$ entspricht der mittleren Signalleistung, also dem quadratischen Mittelwert von $q(t)$. Für diesen gilt:		'''(1)'''  Der AKF-Wert an der Stelle  $\tau = 0$  entspricht der mittleren Signalleistung, also dem quadratischen Mittelwert von  $q(t)$. Für diesen gilt:
	[[Datei:P_ID385__Sto_A_4_10_b_neu.png\|right\|frame\|Dreieckförmige AKF]]		[[Datei:P_ID385__Sto_A_4_10_b_neu.png\|right\|frame\|Dreieckförmige AKF]]
	:$$\varphi_q(\tau = 0)= {1}/{6 } \cdot ({\rm 3\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot ({\rm 1\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot (-{\rm 1\,V})^2 + {1}/{6 } \cdot (-{\rm 3\,V})^2= \rm {22}/{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$		:$$\varphi_q(\tau = 0)= {1}/{6 } \cdot ({\rm 3\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot ({\rm 1\,V})^2 + {2}/{6 } \cdot (-{\rm 1\,V})^2 + {1}/{6 } \cdot (-{\rm 3\,V})^2= \rm {22}/{6 }\, \rm V^2\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 3.667 \,V^2}.$$


	'''(2)'''  Die einzelnen Symbole wurden als statistisch unabhängig vorausgesetzt. Deshalb und wegen des fehlenden Gleichanteils gilt hier für jeden ganzzahligen Wert von $\nu$:		'''(2)'''  Die einzelnen Symbole wurden als statistisch unabhängig vorausgesetzt.
			*Deshalb und wegen des fehlenden Gleichanteils gilt hier für jeden ganzzahligen Wert von  $\nu$:

	:$${\rm E} \big [ q(t) \cdot q ( t + \nu T) \big ] = {\rm E} \big [ q(t) \big ] \cdot {\rm E} \big [ q ( t + \nu T) \big ]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$		:$${\rm E} \big [ q(t) \cdot q ( t + \nu T) \big ] = {\rm E} \big [ q(t) \big ] \cdot {\rm E} \big [ q ( t + \nu T) \big ]\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}.$$

	*Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf.		*Somit hat die gesuchte AKF den rechts skizzierten Verlauf.
	*Im Bereich $-T \le \tau \le +T$ ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckförmig.		*Im Bereich  $-T \le \tau \le +T$  ist die AKF aufgrund der rechteckförmigen Impulsform abschnittsweise linear, also dreieckförmig.

	<br clear=all>		<br clear=all>
	'''(3)'''  Die AKF $\varphi_b(\tau)$ des Binärsignals ist aufgrund der statistisch unabhängigen Symbole im Bereich $\| \tau\| > T$ ebenfalls identisch ~~$0$~~, und für $-T \le \tau \le +T$ ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform. Für den quadratischen Mittelwert erhält man:		'''(3)'''  Die  AKF $\varphi_b(\tau)$  des Binärsignals ist aufgrund der statistisch unabhängigen Symbole im Bereich  $\| \tau\| > T$  ebenfalls identisch Null, und für  $-T \le \tau \le +T$  ergibt sich ebenfalls eine Dreiecksform.
			*Für den quadratischen Mittelwert erhält man:
	:$$\varphi_b (\tau = 0) = b_{\rm 0}^{\rm 2}.$$		:$$\varphi_b (\tau = 0) = b_{\rm 0}^{\rm 2}.$$

	Mit $b_0\hspace{0.15cm}\underline{= 1.915\, \rm V}$ sind die beiden Autokorrelationsfunktionen $\varphi_q(\tau)$ und $\varphi_b(\tau)$ identisch.		*Mit  $b_0\hspace{0.15cm}\underline{= 1.915\, \rm V}$  sind die beiden Autokorrelationsfunktionen  $\varphi_q(\tau)$  und  $\varphi_b(\tau)$ identisch.



			'''(4)'''  Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>.

	~~'''(4)'''  Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>.~~ Aus der Autokorrelationsfunktion lassen sich tatsächlich ermitteln:		Aus der Autokorrelationsfunktion lassen sich tatsächlich ermitteln:
	*die Periodendauer $T_0$:   diese ist für die Mustersignale und die AKF gleich;		*die Periodendauer  $T_0$:   diese ist für die Mustersignale und die AKF gleich;
	* der lineare Mittelwert:  Wurzel aus dem Endwert der AKF für $\tau \to \infty$; und		* der lineare Mittelwert:   Wurzel aus dem Endwert der AKF für  $\tau \to \infty$  und
	* die Varianz:  Differenz der AKF-Werte von $\tau = 0$ und $\tau \to \infty$.		* die Varianz:  Differenz der AKF-Werte von  $\tau = 0$  und  $\tau \to \infty$.


	Nicht ermittelt werden können:		Nicht ermittelt werden können:
	* die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:  trotz $\varphi_q(\tau) =\varphi_b(\tau)$ ist $f_q(q) \ne f_b(b)$;		* die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:  trotz  $\varphi_q(\tau) =\varphi_b(\tau)$  ist  $f_q(q) \ne f_b(b)$;
	* die Momente höherer Ordnung:  für deren Berechnung benötigt man die WDF; ~~sowie~~		* die Momente höherer Ordnung:  für deren Berechnung benötigt man die WDF;
	* ~~alle~~ Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften.		* Alle Phasenbeziehungen und Symmetrieeigenschaften sind aus der AKF nicht erkennbar.

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}