Aufgaben:Aufgabe 4.1: Zum Gram-Schmidt-Verfahren - Versionsgeschichte

Guenter am 13. Juli 2022 um 15:20 Uhr

2022-07-13T15:20:21Z

Guenter am 7. Juli 2022 um 15:07 Uhr

2022-07-07T15:07:10Z

Guenter am 10. März 2019 um 17:08 Uhr

2019-03-10T17:08:41Z

Guenter am 10. März 2019 um 17:01 Uhr

2019-03-10T17:01:24Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:50Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:31:44Z

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2017-11-09T07:09:02Z

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Guenter am 9. November 2017 um 07:08 Uhr

2017-11-09T07:08:18Z

Guenter am 9. November 2017 um 06:52 Uhr

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
-*Jede orthonormale Basisfunktion soll die Energie 1 aufweisen, das heißt, es muss gelten:
+*Jede orthonormale Basisfunktion soll die Energie 1 aufweisen,&nbsp; das heißt,&nbsp; es muss gelten:
 :$$||\varphi_j(t)||^2 =  \int_{-\infty}^{+\infty}\varphi_j(t)^2\,{\rm d}  t = 1
 \hspace{0.05cm}.$$
 *Damit diese Bedingung zu erfüllen ist, muss die Basisfunktion die Einheit $\rm \sqrt{\rm s}$ besitzen. Zu berücksichtigen ist noch die Gleichung
 :$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t).$$
-*Die Signale selbst weisen wie $A$ die Einheit $\rm \sqrt{\rm W}$ auf. Wegen der Einheit $\rm \sqrt{\rm 1/s}$ von $\varphi_{ j}(t)$ ist diese Gleichung nur dann mit der richtigen Dimension zu erfüllen, wenn die Koeffizienten $s_{\it ij}$ mit der Einheit $\rm \sqrt{\rm Ws}$ angegeben werden.
+*Die Signale selbst weisen wie&nbsp; $A$&nbsp; die Einheit&nbsp; $\rm \sqrt{\rm W}$&nbsp; auf.&nbsp; Wegen der Einheit&nbsp; $\rm \sqrt{\rm 1/s}$&nbsp; von&nbsp; $\varphi_{ j}(t)$&nbsp; ist diese Gleichung nur dann mit der richtigen Dimension zu erfüllen,&nbsp; wenn die Koeffizienten&nbsp; $s_{\it ij}$&nbsp; mit der Einheit&nbsp; $\rm \sqrt{\rm Ws}$&nbsp; angegeben werden.
-'''(2)'''&nbsp; Die Energie des Signals $s_1(t)$ ist gleich $E_1 = 2$. Daraus folgt für die Norm, die Basisfunktion $\varphi_1(t)$ und den Koeffizienten $s_{\rm 11}$:
+'''(2)'''&nbsp; Die Energie des Signals&nbsp; $s_1(t)$&nbsp; ist gleich&nbsp; $E_1 = 2$.&nbsp;
 :$$||s_1(t)|| =  \sqrt{2},\hspace{0.9cm}\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||},\hspace{0.9cm}
 s_{11} = \sqrt{E_1} = \sqrt{2} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { {\approx 1.414} }
 \hspace{0.05cm}.$$
-Die weiteren Koeffizienten sind $\underline {s_{\rm 12} = s_{\rm 13} = 0}$, da die zugehörigen Basisfunktionen bisher noch gar nicht gefunden wurden, während $\varphi_1(t)$ formgleich mit $s_1(t)$ ist.
+*Die anderen Koeffizienten sind&nbsp; $\underline {s_{\rm 12} = s_{\rm 13} = 0}$,&nbsp; da die zugehörigen Basisfunktionen noch gar nicht gefunden wurden.&nbsp;$\varphi_1(t)$&nbsp; ist formgleich mit&nbsp; $s_1(t)$.
-'''(3)'''&nbsp; Da nach Berücksichtigung von $s_2(t)$ höchstens zwei Basisfunktionen gefunden sind, gilt mit Sicherheit $s_{\rm 23} \hspace{0.15cm} \underline{= 0}$. Dagegen erhält man für den Koeffizienten
+'''(3)'''&nbsp; Da nach Berücksichtigung von&nbsp; $s_2(t)$&nbsp; höchstens zwei Basisfunktionen gefunden sind,&nbsp; gilt mit Sicherheit&nbsp; $s_{\rm 23} \hspace{0.15cm} \underline{= 0}$.&nbsp; Dagegen erhält man
 :$$||s_1(t)|| =  \sqrt{2},\hspace{0.9cm}\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||},\hspace{0.9cm}
 s_{11} = \sqrt{E_1} = \sqrt{2} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { {\approx 1.414} }
 \hspace{0.05cm};$$
-für die Hilfsfunktion $\theta_2(t)$:
+*für die Hilfsfunktion&nbsp; $\theta_2(t)$:
 :$$\theta_2(t) = s_2(t) - s_{21} \cdot \varphi_1(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 - 0.707 \cdot 0.707 = 0.5\\
 - 0.707 \cdot (-0.707) = 0.5  \end{array} \right.\quad
@@ Zeile 89: / Zeile 92: @@
 \hspace{0.05cm}; $$
-für die zweite Basisfunktion:
+*für die zweite Basisfunktion:
 :$$\varphi_2(t) = \frac{\theta_2(t)}{||\theta_2(t)||},\hspace{0.2cm}
 ||\theta_2(t)|| = \sqrt{0.5^2 + 0.5^2} = \sqrt{0.5} \approx 0.707$$
@@ Zeile 98: / Zeile 101: @@
 \hspace{0.05cm}; $$
-und schließlich für den zweiten Koeffizienten
+*schließlich für den zweiten Koeffizienten
 :$$s_{22}  = \hspace{0.1cm} < \hspace{-0.1cm} s_2(t), \hspace{0.1cm}\varphi_2(t) \hspace{-0.1cm} > \hspace{0.1cm} = 1 \cdot 0.707 + 0 \cdot 0.707 \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {  = 0.707}
 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 104: / Zeile 107: @@
 Die Berechnungen sind in der nachfolgenden Grafik verdeutlicht.
-[[Datei:P_ID1995__Dig_A_4_1c.png|center|frame|Gram-Schmidt-Berechnungen]]
+[[Datei:P_ID1995__Dig_A_4_1c.png|right|frame|Gram-Schmidt-Berechnungen]]
-'''(4)'''&nbsp; Man erkennt sofort, dass $s_3(t)$ sich als Linearkombination aus $s_1(t)$ und $s_2(t)$ ausdrücken lässt.
+'''(4)'''&nbsp; Man erkennt sofort,&nbsp; dass&nbsp; $s_3(t)$&nbsp; sich als Linearkombination aus&nbsp; $s_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $s_2(t)$&nbsp; ausdrücken lässt:
-:$$s_{3}(t)  = -s_{1}(t) + s_{2}(t)\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}s_{31} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - s_{11} + s_{21} = -1.414 + 0.707 = \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {-0.707}\hspace{0.05cm},$$
+:$$s_{3}(t)  = -s_{1}(t) + s_{2}(t),$$
 :$$s_{32} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - s_{12} + s_{22} = 0 + 0.707 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.707}\hspace{0.05cm},$$
 :$$s_{33} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - s_{13} + s_{23} = 0 + 0 \hspace{0.1cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm}. $$
-'''(5)'''&nbsp; Der Bereich $2 &#8804; t &#8804; 3$ wird weder von $\varphi_1(t)$ noch von $\varphi_2(t)$ abgedeckt. Deshalb liefert $s_4(t)$ die neue Basisfunktion $\varphi_3(t)$. Da außerdem $s_4(t)$ nur Anteile im Bereich $2 &#8804; t &#8804; 3$ aufweist und $||s_4(t)|| = 1$ ist, ergibt sich $\varphi_3(t) = s_4(t)$ sowie
+'''(5)'''&nbsp; Der Bereich&nbsp; $2 &#8804; t &#8804; 3$&nbsp; ist weder durch&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; noch durch&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; abgedeckt.
 :$$s_{41} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0},  \hspace{0.2cm}s_{42} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {= 0},  \hspace{0.2cm}s_{43} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { = 1} \hspace{0.05cm}.  $$
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Signale, Basisfunktionen und Vektorräume}}
-[[Datei:P_ID1994__Dig_A_4_1.png|right|frame|Vorgabe zum Gram-Schmidt-Verfahren]]
+[[Datei:P_ID1994__Dig_A_4_1.png|right|frame|Gram-Schmidt-Vorgaben]]
-Für die vier durch die Abbildung definierten Signale&nbsp; $s_1(t), \, \text{...} \, , s_4(t)$&nbsp; sind durch Anwendung des Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahrens die drei sich ergebenden Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$,&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_3(t)$&nbsp; zu ermitteln, so dass für die Signale mit&nbsp; $i = 1, \, \text{...} \, , 4$&nbsp; geschrieben werden kann:
+Für die vier durch die Abbildung definierten Signale&nbsp; $s_1(t), \, \text{...} \, , s_4(t)$&nbsp; sind durch Anwendung des Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahrens die drei sich ergebenden Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$,&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_3(t)$&nbsp; zu ermitteln,&nbsp; so dass für die Signale mit&nbsp; $i = 1, \, \text{...} \, , 4$&nbsp; geschrieben werden kann:
 :$$s_i(t) = s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) + s_{i3} \cdot \varphi_3(t)\hspace{0.05cm}.$$
-*In der Teilaufgabe '''(1)''' gelte&nbsp; $A^2 = 1 \ \rm mW$&nbsp; und&nbsp; $T = 1 \ \rm &micro; s$.
+*In der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; gelte&nbsp; $A^2 = 1 \ \rm mW$&nbsp; und&nbsp; $T = 1 \ \rm &micro; s$.
 *In den späteren Teilaufgaben sind die Amplitude und die Zeit jeweils normierte Größen: &nbsp; $A = 1$,&nbsp; $T = 1$.
-*Damit sind sowohl die Koeffizienten&nbsp; $s_{\it ij}$&nbsp; als auch die Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_{\it j}(t)$&nbsp; &ndash; jeweils mit&nbsp; $j = 1, 2, 3$&nbsp; &ndash; dimensionslose Größen.
+*In den späteren Teilaufgaben sind die Amplitude und die Zeit jeweils normierte Größen: &nbsp; $A = 1$,&nbsp; $T = 1$.
-−
+*Damit sind sowohl die Koeffizienten&nbsp; $s_{\it ij}$&nbsp; als auch die Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_{\it j}(t)$&nbsp; $($jeweils mit&nbsp; $j = 1, 2, 3)$&nbsp; dimensionslose Größen.
-''Hinweise:''
+Hinweise:
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| "Signale, Basisfunktionen und Vektorräume"]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorräume#Orthonormale_Basisfunktionen|Orthonormale Basisfunktionen]]&nbsp; und&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Das_Verfahren_nach_Gram-Schmidt|Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorräume#Orthonormale_Basisfunktionen|"Orthonormale Basisfunktionen"]]&nbsp; und&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Das_Verfahren_nach_Gram-Schmidt|"Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren"]].
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 + Die Koeffizienten &nbsp;$s_{\it ij}$&nbsp; haben die Einheit &nbsp;$\rm \sqrt{\rm Ws}$.
-{Führen Sie den ersten Schritt des Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahrens durch. Wie für die weiteren Aufgaben gelte &nbsp;$A = 1$&nbsp; und &nbsp;$T = 1$.
+{Führen Sie den ersten Schritt des Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahrens durch.&nbsp; Wie für die weiteren Aufgaben gelte &nbsp;$A = 1$&nbsp; und &nbsp;$T = 1$.
 |type="{}"}
 $s_{\rm 11} \ = \ $ { 1.414 3% }

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 :$$s_i(t) = \sum\limits_{j = 1}^{N}s_{ij} \cdot \varphi_j(t).$$
 *Die Signale selbst weisen wie $A$ die Einheit $\rm \sqrt{\rm W}$ auf. Wegen der Einheit $\rm \sqrt{\rm 1/s}$ von $\varphi_{ j}(t)$ ist diese Gleichung nur dann mit der richtigen Dimension zu erfüllen, wenn die Koeffizienten $s_{\it ij}$ mit der Einheit $\rm \sqrt{\rm Ws}$ angegeben werden.
 '''(2)'''&nbsp; Die Energie des Signals $s_1(t)$ ist gleich $E_1 = 2$. Daraus folgt für die Norm, die Basisfunktion $\varphi_1(t)$ und den Koeffizienten $s_{\rm 11}$:
-:$$||s_1(t)|| =  \sqrt{2},\hspace{0.2cm}\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||},\hspace{0.2cm}
+:$$||s_1(t)|| =  \sqrt{2},\hspace{0.9cm}\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||},\hspace{0.9cm}
 s_{11} = \sqrt{E_1} = \sqrt{2} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { {\approx 1.414} }
 \hspace{0.05cm}.$$
 Die weiteren Koeffizienten sind $\underline {s_{\rm 12} = s_{\rm 13} = 0}$, da die zugehörigen Basisfunktionen bisher noch gar nicht gefunden wurden, während $\varphi_1(t)$ formgleich mit $s_1(t)$ ist.
 '''(3)'''&nbsp; Da nach Berücksichtigung von $s_2(t)$ höchstens zwei Basisfunktionen gefunden sind, gilt mit Sicherheit $s_{\rm 23} \hspace{0.15cm} \underline{= 0}$. Dagegen erhält man für den Koeffizienten
-:$$||s_1(t)|| =  \sqrt{2},\hspace{0.2cm}\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||},\hspace{0.2cm}
+:$$||s_1(t)|| =  \sqrt{2},\hspace{0.9cm}\varphi_1(t) = \frac{s_1(t)}{||s_1(t)||},\hspace{0.9cm}
 s_{11} = \sqrt{E_1} = \sqrt{2} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline { {\approx 1.414} }
-\hspace{0.05cm}.$$
+\hspace{0.05cm};$$
 für die Hilfsfunktion $\theta_2(t)$:
@@ Zeile 85: / Zeile 87: @@
 \begin{array}{*{1}c} 0 \le t < 1
 \\  1 \le t < 2 \\ \end{array}
-\hspace{0.05cm}, $$
+\hspace{0.05cm}; $$
 für die zweite Basisfunktion:
@@ Zeile 94: / Zeile 96: @@
 \begin{array}{*{1}c} 0 \le t < 2
 \\  2 \le t < 3 \\ \end{array}
-\hspace{0.05cm}, $$
+\hspace{0.05cm}; $$
 und schließlich für den zweiten Koeffizienten
@@ Zeile 108: / Zeile 110: @@
 :$$s_{32} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - s_{12} + s_{22} = 0 + 0.707 \hspace{0.1cm}\underline {= 0.707}\hspace{0.05cm},$$
 :$$s_{33} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} - s_{13} + s_{23} = 0 + 0 \hspace{0.1cm}\underline {= 0}\hspace{0.05cm}. $$
 '''(5)'''&nbsp; Der Bereich $2 &#8804; t &#8804; 3$ wird weder von $\varphi_1(t)$ noch von $\varphi_2(t)$ abgedeckt. Deshalb liefert $s_4(t)$ die neue Basisfunktion $\varphi_3(t)$. Da außerdem $s_4(t)$ nur Anteile im Bereich $2 &#8804; t &#8804; 3$ aufweist und $||s_4(t)|| = 1$ ist, ergibt sich $\varphi_3(t) = s_4(t)$ sowie

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 [[Datei:P_ID1994__Dig_A_4_1.png|right|frame|Vorgabe zum Gram-Schmidt-Verfahren]]
-Für die vier durch die Abbildung definierten Signale $s_1(t), \, ... \, , s_4(t)$ sind durch Anwendung des Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahrens die drei sich ergebenden Basisfunktionen $\varphi_1(t)$, $\varphi_2(t)$ und $\varphi_3(t)$ zu ermitteln, so dass für die Signale mit $i = 1, \, ... \, , 4$ geschrieben werden kann:
+Für die vier durch die Abbildung definierten Signale&nbsp; $s_1(t), \, \text{...} \, , s_4(t)$&nbsp; sind durch Anwendung des Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahrens die drei sich ergebenden Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$,&nbsp; $\varphi_2(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_3(t)$&nbsp; zu ermitteln, so dass für die Signale mit&nbsp; $i = 1, \, \text{...} \, , 4$&nbsp; geschrieben werden kann:
 :$$s_i(t) = s_{i1} \cdot \varphi_1(t) + s_{i2} \cdot \varphi_2(t) + s_{i3} \cdot \varphi_3(t)\hspace{0.05cm}.$$
-In der Teilaufgabe (1) gelte $A^2 = 1 \ \rm mW$ und $T = 1 \ \rm \mu s$. In den späteren Teilaufgaben sind die Amplitude und die Zeit jeweils normierte Größen: $A = 1$, $T = 1$. Damit sind sowohl die Koeffizienten $s_{\it ij}$ als auch die Basisfunktionen $\varphi_{\it}(t)$ &ndash; jeweils mit $j = 1, 2, 3$ &ndash; dimensionslose Größen.
+*In der Teilaufgabe '''(1)''' gelte&nbsp; $A^2 = 1 \ \rm mW$&nbsp; und&nbsp; $T = 1 \ \rm &micro; s$.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp;  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Digitalsignalübertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorräume#Orthonormale_Basisfunktionen|Orthonormale Basisfunktionen]] und [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Das_Verfahren_nach_Gram-Schmidt|Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren]].
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorräume#Orthonormale_Basisfunktionen|Orthonormale Basisfunktionen]]&nbsp; und&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Das_Verfahren_nach_Gram-Schmidt|Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren]].
@@ Zeile 18: / Zeile 24: @@
 <quiz display=simple>
-{Welche Einheiten besitzen die folgenden Größen mit $A^2 = 1 \, \rm mW$ und $T = 1 \, {\rm \mu s}$?
+{Welche Einheiten besitzen die folgenden Größen mit&nbsp; $A^2 = 1 \, \rm mW$&nbsp; und&nbsp; $T = 1 \, {\rm &micro; s}$?
 |type="[]"}
-- Die Basisfunktionen $\varphi_j(t)$ sind dimensionslos.
+- Die Basisfunktionen &nbsp;$\varphi_j(t)$&nbsp; sind dimensionslos.
-+ Die Basisfunktionen $\varphi_j(t)$ haben die Einheit $\rm \sqrt{\rm s}$.
++ Die Basisfunktionen &nbsp;$\varphi_j(t)$&nbsp; haben die Einheit &nbsp;$\rm \sqrt{\rm s}$.
-- Die Koeffizienten $s_{\it ij}$ sind dimensionslos.
+- Die Koeffizienten &nbsp;$s_{\it ij}$&nbsp; sind dimensionslos.
-+ Die Koeffizienten $s_{\it ij}$ haben die Einheit $\rm \sqrt{\rm Ws}$.
++ Die Koeffizienten &nbsp;$s_{\it ij}$&nbsp; haben die Einheit &nbsp;$\rm \sqrt{\rm Ws}$.
-{Führen Sie den ersten Schritt des Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahrens durch. Wie für die weiteren Aufgaben gelte $A = 1$ und $T = 1$.
+{Führen Sie den ersten Schritt des Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahrens durch. Wie für die weiteren Aufgaben gelte &nbsp;$A = 1$&nbsp; und &nbsp;$T = 1$.
 |type="{}"}
 $s_{\rm 11} \ = \ $ { 1.414 3% }
@@ Zeile 31: / Zeile 37: @@
 $s_{\rm 13} \ = \ $ { 0. }
-{Wie lauten die Koeffizienten des Signals $s_2(t)$ mit $A = 1$ und $T = 1$?
+{Wie lauten die Koeffizienten des Signals&nbsp; $s_2(t)$&nbsp; mit &nbsp;$A = 1$ &nbsp;und&nbsp; $T = 1$?
 |type="{}"}
 $s_{\rm 21} \ = \ $ { 0.707 3% }
@@ Zeile 37: / Zeile 43: @@
 $s_{\rm 23} \ = \ $ { 0. }
-{Wie lauten die Koeffizienten des Signals $s_3(t)$ mit $A = 1$ und $T = 1$?
+{Wie lauten die Koeffizienten des Signals&nbsp; $s_3(t)$&nbsp; mit &nbsp;$A = 1$ &nbsp;und&nbsp; $T = 1$?
 |type="{}"}
 $s_{\rm 31} \ = \ $ { -0.72821--0.68579 }
@@ Zeile 43: / Zeile 49: @@
 $s_{\rm 33} \ = \ $ { 0. }
-{Wie lauten die Koeffizienten des Signals $s_4(t)$ mit $A = 1$ und $T = 1$?
+{Wie lauten die Koeffizienten des Signals&nbsp; $s_4(t)$&nbsp; mit &nbsp;$A = 1$ &nbsp;und&nbsp; $T = 1$?
 |type="{}"}
 $s_{\rm 41} \ = \ $ { 0. }

@@ Zeile 12: / Zeile 12: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume| Signale, Basisfunktionen und Vektorräume]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Digitalsignalübertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorräume#Orthonormale_Basisfunktionen|Orthonormale Basisfunktionen]] und [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Signale,_Basisfunktionen_und_Vektorr%C3%A4ume#Das_Verfahren_nach_Gram-Schmidt|Gram&ndash;Schmidt&ndash;Verfahren]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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(kein Unterschied)

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(kein Unterschied)