Aufgaben:Aufgabe 4.1: Zum „Log Likelihood Ratio” - Versionsgeschichte

Guenter am 4. Juli 2019 um 14:28 Uhr

2019-07-04T14:28:21Z

Guenter am 4. Juli 2019 um 14:20 Uhr

2019-07-04T14:20:25Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:09Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 29. Januar 2018 um 08:33 Uhr

2018-01-29T08:33:01Z

Guenter am 29. Januar 2018 um 08:05 Uhr

2018-01-29T08:05:34Z

Guenter am 29. Januar 2018 um 08:00 Uhr

2018-01-29T08:00:24Z

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2018-01-04T06:50:51Z

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Hussain am 16. Dezember 2017 um 14:59 Uhr

2017-12-16T14:59:30Z

Hussain am 16. Dezember 2017 um 14:59 Uhr

2017-12-16T14:59:07Z

Hussain am 6. Dezember 2017 um 11:56 Uhr

2017-12-06T11:56:50Z

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-'''(2)'''&nbsp; Mit $A$ &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;$x = 0$&rdquo; und $B$ &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;$y = 0$&rdquo; ergibt sich sofort die Gleichung gemäß <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Mit&nbsp; $A$ &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;$x = 0$&rdquo; und&nbsp; $B$ &nbsp;&#8658;&nbsp; &bdquo;$y = 0$&rdquo; ergibt sich sofort die Gleichung gemäß <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 :$${\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} y = 0) =
 {\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x = 0)  \cdot \frac{{\rm Pr}(x = 0)}{{\rm Pr}(y = 0)}\hspace{0.05cm}.$$
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 '''(3)'''&nbsp; Wir berechnen den $L$&ndash;Wert der Rückschlusswahrscheinlichkeiten. Unter der Annahme $y = 0$ gilt:
-:$$L_{\rm R}(y= 0) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y= 0)
+:$$L_{\rm R}(y= 0) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y= 0)=
 {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y=0)}{{\rm Pr}(x = 1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y=0)} = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)}{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = 1)\cdot {\rm Pr}(x = 1) / {\rm Pr}(y = 0)} $$
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0)=  =  {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=0) }{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = 1)} +
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0)=    {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=0) }{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = 1)} +
 {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x=0) }{{\rm Pr}(x = 1)}$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0) =  L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y= 0) = L_{\rm V}(y= 0) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$
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-'''(4)'''&nbsp; Der Aufgabenbeschreibung können Sie entnehmen, dass mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0.1$ der Ausgangswert $y = 1$ zum Vorwärts&ndash;LLR $L_{\rm V}(y = 1) = \, &ndash;2.197$ führt. Wegen ${\rm Pr}(x = 0) = 1/2 \ \Rightarrow \ L_{\rm A}(x) = 0$ gilt somit auch:
+'''(4)'''&nbsp; Der Aufgabenbeschreibung können Sie entnehmen, dass mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0.1$ der Ausgangswert $y = 1$ zum Vorwärts&ndash;LLR $L_{\rm V}(y = 1) = \, &ndash;2.197$ führt.
 :$$L_{\rm R}(y = 1)  = L_{\rm V}(y = 1)  \hspace{0.15cm}\underline{= -2.197}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Bei gleicher Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0.1$ unterscheidet sich $L_{\rm V}(y = 0)$ von $L_{\rm V}(y = 1)$ nur durch das Vorzeichen. <br>Mit ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2 \ \Rightarrow \ L_{\rm A}(x) = \, -1.382$ erhält man somit:
+'''(5)'''&nbsp; Bei gleicher Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0.1$ unterscheidet sich $L_{\rm V}(y = 0)$ von $L_{\rm V}(y = 1)$ nur durch das Vorzeichen.
 :$$L_{\rm R}(y = 0)  = (+)2.197 - 1.382 \hspace{0.15cm}\underline{=+0.815}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(6)'''&nbsp; Wie Sie sicher gerne nachprüfen werden, gilt der Zusammenhang $L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$ auch für den &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&ndash;Kanal&rdquo;, unabhängig vom Umfang $M$ des Ausgangsalphabets &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Antwort Ja</u>.
-'''(7)'''&nbsp; Der AWGN&ndash;Kanal wird durch den skizzierten &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&ndash;Kanal&rdquo; mit $M &#8594; &#8734;$ ebenfalls beschrieben &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Antwort Ja</u>.
+'''(7)'''&nbsp; Der AWGN&ndash;Kanal wird durch den skizzierten &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&ndash;Kanal&rdquo; mit&nbsp; $M &#8594; &#8734;$&nbsp; ebenfalls beschrieben &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Antwort Ja</u>.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^4.1 Soft–in Soft–out Decoder^]]

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 [[Datei:P_ID2979__KC_A_4_1_v2.png|right|frame|Betrachtete Kanalmodelle]]
-Zur Interpretation von <i>Log&ndash;Likelihood&ndash;Verhältnissen</i> (kurz $L$&ndash;Werten) gehen wir wie im [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio|Theorieteil]] vom <i>Binary Symmetric Channel</i> (BSC) aus. Die englische Bezeichung ist <i>Log Likelihood Ratio</i> (LLR).
+Zur Interpretation von&nbsp; <i>Log&ndash;Likelihood&ndash;Verhältnissen</i>&nbsp; (kurz&nbsp; $L$&ndash;Werten) gehen wir wie im&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio|Theorieteil]]&nbsp; vom&nbsp; <i>Binary Symmetric Channel</i>&nbsp; (BSC) aus. Die englische Bezeichung ist&nbsp; <i>Log Likelihood Ratio</i>&nbsp; (LLR).
 Für die binären Zufallsgrößen am Eingang und Ausgang gelte
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 \hspace{0.05cm}. $$
-Dieses Modell ist in der oberen Grafik dargestellt und wird im Folgenden als <b>Modell A</b> bezeichnet. Für die bedingten Wahrscheinlichkeiten in Vorwärtsrichtung gilt:
+Dieses Modell ist in der oberen Grafik dargestellt. Für die bedingten Wahrscheinlichkeiten in Vorwärtsrichtung gilt:
 :$${\rm Pr}(y = 1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x = 0) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} {\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x = 1) = \varepsilon \hspace{0.05cm},$$
 :$${\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x = 0) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} {\rm Pr}(y = 1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x = 1) = 1-\varepsilon \hspace{0.05cm}.$$
-Die Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon$ ist der entscheidende Parameter des BSC&ndash;Modells.
+Die Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon$&nbsp; ist der entscheidende Parameter des BSC&ndash;Modells.
-Bezüglich der Wahrscheinlichkeitsverteilung am Eingang ist es zweckmäßig, anstelle der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(x = 0)$ und ${\rm Pr}(x = 1)$ das <i>Log Likelihood Ratio</i> (LLR) zu betrachten.
+Bezüglich der Wahrscheinlichkeitsverteilung am Eingang ist es zweckmäßig, anstelle der Wahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(x = 0)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(x = 1)$&nbsp; das&nbsp; <i>Log Likelihood Ratio</i>&nbsp; (LLR) zu betrachten.
 Für dieses gilt bei der hier verwendeten unipolaren Betrachtungsweise per Definition:
 :$$L_{\rm A}(x)={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0)}{{\rm Pr}(x = 1)}\hspace{0.05cm},$$
-wobei der Index &bdquo;A&rdquo; auf die Apriori&ndash;Wahrscheinlichkeit hinweist.
+wobei der Index &nbsp;$\rm A$&nbsp; auf die Apriori&ndash;Wahrscheinlichkeit hinweist.
-Beispielsweise ergibt sich für ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2 \ \Rightarrow \ {\rm Pr}(x = 1) = 0.8$ das Apriori&ndash;LLR $L_{\rm A}(x) = \, -1.382$.
+Beispielsweise ergibt sich für&nbsp; ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2 \ \Rightarrow \ {\rm Pr}(x = 1) = 0.8$&nbsp; das Apriori&ndash;LLR&nbsp; $L_{\rm A}(x) = \, -1.382$.
-Aus dem BSC&ndash;Modell lässt sich zudem der $L$&ndash;Wert der bedingten Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x)$ in Vorwärtsrichtung ermitteln, der in der vorliegenden Aufgabe auch mit $L_{\rm V}(y)$ bezeichnet wird:
+Aus dem BSC&ndash;Modell lässt sich zudem der&nbsp; $L$&ndash;Wert der bedingten Wahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x)$&nbsp; in Vorwärtsrichtung ermitteln, der in der vorliegenden Aufgabe auch mit&nbsp; $L_{\rm V}(y)$&nbsp; bezeichnet wird:
 :$$L_{\rm V}(y) = L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x) =
 {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = 0)}{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = 1)} =
 \left\{ \begin{array}{c} {\rm ln} \hspace{0.15cm} [(1 - \varepsilon)/\varepsilon]\\
   {\rm ln} \hspace{0.15cm} [\varepsilon/(1 - \varepsilon)]  \end{array} \right.\hspace{0.15cm}
-\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.05cm} y = 0,
+\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} y = 0,
 \\  {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} y = 1. \\ \end{array}$$
-Beispielsweise ergibt sich für $\varepsilon = 0.1$:
+Beispielsweise ergibt sich für&nbsp; $\varepsilon = 0.1$:
 :$$L_{\rm V}(y = 0) = +2.197\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}L_{\rm V}(y = 1) = -2.197\hspace{0.05cm}.$$
-Von besonderer Bedeutung für die Codierungstheorie sind die Rückschlusswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y)$, die mit den Vorwärtswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x)$ sowie den Eingangswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(x = 0)$ und ${\rm Pr}(x = 1)$ über den Satz von Bayes in Zusammenhang stehen. Der entsprechende $L$&ndash;Wert wird in dieser Aufgabe mit $L_{\rm R}(y)$ bezeichnet:
+Von besonderer Bedeutung für die Codierungstheorie sind die Rückschlusswahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y)$, die mit den Vorwärtswahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x)$&nbsp; sowie den Eingangswahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(x = 0)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(x = 1)$&nbsp; über den Satz von Bayes in Zusammenhang stehen.
 :$$L_{\rm R}(y) = L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y) =
 {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0)\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y)}{{\rm Pr}(x = 1)\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y)} \hspace{0.05cm} .$$
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].
-* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio| Zuverlässigkeitsinformation &ndash; Log Likelihood Ratio]].
+* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio| Zuverlässigkeitsinformation &ndash; Log Likelihood Ratio]].
-* In den letzten Teilaufgaben ist zu klären, ob die gefundenen Zusammenhänge zwischen $L_{\rm A}, \ L_{\rm V}$ und $L_{\rm R}$ auch auf den unten skizzierten &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&ndash;Kanal&rdquo; übertragen werden können.
+* In den letzten Teilaufgaben ist zu klären, ob die gefundenen Zusammenhänge zwischen&nbsp; $L_{\rm A}, \ L_{\rm V}$&nbsp; und&nbsp; $L_{\rm R}$&nbsp; auch auf den &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&ndash;Kanal&rdquo; übertragen werden können.
-*Hierzu wählen wir für die Eingangssymbole eine bipolare Betrachtungsweise: &bdquo;$0$&rdquo; &#8594; &bdquo;$+1$&rdquo; sowie &bdquo;$1$&rdquo; &#8594; &bdquo;$&ndash;1$&rdquo;.
+*Hierzu wählen wir für die Eingangssymbole eine bipolare Betrachtungsweise:&nbsp; &bdquo;$0$&rdquo;&nbsp; &#8594; &nbsp; &bdquo;$+1$&rdquo;&nbsp; sowie&nbsp; &bdquo;$1$&rdquo; &nbsp; &#8594; &nbsp; &bdquo;$&ndash;1$&rdquo;.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie hängen die bedingten Wahrscheinlichkeiten zweier Zufallsgrößen $A$ und $B$ zusammen?
+{Wie hängen die bedingten Wahrscheinlichkeiten zweier Zufallsgrößen&nbsp; $A$&nbsp; und&nbsp; $B$&nbsp; zusammen?
 |type="()"}
 - ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) = {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} A)$,
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 + ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) = {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}A) \cdot {\rm Pr}(A) / {\rm Pr}(B)$.
-{Welche Gleichung gilt für den Binärkanal mit den Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(x = 0)$ und ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(y = 0)$?
+{Welche Gleichung gilt für den Binärkanal mit den Wahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(x = 0)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(y = 0)$?
 |type="()"}
 + ${\rm Pr}(x = 0 | y = 0) = {\rm Pr}(y = 0 | x = 0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)$,
 - ${\rm Pr}(x = 0 | y = 0) = {\rm Pr}(y = 0 | x = 0) \cdot {\rm Pr}(y = 0) / {\rm Pr}(x = 0)$.
-{Unter welchen Voraussetzungen gilt für das Rückschluss&ndash;LLR für alle möglichen Ausgangswerte $y &#8712; \{0, \, 1\}$: <br>&nbsp; &nbsp;  $L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y) = L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x)$ bzw. $L_{\rm R}(y) = L_{\rm V}(y)$?
+{Unter welchen Voraussetzungen gilt für das Rückschluss&ndash;LLR für alle möglichen Ausgangswerte&nbsp; $y &#8712; \{0, \, 1\}$: <br>&nbsp; &nbsp;  $L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y) = L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x)$&nbsp; bzw.&nbsp; $L_{\rm R}(y) = L_{\rm V}(y)$?
 |type="()"}
-- Für jede beliebige Eingangsverteilung ${\rm Pr}(x = 0), \ {\rm Pr}(x = 1)$.
+- Für jede beliebige Eingangsverteilung&nbsp; ${\rm Pr}(x = 0), \ {\rm Pr}(x = 1)$.
-+ Nur für die Gleichverteilung: $\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(x = 0) = {\rm Pr}(x = 1) = 1/2$.
++ Nur für die Gleichverteilung:&nbsp; $\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(x = 0) = {\rm Pr}(x = 1) = 1/2$.
-{Das Ausgangssymbol sei $y = 1$. Welches Rückschluss&ndash;LLR erhält man mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0.1$ bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?
+{Das Ausgangssymbol sei&nbsp; $y = 1$. Welches Rückschluss&ndash;LLR erhält man mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit&nbsp; $\varepsilon = 0.1$&nbsp; bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?
 |type="{}"}
 $L_{\rm R}(y = 1) = L(x | y = 1) \ = \ ${ -2.26291--2.13109 }
-{Das Ausgangssymbol sei nun $y = 0$. Welches Rückschluss&ndash;LLR erhält man für ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2$ und $\varepsilon = 0.1$?
+{Das Ausgangssymbol sei nun&nbsp; $y = 0$. Welches Rückschluss&ndash;LLR erhält man für&nbsp; ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2$&nbsp; und&nbsp; $\varepsilon = 0.1$?
 |type="{}"}
 $L_{\rm R}(y = 0) = L(x | y = 0) \ = \ ${ 0.815 3% }
-{Lässt sich das unter (3) hergeleitete Ergebnis &nbsp; &#8658; &nbsp; $L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$ auch auf den &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&ndash;Kanal&rdquo;  übertragen?
+{Lässt sich das unter '''(3)''' hergeleitete Ergebnis &nbsp; &#8658; &nbsp; $L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$&nbsp; auch auf den &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&ndash;Kanal&rdquo;  übertragen?
 |type="()"}
 + Ja.

@@ Zeile 47: / Zeile 47: @@
 * In den letzten Teilaufgaben ist zu klären, ob die gefundenen Zusammenhänge zwischen $L_{\rm A}, \ L_{\rm V}$ und $L_{\rm R}$ auch auf den unten skizzierten &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&ndash;Kanal&rdquo; übertragen werden können.
 *Hierzu wählen wir für die Eingangssymbole eine bipolare Betrachtungsweise: &bdquo;$0$&rdquo; &#8594; &bdquo;$+1$&rdquo; sowie &bdquo;$1$&rdquo; &#8594; &bdquo;$&ndash;1$&rdquo;.
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

@@ Zeile 60: / Zeile 60: @@
 {Welche Gleichung gilt für den Binärkanal mit den Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(x = 0)$ und ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(y = 0)$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 + ${\rm Pr}(x = 0 | y = 0) = {\rm Pr}(y = 0 | x = 0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)$,
 - ${\rm Pr}(x = 0 | y = 0) = {\rm Pr}(y = 0 | x = 0) \cdot {\rm Pr}(y = 0) / {\rm Pr}(x = 0)$.
-{Unter welchen Voraussetzungen gilt für das Rückschluss&ndash;LLR für alle möglichen Ausgangswerte $y &#8712; \{0, \, 1\}$: <br>&nbsp; &nbs;  $L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y) = L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x)$ bzw. $L_{\rm R}(y) = L_{\rm V}(y)$?
+{Unter welchen Voraussetzungen gilt für das Rückschluss&ndash;LLR für alle möglichen Ausgangswerte $y &#8712; \{0, \, 1\}$: <br>&nbsp; &nbsp;  $L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y) = L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x)$ bzw. $L_{\rm R}(y) = L_{\rm V}(y)$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Für jede beliebige Eingangsverteilung ${\rm Pr}(x = 0), \ {\rm Pr}(x = 1)$.
 + Nur für die Gleichverteilung: $\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(x = 0) = {\rm Pr}(x = 1) = 1/2$.
@@ Zeile 77: / Zeile 77: @@
 $L_{\rm R}(y = 0) = L(x | y = 0) \ = \ ${ 0.815 3% }
-{Lässt sich das unter (3) hergeleitete Ergebnis &nbsp; &#8658; &nbsp; $L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$ auch auf den &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&rdquo;Kanal übertragen?
+{Lässt sich das unter (3) hergeleitete Ergebnis &nbsp; &#8658; &nbsp; $L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$ auch auf den &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&ndash;Kanal&rdquo;  übertragen?
 |type="()"}
 + Ja.
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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Für die bedingten Wahrscheinlichkeiten gilt nach dem [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit| Satz von Bayes]] mit der Schnittmenge $A &#8745; B$:
-:$$\rm Pr(\it B \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \it A) = \frac{\rm Pr(\it A \cap \it B)}{\rm Pr(\it A)}\hspace{0.05cm},
+:$${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}  A) = \frac{{\rm Pr}(A \cap B)}{{\rm Pr}(A)}\hspace{0.05cm},
-\hspace{0.3cm} \rm Pr(\it A \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \it B) = \frac{\rm Pr(\it A \cap \it B)}{\rm Pr(\it B)}$$
+\hspace{0.3cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) = \frac{{\rm Pr}(A \cap B)}{{\rm Pr}(B)}\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rm Pr(\it A \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \it B) =
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) =
-\rm Pr(\it B \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} \it A) \cdot \frac{\rm Pr(\it A)}{\rm Pr(\it B)}\hspace{0.05cm}.$$
+{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} A) \cdot \frac{{\rm Pr}(A)}{{\rm Pr}(B)}\hspace{0.05cm}.$$
 Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>. Im Sonderfall ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(A)$ wäre auch der Vorschlag 1 richtig.
@@ Zeile 105: / Zeile 105: @@
 '''(3)'''&nbsp; Wir berechnen den $L$&ndash;Wert der Rückschlusswahrscheinlichkeiten. Unter der Annahme $y = 0$ gilt:
-:$$L_{\rm R}(y= 0) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y= 0) =
+:$$L_{\rm R}(y= 0) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y= 0)
-{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y=0)}{{\rm Pr}(x = 1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y=0)} = $$
+{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y=0)}{{\rm Pr}(x = 1\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y=0)} = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)}{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = 1)\cdot {\rm Pr}(x = 1) / {\rm Pr}(y = 0)} $$
-:$$\hspace{2cm} = \ \hspace{-0.15cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)}{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = 1)\cdot {\rm Pr}(x = 1) / {\rm Pr}(y = 0)} = $$
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0)=  =  {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x=0) }{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x = 1)} +
 {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x=0) }{{\rm Pr}(x = 1)}$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0) =  L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y= 0) = L_{\rm V}(y= 0) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$
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 :$$L_{\rm R}(y)  = L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y) = L_{\rm V}(y) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$
-Die Identität $L_{\rm R} &equiv; L_{\rm V}(y)$ erfordert $L_{\rm A}(x) = 0$ &nbsp;&#8658;&nbsp; gleichwahrscheinliche Symbole &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Vorschlag 2</u>.
+Die Identität $L_{\rm R}(y) &equiv; L_{\rm V}(y)$ erfordert $L_{\rm A}(x) = 0$ &nbsp; &#8658; &nbsp; gleichwahrscheinliche Symbole &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Vorschlag 2</u>.
-'''(4)'''&nbsp; Der Aufgabenbeschreibung können Sie entnehmen, dass mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\epsilon = 0.1$ der Ausgangswert $y = 1$ zum Vorwärts&ndash;LLR $L_{\rm V}(y = 1) = \, &ndash;2.197$ führt. Wegen ${\rm Pr}(x = 0) = 1/2 \ \Rightarrow \ L_{\rm A}(x) = 0$ gilt somit auch:
+'''(4)'''&nbsp; Der Aufgabenbeschreibung können Sie entnehmen, dass mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0.1$ der Ausgangswert $y = 1$ zum Vorwärts&ndash;LLR $L_{\rm V}(y = 1) = \, &ndash;2.197$ führt. Wegen ${\rm Pr}(x = 0) = 1/2 \ \Rightarrow \ L_{\rm A}(x) = 0$ gilt somit auch:
-:$$L_{\rm R}(y = 1)  = L_{\rm V}(y = 1)  \hspace{0.15cm}\underline{-2.197}\hspace{0.05cm}.$$
+:$$L_{\rm R}(y = 1)  = L_{\rm V}(y = 1)  \hspace{0.15cm}\underline{= -2.197}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Bei gleicher Verfälschungswahrscheinlichkeit $\epsilon = 0.1$ unterscheidet sich $L_{\rm V}(y = 0)$ von $L_{\rm V}(y = 1)$ nur durch das Vorzeichen. Mit ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2 \ \Rightarrow \ L_{\rm A}(x) = \, &ndash;1.382$ erhält man somit:
+'''(5)'''&nbsp; Bei gleicher Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0.1$ unterscheidet sich $L_{\rm V}(y = 0)$ von $L_{\rm V}(y = 1)$ nur durch das Vorzeichen. <br>Mit ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2 \ \Rightarrow \ L_{\rm A}(x) = \, -1.382$ erhält man somit:
 :$$L_{\rm R}(y = 0)  = (+)2.197 - 1.382 \hspace{0.15cm}\underline{=+0.815}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(6)'''&nbsp; Wie Sie sicher gerne nachprüfen werden, gilt der Zusammenhang &bdquo;$L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$&rdquo; auch für den &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&ndash;Kanal&rdquo;, unabhängig vom Umfang $M$ des Ausgangsalphabets &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Antwort Ja</u>.
+'''(6)'''&nbsp; Wie Sie sicher gerne nachprüfen werden, gilt der Zusammenhang $L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$ auch für den &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&ndash;Kanal&rdquo;, unabhängig vom Umfang $M$ des Ausgangsalphabets &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Antwort Ja</u>.
-'''(7)'''&nbsp; Der AWGN&ndash;Kanal wird durch den skizzierten &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&ndash;Kanal&rdquo; mit $M &#8594; &#8734;$ ebenfalls beschrieben &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Antwort Ja</u>.
+'''(7)'''&nbsp; Der AWGN&ndash;Kanal wird durch den skizzierten &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&ndash;Kanal&rdquo; mit $M &#8594; &#8734;$ ebenfalls beschrieben &nbsp; &#8658; &nbsp; <u>Antwort Ja</u>.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu  Kanalcodierung|^4.1 Soft–in Soft–out Decoder^]]

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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision| Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].
+* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder| Soft&ndash;in Soft&ndash;out Decoder]].
 * Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio| Zuverlässigkeitsinformation &ndash; Log Likelihood Ratio]].
 * In den letzten Teilaufgaben ist zu klären, ob die gefundenen Zusammenhänge zwischen $L_{\rm A}, \ L_{\rm V}$ und $L_{\rm R}$ auch auf den unten skizzierten &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&ndash;Kanal&rdquo; übertragen werden können.
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 <quiz display=simple>
 {Wie hängen die bedingten Wahrscheinlichkeiten zweier Zufallsgrößen $A$ und $B$ zusammen?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} B) = {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} A)$,
 - ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}B) = {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(B) / {\rm Pr}(A)$,
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 - ${\rm Pr}(x = 0 | y = 0) = {\rm Pr}(y = 0 | x = 0) \cdot {\rm Pr}(y = 0) / {\rm Pr}(x = 0)$.
-{Unter welchen Voraussetzungen gilt für das Rückschluss&ndash;LLR für alle möglichen Ausgangswerte $y &#8712; \{0, \, 1\} \text{:} \, L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y) = L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x)$ bzw. $L_{\rm R}(y) = L_{\rm V}(y)$?
+{Unter welchen Voraussetzungen gilt für das Rückschluss&ndash;LLR für alle möglichen Ausgangswerte $y &#8712; \{0, \, 1\}$: <br>&nbsp; &nbs;  $L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y) = L(y\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}x)$ bzw. $L_{\rm R}(y) = L_{\rm V}(y)$?
 |type="[]"}
 - Für jede beliebige Eingangsverteilung ${\rm Pr}(x = 0), \ {\rm Pr}(x = 1)$.
 + Nur für die Gleichverteilung: $\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(x = 0) = {\rm Pr}(x = 1) = 1/2$.
-{Das Ausgangssymbol sei $y = 1$. Welches Rückschluss&ndash;LLR erhält man mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\epsilon = 0.1$ bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?
+{Das Ausgangssymbol sei $y = 1$. Welches Rückschluss&ndash;LLR erhält man mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0.1$ bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?
 |type="{}"}
-$\varepsilon = 0.1 \text{:} \hspace{0.2cm} L_{\rm R}(y = 1) = L(x | y = 1) \ = \ ${ -2.26291--2.13109 }
+$L_{\rm R}(y = 1) = L(x | y = 1) \ = \ ${ -2.26291--2.13109 }
-{Das Ausgangssymbol sei nun $y = 0$. Welches Rückschluss&ndash;LLR erhält man für ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2$?
+{Das Ausgangssymbol sei nun $y = 0$. Welches Rückschluss&ndash;LLR erhält man für ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2$ und $\varepsilon = 0.1$?
 |type="{}"}
-$\epsilon = 0.1 \text{:} \hspace{0.2cm} L_{\rm R}(y = 0) = L(x | y = 0) \ = \ ${ 0.815 3% }
+$L_{\rm R}(y = 0) = L(x | y = 0) \ = \ ${ 0.815 3% }
 {Lässt sich das unter (3) hergeleitete Ergebnis &nbsp; &#8658; &nbsp; $L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$ auch auf den &bdquo;2&ndash;auf&ndash;$M$&rdquo;Kanal übertragen?

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 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0) =  L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y= 0) = L_{\rm V}(y= 0) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$
-In gleicher Weise ergibt sich unter er Annahme $y = 1$:
+In gleicher Weise ergibt sich unter der Annahme $y = 1$:
 :$$L_{\rm R}(y= 1)  = L(x\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}y= 1) = L_{\rm V}(y= 1) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$