Aufgaben:Aufgabe 4.1: Zum „Log Likelihood Ratio” - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:37:26Z

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Zeile 140:		Zeile 140:

	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^4.1 Soft–in Soft–out Decoder^]]		[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^4.1 Soft–in Soft–out Decoder^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.1:_Log_Likelihood_Ratio]]

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2026-02-24T13:39:46Z

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← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:39 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:

	Für die binären Zufallsgrößen am Eingang und Ausgang gelte		Für die binären Zufallsgrößen am Eingang und Ausgang gelte
	:$$x \in \{0\hspace{0.05cm}, 1\} \hspace{0.05cm},\hspace{0.25cm}y \in \{0\hspace{0.05cm}, 1\}		:$$x \in \{0\hspace{0.05cm}, 1\} \hspace{0.05cm},\hspace{0.25cm}y \in \{0\hspace{0.05cm}, 1\}\hspace{0.05cm}. $$
	\hspace{0.05cm}. $$

	Dieses Modell ist in der oberen Grafik dargestellt. Für die bedingten Wahrscheinlichkeiten in Vorwärtsrichtung gilt:		Dieses Modell ist in der oberen Grafik dargestellt. Für die bedingten Wahrscheinlichkeiten in Vorwärtsrichtung gilt:
Zeile 24:		Zeile 23:

	Aus dem BSC–Modell lässt sich zudem der  $L$–Wert der bedingten Wahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x)$  in Vorwärtsrichtung ermitteln, der in der vorliegenden Aufgabe auch mit  $L_{\rm V}(y)$  bezeichnet wird:		Aus dem BSC–Modell lässt sich zudem der  $L$–Wert der bedingten Wahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x)$  in Vorwärtsrichtung ermitteln, der in der vorliegenden Aufgabe auch mit  $L_{\rm V}(y)$  bezeichnet wird:
	:$$L_{\rm V}(y) = L(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x) =		:$$L_{\rm V}(y) = L(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x) ={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 0)}{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)} = \left\{ \begin{array}{c} {\rm ln} \hspace{0.15cm} [(1 - \varepsilon)/\varepsilon]\\{\rm ln} \hspace{0.15cm} [\varepsilon/(1 - \varepsilon)] \end{array} \right.\hspace{0.15cm}\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} y = 0,\\ {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} y = 1. \\ \end{array}$$
	{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 0)}{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)} =
	\left\{ \begin{array}{c} {\rm ln} \hspace{0.15cm} [(1 - \varepsilon)/\varepsilon]\\
	{\rm ln} \hspace{0.15cm} [\varepsilon/(1 - \varepsilon)] \end{array} \right.\hspace{0.15cm}
	\begin{array}{*{1}c} {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} y = 0,
	\\ {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} y = 1. \\ \end{array}$$

	Beispielsweise ergibt sich für  $\varepsilon = 0.1$:		Beispielsweise ergibt sich für  $\varepsilon = 0.1$:
Zeile 37:		Zeile 31:

	Der entsprechende  $L$–Wert wird in dieser Aufgabe  mit $L_{\rm R}(y)$  bezeichnet:		Der entsprechende  $L$–Wert wird in dieser Aufgabe  mit $L_{\rm R}(y)$  bezeichnet:
	:$$L_{\rm R}(y) = L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y) =		:$$L_{\rm R}(y) = L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y) ={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0)\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y)}{{\rm Pr}(x = 1)\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y)} \hspace{0.05cm} .$$
	{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0)\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y)}{{\rm Pr}(x = 1)\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y)} \hspace{0.05cm} .$$


Zeile 97:		Zeile 90:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Für die bedingten Wahrscheinlichkeiten gilt nach dem [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit\| Satz von Bayes]] mit der Schnittmenge $A ∩ B$:		'''(1)'''  Für die bedingten Wahrscheinlichkeiten gilt nach dem [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit\| Satz von Bayes]] mit der Schnittmenge $A ∩ B$:
	:$${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} A) = \frac{{\rm Pr}(A \cap B)}{{\rm Pr}(A)}\hspace{0.05cm},		:$${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} A) = \frac{{\rm Pr}(A \cap B)}{{\rm Pr}(A)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) = \frac{{\rm Pr}(A \cap B)}{{\rm Pr}(B)}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) = {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} A) \cdot \frac{{\rm Pr}(A)}{{\rm Pr}(B)}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.3cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) = \frac{{\rm Pr}(A \cap B)}{{\rm Pr}(B)}\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) =
	{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} A) \cdot \frac{{\rm Pr}(A)}{{\rm Pr}(B)}\hspace{0.05cm}.$$

	Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>. Im Sonderfall ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(A)$ wäre auch der Vorschlag 1 richtig.		Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>. Im Sonderfall ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(A)$ wäre auch der Vorschlag 1 richtig.
Zeile 106:		Zeile 96:

	'''(2)'''  Mit  $A$  ⇒  &bdquo;$x = 0$” und  $B$  ⇒  &bdquo;$y = 0$” ergibt sich sofort die Gleichung gemäß <u>Lösungsvorschlag 1</u>:		'''(2)'''  Mit  $A$  ⇒  &bdquo;$x = 0$” und  $B$  ⇒  &bdquo;$y = 0$” ergibt sich sofort die Gleichung gemäß <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
	:$${\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} y = 0) =		:$${\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} y = 0) = {\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} x = 0) \cdot \frac{{\rm Pr}(x = 0)}{{\rm Pr}(y = 0)}\hspace{0.05cm}.$$
	{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} x = 0) \cdot \frac{{\rm Pr}(x = 0)}{{\rm Pr}(y = 0)}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(3)'''  Wir berechnen den $L$–Wert der Rückschlusswahrscheinlichkeiten. Unter der Annahme $y = 0$ gilt:		'''(3)'''  Wir berechnen den $L$–Wert der Rückschlusswahrscheinlichkeiten. Unter der Annahme $y = 0$ gilt:
	:$$L_{\rm R}(y= 0) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y= 0)=		:$$L_{\rm R}(y= 0) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y= 0)= {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y=0)}{{\rm Pr}(x = 1\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y=0)} = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)}{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)\cdot {\rm Pr}(x = 1) / {\rm Pr}(y = 0)} $$
	{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y=0)}{{\rm Pr}(x = 1\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y=0)} = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)}{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)\cdot {\rm Pr}(x = 1) / {\rm Pr}(y = 0)} $$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0)= {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) }{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)} + {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x=0) }{{\rm Pr}(x = 1)}$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0)= {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) }{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)} +
	{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x=0) }{{\rm Pr}(x = 1)}$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0) = L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y= 0) = L_{\rm V}(y= 0) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0) = L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y= 0) = L_{\rm V}(y= 0) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$

Zeile 122:		Zeile 109:
	Die beiden Ergebnisse lassen sich mit $y ∈ \{0, \, 1\}$ und		Die beiden Ergebnisse lassen sich mit $y ∈ \{0, \, 1\}$ und
	* dem Eingangs–LLR,		* dem Eingangs–LLR,
	:$$L_{\rm A}(x) =		:$$L_{\rm A}(x) ={\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x=0) }{{\rm Pr}(x = 1)}\hspace{0.05cm},$$
	{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x=0) }{{\rm Pr}(x = 1)}\hspace{0.05cm},$$
	* sowie dem Vorwärts–LLR,		* sowie dem Vorwärts–LLR,
	:$$L_{\rm V}(y) = L(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x) = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) }{{\rm Pr}(y \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)}		:$$L_{\rm V}(y) = L(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x) = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) }{{\rm Pr}(y \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)}\hspace{0.05cm},$$
	\hspace{0.05cm},$$

	wie folgt zusammenfassen:		wie folgt zusammenfassen:

Guenter am 4. Juli 2019 um 14:28 Uhr

2019-07-04T14:28:21Z

Guenter am 4. Juli 2019 um 14:20 Uhr

2019-07-04T14:20:25Z

Änderungen zeigen

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:09Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 13:41 Uhr
Zeile 47:		Zeile 47:
	* In den letzten Teilaufgaben ist zu klären, ob die gefundenen Zusammenhänge zwischen $L_{\rm A}, \ L_{\rm V}$ und $L_{\rm R}$ auch auf den unten skizzierten &bdquo;2–auf–$M$–Kanal” übertragen werden können.		* In den letzten Teilaufgaben ist zu klären, ob die gefundenen Zusammenhänge zwischen $L_{\rm A}, \ L_{\rm V}$ und $L_{\rm R}$ auch auf den unten skizzierten &bdquo;2–auf–$M$–Kanal” übertragen werden können.
	*Hierzu wählen wir für die Eingangssymbole eine bipolare Betrachtungsweise: &bdquo;$0$” → &bdquo;$+1$” sowie &bdquo;$1$” → &bdquo;$–1$”.		*Hierzu wählen wir für die Eingangssymbole eine bipolare Betrachtungsweise: &bdquo;$0$” → &bdquo;$+1$” sowie &bdquo;$1$” → &bdquo;$–1$”.
	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter am 29. Januar 2018 um 08:33 Uhr

2018-01-29T08:33:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. Januar 2018, 10:33 Uhr
Zeile 60:		Zeile 60:

	{Welche Gleichung gilt für den Binärkanal mit den Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(x = 0)$ und ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(y = 0)$?		{Welche Gleichung gilt für den Binärkanal mit den Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(x = 0)$ und ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(y = 0)$?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	+ ${\rm Pr}(x = 0 \| y = 0) = {\rm Pr}(y = 0 \| x = 0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)$,		+ ${\rm Pr}(x = 0 \| y = 0) = {\rm Pr}(y = 0 \| x = 0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)$,
	- ${\rm Pr}(x = 0 \| y = 0) = {\rm Pr}(y = 0 \| x = 0) \cdot {\rm Pr}(y = 0) / {\rm Pr}(x = 0)$.		- ${\rm Pr}(x = 0 \| y = 0) = {\rm Pr}(y = 0 \| x = 0) \cdot {\rm Pr}(y = 0) / {\rm Pr}(x = 0)$.

	{Unter welchen Voraussetzungen gilt für das Rückschluss–LLR für alle möglichen Ausgangswerte $y ∈ \{0, \, 1\}$: <br>  &~~nbs~~; $L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y) = L(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x)$ bzw. $L_{\rm R}(y) = L_{\rm V}(y)$?		{Unter welchen Voraussetzungen gilt für das Rückschluss–LLR für alle möglichen Ausgangswerte $y ∈ \{0, \, 1\}$: <br>    $L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y) = L(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x)$ bzw. $L_{\rm R}(y) = L_{\rm V}(y)$?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- Für jede beliebige Eingangsverteilung ${\rm Pr}(x = 0), \ {\rm Pr}(x = 1)$.		- Für jede beliebige Eingangsverteilung ${\rm Pr}(x = 0), \ {\rm Pr}(x = 1)$.
	+ Nur für die Gleichverteilung: $\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(x = 0) = {\rm Pr}(x = 1) = 1/2$.		+ Nur für die Gleichverteilung: $\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(x = 0) = {\rm Pr}(x = 1) = 1/2$.
Zeile 77:		Zeile 77:
	$L_{\rm R}(y = 0) = L(x \| y = 0) \ = \ ${ 0.815 3% }		$L_{\rm R}(y = 0) = L(x \| y = 0) \ = \ ${ 0.815 3% }

	{Lässt sich das unter (3) hergeleitete Ergebnis   ⇒   $L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$ auch auf den &bdquo;2–auf–$M$”~~Kanal~~ übertragen?		{Lässt sich das unter (3) hergeleitete Ergebnis   ⇒   $L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$ auch auf den &bdquo;2–auf–$M$–Kanal” übertragen?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	+ Ja.		+ Ja.
Zeile 91:		Zeile 91:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Für die bedingten Wahrscheinlichkeiten gilt nach dem [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit\| Satz von Bayes]] mit der Schnittmenge $A ∩ B$:		'''(1)'''  Für die bedingten Wahrscheinlichkeiten gilt nach dem [[Stochastische_Signaltheorie/Statistische_Abh%C3%A4ngigkeit_und_Unabh%C3%A4ngigkeit#Bedingte_Wahrscheinlichkeit\| Satz von Bayes]] mit der Schnittmenge $A ∩ B$:
	:$$\rm Pr(~~\it~~ B \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} ~~\it~~ A) = \frac{\rm Pr(~~\it~~ A \cap ~~\it~~ B)}{\rm Pr(~~\it~~ A)}\hspace{0.05cm},		:$${\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} A) = \frac{{\rm Pr}(A \cap B)}{{\rm Pr}(A)}\hspace{0.05cm},
	\hspace{0.3cm} \rm Pr(~~\it~~ A \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} ~~\it~~ B) = \frac{\rm Pr(~~\it~~ A \cap ~~\it~~ B)}{\rm Pr(~~\it~~ B)}$$		\hspace{0.3cm} {\rm Pr}(A \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) = \frac{{\rm Pr}(A \cap B)}{{\rm Pr}(B)}\hspace{0.3cm}
	~~:$$~~\Rightarrow \hspace{0.3cm} \rm Pr(~~\it~~ A \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} ~~\it~~ B) =		\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr}(A \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) =
	\rm Pr(~~\it~~ B \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} ~~\it~~ A) \cdot \frac{\rm Pr(~~\it~~ A)}{\rm Pr(~~\it~~ B)}\hspace{0.05cm}.$$		{\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} A) \cdot \frac{{\rm Pr}(A)}{{\rm Pr}(B)}\hspace{0.05cm}.$$

	Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>. Im Sonderfall ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(A)$ wäre auch der Vorschlag 1 richtig.		Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>. Im Sonderfall ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(A)$ wäre auch der Vorschlag 1 richtig.
Zeile 105:		Zeile 105:

	'''(3)'''  Wir berechnen den $L$–Wert der Rückschlusswahrscheinlichkeiten. Unter der Annahme $y = 0$ gilt:		'''(3)'''  Wir berechnen den $L$–Wert der Rückschlusswahrscheinlichkeiten. Unter der Annahme $y = 0$ gilt:
	:$$L_{\rm R}(y= 0) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y= 0) =		:$$L_{\rm R}(y= 0) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y= 0)
	{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y=0)}{{\rm Pr}(x = 1\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y=0)} = $$		{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y=0)}{{\rm Pr}(x = 1\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y=0)} = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)}{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)\cdot {\rm Pr}(x = 1) / {\rm Pr}(y = 0)} $$
	~~:$$\hspace{2cm} = \ \hspace{-0.15cm}~~ {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)}{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)\cdot {\rm Pr}(x = 1) / {\rm Pr}(y = 0)} = $$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0)= = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) }{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)} +
	:$$\~~hspace{2cm} = \~~ \hspace{-0.~~15cm~~} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) }{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)} +
	{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x=0) }{{\rm Pr}(x = 1)}$$		{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x=0) }{{\rm Pr}(x = 1)}$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0) = L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y= 0) = L_{\rm V}(y= 0) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0) = L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y= 0) = L_{\rm V}(y= 0) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 126:		Zeile 125:
	:$$L_{\rm R}(y) = L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y) = L_{\rm V}(y) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$		:$$L_{\rm R}(y) = L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y) = L_{\rm V}(y) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$

	Die Identität $L_{\rm R} &equiv; L_{\rm V}(y)$ erfordert $L_{\rm A}(x) = 0$  ⇒  gleichwahrscheinliche Symbole  ⇒  <u>Vorschlag 2</u>.		Die Identität $L_{\rm R}(y) &equiv; L_{\rm V}(y)$ erfordert $L_{\rm A}(x) = 0$   ⇒   gleichwahrscheinliche Symbole   ⇒   <u>Vorschlag 2</u>.


	'''(4)'''  Der Aufgabenbeschreibung können Sie entnehmen, dass mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\~~epsilon~~ = 0.1$ der Ausgangswert $y = 1$ zum Vorwärts–LLR $L_{\rm V}(y = 1) = \, –2.197$ führt. Wegen ${\rm Pr}(x = 0) = 1/2 \ \Rightarrow \ L_{\rm A}(x) = 0$ gilt somit auch:		'''(4)'''  Der Aufgabenbeschreibung können Sie entnehmen, dass mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0.1$ der Ausgangswert $y = 1$ zum Vorwärts–LLR $L_{\rm V}(y = 1) = \, –2.197$ führt. Wegen ${\rm Pr}(x = 0) = 1/2 \ \Rightarrow \ L_{\rm A}(x) = 0$ gilt somit auch:
	:$$L_{\rm R}(y = 1) = L_{\rm V}(y = 1) \hspace{0.15cm}\underline{-2.197}\hspace{0.05cm}.$$		:$$L_{\rm R}(y = 1) = L_{\rm V}(y = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= -2.197}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(5)'''  Bei gleicher Verfälschungswahrscheinlichkeit $\~~epsilon~~ = 0.1$ unterscheidet sich $L_{\rm V}(y = 0)$ von $L_{\rm V}(y = 1)$ nur durch das Vorzeichen. Mit ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2 \ \Rightarrow \ L_{\rm A}(x) = \, ~~–~~1.382$ erhält man somit:		'''(5)'''  Bei gleicher Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0.1$ unterscheidet sich $L_{\rm V}(y = 0)$ von $L_{\rm V}(y = 1)$ nur durch das Vorzeichen. <br>Mit ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2 \ \Rightarrow \ L_{\rm A}(x) = \, -1.382$ erhält man somit:
	:$$L_{\rm R}(y = 0) = (+)2.197 - 1.382 \hspace{0.15cm}\underline{=+0.815}\hspace{0.05cm}.$$		:$$L_{\rm R}(y = 0) = (+)2.197 - 1.382 \hspace{0.15cm}\underline{=+0.815}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(6)'''  Wie Sie sicher gerne nachprüfen werden, gilt der Zusammenhang ~~&bdquo;~~$L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$~~”~~ auch für den &bdquo;2–auf–$M$–Kanal”, unabhängig vom Umfang $M$ des Ausgangsalphabets  ⇒  <u>Antwort Ja</u>.		'''(6)'''  Wie Sie sicher gerne nachprüfen werden, gilt der Zusammenhang $L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$ auch für den &bdquo;2–auf–$M$–Kanal”, unabhängig vom Umfang $M$ des Ausgangsalphabets   ⇒   <u>Antwort Ja</u>.


	'''(7)'''  Der AWGN–Kanal wird durch den skizzierten &bdquo;2–auf–$M$–Kanal” mit $M → ∞$ ebenfalls beschrieben  ⇒  <u>Antwort Ja</u>.		'''(7)'''  Der AWGN–Kanal wird durch den skizzierten &bdquo;2–auf–$M$–Kanal” mit $M → ∞$ ebenfalls beschrieben   ⇒   <u>Antwort Ja</u>.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}


	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^4.1 Soft–in Soft–out Decoder^]]		[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^4.1 Soft–in Soft–out Decoder^]]

Guenter am 29. Januar 2018 um 08:05 Uhr

2018-01-29T08:05:34Z

Guenter am 29. Januar 2018 um 08:00 Uhr

2018-01-29T08:00:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. Januar 2018, 10:00 Uhr
Zeile 12:		Zeile 12:
	:$${\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} x = 0) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} {\rm Pr}(y = 1\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} x = 1) = 1-\varepsilon \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} x = 0) \hspace{-0.2cm} \ = \ \hspace{-0.2cm} {\rm Pr}(y = 1\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} x = 1) = 1-\varepsilon \hspace{0.05cm}.$$

	Die Verfälschungswahrscheinlichkeit $\~~epsilon~~$ ist der entscheidende Parameter des BSC–Modells.		Die Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon$ ist der entscheidende Parameter des BSC–Modells.

	Bezüglich der Wahrscheinlichkeitsverteilung am Eingang ist es zweckmäßig, anstelle der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(x = 0)$ und ${\rm Pr}(x = 1)$ das <i>Log Likelihood Ratio</i> (LLR) zu betrachten.		Bezüglich der Wahrscheinlichkeitsverteilung am Eingang ist es zweckmäßig, anstelle der Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(x = 0)$ und ${\rm Pr}(x = 1)$ das <i>Log Likelihood Ratio</i> (LLR) zu betrachten.
Zeile 21:		Zeile 21:
	wobei der Index &bdquo;A” auf die Apriori–Wahrscheinlichkeit hinweist.		wobei der Index &bdquo;A” auf die Apriori–Wahrscheinlichkeit hinweist.

	Beispielsweise ergibt sich für ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2 \ \Rightarrow \ {\rm Pr}(x = 1) = 0.8$ das Apriori–LLR $L_{\rm A}(x) = \, ~~–~~1.382$.		Beispielsweise ergibt sich für ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2 \ \Rightarrow \ {\rm Pr}(x = 1) = 0.8$ das Apriori–LLR $L_{\rm A}(x) = \, -1.382$.

	Aus dem BSC–Modell lässt sich zudem der $L$–Wert der bedingten Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(y\|x)$ in Vorwärtsrichtung ermitteln, der in der vorliegenden Aufgabe auch mit $L_{\rm V}(y)$ bezeichnet wird:		Aus dem BSC–Modell lässt sich zudem der $L$–Wert der bedingten Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x)$ in Vorwärtsrichtung ermitteln, der in der vorliegenden Aufgabe auch mit $L_{\rm V}(y)$ bezeichnet wird:
	:$$L_{\rm V}(y) = L(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x) =		:$$L_{\rm V}(y) = L(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x) =
	{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 0)}{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)} =		{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 0)}{{\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)} =
Zeile 31:		Zeile 31:
	\\ {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} y = 1. \\ \end{array}$$		\\ {\rm f\ddot{u}r} \hspace{0.15cm} y = 1. \\ \end{array}$$

	Beispielsweise ergibt sich für $\~~epsilon~~ = 0.1$:		Beispielsweise ergibt sich für $\varepsilon = 0.1$:
	:$$L_{\rm V}(y = 0) = +2.197\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}L_{\rm V}(y = 1) = -2.197\hspace{0.05cm}.$$		:$$L_{\rm V}(y = 0) = +2.197\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm}L_{\rm V}(y = 1) = -2.197\hspace{0.05cm}.$$

	Von besonderer Bedeutung für die Codierungstheorie sind die Rückschlusswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(x\|y)$, die mit den Vorwärtswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(y\|x)$ sowie den Eingangswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(x = 0)$ und ${\rm Pr}(x = 1)$ über den Satz von Bayes in Zusammenhang stehen. Der entsprechende $L$–Wert wird in dieser Aufgabe mit $L_{\rm R}(y)$ bezeichnet:		Von besonderer Bedeutung für die Codierungstheorie sind die Rückschlusswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y)$, die mit den Vorwärtswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x)$ sowie den Eingangswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(x = 0)$ und ${\rm Pr}(x = 1)$ über den Satz von Bayes in Zusammenhang stehen. Der entsprechende $L$–Wert wird in dieser Aufgabe mit $L_{\rm R}(y)$ bezeichnet:
	:$$L_{\rm R}(y) = L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y) =		:$$L_{\rm R}(y) = L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y) =
	{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0)\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y)}{{\rm Pr}(x = 1)\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y)} \hspace{0.05cm} .$$		{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0)\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y)}{{\rm Pr}(x = 1)\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y)} \hspace{0.05cm} .$$





	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe ~~bezieht sich auf die ersten Seiten des Kapitels~~ [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision\| Soft–in Soft–out Decoder]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder#Hard_Decision_vs._Soft_Decision\| Soft–in Soft–out Decoder]].
	* In den letzten Teilaufgaben ist zu klären, ob die gefundenen Zusammenhänge zwischen $L_{\rm A}, \ L_{\rm V}$ und $L_{\rm R}$ auch auf den unten skizzierten &bdquo;2–auf–$M$–Kanal” übertragen werden können. Hierzu wählen wir für die Eingangssymbole eine bipolare Betrachtungsweise: &bdquo;$0$” → &bdquo;$+1$” sowie &bdquo;$1$” → &bdquo;$–1$”.		* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio\| Zuverlässigkeitsinformation – Log Likelihood Ratio]].
			* In den letzten Teilaufgaben ist zu klären, ob die gefundenen Zusammenhänge zwischen $L_{\rm A}, \ L_{\rm V}$ und $L_{\rm R}$ auch auf den unten skizzierten &bdquo;2–auf–$M$–Kanal” übertragen werden können.
			*Hierzu wählen wir für die Eingangssymbole eine bipolare Betrachtungsweise: &bdquo;$0$” → &bdquo;$+1$” sowie &bdquo;$1$” → &bdquo;$–1$”.
	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.		* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Zeile 49:		Zeile 55:
	{Wie hängen die bedingten Wahrscheinlichkeiten zweier Zufallsgrößen $A$ und $B$ zusammen?		{Wie hängen die bedingten Wahrscheinlichkeiten zweier Zufallsgrößen $A$ und $B$ zusammen?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- ${\rm Pr}(A \| B) = {\rm Pr}(B \| A)$,		- ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) = {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} A)$,
	- ${\rm Pr}(A \| B) = {\rm Pr}(B \| A) \cdot {\rm Pr}(B) / {\rm Pr}(A)$,		- ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}B) = {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(B) / {\rm Pr}(A)$,
	+ ${\rm Pr}(A \| B) = {\rm Pr}(B \| A) \cdot {\rm Pr}(A) / {\rm Pr}(B)$.		+ ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) = {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}A) \cdot {\rm Pr}(A) / {\rm Pr}(B)$.

	{Welche Gleichung gilt für den Binärkanal mit den Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(x = 0)$ und ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(y = 0)$?		{Welche Gleichung gilt für den Binärkanal mit den Wahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(A) = {\rm Pr}(x = 0)$ und ${\rm Pr}(B) = {\rm Pr}(y = 0)$?
Zeile 58:		Zeile 64:
	- ${\rm Pr}(x = 0 \| y = 0) = {\rm Pr}(y = 0 \| x = 0) \cdot {\rm Pr}(y = 0) / {\rm Pr}(x = 0)$.		- ${\rm Pr}(x = 0 \| y = 0) = {\rm Pr}(y = 0 \| x = 0) \cdot {\rm Pr}(y = 0) / {\rm Pr}(x = 0)$.

	{Unter welchen Voraussetzungen gilt für das Rückschluss–LLR für alle möglichen Ausgangswerte $y ∈ \{0, \, 1\} \text{:} \, L(x\|y) = L(y\|x)$ bzw. $L_{\rm R}(y) = L_{\rm V}(y)$?		{Unter welchen Voraussetzungen gilt für das Rückschluss–LLR für alle möglichen Ausgangswerte $y ∈ \{0, \, 1\} \text{:} \, L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y) = L(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x)$ bzw. $L_{\rm R}(y) = L_{\rm V}(y)$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Für jede beliebige Eingangsverteilung ${\rm Pr}(x = 0), \ {\rm Pr}(x = 1)$.		- Für jede beliebige Eingangsverteilung ${\rm Pr}(x = 0), \ {\rm Pr}(x = 1)$.
Zeile 65:		Zeile 71:
	{Das Ausgangssymbol sei $y = 1$. Welches Rückschluss–LLR erhält man mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\epsilon = 0.1$ bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?		{Das Ausgangssymbol sei $y = 1$. Welches Rückschluss–LLR erhält man mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\epsilon = 0.1$ bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\~~epsilon~~ = 0.1 \text{:} \hspace{0.2cm} L_{\rm R}(y = 1) = L(x \| y = 1) \ = \ ${ -2.26291--2.13109 }		$\varepsilon = 0.1 \text{:} \hspace{0.2cm} L_{\rm R}(y = 1) = L(x \| y = 1) \ = \ ${ -2.26291--2.13109 }

	{Das Ausgangssymbol sei nun $y = 0$. Welches Rückschluss–LLR erhält man für ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2$?		{Das Ausgangssymbol sei nun $y = 0$. Welches Rückschluss–LLR erhält man für ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2$?
Zeile 71:		Zeile 77:
	$\epsilon = 0.1 \text{:} \hspace{0.2cm} L_{\rm R}(y = 0) = L(x \| y = 0) \ = \ ${ 0.815 3% }		$\epsilon = 0.1 \text{:} \hspace{0.2cm} L_{\rm R}(y = 0) = L(x \| y = 0) \ = \ ${ 0.815 3% }

	{Lässt sich das unter (3) hergeleitete Ergebnis  ⇒  $L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$ auch auf den &bdquo;2–auf–$M$”Kanal übertragen?		{Lässt sich das unter (3) hergeleitete Ergebnis   ⇒   $L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$ auch auf den &bdquo;2–auf–$M$”Kanal übertragen?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	+ Ja.		+ Ja.

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.1 Zum „Log Likelihood Ratio” nach Aufgaben:Aufgabe 4.1: Zum „Log Likelihood Ratio”

2018-01-04T06:50:51Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.1 Zum „Log Likelihood Ratio” nach Aufgaben:Aufgabe 4.1: Zum „Log Likelihood Ratio”

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(kein Unterschied)

Hussain am 16. Dezember 2017 um 14:59 Uhr

2017-12-16T14:59:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Dezember 2017, 16:59 Uhr
Zeile 102:		Zeile 102:
	{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y=0)}{{\rm Pr}(x = 1\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y=0)} = $$		{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y=0)}{{\rm Pr}(x = 1\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y=0)} = $$
	:$$\hspace{2cm} = \ \hspace{-0.15cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)}{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)\cdot {\rm Pr}(x = 1) / {\rm Pr}(y = 0)} = $$		:$$\hspace{2cm} = \ \hspace{-0.15cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)}{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)\cdot {\rm Pr}(x = 1) / {\rm Pr}(y = 0)} = $$
	:$$\ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) }{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)} +		:$$\hspace{2cm} = \ \hspace{-0.15cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) }{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)} +
	{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x=0) }{{\rm Pr}(x = 1)}$$		{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x=0) }{{\rm Pr}(x = 1)}$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0) = L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y= 0) = L_{\rm V}(y= 0) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0) = L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y= 0) = L_{\rm V}(y= 0) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$

← Nächstältere Version		Version vom 16. Dezember 2017, 16:59 Uhr
Zeile 102:		Zeile 102:
	{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y=0)}{{\rm Pr}(x = 1\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y=0)} = $$		{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y=0)}{{\rm Pr}(x = 1\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y=0)} = $$
	:$$\hspace{2cm} = \ \hspace{-0.15cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)}{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)\cdot {\rm Pr}(x = 1) / {\rm Pr}(y = 0)} = $$		:$$\hspace{2cm} = \ \hspace{-0.15cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)}{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)\cdot {\rm Pr}(x = 1) / {\rm Pr}(y = 0)} = $$
	:$$\ = \ \hspace{-0.15cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) }{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)} +		:$$\hspace{2cm} = \ \hspace{-0.15cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) }{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)} +
	{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x=0) }{{\rm Pr}(x = 1)}$$		{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x=0) }{{\rm Pr}(x = 1)}$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0) = L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y= 0) = L_{\rm V}(y= 0) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0) = L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y= 0) = L_{\rm V}(y= 0) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$

← Nächstältere Version		Version vom 4. Juli 2019, 16:28 Uhr
Zeile 105:		Zeile 105:


	'''(2)'''  Mit $A$  ⇒  &bdquo;$x = 0$” und $B$  ⇒  &bdquo;$y = 0$” ergibt sich sofort die Gleichung gemäß <u>Lösungsvorschlag 1</u>:		'''(2)'''  Mit  $A$  ⇒  &bdquo;$x = 0$” und  $B$  ⇒  &bdquo;$y = 0$” ergibt sich sofort die Gleichung gemäß <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
	:$${\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} y = 0) =		:$${\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} y = 0) =
	{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} x = 0) \cdot \frac{{\rm Pr}(x = 0)}{{\rm Pr}(y = 0)}\hspace{0.05cm}.$$		{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} x = 0) \cdot \frac{{\rm Pr}(x = 0)}{{\rm Pr}(y = 0)}\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 111:		Zeile 111:

	'''(3)'''  Wir berechnen den $L$–Wert der Rückschlusswahrscheinlichkeiten. Unter der Annahme $y = 0$ gilt:		'''(3)'''  Wir berechnen den $L$–Wert der Rückschlusswahrscheinlichkeiten. Unter der Annahme $y = 0$ gilt:
	:$$L_{\rm R}(y= 0) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y= 0)		:$$L_{\rm R}(y= 0) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y= 0)=
	{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y=0)}{{\rm Pr}(x = 1\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y=0)} = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)}{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)\cdot {\rm Pr}(x = 1) / {\rm Pr}(y = 0)} $$		{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y=0)}{{\rm Pr}(x = 1\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y=0)} = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) \cdot {\rm Pr}(x = 0) / {\rm Pr}(y = 0)}{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)\cdot {\rm Pr}(x = 1) / {\rm Pr}(y = 0)} $$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0)= = {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) }{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)} +		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0)= {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x=0) }{{\rm Pr}(y = 0\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x = 1)} +
	{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x=0) }{{\rm Pr}(x = 1)}$$		{\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}(x=0) }{{\rm Pr}(x = 1)}$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0) = L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y= 0) = L_{\rm V}(y= 0) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L_{\rm R}(y= 0) = L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y= 0) = L_{\rm V}(y= 0) + L_{\rm A}(x)\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 134:		Zeile 134:


	'''(4)'''  Der Aufgabenbeschreibung können Sie entnehmen, dass mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0.1$ der Ausgangswert $y = 1$ zum Vorwärts–LLR $L_{\rm V}(y = 1) = \, –2.197$ führt. Wegen ${\rm Pr}(x = 0) = 1/2 \ \Rightarrow \ L_{\rm A}(x) = 0$ gilt somit auch:		'''(4)'''  Der Aufgabenbeschreibung können Sie entnehmen, dass mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0.1$ der Ausgangswert $y = 1$ zum Vorwärts–LLR $L_{\rm V}(y = 1) = \, –2.197$ führt.

			*Wegen ${\rm Pr}(x = 0) = 1/2 \ \Rightarrow \ L_{\rm A}(x) = 0$ gilt somit auch:
	:$$L_{\rm R}(y = 1) = L_{\rm V}(y = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= -2.197}\hspace{0.05cm}.$$		:$$L_{\rm R}(y = 1) = L_{\rm V}(y = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= -2.197}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(5)'''  Bei gleicher Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0.1$ unterscheidet sich $L_{\rm V}(y = 0)$ von $L_{\rm V}(y = 1)$ nur durch das Vorzeichen. ~~<br>~~Mit ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2 \ \Rightarrow \ L_{\rm A}(x) = \, -1.382$ erhält man somit:		'''(5)'''  Bei gleicher Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0.1$ unterscheidet sich $L_{\rm V}(y = 0)$ von $L_{\rm V}(y = 1)$ nur durch das Vorzeichen.
			*Mit ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2 \ \Rightarrow \ L_{\rm A}(x) = \, -1.382$ erhält man somit:
	:$$L_{\rm R}(y = 0) = (+)2.197 - 1.382 \hspace{0.15cm}\underline{=+0.815}\hspace{0.05cm}.$$		:$$L_{\rm R}(y = 0) = (+)2.197 - 1.382 \hspace{0.15cm}\underline{=+0.815}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(6)'''  Wie Sie sicher gerne nachprüfen werden, gilt der Zusammenhang $L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$ auch für den &bdquo;2–auf–$M$–Kanal”, unabhängig vom Umfang $M$ des Ausgangsalphabets   ⇒   <u>Antwort Ja</u>.
			'''(6)'''  Wie Sie sicher gerne nachprüfen werden, gilt der Zusammenhang  $L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$  auch für den &bdquo;2–auf–$M$–Kanal”, unabhängig vom Umfang  $M$  des Ausgangsalphabets   ⇒   <u>Antwort Ja</u>.



	'''(7)'''  Der AWGN–Kanal wird durch den skizzierten &bdquo;2–auf–$M$–Kanal” mit $M → ∞$ ebenfalls beschrieben   ⇒   <u>Antwort Ja</u>.		'''(7)'''  Der AWGN–Kanal wird durch den skizzierten &bdquo;2–auf–$M$–Kanal” mit  $M → ∞$  ebenfalls beschrieben   ⇒   <u>Antwort Ja</u>.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}


	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^4.1 Soft–in Soft–out Decoder^]]		[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^4.1 Soft–in Soft–out Decoder^]]

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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder~~#Hard_Decision_vs._Soft_Decision~~\| Soft–in Soft–out Decoder]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Kanalcodierung/Soft%E2%80%93in_Soft%E2%80%93out_Decoder\| Soft–in Soft–out Decoder]].
	* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio\| Zuverlässigkeitsinformation – Log Likelihood Ratio]].		* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Kanalcodierung/Soft–in_Soft–out_Decoder#Zuverl.C3.A4ssigkeitsinformation_.E2.80.93_Log_Likelihood_Ratio\| Zuverlässigkeitsinformation – Log Likelihood Ratio]].
	* In den letzten Teilaufgaben ist zu klären, ob die gefundenen Zusammenhänge zwischen $L_{\rm A}, \ L_{\rm V}$ und $L_{\rm R}$ auch auf den unten skizzierten &bdquo;2–auf–$M$–Kanal” übertragen werden können.		* In den letzten Teilaufgaben ist zu klären, ob die gefundenen Zusammenhänge zwischen $L_{\rm A}, \ L_{\rm V}$ und $L_{\rm R}$ auch auf den unten skizzierten &bdquo;2–auf–$M$–Kanal” übertragen werden können.
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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie hängen die bedingten Wahrscheinlichkeiten zweier Zufallsgrößen $A$ und $B$ zusammen?		{Wie hängen die bedingten Wahrscheinlichkeiten zweier Zufallsgrößen $A$ und $B$ zusammen?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) = {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} A)$,		- ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} B) = {\rm Pr}(B \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} A)$,
	- ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}B) = {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(B) / {\rm Pr}(A)$,		- ${\rm Pr}(A\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}B) = {\rm Pr}(B\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} A) \cdot {\rm Pr}(B) / {\rm Pr}(A)$,
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	- ${\rm Pr}(x = 0 \| y = 0) = {\rm Pr}(y = 0 \| x = 0) \cdot {\rm Pr}(y = 0) / {\rm Pr}(x = 0)$.		- ${\rm Pr}(x = 0 \| y = 0) = {\rm Pr}(y = 0 \| x = 0) \cdot {\rm Pr}(y = 0) / {\rm Pr}(x = 0)$.

	{Unter welchen Voraussetzungen gilt für das Rückschluss–LLR für alle möglichen Ausgangswerte $y ∈ \{0, \, 1\} ~~\text{~~:~~} \,~~ L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y) = L(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x)$ bzw. $L_{\rm R}(y) = L_{\rm V}(y)$?		{Unter welchen Voraussetzungen gilt für das Rückschluss–LLR für alle möglichen Ausgangswerte $y ∈ \{0, \, 1\}$: <br>  &nbs; $L(x\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}y) = L(y\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}x)$ bzw. $L_{\rm R}(y) = L_{\rm V}(y)$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Für jede beliebige Eingangsverteilung ${\rm Pr}(x = 0), \ {\rm Pr}(x = 1)$.		- Für jede beliebige Eingangsverteilung ${\rm Pr}(x = 0), \ {\rm Pr}(x = 1)$.
	+ Nur für die Gleichverteilung: $\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(x = 0) = {\rm Pr}(x = 1) = 1/2$.		+ Nur für die Gleichverteilung: $\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(x = 0) = {\rm Pr}(x = 1) = 1/2$.

	{Das Ausgangssymbol sei $y = 1$. Welches Rückschluss–LLR erhält man mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\~~epsilon~~ = 0.1$ bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?		{Das Ausgangssymbol sei $y = 1$. Welches Rückschluss–LLR erhält man mit der Verfälschungswahrscheinlichkeit $\varepsilon = 0.1$ bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$~~\varepsilon = 0.1 \text{:} \hspace{0.2cm}~~ L_{\rm R}(y = 1) = L(x \| y = 1) \ = \ ${ -2.26291--2.13109 }		$L_{\rm R}(y = 1) = L(x \| y = 1) \ = \ ${ -2.26291--2.13109 }

	{Das Ausgangssymbol sei nun $y = 0$. Welches Rückschluss–LLR erhält man für ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2$?		{Das Ausgangssymbol sei nun $y = 0$. Welches Rückschluss–LLR erhält man für ${\rm Pr}(x = 0) = 0.2$ und $\varepsilon = 0.1$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$~~\epsilon = 0.1 \text{:} \hspace{0.2cm}~~ L_{\rm R}(y = 0) = L(x \| y = 0) \ = \ ${ 0.815 3% }		$L_{\rm R}(y = 0) = L(x \| y = 0) \ = \ ${ 0.815 3% }

	{Lässt sich das unter (3) hergeleitete Ergebnis   ⇒   $L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$ auch auf den &bdquo;2–auf–$M$”Kanal übertragen?		{Lässt sich das unter (3) hergeleitete Ergebnis   ⇒   $L_{\rm R} = L_{\rm V} + L_{\rm A}$ auch auf den &bdquo;2–auf–$M$”Kanal übertragen?