Aufgaben:Aufgabe 4.1: WDF, VTF und Wahrscheinlichkeit - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:37:26Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:37 Uhr
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	[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|^4.1 Differentielle Entropie^]]		[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|^4.1 Differentielle Entropie^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.1:_PDF,_CDF_and_Probability]]

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2026-02-24T13:39:45Z

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Zeile 18:		Zeile 18:

	Die untere Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion		Die untere Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
	:$$ f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.1cm}1/2 \cdot \cos^2(\pi/4 \cdot y) \\ \hspace{0.1cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{20}l} \| y\| \le 2, \\		:$$ f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.1cm}1/2 \cdot \cos^2(\pi/4 \cdot y) \\ \hspace{0.1cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{20}l} \| y\| \le 2, \\ y < -2 \hspace{0.1cm}{\rm und}\hspace{0.1cm}y > +2 \\ \end{array}$$
	y < -2 \hspace{0.1cm}{\rm und}\hspace{0.1cm}y > +2 \\ \end{array}$$
	einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße  $Y$,  die auf den Bereich  $\|Y\| \le 2$  begrenzt ist.		einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße  $Y$,  die auf den Bereich  $\|Y\| \le 2$  begrenzt ist.

Zeile 25:		Zeile 24:

	Beispielsweise kann bei der kontinuierlichen Zufallsgröße  $Y$  in obiger Gleichung auf den Grenzübergang verzichtet werden, und man erhält vereinfacht:		Beispielsweise kann bei der kontinuierlichen Zufallsgröße  $Y$  in obiger Gleichung auf den Grenzübergang verzichtet werden, und man erhält vereinfacht:
	:$${\rm Pr}(A \le Y \le B) = F_Y(B) - F_Y(A) =\int_{A}^{B} \hspace{-0.01cm} f_Y(y)		:$${\rm Pr}(A \le Y \le B) = F_Y(B) - F_Y(A) =\int_{A}^{B} \hspace{-0.01cm} f_Y(y)\hspace{0.1cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.1cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$


Zeile 89:		Zeile 87:
	*Die Umkehrung lautet:   Ist die VTF gegeben, so erhält man die WDF durch Differentiation.		*Die Umkehrung lautet:   Ist die VTF gegeben, so erhält man die WDF durch Differentiation.
	*Die vorgegebene VTF beinhaltet fünf Unstetigkeitsstellen, die nach der Differentiation zu fünf Diracfunktionen führen:		*Die vorgegebene VTF beinhaltet fünf Unstetigkeitsstellen, die nach der Differentiation zu fünf Diracfunktionen führen:
	:$$f_X(x) = 0.1 \cdot {\rm \delta}( x+2)		:$$f_X(x) = 0.1 \cdot {\rm \delta}( x+2) + 0.2 \cdot {\rm \delta}( x+1) + 0.4 \cdot {\rm \delta}( x) + 0.2 \cdot {\rm \delta}( x-1) + 0.1 \cdot {\rm \delta}( x-2)\hspace{0.05cm}.$$
	+ 0.2 \cdot {\rm \delta}( x+1)
	+ 0.4 \cdot {\rm \delta}( x) + 0.2 \cdot {\rm \delta}( x-1)
	+ 0.1 \cdot {\rm \delta}( x-2)\hspace{0.05cm}.$$
	*Die Diracgewichte geben die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Zufallsgröße  $X = \{-2,\ -1,\ 0,\ +1,\ +2\}$ an, <br>zum Beispiel:		*Die Diracgewichte geben die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Zufallsgröße  $X = \{-2,\ -1,\ 0,\ +1,\ +2\}$ an, <br>zum Beispiel:
	:$${\rm Pr}(X = 0) = F_X(x \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{+}) - F_X(x \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{-}) =		:$${\rm Pr}(X = 0) = F_X(x \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{+}) - F_X(x \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{-}) =0.7 - 0.3 = 0.4\hspace{0.05cm}.$$
	0.7 - 0.3 = 0.4\hspace{0.05cm}.$$
	*Dementsprechend lauten die weiteren Wahrscheinlichkeiten:		*Dementsprechend lauten die weiteren Wahrscheinlichkeiten:
	:$${\rm Pr}(X = +1) = {\rm Pr}(X = -1) = 0.2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}		:$${\rm Pr}(X = +1) = {\rm Pr}(X = -1) = 0.2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}{\rm Pr}(X = +2) = {\rm Pr}(X = -2) = 0.1\hspace{0.05cm}.$$
	{\rm Pr}(X = +2) = {\rm Pr}(X = -2) = 0.1\hspace{0.05cm}.$$



	'''(2)'''  Aus der eben berechneten WDF erhält man:		'''(2)'''  Aus der eben berechneten WDF erhält man:
	:$${\rm Pr}(X >0) = {\rm Pr}(X = +1) + {\rm Pr}(X = +2)		:$${\rm Pr}(X >0) = {\rm Pr}(X = +1) + {\rm Pr}(X = +2)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}\hspace{0.05cm},$$
	\hspace{0.15cm}\underline {= 0.3}\hspace{0.05cm},$$		:$${\rm Pr}(\|X\| \le 1) ={\rm Pr}(X = -1) + {\rm Pr}(X = 0) + {\rm Pr}(X = +1) = 0.2 + 0.4 +0.2\hspace{0.15cm}\underline {= 0.8}\hspace{0.05cm}.$$
	:$${\rm Pr}(\|X\| \le 1) ={\rm Pr}(X = -1) + {\rm Pr}(X = 0) + {\rm Pr}(X = +1) = 0.2 + 0.4 +0.2
	\hspace{0.15cm}\underline {= 0.8}\hspace{0.05cm}.$$

	Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Verteilungsfunktion.  Hier lautet die allgemeine Gleichung, die für wertdiskrete und wertkontinuierliche Zufallsgrößen gleichermaßen gilt:		Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Verteilungsfunktion.  Hier lautet die allgemeine Gleichung, die für wertdiskrete und wertkontinuierliche Zufallsgrößen gleichermaßen gilt:
Zeile 134:		Zeile 125:
	*Berücksichtigt wurde, dass man bei der kontinuierlichen Zufallsgröße  $Y$  das &bdquo;<”–Zeichen ohne Verfälschung durch das &bdquo;≤”–Zeichen ersetzen kann.		*Berücksichtigt wurde, dass man bei der kontinuierlichen Zufallsgröße  $Y$  das &bdquo;<”–Zeichen ohne Verfälschung durch das &bdquo;≤”–Zeichen ersetzen kann.
	*Mit dem Grenzübergang  $\varepsilon \to 0$  ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit:		*Mit dem Grenzübergang  $\varepsilon \to 0$  ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
	:$${\rm Pr}(Y = 0) =\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm}{\rm Pr}(-\varepsilon \le Y \le +\varepsilon) =		:$${\rm Pr}(Y = 0) =\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm}{\rm Pr}(-\varepsilon \le Y \le +\varepsilon) = \lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(+\varepsilon) - \lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(-\varepsilon) =F_Y(y \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{+}) - F_Y(y \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{-})\hspace{0.05cm}.$$
	\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(+\varepsilon) - \lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(-\varepsilon) =
	F_Y(y \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{+}) - F_Y(y \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{-})\hspace{0.05cm}.$$

	*Da bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße die beiden Grenzwerte gleich sind,  gilt $\underline{{\rm Pr}(Y = 0) = 0}$.		*Da bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße die beiden Grenzwerte gleich sind,  gilt $\underline{{\rm Pr}(Y = 0) = 0}$.
Zeile 155:		Zeile 144:
	'''(6)'''  Wir gehen wieder von der von der für die kontinuierliche Zufallsgröße  $Y$  gültigen Gleichung   $ {\rm Pr}(A \le Y \le B) = F_Y(B) - F_Y(A)$  aus:		'''(6)'''  Wir gehen wieder von der von der für die kontinuierliche Zufallsgröße  $Y$  gültigen Gleichung   $ {\rm Pr}(A \le Y \le B) = F_Y(B) - F_Y(A)$  aus:
	*Mit  $A = 0$  und  $B \to \infty$  $($bzw.  $B = 2)$  erhält man:		*Mit  $A = 0$  und  $B \to \infty$  $($bzw.  $B = 2)$  erhält man:
	:$${\rm Pr}( Y > 0) = {\rm Pr}(0 \le Y \le \infty)		:$${\rm Pr}( Y > 0) = {\rm Pr}(0 \le Y \le \infty) = {\rm Pr}(0 \le Y \le 2) = F_Y(2) - F_Y(0) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5}\hspace{0.05cm}.$$
	= {\rm Pr}(0 \le Y \le 2) = F_Y(2) - F_Y(0)
	\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5}\hspace{0.05cm}.$$
	*Bei der symmetrischen kontinuierlichen Zufallsgröße  $Y$  ist also tatsächlich erwartungsgemäß  ${\rm Pr}( Y > 0) = 1/2$.		*Bei der symmetrischen kontinuierlichen Zufallsgröße  $Y$  ist also tatsächlich erwartungsgemäß  ${\rm Pr}( Y > 0) = 1/2$.
	*Obwohl auch die wertdiskrete Zufallsgröße  $X$  symmetrisch um  $x= 0$  ist, wurde in der Teilaufgabe  '''(3)'''  dagegen  ${\rm Pr}( X > 0) = 0.3$  ermittelt.		*Obwohl auch die wertdiskrete Zufallsgröße  $X$  symmetrisch um  $x= 0$  ist, wurde in der Teilaufgabe  '''(3)'''  dagegen  ${\rm Pr}( X > 0) = 0.3$  ermittelt.
	*Weiter erhält man mit  $A = -1$  und  $B = +1$  wegen  $F_Y(-1) = 1- F_Y(+1)$:		*Weiter erhält man mit  $A = -1$  und  $B = +1$  wegen  $F_Y(-1) = 1- F_Y(+1)$:
	:$${\rm Pr}( \|Y\| \le 1) = {\rm Pr}(-1 \le Y \le +1)		:$${\rm Pr}( \|Y\| \le 1) = {\rm Pr}(-1 \le Y \le +1) = F_Y(+1) - F_Y(-1) = 2 \cdot F_Y(+1) -1 = 2 \cdot 0.909 -1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.818}. $$
	= F_Y(+1) - F_Y(-1) = 2 \cdot F_Y(+1) -1 = 2 \cdot 0.909 -1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.818}. $$

Guenter am 24. September 2021 um 12:40 Uhr

2021-09-24T12:40:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. September 2021, 14:40 Uhr
Zeile 84:		Zeile 84:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	[[Datei:P_ID2857__Inf_A_4_1a_neu.png\|right\|frame\|WDF und VTF der diskreten Zufallsgröße  $X$]]		[[Datei:P_ID2857__Inf_A_4_1a_neu.png\|right\|frame\|WDF und VTF der <br>diskreten Zufallsgröße  $X$]]
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
	*Die Verteilungsfunktion (VTF)  $F_X(x)$  ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $f_X(x)$  durch Integration über die (umbenannte) Zufallsgröße im Bereich von  $- \infty$  bis  $x$.		*Die Verteilungsfunktion (VTF)  $F_X(x)$  ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $f_X(x)$  durch Integration über die (umbenannte) Zufallsgröße im Bereich von  $- \infty$  bis  $x$.
Zeile 138:		Zeile 138:
	F_Y(y \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{+}) - F_Y(y \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{-})\hspace{0.05cm}.$$		F_Y(y \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{+}) - F_Y(y \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{-})\hspace{0.05cm}.$$

	*Da bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße die beiden Grenzwerte gleich sind, gilt $\underline{{\rm Pr}(Y = 0) = 0}$.		*Da bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße die beiden Grenzwerte gleich sind,  gilt $\underline{{\rm Pr}(Y = 0) = 0}$.


	'''Allgemein gilt''':   Die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(Y = y_0)$, dass eine wertkontinuierliche Zufallsgröße  $Y$  einen festen Wert  $y_0$  annimmt, ist stets Null.		'''Allgemein gilt''':   Die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(Y = y_0)$,  dass eine wertkontinuierliche Zufallsgröße  $Y$  einen festen Wert  $y_0$  annimmt, ist stets Null.

Guenter am 24. September 2021 um 12:30 Uhr

2021-09-24T12:30:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. September 2021, 14:30 Uhr
Zeile 20:		Zeile 20:
	:$$ f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.1cm}1/2 \cdot \cos^2(\pi/4 \cdot y) \\ \hspace{0.1cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{20}l} \| y\| \le 2, \\		:$$ f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.1cm}1/2 \cdot \cos^2(\pi/4 \cdot y) \\ \hspace{0.1cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{20}l} \| y\| \le 2, \\
	y < -2 \hspace{0.1cm}{\rm und}\hspace{0.1cm}y > +2 \\ \end{array}$$		y < -2 \hspace{0.1cm}{\rm und}\hspace{0.1cm}y > +2 \\ \end{array}$$
	einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße  $Y$, die auf den Bereich  $\|Y\| \le 2$  begrenzt ist.		einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße  $Y$,  die auf den Bereich  $\|Y\| \le 2$  begrenzt ist.

	Prinzipiell besteht bei der kontinuierlichen Zufallsgröße  $Y$  der gleiche Zusammenhang zwischen WDF, VTF und Wahrscheinlichkeiten wie bei einer diskreten Zufallsgröße.  Sie werden trotzdem einige Detailunterschiede feststellen.		Prinzipiell besteht bei der kontinuierlichen Zufallsgröße  $Y$  der gleiche Zusammenhang zwischen WDF, VTF und den Wahrscheinlichkeiten wie bei einer diskreten Zufallsgröße.  Sie werden trotzdem einige Detailunterschiede feststellen.

	Beispielsweise kann bei der kontinuierlichen Zufallsgröße  $Y$  in obiger Gleichung auf den Grenzübergang verzichtet werden, und man erhält vereinfacht:		Beispielsweise kann bei der kontinuierlichen Zufallsgröße  $Y$  in obiger Gleichung auf den Grenzübergang verzichtet werden, und man erhält vereinfacht:

Guenter am 10. Februar 2020 um 15:20 Uhr

2020-02-10T15:20:40Z

Guenter am 10. Februar 2020 um 15:02 Uhr

2020-02-10T15:02:08Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. Februar 2020, 17:02 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:
	Zur Wiederholung einiger wichtiger Grundlagen aus dem Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie”		Zur Wiederholung einiger wichtiger Grundlagen aus dem Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie”
	beschäftigen wir uns mit		beschäftigen wir uns mit
	* der [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] (WDF),		* der  [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion\|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] (WDF),
	* der [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion\|Verteilungsfunktion]] (VTF).		* der  [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion\|Verteilungsfunktion]] (VTF).


	Die obere Darstellung zeigt die Verteilungsfunktion $F_X(x)$ einer wertdiskreten Zufallsgröße $X$. Die zugehörige WDF $f_X(x)$ ist in der Teilaufgabe '''(1)''' zu bestimmen.		Die obere Darstellung zeigt die Verteilungsfunktion  $F_X(x)$  einer wertdiskreten Zufallsgröße  $X$.  Die zugehörige WDF  $f_X(x)$  ist in der Teilaufgabe  '''(1)'''  zu bestimmen.

	Die Gleichung		Die Gleichung
	:$$ {\rm Pr}(A < X \le B) = F_X(B) - F_X(A) = \lim_{\varepsilon \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0} \int_{A+\varepsilon}^{B+\varepsilon} \hspace{-0.15cm} f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x $$		:$$ {\rm Pr}(A < X \le B) = F_X(B) - F_X(A) = \lim_{\varepsilon \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0} \int_{A+\varepsilon}^{B+\varepsilon} \hspace{-0.15cm} f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x $$

	stellt zwei Möglichkeiten dar, um aus der VTF bzw. der WDF die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Die Zufallsgröße $X$ liegt in einem vorgegebenem Intervall” zu berechnen.		stellt zwei Möglichkeiten dar, um aus der VTF bzw. der WDF die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis  „Die Zufallsgröße  $X$  liegt in einem vorgegebenem Intervall”  zu berechnen.

	Die untere Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion		Die untere Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
	:$$ f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.1cm}1/2 \cdot \cos^2(\pi/4 \cdot y) \\ \hspace{0.1cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{20}l} \| y\| \le 2, \\		:$$ f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.1cm}1/2 \cdot \cos^2(\pi/4 \cdot y) \\ \hspace{0.1cm} 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{20}c} {\rm{f\ddot{u}r}} \\ {\rm{f\ddot{u}r}} \\ \end{array}\begin{array}{{20}l} \| y\| \le 2, \\
	y < -2 \hspace{0.1cm}{\rm und}\hspace{0.1cm}y > +2 \\ \end{array}$$		y < -2 \hspace{0.1cm}{\rm und}\hspace{0.1cm}y > +2 \\ \end{array}$$
	einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße $Y$, die auf den Bereich $\|Y\| \le 2$ begrenzt ist.		einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße  $Y$, die auf den Bereich  $\|Y\| \le 2$  begrenzt ist.

	Prinzipiell besteht bei der kontinuierlichen Zufallsgröße $Y$ der gleiche Zusammenhang zwischen WDF, VTF und Wahrscheinlichkeiten wie bei einer diskreten Zufallsgröße. Sie werden trotzdem einige Detailunterschiede feststellen.		Prinzipiell besteht bei der kontinuierlichen Zufallsgröße  $Y$  der gleiche Zusammenhang zwischen WDF, VTF und Wahrscheinlichkeiten wie bei einer diskreten Zufallsgröße.  Sie werden trotzdem einige Detailunterschiede feststellen.

	Beispielsweise kann bei der kontinuierlichen Zufallsgröße $Y$ in obiger Gleichung auf den Grenzübergang verzichtet werden, und man erhält vereinfacht:		Beispielsweise kann bei der kontinuierlichen Zufallsgröße  $Y$  in obiger Gleichung auf den Grenzübergang verzichtet werden, und man erhält vereinfacht:
	:$${\rm Pr}(A \le Y \le B) = F_Y(B) - F_Y(A) =\int_{A}^{B} \hspace{-0.01cm} f_Y(y)		:$${\rm Pr}(A \le Y \le B) = F_Y(B) - F_Y(A) =\int_{A}^{B} \hspace{-0.01cm} f_Y(y)
	\hspace{0.1cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.1cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$





Zeile 34:		Zeile 37:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie\|Differentielle Entropie]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie\|Differentielle Entropie]].
	*Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im dritten Kapitel &bdquo;Kontinuierliche Zufallsgrößen” des Buches [[Stochastische Signaltheorie]].		*Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im dritten Kapitel &bdquo;Kontinuierliche Zufallsgrößen” des Buches  [[Stochastische Signaltheorie]].

	*Gegeben ist zudem das folgende unbstimmte Integral:		*Gegeben ist zudem das folgende unbstimmte Integral:
Zeile 45:		Zeile 48:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Bestimmen Sie die WDF $f_X(x)$ der wertdiskreten Zufallsgröße $X$. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?		{Bestimmen Sie die WDF  $f_X(x)$  der wertdiskreten Zufallsgröße  $X$.  Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Die WDF setzt sich aus fünf Diracfunktionen zusammen.		+ Die WDF setzt sich aus fünf Diracfunktionen zusammen.
Zeile 57:		Zeile 60:
	${\rm Pr}(\|X\| ≤ 1) \ = \ $ { 0.8 3% }		${\rm Pr}(\|X\| ≤ 1) \ = \ $ { 0.8 3% }

	{Welche Werte ergeben sich für die Verteilungsfunktion  $F_Y(y) ={\rm Pr}(Y \le y)$ der wertkontinuierlichen Zufallsgröße $Y$, insbesondere:		{Welche Werte ergeben sich für die Verteilungsfunktion  $F_Y(y) ={\rm Pr}(Y \le y)$  der wertkontinuierlichen Zufallsgröße  $Y$,  insbesondere:
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$F_Y(y = 0) \ = \ $ { 0.5 3% }		$F_Y(y = 0) \ = \ $ { 0.5 3% }
Zeile 63:		Zeile 66:
	$F_Y(y = 2) \ = \ $ { 1 3% }		$F_Y(y = 2) \ = \ $ { 1 3% }

	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $Y = 0$ ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $Y = 0$  ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(Y = 0) \ = \ $ { 0. }		${\rm Pr}(Y = 0) \ = \ $ { 0. }
Zeile 69:		Zeile 72:
	{Welche der folgenden Aussagen sind richtig?		{Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Das Ergebnis  $Y = 0$ ist unmöglich.		- Das Ergebnis  $Y = 0$  ist unmöglich.
	+ Das Ergebnis  $Y = 3$ ist unmöglich.		+ Das Ergebnis  $Y = 3$  ist unmöglich.

	{Wie groß sind die folgenden Wahrscheinlichkeiten?		{Wie groß sind die folgenden Wahrscheinlichkeiten?

Guenter am 16. Oktober 2018 um 08:38 Uhr

2018-10-16T08:38:20Z

Guenter am 16. Oktober 2018 um 08:30 Uhr

2018-10-16T08:30:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Oktober 2018, 10:30 Uhr
Zeile 60:		Zeile 60:
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$F_Y(y = 0) \ = \ $ { 0.5 3% }		$F_Y(y = 0) \ = \ $ { 0.5 3% }
	$F_Y(y = 1) \ = \ $ { 1 3% }		$F_Y(y = 1) \ = \ $ { 0.909 3% }
	$F_Y(y = 2) \ = \ $ { ~~0.909~~ 3% }		$F_Y(y = 2) \ = \ $ { 1 3% }

	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $Y = 0$ ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $Y = 0$ ist?

Guenter am 16. Oktober 2018 um 08:13 Uhr

2018-10-16T08:13:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Oktober 2018, 10:13 Uhr
Zeile 35:		Zeile 35:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie\|Differentielle Entropie]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie\|Differentielle Entropie]].
	*Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im Kapitel &bdquo;Kontinuierliche Zufallsgrößen” des Buches [[Stochastische Signaltheorie]].		*Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im dritten Kapitel &bdquo;Kontinuierliche Zufallsgrößen” des Buches [[Stochastische Signaltheorie]].

	*Gegeben ist zudem das folgende unbstimmte Integral:		*Gegeben ist zudem das folgende unbstimmte Integral:
Zeile 48:		Zeile 48:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Die WDF setzt sich aus fünf Diracfunktionen zusammen.		+ Die WDF setzt sich aus fünf Diracfunktionen zusammen.
	+ Es gilt ${\rm Pr}(X= 0) = 0.4$ und ${\rm Pr}(X= 1) = 0.2$.		+ Es gilt  ${\rm Pr}(X= 0) = 0.4$  und  ${\rm Pr}(X= 1) = 0.2$.
	- Es gilt ${\rm Pr}(X= 2) = 0.4$.		- Es gilt  ${\rm Pr}(X= 2) = 0.4$.


Zeile 57:		Zeile 57:
	${\rm Pr}(\|X\| ≤ 1) \ = \ $ { 0.8 3% }		${\rm Pr}(\|X\| ≤ 1) \ = \ $ { 0.8 3% }

	{Welche Werte ergeben sich für die Verteilungsfunktion $F_Y(y) ={\rm Pr}(Y \le y)$ der wertkontinuierlichen Zufallsgröße $Y$, insbesondere:		{Welche Werte ergeben sich für die Verteilungsfunktion  $F_Y(y) ={\rm Pr}(Y \le y)$ der wertkontinuierlichen Zufallsgröße $Y$, insbesondere:
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$F_Y(y = 0) \ = \ $ { 0.5 3% }		$F_Y(y = 0) \ = \ $ { 0.5 3% }
Zeile 63:		Zeile 63:
	$F_Y(y = 2) \ = \ $ { 0.909 3% }		$F_Y(y = 2) \ = \ $ { 0.909 3% }

	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $Y = 0$ ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $Y = 0$ ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(Y = 0) \ = \ $ { 0. }		${\rm Pr}(Y = 0) \ = \ $ { 0. }
Zeile 69:		Zeile 69:
	{Welche der folgenden Aussagen sind richtig?		{Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Das Ergebnis $Y = 0$ ist unmöglich.		- Das Ergebnis  $Y = 0$ ist unmöglich.
	+ Das Ergebnis $Y = 3$ ist unmöglich.		+ Das Ergebnis  $Y = 3$ ist unmöglich.

	{Wie groß sind die folgenden Wahrscheinlichkeiten?		{Wie groß sind die folgenden Wahrscheinlichkeiten?

Guenter am 16. Oktober 2018 um 08:09 Uhr

2018-10-16T08:09:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 16. Oktober 2018, 10:09 Uhr
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	Die obere Darstellung zeigt die Verteilungsfunktion $F_X(x)$ einer wertdiskreten Zufallsgröße $X$. Die zugehörige WDF $f_X(x)$ ist in der Teilaufgabe (1) zu bestimmen. Die Gleichung		Die obere Darstellung zeigt die Verteilungsfunktion $F_X(x)$ einer wertdiskreten Zufallsgröße $X$. Die zugehörige WDF $f_X(x)$ ist in der Teilaufgabe '''(1)''' zu bestimmen.

			Die Gleichung
	:$$ {\rm Pr}(A < X \le B) = F_X(B) - F_X(A) = \lim_{\varepsilon \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0} \int_{A+\varepsilon}^{B+\varepsilon} \hspace{-0.15cm} f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x $$		:$$ {\rm Pr}(A < X \le B) = F_X(B) - F_X(A) = \lim_{\varepsilon \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0} \int_{A+\varepsilon}^{B+\varepsilon} \hspace{-0.15cm} f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x $$

Zeile 20:		Zeile 22:
	einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße $Y$, die auf den Bereich $\|Y\| \le 2$ begrenzt ist.		einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße $Y$, die auf den Bereich $\|Y\| \le 2$ begrenzt ist.

	Prinzipiell besteht bei der kontinuierlichen Zufallsgröße $Y$ der gleiche Zusammenhang zwischen WDF, VTF und Wahrscheinlichkeiten wie bei einer diskreten Zufallsgröße. Sie werden trotzdem einige Detailunterschiede feststellen. Beispielsweise kann bei der kontinuierlichen Zufallsgröße $Y$ in obiger Gleichung auf den Grenzübergang verzichtet werden, und man erhält vereinfacht:		Prinzipiell besteht bei der kontinuierlichen Zufallsgröße $Y$ der gleiche Zusammenhang zwischen WDF, VTF und Wahrscheinlichkeiten wie bei einer diskreten Zufallsgröße. Sie werden trotzdem einige Detailunterschiede feststellen.

			Beispielsweise kann bei der kontinuierlichen Zufallsgröße $Y$ in obiger Gleichung auf den Grenzübergang verzichtet werden, und man erhält vereinfacht:
	:$${\rm Pr}(A \le Y \le B) = F_Y(B) - F_Y(A) =\int_{A}^{B} \hspace{-0.01cm} f_Y(y)		:$${\rm Pr}(A \le Y \le B) = F_Y(B) - F_Y(A) =\int_{A}^{B} \hspace{-0.01cm} f_Y(y)
	\hspace{0.1cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.1cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$






	''Hinweise:''		''Hinweise:''

← Nächstältere Version		Version vom 10. Februar 2020, 17:20 Uhr
Zeile 84:		Zeile 84:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	[[Datei:P_ID2857__Inf_A_4_1a_neu.png\|right\|frame\|WDF und VTF der diskreten Zufallsgröße ''X'']]		[[Datei:P_ID2857__Inf_A_4_1a_neu.png\|right\|frame\|WDF und VTF der diskreten Zufallsgröße  $X$]]
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
	*Die Verteilungsfunktion (VTF) $F_X(x)$ ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_X(x)$ durch Integration über die (umbenannte) Zufallsgröße im Bereich von $- \infty$ bis $x$.		*Die Verteilungsfunktion (VTF)  $F_X(x)$  ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $f_X(x)$  durch Integration über die (umbenannte) Zufallsgröße im Bereich von  $- \infty$  bis  $x$.
	*Die Umkehrung lautet:   Ist die VTF gegeben, so erhält man die WDF durch Differentiation.		*Die Umkehrung lautet:   Ist die VTF gegeben, so erhält man die WDF durch Differentiation.
	*Die vorgegebene VTF beinhaltet fünf Unstetigkeitsstellen, die nach der Differentiation zu fünf Diracfunktionen führen:		*Die vorgegebene VTF beinhaltet fünf Unstetigkeitsstellen, die nach der Differentiation zu fünf Diracfunktionen führen:
Zeile 93:		Zeile 93:
	+ 0.4 \cdot {\rm \delta}( x) + 0.2 \cdot {\rm \delta}( x-1)		+ 0.4 \cdot {\rm \delta}( x) + 0.2 \cdot {\rm \delta}( x-1)
	+ 0.1 \cdot {\rm \delta}( x-2)\hspace{0.05cm}.$$		+ 0.1 \cdot {\rm \delta}( x-2)\hspace{0.05cm}.$$
	*Die Diracgewichte geben die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Zufallsgröße $X = \{-2, -1, 0, +1, +2\}$ an, zum Beispiel:		*Die Diracgewichte geben die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Zufallsgröße  $X = \{-2,\ -1,\ 0,\ +1,\ +2\}$ an, <br>zum Beispiel:
	:$${\rm Pr}(X = 0) = F_X(x \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{+}) - F_X(x \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{-}) =		:$${\rm Pr}(X = 0) = F_X(x \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{+}) - F_X(x \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{-}) =
	0.7 - 0.3 = 0.4\hspace{0.05cm}.$$		0.7 - 0.3 = 0.4\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 99:		Zeile 99:
	:$${\rm Pr}(X = +1) = {\rm Pr}(X = -1) = 0.2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}		:$${\rm Pr}(X = +1) = {\rm Pr}(X = -1) = 0.2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
	{\rm Pr}(X = +2) = {\rm Pr}(X = -2) = 0.1\hspace{0.05cm}.$$		{\rm Pr}(X = +2) = {\rm Pr}(X = -2) = 0.1\hspace{0.05cm}.$$



Zeile 107:		Zeile 108:
	\hspace{0.15cm}\underline {= 0.8}\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.15cm}\underline {= 0.8}\hspace{0.05cm}.$$

	Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Verteilungsfunktion. Hier lautet die allgemeine Gleichung, die für wertdiskrete und wertkontinuierliche Zufallsgrößen gleichermaßen gilt:		Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Verteilungsfunktion.  Hier lautet die allgemeine Gleichung, die für wertdiskrete und wertkontinuierliche Zufallsgrößen gleichermaßen gilt:
	:$${\rm Pr}(A < X \le B) =F_X(B) - F_X(A) \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr}(A < X \le B) =F_X(B) - F_X(A) \hspace{0.05cm}.$$

	* Mit $A= 0$ und $B = +2$ erhält man somit:		* Mit  $A= 0$  und  $B = +2$  erhält man somit:
	:$${\rm Pr}(0 < X \le +2) = {\rm Pr}(X >0)= F_X(+2) - F_X(0) = 1 - 0.7 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.3} \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr}(0 < X \le +2) = {\rm Pr}(X >0)= F_X(+2) - F_X(0) = 1 - 0.7 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.3} \hspace{0.05cm}.$$
	*Setzt man $A=-2$ und $B = +1$, so ergibt sich:		*Setzt man $A=-2$ und $B = +1$, so ergibt sich:
Zeile 116:		Zeile 117:


	[[Datei:P_ID2858__Inf_A_4_1c_neu.png\|right\|frame\|WDF und VTF der kontinuierlichen Zufallsgröße ''Y'']]
	'''(3)'''  Die Verteilungsfunktion $F_Y(y)$ ergibt sich aus der (umbenannten) WDF $f_Y(\eta)$ durch Integration von $- \infty$ bis $x$. Aufgrund der Symmetrie kann hierfür im Bereich $0 \le y \le +2$ geschrieben werden:		[[Datei:P_ID2858__Inf_A_4_1c_neu.png\|right\|frame\|WDF und VTF der kontinuierlichen Zufallsgröße  $Y$]]
			'''(3)'''  Die Verteilungsfunktion  $F_Y(y)$  ergibt sich aus der (umbenannten) WDF  $f_Y(\eta)$  durch Integration von  $- \infty$  bis  $x$.  Aufgrund der Symmetrie kann hierfür im Bereich  $0 \le y \le +2$  geschrieben werden:
	:$$F_Y(y) = \int_{-\infty}^{\hspace{0.05cm}y} \hspace{-0.1cm}f_Y(\eta) \hspace{0.1cm}{\rm d}\eta ={1}/{2}+\int_{0}^{\hspace{0.05cm}y} \hspace{-0.1cm}f_Y(\eta) \hspace{0.1cm}{\rm d}\eta$$		:$$F_Y(y) = \int_{-\infty}^{\hspace{0.05cm}y} \hspace{-0.1cm}f_Y(\eta) \hspace{0.1cm}{\rm d}\eta ={1}/{2}+\int_{0}^{\hspace{0.05cm}y} \hspace{-0.1cm}f_Y(\eta) \hspace{0.1cm}{\rm d}\eta$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}F_Y(y) = \frac{1}{2}+\int_{0}^{\hspace{0.05cm}y} \hspace{0.1cm}\frac{1}{2} \cdot \cos^2({\pi}/{4} \cdot \eta) \hspace{0.1cm}{\rm d}\eta = \frac{1}{2}+\frac{y}{4} + \frac{1}{2\pi} \cdot \sin({\pi}/{2} \cdot y).$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}F_Y(y) = \frac{1}{2}+\int_{0}^{\hspace{0.05cm}y} \hspace{0.1cm}\frac{1}{2} \cdot \cos^2({\pi}/{4} \cdot \eta) \hspace{0.1cm}{\rm d}\eta = \frac{1}{2}+\frac{y}{4} + \frac{1}{2\pi} \cdot \sin({\pi}/{2} \cdot y).$$
	Die Gleichung gilt im gesamten Bereich $0 \le y \le +2$. Die gesuchten VTF–Werte sind damit:		Die Gleichung gilt im gesamten Bereich  $0 \le y \le +2$.  Die gesuchten VTF–Werte sind damit:
	*$F_Y(y=0)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}$ (Integral über die halbe WDF),		*$F_Y(y=0)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}$  (Integral über die halbe WDF),
	*$F_Y(y=2)\hspace{0.15cm}\underline{= 1}$ (~~Integral über die gesamte~~ WDF)		*$F_Y(y=1)= 3/4 + 1/(2 \pi)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.909}$  (rot hinterlegte Fläche in der WDF),
	*$F_Y(y=~~1)= 3/4 + 1/(~~2 ~~\pi~~)\hspace{0.15cm}\underline{= ~~0.909~~}$ (~~rot hinterlegte Fläche in der~~ WDF)		*$F_Y(y=2)\hspace{0.15cm}\underline{= 1}$  (Integral über die gesamte WDF).



	'''(4)'''  Die Wahrscheinlichkeit, dass die wertkontinuierliche Zufallsgröße $Y$ im Bereich von $-\varepsilon$ bis $+\varepsilon$ liegt, kann mit der angegebenen Gleichung wie folgt berechnet werden:		'''(4)'''  Die Wahrscheinlichkeit, dass die wertkontinuierliche Zufallsgröße  $Y$  im Bereich von  $-\varepsilon$  bis  $+\varepsilon$  liegt, kann mit der angegebenen Gleichung wie folgt berechnet werden:
	:$${\rm Pr}(-\varepsilon \le Y \le +\varepsilon) = F_Y(+\varepsilon) - F_Y(-\varepsilon) \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr}(-\varepsilon \le Y \le +\varepsilon) = F_Y(+\varepsilon) - F_Y(-\varepsilon) \hspace{0.05cm}.$$

	Berücksichtigt wurde, dass man bei der kontinuierlichen Zufallsgröße $Y$ das &bdquo;<”–Zeichen ohne Verfälschung durch das &bdquo;≤”–Zeichen ersetzen kann. Mit dem Grenzübergang $\varepsilon \to 0$ ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit:		*Berücksichtigt wurde, dass man bei der kontinuierlichen Zufallsgröße  $Y$  das &bdquo;<”–Zeichen ohne Verfälschung durch das &bdquo;≤”–Zeichen ersetzen kann.
			*Mit dem Grenzübergang  $\varepsilon \to 0$  ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
	:$${\rm Pr}(Y = 0) =\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm}{\rm Pr}(-\varepsilon \le Y \le +\varepsilon) =		:$${\rm Pr}(Y = 0) =\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm}{\rm Pr}(-\varepsilon \le Y \le +\varepsilon) =
	\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(+\varepsilon) - \lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(-\varepsilon) =		\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(+\varepsilon) - \lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(-\varepsilon) =
	F_Y(y \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{+}) - F_Y(y \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{-})\hspace{0.05cm}.$$		F_Y(y \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{+}) - F_Y(y \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{-})\hspace{0.05cm}.$$

	Da bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße die beiden Grenzwerte gleich sind, gilt $\underline{{\rm Pr}(Y = 0) = 0}$.		*Da bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße die beiden Grenzwerte gleich sind, gilt $\underline{{\rm Pr}(Y = 0) = 0}$.


			'''Allgemein gilt''':   Die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(Y = y_0)$, dass eine wertkontinuierliche Zufallsgröße  $Y$  einen festen Wert  $y_0$  annimmt, ist stets Null.

	~~<u>Allgemein gilt:</u>   Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(Y = y_0)$, dass eine wertkontinuierliche Zufallsgröße $Y$ einen festen Wert $y_0$ annimmt, ist stets $0$.~~


	'''(5)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:		'''(5)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
	*Aufgrund der vorliegenden WDF kann das Ergebnis $Y=3$ ausgeschlossen werden.		*Aufgrund der vorliegenden WDF kann das Ergebnis  $Y=3$  ausgeschlossen werden.
	*Das Ergebnis $Y=0$ ist dagegen durchaus möglich, obwohl ${\rm Pr}(Y = 0) = 0$ ist.		*Das Ergebnis  $Y=0$  ist dagegen durchaus möglich, obwohl  ${\rm Pr}(Y = 0) = 0$  ist.
	*Führt man zum Beispiel ein Zufallsexperiment $N \to \infty$ mal durch und erhält dabei $N_0$ mal das Ergebnis $Y= 0$, so gilt bei endlichem $N_0$ nach der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit:		*Führt man zum Beispiel ein Zufallsexperiment  $N \to \infty$  mal durch und erhält dabei  $N_0$  mal das Ergebnis  $Y= 0$, so gilt bei endlichem  $N_0$  nach der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit:
	:$${\rm Pr}(Y = 0) = \lim_{N\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}\infty}\hspace{0.1cm}{N_0}/{N} = 0\hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr}(Y = 0) = \lim_{N\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}\infty}\hspace{0.1cm}{N_0}/{N} = 0\hspace{0.05cm}.$$


	'''(6)'''  Wir gehen wieder von der von der für die kontinuierliche Zufallsgröße $Y$ gültigen Gleichung   $ {\rm Pr}(A \le Y \le B) = F_Y(B) - F_Y(A)$  aus:
	*Mit $A = 0$ und $B \to \infty$ (bzw. $B = 2$) erhält man:		'''(6)'''  Wir gehen wieder von der von der für die kontinuierliche Zufallsgröße  $Y$  gültigen Gleichung   $ {\rm Pr}(A \le Y \le B) = F_Y(B) - F_Y(A)$  aus:
			*Mit  $A = 0$  und  $B \to \infty$  $($bzw.  $B = 2)$  erhält man:
	:$${\rm Pr}( Y > 0) = {\rm Pr}(0 \le Y \le \infty)		:$${\rm Pr}( Y > 0) = {\rm Pr}(0 \le Y \le \infty)
	= {\rm Pr}(0 \le Y \le 2) = F_Y(2) - F_Y(0)		= {\rm Pr}(0 \le Y \le 2) = F_Y(2) - F_Y(0)
	\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5}\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5}\hspace{0.05cm}.$$
	*Bei der symmetrischen kontinuierlichen Zufallsgröße $Y$ ist also tatsächlich erwartungsgemäß  ${\rm Pr}( Y > 0) = 1/2$.		*Bei der symmetrischen kontinuierlichen Zufallsgröße  $Y$  ist also tatsächlich erwartungsgemäß  ${\rm Pr}( Y > 0) = 1/2$.
	*Obwohl auch die wertdiskrete Zufallsgröße $X$ symmetrisch um  $x= 0$  ist, wurde dagegen ~~oben~~  ${\rm Pr}( X > 0) = 0.3$  ermittelt.		*Obwohl auch die wertdiskrete Zufallsgröße  $X$  symmetrisch um  $x= 0$  ist, wurde in der Teilaufgabe  '''(3)'''  dagegen  ${\rm Pr}( X > 0) = 0.3$  ermittelt.
	*Weiter erhält man mit  $A = -1$  und  $B = +1$  wegen  $F_Y(-1) = 1- F_Y(+1)$:		*Weiter erhält man mit  $A = -1$  und  $B = +1$  wegen  $F_Y(-1) = 1- F_Y(+1)$:
	:$${\rm Pr}( \|Y\| \le 1) = {\rm Pr}(-1 \le Y \le +1)		:$${\rm Pr}( \|Y\| \le 1) = {\rm Pr}(-1 \le Y \le +1)

← Nächstältere Version		Version vom 16. Oktober 2018, 10:38 Uhr
Zeile 84:		Zeile 84:
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
	*Die Verteilungsfunktion (VTF) $F_X(x)$ ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_X(x)$ durch Integration über die (umbenannte) Zufallsgröße im Bereich von $- \infty$ bis $x$.		*Die Verteilungsfunktion (VTF) $F_X(x)$ ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_X(x)$ durch Integration über die (umbenannte) Zufallsgröße im Bereich von $- \infty$ bis $x$.
	*Die Umkehrung lautet: Ist die VTF gegeben, so erhält man die WDF durch Differentiation.		*Die Umkehrung lautet:   Ist die VTF gegeben, so erhält man die WDF durch Differentiation.
	*Die vorgegebene VTF beinhaltet fünf Unstetigkeitsstellen, die nach der Differentiation zu fünf Diracfunktionen führen:		*Die vorgegebene VTF beinhaltet fünf Unstetigkeitsstellen, die nach der Differentiation zu fünf Diracfunktionen führen:
	:$$f_X(x) = 0.1 \cdot {\rm \delta}( x+2)		:$$f_X(x) = 0.1 \cdot {\rm \delta}( x+2)
Zeile 96:		Zeile 96:
	:$${\rm Pr}(X = +1) = {\rm Pr}(X = -1) = 0.2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}		:$${\rm Pr}(X = +1) = {\rm Pr}(X = -1) = 0.2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
	{\rm Pr}(X = +2) = {\rm Pr}(X = -2) = 0.1\hspace{0.05cm}.$$		{\rm Pr}(X = +2) = {\rm Pr}(X = -2) = 0.1\hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Aus der eben berechneten WDF erhält man:		'''(2)'''  Aus der eben berechneten WDF erhält man:
Zeile 110:		Zeile 111:
	*Setzt man $A=-2$ und $B = +1$, so ergibt sich:		*Setzt man $A=-2$ und $B = +1$, so ergibt sich:
	:$${\rm Pr}(-2 < X \le +1) = {\rm Pr}(\|X\| \le 1)= F_X(+1) - F_X(-2) = 0.9 - 0.1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.8} \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr}(-2 < X \le +1) = {\rm Pr}(\|X\| \le 1)= F_X(+1) - F_X(-2) = 0.9 - 0.1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.8} \hspace{0.05cm}.$$


	[[Datei:P_ID2858__Inf_A_4_1c_neu.png\|right\|frame\|WDF und VTF der kontinuierlichen Zufallsgröße ''Y'']]		[[Datei:P_ID2858__Inf_A_4_1c_neu.png\|right\|frame\|WDF und VTF der kontinuierlichen Zufallsgröße ''Y'']]
Zeile 119:		Zeile 121:
	*$F_Y(y=2)\hspace{0.15cm}\underline{= 1}$ (Integral über die gesamte WDF)		*$F_Y(y=2)\hspace{0.15cm}\underline{= 1}$ (Integral über die gesamte WDF)
	*$F_Y(y=1)= 3/4 + 1/(2 \pi)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.909}$ (rot hinterlegte Fläche in der WDF)		*$F_Y(y=1)= 3/4 + 1/(2 \pi)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.909}$ (rot hinterlegte Fläche in der WDF)



Zeile 131:		Zeile 134:
	Da bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße die beiden Grenzwerte gleich sind, gilt $\underline{{\rm Pr}(Y = 0) = 0}$.		Da bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße die beiden Grenzwerte gleich sind, gilt $\underline{{\rm Pr}(Y = 0) = 0}$.

	<u>Allgemein gilt:</u> Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(Y = y_0)$, dass eine wertkontinuierliche Zufallsgröße $Y$ einen festen Wert $y_0$ annimmt, ist stets $0$.		<u>Allgemein gilt:</u>   Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(Y = y_0)$, dass eine wertkontinuierliche Zufallsgröße $Y$ einen festen Wert $y_0$ annimmt, ist stets $0$.


Zeile 140:		Zeile 143:
	:$${\rm Pr}(Y = 0) = \lim_{N\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}\infty}\hspace{0.1cm}{N_0}/{N} = 0\hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr}(Y = 0) = \lim_{N\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}\infty}\hspace{0.1cm}{N_0}/{N} = 0\hspace{0.05cm}.$$

	'''(6)'''  Wir gehen wieder von der von der für die kontinuierliche Zufallsgröße $Y$ gültigen Gleichung $ {\rm Pr}(A \le Y \le B) = F_Y(B) - F_Y(A)$ aus:
			'''(6)'''  Wir gehen wieder von der von der für die kontinuierliche Zufallsgröße $Y$ gültigen Gleichung   $ {\rm Pr}(A \le Y \le B) = F_Y(B) - F_Y(A)$  aus:
	*Mit $A = 0$ und $B \to \infty$ (bzw. $B = 2$) erhält man:		*Mit $A = 0$ und $B \to \infty$ (bzw. $B = 2$) erhält man:
	:$${\rm Pr}( Y > 0) = {\rm Pr}(0 \le Y \le \infty)		:$${\rm Pr}( Y > 0) = {\rm Pr}(0 \le Y \le \infty)
	= {\rm Pr}(0 \le Y \le 2) = F_Y(2) - F_Y(0)		= {\rm Pr}(0 \le Y \le 2) = F_Y(2) - F_Y(0)
	\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5}\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.15cm}\underline {= 0.5}\hspace{0.05cm}.$$
	*Bei der symmetrischen kontinuierlichen Zufallsgröße $Y$ ist also tatsächlich erwartungsgemäß ${\rm Pr}( Y > 0) = 1/2$.		*Bei der symmetrischen kontinuierlichen Zufallsgröße $Y$ ist also tatsächlich erwartungsgemäß  ${\rm Pr}( Y > 0) = 1/2$.
	*Obwohl auch die wertdiskrete Zufallsgröße $X$ symmetrisch um $x= 0$ ist, wurde dagegen oben ${\rm Pr}( X > 0) = 0.3$ ermittelt.		*Obwohl auch die wertdiskrete Zufallsgröße $X$ symmetrisch um  $x= 0$  ist, wurde dagegen oben  ${\rm Pr}( X > 0) = 0.3$  ermittelt.
	*Weiter erhält man mit $A = -1$ und $B = +1$ wegen $F_Y(-1) = 1- F_Y(+1)$:		*Weiter erhält man mit  $A = -1$  und  $B = +1$  wegen  $F_Y(-1) = 1- F_Y(+1)$:
	:$${\rm Pr}( \|Y\| \le 1) = {\rm Pr}(-1 \le Y \le +1)		:$${\rm Pr}( \|Y\| \le 1) = {\rm Pr}(-1 \le Y \le +1)
	= F_Y(+1) - F_Y(-1) = 2 \cdot F_Y(+1) -1 = 2 \cdot 0.909 -1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.818}. $$		= F_Y(+1) - F_Y(-1) = 2 \cdot F_Y(+1) -1 = 2 \cdot 0.909 -1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.818}. $$