Aufgaben:Aufgabe 4.1: WDF, VTF und Wahrscheinlichkeit - Versionsgeschichte

Guenter am 24. September 2021 um 12:40 Uhr

2021-09-24T12:40:24Z

Guenter am 24. September 2021 um 12:30 Uhr

2021-09-24T12:30:53Z

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Guenter am 10. Februar 2020 um 15:02 Uhr

2020-02-10T15:02:08Z

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:50Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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Guenter verschob die Seite 4.1 WDF, VTF und Wahrscheinlichkeit nach Aufgabe 4.1: WDF, VTF und Wahrscheinlichkeit

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-[[Datei:P_ID2857__Inf_A_4_1a_neu.png|right|frame|WDF und VTF der diskreten Zufallsgröße&nbsp; $X$]]
+[[Datei:P_ID2857__Inf_A_4_1a_neu.png|right|frame|WDF und VTF der <br>diskreten Zufallsgröße&nbsp; $X$]]
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
 *Die Verteilungsfunktion (VTF)&nbsp; $F_X(x)$&nbsp; ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $f_X(x)$&nbsp; durch Integration über die (umbenannte) Zufallsgröße im Bereich von&nbsp; $- \infty$&nbsp; bis&nbsp; $x$.
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      F_Y(y \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{+}) - F_Y(y \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{-})\hspace{0.05cm}.$$
-*Da bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße die beiden Grenzwerte gleich sind, gilt $\underline{{\rm Pr}(Y = 0) = 0}$.
+*Da bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße die beiden Grenzwerte gleich sind,&nbsp; gilt $\underline{{\rm Pr}(Y = 0) = 0}$.
-'''Allgemein gilt''': &nbsp; Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(Y = y_0)$, dass eine wertkontinuierliche Zufallsgröße&nbsp; $Y$&nbsp; einen festen Wert&nbsp; $y_0$&nbsp; annimmt, ist stets Null.
+'''Allgemein gilt''': &nbsp; Die Wahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr}(Y = y_0)$,&nbsp; dass eine wertkontinuierliche Zufallsgröße&nbsp; $Y$&nbsp; einen festen Wert&nbsp; $y_0$&nbsp; annimmt, ist stets Null.

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 :$$ f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.1cm}1/2 \cdot \cos^2(\pi/4 \cdot y) \\ \hspace{0.1cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{20}c}   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\     {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}l}   | y| \le 2, \\
 y < -2 \hspace{0.1cm}{\rm und}\hspace{0.1cm}y > +2 \\ \end{array}$$
-einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße&nbsp; $Y$, die auf den Bereich&nbsp; $|Y| \le 2$&nbsp; begrenzt ist.
+einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße&nbsp; $Y$,&nbsp; die auf den Bereich&nbsp; $|Y| \le 2$&nbsp; begrenzt ist.
-Prinzipiell besteht bei der kontinuierlichen Zufallsgröße&nbsp; $Y$&nbsp; der gleiche Zusammenhang zwischen WDF, VTF und Wahrscheinlichkeiten wie bei einer diskreten Zufallsgröße.&nbsp; Sie werden trotzdem einige Detailunterschiede feststellen.
+Prinzipiell besteht bei der kontinuierlichen Zufallsgröße&nbsp; $Y$&nbsp; der gleiche Zusammenhang zwischen WDF, VTF und den Wahrscheinlichkeiten wie bei einer diskreten Zufallsgröße.&nbsp; Sie werden trotzdem einige Detailunterschiede feststellen.
 Beispielsweise kann bei der kontinuierlichen Zufallsgröße&nbsp; $Y$&nbsp; in obiger Gleichung auf den Grenzübergang verzichtet werden, und man erhält vereinfacht:

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-[[Datei:P_ID2857__Inf_A_4_1a_neu.png|right|frame|WDF und VTF der diskreten Zufallsgröße ''X'']]
+[[Datei:P_ID2857__Inf_A_4_1a_neu.png|right|frame|WDF und VTF der diskreten Zufallsgröße&nbsp; $X$]]
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
-*Die Verteilungsfunktion (VTF) $F_X(x)$ ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_X(x)$ durch Integration über die (umbenannte) Zufallsgröße im Bereich von $- \infty$ bis $x$.
+*Die Verteilungsfunktion (VTF)&nbsp; $F_X(x)$&nbsp; ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $f_X(x)$&nbsp; durch Integration über die (umbenannte) Zufallsgröße im Bereich von&nbsp; $- \infty$&nbsp; bis&nbsp; $x$.
 *Die Umkehrung lautet: &nbsp; Ist die VTF gegeben, so erhält man die WDF durch Differentiation.
 *Die vorgegebene VTF beinhaltet fünf Unstetigkeitsstellen, die nach der Differentiation zu fünf Diracfunktionen führen:
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   +  0.4 \cdot {\rm \delta}( x) + 0.2 \cdot {\rm \delta}( x-1)
    + 0.1 \cdot {\rm \delta}( x-2)\hspace{0.05cm}.$$
-*Die Diracgewichte geben die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Zufallsgröße $X = \{-2, -1, 0, +1, +2\}$ an, zum Beispiel:
+*Die Diracgewichte geben die Auftrittswahrscheinlichkeiten der Zufallsgröße&nbsp; $X = \{-2,\ -1,\ 0,\ +1,\ +2\}$ an, <br>zum Beispiel:
 :$${\rm Pr}(X = 0) = F_X(x \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{+}) - F_X(x \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{-}) =
 .7 - 0.3 = 0.4\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 99: / Zeile 99: @@
 :$${\rm Pr}(X = +1) = {\rm Pr}(X = -1) = 0.2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
 {\rm Pr}(X = +2) = {\rm Pr}(X = -2) = 0.1\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 107: / Zeile 108: @@
 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.8}\hspace{0.05cm}.$$
-Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Verteilungsfunktion. Hier lautet die allgemeine Gleichung, die für wertdiskrete und wertkontinuierliche Zufallsgrößen gleichermaßen gilt:
+Zum gleichen Ergebnis kommt man über die Verteilungsfunktion.&nbsp; Hier lautet die allgemeine Gleichung, die für wertdiskrete und wertkontinuierliche Zufallsgrößen gleichermaßen gilt:
 :$${\rm Pr}(A < X \le B) =F_X(B) - F_X(A) \hspace{0.05cm}.$$
-* Mit $A= 0$ und $B = +2$ erhält man somit:
+* Mit&nbsp; $A= 0$&nbsp; und&nbsp; $B = +2$&nbsp; erhält man somit:
 :$${\rm Pr}(0 < X \le +2) = {\rm Pr}(X >0)= F_X(+2) - F_X(0) = 1 - 0.7 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.3} \hspace{0.05cm}.$$
 *Setzt man $A=-2$ und $B = +1$, so ergibt sich:
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-[[Datei:P_ID2858__Inf_A_4_1c_neu.png|right|frame|WDF und VTF der kontinuierlichen Zufallsgröße ''Y'']]
-'''(3)'''&nbsp; Die Verteilungsfunktion $F_Y(y)$ ergibt sich aus der (umbenannten) WDF $f_Y(\eta)$ durch Integration von $- \infty$ bis $x$. Aufgrund der Symmetrie kann hierfür im Bereich $0 \le y \le +2$ geschrieben werden:
+[[Datei:P_ID2858__Inf_A_4_1c_neu.png|right|frame|WDF und VTF der kontinuierlichen Zufallsgröße&nbsp; $Y$]]
 :$$F_Y(y) = \int_{-\infty}^{\hspace{0.05cm}y} \hspace{-0.1cm}f_Y(\eta) \hspace{0.1cm}{\rm d}\eta ={1}/{2}+\int_{0}^{\hspace{0.05cm}y} \hspace{-0.1cm}f_Y(\eta) \hspace{0.1cm}{\rm d}\eta$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}F_Y(y) = \frac{1}{2}+\int_{0}^{\hspace{0.05cm}y} \hspace{0.1cm}\frac{1}{2} \cdot \cos^2({\pi}/{4} \cdot \eta) \hspace{0.1cm}{\rm d}\eta = \frac{1}{2}+\frac{y}{4} + \frac{1}{2\pi} \cdot \sin({\pi}/{2} \cdot y).$$
-Die Gleichung gilt im gesamten Bereich $0 \le y \le +2$. Die gesuchten VTF&ndash;Werte sind damit:
+Die Gleichung gilt im gesamten Bereich&nbsp; $0 \le y \le +2$.&nbsp; Die gesuchten VTF&ndash;Werte sind damit:
-*$F_Y(y=0)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}$ (Integral über die halbe WDF),
+*$F_Y(y=0)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.5}$&nbsp; (Integral über die halbe WDF),
-*$F_Y(y=2)\hspace{0.15cm}\underline{= 1}$ (Integral über die gesamte WDF)
+*$F_Y(y=1)= 3/4 + 1/(2 \pi)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.909}$&nbsp; (rot hinterlegte Fläche in der WDF),
-*$F_Y(y=1)= 3/4 + 1/(2 \pi)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.909}$ (rot hinterlegte Fläche in der WDF)
+*$F_Y(y=2)\hspace{0.15cm}\underline{= 1}$&nbsp; (Integral über die gesamte WDF).
-'''(4)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass die wertkontinuierliche Zufallsgröße $Y$ im Bereich von $-\varepsilon$ bis $+\varepsilon$ liegt, kann mit der angegebenen Gleichung wie folgt berechnet werden:
+'''(4)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass die wertkontinuierliche Zufallsgröße&nbsp; $Y$&nbsp; im Bereich von&nbsp; $-\varepsilon$&nbsp; bis&nbsp; $+\varepsilon$&nbsp; liegt, kann mit der angegebenen Gleichung wie folgt berechnet werden:
 :$${\rm Pr}(-\varepsilon \le Y \le +\varepsilon) = F_Y(+\varepsilon) - F_Y(-\varepsilon) \hspace{0.05cm}.$$
-Berücksichtigt wurde, dass man bei der kontinuierlichen Zufallsgröße $Y$ das &bdquo;<&rdquo;&ndash;Zeichen ohne Verfälschung durch das &bdquo;&#8804;&rdquo;&ndash;Zeichen ersetzen kann. Mit dem Grenzübergang $\varepsilon \to 0$  ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
+*Berücksichtigt wurde, dass man bei der kontinuierlichen Zufallsgröße&nbsp; $Y$&nbsp; das &bdquo;<&rdquo;&ndash;Zeichen ohne Verfälschung durch das &bdquo;&#8804;&rdquo;&ndash;Zeichen ersetzen kann.
 :$${\rm Pr}(Y = 0)  =\lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm}{\rm Pr}(-\varepsilon \le Y \le +\varepsilon) =
 \lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(+\varepsilon) - \lim_{\varepsilon\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0}\hspace{0.1cm} F_Y(-\varepsilon) =
      F_Y(y \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{+}) - F_Y(y \hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}0^{-})\hspace{0.05cm}.$$
-Da bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße die beiden Grenzwerte gleich sind, gilt $\underline{{\rm Pr}(Y = 0) = 0}$.
+*Da bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße die beiden Grenzwerte gleich sind, gilt $\underline{{\rm Pr}(Y = 0) = 0}$.
 '''(5)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Aufgrund der vorliegenden WDF kann das Ergebnis $Y=3$ ausgeschlossen werden.
+*Aufgrund der vorliegenden WDF kann das Ergebnis&nbsp; $Y=3$&nbsp; ausgeschlossen werden.
-*Das Ergebnis $Y=0$ ist dagegen durchaus möglich, obwohl ${\rm Pr}(Y = 0) = 0$ ist.
+*Das Ergebnis&nbsp; $Y=0$&nbsp; ist dagegen durchaus möglich, obwohl&nbsp; ${\rm Pr}(Y = 0) = 0$&nbsp; ist.
-*Führt man zum Beispiel ein Zufallsexperiment $N \to \infty$ mal durch und erhält dabei $N_0$ mal das Ergebnis $Y= 0$, so gilt bei endlichem $N_0$ nach der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit:
+*Führt man zum Beispiel ein Zufallsexperiment&nbsp; $N \to \infty$&nbsp; mal durch und erhält dabei&nbsp; $N_0$&nbsp; mal das Ergebnis&nbsp; $Y= 0$, so gilt bei endlichem&nbsp; $N_0$&nbsp; nach der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit:
 :$${\rm Pr}(Y = 0) = \lim_{N\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}\infty}\hspace{0.1cm}{N_0}/{N} = 0\hspace{0.05cm}.$$
 '''(6)'''&nbsp; Wir gehen wieder von der von der für die kontinuierliche Zufallsgröße $Y$ gültigen Gleichung &nbsp; $ {\rm Pr}(A \le Y \le B) = F_Y(B) - F_Y(A)$&nbsp;  aus:
-*Mit $A = 0$ und $B \to \infty$ (bzw. $B = 2$) erhält man:
+'''(6)'''&nbsp; Wir gehen wieder von der von der für die kontinuierliche Zufallsgröße&nbsp; $Y$&nbsp; gültigen Gleichung &nbsp; $ {\rm Pr}(A \le Y \le B) = F_Y(B) - F_Y(A)$&nbsp;  aus:
 :$${\rm Pr}( Y > 0) = {\rm Pr}(0 \le Y \le \infty)
 = {\rm Pr}(0 \le Y \le 2) = F_Y(2) - F_Y(0)
 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5}\hspace{0.05cm}.$$
-*Bei der symmetrischen kontinuierlichen Zufallsgröße $Y$ ist also tatsächlich erwartungsgemäß &nbsp;${\rm Pr}( Y > 0) = 1/2$.
+*Bei der symmetrischen kontinuierlichen Zufallsgröße&nbsp; $Y$&nbsp; ist also tatsächlich erwartungsgemäß &nbsp;${\rm Pr}( Y > 0) = 1/2$.
-*Obwohl auch die wertdiskrete Zufallsgröße $X$ symmetrisch um &nbsp;$x= 0$&nbsp; ist, wurde dagegen oben &nbsp;${\rm Pr}( X > 0)  = 0.3$&nbsp; ermittelt.
+*Obwohl auch die wertdiskrete Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; symmetrisch um &nbsp;$x= 0$&nbsp; ist, wurde in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; dagegen  &nbsp;${\rm Pr}( X > 0)  = 0.3$&nbsp; ermittelt.
 *Weiter erhält man mit &nbsp;$A = -1$&nbsp; und &nbsp;$B = +1$&nbsp; wegen &nbsp;$F_Y(-1) = 1- F_Y(+1)$:
 :$${\rm Pr}( |Y| \le 1)  =  {\rm Pr}(-1 \le Y \le +1)

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 Zur Wiederholung einiger wichtiger Grundlagen aus dem Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;
 beschäftigen wir uns mit
-* der [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] (WDF),
+* der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion]] (WDF),
-* der [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] (VTF).
+* der&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]] (VTF).
-Die obere Darstellung zeigt die Verteilungsfunktion $F_X(x)$ einer wertdiskreten Zufallsgröße  $X$. Die zugehörige WDF $f_X(x)$ ist in der Teilaufgabe '''(1)''' zu bestimmen.
+Die obere Darstellung zeigt die Verteilungsfunktion&nbsp; $F_X(x)$&nbsp; einer wertdiskreten Zufallsgröße&nbsp;  $X$.&nbsp; Die zugehörige WDF&nbsp; $f_X(x)$&nbsp; ist in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; zu bestimmen.
 Die Gleichung
 :$$ {\rm Pr}(A < X \le B) = F_X(B) - F_X(A) =  \lim_{\varepsilon \hspace{0.05cm}\rightarrow \hspace{0.05cm}0} \int_{A+\varepsilon}^{B+\varepsilon} \hspace{-0.15cm}  f_X(x) \hspace{0.1cm}{\rm d}x $$
-stellt zwei Möglichkeiten dar, um aus der VTF bzw. der WDF die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Die Zufallsgröße $X$ liegt in einem vorgegebenem Intervall”  zu berechnen.
+stellt zwei Möglichkeiten dar, um aus der VTF bzw. der WDF die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis&nbsp; „Die Zufallsgröße&nbsp; $X$&nbsp; liegt in einem vorgegebenem Intervall”&nbsp;  zu berechnen.
 Die untere Grafik zeigt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
 :$$ f_Y(y) = \left\{ \begin{array}{c} \hspace{0.1cm}1/2 \cdot \cos^2(\pi/4 \cdot y) \\ \hspace{0.1cm} 0 \\  \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{20}c}   {\rm{f\ddot{u}r}}  \\     {\rm{f\ddot{u}r}}  \\ \end{array}\begin{array}{*{20}l}   | y| \le 2, \\
 y < -2 \hspace{0.1cm}{\rm und}\hspace{0.1cm}y > +2 \\ \end{array}$$
-einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße $Y$, die auf den Bereich $|Y| \le 2$ begrenzt ist.
+einer wertkontinuierlichen Zufallsgröße&nbsp; $Y$, die auf den Bereich&nbsp; $|Y| \le 2$&nbsp; begrenzt ist.
-Prinzipiell besteht bei der kontinuierlichen Zufallsgröße $Y$ der gleiche Zusammenhang zwischen WDF, VTF und Wahrscheinlichkeiten wie bei einer diskreten Zufallsgröße. Sie werden trotzdem einige Detailunterschiede feststellen.
+Prinzipiell besteht bei der kontinuierlichen Zufallsgröße&nbsp; $Y$&nbsp; der gleiche Zusammenhang zwischen WDF, VTF und Wahrscheinlichkeiten wie bei einer diskreten Zufallsgröße.&nbsp; Sie werden trotzdem einige Detailunterschiede feststellen.
-Beispielsweise kann bei der kontinuierlichen Zufallsgröße $Y$ in obiger Gleichung auf den Grenzübergang verzichtet werden, und man erhält vereinfacht:
+Beispielsweise kann bei der kontinuierlichen Zufallsgröße&nbsp; $Y$&nbsp; in obiger Gleichung auf den Grenzübergang verzichtet werden, und man erhält vereinfacht:
 :$${\rm Pr}(A \le Y \le B) = F_Y(B) - F_Y(A) =\int_{A}^{B} \hspace{-0.01cm}  f_Y(y)
 \hspace{0.1cm}{\rm d}y\hspace{0.05cm}.$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie|Differentielle Entropie]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie|Differentielle Entropie]].
-*Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im dritten Kapitel &bdquo;Kontinuierliche Zufallsgrößen&rdquo; des Buches  [[Stochastische Signaltheorie]].
+*Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im dritten Kapitel &bdquo;Kontinuierliche Zufallsgrößen&rdquo; des Buches&nbsp;  [[Stochastische Signaltheorie]].
 *Gegeben ist zudem das folgende unbstimmte Integral:
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 <quiz display=simple>
-{Bestimmen Sie die WDF $f_X(x)$ der wertdiskreten Zufallsgröße $X$. Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
+{Bestimmen Sie die WDF&nbsp; $f_X(x)$&nbsp; der wertdiskreten Zufallsgröße&nbsp; $X$.&nbsp; Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
 + Die WDF setzt sich aus fünf Diracfunktionen zusammen.
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 ${\rm Pr}(|X| ≤ 1) \ =  \ $ { 0.8 3% }
-{Welche Werte ergeben sich für die Verteilungsfunktion&nbsp; $F_Y(y)  ={\rm Pr}(Y \le y)$ der wertkontinuierlichen Zufallsgröße $Y$, insbesondere:
+{Welche Werte ergeben sich für die Verteilungsfunktion&nbsp; $F_Y(y)  ={\rm Pr}(Y \le y)$&nbsp; der wertkontinuierlichen Zufallsgröße&nbsp; $Y$,&nbsp; insbesondere:
 |type="{}"}
 $F_Y(y = 0) \ =  \ $ { 0.5 3% }
@@ Zeile 63: / Zeile 66: @@
 $F_Y(y = 2) \ =  \ $ { 1 3% }
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass &nbsp;$Y = 0$ ist?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass &nbsp;$Y = 0$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(Y = 0) \ =  \ $ { 0. }
@@ Zeile 69: / Zeile 72: @@
 {Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
 |type="[]"}
-- Das Ergebnis&nbsp; $Y = 0$ ist unmöglich.
+- Das Ergebnis&nbsp; $Y = 0$&nbsp; ist unmöglich.
-+ Das Ergebnis&nbsp; $Y = 3$ ist unmöglich.
++ Das Ergebnis&nbsp; $Y = 3$&nbsp; ist unmöglich.
 {Wie groß sind die folgenden Wahrscheinlichkeiten?

@@ Zeile 84: / Zeile 84: @@
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
 *Die Verteilungsfunktion (VTF) $F_X(x)$ ergibt sich aus der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_X(x)$ durch Integration über die (umbenannte) Zufallsgröße im Bereich von $- \infty$ bis $x$.
-*Die Umkehrung lautet: Ist die VTF gegeben, so erhält man die WDF durch Differentiation.
+*Die Umkehrung lautet: &nbsp; Ist die VTF gegeben, so erhält man die WDF durch Differentiation.
 *Die vorgegebene VTF beinhaltet fünf Unstetigkeitsstellen, die nach der Differentiation zu fünf Diracfunktionen führen:
 :$$f_X(x) =  0.1 \cdot {\rm \delta}( x+2)
@@ Zeile 96: / Zeile 96: @@
 :$${\rm Pr}(X = +1) = {\rm Pr}(X = -1) = 0.2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
 {\rm Pr}(X = +2) = {\rm Pr}(X = -2) = 0.1\hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Aus der eben berechneten WDF erhält man:
@@ Zeile 110: / Zeile 111: @@
 *Setzt man $A=-2$ und $B = +1$, so ergibt sich:
 :$${\rm Pr}(-2 < X \le +1) = {\rm Pr}(|X|  \le 1)= F_X(+1) - F_X(-2) = 0.9 - 0.1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.8} \hspace{0.05cm}.$$
 [[Datei:P_ID2858__Inf_A_4_1c_neu.png|right|frame|WDF und VTF der kontinuierlichen Zufallsgröße ''Y'']]
@@ Zeile 119: / Zeile 121: @@
 *$F_Y(y=2)\hspace{0.15cm}\underline{= 1}$ (Integral über die gesamte WDF)
 *$F_Y(y=1)= 3/4 + 1/(2 \pi)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.909}$ (rot hinterlegte Fläche in der WDF)
@@ Zeile 131: / Zeile 134: @@
 Da bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße die beiden Grenzwerte gleich sind, gilt $\underline{{\rm Pr}(Y = 0) = 0}$.
-<u>Allgemein gilt:</u> Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(Y = y_0)$, dass eine wertkontinuierliche Zufallsgröße $Y$ einen festen Wert $y_0$ annimmt, ist stets $0$.
+<u>Allgemein gilt:</u> &nbsp; Die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(Y = y_0)$, dass eine wertkontinuierliche Zufallsgröße $Y$ einen festen Wert $y_0$ annimmt, ist stets $0$.
@@ Zeile 140: / Zeile 143: @@
 :$${\rm Pr}(Y = 0) = \lim_{N\hspace{0.05cm}\rightarrow\hspace{0.05cm}\infty}\hspace{0.1cm}{N_0}/{N} = 0\hspace{0.05cm}.$$
 '''(6)'''&nbsp; Wir gehen wieder von der von der für die kontinuierliche Zufallsgröße $Y$ gültigen Gleichung $ {\rm Pr}(A \le Y \le B) = F_Y(B) - F_Y(A)$ aus:
 *Mit $A = 0$ und $B \to \infty$ (bzw. $B = 2$) erhält man:
 :$${\rm Pr}( Y > 0) = {\rm Pr}(0 \le Y \le \infty)
 = {\rm Pr}(0 \le Y \le 2) = F_Y(2) - F_Y(0)
 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.5}\hspace{0.05cm}.$$
-*Bei der symmetrischen kontinuierlichen Zufallsgröße $Y$ ist also tatsächlich erwartungsgemäß ${\rm Pr}( Y > 0) = 1/2$.
+*Bei der symmetrischen kontinuierlichen Zufallsgröße $Y$ ist also tatsächlich erwartungsgemäß &nbsp;${\rm Pr}( Y > 0) = 1/2$.
-*Obwohl auch die wertdiskrete Zufallsgröße $X$ symmetrisch um $x= 0$ ist, wurde dagegen oben ${\rm Pr}( X > 0)  = 0.3$ ermittelt.
+*Obwohl auch die wertdiskrete Zufallsgröße $X$ symmetrisch um &nbsp;$x= 0$&nbsp; ist, wurde dagegen oben &nbsp;${\rm Pr}( X > 0)  = 0.3$&nbsp; ermittelt.
-*Weiter erhält man mit $A = -1$ und $B = +1$ wegen $F_Y(-1) = 1- F_Y(+1)$:
+*Weiter erhält man mit &nbsp;$A = -1$&nbsp; und &nbsp;$B = +1$&nbsp; wegen &nbsp;$F_Y(-1) = 1- F_Y(+1)$:
 :$${\rm Pr}( |Y| \le 1)  =  {\rm Pr}(-1 \le Y \le +1)
 =  F_Y(+1) - F_Y(-1)   =   2 \cdot F_Y(+1) -1 = 2 \cdot 0.909 -1 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.818}. $$

@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Differentielle_Entropie|Differentielle Entropie]].
 *Nützliche Hinweise zur Lösung dieser Aufgabe und weitere Informationen zu den wertkontinuierlichen Zufallsgrößen finden Sie im Kapitel &bdquo;Kontinuierliche Zufallsgrößen&rdquo; des Buches  [[Stochastische Signaltheorie]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Gegeben ist zudem das folgende unbstimmte Integral:
 :$$\int \hspace{0.1cm} \cos^2(A \eta) \hspace{0.1cm}{\rm d}\eta =  \frac{\eta}{2} + \frac{1}{4A} \cdot \sin(2A  \eta).$$

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(kein Unterschied)