Aufgaben:Aufgabe 4.1: Tiefpass- und Bandpass-Signale - Versionsgeschichte

Guenter am 3. Mai 2021 um 16:08 Uhr

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Guenter am 2. Oktober 2019 um 15:06 Uhr

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Guenter am 2. Oktober 2019 um 14:58 Uhr

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2018-07-25T15:33:40Z

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Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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−	{{quiz-Header\|Buchseite=Signaldarstellung/~~Unterschiede und Gemeinsamkeiten von TP~~- ~~und BP~~-Signalen	+	{{quiz-Header\|Buchseite=Signaldarstellung/Grundsätzliches_zu_Tiefpass-_und_Bandpass-Signalen
	}}		}}

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die si–förmige Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; lässt auf ein Rechteckspektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; schließen.
+'''(1)'''&nbsp; Die&nbsp; $\rm si$–förmige Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; lässt auf ein Rechteckspektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; schließen.
-*Die absolute, zweiseitige Bandbreite&nbsp; $2 \cdot B_x$&nbsp; ist gleich dem Kehrwert der ersten Nullstelle. Daraus folgt:
+*Die absolute, zweiseitige Bandbreite&nbsp; $2 \cdot B_x$&nbsp; ist gleich dem Kehrwert der ersten Nullstelle.&nbsp; Daraus folgt:
 :$$B_x = \frac{1}{2 \cdot T_x}  =  \frac{1}{2 \cdot 0.1
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-[[Datei:P_ID701__Sig_A_4_1_c_neu.png|right|frame|Rechteckförmiges BP&ndash;Spektrum]]
+[[Datei:P_ID701__Sig_A_4_1_c_neu.png|right|frame|Rechteckförmiges Bandpass&ndash;Spektrum]]
 '''(3)'''&nbsp;  Aus&nbsp; $d(t) = x(t) - y(t)$&nbsp; folgt wegen der Linearität der Fouriertransformation: &nbsp; $D(f)  = X(f) - Y(f).$
 *Die Differenz der zwei gleich hohen Rechteckfunktionen führt zu einem rechteckförmigen Bandpass–Spektrum zwischen&nbsp; $3 \,\text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $5 \,\text{kHz}$.
-*Die (einseitige) Bandbreite beträgt somit&nbsp; $B_d \;\underline{= 2 \,\text{kHz}}$. In diesem Frequenzintervall ist&nbsp; $D(f) = 1 \,\text{mV/Hz}$. Außerhalb, also auch bei&nbsp; $f = 0$, gilt&nbsp; $D(f)\;\underline{ = 0}$.
+*Die (einseitige) Bandbreite beträgt somit&nbsp; $B_d \;\underline{= 2 \,\text{kHz}}$.&nbsp; In diesem Frequenzintervall ist&nbsp; $D(f) = 1 \,\text{mV/Hz}$.&nbsp; Außerhalb, also auch bei&nbsp; $f = 0$, gilt&nbsp; $D(f)\;\underline{ = 0}$.
-'''(4)'''&nbsp; Nach den fundamentalen Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation ist das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei&nbsp; $f = 0$. Daraus folgt:
+'''(4)'''&nbsp; Nach den fundamentalen Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation ist das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei&nbsp; $f = 0$.&nbsp; Daraus folgt:
 :$$F_x = X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 \cdot B_x}  =   10^{-3}
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 :$$F_d = D(f=0) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
-&rArr;&nbsp; Bei jedem Bandpass–Signal sind die Flächen der positiven Signalanteile gleich groß wie die Flächen der negativen Anteile.
+&rArr; &nbsp; '''Bei jedem Bandpass–Signal sind die Flächen der positiven Signalanteile gleich groß wie die Flächen der negativen Anteile'''.

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	:$$X(f)=\left\{ {X_0 \; \rm f\ddot{u}r\; \|\it \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\| < \rm B, \atop {\rm 0 \;\;\; \rm sonst}}\right. \;\;		:$$X(f)=\left\{ {X_0 \; \rm f\ddot{u}r\; \|\it \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\| < \rm B, \atop {\rm 0 \;\;\; \rm sonst}}\right. \;\;
−	\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \;\;x(t) = 2 \cdot X_0 \cdot B \cdot {\rm si} ( 2\pi B t) .$$	+	\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \;\;x(t) = 2 \cdot X_0 \cdot B \cdot {\rm si} ( 2\pi B t), \hspace{0.5cm} {\rm si}(x)=\sin(x)/x.$$

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 [[Datei:P_ID691__Sig_A_4_1.png|250px|right|frame|Vorgegebene Signalverläufe]]
-Rechts sind drei Signalverläufe skizziert, wobei die beiden ersten folgenden Verlauf aufweisen:
+Rechts sind drei Signalverläufe skizziert, wobei die beiden ersten folgenden Verlauf aufweisen,&nbsp; mit&nbsp; ${\rm si}(x)=\sin(x)/x$:
 :$$x(t)  =  10\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( \pi \cdot
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 {t}/{T_y}) .$$
-$T_x = 100 \,{\rm &micro;}\text{s}$&nbsp; und&nbsp; $T_y = 166.67 \,{\rm &micro;}\text{s}$&nbsp; geben jeweils die erste Nullstelle von&nbsp; $x(t)$&nbsp; bzw.&nbsp; $y(t)$&nbsp; an.
+Hierbei geben&nbsp; $T_x = 100 \,{\rm &micro;}\text{s}$&nbsp; und&nbsp; $T_y = 166.67 \,{\rm &micro;}\text{s}$&nbsp; jeweils die erste Nullstelle von&nbsp; $x(t)$&nbsp; bzw.&nbsp; $y(t)$&nbsp; an.
-Das Signal&nbsp; $d(t)$&nbsp; ergibt sich aus der Differenz der beiden oberen Signale (untere Grafik):
+Das Signal&nbsp; $d(t)$&nbsp; ist die Differenz der beiden oberen Signale (untere Grafik):
 :$$d(t)  =  x(t)-y(t)   .$$
-In der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; ist nach den Integralflächen der impulsartigen Signale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $d(t)$&nbsp; gefragt. Für diese gilt:
+In der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; ist nach den Integralflächen der zeitlich begrenzten Signale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $d(t)$&nbsp; gefragt.&nbsp; Für diese gilt:
 :$$F_x = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}x(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t , \hspace{0.5cm}F_d = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}d(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t .$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Grundsätzliches_zu_Tiefpass-_und_Bandpass-Signalen|Grundsätzliches zu Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].
 *Die Fourierrücktransformierte eines rechteckförmigen Spektrums&nbsp; $X(f)$&nbsp; führt zu einer&nbsp; $\rm si$&ndash;förmigen Zeitfunktion $x(t)$:
-:$$X(f)=\left\{ {X_0 \; \rm f\ddot{u}r\; |\it f| < \rm B, \atop {\rm 0 \;\;\; \rm sonst}}\right. \;\;
+:$$X(f)=\left\{ {X_0 \; \rm f\ddot{u}r\; |\it \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}| < \rm B, \atop {\rm 0 \;\;\; \rm sonst}}\right. \;\;
 \bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \;\;x(t)  =  2 \cdot X_0 \cdot B \cdot {\rm si} ( 2\pi B t) .$$
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 <quiz display=simple>
-{Wie lautet das Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; des Signals&nbsp; $x(t)$? Wie groß sind&nbsp; $X(f = 0)$&nbsp; und die physikalische, einseitige Bandbreite&nbsp; $B_x$&nbsp; von&nbsp; $x(t)$?
+{Wie lautet das Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; des Signals&nbsp; $x(t)$?&nbsp; Wie groß sind&nbsp; $X(f = 0)$&nbsp; und die physikalische, einseitige Bandbreite&nbsp; $B_x$&nbsp; von&nbsp; $x(t)$?
 |type="{}"}
 $X(f=0)\ = \ $   { 1 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
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-{Berechnen Sie das Spektrum&nbsp; $D(f)$&nbsp; des Differenzsignals&nbsp; $d(t) = x(t) - y(t)$. Wie groß sind&nbsp; $D(f = 0)$&nbsp; und die (einseitige) Bandbreite&nbsp; $B_d$?
+{Berechnen Sie das Spektrum&nbsp; $D(f)$&nbsp; des Differenzsignals&nbsp; $d(t) = x(t) - y(t)$.&nbsp; Wie groß sind&nbsp; $D(f = 0)$&nbsp; und die (einseitige) Bandbreite&nbsp; $B_d$?
 |type="{}"}
 $D(f=0)\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{mV/Hz}$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die si–förmige Zeitfunktion $x(t)$ lässt auf ein Rechteckspektrum $X(f)$ schließen. Die absolute, zweiseitige Bandbreite $2 \cdot B_x$ ist gleich dem Kehrwert der ersten Nullstelle. Daraus folgt:
+'''(1)'''&nbsp; Die si–förmige Zeitfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; lässt auf ein Rechteckspektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; schließen.
 :$$B_x = \frac{1}{2 \cdot T_x}  =  \frac{1}{2 \cdot 0.1
 \hspace{0.1cm}{\rm ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 5 \hspace{0.1cm}{\rm kHz}}.$$
-Da der Signalwert bei $t = 0$ gleich der Rechteckfläche ist, ergibt sich für die konstante Höhe:
+*Da der Signalwert bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; gleich der Rechteckfläche ist, ergibt sich für die konstante Höhe:
 :$$X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 B_x}  =  \frac{10
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 '''(2)'''&nbsp; Aus $T_y = 0.167 \,\text{ms}$ erhält man $B_y \;\underline{= 3 \,\text{kHz}}$. Zusammen mit $y(t = 0) = 6\,\text{V}$ führt dies zum gleichen Spektralwert $Y(f = 0)\; \underline{= 1\, \text{mV/Hz}}$ wie bei der Teilaufgabe '''(1)'''.
 [[Datei:P_ID701__Sig_A_4_1_c_neu.png|right|frame|Rechteckförmiges BP&ndash;Spektrum]]
-'''(3)'''&nbsp;  Aus $d(t) = x(t) - y(t)$ folgt wegen der Linearität der Fouriertransformation: &nbsp; $D(f)  = X(f) - Y(f).$
+'''(3)'''&nbsp;  Aus&nbsp; $d(t) = x(t) - y(t)$&nbsp; folgt wegen der Linearität der Fouriertransformation: &nbsp; $D(f)  = X(f) - Y(f).$
 '''(4)'''&nbsp; Nach den fundamentalen Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation ist das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei $f = 0$. Daraus folgt:
 :$$F_x = X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 \cdot B_x}  =   10^{-3}
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 &rArr;&nbsp; Bei jedem Bandpass–Signal sind die Flächen der positiven Signalanteile gleich groß wie die Flächen der negativen Anteile.

@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
 {t}/{T_y}) .$$
-$T_x = 100 \,{\rm &micro;}\text{s}$ und $T_y = 166.67 \,{\rm &micro;}\text{s}$ geben jeweils die erste Nullstelle von $x(t)$ bzw. $y(t)$ an.
+$T_x = 100 \,{\rm &micro;}\text{s}$&nbsp; und&nbsp; $T_y = 166.67 \,{\rm &micro;}\text{s}$&nbsp; geben jeweils die erste Nullstelle von&nbsp; $x(t)$&nbsp; bzw.&nbsp; $y(t)$&nbsp; an.
-Das Signal $d(t)$ ergibt sich aus der Differenz der beiden oberen Signale (untere Grafik):
+Das Signal&nbsp; $d(t)$&nbsp; ergibt sich aus der Differenz der beiden oberen Signale (untere Grafik):
 :$$d(t)  =  x(t)-y(t)   .$$
-In der Teilaufgabe '''(4)''' ist nach den Integralflächen der impulsartigen Signale $x(t)$ und $d(t)$ gefragt. Für diese gilt:
+In der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; ist nach den Integralflächen der impulsartigen Signale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $d(t)$&nbsp; gefragt. Für diese gilt:
 :$$F_x = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}x(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t , \hspace{0.5cm}F_d = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}d(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t .$$
-Dagegen gilt für die entsprechenden Signalenergien mit dem [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Leistung_und_Energie_eines_Bandpass-Signals|Satz von Parseval]]:
+Dagegen gilt für die entsprechenden Signalenergien mit dem&nbsp; [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Leistung_und_Energie_eines_Bandpass-Signals|Satz von Parseval]]:
 :$$E_x = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}|x(t)|^2\hspace{0.1cm}{\rm
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 d}t = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}|D(f)|^2\hspace{0.1cm}{\rm
 d}f .$$
@@ Zeile 38: / Zeile 41: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].
-*Die Fourierrücktransformierte eines rechteckförmigen Spektrums $X(f)$ führt zu einer $\rm si$&ndash;förmigen Zeitfunktion $x(t)$:
+*Die Fourierrücktransformierte eines rechteckförmigen Spektrums&nbsp; $X(f)$&nbsp; führt zu einer&nbsp; $\rm si$&ndash;förmigen Zeitfunktion $x(t)$:
 :$$X(f)=\left\{ {X_0 \; \rm f\ddot{u}r\; |\it f| < \rm B, \atop {\rm 0 \;\;\; \rm sonst}}\right. \;\;
@@ Zeile 49: / Zeile 52: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie lautet das Spektrum $X(f)$ des Signals $x(t)$? Wie groß sind $X(f = 0)$ und die physikalische, einseitige Bandbreite $B_x$ von $x(t)$?
+{Wie lautet das Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; des Signals&nbsp; $x(t)$? Wie groß sind&nbsp; $X(f = 0)$&nbsp; und die physikalische, einseitige Bandbreite&nbsp; $B_x$&nbsp; von&nbsp; $x(t)$?
 |type="{}"}
 $X(f=0)\ = \ $   { 1 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
 $B_x \ = \ $ { 5 3% } &nbsp;$\text{kHz}$
-{Wie lauten die entsprechenden Kenngrößen des Signals $y(t)$?
+{Wie lauten die entsprechenden Kenngrößen des Signals&nbsp; $y(t)$?
 |type="{}"}
 $Y(f=0)\ = \ $  { 1 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
@@ Zeile 60: / Zeile 63: @@
-{Berechnen Sie das Spektrum $D(f)$ des Differenzsignals $d(t) = x(t) - y(t)$. Wie groß sind $D(f = 0)$ und die (einseitige) Bandbreite $B_d$?
+{Berechnen Sie das Spektrum&nbsp; $D(f)$&nbsp; des Differenzsignals&nbsp; $d(t) = x(t) - y(t)$. Wie groß sind&nbsp; $D(f = 0)$&nbsp; und die (einseitige) Bandbreite&nbsp; $B_d$?
 |type="{}"}
 $D(f=0)\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
 $B_d \ = \ $ { 2 3% } &nbsp;$\text{kHz}$
-{Wie groß sind die Integralflächen $F_x$ und $F_d$ der Signale $x(t)$ und $d(t)$?
+{Wie groß sind die Integralflächen&nbsp; $F_x$&nbsp; und&nbsp; $F_d$&nbsp; der Signale&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $d(t)$?
 |type="{}"}
 $F_x\ = \ $ { 0.001 } &nbsp;$\text{Vs}$
 $F_d\ = \ $ { 0. }  &nbsp;$\text{Vs}$
-{Wie groß sind die (auf $1\  Ω$ umgerechneten) Energien dieser Signale?
+{Wie groß sind die (auf&nbsp; $1\  Ω$&nbsp; umgerechneten) Energien dieser Signale?
 |type="{}"}
 $E_x \ = \ $ { 0.01 3% } &nbsp;$\text{V}^2\text{s}$

@@ Zeile 39: / Zeile 39: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Die Fourierrücktransformierte eines rechteckförmigen Spektrums $X(f)$ führt zu einer si-förmigen Zeitfunktion $x(t)$:

@@ Zeile 80: / Zeile 80: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.''' Die si–förmige Zeitfunktion $x(t)$ lässt auf ein Rechteckspektrum $X(f)$ schließen. Die absolute, zweiseitige Bandbreite $2 \cdot B_x$ ist gleich dem Kehrwert der ersten Nullstelle. Daraus folgt:
+'''(1)'''&nbsp; Die si–förmige Zeitfunktion $x(t)$ lässt auf ein Rechteckspektrum $X(f)$ schließen. Die absolute, zweiseitige Bandbreite $2 \cdot B_x$ ist gleich dem Kehrwert der ersten Nullstelle. Daraus folgt:
-$$B_x = \frac{1}{2 \cdot T_x}  =  \frac{1}{2 \cdot 0.1
+:$$B_x = \frac{1}{2 \cdot T_x}  =  \frac{1}{2 \cdot 0.1
 \hspace{0.1cm}{\rm ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 5 \hspace{0.1cm}{\rm kHz}}.$$
 Da der Signalwert bei $t = 0$ gleich der Rechteckfläche ist, ergibt sich für die konstante Höhe:
-$$X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 B_x}  =  \frac{10
+:$$X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 B_x}  =  \frac{10
-\hspace{0.1cm}{\rm V}}{10 \hspace{0.1cm}{\rm kHz}} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.001
+\hspace{0.1cm}{\rm V}}{10 \hspace{0.1cm}{\rm kHz}} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1
-\hspace{0.1cm}{\rm V/Hz}}.$$
+\hspace{0.1cm}{\rm mV/Hz}}.$$
-'''2.'''  Aus $T_y = 0.167 \,\text{ms}$ erhält man $B_y \;\underline{= 3 \,\text{kHz}}$. Zusammen mit $y(t = 0) = 6\,\text{V}$ führt dies zum gleichen Spektralwert $Y(f = 0)\; \underline{= 0.001\, \text{V/Hz}}$ wie bei der Teilaufgabe (1).
+'''(2)'''&nbsp; Aus $T_y = 0.167 \,\text{ms}$ erhält man $B_y \;\underline{= 3 \,\text{kHz}}$. Zusammen mit $y(t = 0) = 6\,\text{V}$ führt dies zum gleichen Spektralwert $Y(f = 0)\; \underline{= 1\, \text{mV/Hz}}$ wie bei der Teilaufgabe (1).
-[[Datei:P_ID701__Sig_A_4_1_c_neu.png|right|Rechteckförmiges BP-Spektrum]]
+[[Datei:P_ID701__Sig_A_4_1_c_neu.png|right|frame|Rechteckförmiges BP-Spektrum]]
-'''3.''' Aus $d(t) = x(t) – y(t)$ folgt wegen der Linearität der Fouriertransformation:
+*Die Differenz der zwei gleich hohen Rechteckfunktionen führt zu einem rechteckförmigen Bandpass–Spektrum zwischen $3 \,\text{kHz}$ und $5 \,\text{kHz}$.
+*Die (einseitige) Bandbreite beträgt somit $B_d \;\underline{= 2 \,\text{kHz}}$. In diesem Frequenzintervall ist $D(f) = 1 \,\text{mV/Hz}$. Außerhalb, also auch bei $f = 0$, gilt $D(f)\;\underline{ = 0}$.
-'''4.''' Nach den fundamentalen Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation ist das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei $f$ = 0. Daraus folgt:
+'''(4)'''&nbsp; Nach den fundamentalen Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation ist das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei $f = 0$. Daraus folgt:
-$$F_x = X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 \cdot B_x}  =   10^{-3}
+:$$F_x = X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 \cdot B_x}  =   10^{-3}
 \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz}\hspace{0.15 cm}\underline{=   0.001 \hspace{0.1cm}{\rm Vs}},$$
-$$F_d = D(f=0) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
+:$$F_d = D(f=0) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
 &rArr;&nbsp; Bei jedem Bandpass–Signal sind die Flächen der positiven Signalanteile gleich groß wie die Flächen der negativen Anteile.
-'''5.''' In beiden Fällen ist die Berechnung der Signalenergie im Frequenzbereich einfacher als im Zeitbereich, da hier die Integration auf eine Flächenberechnung von Rechtecken zurückgeführt werden kann:
+'''(5)'''&nbsp; In beiden Fällen ist die Berechnung der Signalenergie im Frequenzbereich einfacher als im Zeitbereich, da hier die Integration auf eine Flächenberechnung von Rechtecken zurückgeführt werden kann:
-$$E_x =    (10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz})^2 \cdot 2 \cdot 5
+:$$E_x =    (10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz})^2 \cdot 2 \cdot 5
 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.01 \hspace{0.1cm}{\rm V^2s}},$$
-$$E_d =    (10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz})^2 \cdot 2 \cdot 2
+:$$E_d =    (10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz})^2 \cdot 2 \cdot 2
 \hspace{0.1cm}{\rm kHz} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.004 \hspace{0.1cm}{\rm
 V^2s}}.$$