Aufgaben:Aufgabe 4.1: Tiefpass- und Bandpass-Signale - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:37:25Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:37 Uhr
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	Dagegen gilt für die entsprechenden Signalenergien mit dem  [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Leistung_und_Energie_eines_Bandpass-Signals\|Satz von Parseval]]:		Dagegen gilt für die entsprechenden Signalenergien mit dem  [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Leistung_und_Energie_eines_Bandpass-Signals\|Satz von Parseval]]:

	:$$E_x = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}\|x(t)\|^2\hspace{0.1cm}{\~~rmd~~}t = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}\|X(f)\|^2\hspace{0.1cm}{\~~rmd~~}f ,$$		:$$E_x = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}\|x(t)\|^2\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}\|X(f)\|^2\hspace{0.1cm}{\rm d}f ,$$

	:$$E_d = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}\|d(t)\|^2\hspace{0.1cm}{\~~rmd~~}t = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}\|D(f)\|^2\hspace{0.1cm}{\~~rmd~~}f .$$		:$$E_d = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}\|d(t)\|^2\hspace{0.1cm}{\rm d}t = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}\|D(f)\|^2\hspace{0.1cm}{\rm d}f .$$


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	:$$E_x = (10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz})^2 \cdot 2 \cdot 5\hspace{0.1cm}{\rm kHz} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.01 \hspace{0.1cm}{\rm V^2s}},$$		:$$E_x = (10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz})^2 \cdot 2 \cdot 5\hspace{0.1cm}{\rm kHz} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.01 \hspace{0.1cm}{\rm V^2s}},$$

	:$$E_d = (10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz})^2 \cdot 2 \cdot 2\hspace{0.1cm}{\rm kHz} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.004 \hspace{0.1cm}{\~~rmV~~^2s}}.$$		:$$E_d = (10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz})^2 \cdot 2 \cdot 2\hspace{0.1cm}{\rm kHz} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.004 \hspace{0.1cm}{\rm V^2s}}.$$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}
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	__NOEDITSECTION__		__NOEDITSECTION__
	[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^4. Bandpassartige Signale^]]		[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^4. Bandpassartige Signale^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.1:_Low-Pass_and_Band-Pass_Signals]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:39:45Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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Zeile 7:		Zeile 7:
	Rechts sind drei Signalverläufe skizziert, wobei die beiden ersten folgenden Verlauf aufweisen,  mit  ${\rm si}(x)=\sin(x)/x$:		Rechts sind drei Signalverläufe skizziert, wobei die beiden ersten folgenden Verlauf aufweisen,  mit  ${\rm si}(x)=\sin(x)/x$:

	:$$x(t) = 10\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( \pi \cdot		:$$x(t) = 10\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( \pi \cdot{t}/{T_x}) ,$$
	{t}/{T_x}) ,$$

	:$$y(t) = 6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si}( \pi \cdot		:$$y(t) = 6\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si}( \pi \cdot{t}/{T_y}) .$$
	{t}/{T_y}) .$$

	Hierbei geben  $T_x = 100 \,{\rm µ}\text{s}$  und  $T_y = 166.67 \,{\rm µ}\text{s}$  jeweils die erste Nullstelle von  $x(t)$  bzw.  $y(t)$  an.		Hierbei geben  $T_x = 100 \,{\rm µ}\text{s}$  und  $T_y = 166.67 \,{\rm µ}\text{s}$  jeweils die erste Nullstelle von  $x(t)$  bzw.  $y(t)$  an.
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	Dagegen gilt für die entsprechenden Signalenergien mit dem  [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Leistung_und_Energie_eines_Bandpass-Signals\|Satz von Parseval]]:		Dagegen gilt für die entsprechenden Signalenergien mit dem  [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Leistung_und_Energie_eines_Bandpass-Signals\|Satz von Parseval]]:

	:$$E_x = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}\|x(t)\|^2\hspace{0.1cm}{\rm		:$$E_x = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}\|x(t)\|^2\hspace{0.1cm}{\rmd}t = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}\|X(f)\|^2\hspace{0.1cm}{\rmd}f ,$$
	d}t = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}\|X(f)\|^2\hspace{0.1cm}{\rm
	d}f ,$$

	:$$E_d = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}\|d(t)\|^2\hspace{0.1cm}{\rm		:$$E_d = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}\|d(t)\|^2\hspace{0.1cm}{\rmd}t = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}\|D(f)\|^2\hspace{0.1cm}{\rmd}f .$$
	d}t = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}\|D(f)\|^2\hspace{0.1cm}{\rm
	d}f .$$


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	*Die Fourierrücktransformierte eines rechteckförmigen Spektrums  $X(f)$  führt zu einer  $\rm si$–förmigen Zeitfunktion $x(t)$:		*Die Fourierrücktransformierte eines rechteckförmigen Spektrums  $X(f)$  führt zu einer  $\rm si$–förmigen Zeitfunktion $x(t)$:

	:$$X(f)=\left\{ {X_0 \; \rm f\ddot{u}r\; \|\it \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\| < \rm B, \atop {\rm 0 \;\;\; \rm sonst}}\right. \;\;		:$$X(f)=\left\{ {X_0 \; \rm f\ddot{u}r\; \|\it \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\| < \rm B, \atop {\rm 0 \;\;\; \rm sonst}}\right. \;\;\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \;\;x(t) = 2 \cdot X_0 \cdot B \cdot {\rm si} ( 2\pi B t), \hspace{0.5cm} {\rm si}(x)=\sin(x)/x.$$
	\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \;\;x(t) = 2 \cdot X_0 \cdot B \cdot {\rm si} ( 2\pi B t), \hspace{0.5cm} {\rm si}(x)=\sin(x)/x.$$


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	*Die absolute, zweiseitige Bandbreite  $2 \cdot B_x$  ist gleich dem Kehrwert der ersten Nullstelle.  Daraus folgt:		*Die absolute, zweiseitige Bandbreite  $2 \cdot B_x$  ist gleich dem Kehrwert der ersten Nullstelle.  Daraus folgt:

	:$$B_x = \frac{1}{2 \cdot T_x} = \frac{1}{2 \cdot 0.1		:$$B_x = \frac{1}{2 \cdot T_x} = \frac{1}{2 \cdot 0.1\hspace{0.1cm}{\rm ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 5 \hspace{0.1cm}{\rm kHz}}.$$
	\hspace{0.1cm}{\rm ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 5 \hspace{0.1cm}{\rm kHz}}.$$

	*Da der Signalwert bei  $t = 0$  gleich der Rechteckfläche ist, ergibt sich für die konstante Höhe:		*Da der Signalwert bei  $t = 0$  gleich der Rechteckfläche ist, ergibt sich für die konstante Höhe:

	:$$X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 B_x} = \frac{10		:$$X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 B_x} = \frac{10\hspace{0.1cm}{\rm V}}{10 \hspace{0.1cm}{\rm kHz}} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1\hspace{0.1cm}{\rm mV/Hz}}.$$
	\hspace{0.1cm}{\rm V}}{10 \hspace{0.1cm}{\rm kHz}} \hspace{0.15 cm}\underline{= 1
	\hspace{0.1cm}{\rm mV/Hz}}.$$


Zeile 114:		Zeile 104:
	'''(4)'''  Nach den fundamentalen Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation ist das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei  $f = 0$.  Daraus folgt:		'''(4)'''  Nach den fundamentalen Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation ist das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei  $f = 0$.  Daraus folgt:

	:$$F_x = X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 \cdot B_x} = 10^{-3}		:$$F_x = X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 \cdot B_x} = 10^{-3}\hspace{0.1cm}{\rm V/Hz}\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.001 \hspace{0.1cm}{\rm Vs}},$$
	\hspace{0.1cm}{\rm V/Hz}\hspace{0.15 cm}\underline{= 0.001 \hspace{0.1cm}{\rm Vs}},$$

	:$$F_d = D(f=0) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$		:$$F_d = D(f=0) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$
Zeile 125:		Zeile 114:
	'''(5)'''  In beiden Fällen ist die Berechnung der Signalenergie im Frequenzbereich einfacher als im Zeitbereich, da hier die Integration auf eine Flächenberechnung von Rechtecken zurückgeführt werden kann:		'''(5)'''  In beiden Fällen ist die Berechnung der Signalenergie im Frequenzbereich einfacher als im Zeitbereich, da hier die Integration auf eine Flächenberechnung von Rechtecken zurückgeführt werden kann:

	:$$E_x = (10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz})^2 \cdot 2 \cdot 5		:$$E_x = (10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz})^2 \cdot 2 \cdot 5\hspace{0.1cm}{\rm kHz} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.01 \hspace{0.1cm}{\rm V^2s}},$$
	\hspace{0.1cm}{\rm kHz} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.01 \hspace{0.1cm}{\rm V^2s}},$$

	:$$E_d = (10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz})^2 \cdot 2 \cdot 2		:$$E_d = (10^{-3} \hspace{0.1cm}{\rm V/Hz})^2 \cdot 2 \cdot 2\hspace{0.1cm}{\rm kHz} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.004 \hspace{0.1cm}{\rmV^2s}}.$$
	\hspace{0.1cm}{\rm kHz} \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.004 \hspace{0.1cm}{\rm
	V^2s}}.$$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 3. Mai 2021 um 16:08 Uhr

2021-05-03T16:08:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2021, 18:08 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:

	{{quiz-Header\|Buchseite=Signaldarstellung/~~Unterschiede und Gemeinsamkeiten von TP~~- ~~und BP~~-Signalen		{{quiz-Header\|Buchseite=Signaldarstellung/Grundsätzliches_zu_Tiefpass-_und_Bandpass-Signalen
	}}		}}

Guenter am 3. Mai 2021 um 15:07 Uhr

2021-05-03T15:07:52Z

Guenter am 3. Mai 2021 um 14:59 Uhr

2021-05-03T14:59:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2021, 16:59 Uhr
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	:$$X(f)=\left\{ {X_0 \; \rm f\ddot{u}r\; \|\it \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\| < \rm B, \atop {\rm 0 \;\;\; \rm sonst}}\right. \;\;		:$$X(f)=\left\{ {X_0 \; \rm f\ddot{u}r\; \|\it \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\| < \rm B, \atop {\rm 0 \;\;\; \rm sonst}}\right. \;\;
	\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \;\;x(t) = 2 \cdot X_0 \cdot B \cdot {\rm si} ( 2\pi B t) .$$		\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \;\;x(t) = 2 \cdot X_0 \cdot B \cdot {\rm si} ( 2\pi B t), \hspace{0.5cm} {\rm si}(x)=\sin(x)/x.$$

Guenter am 3. Mai 2021 um 14:31 Uhr

2021-05-03T14:31:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2021, 16:31 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	[[Datei:P_ID691__Sig_A_4_1.png\|250px\|right\|frame\|Vorgegebene Signalverläufe]]		[[Datei:P_ID691__Sig_A_4_1.png\|250px\|right\|frame\|Vorgegebene Signalverläufe]]

	Rechts sind drei Signalverläufe skizziert, wobei die beiden ersten folgenden Verlauf aufweisen:		Rechts sind drei Signalverläufe skizziert, wobei die beiden ersten folgenden Verlauf aufweisen,  mit  ${\rm si}(x)=\sin(x)/x$:

	:$$x(t) = 10\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( \pi \cdot		:$$x(t) = 10\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot {\rm si} ( \pi \cdot
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	{t}/{T_y}) .$$		{t}/{T_y}) .$$

	$T_x = 100 \,{\rm µ}\text{s}$  und  $T_y = 166.67 \,{\rm µ}\text{s}$  ~~geben~~ jeweils die erste Nullstelle von  $x(t)$  bzw.  $y(t)$  an.		Hierbei geben  $T_x = 100 \,{\rm µ}\text{s}$  und  $T_y = 166.67 \,{\rm µ}\text{s}$  jeweils die erste Nullstelle von  $x(t)$  bzw.  $y(t)$  an.

	Das Signal  $d(t)$  ~~ergibt sich aus der~~ Differenz der beiden oberen Signale (untere Grafik):		Das Signal  $d(t)$  ist die Differenz der beiden oberen Signale (untere Grafik):

	:$$d(t) = x(t)-y(t) .$$		:$$d(t) = x(t)-y(t) .$$

	In der Teilaufgabe  '''(4)'''  ist nach den Integralflächen der ~~impulsartigen~~ Signale  $x(t)$  und  $d(t)$  gefragt. Für diese gilt:		In der Teilaufgabe  '''(4)'''  ist nach den Integralflächen der zeitlich begrenzten Signale  $x(t)$  und  $d(t)$  gefragt.  Für diese gilt:

	:$$F_x = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}x(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t , \hspace{0.5cm}F_d = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}d(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t .$$		:$$F_x = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}x(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t , \hspace{0.5cm}F_d = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}d(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t .$$
Zeile 41:		Zeile 41:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/~~Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP~~-~~_und_BP~~-Signalen\|~~Unterschiede und Gemeinsamkeiten von~~ Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Grundsätzliches_zu_Tiefpass-_und_Bandpass-Signalen\|Grundsätzliches zu Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].

	*Die Fourierrücktransformierte eines rechteckförmigen Spektrums  $X(f)$  führt zu einer  $\rm si$–förmigen Zeitfunktion $x(t)$:		*Die Fourierrücktransformierte eines rechteckförmigen Spektrums  $X(f)$  führt zu einer  $\rm si$–förmigen Zeitfunktion $x(t)$:

	:$$X(f)=\left\{ {X_0 \; \rm f\ddot{u}r\; \|\it f\| < \rm B, \atop {\rm 0 \;\;\; \rm sonst}}\right. \;\;		:$$X(f)=\left\{ {X_0 \; \rm f\ddot{u}r\; \|\it \hspace{0.05cm}f\hspace{0.05cm}\| < \rm B, \atop {\rm 0 \;\;\; \rm sonst}}\right. \;\;
	\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \;\;x(t) = 2 \cdot X_0 \cdot B \cdot {\rm si} ( 2\pi B t) .$$		\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \;\;x(t) = 2 \cdot X_0 \cdot B \cdot {\rm si} ( 2\pi B t) .$$

Zeile 52:		Zeile 52:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie lautet das Spektrum  $X(f)$  des Signals  $x(t)$? Wie groß sind  $X(f = 0)$  und die physikalische, einseitige Bandbreite  $B_x$  von  $x(t)$?		{Wie lautet das Spektrum  $X(f)$  des Signals  $x(t)$?  Wie groß sind  $X(f = 0)$  und die physikalische, einseitige Bandbreite  $B_x$  von  $x(t)$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$X(f=0)\ = \ $ { 1 3% }  $\text{mV/Hz}$		$X(f=0)\ = \ $ { 1 3% }  $\text{mV/Hz}$
Zeile 63:		Zeile 63:


	{Berechnen Sie das Spektrum  $D(f)$  des Differenzsignals  $d(t) = x(t) - y(t)$. Wie groß sind  $D(f = 0)$  und die (einseitige) Bandbreite  $B_d$?		{Berechnen Sie das Spektrum  $D(f)$  des Differenzsignals  $d(t) = x(t) - y(t)$.  Wie groß sind  $D(f = 0)$  und die (einseitige) Bandbreite  $B_d$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$D(f=0)\ = \ $ { 0. }  $\text{mV/Hz}$		$D(f=0)\ = \ $ { 0. }  $\text{mV/Hz}$

Guenter am 2. Oktober 2019 um 15:06 Uhr

2019-10-02T15:06:31Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Oktober 2019, 17:06 Uhr
Zeile 83:		Zeile 83:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die si–förmige Zeitfunktion $x(t)$ lässt auf ein Rechteckspektrum $X(f)$ schließen. Die absolute, zweiseitige Bandbreite $2 \cdot B_x$ ist gleich dem Kehrwert der ersten Nullstelle. Daraus folgt:		'''(1)'''  Die si–förmige Zeitfunktion  $x(t)$  lässt auf ein Rechteckspektrum  $X(f)$  schließen.
			*Die absolute, zweiseitige Bandbreite  $2 \cdot B_x$  ist gleich dem Kehrwert der ersten Nullstelle. Daraus folgt:

	:$$B_x = \frac{1}{2 \cdot T_x} = \frac{1}{2 \cdot 0.1		:$$B_x = \frac{1}{2 \cdot T_x} = \frac{1}{2 \cdot 0.1
	\hspace{0.1cm}{\rm ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 5 \hspace{0.1cm}{\rm kHz}}.$$		\hspace{0.1cm}{\rm ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{ = 5 \hspace{0.1cm}{\rm kHz}}.$$

	Da der Signalwert bei $t = 0$ gleich der Rechteckfläche ist, ergibt sich für die konstante Höhe:		*Da der Signalwert bei  $t = 0$  gleich der Rechteckfläche ist, ergibt sich für die konstante Höhe:

	:$$X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 B_x} = \frac{10		:$$X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 B_x} = \frac{10
Zeile 95:		Zeile 96:


	'''(2)'''  Aus $T_y = 0.167 \,\text{ms}$ erhält man $B_y \;\underline{= 3 \,\text{kHz}}$. Zusammen mit $y(t = 0) = 6\,\text{V}$ führt dies zum gleichen Spektralwert $Y(f = 0)\; \underline{= 1\, \text{mV/Hz}}$ wie bei der Teilaufgabe '''(1)'''.
			'''(2)'''  Aus  $T_y = 0.167 \,\text{ms}$  erhält man  $B_y \;\underline{= 3 \,\text{kHz}}$.
			*Zusammen mit  $y(t = 0) = 6\,\text{V}$  führt dies zum gleichen Spektralwert  $Y(f = 0)\; \underline{= 1\, \text{mV/Hz}}$  wie bei der Teilaufgabe  '''(1)'''.




	[[Datei:P_ID701__Sig_A_4_1_c_neu.png\|right\|frame\|Rechteckförmiges BP–Spektrum]]		[[Datei:P_ID701__Sig_A_4_1_c_neu.png\|right\|frame\|Rechteckförmiges BP–Spektrum]]
	'''(3)'''  Aus $d(t) = x(t) - y(t)$ folgt wegen der Linearität der Fouriertransformation:   $D(f) = X(f) - Y(f).$		'''(3)'''  Aus  $d(t) = x(t) - y(t)$  folgt wegen der Linearität der Fouriertransformation:   $D(f) = X(f) - Y(f).$

			*Die Differenz der zwei gleich hohen Rechteckfunktionen führt zu einem rechteckförmigen Bandpass–Spektrum zwischen  $3 \,\text{kHz}$  und  $5 \,\text{kHz}$.
			*Die (einseitige) Bandbreite beträgt somit  $B_d \;\underline{= 2 \,\text{kHz}}$. In diesem Frequenzintervall ist  $D(f) = 1 \,\text{mV/Hz}$. Außerhalb, also auch bei  $f = 0$, gilt  $D(f)\;\underline{ = 0}$.

	*Die Differenz der zwei gleich hohen Rechteckfunktionen führt zu einem rechteckförmigen Bandpass–Spektrum zwischen $3 \,\text{kHz}$ und $5 \,\text{kHz}$.
	*Die (einseitige) Bandbreite beträgt somit $B_d \;\underline{= 2 \,\text{kHz}}$. In diesem Frequenzintervall ist $D(f) = 1 \,\text{mV/Hz}$. Außerhalb, also auch bei $f = 0$, gilt $D(f)\;\underline{ = 0}$.


	'''(4)'''  Nach den fundamentalen Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation ist das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei $f = 0$. Daraus folgt:
			'''(4)'''  Nach den fundamentalen Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation ist das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei  $f = 0$. Daraus folgt:

	:$$F_x = X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 \cdot B_x} = 10^{-3}		:$$F_x = X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 \cdot B_x} = 10^{-3}
Zeile 113:		Zeile 120:

	⇒  Bei jedem Bandpass–Signal sind die Flächen der positiven Signalanteile gleich groß wie die Flächen der negativen Anteile.		⇒  Bei jedem Bandpass–Signal sind die Flächen der positiven Signalanteile gleich groß wie die Flächen der negativen Anteile.

Guenter am 2. Oktober 2019 um 14:58 Uhr

2019-10-02T14:58:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Oktober 2019, 16:58 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:
	{t}/{T_y}) .$$		{t}/{T_y}) .$$

	$T_x = 100 \,{\rm µ}\text{s}$ und $T_y = 166.67 \,{\rm µ}\text{s}$ geben jeweils die erste Nullstelle von $x(t)$ bzw. $y(t)$ an.		$T_x = 100 \,{\rm µ}\text{s}$  und  $T_y = 166.67 \,{\rm µ}\text{s}$  geben jeweils die erste Nullstelle von  $x(t)$  bzw.  $y(t)$  an.

	Das Signal $d(t)$ ergibt sich aus der Differenz der beiden oberen Signale (untere Grafik):		Das Signal  $d(t)$  ergibt sich aus der Differenz der beiden oberen Signale (untere Grafik):

	:$$d(t) = x(t)-y(t) .$$		:$$d(t) = x(t)-y(t) .$$

	In der Teilaufgabe '''(4)''' ist nach den Integralflächen der impulsartigen Signale $x(t)$ und $d(t)$ gefragt. Für diese gilt:		In der Teilaufgabe  '''(4)'''  ist nach den Integralflächen der impulsartigen Signale  $x(t)$  und  $d(t)$  gefragt. Für diese gilt:

	:$$F_x = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}x(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t , \hspace{0.5cm}F_d = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}d(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t .$$		:$$F_x = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}x(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t , \hspace{0.5cm}F_d = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}d(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t .$$

	Dagegen gilt für die entsprechenden Signalenergien mit dem [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Leistung_und_Energie_eines_Bandpass-Signals\|Satz von Parseval]]:		Dagegen gilt für die entsprechenden Signalenergien mit dem  [[Signaldarstellung/Äquivalentes_Tiefpass-Signal_und_zugehörige_Spektralfunktion#Leistung_und_Energie_eines_Bandpass-Signals\|Satz von Parseval]]:

	:$$E_x = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}\|x(t)\|^2\hspace{0.1cm}{\rm		:$$E_x = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}\|x(t)\|^2\hspace{0.1cm}{\rm
Zeile 32:		Zeile 32:
	d}t = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}\|D(f)\|^2\hspace{0.1cm}{\rm		d}t = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}\|D(f)\|^2\hspace{0.1cm}{\rm
	d}f .$$		d}f .$$





Zeile 38:		Zeile 41:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen\|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen\|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].

	*Die Fourierrücktransformierte eines rechteckförmigen Spektrums $X(f)$ führt zu einer $\rm si$–förmigen Zeitfunktion $x(t)$:		*Die Fourierrücktransformierte eines rechteckförmigen Spektrums  $X(f)$  führt zu einer  $\rm si$–förmigen Zeitfunktion $x(t)$:

	:$$X(f)=\left\{ {X_0 \; \rm f\ddot{u}r\; \|\it f\| < \rm B, \atop {\rm 0 \;\;\; \rm sonst}}\right. \;\;		:$$X(f)=\left\{ {X_0 \; \rm f\ddot{u}r\; \|\it f\| < \rm B, \atop {\rm 0 \;\;\; \rm sonst}}\right. \;\;
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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie lautet das Spektrum $X(f)$ des Signals $x(t)$? Wie groß sind $X(f = 0)$ und die physikalische, einseitige Bandbreite $B_x$ von $x(t)$?		{Wie lautet das Spektrum  $X(f)$  des Signals  $x(t)$? Wie groß sind  $X(f = 0)$  und die physikalische, einseitige Bandbreite  $B_x$  von  $x(t)$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$X(f=0)\ = \ $ { 1 3% }  $\text{mV/Hz}$		$X(f=0)\ = \ $ { 1 3% }  $\text{mV/Hz}$
	$B_x \ = \ $ { 5 3% }  $\text{kHz}$		$B_x \ = \ $ { 5 3% }  $\text{kHz}$

	{Wie lauten die entsprechenden Kenngrößen des Signals $y(t)$?		{Wie lauten die entsprechenden Kenngrößen des Signals  $y(t)$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$Y(f=0)\ = \ $ { 1 3% }  $\text{mV/Hz}$		$Y(f=0)\ = \ $ { 1 3% }  $\text{mV/Hz}$
Zeile 60:		Zeile 63:


	{Berechnen Sie das Spektrum $D(f)$ des Differenzsignals $d(t) = x(t) - y(t)$. Wie groß sind $D(f = 0)$ und die (einseitige) Bandbreite $B_d$?		{Berechnen Sie das Spektrum  $D(f)$  des Differenzsignals  $d(t) = x(t) - y(t)$. Wie groß sind  $D(f = 0)$  und die (einseitige) Bandbreite  $B_d$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$D(f=0)\ = \ $ { 0. }  $\text{mV/Hz}$		$D(f=0)\ = \ $ { 0. }  $\text{mV/Hz}$
	$B_d \ = \ $ { 2 3% }  $\text{kHz}$		$B_d \ = \ $ { 2 3% }  $\text{kHz}$

	{Wie groß sind die Integralflächen $F_x$ und $F_d$ der Signale $x(t)$ und $d(t)$?		{Wie groß sind die Integralflächen  $F_x$  und  $F_d$  der Signale  $x(t)$  und  $d(t)$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$F_x\ = \ $ { 0.001 }  $\text{Vs}$		$F_x\ = \ $ { 0.001 }  $\text{Vs}$
	$F_d\ = \ $ { 0. }  $\text{Vs}$		$F_d\ = \ $ { 0. }  $\text{Vs}$

	{Wie groß sind die (auf $1\ Ω$ umgerechneten) Energien dieser Signale?		{Wie groß sind die (auf  $1\ Ω$  umgerechneten) Energien dieser Signale?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$E_x \ = \ $ { 0.01 3% }  $\text{V}^2\text{s}$		$E_x \ = \ $ { 0.01 3% }  $\text{V}^2\text{s}$

Guenter am 25. Juli 2018 um 15:33 Uhr

2018-07-25T15:33:40Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:50Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:03 Uhr
Zeile 39:		Zeile 39:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen\|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen\|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	*Die Fourierrücktransformierte eines rechteckförmigen Spektrums $X(f)$ führt zu einer si-förmigen Zeitfunktion $x(t)$:		*Die Fourierrücktransformierte eines rechteckförmigen Spektrums $X(f)$ führt zu einer si-förmigen Zeitfunktion $x(t)$:

← Nächstältere Version		Version vom 3. Mai 2021, 17:07 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die ~~si–förmige~~ Zeitfunktion  $x(t)$  lässt auf ein Rechteckspektrum  $X(f)$  schließen.		'''(1)'''  Die  $\rm si$–förmige Zeitfunktion  $x(t)$  lässt auf ein Rechteckspektrum  $X(f)$  schließen.
	*Die absolute, zweiseitige Bandbreite  $2 \cdot B_x$  ist gleich dem Kehrwert der ersten Nullstelle. Daraus folgt:		*Die absolute, zweiseitige Bandbreite  $2 \cdot B_x$  ist gleich dem Kehrwert der ersten Nullstelle.  Daraus folgt:

	:$$B_x = \frac{1}{2 \cdot T_x} = \frac{1}{2 \cdot 0.1		:$$B_x = \frac{1}{2 \cdot T_x} = \frac{1}{2 \cdot 0.1
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	[[Datei:P_ID701__Sig_A_4_1_c_neu.png\|right\|frame\|Rechteckförmiges BP–Spektrum]]		[[Datei:P_ID701__Sig_A_4_1_c_neu.png\|right\|frame\|Rechteckförmiges Bandpass–Spektrum]]
	'''(3)'''  Aus  $d(t) = x(t) - y(t)$  folgt wegen der Linearität der Fouriertransformation:   $D(f) = X(f) - Y(f).$		'''(3)'''  Aus  $d(t) = x(t) - y(t)$  folgt wegen der Linearität der Fouriertransformation:   $D(f) = X(f) - Y(f).$

	*Die Differenz der zwei gleich hohen Rechteckfunktionen führt zu einem rechteckförmigen Bandpass–Spektrum zwischen  $3 \,\text{kHz}$  und  $5 \,\text{kHz}$.		*Die Differenz der zwei gleich hohen Rechteckfunktionen führt zu einem rechteckförmigen Bandpass–Spektrum zwischen  $3 \,\text{kHz}$  und  $5 \,\text{kHz}$.
	*Die (einseitige) Bandbreite beträgt somit  $B_d \;\underline{= 2 \,\text{kHz}}$. In diesem Frequenzintervall ist  $D(f) = 1 \,\text{mV/Hz}$. Außerhalb, also auch bei  $f = 0$, gilt  $D(f)\;\underline{ = 0}$.		*Die (einseitige) Bandbreite beträgt somit  $B_d \;\underline{= 2 \,\text{kHz}}$.  In diesem Frequenzintervall ist  $D(f) = 1 \,\text{mV/Hz}$.  Außerhalb, also auch bei  $f = 0$, gilt  $D(f)\;\underline{ = 0}$.




	'''(4)'''  Nach den fundamentalen Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation ist das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei  $f = 0$. Daraus folgt:		'''(4)'''  Nach den fundamentalen Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation ist das Integral über die Zeitfunktion gleich dem Spektralwert bei  $f = 0$.  Daraus folgt:

	:$$F_x = X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 \cdot B_x} = 10^{-3}		:$$F_x = X(f=0) = \frac{x(t=0)}{2 \cdot B_x} = 10^{-3}
Zeile 119:		Zeile 119:
	:$$F_d = D(f=0) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$		:$$F_d = D(f=0) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0}.$$

	⇒  Bei jedem Bandpass–Signal sind die Flächen der positiven Signalanteile gleich groß wie die Flächen der negativen Anteile.		⇒   '''Bei jedem Bandpass–Signal sind die Flächen der positiven Signalanteile gleich groß wie die Flächen der negativen Anteile'''.

← Nächstältere Version		Version vom 25. Juli 2018, 17:33 Uhr
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	:$$d(t) = x(t)-y(t) .$$		:$$d(t) = x(t)-y(t) .$$

	In der Teilaufgabe (4) ist nach den Integralflächen der impulsartigen Signale $x(t)$ und $d(t)$ gefragt. Für diese gilt:		In der Teilaufgabe '''(4)''' ist nach den Integralflächen der impulsartigen Signale $x(t)$ und $d(t)$ gefragt. Für diese gilt:

	:$$F_x = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}x(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t , \hspace{0.5cm}F_d = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}d(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t .$$		:$$F_x = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}x(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t , \hspace{0.5cm}F_d = \int_{- \infty}^{+\infty}\hspace{-0.4cm}d(t)\hspace{0.1cm}{\rm d}t .$$
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	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen\|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Unterschiede_und_Gemeinsamkeiten_von_TP-_und_BP-Signalen\|Unterschiede und Gemeinsamkeiten von Tiefpass- und Bandpass-Signalen]].

	*Die Fourierrücktransformierte eines rechteckförmigen Spektrums $X(f)$ führt zu einer si-förmigen Zeitfunktion $x(t)$:		*Die Fourierrücktransformierte eines rechteckförmigen Spektrums $X(f)$ führt zu einer $\rm si$–förmigen Zeitfunktion $x(t)$:

	:$$X(f)=\left\{ {X_0 \; \rm f\ddot{u}r\; \|\it f\| < \rm B, \atop {\rm 0 \;\;\; \rm sonst}}\right. \;\;		:$$X(f)=\left\{ {X_0 \; \rm f\ddot{u}r\; \|\it f\| < \rm B, \atop {\rm 0 \;\;\; \rm sonst}}\right. \;\;
Zeile 60:		Zeile 60:


	{Berechnen Sie das Spektrum $D(f)$ des Differenzsignals $d(t) = x(t) – y(t)$. Wie groß sind $D(f = 0)$ und die (einseitige) Bandbreite $B_d$?		{Berechnen Sie das Spektrum $D(f)$ des Differenzsignals $d(t) = x(t) - y(t)$. Wie groß sind $D(f = 0)$ und die (einseitige) Bandbreite $B_d$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$D(f=0)\ = \ $ { 0. }  $\text{mV/Hz}$		$D(f=0)\ = \ $ { 0. }  $\text{mV/Hz}$
Zeile 92:		Zeile 92:


	'''(2)'''  Aus $T_y = 0.167 \,\text{ms}$ erhält man $B_y \;\underline{= 3 \,\text{kHz}}$. Zusammen mit $y(t = 0) = 6\,\text{V}$ führt dies zum gleichen Spektralwert $Y(f = 0)\; \underline{= 1\, \text{mV/Hz}}$ wie bei der Teilaufgabe (1).		'''(2)'''  Aus $T_y = 0.167 \,\text{ms}$ erhält man $B_y \;\underline{= 3 \,\text{kHz}}$. Zusammen mit $y(t = 0) = 6\,\text{V}$ führt dies zum gleichen Spektralwert $Y(f = 0)\; \underline{= 1\, \text{mV/Hz}}$ wie bei der Teilaufgabe '''(1)'''.


	[[Datei:P_ID701__Sig_A_4_1_c_neu.png\|right\|frame\|Rechteckförmiges BP-Spektrum]]		[[Datei:P_ID701__Sig_A_4_1_c_neu.png\|right\|frame\|Rechteckförmiges BP–Spektrum]]
	'''(3)'''  Aus $d(t) = x(t) – y(t)$ folgt wegen der Linearität der Fouriertransformation:   $D(f) = X(f) - Y(f).$		'''(3)'''  Aus $d(t) = x(t) - y(t)$ folgt wegen der Linearität der Fouriertransformation:   $D(f) = X(f) - Y(f).$

	*Die Differenz der zwei gleich hohen Rechteckfunktionen führt zu einem rechteckförmigen Bandpass–Spektrum zwischen $3 \,\text{kHz}$ und $5 \,\text{kHz}$.		*Die Differenz der zwei gleich hohen Rechteckfunktionen führt zu einem rechteckförmigen Bandpass–Spektrum zwischen $3 \,\text{kHz}$ und $5 \,\text{kHz}$.