Aufgaben:Aufgabe 4.1: Dreieckiges (x, y)-Gebiet - Versionsgeschichte

Guenter am 7. Februar 2022 um 12:00 Uhr

2022-02-07T12:00:23Z

Guenter am 7. Februar 2022 um 11:53 Uhr

2022-02-07T11:53:47Z

Guenter am 7. Februar 2022 um 11:07 Uhr

2022-02-07T11:07:12Z

Guenter am 26. November 2019 um 10:40 Uhr

2019-11-26T10:40:14Z

Guenter am 26. November 2019 um 10:15 Uhr

2019-11-26T10:15:34Z

Guenter am 15. August 2018 um 12:22 Uhr

2018-08-15T12:22:26Z

Guenter am 15. August 2018 um 12:03 Uhr

2018-08-15T12:03:27Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:49Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:39:34Z

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Guenter am 17. März 2017 um 16:36 Uhr

2017-03-17T16:36:16Z

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 *Die Dreiecksfl&auml;che ist&nbsp; $D = 0.5 \cdot 2 \cdot 4 = 4$.
-*Da in diesem Definitionsgebiet die WDF konstant gleich&nbsp; $A$&nbsp; ist, erh&auml;lt man
+*Da in diesem Definitionsgebiet die WDF konstant gleich&nbsp; $A$&nbsp; ist,&nbsp; erh&auml;lt man
 :$$A= 1/D\hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$
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 '''(2)'''&nbsp; Zur L&ouml;sung gehen wir von nebenstehender Skizze aus.
 *Das Gebiet&nbsp; $x>y$&nbsp; liegt rechts von der Winkelhalbierenden&nbsp; $x=y$&nbsp; und ist grün markiert.
+*Diese grüne  Dreiecksfl&auml;che ist&nbsp; $D_{\rm (2)} = 0.5 \cdot 1 \cdot 2 = 1 $,&nbsp; also genau ein Viertel der Gesamtfl&auml;che&nbsp; $D$&nbsp; des Definitionsgebietes.&nbsp; Daraus folgt&nbsp; ${\rm Pr}(x > y)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}$.
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 *Hierbei bezeichnet&nbsp; $B_y(x)$&nbsp; die Breite des Gebietes&nbsp; $f_{xy} \ne 0$&nbsp; in&nbsp; $y$&ndash;Richtung beim betrachteten&nbsp; $x$&ndash;Wert.
 *Es gilt:&nbsp;  $B_y(x) = x/2$.&nbsp; Mit&nbsp; $A = 0.25$&nbsp; folgt&nbsp; $f_{x}(x) = x/8$&nbsp; f&uuml;r den Bereich&nbsp; $ 0 \le x \le 4$.
 *Die gesuchte Wahrscheinlichkeit entspricht der schraffierten Fl&auml;che in nebenstehender Skizze.&nbsp; Man erhält:
 :$$\rm Pr(\it x\ge \rm 2) = \rm 1-\rm Pr(\it x < \rm 2)  = \rm 1-\frac{1}{2}\cdot2\cdot 0.25\hspace{0.15cm}\underline{ =0.75}. $$
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 *Das Maximum liegt bei&nbsp; $y=3$&nbsp; und ergibt&nbsp; $B_x(y=3) = 2$.
 *Dazwischen ist die Zu&ndash; und Abnahme von&nbsp; $B_x(y)$&nbsp; linear und es ergibt sich eine dreieckf&ouml;rmige WDF.
-*Die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $y \ge 3$&nbsp; ist, entspricht der grün schraffierten Fl&auml;che in nebenstehender Skizze.
+*Die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $y \ge 3$&nbsp; ist,&nbsp; entspricht der grün schraffierten Fl&auml;che in nebenstehender Skizze.
 * Aufgrund der Symmetrie erhält man:
 :$${\rm Pr}(y ≥ 3)\hspace{0.15cm}\underline{ =0.5}. $$
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-[[Datei:P_ID222__Sto_A_4_1_e.png|right|frame|Zur Teilaufgabe '''(5)''']]
+[[Datei:P_ID222__Sto_A_4_1_e.png|right|frame|Zur Teilaufgabe&nbsp; '''(5)''']]
 '''(5)'''&nbsp; Wenn&nbsp; $y \ge 3$&nbsp; ist&nbsp; $($rot hinterlegtes Dreieck&nbsp; $D)$,&nbsp; gilt stets auch&nbsp; $x \ge 2$&nbsp; $($gr&uuml;n umrandetes Trapez&nbsp; $T)$.
-*Das bedeutet:&nbsp; In diesem Beispiel ist&nbsp; $D$&nbsp; eine Teilmenge von&nbsp; $T$, und es gilt:
+*Das bedeutet:&nbsp; In diesem Beispiel ist&nbsp; $D$&nbsp; eine Teilmenge von&nbsp; $T$,&nbsp; und es gilt:
 :$${\rm Pr}[(x ≥ 2) ∩ (y ≥ 3)] = {\rm Pr}(y ≥ 3) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.50}.$$

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-{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $y$&nbsp; ist.
+{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $x$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $y$&nbsp; ist.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(x > y) \ = \ $ { 0.25 3% }
-{Ermitteln Sie die Rand&ndash;WDF&nbsp; $f_x(x)$.&nbsp; Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er oder gleich&nbsp; $2$&nbsp; ist. <br>&Uuml;berpr&uuml;fen Sie den Wert anhand der 2D&ndash;WDF.
+{Ermitteln Sie die Rand&ndash;WDF&nbsp; $f_x(x)$.&nbsp; Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $x$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er oder gleich&nbsp; $2$&nbsp; ist. <br>&Uuml;berpr&uuml;fen Sie den Wert anhand der 2D&ndash;WDF.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(x ≥ 2)\ = \ $ { 0.75 3% }
-{Ermitteln Sie die Rand&ndash;WDF&nbsp; $f_y(y)$.&nbsp; Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $y$&nbsp; größer oder gleich&nbsp; $3$&nbsp; ist. <br>Überprüfen Sie den Wert anhand der 2D&ndash;WDF.
+{Ermitteln Sie die Rand&ndash;WDF&nbsp; $f_y(y)$.&nbsp; Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $y$&nbsp; größer oder gleich&nbsp; $3$&nbsp; ist. <br>Überprüfen Sie den Wert anhand der 2D&ndash;WDF.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(y ≥ 3)\ = \ $ { 0.5 3% }
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er oder gleich&nbsp; $2$&nbsp; und gleichzeitig die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er oder gleich&nbsp; $3$&nbsp; ist?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er oder gleich&nbsp; $2$&nbsp; und gleichzeitig die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er oder gleich&nbsp; $3$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}\big[(x ≥ 2) ∩ (y ≥ 3)\big]\ = \ $ { 0.5 3% }
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp;  $x$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er oder gleich&nbsp; $2$&nbsp; ist, unter der Bedingung, dass&nbsp;  $y \ge 3$&nbsp; gilt?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp;  $x$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er oder gleich&nbsp; $2$&nbsp; ist, unter der Bedingung, dass&nbsp;  $y \ge 3$&nbsp; gilt?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}\big[x ≥ 2\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} y ≥ 3\big]\ = \ $ { 1 3% }
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp;  $y \ge 3$&nbsp; ist, unter der Bedingung, dass&nbsp; $x \ge 2$&nbsp; gilt?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp;  $y \ge 3$&nbsp; ist, unter der Bedingung, dass&nbsp; $x \ge 2$&nbsp; gilt?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}\big[y ≥ 3\hspace{0.05cm}  | \hspace{0.05cm} x ≥ 2\big]\ = \ $ { 0.667 3% }

@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 :$$f_{xy}(x,y) = A .$$
-Zusätzlich ist die Gerade&nbsp; $x = y$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Winkelhalbierende&rdquo; &nbsp; in obiger Skizze eingezeichnet &nbsp; &#8658; &nbsp;siehe Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''.
+Zusätzlich ist in dieser Skizze die Gerade&nbsp; $x = y$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Winkelhalbierende&rdquo; &nbsp; eingezeichnet &nbsp; &#8658; &nbsp;siehe Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''.
@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
 Hinweis:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].

@@ Zeile 67: / Zeile 67: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Das Volumen unter der zweidimensionalen WDF ist definitionsgem&auml;&szlig; gleich $1$:
+'''(1)'''&nbsp; Das Volumen unter der zweidimensionalen WDF ist definitionsgem&auml;&szlig; gleich&nbsp; $1$:
 :$$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{xy}(x,y)\, {\rm d}x\, {\rm d}y=1.$$
-Die Dreiecksfl&auml;che ist $D = 0.5 \cdot 2 \cdot 4 = 4$. Da in diesem Definitionsgebiet die WDF konstant gleich $A$ ist, erh&auml;lt man $A= 1/D\hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}$.
+*Die Dreiecksfl&auml;che ist&nbsp; $D = 0.5 \cdot 2 \cdot 4 = 4$.
-[[Datei:P_ID219__Sto_A_4_1_b.png|right|frame|Dreieckförmige 2D-WDF]]
+*Diese grüne  Dreiecksfl&auml;che ist&nbsp; $D_{\rm (2)} = 0.5 \cdot 1 \cdot 2 = 1 $, also genau ein Viertel der Gesamtfl&auml;che&nbsp; $D$&nbsp; des Definitionsgebietes.
-'''(2)'''&nbsp; Zur L&ouml;sung gehen wir von nebenstehender Skizze aus. Das Gebiet $x>y$&nbsp; liegt rechts von der Winkelhalbierenden $x=y$ und ist grün markiert.
+*Daraus folgt&nbsp; ${\rm Pr}(x > y)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}$.
-'''(3)'''&nbsp; F&uuml;r die gesuchte Rand&nbsp;WDF gilt in diesem Fall:
+'''(3)'''&nbsp; F&uuml;r die gesuchte Rand&ndash;WDF gilt in diesem Fall:
 :$$f_x(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{xy}(x,y)\, {\rm d}y=A\cdot B_y (x).$$
-Hierbei bezeichnet $B_y(x)$ die Breite des Gebietes $f_{xy} \ne 0$ in $y$-Richtung beim betrachteten $x$-Wert. <br>Es gilt:  $B_y(x) = x/2$. Mit $A = 0.25$ folgt $f_{x}(x) = x/8$ f&uuml;r den Bereich $ 0 \le x \le 4$.
+*Hierbei bezeichnet&nbsp; $B_y(x)$&nbsp; die Breite des Gebietes&nbsp; $f_{xy} \ne 0$&nbsp; in&nbsp; $y$&ndash;Richtung beim betrachteten&nbsp; $x$&ndash;Wert.
+*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit entspricht der schraffierten Fl&auml;che in nebenstehender Skizze.&nbsp; Man erhält:
 :$$\rm Pr(\it x\ge \rm 2) = \rm 1-\rm Pr(\it x < \rm 2)  = \rm 1-\frac{1}{2}\cdot2\cdot 0.25\hspace{0.15cm}\underline{ =0.75}. $$
-Zum gleichen Ergebnis gelangt man anhand der 2D-WDF:
+*Zum gleichen Ergebnis gelangt man anhand der 2D&ndash;WDF:&nbsp; Rechts von&nbsp; $x = 2$&nbsp; liegt&nbsp; $3/4$&nbsp; des gesamten Definitionsgebiets.
 <br clear=all>
-[[Datei:P_ID221__Sto_A_4_1_d.png|right|frame|Rand&ndash;WDF bezüglich $y$]]
+[[Datei:P_ID221__Sto_A_4_1_d.png|right|frame|Rand&ndash;WDF bezüglich&nbsp; $y$]]
-'''(4)'''&nbsp; Analog der Musterl&ouml;sung der Teilaufgabe '''(3)''' gilt:
+'''(4)'''&nbsp; Analog der Musterl&ouml;sung zur Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; gilt:
 :$$f_y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{xy}(x,y)\, {\rm d}x=A\cdot B_x (y).$$
-*Die Ausbreitung des WDF-Gebietes in $x$&ndash;Richtung ist f&uuml;r $y \le 1$ und $y \ge 5$  jeweils $0$.
+*Die Ausbreitung des WDF&ndash;Gebietes in&nbsp; $x$&ndash;Richtung ist f&uuml;r&nbsp; $y \le 1$&nbsp; und&nbsp; $y \ge 5$&nbsp;  jeweils Null.
-*Das Maximum liegt bei $y=3$ und ergibt $B_x(y=3) = 2$.
+*Das Maximum liegt bei&nbsp; $y=3$&nbsp; und ergibt&nbsp; $B_x(y=3) = 2$.
-*Dazwischen ist die Zu&ndash; und Abnahme von $B_x(y)$ linear und es ergibt sich eine dreieckf&ouml;rmige WDF.
+*Dazwischen ist die Zu&ndash; und Abnahme von&nbsp; $B_x(y)$&nbsp; linear und es ergibt sich eine dreieckf&ouml;rmige WDF.
-*Die Wahrscheinlichkeit, dass $y \ge 3$ ist, entspricht der grün schraffierten Fl&auml;che in der nebenstehenden Skizze und ergibt aufgrund der Symmetrie
+*Die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $y \ge 3$&nbsp; ist, entspricht der grün schraffierten Fl&auml;che in nebenstehender Skizze.
 :$${\rm Pr}(y ≥ 3)\hspace{0.15cm}\underline{ =0.5}. $$
-Zum gleichen Ergebnis kommt man anhand der 2D&ndash;WDF: &nbsp; Oberhalb der Horizontalen $y= 3$ liegt die H&auml;lfte des gesamten Definitionsgebietes.
+Zum gleichen Ergebnis kommt man anhand der 2D&ndash;WDF: &nbsp; Oberhalb der Horizontalen&nbsp; $y= 3$&nbsp; liegt die H&auml;lfte des gesamten Definitionsgebietes.
 [[Datei:P_ID222__Sto_A_4_1_e.png|right|frame|Zur Teilaufgabe '''(5)''']]
-'''(5)'''&nbsp; Wenn $y \ge 3$ ist (rot hinterlegtes Dreieck $D$), gilt stets auch $x \ge 2$ (gr&uuml;n umrandetes Trapez <i>T</i>). Das bedeutet: In diesem Beispiel ist $D$ eine Teilmenge von $T$, und es gilt:
+'''(5)'''&nbsp; Wenn&nbsp; $y \ge 3$&nbsp; ist&nbsp; $($rot hinterlegtes Dreieck&nbsp; $D)$,&nbsp; gilt stets auch&nbsp; $x \ge 2$&nbsp; $($gr&uuml;n umrandetes Trapez&nbsp; $T)$.
 :$${\rm Pr}[(x ≥ 2) ∩ (y ≥ 3)] = {\rm Pr}(y ≥ 3) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.50}.$$
-'''(6)'''&nbsp; Entsprechend der L&ouml;sung zur letzten Teilaufgabe '''(5)''' folgt aus $y \ge 3$ mit Sicherheit auch$x \ge 2$. <br>Somit ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit:
 :$${\rm Pr}[x ≥ 2\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} y ≥ 3]\hspace{0.15cm}\underline{= 1}.$$
 '''(7)'''&nbsp; Diese Teilaufgabe kann man mit dem Satz von Bayes und den Ergebnissen aus '''(2)''' und '''(5)''' lösen:
 :$$\rm Pr(\it y \ge \rm 3\hspace{0.1cm}|\hspace{0.1cm} \it x \ge \rm 2) = \frac{ \rm Pr((\it x \ge \rm 2)\cap(\it y \ge \rm 3))} {\rm Pr(\it x \ge \rm 2)}=2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}.$$
-<u>Oder anders ausgedr&uuml;ckt:</u> &nbsp; Die Fl&auml;che $D$ des rot hinterlegten Dreiecks macht $2/3$ der Fl&auml;che des gr&uuml;n umrandeten Trapezes $T$ aus.
+* Oder anders ausgedr&uuml;ckt: &nbsp; Die Fl&auml;che&nbsp; $D$&nbsp; des rot hinterlegten Dreiecks macht&nbsp; $2/3$&nbsp; der Fl&auml;che des gr&uuml;n umrandeten Trapezes&nbsp; $T$&nbsp; aus.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 5: / Zeile 5: @@
 [[Datei:P_ID172__Sto_A_4_1.png|right|frame|Dreieckigförmiges 2D-Gebiet]]
 Eine 2D-Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist durch die nebenstehende Skizze definiert:
-*F&uuml;r ($x$, $y$) k&ouml;nnen nur Werte innerhalb des durch die drei Eckpunkte $(0,\ 1)$, $(4,\ 3)$ und $(4,\ 5)$  festgelegten dreieckf&ouml;rmigen Gebietes auftreten.
+*F&uuml;r&nbsp; $(x, \ y)$&nbsp; k&ouml;nnen nur Werte innerhalb des durch die drei Eckpunkte&nbsp; $(0,\ 1)$, $(4,\ 3)$ und $(4,\ 5)$&nbsp;  festgelegten dreieckf&ouml;rmigen Gebietes auftreten.
-*Innerhalb des Dreiecks sind alle Zufallsgr&ouml;&szlig;en $(x, \ y)$ gleichwahrscheinlich.
+*Innerhalb des Dreiecks sind alle Zufallsgr&ouml;&szlig;en&nbsp; $(x, \ y)$&nbsp; gleichwahrscheinlich.
-*Für die 2D&ndash;WDF gilt somit:
+*Für die 2D&ndash;WDF gilt in diesem Bereich:
 :$$f_{xy}(x,y) = A .$$
-Zusätzlich ist die Gerade $x = y$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Winkelhalbierende&rdquo; in obiger Skizze eingezeichnet &nbsp; &#8658; &nbsp;siehe Teilaufgabe '''(2)'''.
+Zusätzlich ist die Gerade&nbsp; $x = y$ &nbsp; &#8658; &nbsp; &bdquo;Winkelhalbierende&rdquo; &nbsp; in obiger Skizze eingezeichnet &nbsp; &#8658; &nbsp;siehe Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''.
@@ Zeile 18: / Zeile 20: @@
 ''Hinweis:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
@@ Zeile 30: / Zeile 32: @@
-{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ gr&ouml;&szlig;er als $y$ ist.
+{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $y$&nbsp; ist.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(x > y) \ = \ $ { 0.25 3% }
-{Ermitteln Sie die Rand&ndash;WDF $f_x(x)$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ gr&ouml;&szlig;er oder gleich $2$ ist. <br>&Uuml;berpr&uuml;fen Sie den Wert anhand der 2D&ndash;WDF.
+{Ermitteln Sie die Rand&ndash;WDF&nbsp; $f_x(x)$.&nbsp; Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er oder gleich&nbsp; $2$&nbsp; ist. <br>&Uuml;berpr&uuml;fen Sie den Wert anhand der 2D&ndash;WDF.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(x ≥ 2)\ = \ $ { 0.75 3% }
-{Ermitteln Sie die Rand&ndash;WDF $f_y(y)$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $y$ größer oder gleich $3$ ist. <br>Überprüfen Sie den Wert anhand der 2D&ndash;WDF.
+{Ermitteln Sie die Rand&ndash;WDF&nbsp; $f_y(y)$.&nbsp; Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $y$&nbsp; größer oder gleich&nbsp; $3$&nbsp; ist. <br>Überprüfen Sie den Wert anhand der 2D&ndash;WDF.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(y ≥ 3)\ = \ $ { 0.5 3% }
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ gr&ouml;&szlig;er oder gleich $2$ und gleichzeitig die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ gr&ouml;&szlig;er oder gleich $3$ ist?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er oder gleich&nbsp; $2$&nbsp; und gleichzeitig die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er oder gleich&nbsp; $3$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}\big[(x ≥ 2) ∩ (y ≥ 3)\big]\ = \ $ { 0.5 3% }
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$ gr&ouml;&szlig;er oder gleich $2$ ist, unter der Bedingung, dass  $y \ge 3$ gilt?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp;  $x$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er oder gleich&nbsp; $2$&nbsp; ist, unter der Bedingung, dass&nbsp;  $y \ge 3$&nbsp; gilt?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}\big[x ≥ 2\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} y ≥ 3\big]\ = \ $ { 1 3% }
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $y \ge 3$ ist, unter der Bedingung, dass $x \ge 2$ gilt?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp;  $y \ge 3$&nbsp; ist, unter der Bedingung, dass&nbsp; $x \ge 2$&nbsp; gilt?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}\big[y ≥ 3\hspace{0.05cm}  | \hspace{0.05cm} x ≥ 2\big]\ = \ $ { 0.667 3% }

@@ Zeile 11: / Zeile 11: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

← Nächstältere Version	Version vom 3. Januar 2018, 13:39 Uhr
(kein Unterschied)

@@ Zeile 44: / Zeile 44: @@
 {Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$ gr&ouml;&szlig;er oder gleich $2$ ist, unter der Bedingung, dass  $y \ge 3$ gilt?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}[x ≥ 2 | y ≥ 3]\ =$ { 1 3% }
+${\rm Pr}[x ≥ 2\hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm} y ≥ 3]\ =$ { 1 3% }
 {Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $y \ge 3$ ist, unter der Bedingung, dass $x \ge 2$ gilt?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}[y ≥ 3 | x ≥ 2]\ =$ { 0.667 3% }
+${\rm Pr}[y ≥ 3\hspace{0.05cm}  | \hspace{0.05cm} x ≥ 2]\ =$ { 0.667 3% }
@@ Zeile 57: / Zeile 57: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Das Volumen unter der zweidimensionalen WDF ist definitionsgem&auml;&szlig; gleich 1:
+'''(1)'''&nbsp; Das Volumen unter der zweidimensionalen WDF ist definitionsgem&auml;&szlig; gleich $1$:
-:$$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{xy}(x,y)\, {\rm d}x\, {\rm d}y=1.$$
+$$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{xy}(x,y)\, {\rm d}x\, {\rm d}y=1.$$
-:Die Dreiecksfl&auml;che ist <i>D</i> = 0.5 &middot; 2 &middot; 4 = 4. Da in diesem Definitionsgebiet die WDF konstant gleich <i>A</i> ist, erh&auml;lt man <u><i>A</i> = 1/<i>D</i> = 0.25</u>.
+Die Dreiecksfl&auml;che ist $D = 0.5 \cdot 2 \cdot 4 = 4$. Da in diesem Definitionsgebiet die WDF konstant gleich $A$ ist, erh&auml;lt man $A= 1/D\hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}$.
-[[Datei:P_ID219__Sto_A_4_1_b.png|right|]]
+[[Datei:P_ID219__Sto_A_4_1_b.png|right|Dreieckförmige 2D-WDF]]
-:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Zur L&ouml;sung gehen wir von nebenstehender Skizze aus. Das Gebiet „<i>x</i> > <i>y</i>“ liegt rechts von der Winkelhalbierenden <i>x</i> = <i>y</i> und ist grün markiert.
+'''(2)'''&nbsp; Zur L&ouml;sung gehen wir von nebenstehender Skizze aus. Das Gebiet $x>y$ liegt rechts von der Winkelhalbierenden $x=y$ und ist grün markiert.
-:Die Dreiecksfl&auml;che ist <i>D<sub>b</sub></i> = 0.5 &middot; 1 &middot; 2 = 1, also genau ein Viertel der Gesamtfl&auml;che <i>D</i> des Definitionsgebietes. Daraus folgt <u>Pr(<i>x</i> > <i>y</i>) = 0.25</u>.
+Diese grüne  Dreiecksfl&auml;che ist $D_{rm (2)} = 0.5 \cdot 1 \cdot 2 = 1 $, also genau ein Viertel der Gesamtfl&auml;che $D$ des Definitionsgebietes. Daraus folgt ${\rm Pr}(x > y)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}$.
-:Hierbei bezeichnet <i>B<sub>y</sub></i>(<i>x</i>) die Breite des Gebietes „<i>f<sub>xy</sub></i> &ne; 0“ in <i>y</i>-Richtung beim betrachteten <i>x</i>-Wert. Es gilt:  <i>B<sub>y</sub></i>(<i>x</i>) = <i>x</i>/2. Mit <i>A</i> = 0.25 folgt f&uuml;r 0 &#8804; <i>x</i> &#8804; 4: <i>f<sub>x</sub></i>(<i>x</i>) = <i>x</i>/8.
+'''(3)'''&nbsp; F&uuml;r die gesuchte Rand-WDF gilt in diesem Fall:
-[[Datei:P_ID220__Sto_A_4_1_c.png|left|]]
+$$f_x(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{xy}(x,y)\, {\rm d}y=A\cdot B_y (x).$$
-:<br>Zum gleichen Ergebnis gelangt man anhand der 2D-WDF: Rechts von der Senkrechten <i>x</i> = 2 liegt 3/4 des gesamten Definitionsgebiets.
+Hierbei bezeichnet $B_y(x)$ die Breite des Gebietes $f_{xy} \ne 0$ in $y$-Richtung beim betrachteten $x$-Wert. Es gilt:  $B_y(x) = x/2$. Mit $A = 0.25$ folgt $f_{x}(x) = x/8$ f&uuml;r den Bereich $ 0 \le x \le 4$.
-[[Datei:P_ID221__Sto_A_4_1_d.png|right|]]
+[[Datei:P_ID220__Sto_A_4_1_c.png|left|Rand-WDF bezüglich $x$]]
-:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Analog der Musterl&ouml;sung zu (c) gilt:
+Zum gleichen Ergebnis gelangt man anhand der 2D-WDF:
-:$$f_y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{xy}(x,y)\, {\rm d}x=A\cdot B_x (y).$$
+Rechts von der Senkrechten $x = 2$ liegt $3/4$ des gesamten Definitionsgebiets.
-:Die Ausbreitung des WDF-Gebietes in <i>x</i>-Richtung ist f&uuml;r <i>y</i> &#8804; 1 und <i>y</i> &#8805; 5 jeweils 0. Das Maximum liegt bei <i>y</i> = 3: <i>B<sub>x</sub></i>(<i>y</i> = 3) = 2. Dazwischen ist die Zu&ndash; und Abnahme von <i>B<sub>x</sub></i>(<i>y</i>) linear und es ergibt sich eine dreieckf&ouml;rmige WDF.
+[[Datei:P_ID221__Sto_A_4_1_d.png|right|Rand-WDF bezüglich $y$]]
-:Die Wahrscheinlichkeit, dass <i>y</i> gr&ouml;&szlig;er oder gleich 3 ist, entspricht der grün schraffierten Fl&auml;che und ergibt aufgrund der Symmetrie <u>den Wert 0.5</u>. Zum gleichen Ergebnis kommt man anhand der 2D&ndash;WDF: Oberhalb der Horizontalen <i>y</i> = 3 liegt die H&auml;lfte des gesamten Definitionsgebietes.<br><br>
+Die Ausbreitung des WDF-Gebietes in $x$-Richtung ist f&uuml;r $y \le 1$ und $y \ge 5$  jeweils $0$. Das Maximum liegt bei $y=3$ und ergibt $B_x(y=3) = 2$. Dazwischen ist die Zu&ndash; und Abnahme von $B_x(y)$ linear und es ergibt sich eine dreieckf&ouml;rmige WDF.
-:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Wenn <i>y</i> &#8805; 3 (rot hinterlegtes Dreieck <i>D</i>) ist, gilt stets auch <i>x</i> &#8805; 2 (gr&uuml;n umrandetes Trapez <i>T</i>). Das bedeutet: In diesem Beispiel ist <i>D</i> eine Teilmenge von <i>T</i>, und es gilt:
+Die Wahrscheinlichkeit, dass $y \ge 3$ ist, entspricht der grün schraffierten Fl&auml;che in der nebenstehenden Skizze und ergibt aufgrund der Symmetrie
-:$$\rm Pr((\it x \ge \rm 2)\cap(\it y \ge \rm 3)) = \rm Pr(\it y \ge \rm 3) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.50}.$$
+$${\rm Pr}(y ≥ 3)\hspace{0.15cm}\underline{ =0.5}. $$
-:<b>6.</b>&nbsp;&nbsp;Entsprechend der L&ouml;sung zur Aufgabe (e) folgt aus „<i>y</i> &#8805; 3“ mit Sicherheit auch „<i>x</i> &#8805; 2“. Somit ist die gesuchte <u>bedingte Wahrscheinlichkeit gleich 1</u>.
+Zum gleichen Ergebnis kommt man anhand der 2D&ndash;WDF: Oberhalb der Horizontalen $y= 3$ liegt die H&auml;lfte des gesamten Definitionsgebietes.
-:<b>7.</b>&nbsp;&nbsp;Die Aufgabe kann man z. B. mit dem Satz von Bayes (siehe Kapitel 1.3) und den Ergebnissen aus (2) und (5) und lösen:
+[[Datei:P_ID222__Sto_A_4_1_e.png|right|Bedingte Wahrscheinlichkeiten]]
-:$$\rm Pr(\it y \ge \rm 3\hspace{0.1cm}|\hspace{0.1cm} \it x \ge \rm 2) = \frac{ \rm Pr((\it x \ge \rm 2)\cap(\it y \ge \rm 3))} {\rm Pr(\it x \ge \rm 2)}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm {2}/{3}}.$$
+'''(5)'''&nbsp; Wenn $y \ge 3$ ist (rot hinterlegtes Dreieck $D$), gilt stets auch $x \ge 2$ (gr&uuml;n umrandetes Trapez <i>T</i>). Das bedeutet: In diesem Beispiel ist $D$ eine Teilmenge von $T$, und es gilt:
-:Oder anders ausgedr&uuml;ckt: Die Fl&auml;che <i>D</i> des rot hinterlegten Dreiecks macht 2/3 der Fl&auml;che des gr&uuml;n umrandeten Trapezes aus.
+'''(6)'''&nbsp; Entsprechend der L&ouml;sung zur letzten Teilaufgabe (e) folgt aus $y \ge 3$ mit Sicherheit auch$x \ge 2$“. Somit ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit:
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