Aufgaben:Aufgabe 4.1: Dreieckiges (x, y)-Gebiet - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:37:23Z

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	[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^4.1 Zweidimensionale Zufallsgrößen^]]		[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^4.1 Zweidimensionale Zufallsgrößen^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.1:_Triangular_(x,_y)_Area]]

Guenter am 7. Februar 2022 um 12:00 Uhr

2022-02-07T12:00:23Z

Guenter am 7. Februar 2022 um 11:53 Uhr

2022-02-07T11:53:47Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Februar 2022, 13:53 Uhr
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	{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  größer als  $y$  ist.		{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,  dass  $x$  größer als  $y$  ist.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(x > y) \ = \ $ { 0.25 3% }		${\rm Pr}(x > y) \ = \ $ { 0.25 3% }


	{Ermitteln Sie die Rand–WDF  $f_x(x)$.  Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  größer oder gleich  $2$  ist. <br>Überprüfen Sie den Wert anhand der 2D–WDF.		{Ermitteln Sie die Rand–WDF  $f_x(x)$.  Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,  dass  $x$  größer oder gleich  $2$  ist. <br>Überprüfen Sie den Wert anhand der 2D–WDF.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(x ≥ 2)\ = \ $ { 0.75 3% }		${\rm Pr}(x ≥ 2)\ = \ $ { 0.75 3% }


	{Ermitteln Sie die Rand–WDF  $f_y(y)$.  Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass  $y$  größer oder gleich  $3$  ist. <br>Überprüfen Sie den Wert anhand der 2D–WDF.		{Ermitteln Sie die Rand–WDF  $f_y(y)$.  Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,  dass  $y$  größer oder gleich  $3$  ist. <br>Überprüfen Sie den Wert anhand der 2D–WDF.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(y ≥ 3)\ = \ $ { 0.5 3% }		${\rm Pr}(y ≥ 3)\ = \ $ { 0.5 3% }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $x$  größer oder gleich  $2$  und gleichzeitig die Zufallsgröße  $y$  größer oder gleich  $3$  ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,  dass die Zufallsgröße  $x$  größer oder gleich  $2$  und gleichzeitig die Zufallsgröße  $y$  größer oder gleich  $3$  ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}\big[(x ≥ 2) ∩ (y ≥ 3)\big]\ = \ $ { 0.5 3% }		${\rm Pr}\big[(x ≥ 2) ∩ (y ≥ 3)\big]\ = \ $ { 0.5 3% }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  größer oder gleich  $2$  ist, unter der Bedingung, dass  $y \ge 3$  gilt?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,  dass  $x$  größer oder gleich  $2$  ist, unter der Bedingung, dass  $y \ge 3$  gilt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}\big[x ≥ 2\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} y ≥ 3\big]\ = \ $ { 1 3% }		${\rm Pr}\big[x ≥ 2\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} y ≥ 3\big]\ = \ $ { 1 3% }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $y \ge 3$  ist, unter der Bedingung, dass  $x \ge 2$  gilt?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,  dass  $y \ge 3$  ist, unter der Bedingung, dass  $x \ge 2$  gilt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}\big[y ≥ 3\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} x ≥ 2\big]\ = \ $ { 0.667 3% }		${\rm Pr}\big[y ≥ 3\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} x ≥ 2\big]\ = \ $ { 0.667 3% }

Guenter am 7. Februar 2022 um 11:07 Uhr

2022-02-07T11:07:12Z

← Nächstältere Version		Version vom 7. Februar 2022, 13:07 Uhr
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	:$$f_{xy}(x,y) = A .$$		:$$f_{xy}(x,y) = A .$$

	Zusätzlich ist die Gerade  $x = y$   ⇒   &bdquo;Winkelhalbierende”   ~~in obiger Skizze~~ eingezeichnet   ⇒  siehe Teilaufgabe  '''(2)'''.		Zusätzlich ist in dieser Skizze die Gerade  $x = y$   ⇒   &bdquo;Winkelhalbierende”   eingezeichnet   ⇒  siehe Teilaufgabe  '''(2)'''.


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			Hinweis:

	''Hinweis:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen\|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen\|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].

Guenter am 26. November 2019 um 10:40 Uhr

2019-11-26T10:40:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. November 2019, 12:40 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Das Volumen unter der zweidimensionalen WDF ist definitionsgemäß gleich $1$:		'''(1)'''  Das Volumen unter der zweidimensionalen WDF ist definitionsgemäß gleich  $1$:
			[[Datei:P_ID219__Sto_A_4_1_b.png\|right\|frame\|Dreieckförmige 2D-WDF]]
	:$$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{xy}(x,y)\, {\rm d}x\, {\rm d}y=1.$$		:$$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{xy}(x,y)\, {\rm d}x\, {\rm d}y=1.$$

	Die Dreiecksfläche ist $D = 0.5 \cdot 2 \cdot 4 = 4$. Da in diesem Definitionsgebiet die WDF konstant gleich $A$ ist, erhält man $A= 1/D\hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}$.		*Die Dreiecksfläche ist  $D = 0.5 \cdot 2 \cdot 4 = 4$.
			*Da in diesem Definitionsgebiet die WDF konstant gleich  $A$  ist, erhält man
			:$$A= 1/D\hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$


			'''(2)'''  Zur Lösung gehen wir von nebenstehender Skizze aus.
			*Das Gebiet  $x>y$  liegt rechts von der Winkelhalbierenden  $x=y$  und ist grün markiert.

	~~[[Datei:P_ID219__Sto_A_4_1_b.png\|right\|frame\|Dreieckförmige 2D-WDF]]~~		*Diese grüne Dreiecksfläche ist  $D_{\rm (2)} = 0.5 \cdot 1 \cdot 2 = 1 $, also genau ein Viertel der Gesamtfläche  $D$  des Definitionsgebietes.
	~~'''~~(2)~~'''~~  ~~Zur L~~&~~ouml~~;~~sung gehen wir von nebenstehender Skizze aus~~. ~~Das Gebiet $x>y$~~  ~~liegt rechts von der Winkelhalbierenden~~ $x=y$ ~~und ist grün markiert~~.		*Daraus folgt  ${\rm Pr}(x > y)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}$.

	Diese grüne Dreiecksfläche ist $D_{\rm (2)} = 0.5 \cdot 1 \cdot 2 = 1 $, also genau ein Viertel der Gesamtfläche $D$ des Definitionsgebietes. Daraus folgt ${\rm Pr}(x > y)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}$.


	'''(3)'''  Für die gesuchte Rand&~~nbsp~~;WDF gilt in diesem Fall:		'''(3)'''  Für die gesuchte Rand–WDF gilt in diesem Fall:
			[[Datei:P_ID220__Sto_A_4_1_c.png\|right\|frame\|Rand–WDF bezüglich  $x$]]
	:$$f_x(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{xy}(x,y)\, {\rm d}y=A\cdot B_y (x).$$		:$$f_x(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{xy}(x,y)\, {\rm d}y=A\cdot B_y (x).$$

	Hierbei bezeichnet $B_y(x)$ die Breite des Gebietes $f_{xy} \ne 0$ in $y$-Richtung beim betrachteten $x$-Wert. ~~<br>~~Es gilt: $B_y(x) = x/2$. Mit $A = 0.25$ folgt $f_{x}(x) = x/8$ für den Bereich $ 0 \le x \le 4$.		*Hierbei bezeichnet  $B_y(x)$  die Breite des Gebietes  $f_{xy} \ne 0$  in  $y$–Richtung beim betrachteten  $x$–Wert.
			*Es gilt:  $B_y(x) = x/2$.  Mit  $A = 0.25$  folgt  $f_{x}(x) = x/8$  für den Bereich  $ 0 \le x \le 4$.

			*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit entspricht der schraffierten Fläche in nebenstehender Skizze.  Man erhält:
	~~[[Datei:P_ID220__Sto_A_4_1_c.png\|left\|frame\|Rand–WDF bezüglich $x$]]~~
	Die gesuchte Wahrscheinlichkeit entspricht der schraffierten Fläche in ~~der linken~~ Skizze. Man erhält:
	:$$\rm Pr(\it x\ge \rm 2) = \rm 1-\rm Pr(\it x < \rm 2) = \rm 1-\frac{1}{2}\cdot2\cdot 0.25\hspace{0.15cm}\underline{ =0.75}. $$		:$$\rm Pr(\it x\ge \rm 2) = \rm 1-\rm Pr(\it x < \rm 2) = \rm 1-\frac{1}{2}\cdot2\cdot 0.25\hspace{0.15cm}\underline{ =0.75}. $$

	Zum gleichen Ergebnis gelangt man anhand der 2D-WDF:		*Zum gleichen Ergebnis gelangt man anhand der 2D–WDF:  Rechts von  $x = 2$  liegt  $3/4$  des gesamten Definitionsgebiets.
	Rechts von $x = 2$ liegt $3/4$ des gesamten Definitionsgebiets.
	<br clear=all>		<br clear=all>
	[[Datei:P_ID221__Sto_A_4_1_d.png\|right\|frame\|Rand–WDF bezüglich $y$]]		[[Datei:P_ID221__Sto_A_4_1_d.png\|right\|frame\|Rand–WDF bezüglich  $y$]]
	'''(4)'''  Analog der Musterlösung ~~der~~ Teilaufgabe '''(3)''' gilt:		'''(4)'''  Analog der Musterlösung zur Teilaufgabe  '''(3)'''  gilt:
	:$$f_y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{xy}(x,y)\, {\rm d}x=A\cdot B_x (y).$$		:$$f_y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{xy}(x,y)\, {\rm d}x=A\cdot B_x (y).$$

	*Die Ausbreitung des WDF-Gebietes in $x$–Richtung ist für $y \le 1$ und $y \ge 5$ jeweils ~~$0$~~.		*Die Ausbreitung des WDF–Gebietes in  $x$–Richtung ist für  $y \le 1$  und  $y \ge 5$  jeweils Null.
	*Das Maximum liegt bei $y=3$ und ergibt $B_x(y=3) = 2$.		*Das Maximum liegt bei  $y=3$  und ergibt  $B_x(y=3) = 2$.
	*Dazwischen ist die Zu– und Abnahme von $B_x(y)$ linear und es ergibt sich eine dreieckförmige WDF.		*Dazwischen ist die Zu– und Abnahme von  $B_x(y)$  linear und es ergibt sich eine dreieckförmige WDF.
	*Die Wahrscheinlichkeit, dass $y \ge 3$ ist, entspricht der grün schraffierten Fläche in ~~der nebenstehenden~~ Skizze ~~und ergibt aufgrund~~ der Symmetrie		*Die Wahrscheinlichkeit, dass  $y \ge 3$  ist, entspricht der grün schraffierten Fläche in nebenstehender Skizze.
			* Aufgrund der Symmetrie erhält man:
	:$${\rm Pr}(y ≥ 3)\hspace{0.15cm}\underline{ =0.5}. $$		:$${\rm Pr}(y ≥ 3)\hspace{0.15cm}\underline{ =0.5}. $$

	Zum gleichen Ergebnis kommt man anhand der 2D–WDF:   Oberhalb der Horizontalen $y= 3$ liegt die Hälfte des gesamten Definitionsgebietes.		Zum gleichen Ergebnis kommt man anhand der 2D–WDF:   Oberhalb der Horizontalen  $y= 3$  liegt die Hälfte des gesamten Definitionsgebietes.



	[[Datei:P_ID222__Sto_A_4_1_e.png\|right\|frame\|Zur Teilaufgabe '''(5)''']]		[[Datei:P_ID222__Sto_A_4_1_e.png\|right\|frame\|Zur Teilaufgabe '''(5)''']]
	'''(5)'''  Wenn $y \ge 3$ ist (rot hinterlegtes Dreieck $D$), gilt stets auch $x \ge 2$ (grün umrandetes Trapez ~~<i>~~T~~</i>~~). Das bedeutet: In diesem Beispiel ist $D$ eine Teilmenge von $T$, und es gilt:		'''(5)'''  Wenn  $y \ge 3$  ist  $($rot hinterlegtes Dreieck  $D)$,  gilt stets auch  $x \ge 2$  $($grün umrandetes Trapez  $T)$.
			*Das bedeutet:  In diesem Beispiel ist  $D$  eine Teilmenge von  $T$, und es gilt:
	:$${\rm Pr}[(x ≥ 2) ∩ (y ≥ 3)] = {\rm Pr}(y ≥ 3) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.50}.$$		:$${\rm Pr}[(x ≥ 2) ∩ (y ≥ 3)] = {\rm Pr}(y ≥ 3) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.50}.$$


	'''(6)'''  Entsprechend der Lösung zur ~~letzten~~ Teilaufgabe '''(5)''' folgt aus $y \ge 3$ mit Sicherheit auch$x \ge 2$. ~~<br>~~Somit ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit:
			'''(6)'''  Entsprechend der Lösung zur Teilaufgabe  '''(5)'''  folgt aus  $y \ge 3$  mit Sicherheit auch  $x \ge 2$.
			*Somit ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit:
	:$${\rm Pr}[x ≥ 2\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} y ≥ 3]\hspace{0.15cm}\underline{= 1}.$$		:$${\rm Pr}[x ≥ 2\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} y ≥ 3]\hspace{0.15cm}\underline{= 1}.$$


	'''(7)'''  Diese Teilaufgabe kann man mit dem Satz von Bayes und den Ergebnissen aus '''(2)''' und '''(5)''' lösen:
			'''(7)'''  Diese Teilaufgabe kann man mit dem Satz von Bayes und den Ergebnissen aus  '''(2)'''  und  '''(5)'''  lösen:
	:$$\rm Pr(\it y \ge \rm 3\hspace{0.1cm}\|\hspace{0.1cm} \it x \ge \rm 2) = \frac{ \rm Pr((\it x \ge \rm 2)\cap(\it y \ge \rm 3))} {\rm Pr(\it x \ge \rm 2)}=2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}.$$		:$$\rm Pr(\it y \ge \rm 3\hspace{0.1cm}\|\hspace{0.1cm} \it x \ge \rm 2) = \frac{ \rm Pr((\it x \ge \rm 2)\cap(\it y \ge \rm 3))} {\rm Pr(\it x \ge \rm 2)}=2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}.$$

	~~<u>~~Oder anders ausgedrückt:~~</u>~~   Die Fläche $D$ des rot hinterlegten Dreiecks macht $2/3$ der Fläche des grün umrandeten Trapezes $T$ aus.		* Oder anders ausgedrückt:   Die Fläche  $D$  des rot hinterlegten Dreiecks macht  $2/3$  der Fläche des grün umrandeten Trapezes  $T$  aus.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 26. November 2019 um 10:15 Uhr

2019-11-26T10:15:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. November 2019, 12:15 Uhr
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	[[Datei:P_ID172__Sto_A_4_1.png\|right\|frame\|Dreieckigförmiges 2D-Gebiet]]		[[Datei:P_ID172__Sto_A_4_1.png\|right\|frame\|Dreieckigförmiges 2D-Gebiet]]
	Eine 2D-Zufallsgröße ist durch die nebenstehende Skizze definiert:		Eine 2D-Zufallsgröße ist durch die nebenstehende Skizze definiert:
	*Für ($x$, $y$) können nur Werte innerhalb des durch die drei Eckpunkte $(0,\ 1)$, $(4,\ 3)$ und $(4,\ 5)$ festgelegten dreieckförmigen Gebietes auftreten.		*Für  $(x, \ y)$  können nur Werte innerhalb des durch die drei Eckpunkte  $(0,\ 1)$, $(4,\ 3)$ und $(4,\ 5)$  festgelegten dreieckförmigen Gebietes auftreten.
	*Innerhalb des Dreiecks sind alle Zufallsgrößen $(x, \ y)$ gleichwahrscheinlich.		*Innerhalb des Dreiecks sind alle Zufallsgrößen  $(x, \ y)$  gleichwahrscheinlich.
	*Für die 2D–WDF gilt ~~somit~~:		*Für die 2D–WDF gilt in diesem Bereich:
	:$$f_{xy}(x,y) = A .$$		:$$f_{xy}(x,y) = A .$$

	Zusätzlich ist die Gerade $x = y$   ⇒   &bdquo;Winkelhalbierende” in obiger Skizze eingezeichnet   ⇒  siehe Teilaufgabe '''(2)'''.		Zusätzlich ist die Gerade  $x = y$   ⇒   &bdquo;Winkelhalbierende”   in obiger Skizze eingezeichnet   ⇒  siehe Teilaufgabe  '''(2)'''.




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	''Hinweis:''		''Hinweis:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen\|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen\|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].


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	{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ größer als $y$ ist.		{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  größer als  $y$  ist.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(x > y) \ = \ $ { 0.25 3% }		${\rm Pr}(x > y) \ = \ $ { 0.25 3% }


	{Ermitteln Sie die Rand–WDF $f_x(x)$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ größer oder gleich $2$ ist. <br>Überprüfen Sie den Wert anhand der 2D–WDF.		{Ermitteln Sie die Rand–WDF  $f_x(x)$.  Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  größer oder gleich  $2$  ist. <br>Überprüfen Sie den Wert anhand der 2D–WDF.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(x ≥ 2)\ = \ $ { 0.75 3% }		${\rm Pr}(x ≥ 2)\ = \ $ { 0.75 3% }


	{Ermitteln Sie die Rand–WDF $f_y(y)$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $y$ größer oder gleich $3$ ist. <br>Überprüfen Sie den Wert anhand der 2D–WDF.		{Ermitteln Sie die Rand–WDF  $f_y(y)$.  Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass  $y$  größer oder gleich  $3$  ist. <br>Überprüfen Sie den Wert anhand der 2D–WDF.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(y ≥ 3)\ = \ $ { 0.5 3% }		${\rm Pr}(y ≥ 3)\ = \ $ { 0.5 3% }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $x$ größer oder gleich $2$ und gleichzeitig die Zufallsgröße $y$ größer oder gleich $3$ ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße  $x$  größer oder gleich  $2$  und gleichzeitig die Zufallsgröße  $y$  größer oder gleich  $3$  ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}\big[(x ≥ 2) ∩ (y ≥ 3)\big]\ = \ $ { 0.5 3% }		${\rm Pr}\big[(x ≥ 2) ∩ (y ≥ 3)\big]\ = \ $ { 0.5 3% }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ größer oder gleich $2$ ist, unter der Bedingung, dass $y \ge 3$ gilt?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  größer oder gleich  $2$  ist, unter der Bedingung, dass  $y \ge 3$  gilt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}\big[x ≥ 2\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} y ≥ 3\big]\ = \ $ { 1 3% }		${\rm Pr}\big[x ≥ 2\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} y ≥ 3\big]\ = \ $ { 1 3% }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y \ge 3$ ist, unter der Bedingung, dass $x \ge 2$ gilt?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $y \ge 3$  ist, unter der Bedingung, dass  $x \ge 2$  gilt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}\big[y ≥ 3\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} x ≥ 2\big]\ = \ $ { 0.667 3% }		${\rm Pr}\big[y ≥ 3\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} x ≥ 2\big]\ = \ $ { 0.667 3% }

Guenter am 15. August 2018 um 12:22 Uhr

2018-08-15T12:22:26Z

← Nächstältere Version		Version vom 15. August 2018, 14:22 Uhr
Zeile 66:		Zeile 66:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Das Volumen unter der zweidimensionalen WDF ist definitionsgemäß gleich $1$:		'''(1)'''  Das Volumen unter der zweidimensionalen WDF ist definitionsgemäß gleich $1$:
	$$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{xy}(x,y)\, {\rm d}x\, {\rm d}y=1.$$		:$$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f_{xy}(x,y)\, {\rm d}x\, {\rm d}y=1.$$

	Die Dreiecksfläche ist $D = 0.5 \cdot 2 \cdot 4 = 4$. Da in diesem Definitionsgebiet die WDF konstant gleich $A$ ist, erhält man $A= 1/D\hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}$.		Die Dreiecksfläche ist $D = 0.5 \cdot 2 \cdot 4 = 4$. Da in diesem Definitionsgebiet die WDF konstant gleich $A$ ist, erhält man $A= 1/D\hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}$.
	~~[[Datei:P_ID219__Sto_A_4_1_b.png\|right\|Dreieckförmige 2D-WDF]]~~

	~~'''(2)'''  Zur Lösung gehen wir von nebenstehender Skizze aus. Das Gebiet $x>y$ liegt rechts von der Winkelhalbierenden $x=y$ und ist grün markiert.~~

	~~Diese grüne Dreiecksfläche ist $D_{rm~~ (2)~~} = 0.5 \cdot 1 \cdot 2 = 1 $, also genau ein Viertel der Gesamtfl~~&~~auml~~;~~che $D$ des Definitionsgebietes~~. ~~Daraus folgt~~ $~~{\rm Pr}(~~x > y~~)\hspace{0.15cm}\underline{~~= ~~0.25}~~$.		[[Datei:P_ID219__Sto_A_4_1_b.png\|right\|frame\|Dreieckförmige 2D-WDF]]
			'''(2)'''  Zur Lösung gehen wir von nebenstehender Skizze aus. Das Gebiet $x>y$  liegt rechts von der Winkelhalbierenden $x=y$ und ist grün markiert.

			Diese grüne Dreiecksfläche ist $D_{\rm (2)} = 0.5 \cdot 1 \cdot 2 = 1 $, also genau ein Viertel der Gesamtfläche $D$ des Definitionsgebietes. Daraus folgt ${\rm Pr}(x > y)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}$.

	~~'''(3)'''  Für die gesuchte Rand-WDF gilt in diesem Fall:~~
	~~$$f_x(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{xy}(x,y)\, {\rm d}y=A\cdot B_y (x).$$~~

	Hierbei bezeichnet $B_y(x)$ die Breite des Gebietes $f_{xy} \ne 0$ in $y$-Richtung beim betrachteten $x$-Wert. Es gilt: $B_y(x) = x/2$. Mit $A = 0.25$ folgt $f_{x}(x) = x/8$ für den Bereich $ 0 \le x \le 4$.		'''(3)'''  Für die gesuchte Rand WDF gilt in diesem Fall:
	[[Datei:P_ID220__Sto_A_4_1_c.png\|left\|Rand-WDF bezüglich $x$]]		:$$f_x(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{xy}(x,y)\, {\rm d}y=A\cdot B_y (x).$$
	Die gesuchte Wahrscheinlichkeit entspricht der schraffierten Fläche in ~~nebenstehender~~ Skizze. Man erhält:
	$$\rm Pr(\it x\ge \rm 2) = \rm 1-\rm Pr(\it x < \rm 2) = \rm 1-\frac{1}{2}\cdot2\cdot 0.25\hspace{0.15cm}\underline{ =0.75}. $$		Hierbei bezeichnet $B_y(x)$ die Breite des Gebietes $f_{xy} \ne 0$ in $y$-Richtung beim betrachteten $x$-Wert. <br>Es gilt: $B_y(x) = x/2$. Mit $A = 0.25$ folgt $f_{x}(x) = x/8$ für den Bereich $ 0 \le x \le 4$.


			[[Datei:P_ID220__Sto_A_4_1_c.png\|left\|frame\|Rand–WDF bezüglich $x$]]
			Die gesuchte Wahrscheinlichkeit entspricht der schraffierten Fläche in der linken Skizze. Man erhält:
			:$$\rm Pr(\it x\ge \rm 2) = \rm 1-\rm Pr(\it x < \rm 2) = \rm 1-\frac{1}{2}\cdot2\cdot 0.25\hspace{0.15cm}\underline{ =0.75}. $$

	Zum gleichen Ergebnis gelangt man anhand der 2D-WDF:		Zum gleichen Ergebnis gelangt man anhand der 2D-WDF:
	Rechts von ~~der Senkrechten~~ $x = 2$ liegt $3/4$ des gesamten Definitionsgebiets.		Rechts von $x = 2$ liegt $3/4$ des gesamten Definitionsgebiets.
			<br clear=all>
			[[Datei:P_ID221__Sto_A_4_1_d.png\|right\|frame\|Rand–WDF bezüglich $y$]]
			'''(4)'''  Analog der Musterlösung der Teilaufgabe '''(3)''' gilt:
			:$$f_y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{xy}(x,y)\, {\rm d}x=A\cdot B_x (y).$$

			*Die Ausbreitung des WDF-Gebietes in $x$–Richtung ist für $y \le 1$ und $y \ge 5$ jeweils $0$.
			*Das Maximum liegt bei $y=3$ und ergibt $B_x(y=3) = 2$.
			*Dazwischen ist die Zu– und Abnahme von $B_x(y)$ linear und es ergibt sich eine dreieckförmige WDF.
			*Die Wahrscheinlichkeit, dass $y \ge 3$ ist, entspricht der grün schraffierten Fläche in der nebenstehenden Skizze und ergibt aufgrund der Symmetrie
			:$${\rm Pr}(y ≥ 3)\hspace{0.15cm}\underline{ =0.5}. $$

	~~[[Datei~~:~~P_ID221__Sto_A_4_1_d.png\|right\|Rand-WDF bezüglich $y$]]~~		Zum gleichen Ergebnis kommt man anhand der 2D–WDF:   Oberhalb der Horizontalen $y= 3$ liegt die Hälfte des gesamten Definitionsgebietes.
	~~'''(4)'''~~  ~~Analog der Musterlösung~~ der ~~Teilaufgabe (3) gilt:~~
	$$~~f_y(~~y)=~~\int_{-\infty}^{+\infty}f_{xy}(x,y)\, {\rm d}x=A\cdot B_x (y)~~.$$

	Die Ausbreitung des WDF-Gebietes in $x$-Richtung ist für $y \le 1$ und $y \ge 5$ jeweils $0$. Das Maximum liegt bei $y=3$ und ergibt $B_x(y=3) = 2$. Dazwischen ist die Zu– und Abnahme von $B_x(y)$ linear und es ergibt sich eine dreieckförmige WDF.

	~~Die Wahrscheinlichkeit, dass~~ $y \ge 3$ ist, ~~entspricht der grün schraffierten Fl~~&~~auml~~;~~che in der nebenstehenden Skizze~~ und ~~ergibt aufgrund der Symmetrie~~		[[Datei:P_ID222__Sto_A_4_1_e.png\|right\|frame\|Zur Teilaufgabe '''(5)''']]
	$${\rm Pr}(y ≥ 3)\hspace{0.15cm}\underline{ =0.5}. $$		'''(5)'''  Wenn $y \ge 3$ ist (rot hinterlegtes Dreieck $D$), gilt stets auch $x \ge 2$ (grün umrandetes Trapez <i>T</i>). Das bedeutet: In diesem Beispiel ist $D$ eine Teilmenge von $T$, und es gilt:
			:$${\rm Pr}[(x ≥ 2) ∩ (y ≥ 3)] = {\rm Pr}(y ≥ 3) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.50}.$$

	~~Zum gleichen Ergebnis kommt man anhand der 2D–WDF: Oberhalb der Horizontalen $y= 3$ liegt die Hälfte des gesamten Definitionsgebietes.~~

	~~[[Datei:P_ID222__Sto_A_4_1_e.png\|right\|Bedingte Wahrscheinlichkeiten]]~~		'''(6)'''  Entsprechend der Lösung zur letzten Teilaufgabe '''(5)''' folgt aus $y \ge 3$ mit Sicherheit auch$x \ge 2$. <br>Somit ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit:
	'''(5)'''  ~~Wenn~~ $y \ge 3$ ~~ist (rot hinterlegtes Dreieck $D$), gilt stets~~ auch $x \ge 2$ ~~(grün umrandetes Trapez <i>T~~</i>~~). Das bedeutet: In diesem Beispiel~~ ist ~~$D$ eine Teilmenge von $T$, und es gilt~~:		:$${\rm Pr}[x ≥ 2\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} y ≥ 3]\hspace{0.15cm}\underline{= 1}.$$
	$${\rm Pr}[(x ≥ 2~~) ∩ (y ≥ 3)] =~~ {\~~rm Pr~~}(y ≥ 3) \hspace{0.15cm}\underline{= ~~0.50~~}.$$

	~~'''(6)'''  Entsprechend der Lösung zur letzten Teilaufgabe (e) folgt aus $y \ge 3$ mit Sicherheit auch$x \ge 2$“. Somit ist die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit:~~
	~~$${\rm Pr}[x ≥ 2\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} y ≥ 3]\hspace{0.15cm}\underline{= 1}.$$~~

	'''(7)'''  Diese Teilaufgabe kann man mit dem Satz von Bayes und den Ergebnissen aus (2) und (5) ~~und~~ lösen:		'''(7)'''  Diese Teilaufgabe kann man mit dem Satz von Bayes und den Ergebnissen aus '''(2)''' und '''(5)''' lösen:
	$$\rm Pr(\it y \ge \rm 3\hspace{0.1cm}\|\hspace{0.1cm} \it x \ge \rm 2) = \frac{ \rm Pr((\it x \ge \rm 2)\cap(\it y \ge \rm 3))} {\rm Pr(\it x \ge \rm 2)}\hspace{0.15cm}\underline{=~~\rm {2}/{3}~~}.$$		:$$\rm Pr(\it y \ge \rm 3\hspace{0.1cm}\|\hspace{0.1cm} \it x \ge \rm 2) = \frac{ \rm Pr((\it x \ge \rm 2)\cap(\it y \ge \rm 3))} {\rm Pr(\it x \ge \rm 2)}=2/3\hspace{0.15cm}\underline{=0.667}.$$

	Oder anders ausgedrückt: Die Fläche $D$ des rot hinterlegten Dreiecks macht $2/3$ der Fläche des grün umrandeten Trapezes $T$ aus.		<u>Oder anders ausgedrückt:</u>   Die Fläche $D$ des rot hinterlegten Dreiecks macht $2/3$ der Fläche des grün umrandeten Trapezes $T$ aus.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 15. August 2018 um 12:03 Uhr

2018-08-15T12:03:27Z

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	}}		}}

	[[Datei:P_ID172__Sto_A_4_1.png\|right\|~~Vorgegebenes dreieckigförmiges~~ 2D-Gebiet]]		[[Datei:P_ID172__Sto_A_4_1.png\|right\|frame\|Dreieckigförmiges 2D-Gebiet]]
	Eine 2D-Zufallsgröße ist durch die nebenstehende Skizze definiert. Für ($x$, $y$) können nur Werte innerhalb des durch die drei Eckpunkte (0,~~ ~~1), (4,~~ ~~3) und (4,~~ ~~5) festgelegten dreieckförmigen Gebietes auftreten. Innerhalb des Dreiecks sind alle Zufallsgrößen ($x$, $y$) gleichwahrscheinlich. Für die 2D–WDF gilt somit:		Eine 2D-Zufallsgröße ist durch die nebenstehende Skizze definiert:
			*Für ($x$, $y$) können nur Werte innerhalb des durch die drei Eckpunkte $(0,\ 1)$, $(4,\ 3)$ und $(4,\ 5)$ festgelegten dreieckförmigen Gebietes auftreten.
			*Innerhalb des Dreiecks sind alle Zufallsgrößen $(x, \ y)$ gleichwahrscheinlich.
			*Für die 2D–WDF gilt somit:
	:$$f_{xy}(x,y) = A .$$		:$$f_{xy}(x,y) = A .$$

	Zusätzlich ist die Gerade$x = y$  ⇒  &bdquo;Winkelhalbierende” in obiger Skizze eingezeichnet (siehe Teilaufgabe 2).		Zusätzlich ist die Gerade $x = y$   ⇒   &bdquo;Winkelhalbierende” in obiger Skizze eingezeichnet   ⇒  siehe Teilaufgabe '''(2)'''.

	''~~Hinweise~~:''




			''Hinweis:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen\|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen\|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].

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	{Bestimmen Sie die WDF–Konstante anhand geometrischer Überlegungen.		{Bestimmen Sie die WDF–Konstante anhand geometrischer Überlegungen.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$A \ =$ { 0.25 3% }		$A \ = \ $ { 0.25 3% }


	{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ größer als $y$ ist.		{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ größer als $y$ ist.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(x > y) \ =$ { 0.25 3% }		${\rm Pr}(x > y) \ = \ $ { 0.25 3% }


	{Ermitteln Sie die Rand-WDF $f_x(x)$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ größer/gleich $2$ ist. Überprüfen Sie den Wert anhand der 2D–WDF.		{Ermitteln Sie die Rand–WDF $f_x(x)$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ größer oder gleich $2$ ist. <br>Überprüfen Sie den Wert anhand der 2D–WDF.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(x ≥ 2)\ =$ { 0.75 3% }		${\rm Pr}(x ≥ 2)\ = \ $ { 0.75 3% }


	{Ermitteln Sie die Rand-WDF $f_y(y)$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $y$ größer/gleich $3$ ist. Überprüfen Sie den Wert anhand der 2D–WDF.		{Ermitteln Sie die Rand–WDF $f_y(y)$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass $y$ größer oder gleich $3$ ist. <br>Überprüfen Sie den Wert anhand der 2D–WDF.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(y ≥ 3)\ =$ { 0.5 3% }		${\rm Pr}(y ≥ 3)\ = \ $ { 0.5 3% }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $x$ größer oder gleich $2$ und gleichzeitig die Zufallsgröße $y$ größer oder gleich $3$ ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $x$ größer oder gleich $2$ und gleichzeitig die Zufallsgröße $y$ größer oder gleich $3$ ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}[(x ≥ 2) ∩ (y ≥ 3)]\ =$ { 0.5 3% }		${\rm Pr}\big[(x ≥ 2) ∩ (y ≥ 3)\big]\ = \ $ { 0.5 3% }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ größer oder gleich $2$ ist, unter der Bedingung, dass $y \ge 3$ gilt?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ größer oder gleich $2$ ist, unter der Bedingung, dass $y \ge 3$ gilt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}[x ≥ 2\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} y ≥ 3]\ =$ { 1 3% }		${\rm Pr}\big[x ≥ 2\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} y ≥ 3\big]\ = \ $ { 1 3% }


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y \ge 3$ ist, unter der Bedingung, dass $x \ge 2$ gilt?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y \ge 3$ ist, unter der Bedingung, dass $x \ge 2$ gilt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}[y ≥ 3\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} x ≥ 2]\ =$ { 0.667 3% }		${\rm Pr}\big[y ≥ 3\hspace{0.05cm} \| \hspace{0.05cm} x ≥ 2\big]\ = \ $ { 0.667 3% }

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:49Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen\|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Zweidimensionale_Zufallsgrößen\|Zweidimensionale Zufallsgrößen]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.1 Dreieckiges (x, y)-Gebiet nach Aufgaben:Aufgabe 4.1: Dreieckiges (x, y)-Gebiet

2018-01-03T13:39:34Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.1 Dreieckiges (x, y)-Gebiet nach Aufgaben:Aufgabe 4.1: Dreieckiges (x, y)-Gebiet

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(kein Unterschied)

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	*Die Dreiecksfläche ist  $D = 0.5 \cdot 2 \cdot 4 = 4$.		*Die Dreiecksfläche ist  $D = 0.5 \cdot 2 \cdot 4 = 4$.
	*Da in diesem Definitionsgebiet die WDF konstant gleich  $A$  ist, erhält man		*Da in diesem Definitionsgebiet die WDF konstant gleich  $A$  ist,  erhält man
	:$$A= 1/D\hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$		:$$A= 1/D\hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}.$$

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	'''(2)'''  Zur Lösung gehen wir von nebenstehender Skizze aus.		'''(2)'''  Zur Lösung gehen wir von nebenstehender Skizze aus.
	*Das Gebiet  $x>y$  liegt rechts von der Winkelhalbierenden  $x=y$  und ist grün markiert.		*Das Gebiet  $x>y$  liegt rechts von der Winkelhalbierenden  $x=y$  und ist grün markiert.
			*Diese grüne Dreiecksfläche ist  $D_{\rm (2)} = 0.5 \cdot 1 \cdot 2 = 1 $,  also genau ein Viertel der Gesamtfläche  $D$  des Definitionsgebietes.  Daraus folgt  ${\rm Pr}(x > y)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}$.
	*Diese grüne Dreiecksfläche ist  $D_{\rm (2)} = 0.5 \cdot 1 \cdot 2 = 1 $, also genau ein Viertel der Gesamtfläche  $D$  des Definitionsgebietes.
	*Daraus folgt  ${\rm Pr}(x > y)\hspace{0.15cm}\underline{= 0.25}$.


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	*Hierbei bezeichnet  $B_y(x)$  die Breite des Gebietes  $f_{xy} \ne 0$  in  $y$–Richtung beim betrachteten  $x$–Wert.		*Hierbei bezeichnet  $B_y(x)$  die Breite des Gebietes  $f_{xy} \ne 0$  in  $y$–Richtung beim betrachteten  $x$–Wert.
	*Es gilt:  $B_y(x) = x/2$.  Mit  $A = 0.25$  folgt  $f_{x}(x) = x/8$  für den Bereich  $ 0 \le x \le 4$.		*Es gilt:  $B_y(x) = x/2$.  Mit  $A = 0.25$  folgt  $f_{x}(x) = x/8$  für den Bereich  $ 0 \le x \le 4$.

	*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit entspricht der schraffierten Fläche in nebenstehender Skizze.  Man erhält:		*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit entspricht der schraffierten Fläche in nebenstehender Skizze.  Man erhält:
	:$$\rm Pr(\it x\ge \rm 2) = \rm 1-\rm Pr(\it x < \rm 2) = \rm 1-\frac{1}{2}\cdot2\cdot 0.25\hspace{0.15cm}\underline{ =0.75}. $$		:$$\rm Pr(\it x\ge \rm 2) = \rm 1-\rm Pr(\it x < \rm 2) = \rm 1-\frac{1}{2}\cdot2\cdot 0.25\hspace{0.15cm}\underline{ =0.75}. $$
Zeile 101:		Zeile 98:
	*Das Maximum liegt bei  $y=3$  und ergibt  $B_x(y=3) = 2$.		*Das Maximum liegt bei  $y=3$  und ergibt  $B_x(y=3) = 2$.
	*Dazwischen ist die Zu– und Abnahme von  $B_x(y)$  linear und es ergibt sich eine dreieckförmige WDF.		*Dazwischen ist die Zu– und Abnahme von  $B_x(y)$  linear und es ergibt sich eine dreieckförmige WDF.
	*Die Wahrscheinlichkeit, dass  $y \ge 3$  ist, entspricht der grün schraffierten Fläche in nebenstehender Skizze.		*Die Wahrscheinlichkeit,  dass  $y \ge 3$  ist,  entspricht der grün schraffierten Fläche in nebenstehender Skizze.
	* Aufgrund der Symmetrie erhält man:		* Aufgrund der Symmetrie erhält man:
	:$${\rm Pr}(y ≥ 3)\hspace{0.15cm}\underline{ =0.5}. $$		:$${\rm Pr}(y ≥ 3)\hspace{0.15cm}\underline{ =0.5}. $$
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	[[Datei:P_ID222__Sto_A_4_1_e.png\|right\|frame\|Zur Teilaufgabe '''(5)''']]		[[Datei:P_ID222__Sto_A_4_1_e.png\|right\|frame\|Zur Teilaufgabe  '''(5)''']]
	'''(5)'''  Wenn  $y \ge 3$  ist  $($rot hinterlegtes Dreieck  $D)$,  gilt stets auch  $x \ge 2$  $($grün umrandetes Trapez  $T)$.		'''(5)'''  Wenn  $y \ge 3$  ist  $($rot hinterlegtes Dreieck  $D)$,  gilt stets auch  $x \ge 2$  $($grün umrandetes Trapez  $T)$.
	*Das bedeutet:  In diesem Beispiel ist  $D$  eine Teilmenge von  $T$, und es gilt:		*Das bedeutet:  In diesem Beispiel ist  $D$  eine Teilmenge von  $T$,  und es gilt:
	:$${\rm Pr}[(x ≥ 2) ∩ (y ≥ 3)] = {\rm Pr}(y ≥ 3) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.50}.$$		:$${\rm Pr}[(x ≥ 2) ∩ (y ≥ 3)] = {\rm Pr}(y ≥ 3) \hspace{0.15cm}\underline{= 0.50}.$$