Aufgaben:Aufgabe 4.1: Dämpfungsmaß - Versionsgeschichte

Guenter am 6. November 2021 um 15:48 Uhr

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Guenter am 28. November 2018 um 14:33 Uhr

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Guenter am 28. November 2018 um 14:24 Uhr

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:49Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 28. März 2018 um 11:30 Uhr

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Guenter am 28. März 2018 um 11:19 Uhr

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@@ Zeile 82: / Zeile 82: @@
   G\hspace{0.03cm}' = 0.5\,\,{\rm &micro; S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
   C\hspace{0.03cm}' = 6.7\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}}
-  \hspace{0.05cm}:$
+  \hspace{0.05cm}$:
 :$$\alpha_{\rm I}(f)   =  1/2 \cdot
   \left [2.2 \cdot \sqrt{\frac{6.7 \cdot 10^{-9}}{ 1.8 \cdot 10^{-3}} }
@@ Zeile 93: / Zeile 93: @@
+'''(2)'''&nbsp; Die in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; berechnete Schranke &nbsp;$α_{\rm I}(f)$&nbsp; gilt nur für &nbsp;$f \gg f_∗$,&nbsp; während die Schranke &nbsp;$α_{\rm II}(f)$&nbsp; für &nbsp;$f \ll f_∗$&nbsp; gültig ist.
 *Die charakteristische Frequenz ergibt sich als der Schnittpunkt der beiden Näherungen:
 :$$\alpha_{\rm II}(f = f_{\star})  =   \sqrt{1/2 \cdot  \omega_{\star}  \cdot R' \cdot C' }\hspace{0.1cm}

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID1797__LZI_A_4_1.png|right|frame|Dämpfungsmaß und Schranken]]
+[[Datei:P_ID1797__LZI_A_4_1.png|right|frame|Dämpfungsmaß&nbsp; $\alpha(f)$&nbsp; und zwei Schranken für verschiedene Bereiche]]
-Das Dämpfungsmaß &nbsp;$\alpha(f)$ &ndash; sprich &bdquo;alpha&rdquo; &ndash;  einer Leitung gibt die auf die Leitungslänge bezogene Dämpfung an.&nbsp; Diese Größe ist durch die Leitungsbeläge &nbsp;$R\hspace{0.05cm}'$, &nbsp;$L\hspace{0.05cm}'$, &nbsp;$G\hspace{0.08cm}'$ und &nbsp;$C\hspace{0.08cm}'$&nbsp; festgelegt, wobei die exakte Gleichung etwas kompliziert ist. Daher wurden zwei leichter handhabbare Näherungen entwickelt:
+Das Dämpfungsmaß &nbsp;$\alpha(f)$ &ndash; sprich &bdquo;alpha&rdquo; &ndash;  einer Leitung gibt die auf die Leitungslänge bezogene Dämpfung an.&nbsp; Diese Größe ist durch die Leitungsbeläge &nbsp;$R\hspace{0.05cm}'$, &nbsp;$L\hspace{0.05cm}'$, &nbsp;$G\hspace{0.08cm}'$ und &nbsp;$C\hspace{0.08cm}'$&nbsp; festgelegt,&nbsp; wobei die exakte Gleichung etwas kompliziert ist.&nbsp; Daher wurden zwei leichter handhabbare Näherungen entwickelt:
 :$$\frac{\alpha_{_{\rm I}}(f)}{\rm Np}  = {1}/{2} \cdot \left [R\hspace{0.05cm}' \cdot \sqrt{{C\hspace{0.08cm}'}/{ L\hspace{0.05cm}'} } + G\hspace{0.08cm}' \cdot \sqrt{{L\hspace{0.05cm}'}/{ C\hspace{0.08cm}'} }\hspace{0.05cm}\right ]
   \hspace{0.05cm},$$
 :$$\frac{\alpha_{_{\rm II}}(f)}{\rm Np}  =  \sqrt{1/2 \cdot \omega  \cdot {R\hspace{0.05cm}' \cdot C\hspace{0.08cm}'} }\hspace{0.1cm}
   \bigg |_{\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$
-Diese beiden Näherungen sind zusammen mit dem tatsächlichen Verlauf &nbsp;$\alpha(f)$&nbsp; in der Grafik dargestellt. Der Schnittpunkt von&nbsp; $\alpha_{\rm I}(f)$&nbsp; und&nbsp; $\alpha_{\rm II}(f)$&nbsp; ergibt die charakteristische Frequenz&nbsp; $f_∗$&nbsp; mit folgender Bedeutung:
+Diese beiden Näherungen sind zusammen mit dem tatsächlichen Verlauf &nbsp;$\alpha(f)$&nbsp; in der Grafik dargestellt.&nbsp; Der Schnittpunkt von&nbsp; $\alpha_{\rm I}(f)$&nbsp; und&nbsp; $\alpha_{\rm II}(f)$&nbsp; ergibt die charakteristische Frequenz&nbsp; $f_∗$&nbsp; mit folgender Bedeutung:
 *Für &nbsp;$f \gg f_∗$&nbsp; gilt &nbsp;$α(f) ≈ α_{\rm I}(f)$.
 *Für &nbsp;$f \ll f_∗$&nbsp; gilt &nbsp;$α(f) ≈ α_{\rm II}(f)$.
-Mit diesen Näherungen soll das Dämpfungsmaß &nbsp;$\alpha(f)$&nbsp; für ein Nachrichtensignal der Frequenz &nbsp;$f_0 = 2 \ \rm kHz$&nbsp; ermittelt werden, wobei folgende Übertragungsmedien zu betrachten sind:
+Mit diesen Näherungen soll das Dämpfungsmaß &nbsp;$\alpha(f)$&nbsp; für ein Nachrichtensignal der Frequenz &nbsp;$f_0 = 2 \ \rm kHz$&nbsp; ermittelt werden,&nbsp; wobei folgende Übertragungsmedien zu betrachten sind:
 * ein Kupferkabel mit &nbsp;$0.6  \ \rm mm$&nbsp; Durchmesser:
@@ Zeile 33: / Zeile 33: @@
-''Hinweise:''
+Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie|Einige Ergebnisse der Leitungstheorie]].
-*Die Hinweiseinheit &bdquo;Neper&rdquo; (Np) in obigen Gleichungen für &nbsp;$α_{\rm I}(f)$&nbsp; und &nbsp;$α_{\rm II}(f)$&nbsp; und damit auch für das gesamte Dämpfungsmaß &nbsp;$α(f)$&nbsp; ergibt sich aus der Tatsache, dass der Betragsfrequenzgang als  &nbsp;$|H(f)| = {\rm e}^{-a}$&nbsp; definiert ist.
+*Die Hinweiseinheit &bdquo;Neper&rdquo; (Np) in obigen Gleichungen für &nbsp;$α_{\rm I}(f)$&nbsp; und &nbsp;$α_{\rm II}(f)$&nbsp; und damit auch für das gesamte Dämpfungsmaß &nbsp;$α(f)$&nbsp; ergibt sich aus der Tatsache,&nbsp; dass der Betragsfrequenzgang als  &nbsp;$|H(f)| = {\rm e}^{-a}$&nbsp; definiert ist.
-*Daraus folgt   für die Dämpfung   &nbsp;$ a = - {\rm ln} \; |H(f)|$, wobei der Zusammenhang über den natürlichen Logarithmus durch &bdquo;Neper&rdquo; (Np) gekennzeichnet wird.
+*Daraus folgt   für die Dämpfung   &nbsp;$ a = - {\rm ln} \; |H(f)|$,&nbsp; wobei der Zusammenhang über den natürlichen Logarithmus durch &bdquo;Neper&rdquo; (Np) gekennzeichnet wird.
 *Die Einheit des Dämpfungsmaßes &nbsp;$α = a/l$&nbsp; ist somit &bdquo;Np/km&rdquo;.
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-{Geben Sie die jeweilige charakteristische Frequenz &nbsp;$f_*$&nbsp; an, die die Gültigkeitsbereiche der beiden Näherungen begrenzt.
+{Geben Sie die jeweilige charakteristische Frequenz &nbsp;$f_*$&nbsp; an,&nbsp; die die Gültigkeitsbereiche der beiden Näherungen begrenzt.
 |type="{}"}
 ${\rm Kupfer}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} f_* \ = \ $ { 17.2 3% } $\ \rm kHz$

@@ Zeile 94: / Zeile 94: @@
-'''(2)'''&nbsp; Die in der Teilaufgabe '''(1)''' berechnete Schranke &nbsp;$α_{\rm I}(f)$&nbsp; gilt nur für &nbsp;$f \gg f_∗$, während die Schranke &nbsp;$α_{\rm II}(f)$&nbsp; für &nbsp;$f \ll f_∗$&nbsp; gültig ist. Die charakteristische Frequenz ergibt sich als der Schnittpunkt der beiden Näherungen:
+'''(2)'''&nbsp; Die in der Teilaufgabe '''(1)''' berechnete Schranke &nbsp;$α_{\rm I}(f)$&nbsp; gilt nur für &nbsp;$f \gg f_∗$, während die Schranke &nbsp;$α_{\rm II}(f)$&nbsp; für &nbsp;$f \ll f_∗$&nbsp; gültig ist.
 :$$\alpha_{\rm II}(f = f_{\star})  =   \sqrt{1/2 \cdot  \omega_{\star}  \cdot R' \cdot C' }\hspace{0.1cm}
   \bigg |_{\omega_{\star} \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f_{\star}} = \alpha_{\rm I}(f = f_{\star})$$
-Für das Kupferkabel mit 0.6 mm  Durchmesser gilt folgende Bestimmungsgleichung:
+*Für das Kupferkabel mit&nbsp; $\text{0.6 mm}$&nbsp;  Durchmesser gilt folgende Bestimmungsgleichung:
 :$$f_{\star}  =   \frac {{\alpha^2_{_{\rm I}}(f = f_{\star})}}{\pi \cdot R' \cdot C'}=
      \frac {0.496^2 \, {\rm 1/km^2}}{\pi \cdot 130\,{\rm \Omega/km} \cdot 35 \cdot 10^{-9}\,{\rm s/(\Omega \cdot km)}}
 \hspace{0.15cm}\underline{= 17.2\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
-Dagegen erhält man für die Bronzeleitung mit 5 mm Durchmesser:
+*Dagegen erhält man für die Bronzeleitung mit&nbsp; $\text{5 mm}$&nbsp;Durchmesser:
 :$$f_{\star}  =
      \frac {(2.25 \cdot 10^{-3})^2 }{\pi \cdot 2.2 \cdot 6.7 \cdot 10^{-9}}\,{\rm kHz}
@@ Zeile 108: / Zeile 109: @@
-'''(3)'''&nbsp; Für das Kupferkabel gilt &nbsp;$f_0 \ll f_∗$. Deshalb ist hier die Näherung &nbsp;$α_{\rm II}(f)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;starke Dämpfung&rdquo; zu verwenden:
+'''(3)'''&nbsp; Für das Kupferkabel gilt &nbsp;$f_0 \ll f_∗$.
 :$$\alpha(f = f_0)  \approx \sqrt{\pi \cdot f_0 \cdot R' \cdot C'}= \sqrt{\pi \cdot 2 \cdot 10^{3} \cdot 130 \cdot 35 \cdot 10^{-9}}
   \hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} }
 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.17 \hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} }}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Für die Bronzeleitung ist wegen &nbsp;$f_0 \gg f_∗$&nbsp; die Näherung &nbsp;$α_{\rm I}(f)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;schwache Dämpfung&rdquo;  besser geeignet, siehe Teilaufgabe '''(1)''':
+*Für die Bronzeleitung ist wegen &nbsp;$f_0 \gg f_∗$&nbsp; die Näherung &nbsp;$α_{\rm I}(f)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;schwache Dämpfung&rdquo;  besser geeignet, siehe Teilaufgabe&nbsp; '''(1)''':
 :$$\alpha(f = f_0)
 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.0023\hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} }}

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	C\hspace{0.08cm}' = 6.7\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}}		C\hspace{0.08cm}' = 6.7\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
−
−
−
−

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 [[Datei:P_ID1797__LZI_A_4_1.png|right|frame|Dämpfungsmaß und Schranken]]
-Das Dämpfungsmaß &nbsp;$\alpha(f)$ &ndash; sprich &bdquo;alpha&rdquo; &ndash;  einer Leitung gibt die auf die Leitungslänge bezogene Dämpfung an. Diese Größe ist durch die Leitungsbeläge &nbsp;$R\hspace{0.05cm}'$, &nbsp;$L\hspace{0.05cm}'$, &nbsp;$G\hspace{0.05cm}'$ und &nbsp;$C\hspace{0.05cm}'$&nbsp; festgelegt, wobei die exakte Gleichung etwas kompliziert ist. Daher wurden zwei leichter handhabbare Näherungen entwickelt:
+Das Dämpfungsmaß &nbsp;$\alpha(f)$ &ndash; sprich &bdquo;alpha&rdquo; &ndash;  einer Leitung gibt die auf die Leitungslänge bezogene Dämpfung an.&nbsp; Diese Größe ist durch die Leitungsbeläge &nbsp;$R\hspace{0.05cm}'$, &nbsp;$L\hspace{0.05cm}'$, &nbsp;$G\hspace{0.08cm}'$ und &nbsp;$C\hspace{0.08cm}'$&nbsp; festgelegt, wobei die exakte Gleichung etwas kompliziert ist. Daher wurden zwei leichter handhabbare Näherungen entwickelt:
-:$$\frac{\alpha_{_{\rm I}}(f)}{\rm Np}  = {1}/{2} \cdot \left [R\hspace{0.05cm}' \cdot \sqrt{{C\hspace{0.05cm}'}/{ L\hspace{0.05cm}'} } + G\hspace{0.05cm}' \cdot \sqrt{{L\hspace{0.05cm}'}/{ C\hspace{0.05cm}'} }\hspace{0.05cm}\right ]
+:$$\frac{\alpha_{_{\rm I}}(f)}{\rm Np}  = {1}/{2} \cdot \left [R\hspace{0.05cm}' \cdot \sqrt{{C\hspace{0.08cm}'}/{ L\hspace{0.05cm}'} } + G\hspace{0.08cm}' \cdot \sqrt{{L\hspace{0.05cm}'}/{ C\hspace{0.08cm}'} }\hspace{0.05cm}\right ]
   \hspace{0.05cm},$$
-:$$\frac{\alpha_{_{\rm II}}(f)}{\rm Np}  =  \sqrt{1/2 \cdot \omega  \cdot {R\hspace{0.05cm}' \cdot C\hspace{0.05cm}'} }\hspace{0.1cm}
+:$$\frac{\alpha_{_{\rm II}}(f)}{\rm Np}  =  \sqrt{1/2 \cdot \omega  \cdot {R\hspace{0.05cm}' \cdot C\hspace{0.08cm}'} }\hspace{0.1cm}
   \bigg |_{\omega \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f}\hspace{0.05cm}.$$
-Diese beiden Näherungen sind zusammen mit dem tatsächlichen Verlauf &nbsp;$\alpha(f)$&nbsp; in der Grafik dargestellt. Der Schnittpunkt von $\alpha_{\rm I}(f)$ und $\alpha_{\rm II}(f)$ ergibt die charakteristische Frequenz $f_∗$ mit folgender Bedeutung:
+Diese beiden Näherungen sind zusammen mit dem tatsächlichen Verlauf &nbsp;$\alpha(f)$&nbsp; in der Grafik dargestellt. Der Schnittpunkt von&nbsp; $\alpha_{\rm I}(f)$&nbsp; und&nbsp; $\alpha_{\rm II}(f)$&nbsp; ergibt die charakteristische Frequenz&nbsp; $f_∗$&nbsp; mit folgender Bedeutung:
 *Für &nbsp;$f \gg f_∗$&nbsp; gilt &nbsp;$α(f) ≈ α_{\rm I}(f)$.
 *Für &nbsp;$f \ll f_∗$&nbsp; gilt &nbsp;$α(f) ≈ α_{\rm II}(f)$.
@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
 * ein Kupferkabel mit &nbsp;$0.6  \ \rm mm$&nbsp; Durchmesser:
-:$$R\hspace{0.03cm}' = 130\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+:$$R\hspace{0.05cm}' = 130\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
-  L\hspace{0.01cm}' = 0.6\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+  L\hspace{0.03cm}' = 0.6\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
-  G\hspace{0.03cm}' = 1\,\,{\rm &micro; S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+  G\hspace{0.08cm}' = 1\,\,{\rm &micro; S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
-  C\hspace{0.03cm}' = 35\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},$$
+  C\hspace{0.08cm}' = 35\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},$$
 * eine Bronzefreileitung mit &nbsp;$5 \ \rm  mm$&nbsp; Durchmesser:
-:$$R\hspace{0.03cm}' = 2.2\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+:$$R\hspace{0.05cm}' = 2.2\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
-  L' = 1.8\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+  L\hspace{0.03cm}' = 1.8\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
-  G\hspace{0.03cm}' = 0.5\,\,{\rm &micro; S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+  G\hspace{0.08cm}' = 0.5\,\,{\rm &micro; S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
-  C\hspace{0.03cm}' = 6.7\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}}
+  C\hspace{0.08cm}' = 6.7\,\,{\rm nF}/{ {\rm km}}
   \hspace{0.05cm}.$$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Für das Kupferkabel gilt mit $R\hspace{0.03cm}' = 130\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+'''(1)'''&nbsp; Für das Kupferkabel gilt mit &nbsp;$R\hspace{0.03cm}' = 130\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
   L' = 0.6\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
   G\hspace{0.03cm}' = 1\,\,{\rm &micro; S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
@@ Zeile 79: / Zeile 79: @@
   \left [130 \cdot 7.638 \cdot 10^{-3}+ 10^{-6} \cdot 0.131 \cdot 10^{3}\right
   ] {\rm Np/km}   \hspace{0.15cm}\underline{= 0.496\,{\rm Np/km}}\hspace{0.05cm}.$$
-Für die Bronzeleitung ergibt sich mit $R\hspace{0.03cm}' = 2.2\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
+Für die Bronzeleitung ergibt sich mit &nbsp;$R\hspace{0.03cm}' = 2.2\,\,{\rm \Omega}/{ {\rm km} }\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
   L' = 1.8\,\,{\rm mH}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
   G\hspace{0.03cm}' = 0.5\,\,{\rm &micro; S}/{ {\rm km}} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm}
@@ Zeile 89: / Zeile 89: @@
   ] $$
 :$$ \Rightarrow \;  \alpha_{\rm I}(f)   =  \frac{1 \,\rm Np/km}{2} \cdot
-  \left [4.244 \cdot 10^{-3}+   0.259 \cdot 10^{-3}\right
+  \big [4.244 \cdot 10^{-3}+   0.259 \cdot 10^{-3}\big
   ] {\rm Np/km}
 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.0023\,{\rm Np}/{ {\rm km} }}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Die in der Teilaufgabe (1) berechnete Schranke $α_{\rm I}(f)$ gilt nur für $f \gg f_∗$, während die Schranke $α_{\rm II}(f)$ für $f \ll f_∗$ gültig ist. Die charakteristische Frequenz ergibt sich als der Schnittpunkt der beiden Näherungen:
 :$$\alpha_{\rm II}(f = f_{\star})  =   \sqrt{1/2 \cdot  \omega_{\star}  \cdot R' \cdot C' }\hspace{0.1cm}
   \bigg |_{\omega_{\star} \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}2\pi f_{\star}} = \alpha_{\rm I}(f = f_{\star})$$
@@ Zeile 107: / Zeile 108: @@
-'''(3)'''&nbsp; Für das Kupferkabel gilt $f_0 \ll f_∗$. Deshalb ist hier die Näherung $α_{\rm II}(f)$ günstiger:
 :$$\alpha(f = f_0)  \approx \sqrt{\pi \cdot f_0 \cdot R' \cdot C'}= \sqrt{\pi \cdot 2 \cdot 10^{3} \cdot 130 \cdot 35 \cdot 10^{-9}}
   \hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} }
 \hspace{0.15cm}\underline{ = 0.17 \hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} }}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Dagegen ist für die Bronzeleitung wegen $f_0 \gg f_∗$ die Näherung $α_{\rm I}(f)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;schwache Dämpfung&rdquo;  (siehe Teilaufgabe 1) besser geeignet:
+Für die Bronzeleitung ist wegen &nbsp;$f_0 \gg f_∗$&nbsp; die Näherung &nbsp;$α_{\rm I}(f)$ &nbsp; &rArr; &nbsp; &bdquo;schwache Dämpfung&rdquo;  besser geeignet, siehe Teilaufgabe '''(1)''':
 :$$\alpha(f = f_0)
 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.0023\hspace{0.1cm}{\rm Np}/{ {\rm km} }}

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Einige_Ergebnisse_der_Leitungstheorie|Einige Ergebnisse der Leitungstheorie]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Die Hinweiseinheit &bdquo;Neper&rdquo; (Np) in obigen Gleichungen für $α_{\rm I}(f)$ und $α_{\rm II}(f)$ und damit auch für das gesamte Dämpfungsmaß $α(f)$ ergibt sich aus der Tatsache, dass der Betragsfrequenzgang als  $|H(f)| = {\rm e}^{-a}$ definiert ist.
 *Daraus folgt   für die Dämpfung   $ a = - {\rm ln} \; |H(f)|$, wobei der Zusammenhang über den natürlichen Logarithmus durch &bdquo;Neper&rdquo; (Np) gekennzeichnet wird.

@@ Zeile 60: / Zeile 60: @@
 |type="{}"}
 ${\rm Kupfer}\hspace{-0.1cm}: \hspace{0.2cm} \alpha (f = f_0) \ = \ $  { 0.17 3% } $\ \rm Np/km$
-${\rm Bronze}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} \alpha (f = f_0) \ = \$  { 0.0023 3% } $\ \rm   Np/km$
+${\rm Bronze}\hspace{-0.1cm}:\hspace{0.2cm} \alpha (f = f_0) \ = \ $  { 0.0023 3% } $\ \rm   Np/km$

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Guenter am 6. November 2019 um 12:46 Uhr

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Guenter am 28. März 2018 um 11:19 Uhr

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