Aufgaben:Aufgabe 4.09Z: Periodische AKF - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^4.4 Autokorrelationsfunktion (AKF)^]]		[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^4.4 Autokorrelationsfunktion (AKF)^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.09Z:_Periodic_ACF]]

Guenter am 19. März 2022 um 16:47 Uhr

2022-03-19T16:47:56Z

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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	[[Datei:P_ID382__Sto_Z_4_9_d.png\|right\|frame\|Zur AKF–Berechnung]]		[[Datei:P_ID382__Sto_Z_4_9_d.png\|right\|frame\|Zur AKF–Berechnung]]
	'''(1)'''  Die (normierte) Periodendauer beträgt  $T_0/T \hspace{0.15cm}\underline{= 5}.$		'''(1)'''  Die  (normierte)  Periodendauer beträgt  $T_0/T \hspace{0.15cm}\underline{= 5}.$


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	'''(4)'''  Die nebenstehende Grafik zeigt jeweils im Bereich von  $0$  bis  $T_0 = 5T$		'''(4)'''  Die nebenstehende Grafik zeigt jeweils im Bereich von  $0$  bis  $T_0 = 5T$
	*oben das Produkt  $x(t) \cdot x(t+T)$,		:*oben das Produkt  $x(t) \cdot x(t+T)$,
	*unten das Produkt  $x(t) \cdot x(t+2T)$.		:*unten das Produkt  $x(t) \cdot x(t+2T)$.


	Zu beachten ist, dass  $x(t+T)$  eine Verschiebung des Signals  $x(t)$  um  $T$  nach links bedeutet.		*Zu beachten ist,  dass  $x(t+T)$  eine Verschiebung des Signals  $x(t)$  um  $T$  nach links bedeutet.
			*Aus diesen Skizzen folgen die Beziehungen:
	Aus diesen Skizzen folgen die Beziehungen:
	:$$\varphi_x (T)= \rm {1}/{5 } \cdot (\rm 4V^2 + \rm 1V^2 - \rm 2V^2) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6\, V^2},$$		:$$\varphi_x (T)= \rm {1}/{5 } \cdot (\rm 4V^2 + \rm 1V^2 - \rm 2V^2) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6\, V^2},$$
	:$$\varphi_x ( 2 T)= \rm {1}/{5 } \cdot(-\rm 2V^2 \cdot 3) \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2}.$$		:$$\varphi_x ( 2 T)= \rm {1}/{5 } \cdot(-\rm 2V^2 \cdot 3) \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2}.$$


			[[Datei:P_ID383__Sto_Z_4_9_e.png\|right\|frame\|Gesuchte Autokorrelationsfunktion]]
	'''(5)'''  Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade:   $\varphi_x (-\tau)= \varphi_x (\tau)$.		'''(5)'''  Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade:   $\varphi_x (-\tau)= \varphi_x (\tau)$.
	*Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit der gleichen Periodendauer  $T_0$  wie die einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt:		*Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit der gleichen Periodendauer  $T_0$  wie die einzelnen Musterfunktionen.  Daraus folgt:
	~~[[Datei:P_ID383__Sto_Z_4_9_e.png\|right\|frame\|Gesuchte Autokorrelationsfunktion]]~~

	:$$\varphi_x ( 0) = \varphi_x (5 T) = \varphi_x (10 T) = \ \text{...} \ = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$		:$$\varphi_x ( 0) = \varphi_x (5 T) = \varphi_x (10 T) = \ \text{...} \ = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$
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	:$$\varphi_x (4 T) = \varphi_x (-4 T) =\varphi_x ( T) = \ \text{...} \ \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6 \,V^2}.$$		:$$\varphi_x (4 T) = \varphi_x (-4 T) =\varphi_x ( T) = \ \text{...} \ \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6 \,V^2}.$$

	*Die berechneten AKF-Werte können durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden, da die Integration über Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.		*Die berechneten AKF-Werte können durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden,  da die Integration über Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.



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	'''(6)'''  Die fünf Intervalle  $(0$ bis $T)$,  $(T$ bis $2T)$, ... ,  $(4T$ bis $5T)$  liefern die Beiträge		'''(6)'''  Die fünf Intervalle  $(0$ bis $T)$,  $(T$ bis $2T)$, ... ,  $(4T$ bis $5T)$  liefern die Beiträge
	:$$(+1.3; -0.3; -1.2; -0.3; +1.3) \cdot \rm V^2.$$		:$$(+1.3; -0.3; -1.2; -0.3; +1.3) \cdot \rm V^2.$$
	*Daraus ergibt sich der Erwartungswert (lineare Mittelwert):		*Daraus ergibt sich der Erwartungswert  (lineare Mittelwert):
	:$${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big] = 1/5 \cdot (1.3-0.3 -1.2 -0.3 +1.3]\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.16 \,V^2}.$$		:$${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big] = 1/5 \cdot (1.3-0.3 -1.2 -0.3 +1.3]\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.16 \,V^2}.$$

Guenter am 19. März 2022 um 16:42 Uhr

2022-03-19T16:42:33Z

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	}}		}}

	[[Datei:P_ID380__Sto_Z_4_9.png\|right\|frame\|~~Periodisches mehrstufiges~~ Rechtecksignal]]		[[Datei:P_ID380__Sto_Z_4_9.png\|right\|frame\|Rechtecksignal, periodisch, mehrstufig]]
	Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess  $\{x_i(t)\}$, der durch die dargestellte Musterfunktion  $x(t)$  vollständig charakterisiert ist.		Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess  $\{x_i(t)\}$,  der durch die dargestellte Musterfunktion  $x(t)$  vollständig charakterisiert ist.

	Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses  $\{x_i(t)\}$  erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen  $\tau_i$, wobei  $\tau_i$  als gleichverteilt zwischen  $0$  und der Periodendauer  $T_0$  angenommen wird.		Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses  $\{x_i(t)\}$  erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen  $\tau_i$,  wobei  $\tau_i$  als gleichverteilt zwischen  $0$  und der Periodendauer  $T_0$  angenommen wird.




			'''Hinweis:'''  Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].


	''Hinweis:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].


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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Ermitteln Sie die Periodendauer  $T_0$, normiert auf die in der Skizze definierte Zeitdauer  $T$.		{Ermitteln Sie die Periodendauer  $T_0$,  normiert auf die in der Skizze definierte Zeitdauer  $T$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$T_0/T \ = \ $ { 5 3% }		$T_0/T \ = \ $ { 5 3% }


	{Wie groß ist der Gleichsignalanteil (lineare Mittelwert)  $m_x$  des beschriebenen Prozesses  $\{x_i(t)\}$?		{Wie groß ist der Gleichsignalanteil  (lineare Mittelwert)  $m_x$  des beschriebenen Prozesses  $\{x_i(t)\}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$m_x \ = \ $ { 0.4 3% } $\ \rm V$		$m_x \ = \ $ { 0.4 3% } $\ \rm V$


	{Wie groß ist die (auf den Widerstand  $1 \hspace{0.05cm} \rm \Omega$  bezogene) Prozessleistung?		{Wie groß ist die  (auf den Widerstand  $1 \hspace{0.05cm} \rm \Omega$  bezogene)  Prozessleistung?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$P_x \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$		$P_x \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$
Zeile 43:		Zeile 39:


	{Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Berücksichtigung ~~von~~ Symmetrieen.  Welche Werte ergeben sich für  $\tau = 3T$  und  $\tau = 4T$?		{Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Berücksichtigung möglicher Symmetrieen.  <br>Welche Werte ergeben sich für  $\tau = 3T$  und  $\tau = 4T$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varphi_x(\tau = 3T) \ = \ $ { -1.236--1.164 } $\ \rm V^2$		$\varphi_x(\tau = 3T) \ = \ $ { -1.236--1.164 } $\ \rm V^2$

Guenter am 29. November 2019 um 15:27 Uhr

2019-11-29T15:27:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. November 2019, 17:27 Uhr
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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	[[Datei:P_ID382__Sto_Z_4_9_d.png\|right\|frame\|Zur AKF–Berechnung]]		[[Datei:P_ID382__Sto_Z_4_9_d.png\|right\|frame\|Zur AKF–Berechnung]]
	'''(1)'''  Die (normierte) Periodendauer beträgt $T_0/T \hspace{0.15cm}\underline{= 5}.$		'''(1)'''  Die (normierte) Periodendauer beträgt  $T_0/T \hspace{0.15cm}\underline{= 5}.$


	'''(2)'''  Aufgrund der Periodizität genügt die Mittelung über eine Periodendauer $T_0$:		'''(2)'''  Aufgrund der Periodizität genügt die Mittelung über eine Periodendauer  $T_0$:
	:$$m_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x(t) \hspace{0.1cm}{\rm d} t = \frac{1}{5 T} \cdot (2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2 T - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2 T) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.4 \,V}.$$		:$$m_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x(t) \hspace{0.1cm}{\rm d} t = \frac{1}{5 T} \cdot (2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2 T - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2 T) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.4 \,V}.$$

Zeile 70:		Zeile 70:


	'''(4)'''  Die nebenstehende Grafik zeigt jeweils im Bereich von $0$ bis $T_0 = 5T$		'''(4)'''  Die nebenstehende Grafik zeigt jeweils im Bereich von  $0$  bis  $T_0 = 5T$
	*oben das Produkt $x(t) \cdot x(t+T)$,		*oben das Produkt  $x(t) \cdot x(t+T)$,
	*unten das Produkt $x(t) \cdot x(t+2T)$.		*unten das Produkt  $x(t) \cdot x(t+2T)$.


	Zu beachten ist, dass $x(t+T)$ eine Verschiebung des Signals $x(t)$ um $T$ nach links bedeutet.		Zu beachten ist, dass  $x(t+T)$  eine Verschiebung des Signals  $x(t)$  um  $T$  nach links bedeutet.

	Aus diesen Skizzen folgen die Beziehungen:		Aus diesen Skizzen folgen die Beziehungen:
Zeile 82:		Zeile 82:


	'''(5)'''  Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade:   $\varphi_x (-\tau)= \varphi_x (\tau)$. Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit ~~genau~~ der gleichen Periodendauer $T_0$ wie die einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt:		'''(5)'''  Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade:   $\varphi_x (-\tau)= \varphi_x (\tau)$.
	[[Datei:P_ID383__Sto_Z_4_9_e.png\|right\|frame\|~~AKF–Berechnung von Rechtecksignalen~~]]		*Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit der gleichen Periodendauer  $T_0$  wie die einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt:
			[[Datei:P_ID383__Sto_Z_4_9_e.png\|right\|frame\|Gesuchte Autokorrelationsfunktion]]

	:$$\varphi_x ( 0) = \varphi_x (5 T) = \varphi_x (10 T) = \ \text{...} \ = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$		:$$\varphi_x ( 0) = \varphi_x (5 T) = \varphi_x (10 T) = \ \text{...} \ = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$
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	:$$\varphi_x (4 T) = \varphi_x (-4 T) =\varphi_x ( T) = \ \text{...} \ \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6 \,V^2}.$$		:$$\varphi_x (4 T) = \varphi_x (-4 T) =\varphi_x ( T) = \ \text{...} \ \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6 \,V^2}.$$

	Die berechneten AKF-Werte können durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden, da die Integration über Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.		*Die berechneten AKF-Werte können durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden, da die Integration über Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.


	'''(6)'''  Die fünf Intervalle ($0$ bis $T$), ($T$ bis $2T$), ... , ($4$ bis $5T$) liefern die Beiträge
			'''(6)'''  Die fünf Intervalle  $(0$ bis $T)$,  $(T$ bis $2T)$, ... ,  $(4T$ bis $5T)$  liefern die Beiträge
	:$$(+1.3; -0.3; -1.2; -0.3; +1.3) \cdot \rm V^2.$$		:$$(+1.3; -0.3; -1.2; -0.3; +1.3) \cdot \rm V^2.$$
	Daraus ergibt sich der Erwartungswert (lineare Mittelwert):		*Daraus ergibt sich der Erwartungswert (lineare Mittelwert):
	:$${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big] = 1/5 \cdot (1.3-0.3 -1.2 -0.3 +1.3]\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.16 \,V^2}.$$		:$${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big] = 1/5 \cdot (1.3-0.3 -1.2 -0.3 +1.3]\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.16 \,V^2}.$$

	Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes $m_x$   ⇒   siehe Teilaufgabe '''(2)'''.		*Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes  $m_x$   ⇒   siehe Teilaufgabe  '''(2)'''.

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 29. November 2019 um 15:15 Uhr

2019-11-29T15:15:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. November 2019, 17:15 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID380__Sto_Z_4_9.png\|right\|frame\|Periodisches mehrstufiges Rechtecksignal]]		[[Datei:P_ID380__Sto_Z_4_9.png\|right\|frame\|Periodisches mehrstufiges Rechtecksignal]]
	Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess $\{x_i(t)\}$, der durch die dargestellte Musterfunktion $x(t)$ vollständig charakterisiert ist.		Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess  $\{x_i(t)\}$, der durch die dargestellte Musterfunktion  $x(t)$  vollständig charakterisiert ist.

			Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses  $\{x_i(t)\}$  erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen  $\tau_i$, wobei  $\tau_i$  als gleichverteilt zwischen  $0$  und der Periodendauer  $T_0$  angenommen wird.



	Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses $\{x_i(t)\}$ erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen $\tau_i$, wobei $\tau_i$ als gleichverteilt zwischen $0$ und der Periodendauer $T_0$ angenommen wird.


Zeile 12:		Zeile 15:

	''Hinweis:''		''Hinweis:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].


Zeile 19:		Zeile 22:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Ermitteln Sie die Periodendauer $T_0$, normiert auf die in der Skizze definierte Zeitdauer $T$.		{Ermitteln Sie die Periodendauer  $T_0$, normiert auf die in der Skizze definierte Zeitdauer  $T$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$T_0/T \ = \ $ { 5 3% }		$T_0/T \ = \ $ { 5 3% }


	{Wie groß ist der Gleichsignalanteil (lineare Mittelwert) $m_x$ des beschriebenen Prozesses $\{x_i(t)\}$?		{Wie groß ist der Gleichsignalanteil (lineare Mittelwert)  $m_x$  des beschriebenen Prozesses  $\{x_i(t)\}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$m_x \ = \ $ { 0.4 3% } $\ \rm V$		$m_x \ = \ $ { 0.4 3% } $\ \rm V$


	{Wie groß ist die (auf den Widerstand $1 \hspace{0.05cm} \rm \Omega$ bezogene) Prozessleistung?		{Wie groß ist die (auf den Widerstand  $1 \hspace{0.05cm} \rm \Omega$  bezogene) Prozessleistung?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$P_x \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$		$P_x \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$


	{Berechnen Sie die AKF-Werte für $\tau = T$ und $\tau = 2T$.		{Berechnen Sie die AKF-Werte für  $\tau = T$  und  $\tau = 2T$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varphi_x(\tau = T) \ = \ $ { 0.6 3% } $\ \rm V^2$		$\varphi_x(\tau = T) \ = \ $ { 0.6 3% } $\ \rm V^2$
Zeile 40:		Zeile 43:


	{Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Berücksichtigung von Symmetrieen. Welche Werte ergeben sich für $\tau = 3T$ und $\tau = 4T$?		{Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Berücksichtigung von Symmetrieen.  Welche Werte ergeben sich für  $\tau = 3T$  und  $\tau = 4T$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varphi_x(\tau = 3T) \ = \ $ { -1.236--1.164 } $\ \rm V^2$		$\varphi_x(\tau = 3T) \ = \ $ { -1.236--1.164 } $\ \rm V^2$
Zeile 46:		Zeile 49:


	{Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bezüglich aller $\tau$-Werte. Interpretieren Sie das Ergebnis.		{Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bezüglich aller  $\tau$-Werte.  Interpretieren Sie das Ergebnis.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big]\ = \ $ { 0.16 3% } $\ \rm V^2$		${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big]\ = \ $ { 0.16 3% } $\ \rm V^2$

Guenter am 18. August 2018 um 12:48 Uhr

2018-08-18T12:48:16Z

Guenter am 18. August 2018 um 12:39 Uhr

2018-08-18T12:39:37Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. August 2018, 14:39 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	}}		}}

	[[Datei:P_ID380__Sto_Z_4_9.png\|right\|~~Mehrstufiges~~ Rechtecksignal]]		[[Datei:P_ID380__Sto_Z_4_9.png\|right\|frame\|Periodisches mehrstufiges Rechtecksignal]]
	Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess $\{x_i(t)\}$, der durch die dargestellte Musterfunktion $x(t)$ vollständig charakterisiert ist.		Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess $\{x_i(t)\}$, der durch die dargestellte Musterfunktion $x(t)$ vollständig charakterisiert ist.

	Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses $\{x_i(t)\}$ erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen $\tau_i$, wobei $\tau_i$ als gleichverteilt zwischen $0$ und der Periodendauer $T_0$ angenommen wird.		Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses $\{x_i(t)\}$ erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen $\tau_i$, wobei $\tau_i$ als gleichverteilt zwischen $0$ und der Periodendauer $T_0$ angenommen wird.

	''~~Hinweise~~:''


			''Hinweis:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].

Zeile 18:		Zeile 21:
	{Ermitteln Sie die Periodendauer $T_0$, normiert auf die in der Skizze definierte Zeitdauer $T$.		{Ermitteln Sie die Periodendauer $T_0$, normiert auf die in der Skizze definierte Zeitdauer $T$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$T_0/T \ =$ { 5 3% }		$T_0/T \ = \ $ { 5 3% }


	{Wie groß ist der Gleichsignalanteil (lineare Mittelwert) $m_x$ des beschriebenen Prozesses $\{x_i(t)\}$?		{Wie groß ist der Gleichsignalanteil (lineare Mittelwert) $m_x$ des beschriebenen Prozesses $\{x_i(t)\}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$m_x \ =$ { 0.4 3% } $\ \rm V$		$m_x \ = \ $ { 0.4 3% } $\ \rm V$


	{Wie groß ist die (auf den Widerstand $1 \hspace{0.05cm} \rm \Omega$ bezogene) Prozessleistung?		{Wie groß ist die (auf den Widerstand $1 \hspace{0.05cm} \rm \Omega$ bezogene) Prozessleistung?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$P_x \ =$ { 2 3% } $\ \rm V^2$		$P_x \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$


	{Berechnen Sie die AKF-Werte für $\tau = T$ und $\tau = 2T$.		{Berechnen Sie die AKF-Werte für $\tau = T$ und $\tau = 2T$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varphi_x(\tau = T) \ =$ { 0.6 3% } $\ \rm V^2$		$\varphi_x(\tau = T) \ = \ $ { 0.6 3% } $\ \rm V^2$
	$\varphi_x(\tau = 2T) \ =$ { -1.236--1.164 } $\ \rm V^2$		$\varphi_x(\tau = 2T) \ = \ $ { -1.236--1.164 } $\ \rm V^2$


	{Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Berücksichtigung von Symmetrieen. Welche Werte ergeben sich für $\tau = 3T$ und $\tau = 4T$?		{Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Berücksichtigung von Symmetrieen. Welche Werte ergeben sich für $\tau = 3T$ und $\tau = 4T$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\varphi_x(\tau = 3T) \ =$ { -1.236--1.164 } $\ \rm V^2$		$\varphi_x(\tau = 3T) \ = \ $ { -1.236--1.164 } $\ \rm V^2$
	$\varphi_x(\tau = 4T)\ =$ { 0.6 3% } $\ \rm V^2$		$\varphi_x(\tau = 4T)\ = \ $ { 0.6 3% } $\ \rm V^2$


	{Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bezüglich aller $\tau$-Werte. Interpretieren Sie das Ergebnis.		{Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bezüglich aller $\tau$-Werte. Interpretieren Sie das Ergebnis.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm E}[\varphi_x(\tau)]\ =$ { 0.16 3% } $\ \rm V^2$		${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big]\ = \ $ { 0.16 3% } $\ \rm V^2$

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:48Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:03 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)\|Autokorrelationsfunktion]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

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2018-01-03T13:43:38Z

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Guenter am 24. März 2017 um 12:10 Uhr

2017-03-24T12:10:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. März 2017, 14:10 Uhr
Zeile 45:		Zeile 45:
	{Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bezüglich aller $\tau$-Werte. Interpretieren Sie das Ergebnis.		{Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bezüglich aller $\tau$-Werte. Interpretieren Sie das Ergebnis.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm E}[\~~phi_x~~(\tau)]\ =$ { 0.16 3% } $\ \rm V^2$		${\rm E}[\varphi_x(\tau)]\ =$ { 0.16 3% } $\ \rm V^2$


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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
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	[[Datei:P_ID382__Sto_Z_4_9_d.png\|right\|]]		[[Datei:P_ID382__Sto_Z_4_9_d.png\|right\|Zur AKF-Berechnung]]
	~~:<b>~~1~~.</b> ~~ Die Periodendauer beträgt ~~<u><i>~~T~~</i><sub>~~0~~</sub>~~ = 5~~<i>T</i></u>~~.		'''(1)'''  Die (normierte) Periodendauer beträgt $T_0/T \hspace{0.15cm}\underline{= 5}.$

	~~:<b>~~2~~.</b>~~ Aufgrund der Periodizität genügt die Mittelung über eine Periodendauer ~~<i>T</i><sub>0</sub>~~:		'''(2)'''  Aufgrund der Periodizität genügt die Mittelung über eine Periodendauer $T_0$:
	:$$m_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x(t) \hspace{0.1cm}\rm d ~~\it~~ t \\ = ~~\rm~~ \frac{1}{5 ~~\it~~ T} (\rm 2V \cdot 2 ~~\it~~ T - \rm 1V \cdot 2 ~~\it~~ T) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.4 \,V}.$$		:$$m_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x(t) \hspace{0.1cm}{\rm d} t = \frac{1}{5 T} \cdot (2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2 T - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2 T) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.4 \,V}.$$

	~~:<b>~~3~~.</b>~~ In analoger Weise ~~zu Aufgabe 2)~~ erhält man für die mittlere Leistung:		'''(3)'''  In analoger Weise zur letzten Teilaufgabe erhält man für die mittlere Leistung:
	:$$P_x = ~~\rm~~ \frac{2 ~~\it~~ T}{5 ~~\it~~ T} ((\rm 2V)^2 +(- \rm 1V)^2 )\hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 2 \,V^2}.$$		:$$P_x = \frac{2 T}{5 T} \cdot [(\rm 2V)^2 +(- \rm 1V)^2 ]\hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 2 \,V^2}.$$

	~~:<b>~~4~~.</b>~~ Die ~~Bilder zeigen~~ das Produkt ~~<i>~~x~~</i>~~(~~<i>~~t~~</i>~~) ~~· <i>~~x~~</i>~~(~~<i>~~t~~</i>~~ + ~~<i>~~T~~</i>~~) ~~bzw. <i>~~x~~</i>~~(~~<i>~~t~~</i>~~) ~~· <i>~~x~~</i>~~(~~<i>~~t~~</i>~~ + ~~2<i>T</i>~~)~~, jeweils im Bereich von 0 bis <i>T</i><sub>0</sub> = 5<i>T</i>~~.		'''(4)'''  Die Grafik zeigt jeweils im Bereich von $0$ bis $T_0 = 5T$
			*oben das Produkt $x(t) \cdot x(t+T)$,
			*unten das Produkt $x(t) \cdot x(t+2T)$.

	~~:Zu beachten ist, dass <i>x</i>(<i>t</i> + <i>T</i>) eine Verschiebung des Signals <i>x</i>(<i>t</i>) um <i>T</i> nach links bedeutet. Aus den beiden Grafiken folgen die Beziehungen:~~
	~~:$$\varphi_x (T)= \rm \frac{1}{5 } (\rm 4V^2 + \rm 1V^2 - \rm 2V^2) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6\, V^2},$$~~
	~~:$$\varphi_x (\rm 2\it T)= \rm \frac{1}{5 } (-\rm 2V^2 \cdot 3) \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2}.$$~~

	~~:<b>5.</b>  Eine Autokorrelationsfunktion~~ ist ~~stets gerade: <i>φ<sub>~~x~~</sub></i>~~(~~–<i>τ</i>~~) ~~= <i>φ<sub>~~x~~</sub></i>~~(~~<i>τ</i>~~). ~~Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit genau der gleichen Periodendauer <i>T</i><sub>0</sub> wie~~ die ~~einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt~~:		Zu beachten ist, dass $x(t+T)$ eine Verschiebung des Signals $x(t)$ um $T$ nach links bedeutet. Aus diesen Skizzen folgen die Beziehungen:
	:$$\varphi_x (~~\rm 0~~) = ~~\varphi_x (~~\rm 5\~~it T) = \varphi_x~~ (\rm ~~10\it T) = .... = \it P_x =~~ \rm ~~2 \,V~~^2~~,$$~~		:$$\varphi_x (T)= \rm {1}/{5 } \cdot (\rm 4V^2 + \rm 1V^2 - \rm 2V^2) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6\, V^2},$$
	~~:$$\varphi_x (\rm 3\it T) = \varphi_x (\rm~~ -~~3\it T) =\varphi_x (~~\rm 2~~\it T~~) ~~= ....~~ \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2},$$		:$$\varphi_x ( 2 T)= \rm {1}/{5 } \cdot(-\rm 2V^2 \cdot 3) \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2}.$$
	:$$\varphi_x (~~\rm 4\it~~ T) = ~~\varphi_x (~~\rm -4\~~it T) =\varphi_x~~ (\rm \~~it T~~) ~~= ....~~ \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6 \,V^2}.$$

	~~:Die berechneten AKF-Werte können durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden, da die Integration über Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.~~
	~~[[Datei:P_ID383__Sto_Z_4_9_e.png\|center\|]]~~

	:~~<b>~~6.~~</b>~~&~~nbsp~~; Die ~~Mittelung über die 5~~ Intervalle 0 bis ~~<i>~~T~~</i>~~, ~~<i>~~T~~</i>~~ bis ~~2<i>T</i>~~, ... , 4~~<i>T</i>~~ bis ~~5<i>T</i>~~ liefern (~~jeweils mit der Einheit V<sup>2</sup>):~~ 1.3; ~~–~~0.3~~, &ndash~~;1.2~~, &ndash~~;0.3, 1.3. Daraus ergibt sich der Erwartungswert ~~<u>~~E[~~<i>φ<sub>x</sub></i>~~(~~<i>&~~tau;</~~i>)~~] = 0.16 V~~<sup>~~2~~</sup></u>~~. Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes ~~<i>m<sub>x</sub></i>~~ (siehe Teilaufgabe 2).		'''(5)'''  Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade: $\varphi_x (-\tau)= \varphi_x (\tau)$. Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit genau der gleichen Periodendauer $T_0$ wie die einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt:
			[[Datei:P_ID383__Sto_Z_4_9_e.png\|right\|AKF-Berechnung von Rechtecksignalen]]

			:$$\varphi_x ( 0) = \varphi_x (5 T) = \varphi_x (10 T) = .... = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$
			:$$\varphi_x (3 T) = \varphi_x (-3 T) =\varphi_x (2 T) = .... \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2},$$
			:$$\varphi_x (4 T) = \varphi_x (-4 T) =\varphi_x ( T) = .... \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6 \,V^2}.$$

			Die berechneten AKF-Werte können durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden, da die Integration über Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.


			'''(6)'''  Die fünf Intervalle ($0$ bis $T$), ($T$ bis $2T$), ... , ($4$ bis $5T$) liefern die Beiträge
			$(+1.3; -0.3; -1.2; -0.3; +1.3) \cdot \rm V^2.$
			<br>Daraus ergibt sich der Erwartungswert (lineare Mittelwert):
			$${\rm E}[\varphi_x(\tau)] = 1/5 \cdot (1.3-0.3 -1.2 -0.3 +1.3]\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.16 \,V^2}.$$

			Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes $m_x$ (siehe Teilaufgabe 2).

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	[[Datei:P_ID382__Sto_Z_4_9_d.png\|right\|Zur AKF-Berechnung]]		[[Datei:P_ID382__Sto_Z_4_9_d.png\|right\|frame\|Zur AKF–Berechnung]]
	'''(1)'''  Die (normierte) Periodendauer beträgt $T_0/T \hspace{0.15cm}\underline{= 5}.$		'''(1)'''  Die (normierte) Periodendauer beträgt $T_0/T \hspace{0.15cm}\underline{= 5}.$


	'''(2)'''  Aufgrund der Periodizität genügt die Mittelung über eine Periodendauer $T_0$:		'''(2)'''  Aufgrund der Periodizität genügt die Mittelung über eine Periodendauer $T_0$:
	:$$m_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x(t) \hspace{0.1cm}{\rm d} t = \frac{1}{5 T} \cdot (2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2 T - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2 T) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.4 \,V}.$$		:$$m_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x(t) \hspace{0.1cm}{\rm d} t = \frac{1}{5 T} \cdot (2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2 T - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2 T) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.4 \,V}.$$


	'''(3)'''  In analoger Weise zur letzten Teilaufgabe erhält man für die mittlere Leistung:		'''(3)'''  In analoger Weise zur letzten Teilaufgabe erhält man für die mittlere Leistung:
	:$$P_x = \frac{2 T}{5 T} \cdot [(\rm 2V)^2 +(- \rm 1V)^2 ]\hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 2 \,V^2}.$$		:$$P_x = \frac{2 T}{5 T} \cdot \big[(\rm 2V)^2 +(- \rm 1V)^2 \big]\hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 2 \,V^2}.$$


	'''(4)'''  Die Grafik zeigt jeweils im Bereich von $0$ bis $T_0 = 5T$		'''(4)'''  Die nebenstehende Grafik zeigt jeweils im Bereich von $0$ bis $T_0 = 5T$
	*oben das Produkt $x(t) \cdot x(t+T)$,		*oben das Produkt $x(t) \cdot x(t+T)$,
	*unten das Produkt $x(t) \cdot x(t+2T)$.		*unten das Produkt $x(t) \cdot x(t+2T)$.


	Zu beachten ist, dass $x(t+T)$ eine Verschiebung des Signals $x(t)$ um $T$ nach links bedeutet. Aus diesen Skizzen folgen die Beziehungen:		Zu beachten ist, dass $x(t+T)$ eine Verschiebung des Signals $x(t)$ um $T$ nach links bedeutet.

			Aus diesen Skizzen folgen die Beziehungen:
	:$$\varphi_x (T)= \rm {1}/{5 } \cdot (\rm 4V^2 + \rm 1V^2 - \rm 2V^2) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6\, V^2},$$		:$$\varphi_x (T)= \rm {1}/{5 } \cdot (\rm 4V^2 + \rm 1V^2 - \rm 2V^2) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6\, V^2},$$
	:$$\varphi_x ( 2 T)= \rm {1}/{5 } \cdot(-\rm 2V^2 \cdot 3) \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2}.$$		:$$\varphi_x ( 2 T)= \rm {1}/{5 } \cdot(-\rm 2V^2 \cdot 3) \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2}.$$


	'''(5)'''  Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade: $\varphi_x (-\tau)= \varphi_x (\tau)$. Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit genau der gleichen Periodendauer $T_0$ wie die einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt:		'''(5)'''  Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade:   $\varphi_x (-\tau)= \varphi_x (\tau)$. Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit genau der gleichen Periodendauer $T_0$ wie die einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt:
	[[Datei:P_ID383__Sto_Z_4_9_e.png\|right\|AKF-Berechnung von Rechtecksignalen]]		[[Datei:P_ID383__Sto_Z_4_9_e.png\|right\|frame\|AKF–Berechnung von Rechtecksignalen]]

	:$$\varphi_x ( 0) = \varphi_x (5 T) = \varphi_x (10 T) = .... = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$		:$$\varphi_x ( 0) = \varphi_x (5 T) = \varphi_x (10 T) = \ \text{...} \ = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$
	:$$\varphi_x (3 T) = \varphi_x (-3 T) =\varphi_x (2 T) = .... \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2},$$		:$$\varphi_x (3 T) = \varphi_x (-3 T) =\varphi_x (2 T) = \ \text{...} \ \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2},$$
	:$$\varphi_x (4 T) = \varphi_x (-4 T) =\varphi_x ( T) = .... \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6 \,V^2}.$$		:$$\varphi_x (4 T) = \varphi_x (-4 T) =\varphi_x ( T) = \ \text{...} \ \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6 \,V^2}.$$

	Die berechneten AKF-Werte können durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden, da die Integration über Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.		Die berechneten AKF-Werte können durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden, da die Integration über Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.
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	'''(6)'''  Die fünf Intervalle ($0$ bis $T$), ($T$ bis $2T$), ... , ($4$ bis $5T$) liefern die Beiträge		'''(6)'''  Die fünf Intervalle ($0$ bis $T$), ($T$ bis $2T$), ... , ($4$ bis $5T$) liefern die Beiträge
	$(+1.3; -0.3; -1.2; -0.3; +1.3) \cdot \rm V^2.$		:$$(+1.3; -0.3; -1.2; -0.3; +1.3) \cdot \rm V^2.$$
	~~<br>~~Daraus ergibt sich der Erwartungswert (lineare Mittelwert):		Daraus ergibt sich der Erwartungswert (lineare Mittelwert):
	$${\rm E}[\varphi_x(\tau)] = 1/5 \cdot (1.3-0.3 -1.2 -0.3 +1.3]\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.16 \,V^2}.$$		:$${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big] = 1/5 \cdot (1.3-0.3 -1.2 -0.3 +1.3]\hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.16 \,V^2}.$$

	Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes $m_x$ (siehe Teilaufgabe 2).		Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes $m_x$   ⇒   siehe Teilaufgabe '''(2)'''.

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