Aufgaben:Aufgabe 4.09Z: Periodische AKF - Versionsgeschichte

Guenter am 19. März 2022 um 16:47 Uhr

2022-03-19T16:47:56Z

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2022-03-19T16:42:33Z

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2019-11-29T15:15:30Z

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2018-08-18T12:48:16Z

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2018-01-03T13:43:38Z

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Guenter am 24. März 2017 um 11:27 Uhr

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 {{ML-Kopf}}
 [[Datei:P_ID382__Sto_Z_4_9_d.png|right|frame|Zur AKF&ndash;Berechnung]]
-'''(1)'''&nbsp; Die (normierte) Periodendauer betr&auml;gt&nbsp; $T_0/T \hspace{0.15cm}\underline{= 5}.$
+'''(1)'''&nbsp; Die&nbsp;  (normierte)&nbsp; Periodendauer betr&auml;gt&nbsp; $T_0/T \hspace{0.15cm}\underline{= 5}.$
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 '''(4)'''&nbsp; Die nebenstehende Grafik zeigt jeweils im Bereich von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $T_0  = 5T$
-*oben das Produkt&nbsp; $x(t) \cdot x(t+T)$,
+:*oben das Produkt&nbsp; $x(t) \cdot x(t+T)$,
-*unten das Produkt&nbsp; $x(t) \cdot x(t+2T)$.
+:*unten das Produkt&nbsp; $x(t) \cdot x(t+2T)$.
-Zu beachten ist, dass&nbsp; $x(t+T)$&nbsp; eine Verschiebung des Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; um&nbsp; $T$&nbsp; nach links bedeutet.
+*Zu beachten ist,&nbsp; dass&nbsp; $x(t+T)$&nbsp; eine Verschiebung des Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; um&nbsp; $T$&nbsp; nach links bedeutet.
+*Aus diesen Skizzen folgen die Beziehungen:
 :$$\varphi_x (T)=  \rm {1}/{5 } \cdot (\rm 4V^2 + \rm 1V^2 - \rm 2V^2) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6\, V^2},$$
 :$$\varphi_x ( 2 T)=  \rm {1}/{5 } \cdot(-\rm 2V^2 \cdot 3) \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade: &nbsp; $\varphi_x (-\tau)= \varphi_x (\tau)$.&nbsp;
-*Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit der gleichen Periodendauer&nbsp; $T_0$&nbsp; wie die einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt:
+*Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit der gleichen Periodendauer&nbsp; $T_0$&nbsp; wie die einzelnen Musterfunktionen.&nbsp; Daraus folgt:
 :$$\varphi_x ( 0) =  \varphi_x (5 T) = \varphi_x (10 T) = \ \text{...} \ = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$
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 :$$\varphi_x (4 T) = \varphi_x (-4 T) =\varphi_x ( T) = \ \text{...} \  \hspace{0.15cm}\underline{=  \rm 0.6 \,V^2}.$$
-*Die berechneten AKF-Werte k&ouml;nnen durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden, da die Integration &uuml;ber Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.
+*Die berechneten AKF-Werte k&ouml;nnen durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden,&nbsp; da die Integration &uuml;ber Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.
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 '''(6)'''&nbsp; Die fünf Intervalle&nbsp; $(0$ bis $T)$,&nbsp; $(T$ bis $2T)$, ... ,&nbsp; $(4T$ bis $5T)$&nbsp; liefern die Beiträge
 :$$(+1.3;   -0.3;    -1.2;   -0.3;   +1.3) \cdot \rm V^2.$$
-*Daraus ergibt sich der Erwartungswert (lineare Mittelwert):
+*Daraus ergibt sich der Erwartungswert&nbsp; (lineare Mittelwert):
 :$${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big] = 1/5 \cdot (1.3-0.3 -1.2 -0.3 +1.3]\hspace{0.15cm}\underline{=  \rm 0.16 \,V^2}.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID380__Sto_Z_4_9.png|right|frame|Periodisches mehrstufiges Rechtecksignal]]
+[[Datei:P_ID380__Sto_Z_4_9.png|right|frame|Rechtecksignal, periodisch, mehrstufig]]
-Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess&nbsp;  $\{x_i(t)\}$, der durch die dargestellte Musterfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; vollständig charakterisiert ist.
+Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess&nbsp;  $\{x_i(t)\}$,&nbsp;  der durch die dargestellte Musterfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; vollständig charakterisiert ist.
-Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen&nbsp; $\tau_i$, wobei&nbsp; $\tau_i$&nbsp; als gleichverteilt zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und der Periodendauer&nbsp; $T_0$&nbsp; angenommen wird.
+Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen&nbsp; $\tau_i$,&nbsp; wobei&nbsp; $\tau_i$&nbsp; als gleichverteilt zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und der Periodendauer&nbsp; $T_0$&nbsp; angenommen wird.
+'''Hinweis:'''&nbsp; Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
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 <quiz display=simple>
-{Ermitteln Sie die Periodendauer&nbsp; $T_0$, normiert auf die in der Skizze definierte Zeitdauer&nbsp; $T$.
+{Ermitteln Sie die Periodendauer&nbsp; $T_0$,&nbsp; normiert auf die in der Skizze definierte Zeitdauer&nbsp; $T$.
 |type="{}"}
 $T_0/T \ = \ $  { 5 3% }
-{Wie gro&szlig; ist der Gleichsignalanteil (lineare Mittelwert)&nbsp; $m_x$&nbsp; des beschriebenen Prozesses&nbsp; $\{x_i(t)\}$?
+{Wie gro&szlig; ist der Gleichsignalanteil&nbsp; (lineare Mittelwert)&nbsp; $m_x$&nbsp; des beschriebenen Prozesses&nbsp; $\{x_i(t)\}$?
 |type="{}"}
 $m_x \ = \ $ { 0.4 3% } $\ \rm V$
-{Wie gro&szlig; ist die (auf den Widerstand&nbsp; $1 \hspace{0.05cm} \rm \Omega$&nbsp; bezogene) Prozessleistung?
+{Wie gro&szlig; ist die&nbsp; (auf den Widerstand&nbsp; $1 \hspace{0.05cm} \rm \Omega$&nbsp; bezogene)&nbsp; Prozessleistung?
 |type="{}"}
 $P_x \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$
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-{Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Ber&uuml;cksichtigung von Symmetrieen.&nbsp; Welche Werte ergeben sich f&uuml;r&nbsp; $\tau = 3T$&nbsp; und&nbsp; $\tau = 4T$?
+{Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Ber&uuml;cksichtigung möglicher Symmetrieen.&nbsp; <br>Welche Werte ergeben sich f&uuml;r&nbsp; $\tau = 3T$&nbsp; und&nbsp; $\tau = 4T$?
 |type="{}"}
 $\varphi_x(\tau = 3T) \ = \ $ { -1.236--1.164 } $\ \rm V^2$

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 {{ML-Kopf}}
 [[Datei:P_ID382__Sto_Z_4_9_d.png|right|frame|Zur AKF&ndash;Berechnung]]
-'''(1)'''&nbsp; Die (normierte) Periodendauer betr&auml;gt $T_0/T \hspace{0.15cm}\underline{= 5}.$
+'''(1)'''&nbsp; Die (normierte) Periodendauer betr&auml;gt&nbsp; $T_0/T \hspace{0.15cm}\underline{= 5}.$
-'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der Periodizit&auml;t gen&uuml;gt die Mittelung &uuml;ber eine Periodendauer $T_0$:
+'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der Periodizit&auml;t gen&uuml;gt die Mittelung &uuml;ber eine Periodendauer&nbsp; $T_0$:
 :$$m_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x(t) \hspace{0.1cm}{\rm d}  t  =  \frac{1}{5  T} \cdot  (2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2  T - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2 T) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.4 \,V}.$$
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-'''(4)'''&nbsp; Die nebenstehende Grafik zeigt jeweils im Bereich von $0$ bis $T_0  = 5T$
+'''(4)'''&nbsp; Die nebenstehende Grafik zeigt jeweils im Bereich von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $T_0  = 5T$
-*oben das Produkt $x(t) \cdot x(t+T)$,
+*oben das Produkt&nbsp; $x(t) \cdot x(t+T)$,
-*unten das Produkt $x(t) \cdot x(t+2T)$.
+*unten das Produkt&nbsp; $x(t) \cdot x(t+2T)$.
-Zu beachten ist, dass $x(t+T)$ eine Verschiebung des Signals $x(t)$ um $T$ nach links bedeutet.
+Zu beachten ist, dass&nbsp; $x(t+T)$&nbsp; eine Verschiebung des Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; um&nbsp; $T$&nbsp; nach links bedeutet.
 Aus diesen Skizzen folgen die Beziehungen:
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-'''(5)'''&nbsp; Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade: &nbsp; $\varphi_x (-\tau)= \varphi_x (\tau)$. Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit genau der gleichen Periodendauer $T_0$ wie die einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt:
+'''(5)'''&nbsp; Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade: &nbsp; $\varphi_x (-\tau)= \varphi_x (\tau)$.&nbsp;
-[[Datei:P_ID383__Sto_Z_4_9_e.png|right|frame|AKF&ndash;Berechnung von Rechtecksignalen]]
+*Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit der gleichen Periodendauer&nbsp; $T_0$&nbsp; wie die einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt:
 :$$\varphi_x ( 0) =  \varphi_x (5 T) = \varphi_x (10 T) = \ \text{...} \ = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$
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 :$$\varphi_x (4 T) = \varphi_x (-4 T) =\varphi_x ( T) = \ \text{...} \  \hspace{0.15cm}\underline{=  \rm 0.6 \,V^2}.$$
-Die berechneten AKF-Werte k&ouml;nnen durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden, da die Integration &uuml;ber Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.
+*Die berechneten AKF-Werte k&ouml;nnen durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden, da die Integration &uuml;ber Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.
-'''(6)'''&nbsp; Die fünf Intervalle ($0$ bis $T$), ($T$ bis $2T$), ... , ($4$ bis $5T$) liefern die Beiträge
 :$$(+1.3;   -0.3;    -1.2;   -0.3;   +1.3) \cdot \rm V^2.$$
-Daraus ergibt sich der Erwartungswert (lineare Mittelwert):
+*Daraus ergibt sich der Erwartungswert (lineare Mittelwert):
 :$${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big] = 1/5 \cdot (1.3-0.3 -1.2 -0.3 +1.3]\hspace{0.15cm}\underline{=  \rm 0.16 \,V^2}.$$
-Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes $m_x$ &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Teilaufgabe '''(2)'''.
+*Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes&nbsp; $m_x$ &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID380__Sto_Z_4_9.png|right|frame|Periodisches mehrstufiges Rechtecksignal]]
-Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess  $\{x_i(t)\}$, der durch die dargestellte Musterfunktion $x(t)$ vollständig charakterisiert ist.
+Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess&nbsp;  $\{x_i(t)\}$, der durch die dargestellte Musterfunktion&nbsp; $x(t)$&nbsp; vollständig charakterisiert ist.
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 ''Hinweis:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
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 <quiz display=simple>
-{Ermitteln Sie die Periodendauer $T_0$, normiert auf die in der Skizze definierte Zeitdauer $T$.
+{Ermitteln Sie die Periodendauer&nbsp; $T_0$, normiert auf die in der Skizze definierte Zeitdauer&nbsp; $T$.
 |type="{}"}
 $T_0/T \ = \ $  { 5 3% }
-{Wie gro&szlig; ist der Gleichsignalanteil (lineare Mittelwert) $m_x$ des beschriebenen Prozesses $\{x_i(t)\}$?
+{Wie gro&szlig; ist der Gleichsignalanteil (lineare Mittelwert)&nbsp; $m_x$&nbsp; des beschriebenen Prozesses&nbsp; $\{x_i(t)\}$?
 |type="{}"}
 $m_x \ = \ $ { 0.4 3% } $\ \rm V$
-{Wie gro&szlig; ist die (auf den Widerstand $1 \hspace{0.05cm} \rm \Omega$ bezogene) Prozessleistung?
+{Wie gro&szlig; ist die (auf den Widerstand&nbsp; $1 \hspace{0.05cm} \rm \Omega$&nbsp; bezogene) Prozessleistung?
 |type="{}"}
 $P_x \ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$
-{Berechnen Sie die AKF-Werte f&uuml;r $\tau = T$ und $\tau = 2T$.
+{Berechnen Sie die AKF-Werte f&uuml;r&nbsp; $\tau = T$&nbsp; und&nbsp; $\tau = 2T$.
 |type="{}"}
 $\varphi_x(\tau = T) \ = \ $ { 0.6 3% } $\ \rm V^2$
@@ Zeile 40: / Zeile 43: @@
-{Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Ber&uuml;cksichtigung von Symmetrieen. Welche Werte ergeben sich f&uuml;r $\tau = 3T$ und $\tau = 4T$?
+{Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Ber&uuml;cksichtigung von Symmetrieen.&nbsp; Welche Werte ergeben sich f&uuml;r&nbsp; $\tau = 3T$&nbsp; und&nbsp; $\tau = 4T$?
 |type="{}"}
 $\varphi_x(\tau = 3T) \ = \ $ { -1.236--1.164 } $\ \rm V^2$
@@ Zeile 46: / Zeile 49: @@
-{Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bez&uuml;glich aller $\tau$-Werte. Interpretieren Sie das Ergebnis.
+{Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bez&uuml;glich aller&nbsp; $\tau$-Werte.&nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis.
 |type="{}"}
 ${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big]\ = \ $ { 0.16 3% } $\ \rm V^2$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-[[Datei:P_ID382__Sto_Z_4_9_d.png|right|Zur AKF-Berechnung]]
+[[Datei:P_ID382__Sto_Z_4_9_d.png|right|frame|Zur AKF&ndash;Berechnung]]
 '''(1)'''&nbsp; Die (normierte) Periodendauer betr&auml;gt $T_0/T \hspace{0.15cm}\underline{= 5}.$
 '''(2)'''&nbsp; Aufgrund der Periodizit&auml;t gen&uuml;gt die Mittelung &uuml;ber eine Periodendauer $T_0$:
 :$$m_x = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} x(t) \hspace{0.1cm}{\rm d}  t  =  \frac{1}{5  T} \cdot  (2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2  T - 2\hspace{0.05cm}{\rm V} \cdot 2 T) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.4 \,V}.$$
 '''(3)'''&nbsp; In analoger Weise zur letzten Teilaufgabe  erh&auml;lt man f&uuml;r die mittlere Leistung:
-:$$P_x =  \frac{2  T}{5  T} \cdot [(\rm 2V)^2  +(- \rm 1V)^2 ]\hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 2 \,V^2}.$$
+:$$P_x =  \frac{2  T}{5  T} \cdot \big[(\rm 2V)^2  +(- \rm 1V)^2 \big]\hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 2 \,V^2}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Die Grafik zeigt jeweils im Bereich von $0$ bis $T_0  = 5T$
+'''(4)'''&nbsp; Die nebenstehende Grafik zeigt jeweils im Bereich von $0$ bis $T_0  = 5T$
 *oben das Produkt $x(t) \cdot x(t+T)$,
 *unten das Produkt $x(t) \cdot x(t+2T)$.
-Zu beachten ist, dass $x(t+T)$ eine Verschiebung des Signals $x(t)$ um $T$ nach links bedeutet. Aus diesen Skizzen folgen die Beziehungen:
+Zu beachten ist, dass $x(t+T)$ eine Verschiebung des Signals $x(t)$ um $T$ nach links bedeutet.
 :$$\varphi_x (T)=  \rm {1}/{5 } \cdot (\rm 4V^2 + \rm 1V^2 - \rm 2V^2) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.6\, V^2},$$
 :$$\varphi_x ( 2 T)=  \rm {1}/{5 } \cdot(-\rm 2V^2 \cdot 3) \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade: $\varphi_x (-\tau)= \varphi_x (\tau)$. Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit genau der gleichen Periodendauer $T_0$ wie die einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt:
+'''(5)'''&nbsp; Eine Autokorrelationsfunktion ist stets gerade: &nbsp; $\varphi_x (-\tau)= \varphi_x (\tau)$. Bei periodischen Prozessen ist die AKF zudem ebenfalls periodisch und zwar mit genau der gleichen Periodendauer $T_0$ wie die einzelnen Musterfunktionen. Daraus folgt:
-[[Datei:P_ID383__Sto_Z_4_9_e.png|right|AKF-Berechnung von Rechtecksignalen]]
+[[Datei:P_ID383__Sto_Z_4_9_e.png|right|frame|AKF&ndash;Berechnung von Rechtecksignalen]]
-:$$\varphi_x ( 0) =  \varphi_x (5 T) = \varphi_x (10 T) = .... = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$
+:$$\varphi_x ( 0) =  \varphi_x (5 T) = \varphi_x (10 T) = \ \text{...} \ = \it P_x = \rm 2 \,V^2,$$
-:$$\varphi_x (3 T) = \varphi_x (-3 T) =\varphi_x (2 T) = .... \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2},$$
+:$$\varphi_x (3 T) = \varphi_x (-3 T) =\varphi_x (2 T) = \ \text{...} \  \hspace{0.15cm}\underline{= - \rm 1.2 \,V^2},$$
-:$$\varphi_x (4 T) = \varphi_x (-4 T) =\varphi_x ( T) = .... \hspace{0.15cm}\underline{=  \rm 0.6 \,V^2}.$$
+:$$\varphi_x (4 T) = \varphi_x (-4 T) =\varphi_x ( T) = \ \text{...} \  \hspace{0.15cm}\underline{=  \rm 0.6 \,V^2}.$$
 Die berechneten AKF-Werte k&ouml;nnen durch Geradenabschnitte miteinander verbunden werden, da die Integration &uuml;ber Rechteckfunktionen stets lineare Teilabschnitte ergibt.
@@ Zeile 85: / Zeile 90: @@
 '''(6)'''&nbsp; Die fünf Intervalle ($0$ bis $T$), ($T$ bis $2T$), ... , ($4$ bis $5T$) liefern die Beiträge
-$(+1.3;   -0.3;    -1.2;   -0.3;   +1.3) \cdot \rm V^2.$
+:$$(+1.3;   -0.3;    -1.2;   -0.3;   +1.3) \cdot \rm V^2.$$
-<br>Daraus ergibt sich der Erwartungswert (lineare Mittelwert):
+Daraus ergibt sich der Erwartungswert (lineare Mittelwert):
-$${\rm E}[\varphi_x(\tau)] = 1/5 \cdot (1.3-0.3 -1.2 -0.3 +1.3]\hspace{0.15cm}\underline{=  \rm 0.16 \,V^2}.$$
+:$${\rm E}\big[\varphi_x(\tau)\big] = 1/5 \cdot (1.3-0.3 -1.2 -0.3 +1.3]\hspace{0.15cm}\underline{=  \rm 0.16 \,V^2}.$$
-Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes $m_x$ (siehe Teilaufgabe 2).
+Dies entspricht dem Quadrat des Mittelwertes $m_x$ &nbsp; &rArr; &nbsp; siehe Teilaufgabe '''(2)'''.
 {{ML-Fuß}}

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID380__Sto_Z_4_9.png|right|]]
+[[Datei:P_ID380__Sto_Z_4_9.png|right|Mehrstufiges Rechtecksignal]]
-:Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess {$x_i(t)$}, der durch die dargestellte Musterfunktion $x(t)$ vollständig charakterisiert ist.
+Wir betrachten in dieser Aufgabe einen periodischen und gleichzeitig ergodischen stochastischen Prozess  $\{x_i(t)\}$, der durch die dargestellte Musterfunktion $x(t)$ vollständig charakterisiert ist.
-:Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses {$x_i(t)$} erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen $\tau_i$, wobei $\tau_i$ als gleichverteilt zwischen 0 und der Periodendauer $T_0$ angenommen wird.
+Weitere Mustersignale des Zufallsprozesses $\{x_i(t)\}$ erhält man durch Verschiebung um unterschiedlich große Verzögerungen $\tau_i$, wobei $\tau_i$ als gleichverteilt zwischen $0$ und der Periodendauer $T_0$ angenommen wird.
-:<b>Hinweis</b>: Diese Aufgabe bezieht sich auf die theoretischen Grundlagen von Kapitel 4.4.
+''Hinweise:''
@@ Zeile 14: / Zeile 16: @@
 <quiz display=simple>
-{Ermitteln Sie die Periodendauer <i>T</i><sub>0</sub>, normiert auf die Zeitdauer <i>T</i>.
+{Ermitteln Sie die Periodendauer $T_0$, normiert auf die in der Skizze definierte Zeitdauer $T$.
 |type="{}"}
-$T_0/T$ = { 5 3% }
+$T_0/T \ =$  { 5 3% }
-{Wie gro&szlig; ist der Gleichsignalanteil (lineare Mittelwert) des Prozesses?
+{Wie gro&szlig; ist der Gleichsignalanteil (lineare Mittelwert) $m_x$ des beschriebenen Prozesses $\{x_i(t)\}$?
 |type="{}"}
-$m_x$ = { 0.4 3% } V
+$m_x \ =$ { 0.4 3% } $\ \rm V$
-{Wie gro&szlig; ist die (auf den Widerstand 1 &Omega; bezogene) Prozessleistung?
+{Wie gro&szlig; ist die (auf den Widerstand $1 \hspace{0.05cm} \rm \Omega$ bezogene) Prozessleistung?
 |type="{}"}
-$P_x$ = { 2 3% } $V^2$
+$P_x \ =$ { 2 3% } $\ \rm V^2$
-{Berechnen Sie die AKF-Werte f&uuml;r <i>&tau;</i> = <i>T</i> und <i>&tau;</i> = 2<i>T</i>.
+{Berechnen Sie die AKF-Werte f&uuml;r $\tau = T$ und $\tau = 2T$.
 |type="{}"}
-$\phi_x(\tau = T)$ = { 0.6 3% } $V^2$
+$\varphi_x(\tau = T) \ =$ { 0.6 3% } $\ \rm V^2$
-$\phi_x(\tau = 2T)$ = - { 1.2 3% } $V^2$
+$\varphi_x(\tau = 2T) \ =$ { -1.236--1.164 } $\ \rm V^2$
-{Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Ber&uuml;cksichtigung von Symmetrieen. Welche Werte ergeben sich f&uuml;r <i>&tau;</i> = 3<i>T</i> und <i>&tau;</i> = 4<i>T</i>?
+{Skizzieren Sie den AKF-Verlauf unter Ber&uuml;cksichtigung von Symmetrieen. Welche Werte ergeben sich f&uuml;r $\tau = 3T$ und $\tau = 4T$?
 |type="{}"}
-$\phi_x(\tau = 3T)$ = - { 1.2 3% } $V^2$
+$\varphi_x(\tau = 3T) \ =$ { -1.236--1.164 } $\ \rm V^2$
-$\phi_x(\tau = 4T)$ = { 0.6 3% } $V^2$
+$\varphi_x(\tau = 4T)\ =$ { 0.6 3% } $\ \rm V^2$
-{Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bez&uuml;glich aller <i>&tau;</i>-Werte.<br>Interpretieren Sie das Ergebnis.
+{Berechnen Sie den Erwartungswert der AKF bez&uuml;glich aller $\tau$-Werte. Interpretieren Sie das Ergebnis.
 |type="{}"}
-$E[\phi_x(\tau)]$ = { 0.16 3% } $V^2$
+${\rm E}[\phi_x(\tau)]\ =$ { 0.16 3% } $\ \rm V^2$