Aufgaben:Aufgabe 4.09Z: Laplace-verteiltes Rauschen - Versionsgeschichte

Guenter am 30. Juli 2022 um 13:27 Uhr

2022-07-30T13:27:41Z

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2022-07-30T13:18:15Z

Guenter am 30. Juli 2022 um 13:17 Uhr

2022-07-30T13:17:17Z

Guenter am 14. März 2019 um 12:16 Uhr

2019-03-14T12:16:47Z

Guenter am 14. März 2019 um 12:13 Uhr

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Guenter am 14. März 2019 um 12:07 Uhr

2019-03-14T12:07:01Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:48Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:35:17Z

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2017-11-21T08:50:53Z

Guenter am 20. November 2017 um 17:06 Uhr

2017-11-20T17:06:33Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-*Die Fläche unter der WDF muss $1$ ergeben:
+*Die Fläche unter der WDF muss&nbsp; $1$&nbsp; ergeben:
 :$$\int_{-\infty}^{+\infty}  p_{n_1}(x) \,{\rm d} x  = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
   \int_{0}^{+\infty}  p_{n_1}(x) \,{\rm d} x  = 0.5  \hspace{0.3cm}
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-'''(2)'''&nbsp; Der <u>lineare Mittelwert</u> ist aufgrund der WDF&ndash;Symmetrie <u>gleich 0</u>.
+'''(2)'''&nbsp; Der&nbsp; <u>lineare Mittelwert</u>&nbsp; ist aufgrund der WDF&ndash;Symmetrie&nbsp; <u>gleich 0</u>.
-Damit ist die Varianz $\sigma^2$ tatsächlich &ndash; wie bereits in der Fragestellung angegeben &ndash; gleich dem quadratischen Mittelwert:
+*Damit ist die Varianz&nbsp; $\sigma^2$&nbsp; tatsächlich &ndash; wie bereits in der Fragestellung angegeben &ndash; gleich dem zweiten Erwartungswert:
 :$$\sigma^2 = {\rm E}[n_1^2] = 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \int_{0}^{\infty} x^2 \cdot {\rm e}^{-a \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} x} \,{\rm d} x  = a \cdot {2}/{a^3}=
   {2}/{a^2} \hspace{0.05cm}. \hspace{0.2cm}{\rm Mit}\hspace{0.15cm}a = 1\text{:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.1cm}\underline {\sigma^2 = 2 }\hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID2045__Dig_Z_4_9c.png|right|frame|Höhenlinien der 2D-Laplaceverteilung]]
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
+*Im ersten Quadranten&nbsp; $(x &#8805; 0, y &#8805; 0)$&nbsp; kann auf die Betragsbildung verzichtet werden.&nbsp; Dann gilt für die 2D&ndash;WDF:
 :$$\boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }}  (x,\hspace{0.15cm} y) = {a^2}/{4} \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}x} \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}y }= {a^2}/{4} \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(x+y)}\hspace{0.05cm}.$$
-*Eine Höhenlinie mit dem Faktor $\beta$ gegenüber dem Maximum hat dann den folgenden Verlauf ($0 < \beta < 1$):
+*Eine Höhenlinie mit dem Faktor&nbsp; $\beta$&nbsp; gegenüber dem Maximum hat dann den folgenden Verlauf&nbsp; $(0 < \beta < 1)$:
 :$${\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(x+y)} = \beta
   \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x + y = \frac{{\rm ln}\hspace{0.15cm}1/\beta}{a}
    \hspace{0.05cm}.$$
-*Die Grafik zeigt die Höhenlinien für $a = 1$ und einige Werte von $\beta$, die jeweils ein um $45^\circ$ gedrehtes Quadrat ergeben &nbsp;&#8658;&nbsp; die Höhenlinien sind also Gerade..
+*Die Grafik zeigt die Höhenlinien für&nbsp; $a = 1$&nbsp; und einige Werte von&nbsp; $\beta$,&nbsp; die jeweils ein um&nbsp; $45^\circ$&nbsp; gedrehtes Quadrat ergeben &nbsp;&#8658;&nbsp; die Höhenlinien sind also Gerade.
-'''(4)'''&nbsp; Das hier betrachtete Wahrscheinlichkeitsereignis entspricht genau dem dritten Quadranten der oben skizzierten Verbund&ndash;WDF. Aufgrund der Symmetrie ist diese Wahrscheinlichkeit:
+'''(4)'''&nbsp; Das hier betrachtete Wahrscheinlichkeitsereignis entspricht genau dem dritten Quadranten der oben skizzierten Verbund&ndash;WDF.&nbsp; Aufgrund der Symmetrie ist diese Wahrscheinlichkeit:
 :$${\rm Pr}[(n_1 < 0) ∩ (n_2 < 0)]\hspace{0.15cm}\underline {=25\%}.$$
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 :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left [ (n_1 > 1)\cap (n_2 > 1)\right ] =  \left [ {\rm Pr} (n_1 > 1)\right ] \cdot \left [ {\rm Pr} (n_2 > 1)\right ]\hspace{0.05cm}. $$
-Berücksichtigt ist die statistische Unabhängigkeit zwischen $n_1$ und $n_2$ sowie die Gleichheit $p_{\it n1}(x) = p_{\it n2}(y)$.  Für $a = 1$ gilt:
+*Berücksichtigt ist die statistische Unabhängigkeit zwischen&nbsp; $n_1$&nbsp; und&nbsp; $n_2$&nbsp; sowie die Gleichheit&nbsp; $p_{\it n1}(x) = p_{\it n2}(y)$.&nbsp;  Für $a = 1$&nbsp; gilt:
 :$${\rm Pr} (n_1 > 1) = {1}/{2} \cdot \int_{1}^{\infty} {\rm e}^{-  x} \,{\rm d} x = {1}/({2{\rm e}})\approx 0.184\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr} \left [ (n_1 > 1)\cap (n_2 > 1)\right ] = {1}/({4{\rm e}^2)}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 3.4\%}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 105: / Zeile 105: @@
 [[Datei:P_ID2046__Dig_Z_4_9f.png|right|frame|Aufteilung des Integrationsbereichs]]
-'''(6)'''&nbsp; Die hier betrachtete Region ist in der folgenden Grafik farbig markiert.
+'''(6)'''&nbsp; Die hier betrachtete Region ist in der rechten Grafik farbig markiert.
 *Die Regionen erstrecken sich aber nach rechts und oben bis ins Unendliche.
 *Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich zu
@@ Zeile 111: / Zeile 111: @@
 :$${\rm Pr}  [ n_1 \hspace{-0.2cm} \ + \ \hspace{-0.2cm} n_2 > 2 ]  =\frac{1}{4} \cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\rm e}^{-|x|} \int\limits_{2-x}^{\infty}{\rm e}^{-|y|} \,{\rm d} y  \,{\rm d} x = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 \hspace{0.05cm}.$$
-Aufgrund der Betragsbildung ist eine Aufspaltung in Teilintegrale vorzunehmen. Nach oben und rechts erstrecken sich alle Gebiete bis ins Unendliche. Aufgrund der Symmetrie gilt $I_4 = I_3$.
+*Aufgrund der Betragsbildung ist eine Aufspaltung in Teilintegrale vorzunehmen.
 :$$I_1 = {1}/{4} \cdot \int_{2}^{+\infty} \hspace{-0.15cm}{\rm e}^{-x} \int_{0}^{\infty}\hspace{-0.15cm}{\rm e}^{-y} \,{\rm d} y  \,{\rm d} x =
   {1}/{4} \cdot \int_{2}^{+\infty} {\rm e}^{-x}  \,{\rm d} x ={1}/({4{\rm e}^2})\hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 125: / Zeile 127: @@
    {1}/({8{\rm e}^2}) = I_3\hspace{0.05cm}.$$
-Insgesamt ergibt sich somit:
+*Insgesamt ergibt sich somit:
 :$${\rm Pr} \left [ n_1 + n_2 > 2 \right ] = {\rm e}^{-2} \cdot ({1}/{4} +{1}/{2} +{1}/{8} +{1}/{8})= {\rm e}^{-2} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 13.5\%}\hspace{0.05cm}.$$
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
 <quiz display=simple>
 {Wie groß ist die Konstante&nbsp; $K$&nbsp; der eindimensionalen WDF?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $K = 1$.
 + $K = a/2$

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit}}
-[[Datei:P_ID2042__Dig_Z_4_9.png|right|frame|2D–Laplace–WDF]]
+[[Datei:P_ID2042__Dig_Z_4_9.png|right|frame|Zweidimensionale Laplace–WDF]]
 Wir betrachten zweidimensionales Rauschen&nbsp; $\boldsymbol{n} = (n_1, n_2)$.
-Die beiden Rauschvariablen sind &bdquo;<i>independent and identically distributed</i>&nbsp;&rdquo;, abgekürzt i.i.d., und besitzen beide jeweils eine Laplace&ndash;Wahrscheinlichkeitsdichte:
+Die beiden Rauschvariablen sind&nbsp; "independent and identically distributed",&nbsp; abgekürzt&nbsp; "i.i.d.",&nbsp; und besitzen beide jeweils eine Laplace&ndash;Wahrscheinlichkeitsdichte:
 :$$p_{n_1}(x)  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  K \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} |x|}  \hspace{0.05cm},$$
 :$$ p_{n_2}(y)  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  K \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} |y|}  \hspace{0.05cm}. $$
-*Die 2D&ndash;Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $p_{\it \boldsymbol{n}}(x, y)$&nbsp; ist in der Grafik dargestellt.
+*Die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion&nbsp; $p_{\it \boldsymbol{n}}(x, y)$&nbsp; ist in der Grafik dargestellt.
 *Zur Vereinfachung der Schreibweise werden hier die Realisierungen von&nbsp; $n_1$&nbsp; und&nbsp; $n_2$&nbsp; mit&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; bezeichnet.
-''Hinweise:''
+Hinweise:
-* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
+* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit"]].
 * Wir weisen Sie auf das interaktive Applet &nbsp;[[Applets:2D_Laplace|Zweidimensionale Laplaceverteilung]]&nbsp; hin.
-* Das sich in Teilaufgabe '''(6)''' ergebende Integral muss aufgrund der Betragsbildung in mehrere Teilintegrale aufgespalten werden.
+* Wir weisen Sie auf das interaktive SWF&ndash;Applet &nbsp;[[Applets:2D_Laplace|"Zweidimensionale Laplaceverteilung"]]&nbsp; hin.
 *Weiterhin gilt:
-:$$\int_{0}^{\infty} x^2 \cdot {\rm e}^{-a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} x} \,{\rm d} x  = {2}/{a^3} \hspace{0.05cm}.$$
+* Das sich in Teilaufgabe&nbsp; '''(6)'''&nbsp; ergebende Integral muss aufgrund der Betragsbildung in mehrere Teilintegrale aufgespalten werden.
@@ Zeile 25: / Zeile 28: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie groß ist die Konstante&nbsp; $K$&nbsp; der 1D&ndash;WDF?
+{Wie groß ist die Konstante&nbsp; $K$&nbsp; der eindimensionalen WDF?
 |type="[]"}
 - $K = 1$.
@@ Zeile 31: / Zeile 34: @@
 - $K = 1/a$.
-{Es sei&nbsp; $a = 1$. Wie groß sind der Mittelwert&nbsp; ${\rm E}\big[n_i \big]$&nbsp; und die Varianz&nbsp; $\sigma^2 = {\rm E}\big[n_i^2\big]$&nbsp; der beiden 1D&ndash;Zufallsgrößen? &nbsp;$(i = 1, 2)$
+{Es sei&nbsp; $a = 1$.&nbsp; Wie groß sind der Mittelwert&nbsp; ${\rm E}\big[n_i \big]$&nbsp; und die Varianz&nbsp; $\sigma^2 = {\rm E}\big[n_i^2\big]$&nbsp; der beiden eindimensionalen Zufallsgrößen? &nbsp;$(i = 1,\ 2)$.
 |type="{}"}
 ${\rm E}\big[n_i\big] \ = \ $ { 0. }
 ${\rm E}\big[n_i^2\big] \ = \ ${ 2 3% }
-{Welche Form haben die Höhenlinien der 2D&ndash;WDF im ersten Quadranten?
+{Welche Form haben die Höhenlinien der zweidimensionalen WDF im ersten Quadranten?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 + Es sind Geraden.
 - Es sind Hyperbeln.
 - Es sind Kreise.
-{Es sei weiterhin&nbsp; $a = 1$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl&nbsp; $n_1$&nbsp; als auch&nbsp; $n_2$&nbsp; negativ sind?
+{Es sei weiterhin&nbsp; $a = 1$.&nbsp; Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass sowohl&nbsp; $n_1$&nbsp; als auch&nbsp; $n_2$&nbsp; negativ sind?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}\big[(n_1 < 0) ∩ (n_2 < 0)\big]\ = \ $ { 25 3% } $\ \%$
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $n_1$&nbsp; und&nbsp; $n_2$&nbsp; gemeinsam größer als&nbsp; $1$&nbsp; sind?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $n_1$&nbsp; und&nbsp; $n_2$&nbsp; jeweils gemeinsam größer als&nbsp; $1$&nbsp; sind?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}\big[(n_1 > 1) ∩ (n_2 > 1)\big]\ = \ $ { 3.4 3% } $\ \%$
-{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe&nbsp; $n_1 + n_2 > 2$&nbsp; ist?
+{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass die Summe&nbsp; $n_1 + n_2 > 2$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 $ {\rm Pr}\big[n_1 + n_2 > 2)\big] \ = \ $ { 13.5 3% } $\ \%$

@@ Zeile 98: / Zeile 98: @@
 Berücksichtigt ist die statistische Unabhängigkeit zwischen $n_1$ und $n_2$ sowie die Gleichheit $p_{\it n1}(x) = p_{\it n2}(y)$.  Für $a = 1$ gilt:
 :$${\rm Pr} (n_1 > 1) = {1}/{2} \cdot \int_{1}^{\infty} {\rm e}^{-  x} \,{\rm d} x = {1}/({2{\rm e}})\approx 0.184\hspace{0.3cm}
-\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr} \left [ (n_1 > 1)\cap (n_2 > 1)\right ] = {1}/({4{\rm e}^2)}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.034}\hspace{0.05cm}.$$
+\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr} \left [ (n_1 > 1)\cap (n_2 > 1)\right ] = {1}/({4{\rm e}^2)}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 3.4\%}\hspace{0.05cm}.$$
 [[Datei:P_ID2046__Dig_Z_4_9f.png|right|frame|Aufteilung des Integrationsbereichs]]
-'''(6)'''&nbsp; Die hier betrachtete Region ist in der folgenden Grafik farbig markiert. Die Regionen erstrecken sich aber nach rechts und oben bis ins Unendliche. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich zu
+'''(6)'''&nbsp; Die hier betrachtete Region ist in der folgenden Grafik farbig markiert.
 :$${\rm Pr}  [ n_1 \hspace{-0.2cm} \ + \ \hspace{-0.2cm} n_2 > 2 ]  =\frac{1}{4} \cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\rm e}^{-|x|} \int\limits_{2-x}^{\infty}{\rm e}^{-|y|} \,{\rm d} y  \,{\rm d} x = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 121: / Zeile 123: @@
 Insgesamt ergibt sich somit:
-:$${\rm Pr} \left [ n_1 + n_2 > 2 \right ] = {\rm e}^{-2} \cdot ({1}/{4} +{1}/{2} +{1}/{8} +{1}/{8})= {\rm e}^{-2} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.135}\hspace{0.05cm}.$$
+:$${\rm Pr} \left [ n_1 + n_2 > 2 \right ] = {\rm e}^{-2} \cdot ({1}/{4} +{1}/{2} +{1}/{8} +{1}/{8})= {\rm e}^{-2} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 13.5\%}\hspace{0.05cm}.$$
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 16: / Zeile 16: @@
 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
+* Wir weisen Sie auf das interaktive Applet &nbsp;[[Applets:2D_Laplace|Zweidimensionale Laplaceverteilung]]&nbsp; hin.
-* Beachten Sie bitte, dass in Teilaufgabe '''(6)''' das sich ergebende Integral aufgrund der Betragsbildung in mehrere Teilintegrale aufgespalten werden muss.
+* Das sich in Teilaufgabe '''(6)''' ergebende Integral muss aufgrund der Betragsbildung in mehrere Teilintegrale aufgespalten werden.
 *Weiterhin gilt:
 :$$\int_{0}^{\infty} x^2 \cdot {\rm e}^{-a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} x} \,{\rm d} x  = {2}/{a^3} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 63: / Zeile 63: @@
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} K \cdot \int_{0}^{\infty} {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}x} \,{\rm d} x  = - {K}/{a} \cdot \left [ {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} x}
   \right ]_{0}^{\infty}=  {K}/{a} = 0.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K = {a}/{2}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Der <u>lineare Mittelwert</u> ist aufgrund der WDF&ndash;Symmetrie <u>gleich 0</u>.
@@ Zeile 69: / Zeile 70: @@
 :$$\sigma^2 = {\rm E}[n_1^2] = 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \int_{0}^{\infty} x^2 \cdot {\rm e}^{-a \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} x} \,{\rm d} x  = a \cdot {2}/{a^3}=
   {2}/{a^2} \hspace{0.05cm}. \hspace{0.2cm}{\rm Mit}\hspace{0.15cm}a = 1\text{:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.1cm}\underline {\sigma^2 = 2 }\hspace{0.05cm}.$$
 [[Datei:P_ID2045__Dig_Z_4_9c.png|right|frame|Höhenlinien der 2D-Laplaceverteilung]]
@@ Zeile 80: / Zeile 82: @@
 *Die Grafik zeigt die Höhenlinien für $a = 1$ und einige Werte von $\beta$, die jeweils ein um $45^\circ$ gedrehtes Quadrat ergeben &nbsp;&#8658;&nbsp; die Höhenlinien sind also Gerade..
-* Wir weisen Sie auch auf das Interaktionsmodul [[Zweidimensionale Laplaceverteilung]] hin.
 '''(4)'''&nbsp; Das hier betrachtete Wahrscheinlichkeitsereignis entspricht genau dem dritten Quadranten der oben skizzierten Verbund&ndash;WDF. Aufgrund der Symmetrie ist diese Wahrscheinlichkeit:
 :$${\rm Pr}[(n_1 < 0) ∩ (n_2 < 0)]\hspace{0.15cm}\underline {=25\%}.$$

@@ Zeile 15: / Zeile 15: @@
 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 * Beachten Sie bitte, dass in Teilaufgabe (6) das sich ergebende Integral aufgrund der Betragsbildung in mehrere Teilintegrale aufgespalten werden muss.  Weiterhin gilt:
 :$$\int_{0}^{\infty} x^2 \cdot {\rm e}^{-a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} x} \,{\rm d} x  = {2}/{a^3} \hspace{0.05cm}.$$

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(kein Unterschied)

@@ Zeile 81: / Zeile 81: @@
-'''(4)'''&nbsp; Das hier betrachtete Wahrscheinlichkeitsereignis entspricht genau dem dritten Quadranten der oben skizzierten Verbund&ndash;WDF. Aufgrund der Symmetrie ist diese Wahrscheinlichkeit <u>gleich 1/4</u>.
+'''(4)'''&nbsp; Das hier betrachtete Wahrscheinlichkeitsereignis entspricht genau dem dritten Quadranten der oben skizzierten Verbund&ndash;WDF. Aufgrund der Symmetrie ist diese Wahrscheinlichkeit:
 '''(5)'''&nbsp; Dafür kann mit der Verbund&ndash;WDF geschrieben werden:
-:$${\rm Pr} \left [ (n_1 > 1)\cap (n_2 > 1)\right ] = {1}/{4} \cdot \int_{1}^{\infty} \int_{1}^{\infty}{\rm e}^{-  (x+y)} \,{\rm d} x  \,{\rm d} y =$$
+:$${\rm Pr} \left [ (n_1 > 1)\cap (n_2 > 1)\right ] = {1}/{4} \cdot \int_{1}^{\infty} \int_{1}^{\infty}{\rm e}^{-  (x+y)} \,{\rm d} x  \,{\rm d} y == {1}/{2} \cdot \int_{1}^{\infty} {\rm e}^{-  x} \,{\rm d} x  \hspace{0.15cm} \cdot \hspace{0.15cm}
-:$$. \hspace{0.5cm} = {1}/{2} \cdot \int_{1}^{\infty} {\rm e}^{-  x} \,{\rm d} x  \hspace{0.15cm} \cdot \hspace{0.15cm}
+   {1}/{2} \cdot \int_{1}^{\infty} {\rm e}^{-  y} \,{\rm d} y $$
-   {1}/{2} \cdot \int_{1}^{\infty} {\rm e}^{-  y} \,{\rm d} y =
+:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left [ (n_1 > 1)\cap (n_2 > 1)\right ] =  \left [ {\rm Pr} (n_1 > 1)\right ] \cdot \left [ {\rm Pr} (n_2 > 1)\right ]\hspace{0.05cm}. $$
-Hierbei ist die statistische Unabhängigkeit zwischen $n_1$ und $n_2$ sowie die Gleichheit $p_{\it n1}(x) = p_{\it n2}(y)$ berücksichtigt. Weiter gilt für $a = 1$:
+Berücksichtigt ist die statistische Unabhängigkeit zwischen $n_1$ und $n_2$ sowie die Gleichheit $p_{\it n1}(x) = p_{\it n2}(y)$.  Für $a = 1$ gilt:
-:$${\rm Pr} (n_1 > 1) = {1}/{2} \cdot \int_{1}^{\infty} {\rm e}^{-  x} \,{\rm d} x = {1}/({2{\rm e}})\approx 0.184$$
+:$${\rm Pr} (n_1 > 1) = {1}/{2} \cdot \int_{1}^{\infty} {\rm e}^{-  x} \,{\rm d} x = {1}/({2{\rm e}})\approx 0.184\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr} \left [ (n_1 > 1)\cap (n_2 > 1)\right ] = {1}/({4{\rm e}^2)}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.034}\hspace{0.05cm}.$$
+\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr} \left [ (n_1 > 1)\cap (n_2 > 1)\right ] = {1}/({4{\rm e}^2)}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.034}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(6)'''&nbsp; Die hier betrachtete Region ist in der folgenden Grafik farbig markiert. Die Regionen erstrecken sich aber nach rechts und oben bis ins Unendliche. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich zu
-[[Datei:P_ID2046__Dig_Z_4_9f.png|right|frame|Aufteilung des Integrationsbereichs]]
-:$${\rm Pr}  [ n_1 \hspace{-0.2cm} \ + \ \hspace{-0.2cm} n_2 > 2 ]  =$$
+:$${\rm Pr}  [ n_1 \hspace{-0.2cm} \ + \ \hspace{-0.2cm} n_2 > 2 ]  =\frac{1}{4} \cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\rm e}^{-|x|} \int\limits_{2-x}^{\infty}{\rm e}^{-|y|} \,{\rm d} y  \,{\rm d} x = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 \hspace{0.05cm}.$$
 Aufgrund der Betragsbildung ist eine Aufspaltung in Teilintegrale vorzunehmen. Nach oben und rechts erstrecken sich alle Gebiete bis ins Unendliche. Aufgrund der Symmetrie gilt $I_4 = I_3$.
-:$$I_1 = {1}/{4} \cdot \int_{2}^{+\infty} {\rm e}^{-x} \int_{0}^{\infty}{\rm e}^{-y} \,{\rm d} y  \,{\rm d} x =
+:$$I_1 = {1}/{4} \cdot \int_{2}^{+\infty} \hspace{-0.15cm}{\rm e}^{-x} \int_{0}^{\infty}\hspace{-0.15cm}{\rm e}^{-y} \,{\rm d} y  \,{\rm d} x =
   {1}/{4} \cdot \int_{2}^{+\infty} {\rm e}^{-x}  \,{\rm d} x ={1}/({4{\rm e}^2})\hspace{0.05cm},$$
 :$$I_2 = {1}/{4} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{0}^{2} \hspace{-0.15cm}{\rm e}^{-x} \int_{2-x}^{\infty}\hspace{-0.15cm}{\rm e}^{-y} \,{\rm d} y  \,{\rm d} x =
-{1}/{4} \cdot  \hspace{-0.1cm} \int_{0}^{2} {\rm e}^{-x}\hspace{-0.1cm} \cdot   {\rm e}^{x-2} \,{\rm d} x
+{1}/{4} \cdot  \hspace{-0.1cm} \int_{0}^{2} {\rm e}^{-x}\hspace{-0.1cm} \cdot   {\rm e}^{x-2} \,{\rm d} x$$
- ={1}/{4} \cdot  \hspace{-0.1cm}\int_{0}^{2} {\rm e}^{-2}  \,{\rm d} x
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}I_2 = {1}/{4} \cdot  \hspace{-0.1cm}\int_{0}^{2} {\rm e}^{-2}  \,{\rm d} x
   = {1}/({2{\rm e}^2})\hspace{0.05cm},$$
 :$$I_3 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot \int_{-\infty}^{0} {\rm e}^{x} \int_{2-x}^{\infty}{\rm e}^{-y} \,{\rm d} y  \,{\rm d} x =
   {1}/{4} \cdot \int_{-\infty}^{0} {\rm e}^{x} \cdot {\rm e}^{x-2} \,{\rm d} x
-  =$$
+  = {1}/{4} \cdot \int_{-\infty}^{0} {\rm e}^{2x-2}  \,{\rm d} x = \frac{{\rm e}^{-2}}{4} \cdot \int_{0}^{\infty} {\rm e}^{-2x}  \,{\rm d} x
   = {1}/({8{\rm e}^2})\hspace{0.05cm},$$
 :$$I_4 ={1}/{4} \cdot \int_{-\infty}^{0} {\rm e}^{y} \int_{2-y}^{\infty}{\rm e}^{-x} \,{\rm d} x  \,{\rm d} y = ... =