Aufgaben:Aufgabe 4.09Z: Laplace-verteiltes Rauschen - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:37:04Z

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	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^4.3 BER-Approximation^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^4.3 BER-Approximation^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.09Z:_Laplace_Distributed_Noise]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:39:35Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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Zeile 62:		Zeile 62:
	'''(1)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 2</u>:		'''(1)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
	*Die Fläche unter der WDF muss  $1$  ergeben:		*Die Fläche unter der WDF muss  $1$  ergeben:
	:$$\int_{-\infty}^{+\infty} p_{n_1}(x) \,{\rm d} x = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$\int_{-\infty}^{+\infty} p_{n_1}(x) \,{\rm d} x = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\int_{0}^{+\infty} p_{n_1}(x) \,{\rm d} x = 0.5 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} K \cdot \int_{0}^{\infty} {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}x} \,{\rm d} x = - {K}/{a} \cdot \left [ {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} x}\right ]_{0}^{\infty}= {K}/{a} = 0.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K = {a}/{2}\hspace{0.05cm}.$$
	\int_{0}^{+\infty} p_{n_1}(x) \,{\rm d} x = 0.5 \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} K \cdot \int_{0}^{\infty} {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}x} \,{\rm d} x = - {K}/{a} \cdot \left [ {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} x}
	\right ]_{0}^{\infty}= {K}/{a} = 0.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K = {a}/{2}\hspace{0.05cm}.$$


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	*Damit ist die Varianz  $\sigma^2$  tatsächlich – wie bereits in der Fragestellung angegeben – gleich dem zweiten Erwartungswert:		*Damit ist die Varianz  $\sigma^2$  tatsächlich – wie bereits in der Fragestellung angegeben – gleich dem zweiten Erwartungswert:
	[[Datei:P_ID2045__Dig_Z_4_9c.png\|right\|frame\|Höhenlinien der zweidimensionalen Laplaceverteilung]]		[[Datei:P_ID2045__Dig_Z_4_9c.png\|right\|frame\|Höhenlinien der zweidimensionalen Laplaceverteilung]]
	:$$\sigma^2 = {\rm E}[n_1^2] = 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \int_{0}^{\infty} x^2 \cdot {\rm e}^{-a \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} x} \,{\rm d} x = a \cdot {2}/{a^3}=		:$$\sigma^2 = {\rm E}[n_1^2] = 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \int_{0}^{\infty} x^2 \cdot {\rm e}^{-a \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} x} \,{\rm d} x = a \cdot {2}/{a^3}={2}/{a^2} \hspace{0.05cm}. \hspace{0.2cm}{\rm Mit}\hspace{0.15cm}a = 1\text{:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.1cm}\underline {\sigma^2 = 2 }\hspace{0.05cm}.$$
	{2}/{a^2} \hspace{0.05cm}. \hspace{0.2cm}{\rm Mit}\hspace{0.15cm}a = 1\text{:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.1cm}\underline {\sigma^2 = 2 }\hspace{0.05cm}.$$


Zeile 80:		Zeile 76:
	:$$\boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (x,\hspace{0.15cm} y) = {a^2}/{4} \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}x} \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}y }= {a^2}/{4} \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(x+y)}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (x,\hspace{0.15cm} y) = {a^2}/{4} \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}x} \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}y }= {a^2}/{4} \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(x+y)}\hspace{0.05cm}.$$
	*Eine Höhenlinie mit dem Faktor  $\beta$  gegenüber dem Maximum hat dann den folgenden Verlauf  $(0 < \beta < 1)$:		*Eine Höhenlinie mit dem Faktor  $\beta$  gegenüber dem Maximum hat dann den folgenden Verlauf  $(0 < \beta < 1)$:
	:$${\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(x+y)} = \beta		:$${\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(x+y)} = \beta \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x + y = \frac{{\rm ln}\hspace{0.15cm}1/\beta}{a}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x + y = \frac{{\rm ln}\hspace{0.15cm}1/\beta}{a}
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Die Grafik zeigt die Höhenlinien für  $a = 1$  und einige Werte von  $\beta$,  die jeweils ein um  $45^\circ$  gedrehtes Quadrat ergeben  ⇒  die Höhenlinien sind also Gerade.		*Die Grafik zeigt die Höhenlinien für  $a = 1$  und einige Werte von  $\beta$,  die jeweils ein um  $45^\circ$  gedrehtes Quadrat ergeben  ⇒  die Höhenlinien sind also Gerade.
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	'''(5)'''  Dafür kann mit der Verbund–WDF geschrieben werden:		'''(5)'''  Dafür kann mit der Verbund–WDF geschrieben werden:
	:$${\rm Pr} \left [ (n_1 > 1)\cap (n_2 > 1)\right ] = {1}/{4} \cdot \int_{1}^{\infty} \int_{1}^{\infty}{\rm e}^{- (x+y)} \,{\rm d} x \,{\rm d} y == {1}/{2} \cdot \int_{1}^{\infty} {\rm e}^{- x} \,{\rm d} x \hspace{0.15cm} \cdot \hspace{0.15cm}		:$${\rm Pr} \left [ (n_1 > 1)\cap (n_2 > 1)\right ] = {1}/{4} \cdot \int_{1}^{\infty} \int_{1}^{\infty}{\rm e}^{- (x+y)} \,{\rm d} x \,{\rm d} y == {1}/{2} \cdot \int_{1}^{\infty} {\rm e}^{- x} \,{\rm d} x \hspace{0.15cm} \cdot \hspace{0.15cm}{1}/{2} \cdot \int_{1}^{\infty} {\rm e}^{- y} \,{\rm d} y $$
	{1}/{2} \cdot \int_{1}^{\infty} {\rm e}^{- y} \,{\rm d} y $$
	:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left [ (n_1 > 1)\cap (n_2 > 1)\right ] = \left [ {\rm Pr} (n_1 > 1)\right ] \cdot \left [ {\rm Pr} (n_2 > 1)\right ]\hspace{0.05cm}. $$		:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left [ (n_1 > 1)\cap (n_2 > 1)\right ] = \left [ {\rm Pr} (n_1 > 1)\right ] \cdot \left [ {\rm Pr} (n_2 > 1)\right ]\hspace{0.05cm}. $$

	*Berücksichtigt ist die statistische Unabhängigkeit zwischen  $n_1$  und  $n_2$  sowie die Gleichheit  $p_{\it n1}(x) = p_{\it n2}(y)$.  Für $a = 1$  gilt:		*Berücksichtigt ist die statistische Unabhängigkeit zwischen  $n_1$  und  $n_2$  sowie die Gleichheit  $p_{\it n1}(x) = p_{\it n2}(y)$.  Für $a = 1$  gilt:
	:$${\rm Pr} (n_1 > 1) = {1}/{2} \cdot \int_{1}^{\infty} {\rm e}^{- x} \,{\rm d} x = {1}/({2{\rm e}})\approx 0.184\hspace{0.3cm}		:$${\rm Pr} (n_1 > 1) = {1}/{2} \cdot \int_{1}^{\infty} {\rm e}^{- x} \,{\rm d} x = {1}/({2{\rm e}})\approx 0.184\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr} \left [ (n_1 > 1)\cap (n_2 > 1)\right ] = {1}/({4{\rm e}^2)}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 3.4\%}\hspace{0.05cm}.$$
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr} \left [ (n_1 > 1)\cap (n_2 > 1)\right ] = {1}/({4{\rm e}^2)}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 3.4\%}\hspace{0.05cm}.$$


Zeile 114:		Zeile 106:
	*Nach oben und rechts erstrecken sich alle Gebiete bis ins Unendliche.		*Nach oben und rechts erstrecken sich alle Gebiete bis ins Unendliche.
	*Aufgrund der Symmetrie gilt $I_4 = I_3$.		*Aufgrund der Symmetrie gilt $I_4 = I_3$.
	:$$I_1 = {1}/{4} \cdot \int_{2}^{+\infty} \hspace{-0.15cm}{\rm e}^{-x} \int_{0}^{\infty}\hspace{-0.15cm}{\rm e}^{-y} \,{\rm d} y \,{\rm d} x =		:$$I_1 = {1}/{4} \cdot \int_{2}^{+\infty} \hspace{-0.15cm}{\rm e}^{-x} \int_{0}^{\infty}\hspace{-0.15cm}{\rm e}^{-y} \,{\rm d} y \,{\rm d} x = {1}/{4} \cdot \int_{2}^{+\infty} {\rm e}^{-x} \,{\rm d} x ={1}/({4{\rm e}^2})\hspace{0.05cm},$$
	{1}/{4} \cdot \int_{2}^{+\infty} {\rm e}^{-x} \,{\rm d} x ={1}/({4{\rm e}^2})\hspace{0.05cm},$$		:$$I_2 = {1}/{4} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{0}^{2} \hspace{-0.15cm}{\rm e}^{-x} \int_{2-x}^{\infty}\hspace{-0.15cm}{\rm e}^{-y} \,{\rm d} y \,{\rm d} x = {1}/{4} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{0}^{2} {\rm e}^{-x}\hspace{-0.1cm} \cdot {\rm e}^{x-2} \,{\rm d} x$$
	:$$I_2 = {1}/{4} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{0}^{2} \hspace{-0.15cm}{\rm e}^{-x} \int_{2-x}^{\infty}\hspace{-0.15cm}{\rm e}^{-y} \,{\rm d} y \,{\rm d} x =		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}I_2 = {1}/{4} \cdot \hspace{-0.1cm}\int_{0}^{2} {\rm e}^{-2} \,{\rm d} x = {1}/({2{\rm e}^2})\hspace{0.05cm},$$
	{1}/{4} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{0}^{2} {\rm e}^{-x}\hspace{-0.1cm} \cdot {\rm e}^{x-2} \,{\rm d} x$$		:$$I_3 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot \int_{-\infty}^{0} {\rm e}^{x} \int_{2-x}^{\infty}{\rm e}^{-y} \,{\rm d} y \,{\rm d} x = {1}/{4} \cdot \int_{-\infty}^{0} {\rm e}^{x} \cdot {\rm e}^{x-2} \,{\rm d} x= {1}/{4} \cdot \int_{-\infty}^{0} {\rm e}^{2x-2} \,{\rm d} x = \frac{{\rm e}^{-2}}{4} \cdot \int_{0}^{\infty} {\rm e}^{-2x} \,{\rm d} x = {1}/({8{\rm e}^2})\hspace{0.05cm},$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}I_2 = {1}/{4} \cdot \hspace{-0.1cm}\int_{0}^{2} {\rm e}^{-2} \,{\rm d} x		:$$I_4 ={1}/{4} \cdot \int_{-\infty}^{0} {\rm e}^{y} \int_{2-y}^{\infty}{\rm e}^{-x} \,{\rm d} x \,{\rm d} y = ... = {1}/({8{\rm e}^2}) = I_3\hspace{0.05cm}.$$
	= {1}/({2{\rm e}^2})\hspace{0.05cm},$$
	:$$I_3 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot \int_{-\infty}^{0} {\rm e}^{x} \int_{2-x}^{\infty}{\rm e}^{-y} \,{\rm d} y \,{\rm d} x =
	{1}/{4} \cdot \int_{-\infty}^{0} {\rm e}^{x} \cdot {\rm e}^{x-2} \,{\rm d} x
	= {1}/{4} \cdot \int_{-\infty}^{0} {\rm e}^{2x-2} \,{\rm d} x = \frac{{\rm e}^{-2}}{4} \cdot \int_{0}^{\infty} {\rm e}^{-2x} \,{\rm d} x
	= {1}/({8{\rm e}^2})\hspace{0.05cm},$$
	:$$I_4 ={1}/{4} \cdot \int_{-\infty}^{0} {\rm e}^{y} \int_{2-y}^{\infty}{\rm e}^{-x} \,{\rm d} x \,{\rm d} y = ... =
	{1}/({8{\rm e}^2}) = I_3\hspace{0.05cm}.$$

	*Insgesamt ergibt sich somit:		*Insgesamt ergibt sich somit:

Guenter am 30. Juli 2022 um 13:27 Uhr

2022-07-30T13:27:41Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Juli 2022, 15:27 Uhr
Zeile 60:		Zeile 60:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:		'''(1)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
	*Die Fläche unter der WDF muss $1$ ergeben:		*Die Fläche unter der WDF muss  $1$  ergeben:
	:$$\int_{-\infty}^{+\infty} p_{n_1}(x) \,{\rm d} x = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$\int_{-\infty}^{+\infty} p_{n_1}(x) \,{\rm d} x = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	\int_{0}^{+\infty} p_{n_1}(x) \,{\rm d} x = 0.5 \hspace{0.3cm}		\int_{0}^{+\infty} p_{n_1}(x) \,{\rm d} x = 0.5 \hspace{0.3cm}
Zeile 68:		Zeile 68:


	'''(2)'''  Der <u>lineare Mittelwert</u> ist aufgrund der WDF–Symmetrie <u>gleich 0</u>.		'''(2)'''  Der  <u>lineare Mittelwert</u>  ist aufgrund der WDF–Symmetrie  <u>gleich 0</u>.

	Damit ist die Varianz $\sigma^2$ tatsächlich – wie bereits in der Fragestellung angegeben – gleich dem ~~quadratischen Mittelwert~~:		*Damit ist die Varianz  $\sigma^2$  tatsächlich – wie bereits in der Fragestellung angegeben – gleich dem zweiten Erwartungswert:
			[[Datei:P_ID2045__Dig_Z_4_9c.png\|right\|frame\|Höhenlinien der zweidimensionalen Laplaceverteilung]]
	:$$\sigma^2 = {\rm E}[n_1^2] = 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \int_{0}^{\infty} x^2 \cdot {\rm e}^{-a \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} x} \,{\rm d} x = a \cdot {2}/{a^3}=		:$$\sigma^2 = {\rm E}[n_1^2] = 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \int_{0}^{\infty} x^2 \cdot {\rm e}^{-a \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} x} \,{\rm d} x = a \cdot {2}/{a^3}=
	{2}/{a^2} \hspace{0.05cm}. \hspace{0.2cm}{\rm Mit}\hspace{0.15cm}a = 1\text{:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.1cm}\underline {\sigma^2 = 2 }\hspace{0.05cm}.$$		{2}/{a^2} \hspace{0.05cm}. \hspace{0.2cm}{\rm Mit}\hspace{0.15cm}a = 1\text{:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.1cm}\underline {\sigma^2 = 2 }\hspace{0.05cm}.$$


	~~[[Datei:P_ID2045__Dig_Z_4_9c.png\|right\|frame\|Höhenlinien der 2D-Laplaceverteilung]]~~		'''(3)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
	'''(3)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:		*Im ersten Quadranten  $(x ≥ 0, y ≥ 0)$  kann auf die Betragsbildung verzichtet werden.  Dann gilt für die 2D–WDF:
	*Im ersten Quadranten ($x ≥ 0, y ≥ 0$) kann auf die Betragsbildung verzichtet werden. Dann gilt für die 2D–WDF:
	:$$\boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (x,\hspace{0.15cm} y) = {a^2}/{4} \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}x} \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}y }= {a^2}/{4} \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(x+y)}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (x,\hspace{0.15cm} y) = {a^2}/{4} \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}x} \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}y }= {a^2}/{4} \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(x+y)}\hspace{0.05cm}.$$
	*Eine Höhenlinie mit dem Faktor $\beta$ gegenüber dem Maximum hat dann den folgenden Verlauf ($0 < \beta < 1$):		*Eine Höhenlinie mit dem Faktor  $\beta$  gegenüber dem Maximum hat dann den folgenden Verlauf  $(0 < \beta < 1)$:
	:$${\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(x+y)} = \beta		:$${\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}(x+y)} = \beta
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x + y = \frac{{\rm ln}\hspace{0.15cm}1/\beta}{a}		\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x + y = \frac{{\rm ln}\hspace{0.15cm}1/\beta}{a}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	*Die Grafik zeigt die Höhenlinien für $a = 1$ und einige Werte von $\beta$, die jeweils ein um $45^\circ$ gedrehtes Quadrat ergeben  ⇒  die Höhenlinien sind also Gerade..		*Die Grafik zeigt die Höhenlinien für  $a = 1$  und einige Werte von  $\beta$,  die jeweils ein um  $45^\circ$  gedrehtes Quadrat ergeben  ⇒  die Höhenlinien sind also Gerade.




	'''(4)'''  Das hier betrachtete Wahrscheinlichkeitsereignis entspricht genau dem dritten Quadranten der oben skizzierten Verbund–WDF. Aufgrund der Symmetrie ist diese Wahrscheinlichkeit:		'''(4)'''  Das hier betrachtete Wahrscheinlichkeitsereignis entspricht genau dem dritten Quadranten der oben skizzierten Verbund–WDF.  Aufgrund der Symmetrie ist diese Wahrscheinlichkeit:
	:$${\rm Pr}[(n_1 < 0) ∩ (n_2 < 0)]\hspace{0.15cm}\underline {=25\%}.$$		:$${\rm Pr}[(n_1 < 0) ∩ (n_2 < 0)]\hspace{0.15cm}\underline {=25\%}.$$

Zeile 99:		Zeile 99:
	:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left [ (n_1 > 1)\cap (n_2 > 1)\right ] = \left [ {\rm Pr} (n_1 > 1)\right ] \cdot \left [ {\rm Pr} (n_2 > 1)\right ]\hspace{0.05cm}. $$		:$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Pr} \left [ (n_1 > 1)\cap (n_2 > 1)\right ] = \left [ {\rm Pr} (n_1 > 1)\right ] \cdot \left [ {\rm Pr} (n_2 > 1)\right ]\hspace{0.05cm}. $$

	Berücksichtigt ist die statistische Unabhängigkeit zwischen $n_1$ und $n_2$ sowie die Gleichheit $p_{\it n1}(x) = p_{\it n2}(y)$. Für $a = 1$ gilt:		*Berücksichtigt ist die statistische Unabhängigkeit zwischen  $n_1$  und  $n_2$  sowie die Gleichheit  $p_{\it n1}(x) = p_{\it n2}(y)$.  Für $a = 1$  gilt:
	:$${\rm Pr} (n_1 > 1) = {1}/{2} \cdot \int_{1}^{\infty} {\rm e}^{- x} \,{\rm d} x = {1}/({2{\rm e}})\approx 0.184\hspace{0.3cm}		:$${\rm Pr} (n_1 > 1) = {1}/{2} \cdot \int_{1}^{\infty} {\rm e}^{- x} \,{\rm d} x = {1}/({2{\rm e}})\approx 0.184\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr} \left [ (n_1 > 1)\cap (n_2 > 1)\right ] = {1}/({4{\rm e}^2)}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 3.4\%}\hspace{0.05cm}.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr} \left [ (n_1 > 1)\cap (n_2 > 1)\right ] = {1}/({4{\rm e}^2)}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 3.4\%}\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 105:		Zeile 105:

	[[Datei:P_ID2046__Dig_Z_4_9f.png\|right\|frame\|Aufteilung des Integrationsbereichs]]		[[Datei:P_ID2046__Dig_Z_4_9f.png\|right\|frame\|Aufteilung des Integrationsbereichs]]
	'''(6)'''  Die hier betrachtete Region ist in der ~~folgenden~~ Grafik farbig markiert.		'''(6)'''  Die hier betrachtete Region ist in der rechten Grafik farbig markiert.
	*Die Regionen erstrecken sich aber nach rechts und oben bis ins Unendliche.		*Die Regionen erstrecken sich aber nach rechts und oben bis ins Unendliche.
	*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich zu		*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich zu
Zeile 111:		Zeile 111:
	:$${\rm Pr} [ n_1 \hspace{-0.2cm} \ + \ \hspace{-0.2cm} n_2 > 2 ] =\frac{1}{4} \cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\rm e}^{-\|x\|} \int\limits_{2-x}^{\infty}{\rm e}^{-\|y\|} \,{\rm d} y \,{\rm d} x = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr} [ n_1 \hspace{-0.2cm} \ + \ \hspace{-0.2cm} n_2 > 2 ] =\frac{1}{4} \cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\rm e}^{-\|x\|} \int\limits_{2-x}^{\infty}{\rm e}^{-\|y\|} \,{\rm d} y \,{\rm d} x = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 \hspace{0.05cm}.$$

	Aufgrund der Betragsbildung ist eine Aufspaltung in Teilintegrale vorzunehmen. Nach oben und rechts erstrecken sich alle Gebiete bis ins Unendliche. Aufgrund der Symmetrie gilt $I_4 = I_3$.		*Aufgrund der Betragsbildung ist eine Aufspaltung in Teilintegrale vorzunehmen.
			*Nach oben und rechts erstrecken sich alle Gebiete bis ins Unendliche.
			*Aufgrund der Symmetrie gilt $I_4 = I_3$.
	:$$I_1 = {1}/{4} \cdot \int_{2}^{+\infty} \hspace{-0.15cm}{\rm e}^{-x} \int_{0}^{\infty}\hspace{-0.15cm}{\rm e}^{-y} \,{\rm d} y \,{\rm d} x =		:$$I_1 = {1}/{4} \cdot \int_{2}^{+\infty} \hspace{-0.15cm}{\rm e}^{-x} \int_{0}^{\infty}\hspace{-0.15cm}{\rm e}^{-y} \,{\rm d} y \,{\rm d} x =
	{1}/{4} \cdot \int_{2}^{+\infty} {\rm e}^{-x} \,{\rm d} x ={1}/({4{\rm e}^2})\hspace{0.05cm},$$		{1}/{4} \cdot \int_{2}^{+\infty} {\rm e}^{-x} \,{\rm d} x ={1}/({4{\rm e}^2})\hspace{0.05cm},$$
Zeile 125:		Zeile 127:
	{1}/({8{\rm e}^2}) = I_3\hspace{0.05cm}.$$		{1}/({8{\rm e}^2}) = I_3\hspace{0.05cm}.$$

	Insgesamt ergibt sich somit:		*Insgesamt ergibt sich somit:
	:$${\rm Pr} \left [ n_1 + n_2 > 2 \right ] = {\rm e}^{-2} \cdot ({1}/{4} +{1}/{2} +{1}/{8} +{1}/{8})= {\rm e}^{-2} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 13.5\%}\hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr} \left [ n_1 + n_2 > 2 \right ] = {\rm e}^{-2} \cdot ({1}/{4} +{1}/{2} +{1}/{8} +{1}/{8})= {\rm e}^{-2} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 13.5\%}\hspace{0.05cm}.$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 30. Juli 2022 um 13:18 Uhr

2022-07-30T13:18:15Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Juli 2022, 15:18 Uhr
Zeile 29:		Zeile 29:
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie groß ist die Konstante  $K$  der eindimensionalen WDF?		{Wie groß ist die Konstante  $K$  der eindimensionalen WDF?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- $K = 1$.		- $K = 1$.
	+ $K = a/2$		+ $K = a/2$

Guenter am 30. Juli 2022 um 13:17 Uhr

2022-07-30T13:17:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 30. Juli 2022, 15:17 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	{{quiz-Header\|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit}}		{{quiz-Header\|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit}}

	[[Datei:P_ID2042__Dig_Z_4_9.png\|right\|frame\|~~2D–Laplace–WDF~~]]		[[Datei:P_ID2042__Dig_Z_4_9.png\|right\|frame\|Zweidimensionale Laplace–WDF]]
	Wir betrachten zweidimensionales Rauschen  $\boldsymbol{n} = (n_1, n_2)$.		Wir betrachten zweidimensionales Rauschen  $\boldsymbol{n} = (n_1, n_2)$.

	Die beiden Rauschvariablen sind &~~bdquo~~;~~<i>~~independent and identically distributed~~</i>~~ &~~rdquo~~;~~, abgekürzt~~ i.i.d., und besitzen beide jeweils eine Laplace–Wahrscheinlichkeitsdichte:		Die beiden Rauschvariablen sind  "independent and identically distributed",  abgekürzt  "i.i.d.",  und besitzen beide jeweils eine Laplace–Wahrscheinlichkeitsdichte:
	:$$p_{n_1}(x) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} K \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \|x\|} \hspace{0.05cm},$$		:$$p_{n_1}(x) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} K \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \|x\|} \hspace{0.05cm},$$
	:$$ p_{n_2}(y) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} K \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \|y\|} \hspace{0.05cm}. $$		:$$ p_{n_2}(y) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} K \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \|y\|} \hspace{0.05cm}. $$

	*Die ~~2D–~~Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $p_{\it \boldsymbol{n}}(x, y)$  ist in der Grafik dargestellt.		*Die zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $p_{\it \boldsymbol{n}}(x, y)$  ist in der Grafik dargestellt.

	*Zur Vereinfachung der Schreibweise werden hier die Realisierungen von  $n_1$  und  $n_2$  mit  $x$  und  $y$  bezeichnet.		*Zur Vereinfachung der Schreibweise werden hier die Realisierungen von  $n_1$  und  $n_2$  mit  $x$  und  $y$  bezeichnet.



	''Hinweise:''		Hinweise:
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit"]].
	* Wir weisen Sie auf das interaktive Applet  [[Applets:2D_Laplace\|Zweidimensionale Laplaceverteilung]]  hin.
	* Das sich in Teilaufgabe '''(6)''' ergebende Integral muss aufgrund der Betragsbildung in mehrere Teilintegrale aufgespalten werden.		* Wir weisen Sie auf das interaktive SWF–Applet  [[Applets:2D_Laplace\|"Zweidimensionale Laplaceverteilung"]]  hin.
	*Weiterhin gilt:
	:$$\int_{0}^{\infty} x^2 \cdot {\rm e}^{-a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} x} \,{\rm d} x = {2}/{a^3} \hspace{0.05cm}.$$		* Das sich in Teilaufgabe  '''(6)'''  ergebende Integral muss aufgrund der Betragsbildung in mehrere Teilintegrale aufgespalten werden.

			*Weiterhin gilt:  $\int_{0}^{\infty} x^2 \cdot {\rm e}^{-a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} x} \,{\rm d} x = {2}/{a^3} \hspace{0.05cm}.$


Zeile 25:		Zeile 28:
	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie groß ist die Konstante  $K$  der ~~1D–~~WDF?		{Wie groß ist die Konstante  $K$  der eindimensionalen WDF?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $K = 1$.		- $K = 1$.
Zeile 31:		Zeile 34:
	- $K = 1/a$.		- $K = 1/a$.

	{Es sei  $a = 1$. Wie groß sind der Mittelwert  ${\rm E}\big[n_i \big]$  und die Varianz  $\sigma^2 = {\rm E}\big[n_i^2\big]$  der beiden ~~1D–~~Zufallsgrößen?  $(i = 1, 2)$		{Es sei  $a = 1$.  Wie groß sind der Mittelwert  ${\rm E}\big[n_i \big]$  und die Varianz  $\sigma^2 = {\rm E}\big[n_i^2\big]$  der beiden eindimensionalen Zufallsgrößen?  $(i = 1,\ 2)$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm E}\big[n_i\big] \ = \ $ { 0. }		${\rm E}\big[n_i\big] \ = \ $ { 0. }
	${\rm E}\big[n_i^2\big] \ = \ ${ 2 3% }		${\rm E}\big[n_i^2\big] \ = \ ${ 2 3% }

	{Welche Form haben die Höhenlinien der ~~2D–~~WDF im ersten Quadranten?		{Welche Form haben die Höhenlinien der zweidimensionalen WDF im ersten Quadranten?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	+ Es sind Geraden.		+ Es sind Geraden.
	- Es sind Hyperbeln.		- Es sind Hyperbeln.
	- Es sind Kreise.		- Es sind Kreise.

	{Es sei weiterhin  $a = 1$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl  $n_1$  als auch  $n_2$  negativ sind?		{Es sei weiterhin  $a = 1$.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,  dass sowohl  $n_1$  als auch  $n_2$  negativ sind?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}\big[(n_1 < 0) ∩ (n_2 < 0)\big]\ = \ $ { 25 3% } $\ \%$		${\rm Pr}\big[(n_1 < 0) ∩ (n_2 < 0)\big]\ = \ $ { 25 3% } $\ \%$

	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $n_1$  und  $n_2$  gemeinsam größer als  $1$  sind?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,  dass  $n_1$  und  $n_2$  jeweils gemeinsam größer als  $1$  sind?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}\big[(n_1 > 1) ∩ (n_2 > 1)\big]\ = \ $ { 3.4 3% } $\ \%$		${\rm Pr}\big[(n_1 > 1) ∩ (n_2 > 1)\big]\ = \ $ { 3.4 3% } $\ \%$

	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe  $n_1 + n_2 > 2$  ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,  dass die Summe  $n_1 + n_2 > 2$  ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$ {\rm Pr}\big[n_1 + n_2 > 2)\big] \ = \ $ { 13.5 3% } $\ \%$		$ {\rm Pr}\big[n_1 + n_2 > 2)\big] \ = \ $ { 13.5 3% } $\ \%$

Guenter am 14. März 2019 um 12:16 Uhr

2019-03-14T12:16:47Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. März 2019, 14:16 Uhr
Zeile 98:		Zeile 98:
	Berücksichtigt ist die statistische Unabhängigkeit zwischen $n_1$ und $n_2$ sowie die Gleichheit $p_{\it n1}(x) = p_{\it n2}(y)$. Für $a = 1$ gilt:		Berücksichtigt ist die statistische Unabhängigkeit zwischen $n_1$ und $n_2$ sowie die Gleichheit $p_{\it n1}(x) = p_{\it n2}(y)$. Für $a = 1$ gilt:
	:$${\rm Pr} (n_1 > 1) = {1}/{2} \cdot \int_{1}^{\infty} {\rm e}^{- x} \,{\rm d} x = {1}/({2{\rm e}})\approx 0.184\hspace{0.3cm}		:$${\rm Pr} (n_1 > 1) = {1}/{2} \cdot \int_{1}^{\infty} {\rm e}^{- x} \,{\rm d} x = {1}/({2{\rm e}})\approx 0.184\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr} \left [ (n_1 > 1)\cap (n_2 > 1)\right ] = {1}/({4{\rm e}^2)}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.~~034~~}\hspace{0.05cm}.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm Pr} \left [ (n_1 > 1)\cap (n_2 > 1)\right ] = {1}/({4{\rm e}^2)}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 3.4\%}\hspace{0.05cm}.$$


	[[Datei:P_ID2046__Dig_Z_4_9f.png\|right\|frame\|Aufteilung des Integrationsbereichs]]		[[Datei:P_ID2046__Dig_Z_4_9f.png\|right\|frame\|Aufteilung des Integrationsbereichs]]
	'''(6)'''  Die hier betrachtete Region ist in der folgenden Grafik farbig markiert. Die Regionen erstrecken sich aber nach rechts und oben bis ins Unendliche. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich zu		'''(6)'''  Die hier betrachtete Region ist in der folgenden Grafik farbig markiert.
			*Die Regionen erstrecken sich aber nach rechts und oben bis ins Unendliche.
			*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich zu

	:$${\rm Pr} [ n_1 \hspace{-0.2cm} \ + \ \hspace{-0.2cm} n_2 > 2 ] =\frac{1}{4} \cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\rm e}^{-\|x\|} \int\limits_{2-x}^{\infty}{\rm e}^{-\|y\|} \,{\rm d} y \,{\rm d} x = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 \hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr} [ n_1 \hspace{-0.2cm} \ + \ \hspace{-0.2cm} n_2 > 2 ] =\frac{1}{4} \cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\rm e}^{-\|x\|} \int\limits_{2-x}^{\infty}{\rm e}^{-\|y\|} \,{\rm d} y \,{\rm d} x = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 \hspace{0.05cm}.$$
Zeile 121:		Zeile 123:

	Insgesamt ergibt sich somit:		Insgesamt ergibt sich somit:
	:$${\rm Pr} \left [ n_1 + n_2 > 2 \right ] = {\rm e}^{-2} \cdot ({1}/{4} +{1}/{2} +{1}/{8} +{1}/{8})= {\rm e}^{-2} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.~~135~~}\hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Pr} \left [ n_1 + n_2 > 2 \right ] = {\rm e}^{-2} \cdot ({1}/{4} +{1}/{2} +{1}/{8} +{1}/{8})= {\rm e}^{-2} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 13.5\%}\hspace{0.05cm}.$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 14. März 2019 um 12:13 Uhr

2019-03-14T12:13:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. März 2019, 14:13 Uhr
Zeile 16:		Zeile 16:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
			* Wir weisen Sie auf das interaktive Applet  [[Applets:2D_Laplace\|Zweidimensionale Laplaceverteilung]]  hin.
	* ~~Beachten Sie bitte, dass~~ in Teilaufgabe '''(6)''' ~~das sich~~ ergebende Integral aufgrund der Betragsbildung in mehrere Teilintegrale aufgespalten werden ~~muss~~.		* Das sich in Teilaufgabe '''(6)''' ergebende Integral muss aufgrund der Betragsbildung in mehrere Teilintegrale aufgespalten werden.
	*Weiterhin gilt:		*Weiterhin gilt:
	:$$\int_{0}^{\infty} x^2 \cdot {\rm e}^{-a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} x} \,{\rm d} x = {2}/{a^3} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\int_{0}^{\infty} x^2 \cdot {\rm e}^{-a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} x} \,{\rm d} x = {2}/{a^3} \hspace{0.05cm}.$$
Zeile 63:		Zeile 63:
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} K \cdot \int_{0}^{\infty} {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}x} \,{\rm d} x = - {K}/{a} \cdot \left [ {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} x}		\Rightarrow \hspace{0.3cm} K \cdot \int_{0}^{\infty} {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}x} \,{\rm d} x = - {K}/{a} \cdot \left [ {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} x}
	\right ]_{0}^{\infty}= {K}/{a} = 0.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K = {a}/{2}\hspace{0.05cm}.$$		\right ]_{0}^{\infty}= {K}/{a} = 0.5 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K = {a}/{2}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Der <u>lineare Mittelwert</u> ist aufgrund der WDF–Symmetrie <u>gleich 0</u>.		'''(2)'''  Der <u>lineare Mittelwert</u> ist aufgrund der WDF–Symmetrie <u>gleich 0</u>.
Zeile 69:		Zeile 70:
	:$$\sigma^2 = {\rm E}[n_1^2] = 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \int_{0}^{\infty} x^2 \cdot {\rm e}^{-a \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} x} \,{\rm d} x = a \cdot {2}/{a^3}=		:$$\sigma^2 = {\rm E}[n_1^2] = 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \int_{0}^{\infty} x^2 \cdot {\rm e}^{-a \hspace{0.03cm} \cdot \hspace{0.03cm} x} \,{\rm d} x = a \cdot {2}/{a^3}=
	{2}/{a^2} \hspace{0.05cm}. \hspace{0.2cm}{\rm Mit}\hspace{0.15cm}a = 1\text{:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.1cm}\underline {\sigma^2 = 2 }\hspace{0.05cm}.$$		{2}/{a^2} \hspace{0.05cm}. \hspace{0.2cm}{\rm Mit}\hspace{0.15cm}a = 1\text{:} \hspace{0.2cm}\hspace{0.1cm}\underline {\sigma^2 = 2 }\hspace{0.05cm}.$$


	[[Datei:P_ID2045__Dig_Z_4_9c.png\|right\|frame\|Höhenlinien der 2D-Laplaceverteilung]]		[[Datei:P_ID2045__Dig_Z_4_9c.png\|right\|frame\|Höhenlinien der 2D-Laplaceverteilung]]
Zeile 80:		Zeile 82:

	*Die Grafik zeigt die Höhenlinien für $a = 1$ und einige Werte von $\beta$, die jeweils ein um $45^\circ$ gedrehtes Quadrat ergeben  ⇒  die Höhenlinien sind also Gerade..		*Die Grafik zeigt die Höhenlinien für $a = 1$ und einige Werte von $\beta$, die jeweils ein um $45^\circ$ gedrehtes Quadrat ergeben  ⇒  die Höhenlinien sind also Gerade..
	* Wir weisen Sie auch auf das Interaktionsmodul [[Zweidimensionale Laplaceverteilung]] hin.



	'''(4)'''  Das hier betrachtete Wahrscheinlichkeitsereignis entspricht genau dem dritten Quadranten der oben skizzierten Verbund–WDF. Aufgrund der Symmetrie ist diese Wahrscheinlichkeit:		'''(4)'''  Das hier betrachtete Wahrscheinlichkeitsereignis entspricht genau dem dritten Quadranten der oben skizzierten Verbund–WDF. Aufgrund der Symmetrie ist diese Wahrscheinlichkeit:
	:$${\rm Pr}[(n_1 < 0) ∩ (n_2 < 0)]\hspace{0.15cm}\underline {=25\%}.$$		:$${\rm Pr}[(n_1 < 0) ∩ (n_2 < 0)]\hspace{0.15cm}\underline {=25\%}.$$

Guenter am 14. März 2019 um 12:07 Uhr

2019-03-14T12:07:01Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. März 2019, 14:07 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:

	[[Datei:P_ID2042__Dig_Z_4_9.png\|right\|frame\|2D–Laplace–WDF]]		[[Datei:P_ID2042__Dig_Z_4_9.png\|right\|frame\|2D–Laplace–WDF]]
	Wir betrachten zweidimensionales Rauschen $\boldsymbol{n} = (n_1, n_2)$.		Wir betrachten zweidimensionales Rauschen  $\boldsymbol{n} = (n_1, n_2)$.

	Die beiden Rauschvariablen sind &bdquo;<i>independent and identically distributed</i>”, abgekürzt i.i.d., und besitzen beide jeweils eine Laplace–Wahrscheinlichkeitsdichte:		Die beiden Rauschvariablen sind &bdquo;<i>independent and identically distributed</i> ”, abgekürzt i.i.d., und besitzen beide jeweils eine Laplace–Wahrscheinlichkeitsdichte:
	:$$p_{n_1}(x) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} K \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \|x\|} \hspace{0.05cm},$$		:$$p_{n_1}(x) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} K \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \|x\|} \hspace{0.05cm},$$
	:$$ p_{n_2}(y) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} K \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \|y\|} \hspace{0.05cm}. $$		:$$ p_{n_2}(y) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} K \cdot {\rm e}^{- a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} \|y\|} \hspace{0.05cm}. $$

	Die 2D–Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $p_{\it \boldsymbol{n}}(x, y)$ ist in der Grafik dargestellt. Zur Vereinfachung der Schreibweise werden hier die Realisierungen von $n_1$ und $n_2$ mit $x$ und $y$ bezeichnet.		*Die 2D–Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion  $p_{\it \boldsymbol{n}}(x, y)$  ist in der Grafik dargestellt.
			*Zur Vereinfachung der Schreibweise werden hier die Realisierungen von  $n_1$  und  $n_2$  mit  $x$  und  $y$  bezeichnet.



	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].

	* Beachten Sie bitte, dass in Teilaufgabe (6) das sich ergebende Integral aufgrund der Betragsbildung in mehrere Teilintegrale aufgespalten werden muss. Weiterhin gilt:		* Beachten Sie bitte, dass in Teilaufgabe '''(6)''' das sich ergebende Integral aufgrund der Betragsbildung in mehrere Teilintegrale aufgespalten werden muss.
			*Weiterhin gilt:
	:$$\int_{0}^{\infty} x^2 \cdot {\rm e}^{-a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} x} \,{\rm d} x = {2}/{a^3} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\int_{0}^{\infty} x^2 \cdot {\rm e}^{-a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} x} \,{\rm d} x = {2}/{a^3} \hspace{0.05cm}.$$

Zeile 23:		Zeile 25:
	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie groß ist die Konstante $K$ der 1D–WDF?		{Wie groß ist die Konstante  $K$  der 1D–WDF?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $K = 1$.		- $K = 1$.
Zeile 29:		Zeile 31:
	- $K = 1/a$.		- $K = 1/a$.

	{Es sei $a = 1$. Wie groß sind der Mittelwert ${\rm E}[n_i]$ und die Varianz $\sigma^2 = {\rm E}[n_i^2]$ der beiden 1D–Zufallsgrößen? ($i = 1, 2$)		{Es sei  $a = 1$. Wie groß sind der Mittelwert  ${\rm E}\big[n_i \big]$  und die Varianz  $\sigma^2 = {\rm E}\big[n_i^2\big]$  der beiden 1D–Zufallsgrößen?  $(i = 1, 2)$
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm E}[n_i] \ = \ $ { 0. }		${\rm E}\big[n_i\big] \ = \ $ { 0. }
	${\rm E}[n_i^2] \ = \ ${ 2 3% }		${\rm E}\big[n_i^2\big] \ = \ ${ 2 3% }

	{Welche Form haben die Höhenlinien der 2D–WDF im ersten Quadranten?		{Welche Form haben die Höhenlinien der 2D–WDF im ersten Quadranten?
Zeile 40:		Zeile 42:
	- Es sind Kreise.		- Es sind Kreise.

	{Es sei weiterhin $a = 1$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl $n_1$ als auch $n_2$ negativ sind?		{Es sei weiterhin  $a = 1$. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl  $n_1$  als auch  $n_2$  negativ sind?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}[(n_1 < 0) ∩ (n_2 < 0)]\ = \ $ { 25 3% } $\ \%$		${\rm Pr}\big[(n_1 < 0) ∩ (n_2 < 0)\big]\ = \ $ { 25 3% } $\ \%$

	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $n_1$ und $n_2$ ~~jeweils~~ größer als $1$ sind?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $n_1$  und  $n_2$  gemeinsam größer als  $1$  sind?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}[(n_1 > 1) ∩ (n_2 > 1)]\ = \ $ { 3.4 3% } $\ \%$		${\rm Pr}\big[(n_1 > 1) ∩ (n_2 > 1)\big]\ = \ $ { 3.4 3% } $\ \%$

	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $n_1 + n_2 > 2$ ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe  $n_1 + n_2 > 2$  ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$ {\rm Pr}[n_1 + n_2 > 2)] \ = \ $ { 13.5 3% } $\ \%$		$ {\rm Pr}\big[n_1 + n_2 > 2)\big] \ = \ $ { 13.5 3% } $\ \%$
	</quiz>		</quiz>

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:48Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:03 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	* Beachten Sie bitte, dass in Teilaufgabe (6) das sich ergebende Integral aufgrund der Betragsbildung in mehrere Teilintegrale aufgespalten werden muss. Weiterhin gilt:		* Beachten Sie bitte, dass in Teilaufgabe (6) das sich ergebende Integral aufgrund der Betragsbildung in mehrere Teilintegrale aufgespalten werden muss. Weiterhin gilt:
	:$$\int_{0}^{\infty} x^2 \cdot {\rm e}^{-a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} x} \,{\rm d} x = {2}/{a^3} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\int_{0}^{\infty} x^2 \cdot {\rm e}^{-a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm} x} \,{\rm d} x = {2}/{a^3} \hspace{0.05cm}.$$

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.09Z Laplace-verteiltes Rauschen nach Aufgaben:Aufgabe 4.09Z: Laplace-verteiltes Rauschen

2018-01-04T06:35:17Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.09Z Laplace-verteiltes Rauschen nach Aufgaben:Aufgabe 4.09Z: Laplace-verteiltes Rauschen

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(kein Unterschied)