Aufgaben:Aufgabe 4.09: Zykloergodizität - Versionsgeschichte

Guenter am 19. März 2022 um 16:14 Uhr

2022-03-19T16:14:13Z

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Guenter am 24. März 2017 um 11:14 Uhr

2017-03-24T11:14:15Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 3 und 4</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>die Lösungsvorschläge 3 und 4</u>:
 *Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; $($und allen Vielfachen der Periodendauer&nbsp; $T_0)$&nbsp; hat jedes Mustersignal&nbsp; $x_i(t)$&nbsp; einen Wert zwischen&nbsp; $1\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; und&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V$.&nbsp; Der Mittelwert ist&nbsp; $1.5\hspace{0.05cm}\rm V$.
-*Dagegen ist bei&nbsp; $t = T_0/4$&nbsp; der Signalwert des gesamten Ensembles identisch Null.&nbsp; Das hei&szlig;t:
+*Dagegen ist bei&nbsp; $t = T_0/4$&nbsp; der Signalwert des gesamten Ensembles identisch Null.&nbsp; Das hei&szlig;t: <br>&nbsp; Bereits der lineare Mittelwert erf&uuml;llt die Bedingung der Stationarit&auml;t nicht:&nbsp; Der Prozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; ist nicht station&auml;r und kann deshalb auch nicht ergodisch sein.
 *Dagegen sind beim Prozess&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; aufgrund der gleichverteilten Phase zu allen Zeitpunkten die gleichen Momente zu erwarten &nbsp; &rArr; &nbsp; der Prozess ist station&auml;r.
-*Da bei der AKF-Berechnung die Phasenbeziehungen verloren gehen, steht jede einzelne Musterfunktion stellvertretend f&uuml;r den gesamten Prozess.&nbsp; Deshalb kann hier hypothetisch von Ergodizit&auml;t ausgegangen werden.
+*Da bei der AKF-Berechnung die Phasenbeziehungen verloren gehen,&nbsp; steht jede einzelne Musterfunktion stellvertretend f&uuml;r den gesamten Prozess.&nbsp; Deshalb kann hier hypothetisch von Ergodizit&auml;t ausgegangen werden.
 *Am Ende der Aufgabe ist zu &uuml;berpr&uuml;fen, ob diese Annahme gerechtfertigt ist.
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 :$$\varphi_y (\tau) = \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (4 \pi \it{f_{\rm 0} t} + {\rm 2} \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t \ {\rm +} \ \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (-2 \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t. $$
-*Das erste Integral ist Null&nbsp; (Integration &uuml;ber zwei Perioden der Cosinusfunktion).
+*Das erste Integral ist Null&nbsp; (Integration &uuml;ber zwei Perioden der Cosinusfunktion).&nbsp; Der zweite Integrand ist unabh&auml;ngig von der Integrationsvariablen&nbsp; $t$.&nbsp; Daraus folgt: &nbsp;
 :$$\varphi_y (\tau) ={{ x}_0^2}/{\rm 2} \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} \tau}). $$
 *F&uuml;r die angegebenen Zeitpunkte gilt mit&nbsp; $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$:
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-'''(3)'''&nbsp; Richtig sind <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
-*Der Mittelwert&nbsp; $m_y$&nbsp; kann aus dem Grenzwert der AKF f&uuml;r&nbsp; $\tau \to \infty$&nbsp; ermittelt werden, wenn man die periodischen Anteile ausschlie&szlig;t.&nbsp; Daraus folgt&nbsp; $m_y= 0$.
+*Der Mittelwert&nbsp; $m_y$&nbsp; kann aus dem Grenzwert der AKF f&uuml;r&nbsp; $\tau \to \infty$&nbsp; ermittelt werden,&nbsp; wenn man die periodischen Anteile ausschlie&szlig;t.&nbsp; Daraus folgt&nbsp; $m_y= 0$.
-*Die Varianz (Leistung) ist gleich dem AKF&ndash;Wert an der Stelle&nbsp; $\tau = 0$, also&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V^2$.&nbsp; Der Effektivwert ist die Quadratwurzel daraus: &nbsp; $\sigma_y \approx 1.414\hspace{0.05cm}\rm V$.
+*Die Varianz (Leistung) ist gleich dem AKF&ndash;Wert an der Stelle&nbsp; $\tau = 0$ &nbsp; &rArr; &nbsp; $\sigma_y^2=2\hspace{0.05cm}\rm V^2$.&nbsp; Der Effektivwert ist die Quadratwurzel daraus: &nbsp; $\sigma_y \approx 1.414\hspace{0.05cm}\rm V$.
-*Die Periodendauer eines periodischen Zufallsprozesses bleibt in der AKF erhalten, das hei&szlig;t, auch die Periodendauer der AKF betr&auml;gt&nbsp; $T_0$.
+*Die Periodendauer eines periodischen Zufallsprozesses bleibt in der AKF erhalten,&nbsp; das hei&szlig;t,&nbsp; auch die Periodendauer der AKF betr&auml;gt&nbsp; $T_0$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID379__Sto_A_4_9.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der Eigenschaft &bdquo;Zykloergodizität&rdquo;]]
-Wir betrachten zwei unterschiedliche Zufallsprozesse, deren Musterfunktionen harmonische Schwingungen mit jeweils gleicher Frequenz&nbsp; $f_0 = 1/T_0$&nbsp; sind.&nbsp; $T_0$&nbsp; bezeichnet die Periodendauer.
+Wir betrachten zwei unterschiedliche Zufallsprozesse,&nbsp; deren Musterfunktionen harmonische Schwingungen mit jeweils gleicher Frequenz&nbsp; $f_0 = 1/T_0$&nbsp; sind.&nbsp; $T_0$&nbsp; bezeichnet die Periodendauer.
-*Beim oben dargestellten Zufallsprozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; ist die stochastische Komponente die Amplitude, wobei der Zufallsparameter&nbsp;  $C_i$&nbsp; alle Werte zwischen&nbsp; $1\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; und&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen kann:
+*Beim oben dargestellten Zufallsprozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; ist die stochastische Komponente die Amplitude,&nbsp; wobei der Zufallsparameter&nbsp;  $C_i$&nbsp; alle Werte zwischen&nbsp; $1\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; und&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen kann:
 :$$\{ x_i(t) \} = \{ C_i \cdot \cos (2 \pi  f_{\rm 0} t)\}. $$
-*Beim Prozess&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; weisen alle Musterfunktionen die gleiche Amplitude auf: &nbsp; $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.&nbsp; Hier variiert die Phase&nbsp; $\varphi_i$, die über alle Musterfunktionen gemittelt gleichverteilt zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $2\pi$&nbsp; ist:
+*Beim Prozess&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; weisen alle Musterfunktionen die gleiche Amplitude auf: &nbsp; $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.&nbsp; Hier variiert die Phase&nbsp; $\varphi_i$,&nbsp; die über alle Musterfunktionen gemittelt gleichverteilt zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $2\pi$&nbsp; ist:
 :$$\{ y_i(t) \} = \{ x_{\rm 0} \cdot \cos (2 \pi  f_{\rm 0} t - \varphi_i)\}. $$
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-In diesen F&auml;llen sind auch die meisten der Berechnungsregeln anwendbar, die eigentlich nur f&uuml;r ergodische Prozesse gelten.
+In diesen F&auml;llen sind auch die meisten der Berechnungsregeln anwendbar,&nbsp; die eigentlich nur f&uuml;r ergodische Prozesse gelten.
+'''Hinweis:'''&nbsp; Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
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 *Das erste Integral ist Null&nbsp; (Integration &uuml;ber zwei Perioden der Cosinusfunktion).
-*Der zweite Integrand ist unabh&auml;ngig von der Integrationsvariablen&nbsp; $t$.&nbsp; Daraus folgt: &nbsp; $\varphi_y (\tau) ={{ x}_0^2}/{\rm 2} \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} \tau}). $
+*Der zweite Integrand ist unabh&auml;ngig von der Integrationsvariablen&nbsp; $t$.&nbsp; Daraus folgt: &nbsp;
 *F&uuml;r die angegebenen Zeitpunkte gilt mit&nbsp; $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$:
 :$$\varphi_y (0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}, \hspace{0.5cm}  \varphi_y (0.25 \cdot { T}_{\rm 0}{\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}, \hspace{0.5cm} \varphi_y (\rm 1.5 \cdot {\it T}_{\rm 0} {\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm -2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}.$$

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 3 und 4</u>:
-*Zum Zeitpunkt $t = 0$ (und allen Vielfachen der Periodendauer $T_0$) hat jedes Mustersignal $x_i(t)$ einen Wert zwischen $1\hspace{0.05cm}\rm V$ und $2\hspace{0.05cm}\rm V$. Der Mittelwert beträgt $1.5\hspace{0.05cm}\rm V$.
+*Zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; $($und allen Vielfachen der Periodendauer&nbsp; $T_0)$&nbsp; hat jedes Mustersignal&nbsp; $x_i(t)$&nbsp; einen Wert zwischen&nbsp; $1\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; und&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V$.&nbsp; Der Mittelwert ist&nbsp; $1.5\hspace{0.05cm}\rm V$.
-*Dagegen ist bei $t = T_0/4$ der Signalwert des gesamten Ensembles identisch $0$. Das hei&szlig;t:
+*Dagegen ist bei&nbsp; $t = T_0/4$&nbsp; der Signalwert des gesamten Ensembles identisch Null.&nbsp; Das hei&szlig;t:
-*Bereits der lineare Mittelwert erf&uuml;llt die Bedingung der Stationarit&auml;t nicht; der Prozess $\{x_i(t)\}$ ist nicht station&auml;r und kann deshalb auch nicht ergodisch sein.
+*Bereits der lineare Mittelwert erf&uuml;llt die Bedingung der Stationarit&auml;t nicht:&nbsp; Der Prozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; ist nicht station&auml;r und kann deshalb auch nicht ergodisch sein.
-*Dagegen sind beim Prozess $\{y_i(t)\}$ aufgrund der gleichverteilten Phase zu allen Zeitpunkten die gleichen Momente zu erwarten &nbsp; &rArr; &nbsp; der Prozess ist station&auml;r.
+*Dagegen sind beim Prozess&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; aufgrund der gleichverteilten Phase zu allen Zeitpunkten die gleichen Momente zu erwarten &nbsp; &rArr; &nbsp; der Prozess ist station&auml;r.
-*Da bei der AKF-Berechnung die Phasenbeziehungen verloren gehen, steht jede einzelne Musterfunktion stellvertretend f&uuml;r den gesamten Prozess. Deshalb kann hier hypothetisch von Ergodizit&auml;t ausgegangen werden.
+*Da bei der AKF-Berechnung die Phasenbeziehungen verloren gehen, steht jede einzelne Musterfunktion stellvertretend f&uuml;r den gesamten Prozess.&nbsp; Deshalb kann hier hypothetisch von Ergodizit&auml;t ausgegangen werden.
 *Am Ende der Aufgabe ist zu &uuml;berpr&uuml;fen, ob diese Annahme gerechtfertigt ist.
 '''(2)'''&nbsp; Aufgrund der Ergodizit&auml;t kann jede Musterfunktion zur AKF&ndash;Berechung herangezogen werden. Wir benutzen hier willk&uuml;rlich die Phase $\varphi_i = 0$.
-*Aufgrund der Periodizit&auml;t gen&uuml;gt die Mitteilung &uuml;ber nur eine Periodendauer $T_0$. Dann gilt:
+'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der Ergodizit&auml;t kann jede Musterfunktion zur AKF&ndash;Berechung herangezogen werden.&nbsp; Wir benutzen hier willk&uuml;rlich die Phase&nbsp; $\varphi_i = 0$.
 :$$\varphi_y (\tau) = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} y(t) \cdot y (t+\tau) \hspace{0.1cm}{\rm d} t = \frac{{ x}_0^2}{{ T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \cos (2 \pi {f_{\rm 0} t}) \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} (t+\tau)})  \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$
 *Mit der trigonometrischen Beziehung &nbsp; $\cos (\alpha) \cdot \cos (\beta)= {1}/{2} \cdot \cos (\alpha + \beta) + {1}/{2} \cdot \cos (\alpha - \beta)$ &nbsp; folgt daraus weiter:
-:$$\varphi_y (\tau) = \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (4 \pi \it{f_{\rm 0} t} + {\rm 2} \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t + \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (-2 \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t. $$
+:$$\varphi_y (\tau) = \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (4 \pi \it{f_{\rm 0} t} + {\rm 2} \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t \ {\rm +} \ \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (-2 \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t. $$
-*Das erste Integral ist Null (Integration &uuml;ber zwei Perioden der Cosinusfunktion).
+*Das erste Integral ist Null&nbsp; (Integration &uuml;ber zwei Perioden der Cosinusfunktion).
-*Der zweite Integrand ist unabh&auml;ngig von der Integrationsvariablen $t$. Daraus folgt: &nbsp; $\varphi_y (\tau) ={{ x}_0^2}/{\rm 2} \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} \tau}). $
+*Der zweite Integrand ist unabh&auml;ngig von der Integrationsvariablen&nbsp; $t$.&nbsp; Daraus folgt: &nbsp; $\varphi_y (\tau) ={{ x}_0^2}/{\rm 2} \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} \tau}). $
-*F&uuml;r die angegebenen Zeitpunkte gilt mit $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$:
+*F&uuml;r die angegebenen Zeitpunkte gilt mit&nbsp; $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$:
 :$$\varphi_y (0)\hspace{0.15cm}\underline{ = 2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}, \hspace{0.5cm}  \varphi_y (0.25 \cdot { T}_{\rm 0}{\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0}, \hspace{0.5cm} \varphi_y (\rm 1.5 \cdot {\it T}_{\rm 0} {\rm )} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm -2\hspace{0.05cm}{\rm V}^2}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Richtig ist nur <u>der erste Lösungsvorschlag</u>:
-*Der Mittelwert $m_y$ kann aus dem Grenzwert der AKF f&uuml;r $\tau \to \infty$ ermittelt werden, wenn man die periodischen Anteile ausschlie&szlig;t. Daraus folgt $m_y= 0$.
+'''(3)'''&nbsp; Richtig sind <u>beiden ersten Lösungsvorschläge</u>:
-*Die Varianz (Leistung) ist gleich dem AKF&ndash;Wert an der Stelle $\tau = 0$, also $2\hspace{0.05cm}\rm V^2$. Der Effektivwert ist die Quadratwurzel daraus: &nbsp; $\sigma_y \approx 1.414\hspace{0.05cm}\rm V$.
+*Der Mittelwert&nbsp; $m_y$&nbsp; kann aus dem Grenzwert der AKF f&uuml;r&nbsp; $\tau \to \infty$&nbsp; ermittelt werden, wenn man die periodischen Anteile ausschlie&szlig;t.&nbsp; Daraus folgt&nbsp; $m_y= 0$.
-*Die Periodendauer eines periodischen Zufallsprozesses bleibt in der AKF erhalten, das hei&szlig;t, auch die Periodendauer der AKF betr&auml;gt $T_0$.
+*Die Varianz (Leistung) ist gleich dem AKF&ndash;Wert an der Stelle&nbsp; $\tau = 0$, also&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V^2$.&nbsp; Der Effektivwert ist die Quadratwurzel daraus: &nbsp; $\sigma_y \approx 1.414\hspace{0.05cm}\rm V$.
 {{ML-Fuß}}

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 |type="[]"}
 + Alle Mustersignale sind gleichsignalfrei.
-- Alle Mustersignale besitzen den Effektivwert&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V$.
++ Alle Mustersignale besitzen den Effektivwert&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V$.
 - Die AKF hat die doppelte Periodendauer&nbsp; $(2T_0)$&nbsp; wie die Mustersignale&nbsp; $(T_0)$.

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 }}
-[[Datei:P_ID379__Sto_A_4_9.png|right|frame|Zur Verdeutlichung von &bdquo;Zykloergodizität&rdquo;]]
+[[Datei:P_ID379__Sto_A_4_9.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der Eigenschaft &bdquo;Zykloergodizität&rdquo;]]
-Wir betrachten zwei unterschiedliche Zufallsprozesse, deren Musterfunktionen harmonische Schwingungen mit jeweils gleicher Frequenz $f_0 = 1/T_0$ sind. $T_0$ bezeichnet die Periodendauer.
+Wir betrachten zwei unterschiedliche Zufallsprozesse, deren Musterfunktionen harmonische Schwingungen mit jeweils gleicher Frequenz&nbsp; $f_0 = 1/T_0$&nbsp; sind.&nbsp; $T_0$&nbsp; bezeichnet die Periodendauer.
-*Beim oben dargestellten Zufallsprozess $\{x_i(t)\}$ ist die Amplitude die stochastische Komponente, wobei der Zufallsparameter  $C_i$ alle Werte zwischen $1\hspace{0.05cm}\rm V$ und $2\hspace{0.05cm}\rm V$ mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen kann:
+*Beim oben dargestellten Zufallsprozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; ist die stochastische Komponente die Amplitude, wobei der Zufallsparameter&nbsp;  $C_i$&nbsp; alle Werte zwischen&nbsp; $1\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; und&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; mit gleicher Wahrscheinlichkeit annehmen kann:
 :$$\{ x_i(t) \} = \{ C_i \cdot \cos (2 \pi  f_{\rm 0} t)\}. $$
-*Beim Prozess $\{y_i(t)\}$ weisen alle Musterfunktionen die gleiche Amplitude auf: &nbsp; $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$. Hier variiert die Phase $\varphi_i$, die gleichverteilt zwischen $0$ und $2\pi$ ist:
+*Beim Prozess&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; weisen alle Musterfunktionen die gleiche Amplitude auf: &nbsp; $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.&nbsp; Hier variiert die Phase&nbsp; $\varphi_i$, die über alle Musterfunktionen gemittelt gleichverteilt zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $2\pi$&nbsp; ist:
 :$$\{ y_i(t) \} = \{ x_{\rm 0} \cdot \cos (2 \pi  f_{\rm 0} t - \varphi_i)\}. $$
-Die Eigenschaften <i>zyklostation&auml;r</i> und <i>zykloergodisch</i> sagen aus,
+Die Eigenschaften&nbsp; &bdquo;zyklostation&auml;r&rdquo;&nbsp; und&nbsp; &bdquo;zykloergodisch&rdquo;&nbsp; sagen aus,
 *dass die Prozesse zwar im strengen Sinne nicht als station&auml;r und ergodisch zu bezeichnen sind,
-*die statistischen Kennwerte aber f&uuml;r Vielfache der Periondauer $T_0$ jeweils gleich sind.
+*alle statistischen Kennwerte aber f&uuml;r Vielfache der Periondauer&nbsp; $T_0$&nbsp; jeweils gleich sind.
 In diesen F&auml;llen sind auch die meisten der Berechnungsregeln anwendbar, die eigentlich nur f&uuml;r ergodische Prozesse gelten.
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 ''Hinweis:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
@@ Zeile 33: / Zeile 36: @@
 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-- Der Prozess $\{x_i(t)\}$ ist station&auml;r.
+- Der Prozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; ist station&auml;r.
-- Der Prozess $\{x_i(t)\}$ ist ergodisch.
+- Der Prozess&nbsp; $\{x_i(t)\}$&nbsp; ist ergodisch.
-+ Der Prozess $\{y_i(t)\}$ ist station&auml;r.
++ Der Prozess&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; ist station&auml;r.
-+ Der Prozess $\{y_i(t)\}$ ist ergodisch.
++ Der Prozess&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; ist ergodisch.
-{Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion $\phi_y(\tau)$ für verschiedene $\tau$-Werte.
+{Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion&nbsp; $\varphi_y(\tau)$&nbsp; für verschiedene&nbsp; $\tau$-Werte.
 |type="{}"}
 $\varphi_y(\tau=0)\ = \ $ { 2 3% } $\ \rm V^2$
@@ Zeile 46: / Zeile 49: @@
-{Welche der folgenden Aussagen sind bez&uuml;glich $\{y_i(t)\}$ zutreffend?
+{Welche der folgenden Aussagen sind bez&uuml;glich&nbsp; $\{y_i(t)\}$&nbsp; zutreffend?
 |type="[]"}
 + Alle Mustersignale sind gleichsignalfrei.
-- Alle Mustersignale besitzen einen Effektivwert von $2\hspace{0.05cm}\rm V$.
+- Alle Mustersignale besitzen den Effektivwert&nbsp; $2\hspace{0.05cm}\rm V$.
-- Die AKF hat die doppelte Periodendauer $(2T_0)$ wie die Mustersignale $(T_0)$.
+- Die AKF hat die doppelte Periodendauer&nbsp; $(2T_0)$&nbsp; wie die Mustersignale&nbsp; $(T_0)$.

@@ Zeile 22: / Zeile 22: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Autokorrelationsfunktion_(AKF)|Autokorrelationsfunktion]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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(kein Unterschied)

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 *dass die Prozesse zwar im strengen Sinne nicht als station&auml;r und ergodisch zu bezeichnen sind,
 *die statistischen Kennwerte aber f&uuml;r Vielfache der Periondauer $T_0$ jeweils gleich sind.
 In diesen F&auml;llen sind auch die meisten der Berechnungsregeln, die eigentlich nur f&uuml;r ergodische Prozesse gelten, anwendbar.
@@ Zeile 37: / Zeile 38: @@
 {Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion $\phi_y(\tau)$ für verschiedene $\tau$-Werte.
 |type="{}"}
-$\phi_y(\tau=0)\ = $ { 2 3% } $\ \rm V^2$
+$\varphi_y(\tau=0)\ = $ { 2 3% } $\ \rm V^2$
-$\phi_y(\tau=0.25 \cdot T_0)\ = $ { 0. } $\ \rm V^2$
+$\varphi_y(\tau=0.25 \cdot T_0)\ = $ { 0. } $\ \rm V^2$
-$\phi_y(\tau=1.50 \cdot T_0)\ = $ { -2.06--1.94 }$\ \rm V^2$
+$\varphi_y(\tau=1.50 \cdot T_0)\ = $ { -2.06--1.94 }$\ \rm V^2$
@@ Zeile 46: / Zeile 47: @@
 + Alle Mustersignale sind gleichsignalfrei.
 - Alle Mustersignale besitzen einen Effektivwert von $2\hspace{0.05cm}\rm V$.
-- Die AKF hat die doppelte Periodendauer $(2T_0)$ wie die Mustersignale.
+- Die AKF hat die doppelte Periodendauer $(2T_0)$ wie die Mustersignale $(T_0)$.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Zum Zeitpunkt <i>t</i> = 0 (und allen Vielfachen der Periodendauer <i>T</i><sub>0</sub>) hat jedes Mustersignal <i>x<sub>i</sub></i>(<i>t</i>) einen Wert zwischen 1V und 2V (Mittelwert: 1.5V). Dagegen ist bei <i>t</i> = <i>T</i><sub>0</sub>/4 der Signalwert des gesamten Ensembles identisch 0. Das hei&szlig;t: Bereits der lineare Mittelwert erf&uuml;llt die Bedingung der Stationarit&auml;t nicht; der Prozess {<i>x<sub>i</sub></i>(<i>t</i>} ist nicht station&auml;r und kann deshalb auch nicht ergodisch sein.
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 3 und 4</u>:
+*Zum Zeitpunkt $t = 0$ (und allen Vielfachen der Periodendauer $T_0$) hat jedes Mustersignal $x_i(t)$ einen Wert zwischen $1\hspace{0.05cm}\rm V$ und $2\hspace{0.05cm}\rm V$. Der Mittelwert beträgt $1.5\hspace{0.05cm}\rm V$).
-:Dagegen sind beim Prozess {<i>y<sub>i</sub></i>(<i>t</i>} aufgrund der gleichverteilten Phase zu allen Zeitpunkten die gleichen Momente zu erwarten; der Prozess ist station&auml;r. Da bei der AKF-Berechnung die Phasenbeziehungen verloren gehen, steht jede einzelne Musterfunktion stellvertretend f&uuml;r den gesamten Prozess. Deshalb kann hier hypothetisch von Ergodizit&auml;t ausgegangen werden. Am Ende der Aufgabe ist zu &uuml;berpr&uuml;fen, ob diese Annahme gerechtfertigt ist. Das heißt: Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 3 und 4</u>.
+*Dagegen ist bei $t = T_0/4$ der Signalwert des gesamten Ensembles identisch $0$. Das hei&szlig;t: Bereits der lineare Mittelwert erf&uuml;llt die Bedingung der Stationarit&auml;t nicht; der Prozess $\{x_i(t)\}$ ist nicht station&auml;r und kann deshalb auch nicht ergodisch sein.
+*Dagegen sind beim Prozess $\{y_i(t)\}$ aufgrund der gleichverteilten Phase zu allen Zeitpunkten die gleichen Momente zu erwarten &nbsp; &rArr; &nbsp; der Prozess ist station&auml;r.
-:<b>2.</b>&nbsp;&nbsp;Aufgrund der Ergodizit&auml;t kann jede Musterfunktion zur AKF-Berechung herangezogen werden. Wir benutzen hier willk&uuml;rlich die Phase <i>&phi;<sub>i</sub></i> = 0. Aufgrund der Periodizit&auml;t gen&uuml;gt die Mitteilung &uuml;ber nur eine Periodendauer <i>T</i><sub>0</sub>. Dann gilt:
+*Da bei der AKF-Berechnung die Phasenbeziehungen verloren gehen, steht jede einzelne Musterfunktion stellvertretend f&uuml;r den gesamten Prozess. Deshalb kann hier hypothetisch von Ergodizit&auml;t ausgegangen werden. Am Ende der Aufgabe ist zu &uuml;berpr&uuml;fen, ob diese Annahme gerechtfertigt ist.
-:folgt daraus weiter:
+'''(2)'''&nbsp; Aufgrund der Ergodizit&auml;t kann jede Musterfunktion zur AKF-Berechung herangezogen werden. Wir benutzen hier willk&uuml;rlich die Phase $\varphi_i = 0$. Aufgrund der Periodizit&auml;t gen&uuml;gt die Mitteilung &uuml;ber nur eine Periodendauer $T_0$. Dann gilt:
-:$$\varphi_y (\tau) = \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (4 \pi \it{f_{\rm 0} t} + {\rm 2} \pi \it{f_{\rm 0} \tau})  \hspace{0.1cm}\rm d \it t + \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (-2 \pi \it{f_{\rm 0} \tau})  \hspace{0.1cm}\rm d \it t. $$
+:$$\varphi_y (\tau) = \frac{1}{T_0} \cdot \int_0^{T_0} y(t) \cdot y (t+\tau) \hspace{0.1cm}{\rm d} t = \frac{{ x}_0^2}{{ T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \cos (2 \pi {f_{\rm 0} t}) \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} (t+\tau)})  \hspace{0.1cm}\rm d \it t.$$
-:Das erste Integral ist 0 (Integration &uuml;ber zwei Perioden der Cosinusfunktion), der zweite Integrand ist unabh&auml;ngig von der Integrationsvariablen <i>t</i>. Daraus folgt:
+Mit der trigonometrischen Beziehung
-:$$\varphi_y (\tau) = \rm \frac{{\it x}_0^2}{\rm 2} \cdot \rm cos (2 \pi \it{f_{\rm 0} \tau}). $$
+:$$\cos (\alpha) \cdot \cos (\beta)= {1}/{2} \cdot \cos (\alpha + \beta) + {1}/{2} \cdot \cos (\alpha - \beta)$$
-:F&uuml;r die angegebenen Zeitpunkte gilt mit <i>x</i><sub>0</sub> = 2V:
+folgt daraus weiter:
-:$$\varphi_y (0)\hspace{0.15cm}\underline{ = \rm 2V^2}; \hspace{0.1cm} \it \varphi_y (\rm 0.25 \cdot{\it T}_{\rm 0} )\hspace{0.15cm}\underline{ = 0}; \hspace{0.1cm} \it \varphi_y (\rm 1.5 \cdot {\it T}_{\rm 0} ) \hspace{0.15cm}\underline{= \rm -2V^2}.$$
+:$$\varphi_y (\tau) = \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (4 \pi \it{f_{\rm 0} t} + {\rm 2} \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t + \rm \frac{{\it x}_0^2}{{2 \it T}_0} \cdot \int_0^{{\it T}_0} \rm cos (-2 \pi \it{f_{\rm 0} \tau}{\rm )}  \hspace{0.1cm}\rm d \it t. $$
-:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Der Mittelwert <i>m<sub>y</sub></i> kann aus dem Grenzwert der AKF f&uuml;r &tau; &#8594; &#8734; ermittelt werden, wenn man die periodischen Anteile ausschlie&szlig;t. Daraus folgt <i>m<sub>y</sub></i> = 0.
+Das erste Integral ist $0$ (Integration &uuml;ber zwei Perioden der Cosinusfunktion), der zweite Integrand ist unabh&auml;ngig von der Integrationsvariablen $t$. Daraus folgt: $\varphi_y (\tau) ={{ x}_0^2}/{\rm 2} \cdot \cos (2 \pi {f_{\rm 0} \tau}). $ F&uuml;r die angegebenen Zeitpunkte gilt mit $x_0 = 2\hspace{0.05cm}\rm V$:
-:Die Periodendauer eines periodischen Zufallsprozesses bleibt in der AKF erhalten, das hei&szlig;t, auch die Periodendauer der AKF betr&auml;gt <i>T</i><sub>0</sub>. Richtig ist also nur <u>der erste Lösungsvorschlag</u>.
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist nur <u>der erste Lösungsvorschlag</u>:
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