Aufgaben:Aufgabe 4.09: Recursive Systematic Convolutional Codes - Versionsgeschichte

Guenter am 9. Juli 2019 um 12:42 Uhr

2019-07-09T12:42:12Z

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2019-07-09T12:23:22Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T11:41:09Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 31. Januar 2018 um 13:44 Uhr

2018-01-31T13:44:17Z

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2018-01-31T13:11:35Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Verfolgt man die Übergänge im Zustandsdiagramm für die Sequenz $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$ am Eingang, so erhält man den Weg
+'''(1)'''&nbsp; Verfolgt man die Übergänge im Zustandsdiagramm für die Sequenz&nbsp;  $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$&nbsp;  am Eingang, so erhält man den Weg
 :$$S_0 &#8594; S_1 &#8594; S_3 &#8594; S_2 &#8594; S_1 &#8594; S_3 &#8594; S_2 &#8594; S_1 &#8594; S_3 &#8594; \hspace{0.05cm}\text{...}  \hspace{0.05cm}$$
-Bei jedem Übergang ist das erste Codesymbol $x_i^{(1)}$ gleich dem Informationsbit $u_i$ und das Codesymbol $x_i^{(2)}$ gibt das Paritybit $p_i$ an. Damit erhält man das Ergebnis entsprechend dem <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
+*Bei jedem Übergang ist das erste Codesymbol $x_i^{(1)}$ gleich dem Informationsbit $u_i$ und das Codesymbol $x_i^{(2)}$ gibt das Paritybit $p_i$ an.
 :$$\underline{p}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},
 \hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},
@@ Zeile 88: / Zeile 89: @@
 = \underline{g}\hspace{0.05cm}.$$
-Bei einem jeden RSC&ndash;Code ist die Impulsantwort $\underline{g}$ unendlich lang und wird irgendwann periodisch, in diesem Beispiel mit der Periode $P = 3$ und &bdquo;$0, \, 1, \, 1$&rdquo;.
+*Bei einem jeden RSC&ndash;Code ist die Impulsantwort $\underline{g}$ unendlich lang und wird irgendwann periodisch, in diesem Beispiel mit der Periode&nbsp;  $P = 3$&nbsp;  und&nbsp;  &bdquo;$0, \, 1, \, 1$&rdquo;.
 [[Datei:P_ID3054__KC_A_4_9b_v1.png|right|frame|Verdeutlichung von $\underline{p} = (1, \, 1, \, 0, \, 1)^{\rm T} \cdot \mathbf{G}$]]
-'''(2)'''&nbsp; Die Grafik zeigt die Lösung dieser Aufgabe entsprechend der Gleichung $\underline{p} = \underline{u}^{\rm T} \cdot \mathbf{G}$.
+[[Datei:P_ID3054__KC_A_4_9b_v1.png|right|frame|Verdeutlichung von&nbsp;  $\underline{p} = (1, \, 1, \, 0, \, 1)^{\rm T} \cdot \mathbf{G}$]]
-* Hierbei ist die Generatormatrix $\mathbf{G}$ nach unten und rechts unendlich weit ausgedehnt.
+'''(2)'''&nbsp; Die Grafik zeigt die Lösung dieser Aufgabe entsprechend der Gleichung&nbsp;  $\underline{p} = \underline{u}^{\rm T} \cdot \mathbf{G}$.
 *Richtig ist <u>der Lösungsvorschlag 2</u>.
 <br clear=all>
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 *Da aber die Gleichung (2) stimmt, muss die letzte Gleichung falsch sein.
@@ Zeile 129: / Zeile 132: @@
 :$$P(D) = U(D) \cdot G(D) = (1+D+D^2) \cdot \frac{1+D^2}{1+D+D^2}= 1+D^2\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow\hspace{0.3cm}  \underline{p}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}. $$
-* Wären die Größen $u_i$ und $g_i$ reellwertig, so würde die (diskrete) Faltung $\underline{p} = \underline{u} * \underline{g}$ stets zu einer Verbreiterung führen &nbsp;&#8658;&nbsp; $\underline{p}$ wäre in diesem Fall breiter als $\underline{u}$ und auch breiter als $\underline{g}$.
+* Wären die Größen&nbsp;  $u_i$&nbsp;  und&nbsp;  $g_i$&nbsp;  reellwertig, so würde die (diskrete) Faltung&nbsp;  $\underline{p} = \underline{u} * \underline{g}$&nbsp;  stets zu einer Verbreiterung führen &nbsp; &#8658; &nbsp; $\underline{p}$&nbsp;  wäre in diesem Fall breiter als&nbsp;  $\underline{u}$&nbsp;  und auch breiter als&nbsp;  $\underline{g}$.
-* Bei $u_i &#8712; {\rm GF}(2)$ und $g_i &#8712; {\rm GF}(2)$ kann es (muss es aber nicht) dagegen vorkommen, dass auch bei unbegrenztem $\underline{u}$ oder bei unbegrenztem $\underline{g}$ das Faltungsprodukt $\underline{p} = \underline{u} * \underline{g}$ begrenzt ist.
+* Bei&nbsp;  $u_i &#8712; {\rm GF}(2)$&nbsp;  und&nbsp;  $g_i &#8712; {\rm GF}(2)$&nbsp;  kann es (muss es aber nicht) dagegen vorkommen, dass auch bei unbegrenztem&nbsp;  $\underline{u}$&nbsp;  oder bei unbegrenztem&nbsp;  $\underline{g}$&nbsp;  das Faltungsprodukt&nbsp;  $\underline{p} = \underline{u} * \underline{g}$&nbsp;  begrenzt ist.
-[[Datei:P_ID3057__KC_A_4_9d_v1.png|right|frame|Verdeutlichung von $\underline{p} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, ...)^{\rm T} \cdot \mathbf{G}$]]
+[[Datei:P_ID3057__KC_A_4_9d_v1.png|right|frame|Verdeutlichung von&nbsp;  $\underline{p} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, ...)^{\rm T} \cdot \mathbf{G}$]]
-Das Ergebnis wird abschließend  noch entsprechend der Gleichung $\underline{p} = \underline{u}^{\rm T} \cdot \mathbf{G}$ überprüft.
+*Das Ergebnis wird abschließend  noch entsprechend der Gleichung $\underline{p} = \underline{u}^{\rm T} \cdot \mathbf{G}$ überprüft.
-<br clear=all>
-'''(5)'''&nbsp; In ähnlicher Vorgehensweise wie in der [[Aufgaben:4.08_Wiederholung_zu_den_Faltungscodes|Aufgabe A4.8, (4)]] wird auch hier die freie Distanz zum Beispiel durch den Pfad $S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_1 &#8594; S_2 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; \\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}$ bestimmt.
 *Die zugehörige Codesequenz $\underline{x}$ ist nun aber &bdquo; $00 \ 11 \ 10 \ 11 \ 00 \ ... $&rdquo;. Damit ergibt sich die freie Distanz zu $d_{\rm F} \ \underline{= 5}$.
-*Beim nichtrekursiven Code von Aufgabe 4.8 wurde dagegen nur die freie Distanz $d_{\rm F} = 3$ ermittelt.
+'''(5)'''&nbsp; Nach ähnlicher Vorgehensweise wie in der [[Aufgaben:4.08_Wiederholung_zu_den_Faltungscodes|Aufgabe A4.8, (4)]] erkennt man:
 {{ML-Fuß}}

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 #[[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm#Definition_der_freien_Distanz|Definition der freien Distanz]]
 #[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#GF.282.29.E2.80.93Beschreibungsformen_eines_Digitalen_Filters|GF(2)&ndash;Beschreibungsformen eines Digitalen Filters]]
-#[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Anwendung_der_D.E2.80.93Transformation_auf_Rate.E2.80.931.2Fn.E2.80.93Faltungscoder| Anwendung der $D$&ndash;Transformation auf Rate&ndash;1/''n''&ndash;Faltungscodes]]
+#[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Anwendung_der_D.E2.80.93Transformation_auf_Rate.E2.80.931.2Fn.E2.80.93Faltungscoder| Anwendung der $D$&ndash;Transformation auf Rate&ndash;1/ $n$&ndash;Faltungscodes]]
 #[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Filterstruktur_bei_gebrochen.E2.80.93rationaler_.C3.9Cbertragungsfunktion|Filterstruktur bei gebrochen&ndash;rationaler Übertragungsfunktion]]

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 #[[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm#Definition_der_freien_Distanz|Definition der freien Distanz]]
 #[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#GF.282.29.E2.80.93Beschreibungsformen_eines_Digitalen_Filters|GF(2)&ndash;Beschreibungsformen eines Digitalen Filters]]
-#[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Anwendung_der_D.E2.80.93Transformation_auf_Rate.E2.80.931.2Fn.E2.80.93Faltungscoder| Anwendung der $D$&ndash;Transformation auf Rate&ndash;1/n&ndash;Faltungscodes]]
+#[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Anwendung_der_D.E2.80.93Transformation_auf_Rate.E2.80.931.2Fn.E2.80.93Faltungscoder| Anwendung der $D$&ndash;Transformation auf Rate&ndash;1/''n''&ndash;Faltungscodes]]
 #[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Filterstruktur_bei_gebrochen.E2.80.93rationaler_.C3.9Cbertragungsfunktion|Filterstruktur bei gebrochen&ndash;rationaler Übertragungsfunktion]]

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 [[Datei:P_ID3040__KC_A_4_9_v1.png|right|frame|Zustandsübergangsdiagramm eines RSC–Codes]]
-In der [[Aufgaben:4.08_Wiederholung_zu_den_Faltungscodes|Aufgabe 4.8]] wurden  aus dem Zustandsübergangsdiagramm bereits wichtige Eigenschaften von Faltungscodesabgeleitet, wobei von einer nichtrekursiven Filterstruktur ausgegangen wurde.
+In der&nbsp; [[Aufgaben:4.08_Wiederholung_zu_den_Faltungscodes|Aufgabe 4.8]]&nbsp; wurden  aus dem Zustandsübergangsdiagramm bereits wichtige Eigenschaften von Faltungscodes abgeleitet, wobei von einer nichtrekursiven Filterstruktur ausgegangen wurde.
-Nun wird ein Rate&ndash;1/2&ndash;RSC&ndash;Code in ähnlicher Weise behandelt. Hierbei steht &bdquo;RSC&rdquo; für &bdquo;Recursive Systematic Convolutional&rdquo;.
+Nun wird ein Rate&ndash;$1/2$&ndash;RSC&ndash;Code in ähnlicher Weise behandelt. Hierbei steht &bdquo;RSC&rdquo; für &bdquo;Recursive Systematic Convolutional&rdquo;.
 Die Übertragungsfunktionsmatrix eines RSC&ndash;Faltungscodes kann wie folgt angegeben werden:
@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Ansonsten gelten hier die genau gleichen Voraussetzungen wie bei Aufgabe 4.8. Wir verweisen wieder auf folgende Theorieseiten:
+Ansonsten gelten hier die genau gleichen Voraussetzungen wie bei der Aufgabe 4.8. Wir verweisen wieder auf folgende Theorieseiten:
 #[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Systematische_Faltungscodes|Systematische Faltungscodes]]
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-Im Zustandsübergangsdiagramm wird grundsätzlich vom Zustand $S_0$ ausgegangen. Von jedem Zustand gehen zwei Pfeile ab. Die Beschriftung lautet &bdquo;$u_i | x_i^{(1)}x_i^{(2)}$&rdquo;. Bei einem systematischen Code gilt dabei:
+Im Zustandsübergangsdiagramm wird grundsätzlich vom Zustand&nbsp; $S_0$&nbsp; ausgegangen. Von jedem Zustand gehen zwei Pfeile ab. Die Beschriftung lautet &bdquo;$u_i \hspace{0.05cm}| \hspace{0.05cm} x_i^{(1)}x_i^{(2)}$&rdquo;. Bei einem systematischen Code gilt dabei:
-* Das erste Codebit ist identisch mit dem Informationsbit: $\hspace{0.2cm} x_i^{(1)} = u_i &#8712; \{0, \, 1\}$.
+* Das erste Codebit ist identisch mit dem Informationsbit: &nbsp; $\hspace{0.2cm} x_i^{(1)} = u_i &#8712; \{0, \, 1\}$.
-* Das zweite Codebit ist das Prüfbit (Paritybit): $\hspace{0.2cm} x_i^{(2)} = p_i &#8712; \{0, \, 1\}$.
+* Das zweite Codebit ist das Prüfbit (Paritybit): &nbsp;  $\hspace{0.2cm} x_i^{(2)} = p_i &#8712; \{0, \, 1\}$.
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes|Grundlegendes zu den Turbocodes]].
+* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp;  [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes|Grundlegendes zu den Turbocodes]].
 * Ähnliche Aufgaben finden Sie in den Kapiteln 3.1 bis 3.3.
 * In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende vektoriellen Größen verwendet:
-** die Informationssequenz: $\hspace{0.2cm} \underline{u} = (u_1, \, u_2, \text{...} \hspace{0.05cm} )$,
+** die Informationssequenz:&nbsp;  $\hspace{0.2cm} \underline{u} = (u_1, \, u_2, \text{...} \hspace{0.05cm} )$,
-** die Paritysequenz: $\hspace{0.2cm} \underline{p} = (p_1, \, p_2, \text{...}  \hspace{0.05cm})$,
+** die Paritysequenz:&nbsp;  $\hspace{0.2cm} \underline{p} = (p_1, \, p_2, \text{...}  \hspace{0.05cm})$,
-** die Impulsantwort: $\hspace{0.2cm} \underline{g} = (g_1, \, g_2, \text{...}  \hspace{0.05cm} ); \hspace{0.2cm}$ diese ist gleich der Paritysequenz $\underline{p}$ für $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \text{...}  \hspace{0.05cm} )$.
+** die Impulsantwort:&nbsp;  $\hspace{0.2cm} \underline{g} = (g_1, \, g_2, \text{...}  \hspace{0.05cm} ); \hspace{0.2cm}$ diese ist gleich der Paritysequenz $\underline{p}$&nbsp;  für&nbsp;  $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \text{...}  \hspace{0.05cm} )$.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie lautet die Impulsantwort $\underline{g}$?
+{Wie lautet die Impulsantwort&nbsp;  $\underline{g}$&nbsp;?
 |type="()"}
-+ Es gilt $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \text{...}  \hspace{0.05cm})$.
++ Es gilt&nbsp;  $\underline{g} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \text{...}  \hspace{0.05cm})$.
-- Es gilt $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \text{...}  \hspace{0.05cm})$.
+- Es gilt&nbsp;  $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \text{...}  \hspace{0.05cm})$.
-{Es gelte $\underline{u} = (1, \, 1, \, 0, \, 1)$. Welche Aussagen gelten für die Paritysequenz $\underline{p}$?
+{Es gelte&nbsp;  $\underline{u} = (1, \, 1, \, 0, \, 1)$. Welche Aussagen gelten für die Paritysequenz&nbsp;  $\underline{p}$&nbsp;?
 |type="[]"}
-- Es gilt $\underline{p} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \text{...}  \hspace{0.05cm})$.
+- Es gilt&nbsp;  $\underline{p} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \text{...}  \hspace{0.05cm})$.
-+ Es gilt $\underline{p} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \text{...}  \hspace{0.05cm})$.
++ Es gilt&nbsp;  $\underline{p} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \text{...}  \hspace{0.05cm})$.
-- Bei begrenzter Informationssequenz $\underline{u}$ ist stets auch $\underline{p}$ begrenzt.
+- Bei begrenzter Informationssequenz&nbsp;  $\underline{u}$&nbsp;  ist stets auch&nbsp;  $\underline{p}$&nbsp;  begrenzt.
-{Wie lautet die $D$&ndash;Übertragungsfunktion $G(D)$?
+{Wie lautet die&nbsp;  $D$&ndash;Übertragungsfunktion&nbsp;  $G(D)$?
 |type="[]"}
-+ Es gilt $G(D) = 1 + D + D^2 + D^4 + D^5 + D^7 + D^8 + \text{...}  \hspace{0.05cm}$
++ Es gilt&nbsp;  $G(D) = 1 + D + D^2 + D^4 + D^5 + D^7 + D^8 + \text{...}  \hspace{0.05cm}$
-+ Es gilt $G(D) = (1 + D^2)/(1 + D + D^2)$.
++ Es gilt&nbsp;  $G(D) = (1 + D^2)/(1 + D + D^2)$.
-- Es gilt $G(D) = (1 + D + D^2)/(1 + D^2)$.
+- Es gilt&nbsp;  $G(D) = (1 + D + D^2)/(1 + D^2)$.
-{Es gelte $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1)$. Welche Aussagen gelten für die Paritysequenz $\underline{p}$?
+{Nun gelte&nbsp;  $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1)$. Welche Aussagen gelten für die Paritysequenz&nbsp;  $\underline{p}$?
 |type="[]"}
-+ Es gilt $\underline{p} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \text{...}  \hspace{0.05cm})$.
++ Es gilt&nbsp;  $\underline{p} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \text{...}  \hspace{0.05cm})$.
-- Es gilt $\underline{p} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \text{...}  \hspace{0.05cm})$.
+- Es gilt&nbsp;  $\underline{p} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \text{...}  \hspace{0.05cm})$.
-- Bei unbegrenzter Impulsantwort $\underline{g}$ ist stets auch $\underline{p}$ unbegrenzt.
+- Bei unbegrenzter Impulsantwort&nbsp;  $\underline{g}$&nbsp;  ist stets auch&nbsp;  $\underline{p}$&nbsp;  unbegrenzt.
-{Wie groß ist die freie Distanz $d_{\rm F}$ dieses RSC&ndash;Coders?
+{Wie groß ist die freie Distanz&nbsp;  $d_{\rm F}$&nbsp;  dieses RSC&ndash;Coders?
 |type="{}"}
 $d_{\rm F} \ = \ ${ 5 3% }

@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
 * Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes|Grundlegendes zu den Turbocodes]].
 * Ähnliche Aufgaben finden Sie in den Kapiteln 3.1 bis 3.3.
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 * In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende vektoriellen Größen verwendet:
 ** die Informationssequenz: $\hspace{0.2cm} \underline{u} = (u_1, \, u_2, \text{...} \hspace{0.05cm} )$,

@@ Zeile 72: / Zeile 72: @@
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Verfolgt man die Übergänge im Zustandsdiagramm für die Sequenz $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0)$ am Eingang, so erhält man den Weg
-:$$S_0 &#8594; S_1 &#8594; S_3 &#8594; S_2 &#8594; S_1 &#8594; S_3 &#8594; S_2 &#8594; S_1 &#8594; S_3 \ ...$$
+:$$S_0 &#8594; S_1 &#8594; S_3 &#8594; S_2 &#8594; S_1 &#8594; S_3 &#8594; S_2 &#8594; S_1 &#8594; S_3 &#8594; \hspace{0.05cm}\text{...}  \hspace{0.05cm}$$
 Bei jedem Übergang ist das erste Codesymbol $x_i^{(1)}$ gleich dem Informationsbit $u_i$ und das Codesymbol $x_i^{(2)}$ gibt das Paritybit $p_i$ an. Damit erhält man das Ergebnis entsprechend dem <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
@@ Zeile 83: / Zeile 83: @@
 \hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},
 \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},
-\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm})
+\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...}  \hspace{0.05cm})
 = \underline{g}\hspace{0.05cm}.$$
-Bei einem jeden RSC&ndash;Code ist die Impulsantwort $\underline{g}$ unendlich lang und wird irgendwann periodisch, hier mit der Periode $P = 3$ und &bdquo;$0, \, 1, \, 1$&rdquo;.
+Bei einem jeden RSC&ndash;Code ist die Impulsantwort $\underline{g}$ unendlich lang und wird irgendwann periodisch, in diesem Beispiel mit der Periode $P = 3$ und &bdquo;$0, \, 1, \, 1$&rdquo;.
-'''(2)'''&nbsp; Die Grafik zeigt die Lösung dieser Aufgabe entsprechend der Gleichung $\underline{p} = \underline{u}^{\rm T} \cdot \mathbf{G}$. Hierbei ist die Generatormatrix $\mathbf{G}$ nach unten und rechts unendlich weit ausgedehnt. Richtig ist <u>der Lösungsvorschlag 2</u>.
+[[Datei:P_ID3054__KC_A_4_9b_v1.png|right|frame|Verdeutlichung von $\underline{p} = (1, \, 1, \, 0, \, 1)^{\rm T} \cdot \mathbf{G}$]]
 '''(2)'''&nbsp; Die Grafik zeigt die Lösung dieser Aufgabe entsprechend der Gleichung $\underline{p} = \underline{u}^{\rm T} \cdot \mathbf{G}$.
-[[Datei:P_ID3054__KC_A_4_9b_v1.png|center|frame|Verdeutlichung von $\underline{p} = (1, \, 1, \, 0, \, 1)^{\rm T} \cdot \mathbf{G}$]]
+* Hierbei ist die Generatormatrix $\mathbf{G}$ nach unten und rechts unendlich weit ausgedehnt.
+*Richtig ist <u>der Lösungsvorschlag 2</u>.
+<br clear=all>
-'''(3)'''&nbsp; Zwischen der Impulsantwort $\underline{g}$ und der $D$&ndash;Übertragungsfunktion $\mathbf{G}(D)$ besteht der Zusammenhang
+'''(3)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
 :$$\underline{g}= (\hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm},
 \hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm},
@@ Zeile 105: / Zeile 106: @@
 \hspace{-0.05cm}1\hspace{-0.05cm},
 ... ) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
-G(D) =  1\hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} D\hspace{-0.05cm} +\hspace{-0.05cm} D^2\hspace{-0.05cm} +\hspace{-0.05cm} D^4 \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} D^5 \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} D^7 \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} D^8 + ... \hspace{0.05cm}.$$
+G(D) =  1\hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} D\hspace{-0.05cm} +\hspace{-0.05cm} D^2\hspace{-0.05cm} +\hspace{-0.05cm} D^4 \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} D^5 \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} D^7 \hspace{-0.05cm}+\hspace{-0.05cm} D^8 +  \hspace{0.05cm} \text{...} \hspace{0.05cm}.$$
-entsprechend dem <u>ersten Lösungsvorschlag</u>. Überprüfen wir nun den zweiten Vorschlag:
+*Überprüfen wir nun den zweiten Vorschlag:
 :$$G(D) = \frac{1+  D^2}{1+ D  + D^2} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
 G(D) \cdot [1+ D  + D^2] = 1+  D^2 \hspace{0.05cm}.$$
-Die folgende Rechnung zeigt, dass diese Gleichung tatsächlich stimmt:
+*Die folgende Rechnung zeigt, dass diese Gleichung tatsächlich stimmt:
-:$$(1+ D+ D^2+ D^4 +D^5 + D^7 + D^8 + ... ) \cdot (1+ D+ D^2 ) =$$
+:$$(1+ D+ D^2+ D^4 +D^5 + D^7 + D^8 + \hspace{0.05cm} \text{...}) \cdot (1+ D+ D^2 ) =$$
-:$$=1+ D+ D^2\hspace{1.05cm} +D^4 +  D^5 \hspace{1.05cm} +D^7 + D^8 \hspace{1.05cm} + D^{10}+ ... $$
+:$$=1+ D+ D^2\hspace{1.05cm} +D^4 +  D^5 \hspace{1.05cm} +D^7 + D^8 \hspace{1.05cm} + D^{10}+ \hspace{0.05cm} \text{...}$$
-:$$+ \hspace{0.8cm}D+ D^2+D^3 \hspace{1.05cm}+  D^5 +  D^6 \hspace{1.05cm} +D^8 + D^9 \hspace{1.25cm} + ... $$
+:$$+ \hspace{0.8cm}D+ D^2+D^3 \hspace{1.05cm}+  D^5 +  D^6 \hspace{1.05cm} +D^8 + D^9 \hspace{1.25cm} +\hspace{0.05cm} \text{...} $$
-:$$+ \hspace{1.63cm} D^2+D^3+  D^4  \hspace{1.05cm}+  D^6 +D^7  \hspace{1.05cm}+ D^9 + D^{10} \hspace{0.12cm}+ ... $$
+:$$+ \hspace{1.63cm} D^2+D^3+  D^4  \hspace{1.05cm}+  D^6 +D^7  \hspace{1.05cm}+ D^9 + D^{10} \hspace{0.12cm}+ \hspace{0.05cm} \text{...}$$
 :$$=\underline{1\hspace{0.72
 cm}+ D^2} \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig sind <u>die Vorschläge 1 und 2</u>. Da Gleichung (2) stimmt, muss die letzte Gleichung falsch sein.
+*Da aber die Gleichung (2) stimmt, muss die letzte Gleichung falsch sein.
-'''(4)'''&nbsp; Aus $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1)$ folgt $U(D) = 1 + D + D^2$. Damit gilt auch:
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist nur der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-:$$P(D) = U(D) \cdot G(D) = (1+D+D^2) \cdot \frac{1+D^2}{1+D+D^2}= 1+D^2$$
+*Aus $\underline{u} = (1, \, 1, \, 1)$ folgt $U(D) = 1 + D + D^2$. Damit gilt auch:
-:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}  \underline{p}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}. $$
+:$$P(D) = U(D) \cdot G(D) = (1+D+D^2) \cdot \frac{1+D^2}{1+D+D^2}= 1+D^2\hspace{0.3cm}
+\Rightarrow\hspace{0.3cm}  \underline{p}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}. $$
 * Wären die Größen $u_i$ und $g_i$ reellwertig, so würde die (diskrete) Faltung $\underline{p} = \underline{u} * \underline{g}$ stets zu einer Verbreiterung führen &nbsp;&#8658;&nbsp; $\underline{p}$ wäre in diesem Fall breiter als $\underline{u}$ und auch breiter als $\underline{g}$.
 * Bei $u_i &#8712; {\rm GF}(2)$ und $g_i &#8712; {\rm GF}(2)$ kann es (muss es aber nicht) dagegen vorkommen, dass auch bei unbegrenztem $\underline{u}$ oder bei unbegrenztem $\underline{g}$ das Faltungsprodukt $\underline{p} = \underline{u} * \underline{g}$ begrenzt ist.
+[[Datei:P_ID3057__KC_A_4_9d_v1.png|right|frame|Verdeutlichung von $\underline{p} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, ...)^{\rm T} \cdot \mathbf{G}$]]
+Das Ergebnis wird abschließend  noch entsprechend der Gleichung $\underline{p} = \underline{u}^{\rm T} \cdot \mathbf{G}$ überprüft.
-Das Ergebnis wird nun noch entsprechend der Gleichung $\underline{p} = \underline{u}^{\rm T} \cdot \mathbf{G}$ überprüft.
+<br clear=all>
+'''(5)'''&nbsp; In ähnlicher Vorgehensweise wie in der [[Aufgaben:4.08_Wiederholung_zu_den_Faltungscodes|Aufgabe A4.8, (4)]] wird auch hier die freie Distanz zum Beispiel durch den Pfad $S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_1 &#8594; S_2 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; \\hspace{0.05cm}\text{...}\hspace{0.05cm}$ bestimmt.
-[[Datei:P_ID3057__KC_A_4_9d_v1.png|center|frame|Verdeutlichung von $\underline{p} = (1, \, 1, \, 1, \, 0, \, ...)^{\rm T} \cdot \mathbf{G}$]]
+*Die zugehörige Codesequenz $\underline{x}$ ist nun aber &bdquo; $00 \ 11 \ 10 \ 11 \ 00 \ ... $&rdquo;. Damit ergibt sich die freie Distanz zu $d_{\rm F} \ \underline{= 5}$.
+*Beim nichtrekursiven Code von Aufgabe 4.8 wurde dagegen nur die freie Distanz $d_{\rm F} = 3$ ermittelt.
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