Aufgaben:Aufgabe 4.09: Entscheidungsregionen bei Laplace - Versionsgeschichte

Maintenance script: Add English interlanguage link

2026-03-16T12:37:03Z

Add English interlanguage link

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:37 Uhr
Zeile 178:		Zeile 178:

	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^4.3 BER-Approximation^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^4.3 BER-Approximation^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.09:_Decision_Regions_at_Laplace]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:39:34Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:39 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:
	[[Datei:P_ID2044__Dig_A_4_9.png\|right\|frame\|Drei Entscheidungsregionen <br>für Laplace]]		[[Datei:P_ID2044__Dig_A_4_9.png\|right\|frame\|Drei Entscheidungsregionen <br>für Laplace]]
	Wir betrachten ein Übertragungssystem,  basierend auf den Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$.  Die beiden gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte		Wir betrachten ein Übertragungssystem,  basierend auf den Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$.  Die beiden gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte
	:$$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}		:$$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$
	\boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$

	gegeben.  Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu  $E = 1$  und erhalten somit		gegeben.  Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu  $E = 1$  und erhalten somit
Zeile 14:		Zeile 13:

	Die zwei Rauschkomponenten  $n_1(t)$  und  $n_2(t)$  seien unabhängig voneinander und jeweils laplace–verteilt mit Parameter  $a = 1$:		Die zwei Rauschkomponenten  $n_1(t)$  und  $n_2(t)$  seien unabhängig voneinander und jeweils laplace–verteilt mit Parameter  $a = 1$:
	:$$p_{n_1} (\eta_1) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- \| \eta_1\|} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}		:$$p_{n_1} (\eta_1) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- \| \eta_1\|} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}p_{n_2} (\eta_2) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- \| \eta_2\|} \hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} \boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (\eta_1, \eta_2) = {1}/{4} \cdot {\rm e}^{- \| \eta_1\|- \| \eta_2\|} \hspace{0.05cm}. $$
	p_{n_2} (\eta_2) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- \| \eta_2\|} \hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} \boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (\eta_1, \eta_2) = {1}/{4} \cdot {\rm e}^{- \| \eta_1\|- \| \eta_2\|} \hspace{0.05cm}. $$

	Die Eigenschaften eines solchen Laplace–Rauschens werden in der  [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen\| "Aufgabe 4.9Z"]]  noch eingehend behandelt.		Die Eigenschaften eines solchen Laplace–Rauschens werden in der  [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen\| "Aufgabe 4.9Z"]]  noch eingehend behandelt.

	Das Empfangssignal  $\boldsymbol{r}$  setzt sich additiv aus dem Sendesignal  $\boldsymbol{s}$  und dem  Rauschsignal  $\boldsymbol{n}$  zusammen:		Das Empfangssignal  $\boldsymbol{r}$  setzt sich additiv aus dem Sendesignal  $\boldsymbol{s}$  und dem  Rauschsignal  $\boldsymbol{n}$  zusammen:
	:$$\boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \boldsymbol{ s } + \boldsymbol{ n }		:$$\boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \boldsymbol{ s } + \boldsymbol{ n }\hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}\boldsymbol{ r } = ( r_1, r_2)\hspace{0.05cm},\hspace{0.45cm}\boldsymbol{ s } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} ( s_1, s_2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}\boldsymbol{ n } = ( n_1, n_2) \hspace{0.05cm}. $$
	\hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}\boldsymbol{ r } = ( r_1, r_2)
	\hspace{0.05cm},\hspace{0.45cm}
	\boldsymbol{ s } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} ( s_1, s_2)
	\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}\boldsymbol{ n } = ( n_1, n_2)
	\hspace{0.05cm}. $$

	Die entsprechenden Realisierungen sind wie folgt bezeichnet:		Die entsprechenden Realisierungen sind wie folgt bezeichnet:
	:$$\boldsymbol{ s }\text{:} \hspace{0.4cm} (s_{01},s_{02}){\hspace{0.15cm}\rm bzw. \hspace{0.15cm}} (s_{11},s_{12})		:$$\boldsymbol{ s }\text{:} \hspace{0.4cm} (s_{01},s_{02}){\hspace{0.15cm}\rm bzw. \hspace{0.15cm}} (s_{11},s_{12}) \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm} \boldsymbol{ r }\text{:} \hspace{0.4cm} (\rho_{1},\rho_{2})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}\boldsymbol{ n }\text{:} \hspace{0.4cm} (\eta_{1},\eta_{2})\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm} \boldsymbol{ r }\text{:} \hspace{0.4cm} (\rho_{1},\rho_{2})
	\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}\boldsymbol{ n }\text{:} \hspace{0.4cm} (\eta_{1},\eta_{2})
	\hspace{0.05cm}.$$

	Die Entscheidungsregel des MAP– und des ML–Empfängers  $($beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch$)$  lauten:		Die Entscheidungsregel des MAP– und des ML–Empfängers  $($beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch$)$  lauten:
Zeile 40:		Zeile 29:

	⇒   Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür  $($Entscheidung für  $m_0)$  auch geschrieben werden:		⇒   Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür  $($Entscheidung für  $m_0)$  auch geschrieben werden:
	:$${1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 +1\|- \| \rho_2 +1\| \hspace{0.1cm} \right ] >		:$${1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 +1\|- \| \rho_2 +1\| \hspace{0.1cm} \right ] >{1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 -1\|- \| \rho_2 -1\| \hspace{0.1cm} \right ] $$
	{1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 -1\|- \| \rho_2 -1\| \hspace{0.1cm} \right ] $$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \| \rho_1 +1\|+ \| \rho_2 +1\| <\| \rho_1 -1\|+ \| \rho_2 -1\|$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \| \rho_1 +1\|+ \| \rho_2 +1\| <		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L (\rho_1, \rho_2) = \| \rho_1 +1\|+ \| \rho_2 +1\| -\| \rho_1 -1\|- \| \rho_2 -1\| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
	\| \rho_1 -1\|+ \| \rho_2 -1\|$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} L (\rho_1, \rho_2) = \| \rho_1 +1\|+ \| \rho_2 +1\| -
	\| \rho_1 -1\|- \| \rho_2 -1\| < 0 \hspace{0.05cm}.$$

	⇒   Auf diese Funktion  $L(\rho_1, \rho_2)$  wird im Fragebogen häufiger Bezug genommen.		⇒   Auf diese Funktion  $L(\rho_1, \rho_2)$  wird im Fragebogen häufiger Bezug genommen.
Zeile 118:		Zeile 104:
	'''(1)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
	*Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichten unter den Bedingungen  $m_0$  bzw.  $m_1$  lauten:		*Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichten unter den Bedingungen  $m_0$  bzw.  $m_1$  lauten:
	:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} \|m_0 )		:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} \|m_0 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 +1\|- \| \rho_2 +1\| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm},$$
	\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 +1\|- \| \rho_2 +1\| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm},$$		:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} \|m_1 ) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 -1\|- \| \rho_2 -1\| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm}.$$
	:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} \|m_1 )
	\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 -1\|- \| \rho_2 -1\| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm}.$$
	*Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen   ⇒   ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$  lautet die MAP–Entscheidungsregel:   Entscheide für das Symbol  $m_0$   ⇔   Signal  $s_0$,  falls		*Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen   ⇒   ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$  lautet die MAP–Entscheidungsregel:   Entscheide für das Symbol  $m_0$   ⇔   Signal  $s_0$,  falls
	:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} \|m_0 ) >		:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} \|m_0 ) > p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} \|m_1 ) \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 +1\|- \| \rho_2 +1\| \hspace{0.05cm} \right ] >{1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 -1\|- \| \rho_2 -1\|\hspace{0.05cm} \right ] $$
	p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} \|m_1 ) \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm}		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \| \rho_1 +1\|+ \| \rho_2 +1\| <\| \rho_1 -1\|+ \| \rho_2 -1\|\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} L (\rho_1, \rho_2) = \| \rho_1 +1\|-\| \rho_1 -1\|+ \| \rho_2 +1\| - \| \rho_2 -1\| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 +1\|- \| \rho_2 +1\| \hspace{0.05cm} \right ] >
	{1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 -1\|- \| \rho_2 -1\|\hspace{0.05cm} \right ] $$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \| \rho_1 +1\|+ \| \rho_2 +1\| <
	\| \rho_1 -1\|+ \| \rho_2 -1\|\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} L (\rho_1, \rho_2) = \| \rho_1 +1\|-
	\| \rho_1 -1\|+ \| \rho_2 +1\| - \| \rho_2 -1\| < 0 \hspace{0.05cm}.$$


Zeile 146:		Zeile 124:
	'''(3)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>:		'''(3)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
	*Das Ergebnis von Teilaufgabe  '''(1)'''  lautete:  Entscheide für das Symbol  $m_0$,  falls		*Das Ergebnis von Teilaufgabe  '''(1)'''  lautete:  Entscheide für das Symbol  $m_0$,  falls
	:$$L (\rho_1, \rho_2) = \| \rho_1 +1\| -		:$$L (\rho_1, \rho_2) = \| \rho_1 +1\| -\| \rho_1 -1\|+ \| \rho_2 +1\| - \| \rho_2 -1\| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
	\| \rho_1 -1\|+ \| \rho_2 +1\| - \| \rho_2 -1\| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
	*Im betrachteten  (inneren)  Bereich  $-1 ≤ \rho_1 ≤ +1$,  $-1 ≤ \rho_2 ≤ +1$  gilt mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  '''(2)''':		*Im betrachteten  (inneren)  Bereich  $-1 ≤ \rho_1 ≤ +1$,  $-1 ≤ \rho_2 ≤ +1$  gilt mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  '''(2)''':
	:$$\| \rho_1+1\| - \| \rho_1 -1\| = 2\rho_1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \| \rho_2+1\| - \| \rho_2 -1\| = 2\rho_2 \hspace{0.05cm}.$$		:$$\| \rho_1+1\| - \| \rho_1 -1\| = 2\rho_1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \| \rho_2+1\| - \| \rho_2 -1\| = 2\rho_2 \hspace{0.05cm}.$$

	*Setzt man dieses Ergebnis oben ein,  so ist genau dann für  $m_0$  zu entscheiden,  falls		*Setzt man dieses Ergebnis oben ein,  so ist genau dann für  $m_0$  zu entscheiden,  falls
	:$$L (\rho_1, \rho_2) = 2 \cdot ( \rho_1+\rho_2) < 0		:$$L (\rho_1, \rho_2) = 2 \cdot ( \rho_1+\rho_2) < 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_1+\rho_2 < 0\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_1+\rho_2 < 0\hspace{0.05cm}.$$


Zeile 165:		Zeile 141:
	'''(5)'''  Richtig ist hier der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>:		'''(5)'''  Richtig ist hier der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
	*Nach ähnlicher Rechnung wie in der Teilaufgabe  '''(3)'''  kommt man zum Ergebnis:		*Nach ähnlicher Rechnung wie in der Teilaufgabe  '''(3)'''  kommt man zum Ergebnis:
	:$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_2 \le 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_2 \le 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$
	{\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$


	'''(6)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 2</u>:  Entscheidung auf  $m_1$.		'''(6)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 2</u>:  Entscheidung auf  $m_1$.
	*Ähnlich der Teilaufgabe  '''(4)'''  gilt hier:		*Ähnlich der Teilaufgabe  '''(4)'''  gilt hier:
	:$$D_1 = \| \rho_1 +1\| - \| \rho_1 -1\| \in \{-2, ... \hspace{0.05cm} , +2 \}		:$$D_1 = \| \rho_1 +1\| - \| \rho_1 -1\| \in \{-2, ... \hspace{0.05cm} , +2 \} \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}L (\rho_1, \rho_2) = 2 + D_1 \ge 0\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}L (\rho_1, \rho_2) = 2 + D_1 \ge 0
	\hspace{0.05cm}.$$


	'''(7)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>:  Entscheidung auf  $m_0$.		'''(7)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>:  Entscheidung auf  $m_0$.
	*Nach ähnlicher Überlegung wie in der letzten Teilaufgabe kommt man zum Ergebnis:		*Nach ähnlicher Überlegung wie in der letzten Teilaufgabe kommt man zum Ergebnis:
	:$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_1 \le 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_1 \le 0 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$
	{\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 29. Juli 2022 um 16:25 Uhr

2022-07-29T16:25:18Z

Änderungen zeigen

Guenter am 29. Juli 2022 um 16:02 Uhr

2022-07-29T16:02:42Z

Guenter am 14. März 2019 um 11:57 Uhr

2019-03-14T11:57:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. März 2019, 13:57 Uhr
Zeile 190:		Zeile 190:
	* Teilgebiet $T_3$:   Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe (6).		* Teilgebiet $T_3$:   Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe (6).
	* Teilgebiet $T_4$:   Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe (7).		* Teilgebiet $T_4$:   Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe (7).
	* Teilgebiet $T_5$:   Nach ~~dem Ergebnis von~~ Aufgabe (5) sollte man auf $m_0$ entscheiden, nach Aufgabe (6) auf $m_1$. <br>~~Das bedeutet:~~ Bei Laplace–Rauschen ist es egal, ob man $T_5$ der Region $I_0$ oder $I_1$ zuordnet.		* Teilgebiet $T_5$:   Nach Aufgabe (5) sollte man auf $m_0$ entscheiden, nach Aufgabe (6) auf $m_1$ <br>⇒   Bei Laplace–Rauschen ist es egal, ob man $T_5$ der Region $I_0$ oder $I_1$ zuordnet.
	* Teilgebiet $T_6$:   Auch dieses Gebiet kann man aufgrund der Ergebnisse von Aufgabe (4) und (7) sowohl der Region $I_0$ als auch der Region $I_1$ zuordnen.		* Teilgebiet $T_6$:   Auch dieses Gebiet kann man aufgrund der Ergebnisse von Aufgabe (4) und (7) sowohl der Region $I_0$ als auch der Region $I_1$ zuordnen.

Zeile 201:		Zeile 201:
	Vergleicht man diese Grafik mit den Varianten '''A''', '''B''' und '''C''' auf der Angabenseite, so erkennt man, dass die <u>Vorschläge 1 und 2</u> richtig sind:		Vergleicht man diese Grafik mit den Varianten '''A''', '''B''' und '''C''' auf der Angabenseite, so erkennt man, dass die <u>Vorschläge 1 und 2</u> richtig sind:
	* Die Varianten '''A''' und '''B''' sind gleich gut. Beide sind optimal. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich in beiden Fällen zu $p_{\rm min} = {\rm e}^{\rm -2}$.		* Die Varianten '''A''' und '''B''' sind gleich gut. Beide sind optimal. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich in beiden Fällen zu $p_{\rm min} = {\rm e}^{\rm -2}$.
	* Die Variante '''C''' ist nicht optimal; bezüglich der ~~Teilaufgabe~~ $T_1$ und $T_2$ gibt es Fehlzuordnungen. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist demzufolge größer als $p_{\rm min}$.		* Die Variante '''C''' ist nicht optimal; bezüglich der Teilgebiete $T_1$ und $T_2$ gibt es Fehlzuordnungen. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist demzufolge größer als $p_{\rm min}$.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 14. März 2019 um 11:09 Uhr

2019-03-14T11:09:47Z

Guenter am 14. März 2019 um 10:59 Uhr

2019-03-14T10:59:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. März 2019, 12:59 Uhr
Zeile 69:		Zeile 69:
	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Welche der Entscheidungsregeln sind richtig? Entscheide für $m_0$, falls		{Welche der Entscheidungsregeln sind richtig? Entscheide für  $m_0$, falls
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $p_{\it r\hspace{0.03cm}\|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}\|\hspace{0.03cm}m_0) > p_{\it r\hspace{0.03cm}\|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}\|\hspace{0.03cm}m_1)$,		+ $p_{\it r\hspace{0.03cm}\|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}\|\hspace{0.03cm}m_0) > p_{\it r\hspace{0.03cm}\|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}\|\hspace{0.03cm}m_1)$,
Zeile 75:		Zeile 75:
	- $L(\rho_1, \ \rho_2) = \rho_1 + \rho_2 ≥ 0$.		- $L(\rho_1, \ \rho_2) = \rho_1 + \rho_2 ≥ 0$.

	{Wie lässt sich der Ausdruck $\|x+1\| \ -\|x \ -1\|$ umformen?		{Wie lässt sich der Ausdruck  $\|x+1\| \ -\|x \ -1\|$  umformen?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Für $x ≥ +1$ ist $\|x + 1\| \, -\|x -1\| = 2$.		+ Für  $x ≥ +1$  ist  $\|x + 1\| \, -\|x -1\| = 2$.
	+ Für $x ≤ \, -1$ ist $\|x+1\| \,-\|x \, -1\| = \, -2$.		+ Für  $x ≤ \, -1$  ist  $\|x+1\| \,-\|x \, -1\| = \, -2$.
	+ Für $-1 ≤ x ≤ +1$ ist $\|x+1\| \, -\|x \, -1\| = 2x$.		+ Für  $-1 ≤ x ≤ +1$  ist  $\|x+1\| \, -\|x \, -1\| = 2x$.

	{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $-1 ≤ \rho_1 ≤ +1$, $-1 ≤ \rho_2 ≤ +1$?		{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich  $-1 ≤ \rho_1 ≤ +1$,  $-1 ≤ \rho_2 ≤ +1$?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	+ Entscheidung für $m_0$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.		+ Entscheidung für  $m_0$, falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
	- Entscheidung für $m_1$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.		- Entscheidung für  $m_1$, falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

	{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_1 > +1$?		{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich  $\rho_1 > +1$?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.		- Entscheidung für  $m_0$  im gesamten Bereich.
	+ Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.		+ Entscheidung für  $m_1$  im gesamten Bereich.
	- Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.		- Entscheidung für  $m_0$  nur, falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

	{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_1 < \, -1$?		{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich  $\rho_1 < \, -1$?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	+ Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.		+ Entscheidung für  $m_0$  im gesamten Bereich.
	- Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.		- Entscheidung für  $m_1$  im gesamten Bereich.
	- Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.		- Entscheidung für  $m_0$  nur, falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

	{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_2 > +1$?		{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich  $\rho_2 > +1$?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.		- Entscheidung für  $m_0$  im gesamten Bereich.
	+ Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.		+ Entscheidung für  $m_1$  im gesamten Bereich.
	- Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.		- Entscheidung für  $m_0$  nur, falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

	{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_2 < -1$?		{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich  $\rho_2 < -1$?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	+ Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.		+ Entscheidung für  $m_0$  im gesamten Bereich.
	- Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.		- Entscheidung für  $m_1$  im gesamten Bereich.
	- Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.		- Entscheidung für  $m_0$  nur, falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

	{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?		{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Die Variante ~~'''~~A~~'''~~ führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.		+ Die Variante  $\rm A$  führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
	+ Die Variante ~~'''~~B~~'''~~ führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.		+ Die Variante  $\rm B$  führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
	- Die Variante ~~'''~~C~~'''~~ führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.		- Die Variante  $\rm C$  führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
	</quiz>		</quiz>

Guenter am 14. März 2019 um 10:35 Uhr

2019-03-14T10:35:15Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:48Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:03 Uhr
Zeile 61:		Zeile 61:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.09 Entscheidungsregionen bei Laplace nach Aufgaben:Aufgabe 4.09: Entscheidungsregionen bei Laplace

2018-01-04T06:35:00Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.09 Entscheidungsregionen bei Laplace nach Aufgaben:Aufgabe 4.09: Entscheidungsregionen bei Laplace

← Nächstältere Version		Version vom 4. Januar 2018, 08:35 Uhr
(kein Unterschied)

← Nächstältere Version		Version vom 29. Juli 2022, 18:02 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:

	[[Datei:P_ID2044__Dig_A_4_9.png\|right\|frame\|Drei Entscheidungsregionen <br>für Laplace]]		[[Datei:P_ID2044__Dig_A_4_9.png\|right\|frame\|Drei Entscheidungsregionen <br>für Laplace]]
	Wir betrachten ein Übertragungssystem, basierend auf den Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$. Die beiden gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte		Wir betrachten ein Übertragungssystem,  basierend auf den Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$.  Die beiden gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte
	:$$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}		:$$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
	\boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$		\boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$

	gegeben. Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu  $E = 1$  und erhalten somit		gegeben.  Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu  $E = 1$  und erhalten somit
	:$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (-1, \hspace{0.1cm}-1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0\hspace{0.05cm}, $$		:$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (-1, \hspace{0.1cm}-1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0\hspace{0.05cm}, $$
	:$$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1\hspace{0.05cm}.$$		:$$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 18:		Zeile 18:
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} \boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (\eta_1, \eta_2) = {1}/{4} \cdot {\rm e}^{- \| \eta_1\|- \| \eta_2\|} \hspace{0.05cm}. $$		\Rightarrow \hspace{0.3cm} \boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (\eta_1, \eta_2) = {1}/{4} \cdot {\rm e}^{- \| \eta_1\|- \| \eta_2\|} \hspace{0.05cm}. $$

	Die Eigenschaften eines solchen Laplace–Rauschens werden in der  [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen\| Aufgabe 4.9Z]]  noch eingehend behandelt.		Die Eigenschaften eines solchen Laplace–Rauschens werden in der  [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen\| "Aufgabe 4.9Z"]]  noch eingehend behandelt.

	Das Empfangssignal  $\boldsymbol{r}$  setzt sich additiv aus dem Sendesignal  $\boldsymbol{s}$  und dem  Rauschsignal  $\boldsymbol{n}$ zusammen:		Das Empfangssignal  $\boldsymbol{r}$  setzt sich additiv aus dem Sendesignal  $\boldsymbol{s}$  und dem  Rauschsignal  $\boldsymbol{n}$  zusammen:
	:$$\boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \boldsymbol{ s } + \boldsymbol{ n }		:$$\boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \boldsymbol{ s } + \boldsymbol{ n }
	\hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}\boldsymbol{ r } = ( r_1, r_2)		\hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}\boldsymbol{ r } = ( r_1, r_2)
Zeile 34:		Zeile 34:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Die Entscheidungsregel des MAP– und des ML–Empfängers (beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch) lauten:		Die Entscheidungsregel des MAP– und des ML–Empfängers  $($beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch$)$  lauten:

	:Entscheide für das Symbol  $m_0$, falls   $p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} \|m_0 ) >		⇒   Entscheide für das Symbol  $m_0$, falls   $p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} \|m_0 ) >
	p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} \|m_1 ) \hspace{0.05cm}.$		p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} \|m_1 ) \hspace{0.05cm}.$

	Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür $($Entscheidung für  $m_0)$  auch geschrieben werden:		⇒   Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür  $($Entscheidung für  $m_0)$  auch geschrieben werden:
	:$${1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 +1\|- \| \rho_2 +1\| \hspace{0.1cm} \right ] >		:$${1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 +1\|- \| \rho_2 +1\| \hspace{0.1cm} \right ] >
	{1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 -1\|- \| \rho_2 -1\| \hspace{0.1cm} \right ] $$		{1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 -1\|- \| \rho_2 -1\| \hspace{0.1cm} \right ] $$
Zeile 47:		Zeile 47:
	\| \rho_1 -1\|- \| \rho_2 -1\| < 0 \hspace{0.05cm}.$$		\| \rho_1 -1\|- \| \rho_2 -1\| < 0 \hspace{0.05cm}.$$

	Auf diese Funktion  $L(\rho_1, \rho_2)$  wird im Fragebogen ~~häufig~~ Bezug genommen.		⇒   Auf diese Funktion  $L(\rho_1, \rho_2)$  wird im Fragebogen häufiger Bezug genommen.

	Die Grafik zeigt drei verschiedene Entscheidungsregionen  $(I_0, \ I_1)$.		Die Grafik zeigt drei verschiedene Entscheidungsregionen  $(I_0, \ I_1)$.
	*Bei AWGN–Rauschen wäre nur die obere Variante  $\rm A$  optimal.		:*Bei AWGN–Rauschen wäre nur die obere Variante  $\rm A$  optimal.
	*Auch beim betrachteten Laplace–Rauschen führt die Variante  $\rm A$  zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit, siehe  [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen\| Aufgabe 4.9Z]]:		:*Auch beim betrachteten Laplace–Rauschen führt die Variante  $\rm A$  zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit, siehe  [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen\| "Aufgabe 4.9Z"]]:
	:$$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} {\rm optimaler\hspace{0.15cm} Empf\ddot{a}nger}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$		::$$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} {\rm optimaler\hspace{0.15cm} Empf\ddot{a}nger}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$

	*Zu untersuchen ist, ob die Variante  $\rm B$  bzw. die Variante  $\rm C$  ~~ebenfalls~~ optimal ist, das heißt, ob auch deren Fehlerwahrscheinlichkeiten kleinstmöglich gleich  $p_{\rm min}$  sind.		:*Zu untersuchen ist,  ob auch die Variante  $\rm B$  bzw. die Variante  $\rm C$  optimal ist,  das heißt,  ob auch deren Fehlerwahrscheinlichkeiten kleinstmöglich gleich  $p_{\rm min}$  sind.



			Hinweis:  Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit"]].

	''Hinweis:''
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].


Zeile 69:		Zeile 66:
	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Welche der Entscheidungsregeln sind richtig? Entscheide für  $m_0$, falls		{Welche der Entscheidungsregeln sind richtig?  Entscheide für  $m_0$,  falls
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $p_{\it r\hspace{0.03cm}\|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}\|\hspace{0.03cm}m_0) > p_{\it r\hspace{0.03cm}\|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}\|\hspace{0.03cm}m_1)$,		+ $p_{\it r\hspace{0.03cm}\|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}\|\hspace{0.03cm}m_0) > p_{\it r\hspace{0.03cm}\|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}\|\hspace{0.03cm}m_1)$,
Zeile 83:		Zeile 80:
	{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich  $-1 ≤ \rho_1 ≤ +1$,  $-1 ≤ \rho_2 ≤ +1$?		{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich  $-1 ≤ \rho_1 ≤ +1$,  $-1 ≤ \rho_2 ≤ +1$?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	+ Entscheidung für  $m_0$, falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.		+ Entscheidung für  $m_0$,  falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
	- Entscheidung für  $m_1$, falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.		- Entscheidung für  $m_1$,  falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

	{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich  $\rho_1 > +1$?		{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich  $\rho_1 > +1$?
Zeile 90:		Zeile 87:
	- Entscheidung für  $m_0$  im gesamten Bereich.		- Entscheidung für  $m_0$  im gesamten Bereich.
	+ Entscheidung für  $m_1$  im gesamten Bereich.		+ Entscheidung für  $m_1$  im gesamten Bereich.
	- Entscheidung für  $m_0$  ~~nur,~~ falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.		- Entscheidung für  $m_0$,  falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

	{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich  $\rho_1 < \, -1$?		{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich  $\rho_1 < \, -1$?
Zeile 96:		Zeile 93:
	+ Entscheidung für  $m_0$  im gesamten Bereich.		+ Entscheidung für  $m_0$  im gesamten Bereich.
	- Entscheidung für  $m_1$  im gesamten Bereich.		- Entscheidung für  $m_1$  im gesamten Bereich.
	- Entscheidung für  $m_0$  ~~nur,~~ falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.		- Entscheidung für  $m_0$,  falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

	{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich  $\rho_2 > +1$?		{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich  $\rho_2 > +1$?
Zeile 102:		Zeile 99:
	- Entscheidung für  $m_0$  im gesamten Bereich.		- Entscheidung für  $m_0$  im gesamten Bereich.
	+ Entscheidung für  $m_1$  im gesamten Bereich.		+ Entscheidung für  $m_1$  im gesamten Bereich.
	- Entscheidung für  $m_0$  ~~nur,~~ falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.		- Entscheidung für  $m_0$,  falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

	{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich  $\rho_2 < -1$?		{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich  $\rho_2 < -1$?
Zeile 108:		Zeile 105:
	+ Entscheidung für  $m_0$  im gesamten Bereich.		+ Entscheidung für  $m_0$  im gesamten Bereich.
	- Entscheidung für  $m_1$  im gesamten Bereich.		- Entscheidung für  $m_1$  im gesamten Bereich.
	- Entscheidung für  $m_0$  ~~nur,~~ falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.		- Entscheidung für  $m_0$,  falls  $\rho_1 + \rho_2 < 0$.

	{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?		{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

← Nächstältere Version		Version vom 14. März 2019, 13:09 Uhr
Zeile 119:		Zeile 119:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig ~~sinddie~~ <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
	*Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichten unter den Bedingungen $m_0$ bzw. $m_1$ lauten:		*Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichten unter den Bedingungen $m_0$ bzw. $m_1$ lauten:
	:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} \|m_0 )		:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} \|m_0 )
Zeile 125:		Zeile 125:
	:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} \|m_1 )		:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} \|m_1 )
	\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 -1\|- \| \rho_2 -1\| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 -1\|- \| \rho_2 -1\| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm}.$$
	*Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen  ⇒  ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$ lautet die MAP–Entscheidungsregel: ~~<br>~~Entscheide für das Symbol $m_0$  ⇔  Signal $s_0$, falls		*Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen  ⇒  ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$ lautet die MAP–Entscheidungsregel:   Entscheide für das Symbol $m_0$  ⇔  Signal $s_0$, falls
	:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} \|m_0 ) >		:$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} \|m_0 ) >
	p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} \|m_1 ) \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm}		p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} \|m_1 ) \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm}
Zeile 139:		Zeile 139:
	:$$\| x +1\|- \| x -1\| = x +1 -x +1 =2 \hspace{0.05cm}.$$		:$$\| x +1\|- \| x -1\| = x +1 -x +1 =2 \hspace{0.05cm}.$$

	Ebenso gilt für $x ≤ \, –1$, zum Beispiel $x = \, –3$:		*Ebenso gilt für $x ≤ \, –1$, zum Beispiel $x = \, –3$:
	:$$\| x +1\|- \| x -1\| = \| -3 +1\|- \| -3 -1\| = 2-4 = -2 \hspace{0.05cm}.$$		:$$\| x +1\|- \| x -1\| = \| -3 +1\|- \| -3 -1\| = 2-4 = -2 \hspace{0.05cm}.$$

	Dagegen gilt im mittleren Bereich $–1 ≤ x ≤ +1$:		*Dagegen gilt im mittleren Bereich $–1 ≤ x ≤ +1$:
	:$$\| x+1\|- \| x -1\| = x +1 -1 +x =2x \hspace{0.05cm}.$$		:$$\| x+1\|- \| x -1\| = x +1 -1 +x =2x \hspace{0.05cm}.$$

Zeile 190:		Zeile 190:
	* Teilgebiet $T_3$:   Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe (6).		* Teilgebiet $T_3$:   Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe (6).
	* Teilgebiet $T_4$:   Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe (7).		* Teilgebiet $T_4$:   Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe (7).
	* Teilgebiet $T_5$:   Nach dem Ergebnis von Aufgabe (5) sollte man auf $m_0$ entscheiden, nach Aufgabe (6) auf $m_1$. Das bedeutet: Bei Laplace–Rauschen ist es egal, ob man $T_5$ der Region $I_0$ oder $I_1$ zuordnet.		* Teilgebiet $T_5$:   Nach dem Ergebnis von Aufgabe (5) sollte man auf $m_0$ entscheiden, nach Aufgabe (6) auf $m_1$. <br>Das bedeutet: Bei Laplace–Rauschen ist es egal, ob man $T_5$ der Region $I_0$ oder $I_1$ zuordnet.
	* Teilgebiet $T_6$:   Auch dieses Gebiet kann man aufgrund der Ergebnisse von Aufgabe (4) und (7) sowohl der Region $I_0$ als auch der Region $I_1$ zuordnen.		* Teilgebiet $T_6$:   Auch dieses Gebiet kann man aufgrund der Ergebnisse von Aufgabe (4) und (7) sowohl der Region $I_0$ als auch der Region $I_1$ zuordnen.

← Nächstältere Version		Version vom 14. März 2019, 12:35 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	{{quiz-Header\|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit}}		{{quiz-Header\|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit}}

	[[Datei:P_ID2044__Dig_A_4_9.png\|right\|frame\|Drei Entscheidungsregionen für Laplace]]		[[Datei:P_ID2044__Dig_A_4_9.png\|right\|frame\|Drei Entscheidungsregionen <br>für Laplace]]
	Wir betrachten ein Übertragungssystem, basierend auf den Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$. Die beiden gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte		Wir betrachten ein Übertragungssystem, basierend auf den Basisfunktionen  $\varphi_1(t)$  und  $\varphi_2(t)$. Die beiden gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte
	:$$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}		:$$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
	\boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$		\boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$

	gegeben. Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu $E = 1$ und erhalten somit		gegeben. Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu  $E = 1$  und erhalten somit
	:$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (-1, \hspace{0.1cm}-1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0\hspace{0.05cm}, $$		:$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (-1, \hspace{0.1cm}-1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0\hspace{0.05cm}, $$
	:$$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1\hspace{0.05cm}.$$		:$$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1\hspace{0.05cm}.$$

	Die Nachrichten $m_0$ und $m_1$ sind den so festgelegten Signalen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ eindeutig zugeordnet.		Die Nachrichten  $m_0$  und  $m_1$  sind den so festgelegten Signalen  $\boldsymbol{s}_0$  und  $\boldsymbol{s}_1$  eindeutig zugeordnet.

	Die zwei Rauschkomponenten $n_1(t)$ und $n_2(t)$ seien unabhängig voneinander und jeweils laplace–verteilt mit Parameter $a = 1$:		Die zwei Rauschkomponenten  $n_1(t)$  und  $n_2(t)$  seien unabhängig voneinander und jeweils laplace–verteilt mit Parameter  $a = 1$:
	:$$p_{n_1} (\eta_1) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- \| \eta_1\|} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}		:$$p_{n_1} (\eta_1) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- \| \eta_1\|} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
	p_{n_2} (\eta_2) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- \| \eta_2\|} \hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm}		p_{n_2} (\eta_2) = {1}/{2} \cdot {\rm e}^{- \| \eta_2\|} \hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} \boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (\eta_1, \eta_2) = {1}/{4} \cdot {\rm e}^{- \| \eta_1\|- \| \eta_2\|} \hspace{0.05cm}. $$		\Rightarrow \hspace{0.3cm} \boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (\eta_1, \eta_2) = {1}/{4} \cdot {\rm e}^{- \| \eta_1\|- \| \eta_2\|} \hspace{0.05cm}. $$

	Die Eigenschaften eines solchen Laplace–Rauschens werden in der [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen\| Aufgabe 4.9Z]] noch eingehend behandelt.		Die Eigenschaften eines solchen Laplace–Rauschens werden in der  [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen\| Aufgabe 4.9Z]]  noch eingehend behandelt.

	Das Empfangssignal $\boldsymbol{r}$ setzt sich additiv aus dem Sendesignal $\boldsymbol{s}$ und dem Rauschsignal $\boldsymbol{n}$ zusammen:		Das Empfangssignal  $\boldsymbol{r}$  setzt sich additiv aus dem Sendesignal  $\boldsymbol{s}$  und dem  Rauschsignal  $\boldsymbol{n}$ zusammen:
	:$$\boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \boldsymbol{ s } + \boldsymbol{ n }		:$$\boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \boldsymbol{ s } + \boldsymbol{ n }
	\hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}\boldsymbol{ r } = ( r_1, r_2)		\hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}\boldsymbol{ r } = ( r_1, r_2)
	\hspace{0.05cm},$$		\hspace{0.05cm},\hspace{0.45cm}
	~~:$$~~ \boldsymbol{ s } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} ( s_1, s_2)		\boldsymbol{ s } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} ( s_1, s_2)
	\hspace{0.05cm}, \hspace{0.~~2cm~~}\boldsymbol{ n } = ( n_1, n_2)		\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}\boldsymbol{ n } = ( n_1, n_2)
	\hspace{0.05cm}. $$		\hspace{0.05cm}. $$

	Die entsprechenden Realisierungen sind wie folgt bezeichnet:		Die entsprechenden Realisierungen sind wie folgt bezeichnet:
	:$$\boldsymbol{ s }\text{:} \hspace{0.4cm} (s_{01},s_{02}){\hspace{0.15cm}\rm bzw. \hspace{0.15cm}} (s_{11},s_{12})		:$$\boldsymbol{ s }\text{:} \hspace{0.4cm} (s_{01},s_{02}){\hspace{0.15cm}\rm bzw. \hspace{0.15cm}} (s_{11},s_{12})
	\hspace{0.05cm},$$		\hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm} \boldsymbol{ r }\text{:} \hspace{0.4cm} (\rho_{1},\rho_{2})
	~~:$$~~ \boldsymbol{ r }\text{:} \hspace{0.4cm} (\rho_{1},\rho_{2})		\hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}\boldsymbol{ n }\text{:} \hspace{0.4cm} (\eta_{1},\eta_{2})
	\hspace{0.05cm}, \hspace{0.~~2cm~~}\boldsymbol{ n }\text{:} \hspace{0.4cm} (\eta_{1},\eta_{2})
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Die Entscheidungsregel des MAP– und des ML–Empfängers (beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch) lauten:		Die Entscheidungsregel des MAP– und des ML–Empfängers (beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch) lauten:

	Entscheide für das Symbol $m_0$, falls   $p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} \|m_0 ) >		:Entscheide für das Symbol  $m_0$, falls   $p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} \|m_0 ) >
	p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} \|m_1 ) \hspace{0.05cm}.$		p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} \|m_1 ) \hspace{0.05cm}.$

	Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür (Entscheidung für $m_0$) auch geschrieben werden:		Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür $($Entscheidung für  $m_0)$  auch geschrieben werden:
	:$${1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 +1\|- \| \rho_2 +1\| \hspace{0.1cm} \right ] >		:$${1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 +1\|- \| \rho_2 +1\| \hspace{0.1cm} \right ] >
	{1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 -1\|- \| \rho_2 -1\| \hspace{0.1cm} \right ] $$		{1}/{4} \cdot {\rm exp}\left [- \| \rho_1 -1\|- \| \rho_2 -1\| \hspace{0.1cm} \right ] $$
Zeile 48:		Zeile 47:
	\| \rho_1 -1\|- \| \rho_2 -1\| < 0 \hspace{0.05cm}.$$		\| \rho_1 -1\|- \| \rho_2 -1\| < 0 \hspace{0.05cm}.$$

	Auf diese Funktion $L(\rho_1, \rho_2)$ wird im Fragebogen häufig Bezug genommen.		Auf diese Funktion  $L(\rho_1, \rho_2)$  wird im Fragebogen häufig Bezug genommen.

	Die Grafik zeigt drei verschiedene Entscheidungsregionen $(I_0, I_1)$.		Die Grafik zeigt drei verschiedene Entscheidungsregionen  $(I_0, \ I_1)$.
	*Bei AWGN–Rauschen wäre nur die obere Variante ~~'''~~A~~'''~~ optimal.		*Bei AWGN–Rauschen wäre nur die obere Variante  $\rm A$  optimal.
	*Auch beim ~~hier~~ betrachteten Laplace–Rauschen führt die Variante ~~'''~~A~~'''~~ zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit, siehe [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen\| Aufgabe 4.9Z]] :		*Auch beim betrachteten Laplace–Rauschen führt die Variante  $\rm A$  zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit, siehe  [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen\| Aufgabe 4.9Z]]:
	:$$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} {\rm optimaler\hspace{0.15cm} Empf\ddot{a}nger}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} {\rm optimaler\hspace{0.15cm} Empf\ddot{a}nger}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$

	Zu untersuchen ist, ob die Variante ~~'''~~B~~'''~~ bzw. die Variante ~~'''~~C~~'''~~ ebenfalls optimal ist, das heißt, ob auch deren Fehlerwahrscheinlichkeiten kleinstmöglich gleich $p_{\rm min}$ sind.		*Zu untersuchen ist, ob die Variante  $\rm B$  bzw. die Variante  $\rm C$  ebenfalls optimal ist, das heißt, ob auch deren Fehlerwahrscheinlichkeiten kleinstmöglich gleich  $p_{\rm min}$  sind.



	''~~Hinweise~~:''
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
			''Hinweis:''
			* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].