Aufgaben:Aufgabe 4.09: Entscheidungsregionen bei Laplace - Versionsgeschichte

Guenter am 29. Juli 2022 um 16:25 Uhr

2022-07-29T16:25:18Z

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Guenter am 29. Juli 2022 um 16:02 Uhr

2022-07-29T16:02:42Z

Guenter am 14. März 2019 um 11:57 Uhr

2019-03-14T11:57:45Z

Guenter am 14. März 2019 um 11:09 Uhr

2019-03-14T11:09:47Z

Guenter am 14. März 2019 um 10:59 Uhr

2019-03-14T10:59:11Z

Guenter am 14. März 2019 um 10:35 Uhr

2019-03-14T10:35:15Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:48Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.09 Entscheidungsregionen bei Laplace nach Aufgaben:Aufgabe 4.09: Entscheidungsregionen bei Laplace

2018-01-04T06:35:00Z

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Guenter am 20. November 2017 um 16:40 Uhr

2017-11-20T16:40:32Z

Guenter am 20. November 2017 um 16:12 Uhr

2017-11-20T16:12:31Z

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 [[Datei:P_ID2044__Dig_A_4_9.png|right|frame|Drei Entscheidungsregionen <br>für Laplace]]
-Wir betrachten ein Übertragungssystem, basierend auf den Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_2(t)$. Die beiden gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte
+Wir betrachten ein Übertragungssystem,&nbsp; basierend auf den Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_2(t)$.&nbsp; Die beiden gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte
 :$$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
     \boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$
-gegeben. Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu&nbsp; $E = 1$&nbsp; und erhalten somit
+gegeben.&nbsp; Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu&nbsp; $E = 1$&nbsp; und erhalten somit
 :$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (-1, \hspace{0.1cm}-1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0\hspace{0.05cm}, $$
 :$$   \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 18: / Zeile 18: @@
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} \boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (\eta_1, \eta_2) =  {1}/{4} \cdot  {\rm e}^{- | \eta_1|- | \eta_2|} \hspace{0.05cm}. $$
-Die Eigenschaften eines solchen Laplace&ndash;Rauschens werden in der&nbsp; [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen| Aufgabe 4.9Z]]&nbsp; noch eingehend behandelt.
+Die Eigenschaften eines solchen Laplace&ndash;Rauschens werden in der&nbsp; [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen| "Aufgabe 4.9Z"]]&nbsp; noch eingehend behandelt.
-Das Empfangssignal&nbsp; $\boldsymbol{r}$&nbsp; setzt sich additiv aus dem Sendesignal&nbsp; $\boldsymbol{s}$&nbsp; und dem&nbsp; Rauschsignal&nbsp; $\boldsymbol{n}$ zusammen:
+Das Empfangssignal&nbsp; $\boldsymbol{r}$&nbsp; setzt sich additiv aus dem Sendesignal&nbsp; $\boldsymbol{s}$&nbsp; und dem&nbsp; Rauschsignal&nbsp; $\boldsymbol{n}$&nbsp; zusammen:
 :$$\boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \boldsymbol{ s } + \boldsymbol{ n }
    \hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}\boldsymbol{ r } = ( r_1, r_2)
@@ Zeile 34: / Zeile 34: @@
    \hspace{0.05cm}.$$
-Die Entscheidungsregel des MAP&ndash; und des ML&ndash;Empfängers (beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch) lauten:
+Die Entscheidungsregel des MAP&ndash; und des ML&ndash;Empfängers&nbsp; $($beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch$)$&nbsp; lauten:
-:Entscheide für das Symbol&nbsp; $m_0$, falls &nbsp; $p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) >
+&rArr; &nbsp; Entscheide für das Symbol&nbsp; $m_0$, falls &nbsp; $p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) >
 p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}.$
-Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür $($Entscheidung für&nbsp; $m_0)$&nbsp; auch geschrieben werden:
+&rArr; &nbsp; Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür&nbsp; $($Entscheidung für&nbsp; $m_0)$&nbsp; auch geschrieben werden:
 :$${1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.1cm} \right ] >
     {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.1cm} \right ] $$
@@ Zeile 47: / Zeile 47: @@
     | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
-Auf diese Funktion&nbsp; $L(\rho_1, \rho_2)$&nbsp; wird im Fragebogen häufig Bezug genommen.
+&rArr; &nbsp; Auf diese Funktion&nbsp; $L(\rho_1, \rho_2)$&nbsp; wird im Fragebogen häufiger Bezug genommen.
 Die Grafik zeigt drei verschiedene Entscheidungsregionen&nbsp; $(I_0, \ I_1)$.
-*Bei AWGN&ndash;Rauschen wäre nur die obere Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; optimal.
+:*Bei AWGN&ndash;Rauschen wäre nur die obere Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; optimal.
-*Auch beim betrachteten Laplace&ndash;Rauschen führt die Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit, siehe&nbsp; [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen| Aufgabe 4.9Z]]:
+:*Auch beim betrachteten Laplace&ndash;Rauschen führt die Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit, siehe&nbsp; [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen| "Aufgabe 4.9Z"]]:
-:$$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm optimaler\hspace{0.15cm} Empf\ddot{a}nger}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$
+::$$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm optimaler\hspace{0.15cm} Empf\ddot{a}nger}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$
-*Zu untersuchen ist, ob die Variante &nbsp;$\rm B$&nbsp; bzw. die Variante &nbsp;$\rm C$&nbsp; ebenfalls optimal ist, das heißt, ob auch deren Fehlerwahrscheinlichkeiten kleinstmöglich gleich &nbsp;$p_{\rm min}$&nbsp; sind.
+:*Zu untersuchen ist,&nbsp; ob auch die Variante &nbsp;$\rm B$&nbsp; bzw. die Variante &nbsp;$\rm C$&nbsp; optimal ist,&nbsp; das heißt,&nbsp; ob auch deren Fehlerwahrscheinlichkeiten kleinstmöglich gleich &nbsp;$p_{\rm min}$&nbsp; sind.
+Hinweis:&nbsp; Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit"]].
@@ Zeile 69: / Zeile 66: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche der Entscheidungsregeln sind richtig? Entscheide für&nbsp; $m_0$, falls
+{Welche der Entscheidungsregeln sind richtig?&nbsp; Entscheide für&nbsp; $m_0$,&nbsp; falls
 |type="[]"}
 + $p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_0) > p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_1)$,
@@ Zeile 83: / Zeile 80: @@
 {Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich&nbsp; $-1 &#8804; \rho_1 &#8804; +1$,&nbsp; $-1 &#8804; \rho_2 &#8804; +1$?
 |type="()"}
-+ Entscheidung für&nbsp; $m_0$, falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
++ Entscheidung für&nbsp; $m_0$,&nbsp; falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
-- Entscheidung für&nbsp; $m_1$, falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_1$,&nbsp; falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
 {Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich&nbsp; $\rho_1 > +1$?
@@ Zeile 90: / Zeile 87: @@
 - Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; im gesamten Bereich.
 + Entscheidung für&nbsp; $m_1$&nbsp; im gesamten Bereich.
-- Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; nur, falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_0$,&nbsp;  falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
 {Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich&nbsp; $\rho_1 < \, -1$?
@@ Zeile 96: / Zeile 93: @@
 + Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; im gesamten Bereich.
 - Entscheidung für&nbsp; $m_1$&nbsp; im gesamten Bereich.
-- Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; nur, falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_0$,&nbsp; falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
 {Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich&nbsp; $\rho_2 > +1$?
@@ Zeile 102: / Zeile 99: @@
 - Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; im gesamten Bereich.
 + Entscheidung für&nbsp; $m_1$&nbsp; im gesamten Bereich.
-- Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; nur, falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_0$,&nbsp; falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
 {Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich&nbsp; $\rho_2 <  -1$?
@@ Zeile 108: / Zeile 105: @@
 + Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; im gesamten Bereich.
 - Entscheidung für&nbsp; $m_1$&nbsp; im gesamten Bereich.
-- Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; nur, falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_0$,&nbsp;  falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?

@@ Zeile 190: / Zeile 190: @@
 * Teilgebiet $T_3$: &nbsp;  Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe (6).
 * Teilgebiet $T_4$: &nbsp;  Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe (7).
-* Teilgebiet $T_5$: &nbsp;  Nach dem Ergebnis von Aufgabe (5) sollte man auf $m_0$ entscheiden, nach Aufgabe (6) auf $m_1$. <br>Das bedeutet: Bei Laplace&ndash;Rauschen ist es egal, ob man $T_5$ der Region $I_0$ oder $I_1$ zuordnet.
+* Teilgebiet $T_5$: &nbsp;  Nach Aufgabe (5) sollte man auf $m_0$ entscheiden, nach Aufgabe (6) auf $m_1$ <br>&rArr; &nbsp; Bei Laplace&ndash;Rauschen ist es egal, ob man $T_5$ der Region $I_0$ oder $I_1$ zuordnet.
 * Teilgebiet $T_6$: &nbsp;  Auch dieses Gebiet kann man aufgrund der Ergebnisse von Aufgabe (4) und (7) sowohl der Region $I_0$ als auch der Region $I_1$ zuordnen.
@@ Zeile 201: / Zeile 201: @@
 Vergleicht man diese Grafik mit den Varianten '''A''', '''B''' und '''C''' auf der Angabenseite, so erkennt man,  dass die <u>Vorschläge 1 und 2</u> richtig sind:
 * Die Varianten '''A''' und  '''B''' sind gleich gut. Beide sind optimal. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich in beiden Fällen zu $p_{\rm min} = {\rm e}^{\rm -2}$.
-* Die Variante  '''C''' ist nicht optimal; bezüglich der Teilaufgabe $T_1$ und $T_2$ gibt es Fehlzuordnungen. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist demzufolge größer als $p_{\rm min}$.
+* Die Variante  '''C''' ist nicht optimal; bezüglich der Teilgebiete $T_1$ und $T_2$ gibt es Fehlzuordnungen. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist demzufolge größer als $p_{\rm min}$.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 119: / Zeile 119: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sinddie <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
 *Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichten unter den Bedingungen $m_0$ bzw. $m_1$ lauten:
 :$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 )
@@ Zeile 125: / Zeile 125: @@
 :$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_1 )
 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm}.$$
-*Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen &nbsp;&#8658;&nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$ lautet die MAP&ndash;Entscheidungsregel: <br>Entscheide für das Symbol $m_0$ &nbsp;&#8660;&nbsp; Signal $s_0$, falls
+*Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen &nbsp;&#8658;&nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$ lautet die MAP&ndash;Entscheidungsregel: &nbsp; Entscheide für das Symbol $m_0$ &nbsp;&#8660;&nbsp; Signal $s_0$, falls
 :$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) >
 p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm}
@@ Zeile 139: / Zeile 139: @@
 :$$| x +1|- | x -1| = x +1 -x +1 =2 \hspace{0.05cm}.$$
-Ebenso gilt für $x &#8804; \, &ndash;1$, zum Beispiel $x = \, &ndash;3$:
+*Ebenso gilt für $x &#8804; \, &ndash;1$, zum Beispiel $x = \, &ndash;3$:
 :$$| x +1|- | x -1| = | -3 +1|- | -3 -1| = 2-4 = -2 \hspace{0.05cm}.$$
-Dagegen gilt im mittleren Bereich $&ndash;1 &#8804; x &#8804; +1$:
+*Dagegen gilt im mittleren Bereich $&ndash;1 &#8804; x &#8804; +1$:
 :$$| x+1|- | x -1| = x +1 -1 +x =2x \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 190: / Zeile 190: @@
 * Teilgebiet $T_3$: &nbsp;  Entscheidung auf $m_1$ gemäß Aufgabe (6).
 * Teilgebiet $T_4$: &nbsp;  Entscheidung auf $m_0$ gemäß Aufgabe (7).
-* Teilgebiet $T_5$: &nbsp;  Nach dem Ergebnis von Aufgabe (5) sollte man auf $m_0$ entscheiden, nach Aufgabe (6) auf $m_1$. Das bedeutet: Bei Laplace&ndash;Rauschen ist es egal, ob man $T_5$ der Region $I_0$ oder $I_1$ zuordnet.
+* Teilgebiet $T_5$: &nbsp;  Nach dem Ergebnis von Aufgabe (5) sollte man auf $m_0$ entscheiden, nach Aufgabe (6) auf $m_1$. <br>Das bedeutet: Bei Laplace&ndash;Rauschen ist es egal, ob man $T_5$ der Region $I_0$ oder $I_1$ zuordnet.
 * Teilgebiet $T_6$: &nbsp;  Auch dieses Gebiet kann man aufgrund der Ergebnisse von Aufgabe (4) und (7) sowohl der Region $I_0$ als auch der Region $I_1$ zuordnen.

@@ Zeile 69: / Zeile 69: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche der Entscheidungsregeln sind richtig? Entscheide für $m_0$, falls
+{Welche der Entscheidungsregeln sind richtig? Entscheide für&nbsp; $m_0$, falls
 |type="[]"}
 + $p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_0) > p_{\it r\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m}(\rho_1, \ \rho_2\hspace{0.03cm}|\hspace{0.03cm}m_1)$,
@@ Zeile 75: / Zeile 75: @@
 - $L(\rho_1, \ \rho_2) = \rho_1 + \rho_2 &#8805; 0$.
-{Wie lässt sich der Ausdruck $|x+1| \ -|x \ -1|$ umformen?
+{Wie lässt sich der Ausdruck&nbsp; $|x+1| \ -|x \ -1|$&nbsp; umformen?
 |type="[]"}
-+ Für $x &#8805; +1$ ist $|x + 1| \, -|x -1| = 2$.
++ Für&nbsp; $x &#8805; +1$&nbsp; ist&nbsp; $|x + 1| \, -|x -1| = 2$.
-+ Für $x &#8804; \, -1$ ist $|x+1| \,-|x \, -1| = \, -2$.
++ Für&nbsp; $x &#8804; \, -1$&nbsp; ist&nbsp; $|x+1| \,-|x \, -1| = \, -2$.
-+ Für $-1 &#8804; x &#8804; +1$ ist $|x+1| \, -|x \, -1| = 2x$.
++ Für&nbsp; $-1 &#8804; x &#8804; +1$&nbsp; ist&nbsp; $|x+1| \, -|x \, -1| = 2x$.
-{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $-1 &#8804; \rho_1 &#8804; +1$, $-1 &#8804; \rho_2 &#8804; +1$?
+{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich&nbsp; $-1 &#8804; \rho_1 &#8804; +1$,&nbsp; $-1 &#8804; \rho_2 &#8804; +1$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-+ Entscheidung für $m_0$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
++ Entscheidung für&nbsp; $m_0$, falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
-- Entscheidung für $m_1$, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_1$, falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
-{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_1 > +1$?
+{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich&nbsp; $\rho_1 > +1$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-- Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; im gesamten Bereich.
-+ Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
++ Entscheidung für&nbsp; $m_1$&nbsp; im gesamten Bereich.
-- Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; nur, falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
-{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_1 < \, -1$?
+{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich&nbsp; $\rho_1 < \, -1$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-+ Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
++ Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; im gesamten Bereich.
-- Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_1$&nbsp; im gesamten Bereich.
-- Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; nur, falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
-{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_2 > +1$?
+{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich&nbsp; $\rho_2 > +1$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-- Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; im gesamten Bereich.
-+ Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
++ Entscheidung für&nbsp; $m_1$&nbsp; im gesamten Bereich.
-- Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; nur, falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
-{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich $\rho_2 <  -1$?
+{Wie lautet die Entscheidungsregel im Bereich&nbsp; $\rho_2 <  -1$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-+ Entscheidung für $m_0$ im gesamten Bereich.
++ Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; im gesamten Bereich.
-- Entscheidung für $m_1$ im gesamten Bereich.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_1$&nbsp; im gesamten Bereich.
-- Entscheidung für $m_0$ nur, falls $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
+- Entscheidung für&nbsp; $m_0$&nbsp; nur, falls&nbsp; $\rho_1 + \rho_2 < 0$.
 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Die Variante '''A''' führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
++ Die Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
-+ Die Variante '''B''' führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
++ Die Variante &nbsp;$\rm B$&nbsp; führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
-- Die Variante '''C''' führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
+- Die Variante &nbsp;$\rm C$&nbsp; führt zur minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit.
 </quiz>

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit}}
-[[Datei:P_ID2044__Dig_A_4_9.png|right|frame|Drei Entscheidungsregionen für Laplace]]
+[[Datei:P_ID2044__Dig_A_4_9.png|right|frame|Drei Entscheidungsregionen <br>für Laplace]]
-Wir betrachten ein Übertragungssystem, basierend auf den Basisfunktionen $\varphi_1(t)$ und $\varphi_2(t)$. Die beiden gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte
+Wir betrachten ein Übertragungssystem, basierend auf den Basisfunktionen&nbsp; $\varphi_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $\varphi_2(t)$. Die beiden gleichwahrscheinlichen Sendesignale sind durch die Signalpunkte
 :$$\boldsymbol{ s }_0 = (-\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}-\sqrt{E})\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
     \boldsymbol{ s }_1 = (+\sqrt{E}, \hspace{0.1cm}+\sqrt{E})\hspace{0.05cm}$$
-gegeben. Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu $E = 1$ und erhalten somit
+gegeben. Im Folgenden normieren wir zur Vereinfachung den Energieparameter zu&nbsp; $E = 1$&nbsp; und erhalten somit
 :$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} (-1, \hspace{0.1cm}-1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0\hspace{0.05cm}, $$
 :$$   \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  (+1, \hspace{0.1cm}+1)\hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1\hspace{0.05cm}.$$
-Die Nachrichten $m_0$ und $m_1$ sind den so festgelegten Signalen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ eindeutig zugeordnet.
+Die Nachrichten&nbsp; $m_0$&nbsp; und&nbsp; $m_1$&nbsp; sind den so festgelegten Signalen&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; eindeutig zugeordnet.
-Die zwei Rauschkomponenten $n_1(t)$ und $n_2(t)$ seien unabhängig voneinander und jeweils laplace&ndash;verteilt mit Parameter $a = 1$:
+Die zwei Rauschkomponenten&nbsp; $n_1(t)$&nbsp; und&nbsp; $n_2(t)$&nbsp; seien unabhängig voneinander und jeweils laplace&ndash;verteilt mit Parameter&nbsp; $a = 1$:
 :$$p_{n_1} (\eta_1) =  {1}/{2} \cdot  {\rm e}^{- | \eta_1|} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
   p_{n_2} (\eta_2) = {1}/{2} \cdot  {\rm e}^{- | \eta_2|} \hspace{0.05cm} \hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} \boldsymbol{ p }_{\boldsymbol{ n }} (\eta_1, \eta_2) =  {1}/{4} \cdot  {\rm e}^{- | \eta_1|- | \eta_2|} \hspace{0.05cm}. $$
-Die Eigenschaften eines solchen Laplace&ndash;Rauschens werden in der [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen| Aufgabe 4.9Z]] noch eingehend behandelt.
+Die Eigenschaften eines solchen Laplace&ndash;Rauschens werden in der&nbsp; [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen| Aufgabe 4.9Z]]&nbsp; noch eingehend behandelt.
-Das Empfangssignal $\boldsymbol{r}$ setzt sich additiv aus dem Sendesignal $\boldsymbol{s}$ und dem Rauschsignal $\boldsymbol{n}$ zusammen:
+Das Empfangssignal&nbsp; $\boldsymbol{r}$&nbsp; setzt sich additiv aus dem Sendesignal&nbsp; $\boldsymbol{s}$&nbsp; und dem&nbsp; Rauschsignal&nbsp; $\boldsymbol{n}$ zusammen:
 :$$\boldsymbol{ r } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} \boldsymbol{ s } + \boldsymbol{ n }
    \hspace{0.05cm}, \hspace{0.45cm}\boldsymbol{ r } = ( r_1, r_2)
-   \hspace{0.05cm},$$
+   \hspace{0.05cm},\hspace{0.45cm}
-:$$ \boldsymbol{ s } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} ( s_1, s_2)
+ \boldsymbol{ s } \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} ( s_1, s_2)
-   \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\boldsymbol{ n } = ( n_1, n_2)
+   \hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}\boldsymbol{ n } = ( n_1, n_2)
    \hspace{0.05cm}. $$
 Die entsprechenden Realisierungen sind wie folgt bezeichnet:
 :$$\boldsymbol{ s }\text{:} \hspace{0.4cm} (s_{01},s_{02}){\hspace{0.15cm}\rm bzw. \hspace{0.15cm}} (s_{11},s_{12})
-   \hspace{0.05cm},$$
+   \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm} \boldsymbol{ r }\text{:} \hspace{0.4cm}  (\rho_{1},\rho_{2})
-:$$ \boldsymbol{ r }\text{:} \hspace{0.4cm}  (\rho_{1},\rho_{2})
+   \hspace{0.05cm}, \hspace{0.8cm}\boldsymbol{ n }\text{:} \hspace{0.4cm}  (\eta_{1},\eta_{2})
    \hspace{0.05cm}.$$
 Die Entscheidungsregel des MAP&ndash; und des ML&ndash;Empfängers (beide sind aufgrund der gleichen Symbolwahrscheinlichkeiten identisch) lauten:
-Entscheide für das Symbol $m_0$, falls &nbsp; $p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) >
+:Entscheide für das Symbol&nbsp; $m_0$, falls &nbsp; $p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) >
 p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}.$
-Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür (Entscheidung für $m_0$) auch geschrieben werden:
+Mit den weiteren Voraussetzungen kann hierfür $($Entscheidung für&nbsp; $m_0)$&nbsp; auch geschrieben werden:
 :$${1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.1cm} \right ] >
     {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.1cm} \right ] $$
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     | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
-Auf diese Funktion $L(\rho_1, \rho_2)$ wird im Fragebogen häufig Bezug genommen.
+Auf diese Funktion&nbsp; $L(\rho_1, \rho_2)$&nbsp; wird im Fragebogen häufig Bezug genommen.
-Die Grafik zeigt drei verschiedene Entscheidungsregionen $(I_0, I_1)$.
+Die Grafik zeigt drei verschiedene Entscheidungsregionen&nbsp; $(I_0, \ I_1)$.
-*Bei AWGN&ndash;Rauschen wäre nur die obere Variante '''A''' optimal.
+*Bei AWGN&ndash;Rauschen wäre nur die obere Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; optimal.
-*Auch beim hier betrachteten Laplace&ndash;Rauschen führt die Variante '''A''' zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit, siehe [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen| Aufgabe 4.9Z]] :
+*Auch beim betrachteten Laplace&ndash;Rauschen führt die Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; zur kleinstmöglichen Fehlerwahrscheinlichkeit, siehe&nbsp; [[Aufgaben:4.09Z_Laplace-verteiltes_Rauschen| Aufgabe 4.9Z]]:
 :$$p_{\rm min} = {\rm Pr}({\cal{E}} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} {\rm optimaler\hspace{0.15cm} Empf\ddot{a}nger}) = {\rm e}^{-2} \approx 13.5\,\%\hspace{0.05cm}.$$
-Zu untersuchen ist, ob die Variante '''B''' bzw. die Variante '''C''' ebenfalls optimal ist, das heißt, ob auch deren Fehlerwahrscheinlichkeiten kleinstmöglich gleich $p_{\rm min}$ sind.
+*Zu untersuchen ist, ob die Variante &nbsp;$\rm B$&nbsp; bzw. die Variante &nbsp;$\rm C$&nbsp; ebenfalls optimal ist, das heißt, ob auch deren Fehlerwahrscheinlichkeiten kleinstmöglich gleich &nbsp;$p_{\rm min}$&nbsp; sind.
-''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].

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(kein Unterschied)

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Verbundwahrscheinlichkeitsdichten unter den Bedingungen $m_0$ bzw. $m_1$ lauten:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sinddie <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
 :$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 )
 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm},$$
 :$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_1 )
 \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1| \hspace{0.05cm} \right ]\hspace{0.05cm}.$$
+*Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen &nbsp;&#8658;&nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$ lautet die MAP&ndash;Entscheidungsregel: <br>Entscheide für das Symbol $m_0$ &nbsp;&#8660;&nbsp; Signal $s_0$, falls
 :$$p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } ( \rho_{1},\rho_{2} |m_0 ) >
-p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}$$
+p_{\boldsymbol{ r} \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m } (\rho_{1},\rho_{2} |m_1 ) \hspace{0.05cm}\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}  {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ] >
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}  {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 +1|- | \rho_2 +1| \hspace{0.05cm} \right ] >
     {1}/{4} \cdot  {\rm exp}\left [- | \rho_1 -1|- | \rho_2 -1|\hspace{0.05cm} \right ] $$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}   | \rho_1 +1|+ | \rho_2 +1| <
-    | \rho_1 -1|+ | \rho_2 -1|$$
+    | \rho_1 -1|+ | \rho_2 -1|\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}  L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1|-
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}  L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1|-
     | \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
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-'''(3)'''&nbsp; Das Ergebnis von Teilaufgabe (1) lautete: Entscheide für das Symbol $m_0$, falls
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 :$$L (\rho_1, \rho_2) = | \rho_1 +1| -
     | \rho_1 -1|+ | \rho_2 +1| - | \rho_2 -1| < 0 \hspace{0.05cm}.$$
+*Im betrachteten (inneren) Bereich $-1 &#8804; \rho_1 &#8804; +1$, $-1 &#8804; \rho_2 &#8804; +1$ gilt mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2):
 :$$| \rho_1+1| - | \rho_1 -1| = 2\rho_1 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} | \rho_2+1| - | \rho_2 -1| = 2\rho_2 \hspace{0.05cm}.$$
-Setzt man dieses Ergebnis oben ein, so ist genau dann für $m_0$ zu entscheiden, falls
+*Setzt man dieses Ergebnis oben ein, so ist genau dann für $m_0$ zu entscheiden, falls
 :$$L (\rho_1, \rho_2) = 2 \cdot ( \rho_1+\rho_2) < 0
   \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} \rho_1+\rho_2 < 0\hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Nach ähnlicher Rechnung wie in der Teilaufgabe (3) kommt man zum Ergebnis:
+'''(5)'''&nbsp; Richtig ist hier der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 :$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_2 \le 0  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
-    {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm},$$
+    {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$
+'''(6)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>: Entscheidung auf $m_1$.
-'''(6)'''&nbsp; Ähnlich der Teilaufgabe (4) gilt hier:
+*Ähnlich der Teilaufgabe (4) gilt hier:
 :$$D_1 = | \rho_1 +1| -    | \rho_1 -1| \in \{-2, ... \hspace{0.05cm} , +2 \}
    \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}L (\rho_1, \rho_2) = 2 + D_1 \ge 0
    \hspace{0.05cm}.$$
+'''(7)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>: Entscheidung auf $m_0$.
-'''(7)'''&nbsp; Nach ähnlicher Überlegung wie in der letzten Teilaufgabe kommt man zum Ergebnis:
+*Nach ähnlicher Überlegung wie in der letzten Teilaufgabe kommt man zum Ergebnis:
 :$$L (\rho_1, \rho_2) = -2 + D_1 \le 0  \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}
     {\rm Entscheidung\hspace{0.15cm} auf\hspace{0.15cm}} m_0\hspace{0.05cm}.$$
-Dies entspricht dem <u>Lösungsvorschlag 1</u>.
-'''(8)'''&nbsp; Die Ergebnisse der Teilaufgaben (3) bis (7) sind in der folgenden Grafik zusammengefasst:
+Man erkennt:
-* <b>Teilgebiet <i>T_0</i> :</b> Entscheidung auf $m_0$ bzw. $m_1$ gemäß Aufgabe (3).
+*Für die Teilaufgabe $T_0$,  ... $T_4$ gibt es eine feste Zuordnung zu den Entscheidungsregionen $I_0$ (rot) bzw. $I_1$ (blau).
-[[Datei:P_ID2050__Dig_A_4_9h.png|right|frame|Zusammenfassung der Ergebnisse]]
+*Dagegen können die beiden gelb markierten Bereiche $T_5$ und $T_6$ ohne Verlust an Optimalität sowohl $I_0$ als auch $I_1$ zugeordnet werden.
-Für die Teilaufgabe $T_0, \ ... \ , T_4$ gibt es eine feste Zuordnung zu den Entscheidungsregionen $I_0$ (rot) bzw. $I_1$ (blau). Dagegen können die beiden gelb markierten Bereiche $T_5$ und $T_6$ ohne Verlust an Optimalität sowohl $I_0$ als auch $I_1$ zugeordnet werden. Vergleicht man diese Grafik mit den Varianten <b><i>A, B</i></b> und <b><i>C</i></b> auf der Angabenseite, so erhält man das Ergebnis:
+Vergleicht man diese Grafik mit den Varianten '''A''', '''B''' und '''C''' auf der Angabenseite, so erkennt man,  dass die <u>Vorschläge 1 und 2</u> richtig sind:
-* Die Varianten <b><i>A</i></b> und <b><i>B</i></b> sind gleich gut und beide sind optimal. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich in beiden Fällen zu $p_{\rm min} = {\rm e}^{\rm &ndash;2}$.
+* Die Varianten '''A''' und  '''B''' sind gleich gut. Beide sind optimal. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich in beiden Fällen zu $p_{\rm min} = {\rm e}^{\rm -2}$.
-* Die Variante <b><i>C</i></b> ist nicht optimal; bezüglich der Teilaufgabe $T_1$ und $T_2$ gibt es Fehlzuordnungen. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist demzufolge größer als $p_{\rm min}$. Richtig sind also die <u>Vorschläge 1 und 2</u>.
+* Die Variante  '''C''' ist nicht optimal; bezüglich der Teilaufgabe $T_1$ und $T_2$ gibt es Fehlzuordnungen. Die Fehlerwahrscheinlichkeit ist demzufolge größer als $p_{\rm min}$.
 {{ML-Fuß}}