Aufgaben:Aufgabe 4.08Z: Fehlerwahrscheinlichkeit bei drei Symbolen - Versionsgeschichte

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Guenter am 13. März 2019 um 17:02 Uhr

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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-''Hinweise:''
+Hinweise:
 * Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit"]].
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-[[Datei:P_ID2039__Dig_Z_4_8b.png|right|frame|Rauschgebiete mit $A = 0.75$]]
+[[Datei:P_ID2039__Dig_Z_4_8b.png|right|frame|Rauschgebiete mit&nbsp; $A = 0.75$]]
-'''(1)'''&nbsp; Das Volumen der 2D&ndash;WDF muss $p_n(x, y) =1$ ergeben, das heißt:
+'''(1)'''&nbsp; Das Volumen der 2D&ndash;WDF muss&nbsp; $p_n(x, y) =1$&nbsp; ergeben,&nbsp; das heißt:
 :$$2A \cdot 2A  \cdot K = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K = \frac{1}{4A^2}\hspace{0.05cm}.$$
-*Mit $A = 0.75$ &nbsp; &#8658; &nbsp;  $2A = 3/2$ erhält man $K = 4/9 \ \underline {=0.444}$.
+*Mit&nbsp; $A = 0.75$ &nbsp; &#8658; &nbsp;  $2A = 3/2$ erhält man&nbsp; $K = 4/9 \ \underline {=0.444}$.
-'''(2)'''&nbsp; In nebenstehender Grafik ist die Rauschkomponente $\boldsymbol{n}$ durch die Quadrate der Kantenlänge $1.5$ um die 2D&ndash;Signalraumpunkte $\boldsymbol{s}_i$ eingezeichnet.
+'''(2)'''&nbsp; In nebenstehender Grafik ist die Rauschkomponente&nbsp; $\boldsymbol{n}$&nbsp; durch die Quadrate der Kantenlänge&nbsp; $1.5$&nbsp; um die 2D&ndash;Signalraumpunkte&nbsp; $\boldsymbol{s}_i$&nbsp; eingezeichnet.
-*Man erkennt, dass keine Entscheidungsgrenze durch Rauschkomponenten überschritten wird.
+*Man erkennt,&nbsp; dass keine Entscheidungsgrenze durch Rauschkomponenten überschritten wird.
 *Daraus folgt: &nbsp;Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ist unter den hier gegebenen Voraussetzungen $p_{\rm S}\ \underline { \equiv  0}$.
-'''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 2 und 4</u>, wie aus der unteren Grafik abgelesen werden kann:
+* Ebenso wurde mit Sicherheit&nbsp; $m_2$&nbsp; gesendet,&nbsp; wenn der Empfangswert im Entscheidungsgebiet&nbsp; $I_2$&nbsp; liegt. <br>Der Grund:&nbsp; Keines der Quadrate um&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; reicht bis in das Gebiet&nbsp; $I_2$&nbsp; hinein.
-* Die Nachricht $m_2$ kann nicht verfälscht werden, da das Quadrat um $\boldsymbol{s}_2$ vollständig im rechten unteren Quadranten und damit im Entscheidungsgebiet $I_2$ liegt.
-* Ebenso wurde mit Sicherheit $m_2$ gesendet, wenn der Empfangswert im Entscheidungsgebiet $I_2$ liegt. <br>Der Grund: Keines der Quadrate um $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ reicht bis in das Gebiet $I_2$ hinein.
+* $m_0$&nbsp; kann nur zu&nbsp; $m_1$&nbsp; verfälscht werden.&nbsp; Die (bedingte) Verfälschungswahrscheinlichkeit ist gleich dem Verhältnis der Flächen des kleinen gelben Dreiecks&nbsp; $($Fläche&nbsp; $1/16)$&nbsp; und des Quadrats&nbsp; $($Fläche&nbsp; $4)$:
 :$${\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) = \frac{1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/4}{4}= {1}/{64}
   \hspace{0.05cm}.$$
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-'''(4)'''&nbsp; Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen erhält man für die (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit:
+'''(4)'''&nbsp; Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen erhält man für die&nbsp; (mittlere)&nbsp; Fehlerwahrscheinlichkeit:
 :$$p_{\rm S}  = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {1}/{3} \cdot \big [{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) +  {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_1 )+{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_2 )\big ]$$
 :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm S}  = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {1}/{3} \cdot \left [{1}/{64} +  {1}/{64} + 0 )\right ]= \frac{2}{3 \cdot 64} = {1}/{96}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.04 \%} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Nun ergibt sich eine kleinere mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit, nämlich
+'''(5)'''&nbsp; Nun ergibt sich eine kleinere mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit,&nbsp; nämlich
 :$$p_{\rm S}  = {\rm Pr}({ \cal E} )  = {1}/{4} \cdot {1}/{64} +  {1}/{4} \cdot {1}/{64}+ {1}/{2} \cdot0 = {1}/{128}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.78 \% } \hspace{0.05cm}. $$
 '''(6)'''&nbsp; <u>Richtig ist JA</u>:
 *Beispielsweise ergäbe sich durch &nbsp; &nbsp; $I_1$: erster Quadrant, &nbsp; &nbsp;  $I_0$: zweiter Quadrant, &nbsp; &nbsp;  $I_2 \text{:} \ y < 0$ &nbsp; &nbsp;  die Fehlerwahrscheinlichkeit Null.
 *Das bedeutet, dass die vorgegebenen Grenzen nur bei zirkulär symmetrischer WDF des Rauschens optimal sind, zum Beispiel beim AWGN&ndash;Kanal.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2037__Dig_Z_4_8.png|right|frame|Entscheidungsregionen bei&nbsp; $M = 3$ Symbolen]]
-Die Grafik zeigt die genau gleiche Signalraumkonstellation wie in&nbsp; [[Aufgaben:4.8_Entscheidungsregionen| "Aufgabe 4.8"]]:
+Die Grafik zeigt die genau gleiche Signalraumkonstellation wie in&nbsp; [[Aufgaben:Aufgabe_4.08:_Entscheidungsregionen_bei_drei_Symbolen| "Aufgabe 4.8"]]:
 * die&nbsp; $M = 3$&nbsp; möglichen Sendesignale,&nbsp; nämlich
 :$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, \hspace{0.1cm}1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}

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 [[Datei:P_ID2037__Dig_Z_4_8.png|right|frame|Entscheidungsregionen bei&nbsp; $M = 3$ Symbolen]]
-Die Grafik zeigt die genau gleiche Signalraumkonstellation wie in der&nbsp; [[Aufgaben:4.8_Entscheidungsregionen| Aufgabe 4.8]]:
+Die Grafik zeigt die genau gleiche Signalraumkonstellation wie in&nbsp; [[Aufgaben:4.8_Entscheidungsregionen| "Aufgabe 4.8"]]:
-* die&nbsp; $M = 3$&nbsp; möglichen Sendesignale, nämlich
+* die&nbsp; $M = 3$&nbsp; möglichen Sendesignale,&nbsp; nämlich
 :$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, \hspace{0.1cm}1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
     \boldsymbol{ s }_1 = (1, \hspace{0.1cm}2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
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-Die beiden Achsen des 2D&ndash;Signalraums sind hier vereinfachend mit&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; bezeichnet; eigentlich müsste hierfür&nbsp; $\varphi_1(t)/\sqrt {E}$&nbsp; bzw.&nbsp; $\varphi_2(t)/\sqrt {E}$&nbsp; geschrieben werden.
+Die beiden Achsen des 2D&ndash;Signalraums sind hier vereinfachend mit&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; bezeichnet;&nbsp; <br>eigentlich müsste hierfür&nbsp; $\varphi_1(t)/\sqrt {E}$&nbsp; bzw.&nbsp; $\varphi_2(t)/\sqrt {E}$&nbsp; geschrieben werden.
 Diese Entscheidungsgrenzen sind optimal unter den beiden Voraussetzungen:
 * gleichwahrscheinliche Symbolwahrscheinlichkeiten,
 * zirkulär&ndash;symmetrische WDF des Rauschens (z.B. AWGN).
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 \\  {\rm sonst}   \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
 *Ein solches amplitudenbegrenztes Rauschen ist zwar ohne jede praktische Bedeutung.
 *Es ermöglicht jedoch eine Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung ohne umfangreiche Integrale, aus der das Prinzip der Vorgehensweise erkennbar wird.
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 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
+* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit"]].
 * Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:
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 |type="[]"}
 - Alle Nachrichten&nbsp; $m_i$&nbsp; werden in gleicher Weise verfälscht.
-+ Bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr(Fehler} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_0) = 1/64$.
++ Bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr({ \cal E}} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_0) = 1/64$.
-- Bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr(Fehler} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_1) = 0$.
+- Bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr({ \cal E}} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_1) = 0$.
-+ Bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr(Fehler} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_2) = 0$.
++ Bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr({ \cal E}} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_2) = 0$.
 {Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit&nbsp; $A=1$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = {\rm Pr}(m_2) = 1/3$?

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-'''(2)'''&nbsp; In nebenstehender Grafik ist die Rauschkomponente $\boldsymbol{n}$ durch die Quadrate der Kantenlänge $1.5$ um die 2D&ndash;Signalraumpunkte $\boldsymbol{s}_i$ eingezeichnet. Man erkennt, dass keine Entscheidungsgrenze durch Rauschkomponenten überschritten wird. Daraus folgt: Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ist unter den hier gegebenen Voraussetzungen $p_{\rm S}\ \underline { \equiv  0}$.
+'''(2)'''&nbsp; In nebenstehender Grafik ist die Rauschkomponente $\boldsymbol{n}$ durch die Quadrate der Kantenlänge $1.5$ um die 2D&ndash;Signalraumpunkte $\boldsymbol{s}_i$ eingezeichnet.
 '''(3)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 2 und 4</u>, wie aus der unteren Grafik abgelesen werden kann:
 * Die Nachricht $m_2$ kann nicht verfälscht werden, da das Quadrat um $\boldsymbol{s}_2$ vollständig im rechten unteren Quadranten und damit im Entscheidungsgebiet $I_2$ liegt.
-* Ebenso wurde mit Sicherheit $m_2$ gesendet, wenn der Empfangswert im Entscheidungsgebiet $I_2$ liegt. Der Grund: Keines der Quadrate um $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ reicht bis in das Gebiet $I_2$ hinein.
+* Ebenso wurde mit Sicherheit $m_2$ gesendet, wenn der Empfangswert im Entscheidungsgebiet $I_2$ liegt. <br>Der Grund: Keines der Quadrate um $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ reicht bis in das Gebiet $I_2$ hinein.
 * $m_0$ kann nur zu $m_1$ verfälscht werden. Die (bedingte) Verfälschungswahrscheinlichkeit ist gleich dem Verhältnis der Flächen des gelben Dreiecks (Fläche $1/16$) und des Quadrats (Fläche 4):
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 '''(4)'''&nbsp; Bei gleichwahrscheinlichen Symbolen erhält man für die (mittlere) Fehlerwahrscheinlichkeit:
-:$$p_{\rm S}  = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {1}/{3} \cdot \left [{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) +  {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_1 )+{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_2 )\right ]$$
+:$$p_{\rm S}  = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {1}/{3} \cdot \big [{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_0 ) +  {\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_1 )+{\rm Pr}({ \cal E}\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} m_2 )\big ]$$
 :$$ \Rightarrow \hspace{0.3cm} p_{\rm S}  = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {1}/{3} \cdot \left [{1}/{64} +  {1}/{64} + 0 )\right ]= \frac{2}{3 \cdot 64} = {1}/{96}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.04 \%} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 113: / Zeile 115: @@
 '''(6)'''&nbsp; <u>Richtig ist JA</u>:
-*Beispielsweise ergäbe sich durch $I_1$: erster Quadrant, $I_0$: zweiter Quadrant, $I_2 \text{:} \ y < 0$ die Fehlerwahrscheinlichkeit Null.
+*Beispielsweise ergäbe sich durch &nbsp; &nbsp; $I_1$: erster Quadrant, &nbsp; &nbsp;  $I_0$: zweiter Quadrant, &nbsp; &nbsp;  $I_2 \text{:} \ y < 0$ &nbsp; &nbsp;  die Fehlerwahrscheinlichkeit Null.
 *Das bedeutet, dass die vorgegebenen Grenzen nur bei zirkulär symmetrischer WDF des Rauschens optimal sind, zum Beispiel beim AWGN&ndash;Kanal.
 {{ML-Fuß}}

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Das Volumen der 2D&ndash;WDF muss $p_n(x, y) =1$ ergeben, das heißt:
 :$$2A \cdot 2A  \cdot K = 1 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K = \frac{1}{4A^2}\hspace{0.05cm}.$$
-Mit $A = 0.75$ &nbsp; &#8658; &nbsp;  $2A = 3/2$ erhält man $K = 4/9 \ \underline {=0.444}$.
+*Mit $A = 0.75$ &nbsp; &#8658; &nbsp;  $2A = 3/2$ erhält man $K = 4/9 \ \underline {=0.444}$.
 '''(2)'''&nbsp; In nebenstehender Grafik ist die Rauschkomponente $\boldsymbol{n}$ durch die Quadrate der Kantenlänge $1.5$ um die 2D&ndash;Signalraumpunkte $\boldsymbol{s}_i$ eingezeichnet. Man erkennt, dass keine Entscheidungsgrenze durch Rauschkomponenten überschritten wird. Daraus folgt: Die Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ist unter den hier gegebenen Voraussetzungen $p_{\rm S}\ \underline { \equiv  0}$.

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 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit}}
-[[Datei:P_ID2037__Dig_Z_4_8.png|right|frame|Entscheidungsregionen bei $M = 3$ Symbolen]]
+[[Datei:P_ID2037__Dig_Z_4_8.png|right|frame|Entscheidungsregionen bei&nbsp; $M = 3$ Symbolen]]
-Die Grafik zeigt die genau gleiche Signalraumkonstellation wie in der [[Aufgaben:4.8_Entscheidungsregionen| Aufgabe 4.8]]:
+Die Grafik zeigt die genau gleiche Signalraumkonstellation wie in der&nbsp; [[Aufgaben:4.8_Entscheidungsregionen| Aufgabe 4.8]]:
-* die $M = 3$ möglichen Sendesignale, nämlich
+* die&nbsp; $M = 3$&nbsp; möglichen Sendesignale, nämlich
 :$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, \hspace{0.1cm}1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
     \boldsymbol{ s }_1 = (1, \hspace{0.1cm}2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
     \boldsymbol{ s }_2 = (2, \hspace{0.1cm}-1)\hspace{0.05cm}.$$
-* die $M = 3$ Entscheidungsgrenzen
+* die&nbsp; $M = 3$&nbsp; Entscheidungsgrenzen
 :$$G_{01}\text{:} \hspace{0.4cm} y \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} 1.5 - 2 \cdot x\hspace{0.05cm},$$
 :$$G_{02}\text{:} \hspace{0.4cm} y \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} -0.75 +1.5 \cdot x\hspace{0.05cm},$$
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-Die beiden Achsen des 2D&ndash;Signalraums sind hier vereinfachend mit $x$ und $y$ bezeichnet; eigentlich müsste hierfür $\varphi_1(t)/\sqrt {E}$ bzw. $\varphi_2(t)/\sqrt {E}$ geschrieben werden.
+Die beiden Achsen des 2D&ndash;Signalraums sind hier vereinfachend mit&nbsp; $x$&nbsp; und&nbsp; $y$&nbsp; bezeichnet; eigentlich müsste hierfür&nbsp; $\varphi_1(t)/\sqrt {E}$&nbsp; bzw.&nbsp; $\varphi_2(t)/\sqrt {E}$&nbsp; geschrieben werden.
-Diese Entscheidungsgrenzen sind optimal unter den Voraussetzungen
+Diese Entscheidungsgrenzen sind optimal unter den beiden Voraussetzungen:
-* gleichwahrscheinliche Symbolwahrscheinlichkeiten
+* gleichwahrscheinliche Symbolwahrscheinlichkeiten,
 * zirkulär&ndash;symmetrische WDF des Rauschens (z.B. AWGN).
@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
 \\  {\rm sonst}   \hspace{0.05cm}.\\ \end{array}$$
-Ein solches amplitudenbegrenztes Rauschen ist zwar ohne jede praktische Bedeutung. Es ermöglicht jedoch eine Fehlerwahrscheinlichkeitsberechnung ohne umfangreiche Integrale, aus der das Prinzip der Vorgehensweise erkennbar wird.
+*Ein solches amplitudenbegrenztes Rauschen ist zwar ohne jede praktische Bedeutung.
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
+* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
 * Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welchen Wert besitzt die Konstante $K$ für $A = 0.75$?
+{Welchen Wert besitzt die Konstante&nbsp; $K$&nbsp; für &nbsp;$A = 0.75$?
 |type="{}"}
 $\boldsymbol{K} \ = \ $ { 0.444 3% }
-{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $A = 0.75$?
+{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit&nbsp; $A = 0.75$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \ = \ $ { 0. } $\ \%$
-{Welche Aussagen sind für $A = 1$ zutreffend?
+{Welche Aussagen sind für&nbsp; $A = 1$&nbsp; zutreffend?
 |type="[]"}
-- Alle Nachrichten $m_i$ werden in gleicher Weise verfälscht.
+- Alle Nachrichten&nbsp; $m_i$&nbsp; werden in gleicher Weise verfälscht.
-+ Die bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit ${\rm Pr(Fehler} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_0) = 1/64$.
++ Bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr(Fehler} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_0) = 1/64$.
-- Die bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit ${\rm Pr(Fehler} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_1) = 0$.
+- Bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr(Fehler} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_1) = 0$.
-+ Die bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit ${\rm Pr(Fehler} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_2) = 0$.
++ Bedingte Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; ${\rm Pr(Fehler} \hspace{0.05cm} | \hspace{0.05cm}  {\it m}_2) = 0$.
-{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $A=1$ und ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = {\rm Pr}(m_2) = 1/3$?
+{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit&nbsp; $A=1$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = {\rm Pr}(m_2) = 1/3$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \ = \ $ { 1.04 3% } $\ \%$
-{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $A=1$ und ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 1/4, {\rm Pr}(m_2) = 1/2$?
+{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit&nbsp; $A=1$&nbsp; und &nbsp;${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 1/4$ &nbsp;sowie&nbsp; ${\rm Pr}(m_2) = 1/2$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \ = \ $ { 0.78 3% } $\ \%$

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(kein Unterschied)

← Nächstältere Version	Version vom 21. November 2017, 09:29 Uhr
(kein Unterschied)