Aufgaben:Aufgabe 4.08: Wiederholung zu den Faltungscodes - Versionsgeschichte

Guenter am 9. Juli 2019 um 11:45 Uhr

2019-07-09T11:45:45Z

Guenter am 9. Juli 2019 um 11:34 Uhr

2019-07-09T11:34:35Z

Tasnad: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „“

2018-05-29T11:36:24Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „“

Guenter am 31. Januar 2018 um 12:41 Uhr

2018-01-31T12:41:46Z

Guenter am 31. Januar 2018 um 12:10 Uhr

2018-01-31T12:10:42Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.08 Wiederholung zu den Faltungscodes nach Aufgaben:Aufgabe 4.08: Wiederholung zu den Faltungscodes

2018-01-04T06:54:41Z

Guenter verschob die Seite 4.08 Wiederholung zu den Faltungscodes nach Aufgabe 4.08: Wiederholung zu den Faltungscodes

Hussain am 11. Dezember 2017 um 08:33 Uhr

2017-12-11T08:33:59Z

Hussain am 11. Dezember 2017 um 08:26 Uhr

2017-12-11T08:26:50Z

Hussain am 11. Dezember 2017 um 08:25 Uhr

2017-12-11T08:25:44Z

Hussain am 11. Dezember 2017 um 08:13 Uhr

2017-12-11T08:13:43Z

@@ Zeile 72: / Zeile 72: @@
 *Für ein nichtrekursives Filter mit Gedächtnis $m$ gilt $g_i &equiv; 0$ für $i > m$. In unserem Beispiel ist $m = 2$.
 *Der Lösungsvorschlag 1 gilt dagegen für das rekursive Filter (RSC) entsprechend der [[Aufgaben:4.09_Wiederholung_zu_den_RSC-Codes| Aufgabe 4.9]].
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   \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u> im Gegensatz zur Antwort 3: Für $u_7 = 1$ gilt $p_7 = 1, \ p_8 = 0, \ p_9 = 1$ und $p_i &equiv; 0$ für $i > 9$.
+Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u> im Gegensatz zur Antwort 3:
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 [[Datei:P_ID3038__KC_A_4_8c_v1.png|center|frame|Drei Beispiele für Rate–1/2–Faltungscodierer]]
-In der Grafik ist der hier betrachtete Coder als Coder $\rm A$ links dargestellt. Dieser
+In der Grafik ist der hier betrachtete Coder als Coder $\rm A$ links dargestellt.
-* ist ebenso wie der Coder $\rm B$ systematisch,
+* Dieser ist ebenso wie der Coder $\rm B$ systematisch, und
 * basiert im Gegensatz zu Coder $\rm B$ aber auf einem nichtrekursiven Filter.
 *Der Coder $\rm C$ hat ebenfalls eine nichtrekursive Struktur, ist aber nicht systematisch.
 *Die äquivalente systematische Repräsentation von Coder $\rm C$ ist der Coder $\rm B$.
 '''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Die Aufgabe könnte in gleicher Weise gelöst werden wie die Teilaufgabe (2). Wir wählen hier aber zur Abwechslung den Weg über die $D$&ndash;Transformation:
+*Die Aufgabe könnte in gleicher Weise gelöst werden wie die Teilaufgabe (2).
 :$$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
 U(D) =  1+  D^2 + D^5$$
@@ Zeile 113: / Zeile 118: @@
 U(D) \cdot G(D) = (1+  D^2 + D^5) \cdot (1+  D^2 ) =1+  D^2 + D^5 + D^2 + D^4 + D^7 = 1+  D^4 + D^5 +  D^7$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{p}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Die freie Distanz $d_{\rm F}$ eines Faltungscoders ist gleich der Anzahl der Bits, durch die sich zwei beliebigen Sequenzen dieses Codes mindestens unterscheiden.
-*Gehen wir wie allgemein üblich als Bezugsgröße von der Nullsequenz $\underline{0} \ \Rightarrow \ S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; \ \text{ ...} \ $ aus, so ergibt sich $d_{\rm F}$ gleichzeitig als das minimale Hamming&ndash;Gewicht (Anzahl der Einsen) einer zulässigen Codesequenz $\underline{x} &ne; \underline{0}$.
+*Gehen wir wie allgemein üblich als Bezugsgröße von der Nullsequenz&nbsp; $\underline{0} \ \Rightarrow \ S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; \ \text{ ...} \ $&nbsp; aus, so ergibt sich $d_{\rm F}$ gleichzeitig als das minimale Hamming&ndash;Gewicht (Anzahl der Einsen) einer zulässigen Codesequenz&nbsp; $\underline{x} &ne; \underline{0}$.
 *Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man, dass die freie Distanz zum Beispiel durch den Pfad
 :$$ S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_1 &#8594; S_2 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; \text{ ...}$$
-gekennzeichnet ist, also durch die Codesequenz $00 \hspace{0.1cm} 11 \hspace{0.1cm} 00 \hspace{0.1cm} 01 \hspace{0.1cm} 00 \text{ ...} \  .$
+:gekennzeichnet ist, also durch die Codesequenz $00 \hspace{0.1cm} 11 \hspace{0.1cm} 00 \hspace{0.1cm} 01 \hspace{0.1cm} 00 \text{ ...} \  .$
-Dementsprechend gilt für die freie Distanz dieses nichtrekursiven Codes: $\hspace{0.2cm} d_{\rm F} \ \underline{= 3}$.
+*Dementsprechend gilt für die freie Distanz dieses nichtrekursiven Codes: $\hspace{0.2cm} d_{\rm F} \ \underline{= 3}$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID3033__KC_A_4_8_v2.png|right|frame|Zustandsübergangsdiagramm eines nichtrekursiven Codes]]
-Die Turbocodes basieren auf den Faltungscodes, die im Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung| Grundlagen der Faltungscodierung]] auführlich behandelt werden.
+Die Turbocodes basieren auf Faltungscodes, die im Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung| Grundlagen der Faltungscodierung]]&nbsp; auführlich behandelt werden.
-Ausgehend von dem nebenstehenden Zustandsübergangsdiagramm sollen wesentliche Eigenschaften und Kenngrößen des betrachteten Rate&ndash;1/2&ndash;Faltungscodes ermittelt werden, wobei wir ausdrücklich auf folgende Theorieseiten verweisen:
+Ausgehend vom nebenstehenden Zustandsübergangsdiagramm sollen wesentliche Eigenschaften und Kenngrößen des betrachteten Rate&ndash;$1/2$&ndash;Faltungscodes ermittelt werden, wobei wir ausdrücklich auf folgende Theorieseiten verweisen:
 #[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Systematische_Faltungscodes|Systematische Faltungscodes]]
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-Im Zustandsübergangsdiagramm wird grundsätzlich vom Zustand $S_0$ ausgegangen. Von jedem Zustand gehen zwei Pfeile ab. Die Beschriftung lautet &bdquo;$u_i | x_i^{(1)}x_i^{(2)}$&rdquo;. Bei einem systematischen Code gilt dabei:
+Im Zustandsübergangsdiagramm wird grundsätzlich vom Zustand&nbsp; $S_0$&nbsp; ausgegangen. Von jedem Zustand gehen zwei Pfeile ab. Die Beschriftung lautet &bdquo;$u_i \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} x_i^{(1)}x_i^{(2)}$&rdquo;. Bei einem systematischen Code gilt dabei:
-* Das erste Codebit ist identisch mit dem Informationsbit: $\ x_i^{(1)} = u_i &#8712; \{0, \, 1\}$
+* Das erste Codebit ist identisch mit dem Informationsbit: &nbsp; $\ x_i^{(1)} = u_i &#8712; \{0, \, 1\}$
-* Das zweite Codebit ist das Prüfbit (Paritybit): $\ x_i^{(2)} = p_i &#8712; \{0, \, 1\}$.
+* Das zweite Codebit ist das Prüfbit (Paritybit): &nbsp; $\ x_i^{(2)} = p_i &#8712; \{0, \, 1\}$.
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes| Grundlegendes zu den Turbocodes]].
+* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes| Grundlegendes zu den Turbocodes]].
 *  In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende semi&ndash;infinite Vektoren verwendet:
-* Informationssequenz $\ \underline{u} = (u_1, \, u_2, \text{ ...})$,
+:* Informationssequenz&nbsp; $\ \underline{u} = (u_1, \, u_2, \text{ ...})$,
-* Paritysequenz $\ \underline{p} = (p_1, \, p_2,  \text{ ...})$,
+:* Paritysequenz&nbsp; $\ \underline{p} = (p_1, \, p_2,  \text{ ...})$,
-* Impulsantwort $\ \underline{g} = (g_1, \, g_2,  \text{ ...})$; diese ist gleich der Paritysequenz $\underline{p}$ für $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0,  \text{ ...})$.
+:* Impulsantwort&nbsp; $\ \underline{g} = (g_1, \, g_2,  \text{ ...})$; diese ist gleich der Paritysequenz&nbsp; $\underline{p}$&nbsp; für&nbsp; $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0,  \text{ ...})$.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie lautet die Impulsantwort $\underline{g}$?
+{Wie lautet die Impulsantwort&nbsp; $\underline{g}&nbsp;$?
 |type="()"}
-- Es gilt $\underline{g} = (1, \, 1, \,1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \text{ ...})$.
+- Es gilt&nbsp; $\underline{g} = (1, \, 1, \,1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \text{ ...})$.
-+ Es gilt $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.
++ Es gilt&nbsp; $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.
-{Es sei nun $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, u_7)$ mit $u_7 &#8712; \{0, \, 1\}$. Welche Aussagen treffen für die Paritysequenz $\underline{p}$ zu?
+{Es sei nun&nbsp; $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, u_7)$&nbsp; mit&nbsp; $u_7 &#8712; \{0, \, 1\}$. Welche Aussagen treffen für die Paritysequenz&nbsp; $\underline{p}$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-+ Die ersten sechs Bit der Paritysequenz sind &bdquo;$1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1$&rdquo;.
++ Die ersten sechs Bit der Paritysequenz sind&nbsp; &bdquo;$1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1$&rdquo;.
-+ Mit $u_7 = 0$ gilt $p_i = 0$ für $i > 6$.
++ Mit&nbsp; $u_7 = 0$&nbsp; gilt&nbsp; $p_i = 0$&nbsp; für $i > 6$.
-- Mit $u_7 = 1$ gilt $p_i = 0$ für $i > 8$.
+- Mit&nbsp; $u_7 = 1$&nbsp; gilt&nbsp; $p_i = 0$&nbsp; für $i > 8$.
-{Wie lautet die $D$&ndash;Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$?
+{Wie lautet die&nbsp; $D$&ndash;Übertragungsfunktionsmatrix&nbsp; $\mathbf{G}(D)$?
 |type="()"}
-- Es gilt $\mathbf{G}(D) = [1, \ 1 + D]$.
+- Es gilt&nbsp; $\mathbf{G}(D) = \big [1, \ 1 + D \big ]$.
-+ Es gilt $\mathbf{G}(D) = [1, \ 1 + D^2]$.
++ Es gilt&nbsp; $\mathbf{G}(D) = \big [1, \ 1 + D^2 \big ]$.
-- Es gilt $\mathbf{G}(D) = [1 + D^2]$.
+- Es gilt&nbsp; $\mathbf{G}(D) = \big [1 + D^2 \big ]$.
-{Betrachten Sie nun die begrenzte Eingangsfolge $\underline{u} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1)$. Welche Aussagen gelten für die dann ebenfalls begrenzte Parityfolge $\underline{p}$?
+{Betrachten Sie nun die begrenzte Eingangsfolge&nbsp; $\underline{u} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1)$. Welche Aussagen gelten für die dann ebenfalls begrenzte Parityfolge&nbsp; $\underline{p}$?
 |type="[]"}
-- Die ersten acht Bit der Parityfolge sind &bdquo;$1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0$&rdquo;.
+- Die ersten acht Bit der Parityfolge sind&nbsp; &bdquo;$1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0$&rdquo;.
-+ Die ersten acht Bit der Parityfolge sind &bdquo;$1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1$&rdquo;.
++ Die ersten acht Bit der Parityfolge sind&nbsp; &bdquo;$1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1$&rdquo;.
-+ Es gilt $p_i = 0$ für $i &#8805; 9$.
++ Es gilt&nbsp; $p_i = 0$&nbsp; für &nbsp;$i &#8805; 9$.
-{Wie groß ist die freie Distanz $d_{\rm F}$ des betrachteten Faltungsodes?
+{Wie groß ist die freie Distanz&nbsp; $d_{\rm F}$&nbsp; des betrachteten Faltungsodes?
 |type="{}"}
 $d_{\rm F} \ = \ ${ 3 3% }

@@ Zeile 25: / Zeile 25: @@
 * Paritysequenz $\ \underline{p} = (p_1, \, p_2,  \text{ ...})$,
 * Impulsantwort $\ \underline{g} = (g_1, \, g_2,  \text{ ...})$; diese ist gleich der Paritysequenz $\underline{p}$ für $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0,  \text{ ...})$.
-* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

@@ Zeile 32: / Zeile 32: @@
 <quiz display=simple>
 {Wie lautet die Impulsantwort $\underline{g}$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Es gilt $\underline{g} = (1, \, 1, \,1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \text{ ...})$.
 + Es gilt $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.
@@ Zeile 43: / Zeile 43: @@
 {Wie lautet die $D$&ndash;Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Es gilt $\mathbf{G}(D) = [1, \ 1 + D]$.
 + Es gilt $\mathbf{G}(D) = [1, \ 1 + D^2]$.
@@ Zeile 61: / Zeile 61: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Impulsantwort $\underline{g}$ ist gleich der Ausgangsfolge $\underline{p}$ für die Eingangsfolge $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$. Ausgehend vom Zustand $S_0$ ergeben sich im Zustandsübergangsdiagramm folgende Übergänge:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-:$$S_0 &#8594; S_1 &#8594; S_2 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; \hspace{0.6cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} {\rm Impulsantwort} \text{:} \hspace{0.2cm} \underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0) \, .$$
+*Die Impulsantwort $\underline{g}$ ist gleich der Ausgangsfolge $\underline{p}$ für die Eingangsfolge $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.
+*Ausgehend vom Zustand $S_0$ ergeben sich im Zustandsübergangsdiagramm folgende Übergänge:
-Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>. Für ein nichtrekursives Filter mit Gedächtnis $m$ gilt $g_i &equiv; 0$ für $i > m$. In unserem Beispiel ist $m = 2$. Der Lösungsvorschlag 1 gilt dagegen für das rekursive Filter (RSC) entsprechend der [[Aufgaben:4.09_Wiederholung_zu_den_RSC-Codes| Aufgabe A4.9]].
+:$$S_0 &#8594; S_1 &#8594; S_2 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; \text{ ...} \hspace{0.6cm} \Rightarrow \hspace{0.5cm} {\rm Impulsantwort} \text{:} \hspace{0.2cm} \underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0) \, .$$
@@ Zeile 71: / Zeile 73: @@
 (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0, \hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} u_7\hspace{0.05cm} )
 * (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0
-,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}  ...)= $$
+,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}  \text{ ...})= $$
-:$$\ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm}  ... \hspace{0.05cm})\oplus$$
+:$$\ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm}  \text{ ...} \hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}\oplus (\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm} \text{ ...}\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}\oplus  (\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} u_7,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}u_7, \hspace{0.05cm}  \text{ ...} \hspace{0.05cm}) $$
-:$$\ \oplus \ \hspace{-0.15cm}  (\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm}  ... \hspace{0.05cm})\oplus$$
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{p} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}  (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} u_7,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}u_7, \hspace{0.05cm} \text{ ...} \hspace{0.05cm})
   \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig sind demnach die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u> im Gegensatz zur Antwort 3: Für $u_7 = 1$ gilt $p_7 = 1, \ p_8 = 0, \ p_9 = 1$ und $p_i &equiv; 0$ für $i > 9$.
+Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u> im Gegensatz zur Antwort 3: Für $u_7 = 1$ gilt $p_7 = 1, \ p_8 = 0, \ p_9 = 1$ und $p_i &equiv; 0$ für $i > 9$.
-'''(3)'''&nbsp; Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man die Codeparameter $k = 1$ und $n = 2$. Das heißt: Die Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$ besteht aus zwei Elementen &nbsp;&#8658;&nbsp; der Vorschlag 3 ist falsch.
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
 * Die erste Komponente von $\mathbf{G}(D)$ ist tatsächlich 1, da ein systematischer Code vorliegt: $\ \underline{x}^{(1)} &equiv; \underline{z}$.
 * Die zweite Komponente von $\mathbf{G}(D)$ ist gleich der $D$&ndash;Transformierten der Impulsantwort $\underline{g}$, wobei die Dummy&ndash;Variable $D$ eine Verzögerung um ein Bit angibt:
-:$$\underline{g}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} ...\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
+:$$\underline{g}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{ ...}\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
 G^{(2)}(D) =  1+  D^2\hspace{0.05cm}. $$
 Über die Fragestellung hinausgehend betrachten wir hier auch noch die vorliegende Filterstruktur:
@@ Zeile 93: / Zeile 94: @@
 [[Datei:P_ID3038__KC_A_4_8c_v1.png|center|frame|Drei Beispiele für Rate–1/2–Faltungscodierer]]
-In der Grafik ist der hier betrachtete Coder als <b>Coder A</b> links dargestellt. Der Coder A
+In der Grafik ist der hier betrachtete Coder als Coder $\rm A$ links dargestellt. Dieser
-* ist ebenso wie der Coder B systematisch,
+* ist ebenso wie der Coder $\rm B$ systematisch,
-* basiert im Gegensatz zu Coder B aber auf einem nichtrekursiven Filter.
+* basiert im Gegensatz zu Coder $\rm B$ aber auf einem nichtrekursiven Filter.
+*Der Coder $\rm C$ hat ebenfalls eine nichtrekursive Struktur, ist aber nicht systematisch.
+'''(4)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-'''(4)'''&nbsp; Die Aufgabe könnte in gleicher Weise gelöst werden wie die Teilaufgabe (2). Wir wählen hier aber zur Abwechslung den Weg über die $D$&ndash;Transformation:
+*Die Aufgabe könnte in gleicher Weise gelöst werden wie die Teilaufgabe (2). Wir wählen hier aber zur Abwechslung den Weg über die $D$&ndash;Transformation:
 :$$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
 U(D) =  1+  D^2 + D^5$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} P(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}
-U(D) \cdot G(D) = (1+  D^2 + D^5) \cdot (1+  D^2 ) =$$
+U(D) \cdot G(D) = (1+  D^2 + D^5) \cdot (1+  D^2 ) =1+  D^2 + D^5 + D^2 + D^4 + D^7 = 1+  D^4 + D^5 +  D^7$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{p}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Die freie Distanz $d_{\rm F}$ eines Faltungscoders ist gleich der Anzahl der Bits, durch die sich zwei beliebigen Sequenzen dieses Codes mindestens unterscheiden. Gehen wir wie allgemein üblich als Bezugsgröße von der Nullsequenz $\underline{0} \ \Rightarrow \ S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; \ ... \ $ aus, so ergibt sich $d_{\rm F}$ gleichzeitig als das minimale Hamming&ndash;Gewicht (Anzahl der Einsen) einer zulässigen Codesequenz $\underline{x} &ne; \underline{0}$.
+'''(5)'''&nbsp; Die freie Distanz $d_{\rm F}$ eines Faltungscoders ist gleich der Anzahl der Bits, durch die sich zwei beliebigen Sequenzen dieses Codes mindestens unterscheiden.
-Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man, dass die frei Distanz zum Beispiel durch den Pfad
+*Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man, dass die freie Distanz zum Beispiel durch den Pfad
-:$$ S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_1 &#8594; S_2 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; \ ...$$
+:$$ S_0 &#8594; S_0 &#8594; S_1 &#8594; S_2 &#8594; S_0 &#8594; S_0 &#8594; \text{ ...}$$
-gekennzeichnet ist, also durch die Codesequenz
+gekennzeichnet ist, also durch die Codesequenz $00 \hspace{0.1cm} 11 \hspace{0.1cm} 00 \hspace{0.1cm} 01 \hspace{0.1cm} 00 \text{ ...} \  .$
 Dementsprechend gilt für die freie Distanz dieses nichtrekursiven Codes: $\hspace{0.2cm} d_{\rm F} \ \underline{= 3}$.

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 Ausgehend von dem nebenstehenden Zustandsübergangsdiagramm sollen wesentliche Eigenschaften und Kenngrößen des betrachteten Rate&ndash;1/2&ndash;Faltungscodes ermittelt werden, wobei wir ausdrücklich auf folgende Theorieseiten verweisen:
-[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Systematische_Faltungscodes|Systematische Faltungscodes (1)]]
+#[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Systematische_Faltungscodes|Systematische Faltungscodes]]
 Im Zustandsübergangsdiagramm wird grundsätzlich vom Zustand $S_0$ ausgegangen. Von jedem Zustand gehen zwei Pfeile ab. Die Beschriftung lautet &bdquo;$u_i | x_i^{(1)}x_i^{(2)}$&rdquo;. Bei einem systematischen Code gilt dabei:
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 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes| Grundlegendes zu den Turbocodes]].
-* Ähnliche Aufgaben finden Sie in den Kapiteln 3.1 bis 3.3. In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende semi&ndash;infinite Vektoren verwendet:
+*  In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende semi&ndash;infinite Vektoren verwendet:
-* Informationssequenz $\ \underline{u} = (u_1, \, u_2, \, ...)$,
+* Informationssequenz $\ \underline{u} = (u_1, \, u_2, \text{ ...})$,
-* Paritysequenz $\ \underline{p} = (p_1, \, p_2, \, ...)$,
+* Paritysequenz $\ \underline{p} = (p_1, \, p_2,  \text{ ...})$,
-* Impulsantwort $\ \underline{g} = (g_1, \, g_2, \, ...)$; diese ist gleich der Paritysequenz $\underline{p}$ für $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$.
+* Impulsantwort $\ \underline{g} = (g_1, \, g_2,  \text{ ...})$; diese ist gleich der Paritysequenz $\underline{p}$ für $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0,  \text{ ...})$.
 * Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
@@ Zeile 36: / Zeile 33: @@
 {Wie lautet die Impulsantwort $\underline{g}$?
 |type="[]"}
-- Es gilt $\underline{g} = (1, \, 1, \,1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, ...)$.
+- Es gilt $\underline{g} = (1, \, 1, \,1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \text{ ...})$.
-+ Es gilt $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$.
++ Es gilt $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.
 {Es sei nun $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, u_7)$ mit $u_7 &#8712; \{0, \, 1\}$. Welche Aussagen treffen für die Paritysequenz $\underline{p}$ zu?
@@ Zeile 57: / Zeile 54: @@
 + Es gilt $p_i = 0$ für $i &#8805; 9$.
-{Wie groß ist die freie Distanz des betrachteten Faltungsodes?
+{Wie groß ist die freie Distanz $d_{\rm F}$ des betrachteten Faltungsodes?
 |type="{}"}
 $d_{\rm F} \ = \ ${ 3 3% }

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−	'''(5)'''  Die freie Distanz $d_{\rm F}$ eines Faltungscoders ist gleich der Anzahl der Bits, durch die sich zwei beliebigen Sequenzen dieses Codes mindestens unterscheiden. Gehen wir wie allgemein üblich als Bezugsgröße von der Nullsequenz $\underline{0} \ \Rightarrow \ S_0 → S_0 → S_0 → S_0 → \ ... $ aus, so ergibt sich $d_{\rm F}$ gleichzeitig als das minimale Hamming–Gewicht (Anzahl der Einsen) einer zulässigen Codesequenz $\underline{x} ≠ \underline{0}$.	+	'''(5)'''  Die freie Distanz $d_{\rm F}$ eines Faltungscoders ist gleich der Anzahl der Bits, durch die sich zwei beliebigen Sequenzen dieses Codes mindestens unterscheiden. Gehen wir wie allgemein üblich als Bezugsgröße von der Nullsequenz $\underline{0} \ \Rightarrow \ S_0 → S_0 → S_0 → S_0 → \ ... \ $ aus, so ergibt sich $d_{\rm F}$ gleichzeitig als das minimale Hamming–Gewicht (Anzahl der Einsen) einer zulässigen Codesequenz $\underline{x} ≠ \underline{0}$.

	Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man, dass die frei Distanz zum Beispiel durch den Pfad		Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man, dass die frei Distanz zum Beispiel durch den Pfad

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	:$$\ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} u_7,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}u_7, \hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm})		:$$\ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} u_7,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}u_7, \hspace{0.05cm} ... \hspace{0.05cm})
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
		+
		+	Richtig sind demnach die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u> im Gegensatz zur Antwort 3: Für $u_7 = 1$ gilt $p_7 = 1, \ p_8 = 0, \ p_9 = 1$ und $p_i &equiv; 0$ für $i > 9$.