Aufgaben:Aufgabe 4.08: Wiederholung zu den Faltungscodes - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^4.3 Grundlegendes zu den Turbocodes^]]		[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^4.3 Grundlegendes zu den Turbocodes^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.08:_Repetition_to_the_Convolutional_Codes]]

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	'''(2)'''  Es sei $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, u_7)$ und $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$. Dann gilt für die Paritysequenz aufgrund der Linearität:		'''(2)'''  Es sei $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, u_7)$ und $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$. Dann gilt für die Paritysequenz aufgrund der Linearität:
	:$$\underline{p} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}		:$$\underline{p} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0, \hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} u_7\hspace{0.05cm} ) * (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{ ...})= $$
	(\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0, \hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} u_7\hspace{0.05cm} )
	* (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0
	,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{ ...})= $$
	:$$\ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm} \text{ ...} \hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}\oplus (\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm} \text{ ...}\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}\oplus (\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} u_7,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}u_7, \hspace{0.05cm} \text{ ...} \hspace{0.05cm}) $$		:$$\ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm} \text{ ...} \hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}\oplus (\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}0, \hspace{0.05cm} \text{ ...}\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}\oplus (\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} u_7,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}u_7, \hspace{0.05cm} \text{ ...} \hspace{0.05cm}) $$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{p} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} u_7,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}u_7, \hspace{0.05cm} \text{ ...} \hspace{0.05cm})		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}\underline{p} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} (\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}0,\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm}\hspace{0.05cm}1,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm} 1,\hspace{0.05cm} u_7,\hspace{0.05cm} 0,\hspace{0.05cm}u_7, \hspace{0.05cm} \text{ ...} \hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u> im Gegensatz zur Antwort 3:		Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u> im Gegensatz zur Antwort 3:
Zeile 94:		Zeile 90:
	* Die erste Komponente von $\mathbf{G}(D)$ ist tatsächlich 1, da ein systematischer Code vorliegt: $\ \underline{x}^{(1)} &equiv; \underline{z}$.		* Die erste Komponente von $\mathbf{G}(D)$ ist tatsächlich 1, da ein systematischer Code vorliegt: $\ \underline{x}^{(1)} &equiv; \underline{z}$.
	* Die zweite Komponente von $\mathbf{G}(D)$ ist gleich der $D$–Transformierten der Impulsantwort $\underline{g}$, wobei die Dummy–Variable $D$ eine Verzögerung um ein Bit angibt:		* Die zweite Komponente von $\mathbf{G}(D)$ ist gleich der $D$–Transformierten der Impulsantwort $\underline{g}$, wobei die Dummy–Variable $D$ eine Verzögerung um ein Bit angibt:
	:$$\underline{g}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{ ...}\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\~~quad~~		:$$\underline{g}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} \text{ ...}\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quadG^{(2)}(D) = 1+ D^2\hspace{0.05cm}. $$
	G^{(2)}(D) = 1+ D^2\hspace{0.05cm}. $$


Zeile 113:		Zeile 108:
	*Die Aufgabe könnte in gleicher Weise gelöst werden wie die Teilaufgabe (2).		*Die Aufgabe könnte in gleicher Weise gelöst werden wie die Teilaufgabe (2).
	*Wir wählen hier aber zur Abwechslung den Weg über die $D$–Transformation:		*Wir wählen hier aber zur Abwechslung den Weg über die $D$–Transformation:
	:$$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\~~quad~~		:$$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quadU(D) = 1+ D^2 + D^5$$
	U(D) = 1+ D^2 + D^5$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} P(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}U(D) \cdot G(D) = (1+ D^2 + D^5) \cdot (1+ D^2 ) =1+ D^2 + D^5 + D^2 + D^4 + D^7 = 1+ D^4 + D^5 + D^7$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} P(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}
	U(D) \cdot G(D) = (1+ D^2 + D^5) \cdot (1+ D^2 ) =1+ D^2 + D^5 + D^2 + D^4 + D^7 = 1+ D^4 + D^5 + D^7$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{p}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{p}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 9. Juli 2019 um 11:45 Uhr

2019-07-09T11:45:45Z

Guenter am 9. Juli 2019 um 11:34 Uhr

2019-07-09T11:34:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Juli 2019, 13:34 Uhr
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	[[Datei:P_ID3033__KC_A_4_8_v2.png\|right\|frame\|Zustandsübergangsdiagramm eines nichtrekursiven Codes]]		[[Datei:P_ID3033__KC_A_4_8_v2.png\|right\|frame\|Zustandsübergangsdiagramm eines nichtrekursiven Codes]]

	Die Turbocodes basieren auf ~~den~~ Faltungscodes, die im Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung\| Grundlagen der Faltungscodierung]] auführlich behandelt werden.		Die Turbocodes basieren auf Faltungscodes, die im Kapitel  [[Kanalcodierung/Grundlagen_der_Faltungscodierung\| Grundlagen der Faltungscodierung]]  auführlich behandelt werden.

	Ausgehend ~~von dem~~ nebenstehenden Zustandsübergangsdiagramm sollen wesentliche Eigenschaften und Kenngrößen des betrachteten Rate–1/2–Faltungscodes ermittelt werden, wobei wir ausdrücklich auf folgende Theorieseiten verweisen:		Ausgehend vom nebenstehenden Zustandsübergangsdiagramm sollen wesentliche Eigenschaften und Kenngrößen des betrachteten Rate–$1/2$–Faltungscodes ermittelt werden, wobei wir ausdrücklich auf folgende Theorieseiten verweisen:

	#[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Systematische_Faltungscodes\|Systematische Faltungscodes]]		#[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Systematische_Faltungscodes\|Systematische Faltungscodes]]
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	Im Zustandsübergangsdiagramm wird grundsätzlich vom Zustand $S_0$ ausgegangen. Von jedem Zustand gehen zwei Pfeile ab. Die Beschriftung lautet &bdquo;$u_i \| x_i^{(1)}x_i^{(2)}$”. Bei einem systematischen Code gilt dabei:		Im Zustandsübergangsdiagramm wird grundsätzlich vom Zustand  $S_0$  ausgegangen. Von jedem Zustand gehen zwei Pfeile ab. Die Beschriftung lautet &bdquo;$u_i \hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm} x_i^{(1)}x_i^{(2)}$”. Bei einem systematischen Code gilt dabei:
	* Das erste Codebit ist identisch mit dem Informationsbit: $\ x_i^{(1)} = u_i ∈ \{0, \, 1\}$		* Das erste Codebit ist identisch mit dem Informationsbit:   $\ x_i^{(1)} = u_i ∈ \{0, \, 1\}$
	* Das zweite Codebit ist das Prüfbit (Paritybit): $\ x_i^{(2)} = p_i ∈ \{0, \, 1\}$.		* Das zweite Codebit ist das Prüfbit (Paritybit):   $\ x_i^{(2)} = p_i ∈ \{0, \, 1\}$.







	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes\| Grundlegendes zu den Turbocodes]].		* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel  [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes\| Grundlegendes zu den Turbocodes]].
	* In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende semi–infinite Vektoren verwendet:		* In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende semi–infinite Vektoren verwendet:
	* Informationssequenz $\ \underline{u} = (u_1, \, u_2, \text{ ...})$,		:* Informationssequenz  $\ \underline{u} = (u_1, \, u_2, \text{ ...})$,
	* Paritysequenz $\ \underline{p} = (p_1, \, p_2, \text{ ...})$,		:* Paritysequenz  $\ \underline{p} = (p_1, \, p_2, \text{ ...})$,
	* Impulsantwort $\ \underline{g} = (g_1, \, g_2, \text{ ...})$; diese ist gleich der Paritysequenz $\underline{p}$ für $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.		:* Impulsantwort  $\ \underline{g} = (g_1, \, g_2, \text{ ...})$; diese ist gleich der Paritysequenz  $\underline{p}$  für  $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.


Zeile 31:		Zeile 36:
	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie lautet die Impulsantwort $\underline{g}$?		{Wie lautet die Impulsantwort  $\underline{g} $?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	- Es gilt $\underline{g} = (1, \, 1, \,1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \text{ ...})$.		- Es gilt  $\underline{g} = (1, \, 1, \,1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \text{ ...})$.
	+ Es gilt $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.		+ Es gilt  $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.

	{Es sei nun $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, u_7)$ mit $u_7 ∈ \{0, \, 1\}$. Welche Aussagen treffen für die Paritysequenz $\underline{p}$ zu?		{Es sei nun  $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, u_7)$  mit  $u_7 ∈ \{0, \, 1\}$. Welche Aussagen treffen für die Paritysequenz  $\underline{p}$  zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Die ersten sechs Bit der Paritysequenz sind &bdquo;$1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1$”.		+ Die ersten sechs Bit der Paritysequenz sind  &bdquo;$1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1$”.
	+ Mit $u_7 = 0$ gilt $p_i = 0$ für $i > 6$.		+ Mit  $u_7 = 0$  gilt  $p_i = 0$  für $i > 6$.
	- Mit $u_7 = 1$ gilt $p_i = 0$ für $i > 8$.		- Mit  $u_7 = 1$  gilt  $p_i = 0$  für $i > 8$.

	{Wie lautet die $D$–Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$?		{Wie lautet die  $D$–Übertragungsfunktionsmatrix  $\mathbf{G}(D)$?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	- Es gilt $\mathbf{G}(D) = [1, \ 1 + D]$.		- Es gilt  $\mathbf{G}(D) = \big [1, \ 1 + D \big ]$.
	+ Es gilt $\mathbf{G}(D) = [1, \ 1 + D^2]$.		+ Es gilt  $\mathbf{G}(D) = \big [1, \ 1 + D^2 \big ]$.
	- Es gilt $\mathbf{G}(D) = [1 + D^2]$.		- Es gilt  $\mathbf{G}(D) = \big [1 + D^2 \big ]$.

	{Betrachten Sie nun die begrenzte Eingangsfolge $\underline{u} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1)$. Welche Aussagen gelten für die dann ebenfalls begrenzte Parityfolge $\underline{p}$?		{Betrachten Sie nun die begrenzte Eingangsfolge  $\underline{u} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 1)$. Welche Aussagen gelten für die dann ebenfalls begrenzte Parityfolge  $\underline{p}$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Die ersten acht Bit der Parityfolge sind &bdquo;$1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0$”.		- Die ersten acht Bit der Parityfolge sind  &bdquo;$1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 0$”.
	+ Die ersten acht Bit der Parityfolge sind &bdquo;$1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1$”.		+ Die ersten acht Bit der Parityfolge sind  &bdquo;$1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1$”.
	+ Es gilt $p_i = 0$ für $i ≥ 9$.		+ Es gilt  $p_i = 0$  für  $i ≥ 9$.

	{Wie groß ist die freie Distanz $d_{\rm F}$ des betrachteten Faltungsodes?		{Wie groß ist die freie Distanz  $d_{\rm F}$  des betrachteten Faltungsodes?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$d_{\rm F} \ = \ ${ 3 3% }		$d_{\rm F} \ = \ ${ 3 3% }

Tasnad: Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „“

2018-05-29T11:36:24Z

Textersetzung - „* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „“

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 13:36 Uhr
Zeile 25:		Zeile 25:
	* Paritysequenz $\ \underline{p} = (p_1, \, p_2, \text{ ...})$,		* Paritysequenz $\ \underline{p} = (p_1, \, p_2, \text{ ...})$,
	* Impulsantwort $\ \underline{g} = (g_1, \, g_2, \text{ ...})$; diese ist gleich der Paritysequenz $\underline{p}$ für $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.		* Impulsantwort $\ \underline{g} = (g_1, \, g_2, \text{ ...})$; diese ist gleich der Paritysequenz $\underline{p}$ für $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.
	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter am 31. Januar 2018 um 12:41 Uhr

2018-01-31T12:41:46Z

Änderungen zeigen

Guenter am 31. Januar 2018 um 12:10 Uhr

2018-01-31T12:10:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 31. Januar 2018, 14:10 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	Ausgehend von dem nebenstehenden Zustandsübergangsdiagramm sollen wesentliche Eigenschaften und Kenngrößen des betrachteten Rate–1/2–Faltungscodes ermittelt werden, wobei wir ausdrücklich auf folgende Theorieseiten verweisen:		Ausgehend von dem nebenstehenden Zustandsübergangsdiagramm sollen wesentliche Eigenschaften und Kenngrößen des betrachteten Rate–1/2–Faltungscodes ermittelt werden, wobei wir ausdrücklich auf folgende Theorieseiten verweisen:

	[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Systematische_Faltungscodes\|Systematische Faltungscodes (1)]]		#[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Systematische_Faltungscodes\|Systematische Faltungscodes]]
			#[[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm#Darstellung_im_Zustands.C3.BCbergangsdiagramm\|Darstellung im Zustandsübergangsdiagramm]]
			#[[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm#Definition_der_freien_Distanz\|Definition der freien Distanz]]
			#[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#GF.282.29.E2.80.93Beschreibungsformen_eines_Digitalen_Filters\|GF(2)–Beschreibungsformen eines Digitalen Filters]]
			#[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Anwendung_der_D.E2.80.93Transformation_auf_Rate.E2.80.931.2Fn.E2.80.93Faltungscoder\| Anwendung der $D$–Transformation auf Rate–1/n–Faltungscodes]]

	~~[[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm#Darstellung_im_Zustands.C3.BCbergangsdiagramm\|Darstellung im Zustandsübergangsdiagramm (1)]]~~

	~~[[Kanalcodierung/Codebeschreibung_mit_Zustands%E2%80%93_und_Trellisdiagramm#Definition_der_freien_Distanz\|Definition der freien Distanz (1)]]~~

	~~[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#GF.282.29.E2.80.93Beschreibungsformen_eines_Digitalen_Filters\|GF(2)–Beschreibungsformen eines Digitalen Filters (2)]]~~

	[[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Anwendung_der_D.E2.80.93Transformation_auf_Rate.E2.80.931.2Fn.E2.80.93Faltungscoder\| Anwendung der $D$–Transformation auf Rate–1/n–Faltungscodes (2)]]

	Im Zustandsübergangsdiagramm wird grundsätzlich vom Zustand $S_0$ ausgegangen. Von jedem Zustand gehen zwei Pfeile ab. Die Beschriftung lautet &bdquo;$u_i \| x_i^{(1)}x_i^{(2)}$”. Bei einem systematischen Code gilt dabei:		Im Zustandsübergangsdiagramm wird grundsätzlich vom Zustand $S_0$ ausgegangen. Von jedem Zustand gehen zwei Pfeile ab. Die Beschriftung lautet &bdquo;$u_i \| x_i^{(1)}x_i^{(2)}$”. Bei einem systematischen Code gilt dabei:
Zeile 24:		Zeile 21:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes\| Grundlegendes zu den Turbocodes]].		* Die Aufgabe bezieht sich auf das Kapitel [[Kanalcodierung/Grundlegendes_zu_den_Turbocodes\| Grundlegendes zu den Turbocodes]].
	* ~~Ähnliche Aufgaben finden Sie in den Kapiteln 3.1 bis 3.3.~~ In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende semi–infinite Vektoren verwendet:		* In den Fragen zu dieser Aufgabe werden folgende semi–infinite Vektoren verwendet:
	* Informationssequenz $\ \underline{u} = (u_1, \, u_2, \, ...)$,		* Informationssequenz $\ \underline{u} = (u_1, \, u_2, \text{ ...})$,
	* Paritysequenz $\ \underline{p} = (p_1, \, p_2, \, ...)$,		* Paritysequenz $\ \underline{p} = (p_1, \, p_2, \text{ ...})$,
	* Impulsantwort $\ \underline{g} = (g_1, \, g_2, \, ...)$; diese ist gleich der Paritysequenz $\underline{p}$ für $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, ...)$.		* Impulsantwort $\ \underline{g} = (g_1, \, g_2, \text{ ...})$; diese ist gleich der Paritysequenz $\underline{p}$ für $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.
	* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.		* Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Zeile 36:		Zeile 33:
	{Wie lautet die Impulsantwort $\underline{g}$?		{Wie lautet die Impulsantwort $\underline{g}$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Es gilt $\underline{g} = (1, \, 1, \,1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \, ...)$.		- Es gilt $\underline{g} = (1, \, 1, \,1, \, 0, \, 1, \, 1, \, 0, \, 1, \, 1, \text{ ...})$.
	+ Es gilt $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, ...)$.		+ Es gilt $\underline{g} = (1, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \, 0, \text{ ...})$.

	{Es sei nun $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, u_7)$ mit $u_7 ∈ \{0, \, 1\}$. Welche Aussagen treffen für die Paritysequenz $\underline{p}$ zu?		{Es sei nun $\underline{u} = (1, \, 0, \, 0, \, 1, \, 0, \, 0, \, u_7)$ mit $u_7 ∈ \{0, \, 1\}$. Welche Aussagen treffen für die Paritysequenz $\underline{p}$ zu?
Zeile 57:		Zeile 54:
	+ Es gilt $p_i = 0$ für $i ≥ 9$.		+ Es gilt $p_i = 0$ für $i ≥ 9$.

	{Wie groß ist die freie Distanz des betrachteten Faltungsodes?		{Wie groß ist die freie Distanz $d_{\rm F}$ des betrachteten Faltungsodes?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$d_{\rm F} \ = \ ${ 3 3% }		$d_{\rm F} \ = \ ${ 3 3% }

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2018-01-04T06:54:41Z

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(kein Unterschied)

Hussain am 11. Dezember 2017 um 08:33 Uhr

2017-12-11T08:33:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. Dezember 2017, 10:33 Uhr
Zeile 115:		Zeile 115:


	'''(5)'''  Die freie Distanz $d_{\rm F}$ eines Faltungscoders ist gleich der Anzahl der Bits, durch die sich zwei beliebigen Sequenzen dieses Codes mindestens unterscheiden. Gehen wir wie allgemein üblich als Bezugsgröße von der Nullsequenz $\underline{0} \ \Rightarrow \ S_0 → S_0 → S_0 → S_0 → \ ... $ aus, so ergibt sich $d_{\rm F}$ gleichzeitig als das minimale Hamming–Gewicht (Anzahl der Einsen) einer zulässigen Codesequenz $\underline{x} ≠ \underline{0}$.		'''(5)'''  Die freie Distanz $d_{\rm F}$ eines Faltungscoders ist gleich der Anzahl der Bits, durch die sich zwei beliebigen Sequenzen dieses Codes mindestens unterscheiden. Gehen wir wie allgemein üblich als Bezugsgröße von der Nullsequenz $\underline{0} \ \Rightarrow \ S_0 → S_0 → S_0 → S_0 → \ ... \ $ aus, so ergibt sich $d_{\rm F}$ gleichzeitig als das minimale Hamming–Gewicht (Anzahl der Einsen) einer zulässigen Codesequenz $\underline{x} ≠ \underline{0}$.

	Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man, dass die frei Distanz zum Beispiel durch den Pfad		Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man, dass die frei Distanz zum Beispiel durch den Pfad

Hussain am 11. Dezember 2017 um 08:26 Uhr

2017-12-11T08:26:50Z

← Nächstältere Version		Version vom 11. Dezember 2017, 10:26 Uhr
Zeile 107:		Zeile 107:
	:$$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad		:$$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
	U(D) = 1+ D^2 + D^5$$		U(D) = 1+ D^2 + D^5$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} P(D) \hspace{-0.15cm} & = & \hspace{-0.15cm}		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} P(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm}
	U(D) \cdot G(D) = (1+ D^2 + D^5) \cdot (1+ D^2 ) =\\		U(D) \cdot G(D) = (1+ D^2 + D^5) \cdot (1+ D^2 ) =$$
	~~& = &~~ \hspace{-0.15cm}1+ D^2 + D^5 + D^2 + D^4 + D^7 = 1+ D^4 + D^5 + D^7$$		:$$\ = \ \hspace{-0.15cm}1+ D^2 + D^5 + D^2 + D^4 + D^7 = 1+ D^4 + D^5 + D^7$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{p}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{p}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}.$$

← Nächstältere Version		Version vom 9. Juli 2019, 13:45 Uhr
Zeile 72:		Zeile 72:
	*Für ein nichtrekursives Filter mit Gedächtnis $m$ gilt $g_i &equiv; 0$ für $i > m$. In unserem Beispiel ist $m = 2$.		*Für ein nichtrekursives Filter mit Gedächtnis $m$ gilt $g_i &equiv; 0$ für $i > m$. In unserem Beispiel ist $m = 2$.
	*Der Lösungsvorschlag 1 gilt dagegen für das rekursive Filter (RSC) entsprechend der [[Aufgaben:4.09_Wiederholung_zu_den_RSC-Codes\| Aufgabe 4.9]].		*Der Lösungsvorschlag 1 gilt dagegen für das rekursive Filter (RSC) entsprechend der [[Aufgaben:4.09_Wiederholung_zu_den_RSC-Codes\| Aufgabe 4.9]].



Zeile 83:		Zeile 84:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u> im Gegensatz zur Antwort 3: Für $u_7 = 1$ gilt $p_7 = 1, \ p_8 = 0, \ p_9 = 1$ und $p_i &equiv; 0$ für $i > 9$.		Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u> im Gegensatz zur Antwort 3:
			*Für $u_7 = 1$ gilt $p_7 = 1, \ p_8 = 0, \ p_9 = 1$ und $p_i &equiv; 0$ für $i > 9$.



Zeile 99:		Zeile 102:
	[[Datei:P_ID3038__KC_A_4_8c_v1.png\|center\|frame\|Drei Beispiele für Rate–1/2–Faltungscodierer]]		[[Datei:P_ID3038__KC_A_4_8c_v1.png\|center\|frame\|Drei Beispiele für Rate–1/2–Faltungscodierer]]

	In der Grafik ist der hier betrachtete Coder als Coder $\rm A$ links dargestellt. ~~Dieser~~		In der Grafik ist der hier betrachtete Coder als Coder $\rm A$ links dargestellt.
	* ist ebenso wie der Coder $\rm B$ systematisch,		* Dieser ist ebenso wie der Coder $\rm B$ systematisch, und
	* basiert im Gegensatz zu Coder $\rm B$ aber auf einem nichtrekursiven Filter.		* basiert im Gegensatz zu Coder $\rm B$ aber auf einem nichtrekursiven Filter.
	*Der Coder $\rm C$ hat ebenfalls eine nichtrekursive Struktur, ist aber nicht systematisch.		*Der Coder $\rm C$ hat ebenfalls eine nichtrekursive Struktur, ist aber nicht systematisch.
	*Die äquivalente systematische Repräsentation von Coder $\rm C$ ist der Coder $\rm B$.		*Die äquivalente systematische Repräsentation von Coder $\rm C$ ist der Coder $\rm B$.



	'''(4)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:		'''(4)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
	*Die Aufgabe könnte in gleicher Weise gelöst werden wie die Teilaufgabe (2). Wir wählen hier aber zur Abwechslung den Weg über die $D$–Transformation:		*Die Aufgabe könnte in gleicher Weise gelöst werden wie die Teilaufgabe (2).
			*Wir wählen hier aber zur Abwechslung den Weg über die $D$–Transformation:
	:$$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad		:$$\underline{u}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm}) \quad \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\quad
	U(D) = 1+ D^2 + D^5$$		U(D) = 1+ D^2 + D^5$$
Zeile 113:		Zeile 118:
	U(D) \cdot G(D) = (1+ D^2 + D^5) \cdot (1+ D^2 ) =1+ D^2 + D^5 + D^2 + D^4 + D^7 = 1+ D^4 + D^5 + D^7$$		U(D) \cdot G(D) = (1+ D^2 + D^5) \cdot (1+ D^2 ) =1+ D^2 + D^5 + D^2 + D^4 + D^7 = 1+ D^4 + D^5 + D^7$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{p}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \underline{p}= (\hspace{0.05cm}1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 0\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm})\hspace{0.05cm}.$$



	'''(5)'''  Die freie Distanz $d_{\rm F}$ eines Faltungscoders ist gleich der Anzahl der Bits, durch die sich zwei beliebigen Sequenzen dieses Codes mindestens unterscheiden.		'''(5)'''  Die freie Distanz $d_{\rm F}$ eines Faltungscoders ist gleich der Anzahl der Bits, durch die sich zwei beliebigen Sequenzen dieses Codes mindestens unterscheiden.
	*Gehen wir wie allgemein üblich als Bezugsgröße von der Nullsequenz $\underline{0} \ \Rightarrow \ S_0 → S_0 → S_0 → S_0 → \ \text{ ...} \ $ aus, so ergibt sich $d_{\rm F}$ gleichzeitig als das minimale Hamming–Gewicht (Anzahl der Einsen) einer zulässigen Codesequenz $\underline{x} ≠ \underline{0}$.		*Gehen wir wie allgemein üblich als Bezugsgröße von der Nullsequenz  $\underline{0} \ \Rightarrow \ S_0 → S_0 → S_0 → S_0 → \ \text{ ...} \ $  aus, so ergibt sich $d_{\rm F}$ gleichzeitig als das minimale Hamming–Gewicht (Anzahl der Einsen) einer zulässigen Codesequenz  $\underline{x} ≠ \underline{0}$.

	*Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man, dass die freie Distanz zum Beispiel durch den Pfad		*Aus dem Zustandsübergangsdiagramm erkennt man, dass die freie Distanz zum Beispiel durch den Pfad
	:$$ S_0 → S_0 → S_1 → S_2 → S_0 → S_0 → \text{ ...}$$		:$$ S_0 → S_0 → S_1 → S_2 → S_0 → S_0 → \text{ ...}$$

	gekennzeichnet ist, also durch die Codesequenz $00 \hspace{0.1cm} 11 \hspace{0.1cm} 00 \hspace{0.1cm} 01 \hspace{0.1cm} 00 \text{ ...} \ .$		:gekennzeichnet ist, also durch die Codesequenz $00 \hspace{0.1cm} 11 \hspace{0.1cm} 00 \hspace{0.1cm} 01 \hspace{0.1cm} 00 \text{ ...} \ .$

	Dementsprechend gilt für die freie Distanz dieses nichtrekursiven Codes: $\hspace{0.2cm} d_{\rm F} \ \underline{= 3}$.		*Dementsprechend gilt für die freie Distanz dieses nichtrekursiven Codes: $\hspace{0.2cm} d_{\rm F} \ \underline{= 3}$.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}