Aufgaben:Aufgabe 4.08: Entscheidungsregionen bei drei Symbolen - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:37:01Z

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	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^4.3 BER-Approximation^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^4.3 BER-Approximation^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.08:_Decision_Regions_at_Three_Symbols]]

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2026-02-24T13:39:33Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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Zeile 4:		Zeile 4:
	[[Datei:P_ID2018__Dig_A_4_8.png\|right\|frame\|Signalraumkonstellationen mit  $M = 3$  Symbolen]]		[[Datei:P_ID2018__Dig_A_4_8.png\|right\|frame\|Signalraumkonstellationen mit  $M = 3$  Symbolen]]
	Wir betrachten eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum  $(N = 2)$  mit der Signalmenge:		Wir betrachten eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum  $(N = 2)$  mit der Signalmenge:
	:$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}		:$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ s }_1 = (1, 2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\boldsymbol{ s }_2 = (2, -1)\hspace{0.05cm},$$
	\boldsymbol{ s }_1 = (1, 2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
	\boldsymbol{ s }_2 = (2, -1)\hspace{0.05cm},$$

	jeweils bezogen auf den Normierungswert  $\sqrt {E}$.		jeweils bezogen auf den Normierungswert  $\sqrt {E}$.
Zeile 19:		Zeile 17:

	Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte		Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte
	:$$\boldsymbol{ A } = (0.50, \hspace{0.1cm}0.25)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}		:$$\boldsymbol{ A } = (0.50, \hspace{0.1cm}0.25)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ B } = (1, \hspace{0.1cm}0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}\boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$
	\boldsymbol{ B } = (1, \hspace{0.1cm}0)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
	\boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$

	eingezeichnet,  die in der Teilaufgabe  '''(5)'''  jeweils einer Region  $I_i$  zugeordnet werden sollen.		eingezeichnet,  die in der Teilaufgabe  '''(5)'''  jeweils einer Region  $I_i$  zugeordnet werden sollen.
Zeile 33:		Zeile 29:

	* Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:		* Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:
	:$$x = {\varphi_1(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}		:$$x = {\varphi_1(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} y = {\varphi_2(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}.$$
	y = {\varphi_2(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}.$$


Zeile 92:		Zeile 87:
	*Die Verbindungslinie zwischen  $\boldsymbol{s}_1 = (1,\ 2)$  und  $\boldsymbol{s}_2 = (2, \, –1)$  schneidet die Entscheidungsgrenze  $G_{\rm 12}$  bei  $(1.5,\ 0.5)$  und besitzt die Steigung  $–3$.		*Die Verbindungslinie zwischen  $\boldsymbol{s}_1 = (1,\ 2)$  und  $\boldsymbol{s}_2 = (2, \, –1)$  schneidet die Entscheidungsgrenze  $G_{\rm 12}$  bei  $(1.5,\ 0.5)$  und besitzt die Steigung  $–3$.
	*Demzufolge ist die Steigung von  $G_{\rm 12} = 1/3$  und die Gleichung der Entscheidungsgrenze  $G_{\rm 12}$  lautet:		*Demzufolge ist die Steigung von  $G_{\rm 12} = 1/3$  und die Gleichung der Entscheidungsgrenze  $G_{\rm 12}$  lautet:
	:$$y - {1}/{2} = {1}/{3} \cdot \left ( x - {3}/{2} \right )		:$$y - {1}/{2} = {1}/{3} \cdot \left ( x - {3}/{2} \right )= {x}/{3} - {1}/{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y = {x}/{3} \hspace{0.05cm}.$$
	= {x}/{3} - {1}/{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y = {x}/{3}
	\hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Die Grafik zeigt bereits,  dass die richtige Antwort  <u>JA</u>  ist.		'''(4)'''  Die Grafik zeigt bereits,  dass die richtige Antwort  <u>JA</u>  ist.
	*Der Schnittpunkt von  $G_{\rm 01}$  und  $G_{\rm 12}$  (weißer Kreis)  liegt bei  $(9/14,\ 3/14)$,  wegen		*Der Schnittpunkt von  $G_{\rm 01}$  und  $G_{\rm 12}$  (weißer Kreis)  liegt bei  $(9/14,\ 3/14)$,  wegen
	:$${3}/{2} - 2 x = {x}/{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$${3}/{2} - 2 x = {x}/{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}{3}/{2} = {7}/{3} \cdot x \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y = {3}/{14} \hspace{0.05cm}.$$
	{3}/{2} = {7}/{3} \cdot x \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} y = {3}/{14}
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Auch die Gerade  $G_{\rm 02}$  geht durch diesen Punkt:		*Auch die Gerade  $G_{\rm 02}$  geht durch diesen Punkt:
	:$$y(x = {9}/{14}) =-{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot {9}/{14} =\frac{-21+27}{28}= {3}/{14}		:$$y(x = {9}/{14}) =-{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot {9}/{14} =\frac{-21+27}{28}= {3}/{14}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 28. Juli 2022 um 16:18 Uhr

2022-07-28T16:18:20Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. Juli 2022, 18:18 Uhr
Zeile 73:		Zeile 73:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	[[Datei:P_ID2038__Dig_A_4_8d.png\|right\|frame\|Entscheidungsregionen]]		[[Datei:P_ID2038__Dig_A_4_8d.png\|right\|frame\|Entscheidungsregionen]]
	'''(1)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:		'''(1)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
	*Die Verbindungslinie zwischen den Signalpunkten $\boldsymbol{s}_0 = (–1, 1)$ und $\boldsymbol{s}_1 = (1, 2)$ hat die Steigung $1/2$ (siehe Grafik).		*Die Verbindungslinie zwischen den Signalpunkten  $\boldsymbol{s}_0 = (–1,\ 1)$  und  $\boldsymbol{s}_1 = (1,\ 2)$  hat die Steigung  $1/2$  (siehe Grafik).
	*Die Entscheidungsgrenze schneidet die Verbindungslinie bei $(\boldsymbol{s}_0 + \boldsymbol{s}_1)/2 = (0, 1.5)$ und weist die Steigung $2$ auf (Drehung der Verbindungslinie um $90^\circ$).
			*Die Entscheidungsgrenze schneidet die Verbindungslinie bei  $(\boldsymbol{s}_0 + \boldsymbol{s}_1)/2 = (0,\ 1.5)$  und weist die Steigung  $2$  auf  $($Drehung der Verbindungslinie um  $90^\circ)$.

	*Daraus folgt:   $y = 1.5 - 2 x \hspace{0.05cm}.$		*Daraus folgt:   $y = 1.5 - 2 x \hspace{0.05cm}.$



	'''(2)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:		'''(2)'''  Richtig ist der  <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
	*Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_0 = (–1, 1)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2, 1)$ besitzt die Steigung $–2/3$ und schneidet die ~~Entscheidergrenze~~ $G_{\rm 02}$ (mit der Steigung $3/2$) bei $(0.5, 0)$.		*Die Verbindungslinie zwischen  $\boldsymbol{s}_0 = (–1,\ 1)$  und  $\boldsymbol{s}_2 = (2,\ 1)$  besitzt die Steigung  $–2/3$  und schneidet die Entscheidergrenzlinie  $G_{\rm 02}$  $($mit der Steigung  $3/2)$  bei  $(0.5,\ 0)$.
	*Daraus folgt:   $y = {3}/{2} \left ( x - {1}/{2} \right )		*Daraus folgt:   $y = {3}/{2} \left ( x - {1}/{2} \right )
	= -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x\hspace{0.05cm}.$		= -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x\hspace{0.05cm}.$
Zeile 87:		Zeile 89:


	'''(3)'''  Hier ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u> zutreffend:		'''(3)'''  Hier ist der  <u>Lösungsvorschlag 2</u>  zutreffend:
	*Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_1 = (1, 2)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2, \, –1)$ schneidet die Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ bei $(1.5, 0.5)$ und besitzt die Steigung $–3$.		*Die Verbindungslinie zwischen  $\boldsymbol{s}_1 = (1,\ 2)$  und  $\boldsymbol{s}_2 = (2, \, –1)$  schneidet die Entscheidungsgrenze  $G_{\rm 12}$  bei  $(1.5,\ 0.5)$  und besitzt die Steigung  $–3$.
	*Demzufolge ist die Steigung von $G_{\rm 12} = 1/3$ und die Gleichung der Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ lautet:		*Demzufolge ist die Steigung von  $G_{\rm 12} = 1/3$  und die Gleichung der Entscheidungsgrenze  $G_{\rm 12}$  lautet:
	:$$y - {1}/{2} = {1}/{3} \cdot \left ( x - {3}/{2} \right )		:$$y - {1}/{2} = {1}/{3} \cdot \left ( x - {3}/{2} \right )
	= {x}/{3} - {1}/{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y = {x}/{3}		= {x}/{3} - {1}/{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y = {x}/{3}
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	'''(4)'''  Die Grafik zeigt bereits, dass die richtige Antwort <u>JA</u> ist.		'''(4)'''  Die Grafik zeigt bereits,  dass die richtige Antwort  <u>JA</u>  ist.
	*Der Schnittpunkt von $G_{\rm 01}$ und $G_{\rm 12}$ (weißer Kreis) liegt bei $(9/14, 3/14)$, wegen		*Der Schnittpunkt von  $G_{\rm 01}$  und  $G_{\rm 12}$  (weißer Kreis)  liegt bei  $(9/14,\ 3/14)$,  wegen
	:$${3}/{2} - 2 x = {x}/{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$${3}/{2} - 2 x = {x}/{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	{3}/{2} = {7}/{3} \cdot x \hspace{0.3cm}		{3}/{2} = {7}/{3} \cdot x \hspace{0.3cm}
Zeile 102:		Zeile 104:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	*Auch die Gerade $G_{\rm 02}$ geht durch diesen Punkt:		*Auch die Gerade  $G_{\rm 02}$  geht durch diesen Punkt:
	:$$y(x = {9}/{14}) =-{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot {9}/{14} =\frac{-21+27}{28}= {3}/{14}		:$$y(x = {9}/{14}) =-{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot {9}/{14} =\frac{-21+27}{28}= {3}/{14}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$


	'''(5)'''  Gemäß der Grafik sind <u>alle genannten Aussagen richtig</u>.		'''(5)'''  Gemäß der Grafik sind  <u>alle genannten Aussagen richtig</u>.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}


	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^4.3 BER-Approximation^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^4.3 BER-Approximation^]]

Guenter am 28. Juli 2022 um 15:24 Uhr

2022-07-28T15:24:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. Juli 2022, 17:24 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:
	jeweils bezogen auf den Normierungswert  $\sqrt {E}$.		jeweils bezogen auf den Normierungswert  $\sqrt {E}$.

	Gesucht sind die Entscheidungsregionen  $I_0$,  $I_1$  und  $I_2$, wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:		Gesucht sind die Entscheidungsregionen  $I_0$,  $I_1$  und  $I_2$,  wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:
	* Die Region  $I_i$  soll den Signalraumpunkt  $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten  ($i = 0, 1, 2$).		* Die Region  $I_i$  soll den Signalraumpunkt  $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten  $(i = 0,\ 1,\ 2)$.
	* Die Signale  $\boldsymbol{s}_0$,  $\boldsymbol{s}_1$  und  $\boldsymbol{s}_2$  sind gleichwahrscheinlich.		* Die Signale  $\boldsymbol{s}_0$,  $\boldsymbol{s}_1$  und  $\boldsymbol{s}_2$  sind gleichwahrscheinlich.
	* Die Regionen sind so zu bestimmen, dass sich für den AWGN–Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.		* Die Regionen sind so zu bestimmen,  dass sich für den AWGN–Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.


	Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen  $G_{\it ik}$  zwischen den Regionen  $I_i$  und  $I_k$  jeweils ~~Geraden~~, die genau in der Mitte zwischen  $\boldsymbol{s}_i$  und  $\boldsymbol{s}_k$  verlaufen  $(i = 0, 1, 2; \ \ k = 0, 1, 2; \ \ i ≠ k)$.		Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen  $G_{\it ik}$  zwischen den Regionen  $I_i$  und  $I_k$  jeweils Gerade,  die genau in der Mitte zwischen  $\boldsymbol{s}_i$  und  $\boldsymbol{s}_k$  verlaufen  $(i = 0,\ 1,\ 2; \ \ k = 0,\ 1,\ 2; \ \ i ≠ k)$.

	Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte		Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte
Zeile 23:		Zeile 23:
	\boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$		\boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$

	eingezeichnet, die in der Teilaufgabe '''(5)''' jeweils einer Region  $I_i$  zugeordnet werden sollen.		eingezeichnet,  die in der Teilaufgabe  '''(5)'''  jeweils einer Region  $I_i$  zugeordnet werden sollen.


Zeile 29:		Zeile 29:


			Hinweise:
	''Hinweise:''		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit"]].
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].

	* Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:		* Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:
Zeile 59:		Zeile 58:
	- $y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.		- $y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.

	{Skizzieren Sie die drei Entscheidungsregionen  $I_0$,  $I_1$  und  $I_2$. Schneiden sich die Entscheidungsgrenzen  $G_{\rm 01}$,  $G_{\rm 02}$  und  $G_{\rm 12}$  in einem Punkt?		{Skizzieren Sie die drei Entscheidungsregionen  $I_0$,  $I_1$  und  $I_2$.  Schneiden sich die Entscheidungsgrenzen  $G_{\rm 01}$,  $G_{\rm 02}$  und  $G_{\rm 12}$  in einem Punkt?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	+ Ja.		+ Ja.
Zeile 66:		Zeile 65:
	{Welche der folgenden Entscheidungen sind richtig?		{Welche der folgenden Entscheidungen sind richtig?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $\boldsymbol{A} = (0.5, 0.25)$  gehört zur Region  $I_0$.		+ $\boldsymbol{A} = (0.5,\ 0.25)$  gehört zur Region  $I_0$.
	+ $\boldsymbol{B} = (1, 0)$  gehört zur Region  $I_2$.		+ $\boldsymbol{B} = (1,\ 0)$  gehört zur Region  $I_2$.
	+ $\boldsymbol{C} = (0.75, 0.5)$  gehört zur Region  $I_1$.		+ $\boldsymbol{C} = (0.75,\ 0.5)$  gehört zur Region  $I_1$.
	</quiz>		</quiz>

Guenter am 13. März 2019 um 16:24 Uhr

2019-03-13T16:24:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. März 2019, 18:24 Uhr
Zeile 76:		Zeile 76:
	'''(1)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:		'''(1)'''  Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
	*Die Verbindungslinie zwischen den Signalpunkten $\boldsymbol{s}_0 = (–1, 1)$ und $\boldsymbol{s}_1 = (1, 2)$ hat die Steigung $1/2$ (siehe Grafik).		*Die Verbindungslinie zwischen den Signalpunkten $\boldsymbol{s}_0 = (–1, 1)$ und $\boldsymbol{s}_1 = (1, 2)$ hat die Steigung $1/2$ (siehe Grafik).
	*Die Entscheidungsgrenze schneidet die Verbindungslinie bei $(\boldsymbol{s}_0 + \boldsymbol{s}_1)/2 = (0, 1.5)$ und weist die Steigung $2$ auf (Drehung der Verbindungslinie um ~~90°~~).		*Die Entscheidungsgrenze schneidet die Verbindungslinie bei $(\boldsymbol{s}_0 + \boldsymbol{s}_1)/2 = (0, 1.5)$ und weist die Steigung $2$ auf (Drehung der Verbindungslinie um $90^\circ$).
	*Daraus folgt:   $y = 1.5 - 2 x \hspace{0.05cm}.$		*Daraus folgt:   $y = 1.5 - 2 x \hspace{0.05cm}.$



Zeile 84:		Zeile 85:
	*Daraus folgt:   $y = {3}/{2} \left ( x - {1}/{2} \right )		*Daraus folgt:   $y = {3}/{2} \left ( x - {1}/{2} \right )
	= -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x\hspace{0.05cm}.$		= -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x\hspace{0.05cm}.$



Zeile 93:		Zeile 95:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	'''(4)'''  Die Grafik zeigt bereits, dass die <u>~~Antwort~~ JA</u> ist. Der Schnittpunkt von $G_{\rm 01}$ und $G_{\rm 12}$ (weißer Kreis) liegt bei $(9/14, 3/14)$, wegen
			'''(4)'''  Die Grafik zeigt bereits, dass die richtige Antwort <u>JA</u> ist.
			*Der Schnittpunkt von $G_{\rm 01}$ und $G_{\rm 12}$ (weißer Kreis) liegt bei $(9/14, 3/14)$, wegen
	:$${3}/{2} - 2 x = {x}/{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$${3}/{2} - 2 x = {x}/{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	{3}/{2} = {7}/{3} \cdot x \hspace{0.3cm}		{3}/{2} = {7}/{3} \cdot x \hspace{0.3cm}
Zeile 99:		Zeile 103:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Auch die Gerade $G_{\rm 02}$ geht durch diesen Punkt:		*Auch die Gerade $G_{\rm 02}$ geht durch diesen Punkt:
	:$$y(x = {9}/{14}) =-{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot {9}/{14} =\frac{-21+27}{28}= {3}/{14}		:$$y(x = {9}/{14}) =-{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot {9}/{14} =\frac{-21+27}{28}= {3}/{14}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$


	'''(5)'''  Gemäß der Grafik sind <u>alle genannten Aussagen richtig</u>.		'''(5)'''  Gemäß der Grafik sind <u>alle genannten Aussagen richtig</u>.

Guenter am 13. März 2019 um 16:19 Uhr

2019-03-13T16:19:54Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. März 2019, 18:19 Uhr
Zeile 42:		Zeile 42:
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze  $G_{\rm 01}$?		{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze  $G_{\rm 01}$?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	+ $y = 3/2 \, -2 \cdot x$,		+ $y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
	- $y = x/3$,		- $y = x/3$,
Zeile 65:		Zeile 65:

	{Welche der folgenden Entscheidungen sind richtig?		{Welche der folgenden Entscheidungen sind richtig?
	\|type="()"}		\|type="[]"}
	+ $\boldsymbol{A} = (0.5, 0.25)$  gehört zur Region  $I_0$.		+ $\boldsymbol{A} = (0.5, 0.25)$  gehört zur Region  $I_0$.
	+ $\boldsymbol{B} = (1, 0)$  gehört zur Region  $I_2$.		+ $\boldsymbol{B} = (1, 0)$  gehört zur Region  $I_2$.

Guenter am 13. März 2019 um 16:18 Uhr

2019-03-13T16:18:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. März 2019, 18:18 Uhr
Zeile 2:		Zeile 2:
	{{quiz-Header\|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit}}		{{quiz-Header\|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit}}

	[[Datei:P_ID2018__Dig_A_4_8.png\|right\|frame\|Signalraumkonstellationen mit $M = 3$ Symbolen]]		[[Datei:P_ID2018__Dig_A_4_8.png\|right\|frame\|Signalraumkonstellationen mit  $M = 3$  Symbolen]]
	Wir betrachten eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum $(N = 2)$ mit der Signalmenge:		Wir betrachten eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum  $(N = 2)$  mit der Signalmenge:
	:$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}		:$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
	\boldsymbol{ s }_1 = (1, 2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}		\boldsymbol{ s }_1 = (1, 2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
	\boldsymbol{ s }_2 = (2, -1)\hspace{0.05cm},$$		\boldsymbol{ s }_2 = (2, -1)\hspace{0.05cm},$$

	jeweils bezogen auf den Normierungswert $\sqrt {E}$.		jeweils bezogen auf den Normierungswert  $\sqrt {E}$.

	Gesucht sind die Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$, wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:		Gesucht sind die Entscheidungsregionen  $I_0$,  $I_1$  und  $I_2$, wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:
	* Die Region $I_i$ soll den Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten ($i = 0, 1, 2$).		* Die Region  $I_i$  soll den Signalraumpunkt  $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten  ($i = 0, 1, 2$).
	* Die Signale $\boldsymbol{s}_0$, $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ sind gleichwahrscheinlich.		* Die Signale  $\boldsymbol{s}_0$,  $\boldsymbol{s}_1$  und  $\boldsymbol{s}_2$  sind gleichwahrscheinlich.
	* Die Regionen ~~sollen~~ so ~~bestimmt werden~~, dass sich ~~beispielsweise~~ für den AWGN–Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.		* Die Regionen sind so zu bestimmen, dass sich für den AWGN–Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.


	Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen $G_{\it ik}$ zwischen den Regionen $I_i$ und $I_k$ jeweils Geraden, die genau in der Mitte zwischen $\boldsymbol{s}_i$ und $\boldsymbol{s}_k$ verlaufen ($i = 0, 1, 2; \ \ k = 0, 1, 2; \ \ i ≠ k$).		Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen  $G_{\it ik}$  zwischen den Regionen  $I_i$  und  $I_k$  jeweils Geraden, die genau in der Mitte zwischen  $\boldsymbol{s}_i$  und  $\boldsymbol{s}_k$  verlaufen  $(i = 0, 1, 2; \ \ k = 0, 1, 2; \ \ i ≠ k)$.

	Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte		Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte
Zeile 23:		Zeile 23:
	\boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$		\boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$

	eingezeichnet, die in der Teilaufgabe (5) jeweils einer Region $I_i$ zugeordnet werden sollen.		eingezeichnet, die in der Teilaufgabe '''(5)''' jeweils einer Region  $I_i$  zugeordnet werden sollen.






	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].

	* Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:		* Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:
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	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze $G_{\rm 01}$?		{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze  $G_{\rm 01}$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ $y = 3/2 \, ~~–~~2 \cdot x$,		+ $y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
	- $y = x/3$,		- $y = x/3$,
	- $y = \, ~~–~~3/4 + 3/2 \cdot x$.		- $y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.

	{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze $G_{\rm 02}$?		{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze  $G_{\rm 02}$?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- $y = 3/2 \, ~~–~~2 \cdot x$,		- $y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
	- $y = x/3$,		- $y = x/3$,
	+ $y = \, ~~–~~3/4 + 3/2 \cdot x$.		+ $y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.

	{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze $G_{\rm 12}$?		{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze  $G_{\rm 12}$?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- $y = 3/2 \, ~~–~~2 \cdot x$,		- $y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
	+ $y = x/3$,		+ $y = x/3$,
	- $y = \, ~~–~~3/4 + 3/2 \cdot x$.		- $y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.

	{Skizzieren Sie die drei Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$. Schneiden sich die Entscheidungsgrenzen $G_{\rm 01}$, $G_{\rm 02}$ und $G_{\rm 12}$ in einem Punkt?		{Skizzieren Sie die drei Entscheidungsregionen  $I_0$,  $I_1$  und  $I_2$. Schneiden sich die Entscheidungsgrenzen  $G_{\rm 01}$,  $G_{\rm 02}$  und  $G_{\rm 12}$  in einem Punkt?
	\|type="()"}		\|type="()"}
	+ Ja.		+ Ja.
Zeile 62:		Zeile 65:

	{Welche der folgenden Entscheidungen sind richtig?		{Welche der folgenden Entscheidungen sind richtig?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	+ $\boldsymbol{A} = (0.5, 0.25)$ gehört zur Region $I_0$.		+ $\boldsymbol{A} = (0.5, 0.25)$  gehört zur Region  $I_0$.
	+ $\boldsymbol{B} = (1, 0)$ gehört zur Region $I_2$.		+ $\boldsymbol{B} = (1, 0)$  gehört zur Region  $I_2$.
	+ $\boldsymbol{C} = (0.75, 0.5)$ gehört zur Region $I_1$.		+ $\boldsymbol{C} = (0.75, 0.5)$  gehört zur Region  $I_1$.
	</quiz>		</quiz>

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:48Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	* Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:		* Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:
	:$$x = {\varphi_1(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}		:$$x = {\varphi_1(t)}/{\sqrt{E}}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}

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2018-01-04T06:34:27Z

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2017-11-20T15:14:34Z

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