Aufgaben:Aufgabe 4.08: Entscheidungsregionen bei drei Symbolen - Versionsgeschichte

Guenter am 28. Juli 2022 um 16:18 Uhr

2022-07-28T16:18:20Z

Guenter am 28. Juli 2022 um 15:24 Uhr

2022-07-28T15:24:49Z

Guenter am 13. März 2019 um 16:24 Uhr

2019-03-13T16:24:07Z

Guenter am 13. März 2019 um 16:19 Uhr

2019-03-13T16:19:54Z

Guenter am 13. März 2019 um 16:18 Uhr

2019-03-13T16:18:18Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:48Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.08 Entscheidungsregionen bei drei Symbolen nach Aufgaben:Aufgabe 4.08: Entscheidungsregionen bei drei Symbolen

2018-01-04T06:34:27Z

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2017-11-20T15:14:34Z

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Guenter am 20. November 2017 um 15:14 Uhr

2017-11-20T15:14:10Z

Guenter am 20. November 2017 um 15:00 Uhr

2017-11-20T15:00:31Z

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 {{ML-Kopf}}
 [[Datei:P_ID2038__Dig_A_4_8d.png|right|frame|Entscheidungsregionen]]
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-*Die Verbindungslinie zwischen den Signalpunkten $\boldsymbol{s}_0 = (&ndash;1, 1)$ und $\boldsymbol{s}_1 = (1, 2)$ hat die Steigung $1/2$ (siehe Grafik).
+*Die Verbindungslinie zwischen den Signalpunkten&nbsp; $\boldsymbol{s}_0 = (&ndash;1,\ 1)$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_1 = (1,\ 2)$&nbsp; hat die Steigung&nbsp; $1/2$&nbsp; (siehe Grafik).
-*Die Entscheidungsgrenze schneidet die Verbindungslinie bei $(\boldsymbol{s}_0 + \boldsymbol{s}_1)/2 = (0, 1.5)$ und weist die Steigung $2$ auf (Drehung der Verbindungslinie um $90^\circ$).
 *Daraus folgt: &nbsp; $y  = 1.5 - 2 x \hspace{0.05cm}.$
-'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 3</u>:
-*Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_0 = (&ndash;1, 1)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2, 1)$ besitzt die Steigung $&ndash;2/3$ und schneidet die Entscheidergrenze $G_{\rm 02}$ (mit der Steigung $3/2$) bei $(0.5, 0)$.
+*Die Verbindungslinie zwischen&nbsp; $\boldsymbol{s}_0 = (&ndash;1,\ 1)$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_2 = (2,\ 1)$&nbsp; besitzt die Steigung&nbsp; $&ndash;2/3$&nbsp; und schneidet die Entscheidergrenzlinie&nbsp; $G_{\rm 02}$&nbsp; $($mit der Steigung&nbsp; $3/2)$&nbsp; bei&nbsp; $(0.5,\ 0)$.
 *Daraus folgt: &nbsp; $y = {3}/{2} \left ( x - {1}/{2} \right )
     = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x\hspace{0.05cm}.$
@@ Zeile 87: / Zeile 89: @@
-'''(3)'''&nbsp; Hier ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u> zutreffend:
+'''(3)'''&nbsp; Hier ist der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>&nbsp; zutreffend:
-*Die Verbindungslinie zwischen $\boldsymbol{s}_1 = (1, 2)$ und $\boldsymbol{s}_2 = (2, \, &ndash;1)$ schneidet die Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ bei $(1.5, 0.5)$ und besitzt die Steigung $&ndash;3$.
+*Die Verbindungslinie zwischen&nbsp; $\boldsymbol{s}_1 = (1,\ 2)$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_2 = (2, \, &ndash;1)$&nbsp; schneidet die Entscheidungsgrenze&nbsp; $G_{\rm 12}$&nbsp; bei&nbsp; $(1.5,\ 0.5)$&nbsp; und besitzt die Steigung&nbsp; $&ndash;3$.
-*Demzufolge ist die Steigung von $G_{\rm 12} = 1/3$ und die Gleichung der Entscheidungsgrenze $G_{\rm 12}$ lautet:
+*Demzufolge ist die Steigung von&nbsp; $G_{\rm 12} = 1/3$&nbsp; und die Gleichung der Entscheidungsgrenze&nbsp; $G_{\rm 12}$&nbsp; lautet:
 :$$y - {1}/{2} = {1}/{3} \cdot \left ( x - {3}/{2} \right )
      = {x}/{3} - {1}/{2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y =   {x}/{3}
@@ Zeile 95: / Zeile 97: @@
-'''(4)'''&nbsp; Die Grafik zeigt bereits, dass die richtige Antwort <u>JA</u> ist.
+'''(4)'''&nbsp; Die Grafik zeigt bereits,&nbsp; dass die richtige Antwort&nbsp; <u>JA</u>&nbsp; ist.
-*Der Schnittpunkt von $G_{\rm 01}$ und $G_{\rm 12}$ (weißer Kreis) liegt bei $(9/14, 3/14)$, wegen
+*Der Schnittpunkt von&nbsp; $G_{\rm 01}$&nbsp; und&nbsp; $G_{\rm 12}$&nbsp; (weißer Kreis)&nbsp; liegt bei&nbsp; $(9/14,\ 3/14)$,&nbsp; wegen
 :$${3}/{2} - 2 x = {x}/{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
      {3}/{2} = {7}/{3} \cdot x \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 102: / Zeile 104: @@
      \hspace{0.05cm}.$$
-*Auch die Gerade $G_{\rm 02}$ geht durch diesen Punkt:
+*Auch die Gerade&nbsp; $G_{\rm 02}$&nbsp; geht durch diesen Punkt:
 :$$y(x = {9}/{14}) =-{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot {9}/{14} =\frac{-21+27}{28}= {3}/{14}
      \hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Gemäß der Grafik sind <u>alle genannten Aussagen richtig</u>.
+'''(5)'''&nbsp; Gemäß der Grafik sind&nbsp; <u>alle genannten Aussagen richtig</u>.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^4.3 BER-Approximation^]]

@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 jeweils bezogen auf den Normierungswert&nbsp; $\sqrt {E}$.
-Gesucht sind die Entscheidungsregionen&nbsp; $I_0$,&nbsp; $I_1$&nbsp; und&nbsp; $I_2$, wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:
+Gesucht sind die Entscheidungsregionen&nbsp; $I_0$,&nbsp; $I_1$&nbsp; und&nbsp; $I_2$,&nbsp; wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:
-* Die Region&nbsp; $I_i$&nbsp; soll den Signalraumpunkt&nbsp; $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten&nbsp; ($i = 0, 1, 2$).
+* Die Region&nbsp; $I_i$&nbsp; soll den Signalraumpunkt&nbsp; $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten&nbsp; $(i = 0,\ 1,\ 2)$.
 * Die Signale&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$,&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_2$&nbsp; sind gleichwahrscheinlich.
-* Die Regionen sind so zu bestimmen, dass sich für den AWGN&ndash;Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.
+* Die Regionen sind so zu bestimmen,&nbsp; dass sich für den AWGN&ndash;Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.
-Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen&nbsp; $G_{\it ik}$&nbsp; zwischen den Regionen&nbsp; $I_i$&nbsp; und&nbsp; $I_k$&nbsp; jeweils Geraden, die genau in der Mitte zwischen&nbsp; $\boldsymbol{s}_i$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_k$&nbsp; verlaufen &nbsp;$(i = 0, 1, 2; \ \ k = 0, 1, 2; \ \  i &ne; k)$.
+Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen&nbsp; $G_{\it ik}$&nbsp; zwischen den Regionen&nbsp; $I_i$&nbsp; und&nbsp; $I_k$&nbsp; jeweils Gerade,&nbsp; die genau in der Mitte zwischen&nbsp; $\boldsymbol{s}_i$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_k$&nbsp; verlaufen &nbsp;$(i = 0,\ 1,\ 2; \ \ k = 0,\ 1,\ 2; \ \  i &ne; k)$.
 Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte
@@ Zeile 23: / Zeile 23: @@
     \boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$
-eingezeichnet, die in der Teilaufgabe '''(5)''' jeweils einer Region&nbsp; $I_i$&nbsp; zugeordnet werden sollen.
+eingezeichnet,&nbsp; die in der Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; jeweils einer Region&nbsp; $I_i$&nbsp; zugeordnet werden sollen.
@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
 Hinweise:
-''Hinweise:''
+* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit"]].
 * Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:
@@ Zeile 59: / Zeile 58: @@
 - $y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.
-{Skizzieren Sie die drei Entscheidungsregionen&nbsp; $I_0$,&nbsp; $I_1$&nbsp; und&nbsp; $I_2$. Schneiden sich die Entscheidungsgrenzen&nbsp; $G_{\rm 01}$,&nbsp; $G_{\rm 02}$&nbsp; und&nbsp; $G_{\rm 12}$&nbsp; in einem Punkt?
+{Skizzieren Sie die drei Entscheidungsregionen&nbsp; $I_0$,&nbsp; $I_1$&nbsp; und&nbsp; $I_2$.&nbsp; Schneiden sich die Entscheidungsgrenzen&nbsp; $G_{\rm 01}$,&nbsp; $G_{\rm 02}$&nbsp; und&nbsp; $G_{\rm 12}$&nbsp; in einem Punkt?
 |type="()"}
 + Ja.
@@ Zeile 66: / Zeile 65: @@
 {Welche der folgenden Entscheidungen sind richtig?
 |type="[]"}
-+ $\boldsymbol{A} = (0.5, 0.25)$&nbsp; gehört zur Region &nbsp;$I_0$.
++ $\boldsymbol{A} = (0.5,\ 0.25)$&nbsp; gehört zur Region &nbsp;$I_0$.
-+ $\boldsymbol{B} = (1, 0)$&nbsp; gehört zur Region &nbsp;$I_2$.
++ $\boldsymbol{B} = (1,\ 0)$&nbsp; gehört zur Region &nbsp;$I_2$.
-+ $\boldsymbol{C} = (0.75, 0.5)$&nbsp; gehört zur Region&nbsp; $I_1$.
++ $\boldsymbol{C} = (0.75,\ 0.5)$&nbsp; gehört zur Region&nbsp; $I_1$.
 </quiz>

@@ Zeile 76: / Zeile 76: @@
 '''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
 *Die Verbindungslinie zwischen den Signalpunkten $\boldsymbol{s}_0 = (&ndash;1, 1)$ und $\boldsymbol{s}_1 = (1, 2)$ hat die Steigung $1/2$ (siehe Grafik).
-*Die Entscheidungsgrenze schneidet die Verbindungslinie bei $(\boldsymbol{s}_0 + \boldsymbol{s}_1)/2 = (0, 1.5)$ und weist die Steigung $2$ auf (Drehung der Verbindungslinie um 90°).
+*Die Entscheidungsgrenze schneidet die Verbindungslinie bei $(\boldsymbol{s}_0 + \boldsymbol{s}_1)/2 = (0, 1.5)$ und weist die Steigung $2$ auf (Drehung der Verbindungslinie um $90^\circ$).
 *Daraus folgt: &nbsp; $y  = 1.5 - 2 x \hspace{0.05cm}.$
@@ Zeile 84: / Zeile 85: @@
 *Daraus folgt: &nbsp; $y = {3}/{2} \left ( x - {1}/{2} \right )
     = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x\hspace{0.05cm}.$
@@ Zeile 93: / Zeile 95: @@
      \hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Die Grafik zeigt bereits, dass die <u>Antwort JA</u> ist. Der Schnittpunkt von $G_{\rm 01}$ und $G_{\rm 12}$ (weißer Kreis) liegt bei $(9/14, 3/14)$, wegen
 :$${3}/{2} - 2 x = {x}/{3} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
      {3}/{2} = {7}/{3} \cdot x \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 99: / Zeile 103: @@
      \hspace{0.05cm}.$$
-Auch die Gerade $G_{\rm 02}$ geht durch diesen Punkt:
+*Auch die Gerade $G_{\rm 02}$ geht durch diesen Punkt:
 :$$y(x = {9}/{14}) =-{3}/{4} + {3}/{2} \cdot x = -{3}/{4} + {3}/{2} \cdot {9}/{14} =\frac{-21+27}{28}= {3}/{14}
      \hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Gemäß der Grafik sind <u>alle genannten Aussagen richtig</u>.

@@ Zeile 42: / Zeile 42: @@
 <quiz display=simple>
 {Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze&nbsp; $G_{\rm 01}$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 + $y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
 - $y = x/3$,
@@ Zeile 65: / Zeile 65: @@
 {Welche der folgenden Entscheidungen sind richtig?
-|type="()"}
+|type="[]"}
 + $\boldsymbol{A} = (0.5, 0.25)$&nbsp; gehört zur Region &nbsp;$I_0$.
 + $\boldsymbol{B} = (1, 0)$&nbsp; gehört zur Region &nbsp;$I_2$.

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit}}
-[[Datei:P_ID2018__Dig_A_4_8.png|right|frame|Signalraumkonstellationen mit $M = 3$ Symbolen]]
+[[Datei:P_ID2018__Dig_A_4_8.png|right|frame|Signalraumkonstellationen mit&nbsp; $M = 3$&nbsp; Symbolen]]
-Wir betrachten eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum $(N = 2)$ mit der Signalmenge:
+Wir betrachten eine Signalraumkonstellation im zweidimensionalen Raum&nbsp; $(N = 2)$&nbsp; mit der Signalmenge:
 :$$\boldsymbol{ s }_0 = (-1, 1)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
     \boldsymbol{ s }_1 = (1, 2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
     \boldsymbol{ s }_2 = (2, -1)\hspace{0.05cm},$$
-jeweils bezogen auf den Normierungswert $\sqrt {E}$.
+jeweils bezogen auf den Normierungswert&nbsp; $\sqrt {E}$.
-Gesucht sind die Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$, wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:
+Gesucht sind die Entscheidungsregionen&nbsp; $I_0$,&nbsp; $I_1$&nbsp; und&nbsp; $I_2$, wobei folgende Gesichtspunkte zu beachten sind:
-* Die Region $I_i$ soll den Signalraumpunkt $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten ($i = 0, 1, 2$).
+* Die Region&nbsp; $I_i$&nbsp; soll den Signalraumpunkt&nbsp; $\boldsymbol{s}_i$ beinhalten&nbsp; ($i = 0, 1, 2$).
-* Die Signale $\boldsymbol{s}_0$, $\boldsymbol{s}_1$ und $\boldsymbol{s}_2$ sind gleichwahrscheinlich.
+* Die Signale&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$,&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_2$&nbsp; sind gleichwahrscheinlich.
-* Die Regionen sollen so bestimmt werden, dass sich beispielsweise für den AWGN&ndash;Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.
+* Die Regionen sind so zu bestimmen, dass sich für den AWGN&ndash;Kanal die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt.
-Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen $G_{\it ik}$ zwischen den Regionen $I_i$ und $I_k$ jeweils Geraden, die genau in der Mitte zwischen $\boldsymbol{s}_i$ und $\boldsymbol{s}_k$ verlaufen ($i = 0, 1, 2; \ \ k = 0, 1, 2; \ \  i &ne; k$).
+Mit diesen Voraussetzungen sind die Entscheidergrenzen&nbsp; $G_{\it ik}$&nbsp; zwischen den Regionen&nbsp; $I_i$&nbsp; und&nbsp; $I_k$&nbsp; jeweils Geraden, die genau in der Mitte zwischen&nbsp; $\boldsymbol{s}_i$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_k$&nbsp; verlaufen &nbsp;$(i = 0, 1, 2; \ \ k = 0, 1, 2; \ \  i &ne; k)$.
 Mit Kreuzen sind in obiger Grafik drei Empfangswerte
@@ Zeile 23: / Zeile 23: @@
     \boldsymbol{ C } = (0.75, \hspace{0.1cm}0.50)$$
-eingezeichnet, die in der Teilaufgabe (5) jeweils einer Region $I_i$ zugeordnet werden sollen.
+eingezeichnet, die in der Teilaufgabe '''(5)''' jeweils einer Region&nbsp; $I_i$&nbsp; zugeordnet werden sollen.
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
+* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
 * Zur Vereinfachung der Schreibweise wird nachfolgend verwendet:
@@ Zeile 38: / Zeile 41: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze $G_{\rm 01}$?
+{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze&nbsp; $G_{\rm 01}$?
 |type="[]"}
-+ $y = 3/2 \, &ndash;2 \cdot x$,
++ $y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
 - $y = x/3$,
-- $y = \, &ndash;3/4 + 3/2 \cdot x$.
+- $y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.
-{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze $G_{\rm 02}$?
+{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze&nbsp; $G_{\rm 02}$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-- $y = 3/2 \, &ndash;2 \cdot x$,
+- $y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
 - $y = x/3$,
-+ $y = \, &ndash;3/4 + 3/2 \cdot x$.
++ $y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.
-{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze $G_{\rm 12}$?
+{Wie lautet die Gleichung der Entscheidergrenze&nbsp; $G_{\rm 12}$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-- $y = 3/2 \, &ndash;2 \cdot x$,
+- $y = 3/2 \, -2 \cdot x$,
 + $y = x/3$,
-- $y = \, &ndash;3/4 + 3/2 \cdot x$.
+- $y = \, -3/4 + 3/2 \cdot x$.
-{Skizzieren Sie die drei Entscheidungsregionen $I_0$, $I_1$ und $I_2$. Schneiden sich die Entscheidungsgrenzen $G_{\rm 01}$, $G_{\rm 02}$ und $G_{\rm 12}$ in einem Punkt?
+{Skizzieren Sie die drei Entscheidungsregionen&nbsp; $I_0$,&nbsp; $I_1$&nbsp; und&nbsp; $I_2$. Schneiden sich die Entscheidungsgrenzen&nbsp; $G_{\rm 01}$,&nbsp; $G_{\rm 02}$&nbsp; und&nbsp; $G_{\rm 12}$&nbsp; in einem Punkt?
 |type="()"}
 + Ja.
@@ Zeile 62: / Zeile 65: @@
 {Welche der folgenden Entscheidungen sind richtig?
-|type="[]"}
+|type="()"}
-+ $\boldsymbol{A} = (0.5, 0.25)$ gehört zur Region $I_0$.
++ $\boldsymbol{A} = (0.5, 0.25)$&nbsp; gehört zur Region &nbsp;$I_0$.
-+ $\boldsymbol{B} = (1, 0)$ gehört zur Region $I_2$.
++ $\boldsymbol{B} = (1, 0)$&nbsp; gehört zur Region &nbsp;$I_2$.
-+ $\boldsymbol{C} = (0.75, 0.5)$ gehört zur Region $I_1$.
++ $\boldsymbol{C} = (0.75, 0.5)$&nbsp; gehört zur Region&nbsp; $I_1$.
 </quiz>