Aufgaben:Aufgabe 4.07: Nochmals Entscheidungsgrenzen - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:37:01Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:37 Uhr
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	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^4.3 BER-Approximation^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^4.3 BER-Approximation^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_4.07:_Decision_Boundaries_once_again]]

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2026-02-24T13:39:33Z

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← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:39 Uhr
Zeile 20:		Zeile 20:

	Sind dagegen die Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich   ⇒  ${\rm Pr}(m_0) ≠ {\rm Pr}(m_1)$,  so kann durch eine Verschiebung der Entscheidergrenze  $G$  eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden:		Sind dagegen die Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich   ⇒  ${\rm Pr}(m_0) ≠ {\rm Pr}(m_1)$,  so kann durch eine Verschiebung der Entscheidergrenze  $G$  eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden:
	:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}(m_1) \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \cdot (1 + \gamma) \right )		:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}(m_1) \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \cdot (1 + \gamma) \right )+ {\rm Pr}(m_0) \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \cdot (1 - \gamma) \right )\hspace{0.05cm},$$
	+ {\rm Pr}(m_0) \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \cdot (1 - \gamma) \right )\hspace{0.05cm},$$

	wobei die Hilfsgröße  $\gamma$  wie folgt definiert ist:		wobei die Hilfsgröße  $\gamma$  wie folgt definiert ist:
	:$$\gamma = 2 \cdot \frac{ \sigma_n^2}{d^2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_1)}{{\rm Pr}( m_0)}		:$$\gamma = 2 \cdot \frac{ \sigma_n^2}{d^2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_1)}{{\rm Pr}( m_0)}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} G_{\rm opt} = \gamma \cdot \sqrt {E_{\rm S}}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} G_{\rm opt} = \gamma \cdot \sqrt {E_{\rm S}}\hspace{0.05cm}.$$


Zeile 86:		Zeile 84:

	'''(3)'''  Entsprechend der Angabe gilt für den &bdquo;normierten Schwellenwert”:		'''(3)'''  Entsprechend der Angabe gilt für den &bdquo;normierten Schwellenwert”:
	:$$\gamma = \frac{G_{\rm opt}}{E_{\rm S}^{1/2}} = 2 \cdot \frac{ \sigma_n^2}{d^2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_1)}{{\rm Pr}( m_0)}		:$$\gamma = \frac{G_{\rm opt}}{E_{\rm S}^{1/2}} = 2 \cdot \frac{ \sigma_n^2}{d^2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_1)}{{\rm Pr}( m_0)}= \frac{ 2 \cdot E_{\rm S}/9}{4 \cdot E_{\rm S}} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{2/3}{1/3} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.04}\hspace{0.05cm}.$$
	= \frac{ 2 \cdot E_{\rm S}/9}{4 \cdot E_{\rm S}} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{2/3}{1/3} \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.04}
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Damit ist  $G_{\rm opt} = \gamma \cdot \sqrt{E_{\rm S}} = 0.04 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}$.		*Damit ist  $G_{\rm opt} = \gamma \cdot \sqrt{E_{\rm S}} = 0.04 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}$.
Zeile 97:		Zeile 93:

	'''(4)'''  Mit dieser optimalen Entscheidergrenze ergibt sich eine gegenüber der Teilaufgabe  '''(2)'''  geringfügig kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit:		'''(4)'''  Mit dieser optimalen Entscheidergrenze ergibt sich eine gegenüber der Teilaufgabe  '''(2)'''  geringfügig kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit:
	:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {2}/{3} \cdot {\rm Q} (3 \cdot 1.04) + {1}/{3} \cdot {\rm Q} (3 \cdot 0.96) = {2}/{3} \cdot 0.090 \cdot 10^{-2} + {1}/{3} \cdot 0.199 \cdot 10^{-2}		:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {2}/{3} \cdot {\rm Q} (3 \cdot 1.04) + {1}/{3} \cdot {\rm Q} (3 \cdot 0.96) = {2}/{3} \cdot 0.090 \cdot 10^{-2} + {1}/{3} \cdot 0.199 \cdot 10^{-2}\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.126 \%} \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.126 \%} \hspace{0.05cm}.$$


Zeile 104:		Zeile 99:
	[[Datei:P_ID2035__Dig_A_4_7e.png\|right\|frame\|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen mit  $\sigma_n^2 = E_{\rm S}$]]		[[Datei:P_ID2035__Dig_A_4_7e.png\|right\|frame\|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen mit  $\sigma_n^2 = E_{\rm S}$]]

	:$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) = {\rm Q} \left ( \frac{\sqrt{E_{\rm S}}}{\sqrt{E_{\rm S}}} \right )=		:$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) = {\rm Q} \left ( \frac{\sqrt{E_{\rm S}}}{\sqrt{E_{\rm S}}} \right )={\rm Q} (1)\hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.9 \%} \hspace{0.05cm}.$$
	{\rm Q} (1)\hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.9 \%} \hspace{0.05cm}.$$

	*Die Kenngröße  $\gamma$  (normierte bestmögliche Verschiebung der Entscheidergrenze)  ist		*Die Kenngröße  $\gamma$  (normierte bestmögliche Verschiebung der Entscheidergrenze)  ist
	:$$\gamma = 2 \cdot \frac{ \sigma_n^2}{d^2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_1)}{{\rm Pr}( m_0)}		:$$\gamma = 2 \cdot \frac{ \sigma_n^2}{d^2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_1)}{{\rm Pr}( m_0)}= \frac{ 2 \cdot E_{\rm S}}{4 \cdot E_{\rm S}} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{2/3}{1/3} = \frac{{\rm ln} \hspace{0.15cm} 2}{2} \approx 0.35 $$
	= \frac{ 2 \cdot E_{\rm S}}{4 \cdot E_{\rm S}} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{2/3}{1/3} = \frac{{\rm ln} \hspace{0.15cm} 2}{2} \approx 0.35 $$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G_{\rm opt} = 0.35 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}\hspace{0.05cm}.$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G_{\rm opt} = 0.35 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}
	\hspace{0.05cm}.$$

	*Das häufigere Symbol wird nun seltener verfälscht ⇒ die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit wird geringer:		*Das häufigere Symbol wird nun seltener verfälscht ⇒ die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit wird geringer:
	:$$p_{\rm S} = {2}/{3} \cdot {\rm Q} (1.35) + {1}/{3} \cdot {\rm Q} (0.65) = {2}/{3} \cdot 0.0885 +{1}/{3} \cdot 0.258		:$$p_{\rm S} = {2}/{3} \cdot {\rm Q} (1.35) + {1}/{3} \cdot {\rm Q} (0.65) = {2}/{3} \cdot 0.0885 +{1}/{3} \cdot 0.258\hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 14.5 \%} \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 14.5 \%} \hspace{0.05cm}.$$

	*Die Abbildung macht deutlich,  dass die optimale Entscheidergrenze auch grafisch als Schnittpunkt der beiden  (gewichteten)  Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen ermittelt werden kann:		*Die Abbildung macht deutlich,  dass die optimale Entscheidergrenze auch grafisch als Schnittpunkt der beiden  (gewichteten)  Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen ermittelt werden kann:
Zeile 126:		Zeile 117:
	*Somit gehört der (ungestörte) Signalwert  $s_0$  nicht zur Entscheidungsregion  $I_0$,  sondern zu  $I_1$,  gekennzeichnet durch  $\rho < G_{\rm opt}$.		*Somit gehört der (ungestörte) Signalwert  $s_0$  nicht zur Entscheidungsregion  $I_0$,  sondern zu  $I_1$,  gekennzeichnet durch  $\rho < G_{\rm opt}$.
	*Nur mit einem  (positiven)  Rauschanteil ist  $I_0\ (\rho > G_{\rm opt})$  überhaupt erst möglich.  Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt mit  $G_{\rm opt} = 1.4 \cdot s_0$:		*Nur mit einem  (positiven)  Rauschanteil ist  $I_0\ (\rho > G_{\rm opt})$  überhaupt erst möglich.  Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt mit  $G_{\rm opt} = 1.4 \cdot s_0$:
	:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {2}/{3} \cdot {\rm Q} (0.5 \cdot (1 + 1.4)) + {1}/{3} \cdot {\rm Q} (0.5 \cdot (1 - 1.4)) =		:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {2}/{3} \cdot {\rm Q} (0.5 \cdot (1 + 1.4)) + {1}/{3} \cdot {\rm Q} (0.5 \cdot (1 - 1.4)) = \hspace{0.15cm}\underline {\approx 27\%} \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.15cm}\underline {\approx 27\%} \hspace{0.05cm}.$$

	Die nebenstehende Grafik verdeutlicht die hier gemachten Aussagen.		Die nebenstehende Grafik verdeutlicht die hier gemachten Aussagen.

Guenter am 28. Juli 2022 um 14:44 Uhr

2022-07-28T14:44:31Z

Guenter am 28. Juli 2022 um 14:34 Uhr

2022-07-28T14:34:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. Juli 2022, 16:34 Uhr
Zeile 53:		Zeile 53:
	{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit bei  '''optimaler Schwelle'''   $G = G_{\rm opt}$?		{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit bei  '''optimaler Schwelle'''   $G = G_{\rm opt}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$G = G_{\rm opt} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}\ = \ $ { 12.6 3% } $\ \%$		$G = G_{\rm opt} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}\ = \ $ { 0.126 3% } $\ \%$

	{Welche Fehlerwahrscheinlichkeiten erhält man mit der Rauschvarianz  $\sigma_n^2 = E_{\rm S}$?		{Welche Fehlerwahrscheinlichkeiten erhält man mit der Rauschvarianz  $\sigma_n^2 = E_{\rm S}$?
Zeile 70:		Zeile 70:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die Höhen der beiden gezeichneten Dichtefunktionen sind proportional zu den Auftrittswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(m_0)$ und ${\rm Pr}(m_1)$. Aus		'''(1)'''  Die Höhen der beiden gezeichneten Dichtefunktionen sind proportional zu den Auftrittswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(m_0)$  und  ${\rm Pr}(m_1)$.  Aus
	:$${\rm Pr}(m_1) = 2 \cdot {\rm Pr}(m_0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(m_0) + {\rm Pr}(m_1) = 1$$		:$${\rm Pr}(m_1) = 2 \cdot {\rm Pr}(m_0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(m_0) + {\rm Pr}(m_1) = 1$$

	folgt direkt  ${\rm Pr}(m_0) = 1/3 \ \underline {\approx 0.333}$  und  ${\rm Pr}(m_1) = 2/3 \ \underline {\approx 0.667}$.		:folgt direkt   ${\rm Pr}(m_0) = 1/3 \ \underline {\approx 0.333}$   und   ${\rm Pr}(m_1) = 2/3 \ \underline {\approx 0.667}$.



	'''(2)'''  Mit der Entscheidergrenze $G = 0$ gilt unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten:		'''(2)'''  Mit der Entscheidergrenze  $G = 0$  gilt unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten:
	:$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) \hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) \hspace{0.05cm}.$$

	Mit $d = 2 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}$ und $\sigma_n = \sqrt{E_{\rm S}}/3$ ergibt sich hierfür:   $p_{\rm S} = {\rm Q} (3) \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.135 \%} \hspace{0.05cm}.$		*Mit  $d = 2 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}$  und  $\sigma_n = \sqrt{E_{\rm S}}/3$  ergibt sich hierfür:
			:$$p_{\rm S} = {\rm Q} (3) \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.135 \%} \hspace{0.05cm}.$$


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	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	*Damit ist $G_{\rm opt} = \gamma \cdot \sqrt{E_{\rm S}} = 0.04 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}$.		*Damit ist  $G_{\rm opt} = \gamma \cdot \sqrt{E_{\rm S}} = 0.04 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}$.
	*Die optimale Entscheidergrenze ist demnach nach rechts (hin zum unwahrscheinlicheren Symbol $s_0$) verschoben, ~~wgen~~  ${\rm Pr}(m_0) < {\rm Pr}(m_1)$.
			*Die optimale Entscheidergrenze ist demnach nach rechts  $($hin zum unwahrscheinlicheren Symbol $s_0)$  verschoben,  wegen  ${\rm Pr}(m_0) < {\rm Pr}(m_1)$.

Guenter am 28. Juli 2022 um 14:29 Uhr

2022-07-28T14:29:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. Juli 2022, 16:29 Uhr
Zeile 53:		Zeile 53:
	{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit bei  '''optimaler Schwelle'''   $G = G_{\rm opt}$?		{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit bei  '''optimaler Schwelle'''   $G = G_{\rm opt}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$G = G_{\rm opt} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}\ = \ $ { 0.~~126~~ 3% } $\ \%$		$G = G_{\rm opt} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}\ = \ $ { 12.6 3% } $\ \%$

	{Welche Fehlerwahrscheinlichkeiten erhält man mit der Rauschvarianz  $\sigma_n^2 = E_{\rm S}$?		{Welche Fehlerwahrscheinlichkeiten erhält man mit der Rauschvarianz  $\sigma_n^2 = E_{\rm S}$?

Guenter am 28. Juli 2022 um 14:26 Uhr

2022-07-28T14:26:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 28. Juli 2022, 16:26 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:
	[[Datei:P_ID2017__Dig_A_4_7.png\|right\|frame\|WDF mit ungleichen Symbolwahrscheinlichkeiten]]		[[Datei:P_ID2017__Dig_A_4_7.png\|right\|frame\|WDF mit ungleichen Symbolwahrscheinlichkeiten]]
	Wir betrachten ein Übertragungssystem mit		Wir betrachten ein Übertragungssystem mit
	* nur einer Basisfunktino  $(N = 1)$,		# nur einer Basisfunktino  $(N = 1)$,
	* zwei Signalen  $(M = 2)$  mit  $s_0 = \sqrt{E_s}$  und  $s_1 = -\sqrt{E_s}$ ,		# zwei Signalen  $(M = 2)$  mit  $s_0 = \sqrt{E_s}$  und  $s_1 = -\sqrt{E_s}$ ,
	* einem AWGN–Kanal mit Varianz  $\sigma_n^2 = N_0/2$.		# einem AWGN–Kanal mit Varianz  $\sigma_n^2 = N_0/2$.


	Da in dieser Aufgabe der allgemeine Fall  ${\rm Pr}(m_0) ≠ {\rm Pr}(m_1)$  behandelt wird, genügt es nicht, die bedingten Dichtefunktionen  $p_{\it r\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m_i}(\rho\hspace{0.05cm} \|\hspace{0.05cm}m_i)$  zu betrachten. Vielmehr müssen diese noch mit den Symbolwahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(m_i)$  multipliziert werden. Für  $i$  sind hier die Werte  $0$  und  $1$  einzusetzen.		Da in dieser Aufgabe der allgemeine Fall   ${\rm Pr}(m_0) ≠ {\rm Pr}(m_1)$   behandelt wird,  genügt es nicht,  die bedingten Dichtefunktionen   $p_{\it r\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m_i}(\rho\hspace{0.05cm} \|\hspace{0.05cm}m_i)$   zu betrachten.  Vielmehr müssen diese noch mit den Symbolwahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(m_i)$  multipliziert werden.  Für  $i$  sind hier die Werte  $0$  und  $1$  einzusetzen.

	Liegt die Entscheidungsgrenze zwischen den beiden Regionen  $I_0$  und  $I_1$  bei  $G = 0$, also in der Mitte zwischen  $\boldsymbol{s}_0$  und  $\boldsymbol{s}_1$, so ist die Fehlerwahrscheinlichkeit unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(m_0)$  und  ${\rm Pr}(m_1)$:		Liegt die Entscheidungsgrenze zwischen den beiden Regionen  $I_0$  und  $I_1$  bei  $G = 0$,  also in der Mitte zwischen  $\boldsymbol{s}_0$  und  $\boldsymbol{s}_1$,  so ist die Fehlerwahrscheinlichkeit unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(m_0)$  und  ${\rm Pr}(m_1)$:
	:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) \hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) \hspace{0.05cm}.$$

	Hierbei gibt  $d$  den Abstand zwischen den Signalpunkten  $s_0$  und  $s_1$  an und  $d/2$  dementsprechend den jeweiligen Abstand von  $s_0$  bzw.  $s_1$  von der ~~Entscheidungsgrenze~~  $G = 0~~$. Der Effektivwert (Wurzel aus der Varianz) des AWGN–Rauschens ist  $\sigma_n~~$.		*Hierbei gibt  $d$  den Abstand zwischen den Signalpunkten  $s_0$  und  $s_1$  an und  $d/2$  dementsprechend den jeweiligen Abstand von  $s_0$  bzw.  $s_1$  von der Grenze  $G = 0$.

	Sind dagegen die Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich   ⇒  ${\rm Pr}(m_0) ≠ {\rm Pr}(m_1)$, so kann durch eine Verschiebung der Entscheidergrenze  $G$  eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden:		*Der Effektivwert (Wurzel aus der Varianz) des AWGN–Rauschens ist  $\sigma_n$.


			Sind dagegen die Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich   ⇒  ${\rm Pr}(m_0) ≠ {\rm Pr}(m_1)$,  so kann durch eine Verschiebung der Entscheidergrenze  $G$  eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden:
	:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}(m_1) \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \cdot (1 + \gamma) \right )		:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}(m_1) \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \cdot (1 + \gamma) \right )
	+ {\rm Pr}(m_0) \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \cdot (1 - \gamma) \right )\hspace{0.05cm},$$		+ {\rm Pr}(m_0) \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \cdot (1 - \gamma) \right )\hspace{0.05cm},$$
Zeile 26:		Zeile 29:


	''Hinweise:''		Hinweise:
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit"]].

	* Die Werte der Q–Funktion können Sie mit interaktiven Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]]  ermitteln.		* Die Werte der Q–Funktion können Sie mit unserem interaktiven Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|"Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion"]]  ermitteln.


Zeile 35:		Zeile 38:
	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie groß sind die der Grafik zugrundeliegenden Symbolwahrscheinlichkeiten, wenn die blaue Gaußkurve genau doppelt so hoch ist wie die rote?		{Wie groß sind die der Grafik zugrundeliegenden Symbolwahrscheinlichkeiten,  wenn die blaue Gaußkurve genau doppelt so hoch ist wie die rote?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(m_0)\ = \ $ { 0.333 3% }		${\rm Pr}(m_0)\ = \ $ { 0.333 3% }
	${\rm Pr}(m_1)\ = \ $ { 0.667 3% }		${\rm Pr}(m_1)\ = \ $ { 0.667 3% }

	{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit mit der Rauschvarianz  $\sigma_n^2 = E_{\rm S}/9$  und der '''vorgegebenen Schwelle'''  $G = 0$?		{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit mit der Rauschvarianz  $\sigma_n^2 = E_{\rm S}/9$  und der  '''vorgegebenen Schwelle'''   $G = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$G = 0 \text{:} \hspace{0.85cm} p_{\rm S} \ = \ $ { 0.135 3% } $\ \%$		$G = 0 \text{:} \hspace{0.85cm} p_{\rm S} \ = \ $ { 0.135 3% } $\ \%$
Zeile 48:		Zeile 51:
	$G_{\rm opt}\ = \ $ { 0.04 3% } $\ \cdot \sqrt{E_s}$		$G_{\rm opt}\ = \ $ { 0.04 3% } $\ \cdot \sqrt{E_s}$

	{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit bei '''optimaler Schwelle'''  $G = G_{\rm opt}$?		{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit bei  '''optimaler Schwelle'''   $G = G_{\rm opt}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$G = G_{\rm opt} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}\ = \ $ { 0.126 3% } $\ \%$		$G = G_{\rm opt} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}\ = \ $ { 0.126 3% } $\ \%$

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:35Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2020, 17:50 Uhr
Zeile 29:		Zeile 29:
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].

	* Die Werte der Q–Funktion können Sie mit interaktiven Applet  [[Applets:~~Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)~~\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]]  ermitteln.		* Die Werte der Q–Funktion können Sie mit interaktiven Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]]  ermitteln.

Guenter am 13. März 2019 um 16:06 Uhr

2019-03-13T16:06:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 13. März 2019, 18:06 Uhr
Zeile 42:		Zeile 42:
	{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit mit der Rauschvarianz  $\sigma_n^2 = E_{\rm S}/9$  und der '''vorgegebenen Schwelle'''  $G = 0$?		{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit mit der Rauschvarianz  $\sigma_n^2 = E_{\rm S}/9$  und der '''vorgegebenen Schwelle'''  $G = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{\rm S} \ = \ $ { 0.135 3% } $\ \%$		$G = 0 \text{:} \hspace{0.85cm} p_{\rm S} \ = \ $ { 0.135 3% } $\ \%$

	{Wie lautet die optimale Schwelle für die gegebenen Wahrscheinlichkeiten?		{Wie lautet die optimale Schwelle für die gegebenen Wahrscheinlichkeiten?
Zeile 67:		Zeile 67:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die Höhen der beiden gezeichneten Dichtefunktionen ~~– unter Berücksichtigung von ${\rm Pr}(m_0)$ und ${\rm Pr}(m_1)$ –~~ sind proportional zu ~~diesen~~ Auftrittswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(m_0)$ und ${\rm Pr}(m_1)$. Aus		'''(1)'''  Die Höhen der beiden gezeichneten Dichtefunktionen sind proportional zu den Auftrittswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(m_0)$ und ${\rm Pr}(m_1)$. Aus
	:$${\rm Pr}(m_1) = 2 \cdot {\rm Pr}(m_0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(m_0) + {\rm Pr}(m_1) = 1$$		:$${\rm Pr}(m_1) = 2 \cdot {\rm Pr}(m_0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(m_0) + {\rm Pr}(m_1) = 1$$

	folgt direkt ${\rm Pr}(m_0) = 1/3 \ \underline {\approx 0.333}$ und ${\rm Pr}(m_1) = 2/3 \ \underline {\approx 0.667}$.		folgt direkt  ${\rm Pr}(m_0) = 1/3 \ \underline {\approx 0.333}$  und  ${\rm Pr}(m_1) = 2/3 \ \underline {\approx 0.667}$.



Zeile 76:		Zeile 77:
	:$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) \hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) \hspace{0.05cm}.$$

	Mit $d = 2 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}$ und $\sigma_n = \sqrt{E_{\rm S}}/3$ ergibt sich hierfür:   $p_{\rm S} = {\rm Q} (3) \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.135 \~~cdot 10^{-2}~~} \hspace{0.05cm}.$		Mit $d = 2 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}$ und $\sigma_n = \sqrt{E_{\rm S}}/3$ ergibt sich hierfür:   $p_{\rm S} = {\rm Q} (3) \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.135 \%} \hspace{0.05cm}.$



Zeile 84:		Zeile 86:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Damit ist $G_{\rm opt} = \gamma \cdot \sqrt{E_{\rm S}} = 0.04 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}$. Die optimale Entscheidergrenze ist demnach nach rechts (hin zum unwahrscheinlicheren Symbol $s_0$) verschoben, da ${\rm Pr}(m_0) < {\rm Pr}(m_1)$.		*Damit ist $G_{\rm opt} = \gamma \cdot \sqrt{E_{\rm S}} = 0.04 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}$.
			*Die optimale Entscheidergrenze ist demnach nach rechts (hin zum unwahrscheinlicheren Symbol $s_0$) verschoben, wgen  ${\rm Pr}(m_0) < {\rm Pr}(m_1)$.



	'''(4)'''  Mit dieser optimalen Entscheidergrenze ergibt sich eine gegenüber der Teilaufgabe (2) geringfügig kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit:		'''(4)'''  Mit dieser optimalen Entscheidergrenze ergibt sich eine gegenüber der Teilaufgabe '''(2)''' geringfügig kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit:
	:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {2}/{3} \cdot {\rm Q} (3 \cdot 1.04) + {1}/{3} \cdot {\rm Q} (3 \cdot 0.96) = {2}/{3} \cdot 0.090 \cdot 10^{-2} + {1}/{3} \cdot 0.199 \cdot 10^{-2}		:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {2}/{3} \cdot {\rm Q} (3 \cdot 1.04) + {1}/{3} \cdot {\rm Q} (3 \cdot 0.96) = {2}/{3} \cdot 0.090 \cdot 10^{-2} + {1}/{3} \cdot 0.199 \cdot 10^{-2}
	\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.126 \%} \hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.126 \%} \hspace{0.05cm}.$$


	'''(5)'''  Mit der Entscheidergrenze in der Mitte zwischen den Symbolen ($G = 0$) ergibt sich analog zur Teilaufgabe (2) mit der nun größeren Rauschvarianz:		'''(5)'''  Mit der Entscheidergrenze in der Mitte zwischen den Symbolen ($G = 0$) ergibt sich analog zur Teilaufgabe '''(2)''' mit der nun größeren Rauschvarianz:
			[[Datei:P_ID2035__Dig_A_4_7e.png\|right\|frame\|Dichtefunktionen mit  $\sigma_n^2 = E_{\rm S}$]]

	:$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) = {\rm Q} \left ( \frac{\sqrt{E_{\rm S}}}{\sqrt{E_{\rm S}}} \right )=		:$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) = {\rm Q} \left ( \frac{\sqrt{E_{\rm S}}}{\sqrt{E_{\rm S}}} \right )=
	{\rm Q} (1)\hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.9 \%} \hspace{0.05cm}.$$		{\rm Q} (1)\hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.9 \%} \hspace{0.05cm}.$$

	Die Kenngröße $\gamma$ (normierte bestmögliche Verschiebung der Entscheidergrenze) ~~ergibt sich zu~~		Die Kenngröße $\gamma$ (normierte bestmögliche Verschiebung der Entscheidergrenze) ist
	:$$\gamma = 2 \cdot \frac{ \sigma_n^2}{d^2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_1)}{{\rm Pr}( m_0)}		:$$\gamma = 2 \cdot \frac{ \sigma_n^2}{d^2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_1)}{{\rm Pr}( m_0)}
	= \frac{ 2 \cdot E_{\rm S}}{4 \cdot E_{\rm S}} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{2/3}{1/3} = \frac{{\rm ln} \hspace{0.15cm} 2}{2} \approx 0.35 ~~\hspace{0.3cm}~~		= \frac{ 2 \cdot E_{\rm S}}{4 \cdot E_{\rm S}} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{2/3}{1/3} = \frac{{\rm ln} \hspace{0.15cm} 2}{2} \approx 0.35 $$
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} G_{\rm opt} = 0.35 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G_{\rm opt} = 0.35 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

Zeile 107:		Zeile 113:

	Die Abbildung macht deutlich, dass die optimale Entscheidergrenze auch grafisch als Schnittpunkt der beiden (gewichteten) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen ermittelt werden kann:		Die Abbildung macht deutlich, dass die optimale Entscheidergrenze auch grafisch als Schnittpunkt der beiden (gewichteten) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen ermittelt werden kann:

	~~[[Datei:P_ID2035__Dig_A_4_7e.png\|center\|frame\|Dichtefunktionen mit <i>σ<sub>n</sub></i><sup>2</sup> = <i>E</i><sub>S</sub>]]~~


	'''(6)'''  <u>Alle Lösungsvorschläge</u> dieser eher akademischen Teilaufgabe <u>sind richtig</u>:		'''(6)'''  <u>Alle Lösungsvorschläge</u> dieser eher akademischen Teilaufgabe <u>sind richtig</u>:
			[[Datei:P_ID2036__Dig_A_4_7f_version2.png\|right\|frame\|Dichtefunktionen mit  $\sigma_n^2 = 4 \cdot E_{\rm S}$]]
	*Mit dem Schwellenwert $G = 0$ ergibt sich $p_{\rm S} = {\rm Q}(0.5) \ \underline {\approx 0.309}$.		*Mit dem Schwellenwert $G = 0$ ergibt sich $p_{\rm S} = {\rm Q}(0.5) \ \underline {\approx 0.309}$.
	*Die Kenngröße $\gamma = 1.4$ hat nun den vierfachen Wert gegenüber der Teilaufgabe (5), so dass die optimale Entscheidergrenze nun bei $G_{\rm opt} = \underline {1.4 \cdot s_0}$ liegt.		*Die Kenngröße $\gamma = 1.4$ hat nun den vierfachen Wert gegenüber der Teilaufgabe '''(5)''', <br>so dass die optimale Entscheidergrenze nun bei $G_{\rm opt} = \underline {1.4 \cdot s_0}$ liegt.
	*Somit gehört der (ungestörte) Signalwert $s_0$ nicht zur Entscheidungsregion $I_0$, sondern zu $I_1$, gekennzeichnet durch $\rho < G_{\rm opt}$.		*Somit gehört der (ungestörte) Signalwert $s_0$ nicht zur Entscheidungsregion $I_0$, sondern zu $I_1$, gekennzeichnet durch $\rho < G_{\rm opt}$.
	*Nur mit einem (positiven) Rauschanteil ist $I_0 (\rho > G_{\rm opt})$ überhaupt erst möglich. Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt mit $G_{\rm opt} = 1.4 \cdot s_0$:		*Nur mit einem (positiven) Rauschanteil ist $I_0 (\rho > G_{\rm opt})$ überhaupt erst möglich. Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt mit $G_{\rm opt} = 1.4 \cdot s_0$:
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	\hspace{0.15cm}\underline {\approx 27\%} \hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.15cm}\underline {\approx 27\%} \hspace{0.05cm}.$$

	Die ~~folgende~~ Grafik verdeutlicht die hier gemachten Aussagen.		Die nebenstehende Grafik verdeutlicht die hier gemachten Aussagen.


	~~[[Datei:P_ID2036__Dig_A_4_7f_version2.png\|center\|frame\|Dichtefunktionen mit <i>σ<sub>n</sub></i><sup>2</sup> = 4 ·<i>E</i><sub>S</sub>]]~~
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 13. März 2019 um 15:48 Uhr

2019-03-13T15:48:38Z

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	[[Datei:P_ID2017__Dig_A_4_7.png\|right\|frame\|WDF mit ungleichen Symbolwahrscheinlichkeiten]]		[[Datei:P_ID2017__Dig_A_4_7.png\|right\|frame\|WDF mit ungleichen Symbolwahrscheinlichkeiten]]
	Wir betrachten ein Übertragungssystem mit		Wir betrachten ein Übertragungssystem mit
	* nur einer Basisfunktino ($N = 1$),		* nur einer Basisfunktino  $(N = 1)$,
	* zwei Signalen $(M = 2)$ mit $s_0 = \sqrt{E_s}$ und $s_1 = -\sqrt{E_s}$ ,		* zwei Signalen  $(M = 2)$  mit  $s_0 = \sqrt{E_s}$  und  $s_1 = -\sqrt{E_s}$ ,
	* einem AWGN–Kanal mit Varianz $\sigma_n^2 = N_0/2$.		* einem AWGN–Kanal mit Varianz  $\sigma_n^2 = N_0/2$.


	Da in dieser Aufgabe der allgemeine Fall ${\rm Pr}(m_0) ≠ {\rm Pr}(m_1)$ behandelt wird, genügt es nicht, die bedingten Dichtefunktionen $p_{\it r\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m_i}(\rho\hspace{0.05cm} \|\hspace{0.05cm}m_i)$ zu betrachten. Vielmehr müssen diese noch mit den Symbolwahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(m_i)$ multipliziert werden ~~(für~~ $i$ sind hier die Werte $0$ und $1$ einzusetzen).		Da in dieser Aufgabe der allgemeine Fall  ${\rm Pr}(m_0) ≠ {\rm Pr}(m_1)$  behandelt wird, genügt es nicht, die bedingten Dichtefunktionen  $p_{\it r\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}m_i}(\rho\hspace{0.05cm} \|\hspace{0.05cm}m_i)$  zu betrachten. Vielmehr müssen diese noch mit den Symbolwahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(m_i)$  multipliziert werden. Für  $i$  sind hier die Werte  $0$  und  $1$  einzusetzen.

			Liegt die Entscheidungsgrenze zwischen den beiden Regionen  $I_0$  und  $I_1$  bei  $G = 0$, also in der Mitte zwischen  $\boldsymbol{s}_0$  und  $\boldsymbol{s}_1$, so ist die Fehlerwahrscheinlichkeit unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten  ${\rm Pr}(m_0)$  und  ${\rm Pr}(m_1)$:
	Liegt die Entscheidungsgrenze zwischen den beiden Regionen $I_0$ und $I_1$ bei $G = 0$, also in der Mitte zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$, so ist die Fehlerwahrscheinlichkeit unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(m_0)$ und ${\rm Pr}(m_1)$:
	:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) \hspace{0.05cm}.$$		:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}({ \cal E} ) = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) \hspace{0.05cm}.$$

	Hierbei gibt $d$ den Abstand zwischen den Signalpunkten $s_0$ und $s_1$ an und $d/2$ dementsprechend den jeweiligen Abstand von $s_0$ bzw. $s_1$ von der Entscheidungsgrenze $G = 0$. Der Effektivwert (Wurzel aus der Varianz) des AWGN–Rauschens ist $\sigma_n$.		Hierbei gibt  $d$  den Abstand zwischen den Signalpunkten  $s_0$  und  $s_1$  an und  $d/2$  dementsprechend den jeweiligen Abstand von  $s_0$  bzw.  $s_1$  von der Entscheidungsgrenze  $G = 0$. Der Effektivwert (Wurzel aus der Varianz) des AWGN–Rauschens ist  $\sigma_n$.


	Sind dagegen die Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich   ⇒  ${\rm Pr}(m_0) ≠ {\rm Pr}(m_1)$, so kann durch eine Verschiebung der Entscheidergrenze $G$ eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden:		Sind dagegen die Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich   ⇒  ${\rm Pr}(m_0) ≠ {\rm Pr}(m_1)$, so kann durch eine Verschiebung der Entscheidergrenze  $G$  eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden:
	:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}(m_1) \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \cdot (1 + \gamma) \right )		:$$p_{\rm S} = {\rm Pr}(m_1) \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \cdot (1 + \gamma) \right )
	+ {\rm Pr}(m_0) \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \cdot (1 - \gamma) \right )\hspace{0.05cm},$$		+ {\rm Pr}(m_0) \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \cdot (1 - \gamma) \right )\hspace{0.05cm},$$

	wobei die Hilfsgröße $\gamma$ wie folgt definiert ist:		wobei die Hilfsgröße  $\gamma$  wie folgt definiert ist:
	:$$\gamma = 2 \cdot \frac{ \sigma_n^2}{d^2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_1)}{{\rm Pr}( m_0)}		:$$\gamma = 2 \cdot \frac{ \sigma_n^2}{d^2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_1)}{{\rm Pr}( m_0)}
	\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} G_{\rm opt} = \gamma \cdot \sqrt {E_{\rm S}}\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} G_{\rm opt} = \gamma \cdot \sqrt {E_{\rm S}}\hspace{0.05cm}.$$
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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].

	* Die Werte der Q–Funktion können Sie mit interaktiven Applet [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]] ermitteln.		* Die Werte der Q–Funktion können Sie mit interaktiven Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]]  ermitteln.


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	${\rm Pr}(m_1)\ = \ $ { 0.667 3% }		${\rm Pr}(m_1)\ = \ $ { 0.667 3% }

	{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit mit der Rauschvarianz $\sigma_n^2 = E_{\rm S}/9$ und '''~~vorgegebener~~ Schwelle''' $G = 0$?		{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit mit der Rauschvarianz  $\sigma_n^2 = E_{\rm S}/9$  und der '''vorgegebenen Schwelle'''  $G = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{\rm S} \ = \ $ { 0.135 3% } $\ \%$		$p_{\rm S} \ = \ $ { 0.135 3% } $\ \%$
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	$G_{\rm opt}\ = \ $ { 0.04 3% } $\ \cdot \sqrt{E_s}$		$G_{\rm opt}\ = \ $ { 0.04 3% } $\ \cdot \sqrt{E_s}$

	{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit bei '''optimaler Schwelle''' $G = G_{\rm opt}$?		{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit bei '''optimaler Schwelle'''  $G = G_{\rm opt}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$G = G_{\rm opt} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}\ = \ $ { 0.126 3% } $\ \%$		$G = G_{\rm opt} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}\ = \ $ { 0.126 3% } $\ \%$

	{Welche Fehlerwahrscheinlichkeiten erhält man mit der Rauschvarianz $\sigma_n^2 = E_{\rm S}$?		{Welche Fehlerwahrscheinlichkeiten erhält man mit der Rauschvarianz  $\sigma_n^2 = E_{\rm S}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$G = 0 \text{:} \hspace{0.85cm} p_{\rm S}\ = \ $ { 15.9 3% } $\ \%$		$G = 0 \text{:} \hspace{0.85cm} p_{\rm S}\ = \ $ { 15.9 3% } $\ \%$
	$G = G_{\rm opt} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}\ = \ $ { 14.5 3% } $\ \%$		$G = G_{\rm opt} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}\ = \ $ { 14.5 3% } $\ \%$

	{Welche Aussagen gelten für die Rauschvarianz $\sigma_n^2 = 4 \cdot E_{\rm S}$?		{Welche Aussagen gelten für die Rauschvarianz  $\sigma_n^2 = 4 \cdot E_{\rm S}$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Mit $G = 0$ ist die Fehlerwahrscheinlichkeit größer als $30\%$.		+ Mit  $G = 0$  ist die Fehlerwahrscheinlichkeit größer als  $30\%$.
	+ Die optimale Entscheiderschwelle liegt rechts von $s_0$.		+ Die optimale Entscheiderschwelle liegt rechts von  $s_0$.
	+ Bei optimaler Schwelle ist die Fehlerwahrscheinlichkeit etwa $27\%$.		+ Bei optimaler Schwelle ist die Fehlerwahrscheinlichkeit etwa  $27\%$.
	+ Der Schätzwert $m_0$ ist nur mit genügend großem Rauschen möglich.		+ Der Schätzwert  $m_0$  ist nur mit genügend großem Rauschen möglich.
	</quiz>		</quiz>

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:48Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:03 Uhr
Zeile 30:		Zeile 30:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	* Die Werte der Q–Funktion können Sie mit interaktiven Applet [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]] ermitteln.		* Die Werte der Q–Funktion können Sie mit interaktiven Applet [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]] ermitteln.

← Nächstältere Version		Version vom 28. Juli 2022, 16:44 Uhr
Zeile 96:		Zeile 96:


	'''(4)'''  Mit dieser optimalen Entscheidergrenze ergibt sich eine gegenüber der Teilaufgabe '''(2)''' geringfügig kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit:		'''(4)'''  Mit dieser optimalen Entscheidergrenze ergibt sich eine gegenüber der Teilaufgabe  '''(2)'''  geringfügig kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit:
	:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {2}/{3} \cdot {\rm Q} (3 \cdot 1.04) + {1}/{3} \cdot {\rm Q} (3 \cdot 0.96) = {2}/{3} \cdot 0.090 \cdot 10^{-2} + {1}/{3} \cdot 0.199 \cdot 10^{-2}		:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {2}/{3} \cdot {\rm Q} (3 \cdot 1.04) + {1}/{3} \cdot {\rm Q} (3 \cdot 0.96) = {2}/{3} \cdot 0.090 \cdot 10^{-2} + {1}/{3} \cdot 0.199 \cdot 10^{-2}
	\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.126 \%} \hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.126 \%} \hspace{0.05cm}.$$


	'''(5)'''  Mit der Entscheidergrenze in der Mitte zwischen den Symbolen ($G = 0$) ergibt sich analog zur Teilaufgabe '''(2)''' mit der nun größeren Rauschvarianz:		'''(5)'''  Mit der Entscheidergrenze in der Mitte zwischen den Symbolen  $(G = 0)$  ergibt sich analog zur Teilaufgabe  '''(2)'''  mit der nun größeren Rauschvarianz:
	[[Datei:P_ID2035__Dig_A_4_7e.png\|right\|frame\|~~Dichtefunktionen~~ mit  $\sigma_n^2 = E_{\rm S}$]]		[[Datei:P_ID2035__Dig_A_4_7e.png\|right\|frame\|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen mit  $\sigma_n^2 = E_{\rm S}$]]

	:$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) = {\rm Q} \left ( \frac{\sqrt{E_{\rm S}}}{\sqrt{E_{\rm S}}} \right )=		:$$p_{\rm S} = {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) = {\rm Q} \left ( \frac{\sqrt{E_{\rm S}}}{\sqrt{E_{\rm S}}} \right )=
	{\rm Q} (1)\hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.9 \%} \hspace{0.05cm}.$$		{\rm Q} (1)\hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.9 \%} \hspace{0.05cm}.$$

	Die Kenngröße $\gamma$ (normierte bestmögliche Verschiebung der Entscheidergrenze) ist		*Die Kenngröße  $\gamma$  (normierte bestmögliche Verschiebung der Entscheidergrenze)  ist
	:$$\gamma = 2 \cdot \frac{ \sigma_n^2}{d^2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_1)}{{\rm Pr}( m_0)}		:$$\gamma = 2 \cdot \frac{ \sigma_n^2}{d^2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_1)}{{\rm Pr}( m_0)}
	= \frac{ 2 \cdot E_{\rm S}}{4 \cdot E_{\rm S}} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{2/3}{1/3} = \frac{{\rm ln} \hspace{0.15cm} 2}{2} \approx 0.35 $$		= \frac{ 2 \cdot E_{\rm S}}{4 \cdot E_{\rm S}} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{2/3}{1/3} = \frac{{\rm ln} \hspace{0.15cm} 2}{2} \approx 0.35 $$
Zeile 113:		Zeile 113:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Das häufigere Symbol wird nun seltener verfälscht ⇒ die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit wird geringer:		*Das häufigere Symbol wird nun seltener verfälscht ⇒ die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit wird geringer:
	:$$p_{\rm S} = {2}/{3} \cdot {\rm Q} (1.35) + {1}/{3} \cdot {\rm Q} (0.65) = {2}/{3} \cdot 0.0885 +{1}/{3} \cdot 0.258		:$$p_{\rm S} = {2}/{3} \cdot {\rm Q} (1.35) + {1}/{3} \cdot {\rm Q} (0.65) = {2}/{3} \cdot 0.0885 +{1}/{3} \cdot 0.258
	\hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 14.5 \%} \hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 14.5 \%} \hspace{0.05cm}.$$

	Die Abbildung macht deutlich, dass die optimale Entscheidergrenze auch grafisch als Schnittpunkt der beiden (gewichteten) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen ermittelt werden kann:		*Die Abbildung macht deutlich,  dass die optimale Entscheidergrenze auch grafisch als Schnittpunkt der beiden  (gewichteten)  Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen ermittelt werden kann:


	'''(6)'''  <u>Alle Lösungsvorschläge</u> dieser eher akademischen Teilaufgabe <u>sind richtig</u>:		'''(6)'''  <u>Alle Lösungsvorschläge</u>  dieser eher akademischen Teilaufgabe  <u>sind richtig</u>:
	[[Datei:P_ID2036__Dig_A_4_7f_version2.png\|right\|frame\|~~Dichtefunktionen~~ mit  $\sigma_n^2 = 4 \cdot E_{\rm S}$]]		[[Datei:P_ID2036__Dig_A_4_7f_version2.png\|right\|frame\|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen mit  $\sigma_n^2 = 4 \cdot E_{\rm S}$]]
	*Mit dem Schwellenwert $G = 0$ ergibt sich $p_{\rm S} = {\rm Q}(0.5) \ \underline {\approx 0.309}$.		*Mit dem Schwellenwert  $G = 0$  ergibt sich  $p_{\rm S} = {\rm Q}(0.5) \ \underline {\approx 0.309}$.
	*Die Kenngröße $\gamma = 1.4$ hat nun den vierfachen Wert gegenüber der Teilaufgabe '''(5)''', <br>so dass die optimale Entscheidergrenze nun bei $G_{\rm opt} = \underline {1.4 \cdot s_0}$ liegt.		*Die Kenngröße  $\gamma = 1.4$  hat nun den vierfachen Wert gegenüber der Teilaufgabe  '''(5)''', <br>so dass die optimale Entscheidergrenze nun bei  $G_{\rm opt} = \underline {1.4 \cdot s_0}$  liegt.
	*Somit gehört der (ungestörte) Signalwert $s_0$ nicht zur Entscheidungsregion $I_0$, sondern zu $I_1$, gekennzeichnet durch $\rho < G_{\rm opt}$.		*Somit gehört der (ungestörte) Signalwert  $s_0$  nicht zur Entscheidungsregion  $I_0$,  sondern zu  $I_1$,  gekennzeichnet durch  $\rho < G_{\rm opt}$.
	*Nur mit einem (positiven) Rauschanteil ist $I_0 (\rho > G_{\rm opt})$ überhaupt erst möglich. Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt mit $G_{\rm opt} = 1.4 \cdot s_0$:		*Nur mit einem  (positiven)  Rauschanteil ist  $I_0\ (\rho > G_{\rm opt})$  überhaupt erst möglich.  Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt mit  $G_{\rm opt} = 1.4 \cdot s_0$:
	:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {2}/{3} \cdot {\rm Q} (0.5 \cdot (1 + 1.4)) + {1}/{3} \cdot {\rm Q} (0.5 \cdot (1 - 1.4)) =		:$$p_{\rm S} \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {2}/{3} \cdot {\rm Q} (0.5 \cdot (1 + 1.4)) + {1}/{3} \cdot {\rm Q} (0.5 \cdot (1 - 1.4)) =
	\hspace{0.15cm}\underline {\approx 27\%} \hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.15cm}\underline {\approx 27\%} \hspace{0.05cm}.$$