Aufgaben:Aufgabe 4.07: Nochmals Entscheidungsgrenzen - Versionsgeschichte

Guenter am 28. Juli 2022 um 14:44 Uhr

2022-07-28T14:44:31Z

Guenter am 28. Juli 2022 um 14:34 Uhr

2022-07-28T14:34:56Z

Guenter am 28. Juli 2022 um 14:29 Uhr

2022-07-28T14:29:35Z

Guenter am 28. Juli 2022 um 14:26 Uhr

2022-07-28T14:26:05Z

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:35Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

Guenter am 13. März 2019 um 16:06 Uhr

2019-03-13T16:06:52Z

Guenter am 13. März 2019 um 15:48 Uhr

2019-03-13T15:48:38Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:48Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:4.07 Nochmals Entscheidungsgrenzen nach Aufgaben:Aufgabe 4.07: Nochmals Entscheidungsgrenzen

2018-01-04T06:34:12Z

Guenter verschob die Seite 4.07 Nochmals Entscheidungsgrenzen nach Aufgabe 4.07: Nochmals Entscheidungsgrenzen

Guenter am 18. November 2017 um 17:06 Uhr

2017-11-18T17:06:46Z

@@ Zeile 96: / Zeile 96: @@
-'''(4)'''&nbsp; Mit dieser optimalen Entscheidergrenze ergibt sich eine gegenüber der Teilaufgabe '''(2)''' geringfügig kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit:
+'''(4)'''&nbsp; Mit dieser optimalen Entscheidergrenze ergibt sich eine gegenüber der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; geringfügig kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit:
 :$$p_{\rm S}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  {2}/{3} \cdot {\rm Q} (3 \cdot 1.04) + {1}/{3} \cdot {\rm Q} (3 \cdot 0.96) = {2}/{3} \cdot 0.090 \cdot 10^{-2} + {1}/{3} \cdot 0.199 \cdot 10^{-2}
 \hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.126 \%} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Mit der Entscheidergrenze in der Mitte zwischen den Symbolen ($G = 0$) ergibt sich analog zur Teilaufgabe '''(2)''' mit der nun größeren Rauschvarianz:
+'''(5)'''&nbsp; Mit der Entscheidergrenze in der Mitte zwischen den Symbolen&nbsp; $(G = 0)$&nbsp; ergibt sich analog zur Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; mit der nun größeren Rauschvarianz:
-[[Datei:P_ID2035__Dig_A_4_7e.png|right|frame|Dichtefunktionen mit &nbsp;$\sigma_n^2 = E_{\rm S}$]]
+[[Datei:P_ID2035__Dig_A_4_7e.png|right|frame|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen mit &nbsp;$\sigma_n^2 = E_{\rm S}$]]
 :$$p_{\rm S}  =   {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) =   {\rm Q} \left ( \frac{\sqrt{E_{\rm S}}}{\sqrt{E_{\rm S}}} \right )=
 {\rm Q} (1)\hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.9 \%} \hspace{0.05cm}.$$
-Die Kenngröße $\gamma$ (normierte bestmögliche Verschiebung der Entscheidergrenze) ist
+*Die Kenngröße&nbsp; $\gamma$&nbsp; (normierte bestmögliche Verschiebung der Entscheidergrenze)&nbsp; ist
 :$$\gamma = 2 \cdot \frac{   \sigma_n^2}{d^2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_1)}{{\rm Pr}( m_0)}
 = \frac{  2 \cdot E_{\rm S}}{4 \cdot E_{\rm S}} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{2/3}{1/3} =  \frac{{\rm ln} \hspace{0.15cm} 2}{2} \approx 0.35 $$
@@ Zeile 113: / Zeile 113: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-Das häufigere Symbol wird nun seltener verfälscht &#8658; die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit wird geringer:
+*Das häufigere Symbol wird nun seltener verfälscht &#8658; die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit wird geringer:
 :$$p_{\rm S}  =   {2}/{3} \cdot {\rm Q} (1.35) + {1}/{3} \cdot {\rm Q} (0.65) =  {2}/{3} \cdot 0.0885 +{1}/{3} \cdot 0.258
 \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 14.5 \%} \hspace{0.05cm}.$$
-Die Abbildung macht deutlich, dass die optimale Entscheidergrenze auch grafisch als Schnittpunkt der beiden (gewichteten) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen ermittelt werden kann:
+*Die Abbildung macht deutlich,&nbsp; dass die optimale Entscheidergrenze auch grafisch als Schnittpunkt der beiden&nbsp; (gewichteten)&nbsp; Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen ermittelt werden kann:
-'''(6)'''&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u> dieser eher akademischen Teilaufgabe <u>sind richtig</u>:
+'''(6)'''&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u>&nbsp; dieser eher akademischen Teilaufgabe&nbsp; <u>sind richtig</u>:
-[[Datei:P_ID2036__Dig_A_4_7f_version2.png|right|frame|Dichtefunktionen mit &nbsp;$\sigma_n^2 = 4 \cdot E_{\rm S}$]]
+[[Datei:P_ID2036__Dig_A_4_7f_version2.png|right|frame|Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen mit &nbsp;$\sigma_n^2 = 4 \cdot E_{\rm S}$]]
-*Mit dem Schwellenwert $G = 0$ ergibt sich $p_{\rm S} = {\rm Q}(0.5) \ \underline {\approx 0.309}$.
+*Mit dem Schwellenwert&nbsp; $G = 0$&nbsp; ergibt sich&nbsp; $p_{\rm S} = {\rm Q}(0.5) \ \underline {\approx 0.309}$.
-*Die Kenngröße $\gamma = 1.4$ hat nun den vierfachen Wert gegenüber der Teilaufgabe '''(5)''', <br>so dass die optimale Entscheidergrenze nun bei $G_{\rm opt} = \underline {1.4 \cdot s_0}$ liegt.
+*Die Kenngröße&nbsp; $\gamma = 1.4$&nbsp; hat nun den vierfachen Wert gegenüber der Teilaufgabe&nbsp; '''(5)''', <br>so dass die optimale Entscheidergrenze nun bei&nbsp; $G_{\rm opt} = \underline {1.4 \cdot s_0}$&nbsp; liegt.
-*Somit gehört der (ungestörte) Signalwert $s_0$ nicht zur Entscheidungsregion $I_0$, sondern zu $I_1$, gekennzeichnet durch $\rho < G_{\rm opt}$.
+*Somit gehört der (ungestörte) Signalwert&nbsp; $s_0$&nbsp; nicht zur Entscheidungsregion&nbsp; $I_0$,&nbsp; sondern zu&nbsp; $I_1$,&nbsp; gekennzeichnet durch&nbsp; $\rho < G_{\rm opt}$.
-*Nur mit einem (positiven) Rauschanteil ist $I_0 (\rho > G_{\rm opt})$ überhaupt erst möglich. Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt mit $G_{\rm opt} = 1.4 \cdot s_0$:
+*Nur mit einem&nbsp; (positiven)&nbsp; Rauschanteil ist&nbsp; $I_0\ (\rho > G_{\rm opt})$&nbsp; überhaupt erst möglich.&nbsp; Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt mit&nbsp; $G_{\rm opt} = 1.4 \cdot s_0$:
 :$$p_{\rm S}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  {2}/{3} \cdot {\rm Q} (0.5 \cdot (1 + 1.4)) + {1}/{3} \cdot {\rm Q} (0.5 \cdot (1 - 1.4)) =
 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 27\%}  \hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 53: / Zeile 53: @@
 {Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit bei&nbsp; '''optimaler Schwelle'''&nbsp; &nbsp;$G = G_{\rm opt}$?
 |type="{}"}
-$G = G_{\rm opt} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}\ = \ $ { 12.6 3% } $\ \%$
+$G = G_{\rm opt} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}\ = \ $ { 0.126 3% } $\ \%$
 {Welche Fehlerwahrscheinlichkeiten erhält man mit der Rauschvarianz&nbsp; $\sigma_n^2 = E_{\rm S}$?
@@ Zeile 70: / Zeile 70: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Höhen der beiden gezeichneten Dichtefunktionen  sind proportional zu den Auftrittswahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(m_0)$ und ${\rm Pr}(m_1)$. Aus
+'''(1)'''&nbsp; Die Höhen der beiden gezeichneten Dichtefunktionen  sind proportional zu den Auftrittswahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(m_0)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(m_1)$.&nbsp; Aus
 :$${\rm Pr}(m_1) = 2 \cdot {\rm Pr}(m_0) \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(m_0) + {\rm Pr}(m_1) = 1$$
-folgt direkt&nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = 1/3 \ \underline {\approx 0.333}$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(m_1) = 2/3 \ \underline {\approx 0.667}$.
+:folgt direkt &nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = 1/3 \ \underline {\approx 0.333}$ &nbsp; und &nbsp; ${\rm Pr}(m_1) = 2/3 \ \underline {\approx 0.667}$.
-'''(2)'''&nbsp; Mit der Entscheidergrenze $G = 0$ gilt unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten:
+'''(2)'''&nbsp; Mit der Entscheidergrenze&nbsp; $G = 0$&nbsp; gilt unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten:
 :$$p_{\rm S}  =   {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
-Mit $d = 2 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}$ und $\sigma_n = \sqrt{E_{\rm S}}/3$ ergibt sich hierfür: &nbsp; $p_{\rm S}  =   {\rm Q} (3) \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.135 \%} \hspace{0.05cm}.$
+*Mit&nbsp; $d = 2 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}$&nbsp; und&nbsp; $\sigma_n = \sqrt{E_{\rm S}}/3$&nbsp; ergibt sich hierfür: &nbsp;
@@ Zeile 89: / Zeile 90: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-*Damit ist $G_{\rm opt} = \gamma \cdot \sqrt{E_{\rm S}} = 0.04 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}$.
+*Damit ist&nbsp; $G_{\rm opt} = \gamma \cdot \sqrt{E_{\rm S}} = 0.04 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}$.
-*Die optimale Entscheidergrenze ist demnach nach rechts (hin zum unwahrscheinlicheren Symbol $s_0$) verschoben, wgen&nbsp; ${\rm Pr}(m_0) < {\rm Pr}(m_1)$.

@@ Zeile 53: / Zeile 53: @@
 {Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit bei&nbsp; '''optimaler Schwelle'''&nbsp; &nbsp;$G = G_{\rm opt}$?
 |type="{}"}
-$G = G_{\rm opt} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}\ = \ $ { 0.126 3% } $\ \%$
+$G = G_{\rm opt} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}\ = \ $ { 12.6 3% } $\ \%$
 {Welche Fehlerwahrscheinlichkeiten erhält man mit der Rauschvarianz&nbsp; $\sigma_n^2 = E_{\rm S}$?

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID2017__Dig_A_4_7.png|right|frame|WDF mit ungleichen Symbolwahrscheinlichkeiten]]
 Wir betrachten ein Übertragungssystem mit
-* nur einer Basisfunktino &nbsp;$(N = 1)$,
+# nur einer Basisfunktino &nbsp;$(N = 1)$,
-* zwei Signalen &nbsp;$(M = 2)$&nbsp; mit&nbsp; $s_0 = \sqrt{E_s}$&nbsp; und &nbsp;$s_1 =  -\sqrt{E_s}$ ,
+# zwei Signalen &nbsp;$(M = 2)$&nbsp; mit&nbsp; $s_0 = \sqrt{E_s}$&nbsp; und &nbsp;$s_1 =  -\sqrt{E_s}$ ,
-* einem AWGN&ndash;Kanal mit Varianz&nbsp; $\sigma_n^2 = N_0/2$.
+# einem AWGN&ndash;Kanal mit Varianz&nbsp; $\sigma_n^2 = N_0/2$.
-Da in dieser Aufgabe der allgemeine Fall&nbsp; ${\rm Pr}(m_0) &ne; {\rm Pr}(m_1)$&nbsp; behandelt wird, genügt es nicht, die bedingten Dichtefunktionen&nbsp; $p_{\it r\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m_i}(\rho\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm}m_i)$&nbsp; zu betrachten. Vielmehr müssen diese noch mit den Symbolwahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(m_i)$&nbsp; multipliziert werden. Für&nbsp; $i$&nbsp; sind hier die Werte&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; einzusetzen.
+Da in dieser Aufgabe der allgemeine Fall &nbsp; ${\rm Pr}(m_0) &ne; {\rm Pr}(m_1)$ &nbsp; behandelt wird,&nbsp; genügt es nicht,&nbsp; die bedingten Dichtefunktionen &nbsp; $p_{\it r\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}m_i}(\rho\hspace{0.05cm} |\hspace{0.05cm}m_i)$ &nbsp; zu betrachten.&nbsp; Vielmehr müssen diese noch mit den Symbolwahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(m_i)$&nbsp; multipliziert werden.&nbsp; Für&nbsp; $i$&nbsp; sind hier die Werte&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$&nbsp; einzusetzen.
-Liegt die Entscheidungsgrenze zwischen den beiden Regionen&nbsp; $I_0$&nbsp; und&nbsp; $I_1$&nbsp; bei&nbsp; $G = 0$, also in der Mitte zwischen&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$, so ist die Fehlerwahrscheinlichkeit unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(m_0)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(m_1)$:
+Liegt die Entscheidungsgrenze zwischen den beiden Regionen&nbsp; $I_0$&nbsp; und&nbsp; $I_1$&nbsp; bei&nbsp; $G = 0$,&nbsp; also in der Mitte zwischen&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$,&nbsp; so ist die Fehlerwahrscheinlichkeit unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(m_0)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Pr}(m_1)$:
 :$$p_{\rm S}  = {\rm Pr}({ \cal E} ) =   {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei gibt&nbsp; $d$&nbsp; den Abstand zwischen den Signalpunkten&nbsp; $s_0$&nbsp; und&nbsp; $s_1$&nbsp; an und&nbsp; $d/2$&nbsp; dementsprechend den jeweiligen Abstand von&nbsp; $s_0$&nbsp; bzw.&nbsp; $s_1$&nbsp; von der Entscheidungsgrenze&nbsp; $G = 0$. Der Effektivwert (Wurzel aus der Varianz) des AWGN&ndash;Rauschens ist&nbsp; $\sigma_n$.
+*Hierbei gibt&nbsp; $d$&nbsp; den Abstand zwischen den Signalpunkten&nbsp; $s_0$&nbsp; und&nbsp; $s_1$&nbsp; an und&nbsp; $d/2$&nbsp; dementsprechend den jeweiligen Abstand von&nbsp; $s_0$&nbsp; bzw.&nbsp; $s_1$&nbsp; von der Grenze&nbsp; $G = 0$.
-Sind dagegen die Auftrittswahrscheinlichkeiten unterschiedlich &nbsp; &#8658; &nbsp;${\rm Pr}(m_0) &ne; {\rm Pr}(m_1)$, so kann durch eine Verschiebung der Entscheidergrenze&nbsp; $G$&nbsp; eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden:
+*Der Effektivwert (Wurzel aus der Varianz) des AWGN&ndash;Rauschens ist&nbsp; $\sigma_n$.
 :$$p_{\rm S}  =  {\rm Pr}(m_1) \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \cdot (1 + \gamma) \right )
   + {\rm Pr}(m_0) \cdot {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \cdot (1 - \gamma) \right )\hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 26: / Zeile 29: @@
-''Hinweise:''
+Hinweise:
-* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
+* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit"]].
-* Die Werte der Q&ndash;Funktion können Sie mit interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]]&nbsp; ermitteln.
+* Die Werte der Q&ndash;Funktion können Sie mit unserem interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|"Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion"]]&nbsp; ermitteln.
@@ Zeile 35: / Zeile 38: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie groß sind die der Grafik zugrundeliegenden Symbolwahrscheinlichkeiten, wenn die blaue Gaußkurve genau doppelt so hoch ist wie die rote?
+{Wie groß sind die der Grafik zugrundeliegenden Symbolwahrscheinlichkeiten,&nbsp; wenn die blaue Gaußkurve genau doppelt so hoch ist wie die rote?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(m_0)\ = \ $ { 0.333 3% }
 ${\rm Pr}(m_1)\ = \ $ { 0.667 3% }
-{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit mit der Rauschvarianz&nbsp; $\sigma_n^2 = E_{\rm S}/9$&nbsp; und der '''vorgegebenen Schwelle''' &nbsp;$G = 0$?
+{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit mit der Rauschvarianz&nbsp; $\sigma_n^2 = E_{\rm S}/9$&nbsp; und der&nbsp; '''vorgegebenen Schwelle'''&nbsp; &nbsp;$G = 0$?
 |type="{}"}
 $G = 0 \text{:} \hspace{0.85cm} p_{\rm S} \ = \ $ { 0.135 3% } $\ \%$
@@ Zeile 48: / Zeile 51: @@
 $G_{\rm opt}\ = \ $ { 0.04 3% } $\ \cdot \sqrt{E_s}$
-{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit bei '''optimaler Schwelle''' &nbsp;$G = G_{\rm opt}$?
+{Wie groß ist die Fehlerwahrscheinlichkeit bei&nbsp; '''optimaler Schwelle'''&nbsp; &nbsp;$G = G_{\rm opt}$?
 |type="{}"}
 $G = G_{\rm opt} \text{:} \hspace{0.2cm} p_{\rm S}\ = \ $ { 0.126 3% } $\ \%$

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2020, 15:50 Uhr
Zeile 29:		Zeile 29:
	* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].		* Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit\| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].

−	* Die Werte der Q–Funktion können Sie mit interaktiven Applet  [[Applets:~~Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)~~\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]]  ermitteln.	+	* Die Werte der Q–Funktion können Sie mit interaktiven Applet  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]]  ermitteln.

@@ Zeile 30: / Zeile 30: @@
 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 * Die Werte der Q&ndash;Funktion können Sie mit interaktiven Applet [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]] ermitteln.

← Nächstältere Version	Version vom 4. Januar 2018, 06:34 Uhr
(kein Unterschied)

@@ Zeile 78: / Zeile 78: @@
 :$$p_{\rm S}  =   {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) \hspace{0.05cm}.$$
-Mit $d = 2 \cdot E_{\rm S}^{\rm 1/2}$ und $\sigma_n = E_{\rm S}^{\rm 1/2}/3$ ergibt sich hierfür:
+Mit $d = 2 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}$ und $\sigma_n = \sqrt{E_{\rm S}}/3$ ergibt sich hierfür: &nbsp; $p_{\rm S}  =   {\rm Q} (3) \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.135 \cdot 10^{-2}} \hspace{0.05cm}.$
@@ Zeile 87: / Zeile 86: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-Damit ist $G_{\rm opt} = \gamma \cdot E_{\rm S}^{\rm 1/2} = 0.04 \cdot E_{\rm S}^{\rm 1/2}$. Die optimale Entscheidergrenze ist demnach nach rechts (hin zum unwahrscheinlicheren Symbol $s_0$) verschoben, da ${\rm Pr}(m_0) < {\rm Pr}(m_1)$.
+Damit ist $G_{\rm opt} = \gamma \cdot \sqrt{E_{\rm S}} = 0.04 \cdot \sqrt{E_{\rm S}}$. Die optimale Entscheidergrenze ist demnach nach rechts (hin zum unwahrscheinlicheren Symbol $s_0$) verschoben, da ${\rm Pr}(m_0) < {\rm Pr}(m_1)$.
 '''(4)'''&nbsp; Mit dieser optimalen Entscheidergrenze ergibt sich eine gegenüber der Teilaufgabe (2) geringfügig kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit:
-:$$p_{\rm S}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  {2}/{3} \cdot {\rm Q} (3 \cdot 1.04) + {1}/{3} \cdot {\rm Q} (3 \cdot 0.96) = \ $$
+:$$p_{\rm S}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  {2}/{3} \cdot {\rm Q} (3 \cdot 1.04) + {1}/{3} \cdot {\rm Q} (3 \cdot 0.96) = {2}/{3} \cdot 0.090 \cdot 10^{-2} + {1}/{3} \cdot 0.199 \cdot 10^{-2}
-:$$\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {2}/{3} \cdot 0.090 \cdot 10^{-2} + {1}/{3} \cdot 0.199 \cdot 10^{-2}
+\hspace{0.1cm}\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.126 \%} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Mit der Entscheidergrenze in der Mitte zwischen den Symbolen ($G = 0$) ergibt sich analog zur Teilaufgabe (2) mit der nun größeren Rauschvarianz:
-:$$p_{\rm S}  =   {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) =   {\rm Q} \left ( \frac{E^{1/2}}{E^{1/2}} \right )=
+:$$p_{\rm S}  =   {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right ) =   {\rm Q} \left ( \frac{\sqrt{E_{\rm S}}}{\sqrt{E_{\rm S}}} \right )=
-{\rm Q} (1)\hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.159} \hspace{0.05cm}.$$
+{\rm Q} (1)\hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 15.9 \%} \hspace{0.05cm}.$$
 Die Kenngröße $\gamma$ (normierte bestmögliche Verschiebung der Entscheidergrenze) ergibt sich zu
 :$$\gamma = 2 \cdot \frac{   \sigma_n^2}{d^2} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_1)}{{\rm Pr}( m_0)}
 = \frac{  2 \cdot E_{\rm S}}{4 \cdot E_{\rm S}} \cdot {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{2/3}{1/3} =  \frac{{\rm ln} \hspace{0.15cm} 2}{2} \approx 0.35 \hspace{0.3cm}
-\Rightarrow \hspace{0.3cm}  G_{\rm opt} = 0.35 \cdot  E_{\rm S}^{1/2}
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}  G_{\rm opt} = 0.35 \cdot  \sqrt{E_{\rm S}}
 \hspace{0.05cm}.$$
 Das häufigere Symbol wird nun seltener verfälscht &#8658; die mittlere Fehlerwahrscheinlichkeit wird geringer:
 :$$p_{\rm S}  =   {2}/{3} \cdot {\rm Q} (1.35) + {1}/{3} \cdot {\rm Q} (0.65) =  {2}/{3} \cdot 0.0885 +{1}/{3} \cdot 0.258
-\hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.145} \hspace{0.05cm}.$$
+\hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 14.5 \%} \hspace{0.05cm}.$$
 Die Abbildung macht deutlich, dass die optimale Entscheidergrenze auch grafisch als Schnittpunkt der beiden (gewichteten) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen ermittelt werden kann:
@@ Zeile 115: / Zeile 113: @@
-'''(6)'''&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u> dieser eher akademischen Teilaufgabe <u>sind richtig</u>. Mit dem Schwellenwert $G = 0$ ergibt sich $p_{\rm S} = {\rm Q}(0.5) \ \underline {\approx 0.309}$. Die Kenngröße $\gamma = 1.4$ hat nun den vierfachen Wert gegenüber der Teilaufgabe (5), so dass die optimale Entscheidergrenze nun bei $G_{\rm opt} = \underline {1.4 \cdot s_0}$ liegt. Somit gehört der (ungestörte) Signalwert $s_0$ nicht zur Entscheidungsregion $I_0$, sondern zu $I_1$, gekennzeichnet durch $\rho < G_{\rm opt}$. Nur mit einem (positiven) Rauschanteil ist $I_0 (\rho > G_{\rm opt})$ überhaupt erst möglich. Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt mit $G_{\rm opt} = 1.4 \cdot s_0$:
+'''(6)'''&nbsp; <u>Alle Lösungsvorschläge</u> dieser eher akademischen Teilaufgabe <u>sind richtig</u>:
-:$$p_{\rm S}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  {2}/{3} \cdot {\rm Q} (0.5 \cdot (1 + 1.4)) + {1}/{3} \cdot {\rm Q} (0.5 \cdot (1 - 1.4)) = $$
+*Mit dem Schwellenwert $G = 0$ ergibt sich $p_{\rm S} = {\rm Q}(0.5) \ \underline {\approx 0.309}$.
-:$$\hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}  {2}/{3} \cdot {\rm Q} (1.2)  + {1}/{3}  \cdot {\rm Q} (-0.2)=
+*Die Kenngröße $\gamma = 1.4$ hat nun den vierfachen Wert gegenüber der Teilaufgabe (5), so dass die optimale Entscheidergrenze nun bei $G_{\rm opt} = \underline {1.4 \cdot s_0}$ liegt.
-{2}/{3}  \cdot 0.115  + {1}/{3}  \cdot [1- 0.421]
+*Somit gehört der (ungestörte) Signalwert $s_0$ nicht zur Entscheidungsregion $I_0$, sondern zu $I_1$, gekennzeichnet durch $\rho < G_{\rm opt}$.
-\hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.27}  \hspace{0.05cm}.$$
+*Nur mit einem (positiven) Rauschanteil ist $I_0 (\rho > G_{\rm opt})$ überhaupt erst möglich. Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt mit $G_{\rm opt} = 1.4 \cdot s_0$:
 Die folgende Grafik verdeutlicht die hier gemachten Aussagen.