Aufgaben:Aufgabe 4.06Z: Signalraumkonstellationen - Versionsgeschichte

Guenter am 28. Juli 2022 um 12:57 Uhr

2022-07-28T12:57:23Z

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2022-07-28T12:44:07Z

Guenter am 13. März 2019 um 15:35 Uhr

2019-03-13T15:35:54Z

Guenter am 13. März 2019 um 15:27 Uhr

2019-03-13T15:27:40Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:47Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:33:54Z

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Guenter am 14. November 2017 um 12:40 Uhr

2017-11-14T12:40:36Z

Guenter am 14. November 2017 um 12:26 Uhr

2017-11-14T12:26:04Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die <u>drei erstgenannten Voraussetzungen</u> müssen auf jeden Fall erfüllt sein:
+'''(1)'''&nbsp; Die&nbsp; <u>drei erstgenannten Voraussetzungen</u>&nbsp; müssen auf jeden Fall erfüllt sein:
 *Die Gleichung gilt dann unabhängig von den Auftrittswahrscheinlichkeiten.
-*Im Fall ${\rm Pr}(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{s}_0) &ne; {\rm Pr}(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{s}_1)$ kann durch eine Verschiebung der Entscheiderschwelle eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden.
+*Im Fall&nbsp; ${\rm Pr}(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{s}_0) &ne; {\rm Pr}(\boldsymbol{s} = \boldsymbol{s}_1)$&nbsp; kann durch eine Verschiebung der Entscheiderschwelle eine kleinere Fehlerwahrscheinlichkeit erzielt werden.
-'''(2)'''&nbsp; Der Rauscheffektivwert $\sigma_n$ und damit auch die Signalenergie $E = \sigma_n^2$ sind für alle drei betrachteten Varianten gleich. Gleiches gilt für die Distanz der Signalraumpunkte. Für die Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; gilt zum Beispiel:
+'''(2)'''&nbsp; Der Rauscheffektivwert&nbsp; $\sigma_n$&nbsp; und damit auch die Signalenergie&nbsp; $E = \sigma_n^2$&nbsp; sind für alle drei betrachteten Varianten gleich.&nbsp; Gleiches gilt für die Distanz der Signalraumpunkte.&nbsp; Für die Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; gilt zum Beispiel:
 :$$d = \sqrt{ || \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0||^2} = \sqrt{ E \cdot (4-1)^2 + E \cdot (1-5)^2} = 5 \cdot \sqrt{E}\hspace{0.05cm}.$$
-Durch die Verschiebung des Koordinatensystems ändert sich am Absand zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ nichts (Variante &nbsp;$\rm B$), und auch bei Variante &nbsp;$\rm C$&nbsp; (nach Drehung) ergibt sich der gleiche Abstand.
+*Durch die Verschiebung des Koordinatensystems ändert sich am Absand zwischen&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; nichts&nbsp; (Variante &nbsp;$\rm B$),&nbsp; und auch bei Variante &nbsp;$\rm C$&nbsp; (nach Drehung) ergibt sich der gleiche Abstand.
-Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 4</u>:
+*Richtig ist also der&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 4</u>.&nbsp; Kommentar:
-*Durch eine Drehung des Koordinatensystems kann man bei einem Binärsystem $(M = 2)$ stets mit einer Basisfunktion $(N = 1)$ auskommen.
+#Durch eine Drehung des Koordinatensystems kann man bei einem Binärsystem&nbsp; $(M = 2)$&nbsp; stets mit einer Basisfunktion&nbsp; $(N = 1)$&nbsp; auskommen.
-*Da das zweidimensionale Rauschen zirkulär symmetrisch ist &nbsp; &#8658; &nbsp; gleiche Streuung $\sigma_n$ in alle Richtungen, kann auch der Rauschterm wie im Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisband%C3%BCbertragung|Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung]] eindimensional beschrieben werden.
+#Da das zweidimensionale Rauschen zirkulär symmetrisch ist &nbsp; &#8658; &nbsp; gleiche Streuung $\sigma_n$ in alle Richtungen,&nbsp; kann auch der Rauschterm wie im Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisband%C3%BCbertragung|"Fehlerwahrscheinlichkeit bei Basisbandübertragung"]] eindimensional beschrieben werden.
-'''(3)'''&nbsp; Für alle hier betrachteten Varianten gilt, also auch für die Variante &nbsp;$\rm A$:
+'''(3)'''&nbsp; Für alle hier betrachteten Varianten gilt,&nbsp; also auch für die Variante &nbsp;$\rm A$:
 :$$p_{\rm S}  = {\rm Pr}({ \cal E} ) =   {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right )=   {\rm Q} \left ( \frac{5/2 \cdot \sqrt{E}}{\sigma_n} \right )
 =   {\rm Q}(2.5)\hspace{0.05cm}.$$
-Mit der angegebenen Näherung erhält man
+*Mit der angegebenen Näherung erhält man
 :$$p_{\rm S}  = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 2.5} \cdot {\rm e}^{-2.5^2/2} \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.7 \%}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 111: / Zeile 111: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Setzt man dieses Ergebnis in die unter (3) gefundene Gleichung ein, so erhält man mit $\sigma_n^2 = N_0/2$:
+*Setzt man dieses Ergebnis in die unter&nbsp; '''(3)'''&nbsp; gefundene Gleichung ein,&nbsp; so erhält man mit&nbsp; $\sigma_n^2 = N_0/2$:
 :$$p_{\rm S}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}   {\rm Q} \left ( \frac{2.5 \cdot \sqrt{E}}{\sigma_n} \right )=   {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{E_{\rm S}}}{\sigma_n} \right )
 =   {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{2 \cdot E_{\rm S}}}{N_0} \right ) ={\rm Q} \left ( \sqrt{\frac{ 2 \cdot 6.25 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}}{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm W/Hz}}} \right )
@@ Zeile 117: / Zeile 117: @@
-'''(5)'''&nbsp; Durch Drehung des Koordinatensystems ändert sich nichts an den Energieverhältnissen. Deshalb erhält man wieder $p_{\rm S} \ \underline {\approx 0.7\%}$.
+'''(5)'''&nbsp; Durch Drehung des Koordinatensystems ändert sich nichts an den Energieverhältnissen.&nbsp; Deshalb erhält man wieder&nbsp; $p_{\rm S} \ \underline {\approx 0.7\%}$.
@@ Zeile 125: / Zeile 125: @@
 \hspace{0.05cm}. $$
-Der Abstand von der Schwelle, die bei gleichwahrscheinlichen Symbolen in der Mitte zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ liegen sollte, ist wie bei den anderen Varianten $d/2 = 2.5 \cdot E^{\rm 1/2}$. Mit $\sigma_n^2 = N_0/2$ erhält man somit die Bestimmungsgleichung:
+*Der Abstand von der Schwelle,&nbsp; die bei gleichwahrscheinlichen Symbolen in der Mitte zwischen&nbsp; $\boldsymbol{s}_0$&nbsp; und&nbsp; $\boldsymbol{s}_1$&nbsp; liegen sollte,&nbsp; ist wie bei den anderen Varianten&nbsp; $d/2 = 2.5 \cdot E^{\rm 1/2}$.&nbsp; Mit&nbsp; $\sigma_n^2 = N_0/2$&nbsp; erhält man somit die Bestimmungsgleichung:
 :$$p_{\rm S}  = {\rm Q} \left ( \frac{ 2.5 \cdot \sqrt{E}}{\sqrt{N_0/2}} \right )
 ={\rm Q}(2.5)\approx 0.7 \cdot 10^{-2} \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 132: / Zeile 132: @@
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {E_{\rm S}} = 0.5 \cdot {21.5 \cdot N_0} \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline { = 21.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}}\hspace{0.05cm}.$$
-Das bedeutet: Bei der Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; ist gegenüber den beiden anderen Symbolen eine um den Faktor $3.44$ größere mittlere Symbolenergie $E_{\rm S}$ erforderlich, um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S} = 0.7%$ zu erzielen.
+*Das bedeutet:&nbsp; Bei der Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; ist gegenüber den beiden anderen Symbolen eine um den Faktor&nbsp; $3.44$&nbsp; größere mittlere Symbolenergie&nbsp; $E_{\rm S}$&nbsp; erforderlich,&nbsp; um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm S} = 0.7%$&nbsp; zu erzielen.&nbsp; Kommentar:
-*Das heißt: Diese Signalraumkonstellation ist sehr ungünstig. Es ergibt sich ein sehr großes $E_{\rm S}$, ohne dass gleichzeitig der Abstand $d$ vergrößert wird.
+#Diese Signalraumkonstellation ist sehr ungünstig.&nbsp; Es ergibt sich ein sehr großes&nbsp; $E_{\rm S}$,&nbsp; ohne dass gleichzeitig der Abstand&nbsp; $d$&nbsp; vergrößert wird.
-*Mit $E_{\rm S} = 6.25 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ \rm Ws$ würde sich dagegen $p_{\rm S} = {\rm Q}(2.5/3.44^{\rm 1/2}) \approx {\rm Q}(1.35) \approx 9\%$ ergeben.
+#Mit&nbsp; $E_{\rm S} = 6.25 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ \rm Ws$&nbsp; würde sich dagegen&nbsp; $p_{\rm S} = {\rm Q}(2.5/3.44^{\rm 1/2}) \approx {\rm Q}(1.35) \approx 9\%$&nbsp; ergeben.
-*Das heißt: &nbsp; Die Fehlerwahrscheinlichkeit würde um mehr als eine Zehnerpotenz größer.
+#Das heißt: &nbsp; Die Fehlerwahrscheinlichkeit würde um mehr als eine Zehnerpotenz größer.
 {{ML-Fuß}}

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 Hierzu ist anzumerken:
-* ${\rm Q}(x)$&nbsp; bezeichnet die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion (Definition und Approximation):
+* ${\rm Q}(x)$&nbsp; bezeichnet die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion&nbsp; (Definition und Approximation):
 :$${\rm Q}(x) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}   \frac{1}{\sqrt{2\pi}}  \int_{x}^{\infty} {\rm e}^{-u^2/2} \,{\rm d} u
 \approx  \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2}
@@ Zeile 15: / Zeile 15: @@
 :$$d = \sqrt{ || \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0||^2} \hspace{0.05cm}.$$
-* $\sigma_n^2$&nbsp; ist die Varianz des AWGN&ndash;Rauschens nach dem Detektor, der zum Beispiel als Matched&ndash;Filter realisiert sein kann. <br>Es gelte&nbsp; $\sigma_n^2 = N_0/2$.
+* $\sigma_n^2$&nbsp; ist die Varianz des AWGN&ndash;Rauschens nach dem Detektor,&nbsp; der zum Beispiel als Matched&ndash;Filter realisiert sein kann. <br>Es gelte&nbsp; $\sigma_n^2 = N_0/2$.
-Durch die Grafik sind drei unterschiedliche Signalraumkonstellationen gegeben, nämlich
+Durch die Grafik sind drei unterschiedliche Signalraumkonstellationen gegeben,&nbsp; nämlich
 * Variante $\rm A$: &nbsp; $s_0 = (+1, \,  +5), \hspace{0.4cm} s_1 = (+4, \,  +1)$,
@@ Zeile 32: / Zeile 32: @@
+* Wenn keine anderslautende Angabe gemacht ist,&nbsp; so kann von gleichwahrscheinlichen Symbolen ausgegangen werden:
 :$${\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) = {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) = 0.5\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 46: / Zeile 46: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Welche Voraussetzungen müssen unbedingt (auf jeden Fall) erfüllt sein, damit die angegebene Fehlerwahrscheinlichkeitsgleichung gilt?
+{Welche Voraussetzungen müssen unbedingt&nbsp; (auf jeden Fall)&nbsp; erfüllt sein,&nbsp; damit die angegebene Fehlerwahrscheinlichkeitsgleichung gilt?
 |type="[]"}
 + Additives weißes Gaußsches Rauschen mit Varianz&nbsp; $\sigma_n^2$.
@@ Zeile 60: / Zeile 60: @@
 + Alle Varianten zeigen gleiches Fehlerverhalten.
-{Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit für die Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; mit &nbsp;$\sigma_n^2 = E$&nbsp; an. Sie können&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; entsprechend der Näherung berechnen.
+{Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit für die Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; mit &nbsp;$\sigma_n^2 = E$&nbsp; an.&nbsp; Sie können&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; entsprechend der Näherung berechnen.
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \ = \ $ { 0.7 3% } $\ \%$
-{Es gelte&nbsp; $N_0 = 2 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ {\rm W/Hz}$,&nbsp; $E_{\rm S} = 6.25 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ \rm Ws$. Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich für die Variante &nbsp;$\rm C$&nbsp; bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?
+{Es gelte &nbsp; $N_0 = 2 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ {\rm W/Hz}$,&nbsp; $E_{\rm S} = 6.25 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ \rm Ws$.&nbsp; Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich für die Variante &nbsp;$\rm C$&nbsp; bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \ = \ $ { 0.7 3% } $\ \%$
-{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei gleichen Voraussetzungen für die Variante &nbsp;$\rm B$
+{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei gleichen Voraussetzungen für die Variante &nbsp;$\rm B$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \ = \ $ { 0.7 3% } $\ \%$
-{Wie groß ist bei der Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; die mittlere Energie pro Symbol &nbsp;$(E_{\rm S})$&nbsp; zu wählen, um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie bei System &nbsp;$\rm C$&nbsp; zu erhalten?
+{Wie groß ist bei der Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; die mittlere Energie pro Symbol &nbsp;$(E_{\rm S})$&nbsp; zu wählen,&nbsp; um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie bei System &nbsp;$\rm C$&nbsp; zu erhalten?
 |type="{}"}
 $E_{\rm S} \ = \ $ { 21.5 3% } $\ \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ \rm Ws$

@@ Zeile 84: / Zeile 84: @@
-'''(2)'''&nbsp; Der Rauscheffektivwert $\sigma_n$ und damit auch die Signalenergie $E = \sigma_n^2$ sind für alle drei betrachteten Varianten gleich. Gleiches gilt für die Distanz der Signalraumpunkte. Für die Variante '''A''' gilt zum Beispiel:
 :$$d = \sqrt{ || \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0||^2} = \sqrt{ E \cdot (4-1)^2 + E \cdot (1-5)^2} = 5 \cdot \sqrt{E}\hspace{0.05cm}.$$
-Durch die Verschiebung des Koordinatensystems ändert sich am Absand zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ nichts (Variante '''B'''), und auch bei Variante <i>C</i> (nach Drehung) ergibt sich der gleiche Abstand.
+Durch die Verschiebung des Koordinatensystems ändert sich am Absand zwischen $\boldsymbol{s}_0$ und $\boldsymbol{s}_1$ nichts (Variante &nbsp;$\rm B$), und auch bei Variante &nbsp;$\rm C$&nbsp; (nach Drehung) ergibt sich der gleiche Abstand.
 Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 4</u>:
@@ Zeile 94: / Zeile 95: @@
-'''(3)'''&nbsp; Für alle hier betrachteten Varianten, also auch für die Variante '''A''', gilt:
 :$$p_{\rm S}  = {\rm Pr}({ \cal E} ) =   {\rm Q} \left ( \frac{d/2}{\sigma_n} \right )=   {\rm Q} \left ( \frac{5/2 \cdot \sqrt{E}}{\sigma_n} \right )
 =   {\rm Q}(2.5)\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 101: / Zeile 103: @@
 :$$p_{\rm S}  = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 2.5} \cdot {\rm e}^{-2.5^2/2} \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.7 \%}\hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Bei der Variante '''C''' ergibt sich für die mittlere Energie pro Symbol:
 :$$E_{\rm S}  \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm} {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \cdot  (-2.5 \cdot \sqrt{E})^2 +
   {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) \cdot  (+ 2.5 \cdot \sqrt{E})^2 =
@@ Zeile 112: / Zeile 115: @@
 =   {\rm Q} \left ( \frac{ \sqrt{2 \cdot E_{\rm S}}}{N_0} \right ) ={\rm Q} \left ( \sqrt{\frac{ 2 \cdot 6.25 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}}{2 \cdot 10^{-6}\,{\rm W/Hz}}} \right )
 ={\rm Q}(2.5) \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.7 \%}\hspace{0.05cm}. $$
 '''(5)'''&nbsp; Durch Drehung des Koordinatensystems ändert sich nichts an den Energieverhältnissen. Deshalb erhält man wieder $p_{\rm S} \ \underline {\approx 0.7\%}$.
-'''(6)'''&nbsp; Bei der Variante '''A''' ist die mittlere Energie pro Symbol
 :$$E_{\rm S}  = {1}/{2} \cdot    \left [ (1^2 + 5^2) \cdot E + (4^2 + 1^2) \cdot E \right ] = 21.5 \cdot E
 \hspace{0.05cm}. $$
@@ Zeile 127: / Zeile 132: @@
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {E_{\rm S}} = 0.5 \cdot {21.5 \cdot N_0} \hspace{0.1cm} \hspace{0.15cm}\underline { = 21.5 \cdot 10^{-6}\,{\rm Ws}}\hspace{0.05cm}.$$
-Das bedeutet: Bei der Variante '''A''' ist gegenüber den beiden anderen Symbolen eine um den Faktor $3.44$ größere mittlere Symbolenergie $E_{\rm S}$ erforderlich, um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S} = 0.7%$ zu erzielen.
+Das bedeutet: Bei der Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; ist gegenüber den beiden anderen Symbolen eine um den Faktor $3.44$ größere mittlere Symbolenergie $E_{\rm S}$ erforderlich, um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm S} = 0.7%$ zu erzielen.
 *Das heißt: Diese Signalraumkonstellation ist sehr ungünstig. Es ergibt sich ein sehr großes $E_{\rm S}$, ohne dass gleichzeitig der Abstand $d$ vergrößert wird.
-*Mit $E_{\rm S} = 6.25 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ \rm Ws$ würde sich dagegen $p_{\rm S} = {\rm Q}(2.5/3.44^{\rm 1/2}) \approx {\rm Q}(1.35) \approx 9\%$ ergeben. Das heißt: Die Fehlerwahrscheinlichkeit würde um mehr als eine Zehnerpotenz größer.
+*Mit $E_{\rm S} = 6.25 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ \rm Ws$ würde sich dagegen $p_{\rm S} = {\rm Q}(2.5/3.44^{\rm 1/2}) \approx {\rm Q}(1.35) \approx 9\%$ ergeben.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 Hierzu ist anzumerken:
-* ${\rm Q}(x)$ bezeichnet die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion (Definition und Approximation):
+* ${\rm Q}(x)$&nbsp; bezeichnet die komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion (Definition und Approximation):
 :$${\rm Q}(x) \hspace{-0.1cm} \ = \ \hspace{-0.1cm}   \frac{1}{\sqrt{2\pi}}  \int_{x}^{\infty} {\rm e}^{-u^2/2} \,{\rm d} u
 \approx  \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot x} \cdot {\rm e}^{-x^2/2}
 \hspace{0.05cm}.$$
-* $d$ gibt den Abstand der beiden Sendesignalpunkte $s_0$ und $s_1$ im  Vektorraum an:
+* $d$&nbsp; gibt den Abstand der beiden Sendesignalpunkte&nbsp; $s_0$&nbsp; und &nbsp;$s_1$&nbsp; im  Vektorraum an:
 :$$d = \sqrt{ || \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0||^2} \hspace{0.05cm}.$$
-* $\sigma_n^2$ ist die Varianz des AWGN&ndash;Rauschens nach dem Detektor, der zum Beispiel als Matched&ndash;Filter realisiert sein kann. Es gelte $\sigma_n^2 = N_0/2$.
+* $\sigma_n^2$&nbsp; ist die Varianz des AWGN&ndash;Rauschens nach dem Detektor, der zum Beispiel als Matched&ndash;Filter realisiert sein kann. <br>Es gelte&nbsp; $\sigma_n^2 = N_0/2$.
 Durch die Grafik sind drei unterschiedliche Signalraumkonstellationen gegeben, nämlich
-* Variante <i>A</i> : $s_0 = (+1, \,  +5), \hspace{0.4cm} s_1 = (+4, \,  +1)$,
+* Variante $\rm A$: &nbsp; $s_0 = (+1, \,  +5), \hspace{0.4cm} s_1 = (+4, \,  +1)$,
-* Variante <i>B</i> : $s_0 = (-1.5, \,  +2), \, s_1 = (+1.5, \,  -2)$,
+* Variante $\rm B$: &nbsp; $s_0 = (-1.5, \,  +2), \, s_1 = (+1.5, \,  -2)$,
-* Variante <i>C</i> : $s_0 = (-2.5, \,  0), \hspace{0.45cm} s_1 = (+2.5, \,  0)$.
+* Variante $\rm C$: &nbsp; $s_0 = (-2.5, \,  0), \hspace{0.45cm} s_1 = (+2.5, \,  0)$.
-Die jeweils mittlere Energie pro Symbol ($E_{\rm S}$) kann wie folgt berechnet werden:
+Die jeweils mittlere Energie pro Symbol &nbsp;$(E_{\rm S})$&nbsp; kann wie folgt berechnet werden:
 :$$E_{\rm S}  = {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) \cdot  ||  \boldsymbol{ s }_0||^2 +
   {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) \cdot  ||  \boldsymbol{ s }_1||^2\hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
+* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
-* Für numerische Berechnungen kann zur Vereinfachung die Energie $E = 1$ gesetzt werden.
+* Für numerische Berechnungen kann zur Vereinfachung die Energie&nbsp; $E = 1$&nbsp; gesetzt werden.
-* Wenn keine anderslautende Angabe gemacht ist, so kann von gleichwahrscheinlichen Symbolen ausgegangen werden: ${\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) = {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) = 0.5\hspace{0.05cm}.$
+* Wenn keine anderslautende Angabe gemacht ist, so kann von gleichwahrscheinlichen Symbolen ausgegangen werden:
@@ Zeile 44: / Zeile 48: @@
 {Welche Voraussetzungen müssen unbedingt (auf jeden Fall) erfüllt sein, damit die angegebene Fehlerwahrscheinlichkeitsgleichung gilt?
 |type="[]"}
-+ additives weißes Gaußsches Rauschen mit Varianz $\sigma_n^2$,
++ Additives weißes Gaußsches Rauschen mit Varianz&nbsp; $\sigma_n^2$.
-+ optimaler Binärempfänger,
++ Optimaler Binärempfänger.
-+ Entscheidungsgrenze in der Mitte zwischen den Symbolen,
++ Entscheidungsgrenze in der Mitte zwischen den Symbolen.
-- gleischwahrscheinliche Symbole $s_0$ und $s_1$.
+- Gleischwahrscheinliche Symbole&nbsp; $s_0$&nbsp; und&nbsp; $s_1$.
-{Welche Aussage gilt für die Fehlerwahrscheinlichkeit mit $\sigma_n^2 = E$?
+{Welche Aussage gilt für die Fehlerwahrscheinlichkeit mit&nbsp; $\sigma_n^2 = E$?
 |type="[]"}
-- Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit tritt bei Variante '''A''' auf.
+- Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit tritt bei Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; auf.
-- Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit tritt bei Variante '''B''' auf.
+- Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit tritt bei Variante &nbsp;$\rm B$&nbsp; auf.
-- Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit tritt bei Variante '''C''' auf.
+- Die kleinste Fehlerwahrscheinlichkeit tritt bei Variante &nbsp;$\rm C$&nbsp; auf.
 + Alle Varianten zeigen gleiches Fehlerverhalten.
-{Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit für die Variante '''A''' mit $\sigma_n^2 = E$ an. Sie können ${\rm Q}(x)$ entsprechend der Näherung berechnen.
+{Geben Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit für die Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; mit &nbsp;$\sigma_n^2 = E$&nbsp; an. Sie können&nbsp; ${\rm Q}(x)$&nbsp; entsprechend der Näherung berechnen.
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \ = \ $ { 0.7 3% } $\ \%$
-{Es gelte $N_0 = 2 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ {\rm W/Hz}$, $E_{\rm S} = 6.25 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ \rm Ws$. Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich für die Variante '''C''' bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?
+{Es gelte&nbsp; $N_0 = 2 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ {\rm W/Hz}$,&nbsp; $E_{\rm S} = 6.25 \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ \rm Ws$. Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich für die Variante &nbsp;$\rm C$&nbsp; bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \ = \ $ { 0.7 3% } $\ \%$
-{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei gleichen Voraussetzungen für die Variante '''B'''?
+{Welche Fehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich bei gleichen Voraussetzungen für die Variante &nbsp;$\rm B$
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \ = \ $ { 0.7 3% } $\ \%$
-{Wie groß ist bei der Variante '''A''' die mittlere Energie pro Symbol ($E_{\rm S}$) zu wählen, um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie bei System '''C''' zu erhalten?
+{Wie groß ist bei der Variante &nbsp;$\rm A$&nbsp; die mittlere Energie pro Symbol &nbsp;$(E_{\rm S})$&nbsp; zu wählen, um die gleiche Fehlerwahrscheinlichkeit wie bei System &nbsp;$\rm C$&nbsp; zu erhalten?
 |type="{}"}
 $E_{\rm S} \ = \ $ { 21.5 3% } $\ \cdot 10^{\rm &ndash;6} \ \rm Ws$

@@ Zeile 35: / Zeile 35: @@
 * Für numerische Berechnungen kann zur Vereinfachung die Energie $E = 1$ gesetzt werden.
 * Wenn keine anderslautende Angabe gemacht ist, so kann von gleichwahrscheinlichen Symbolen ausgegangen werden: ${\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_0) = {\rm Pr}(\boldsymbol{ s } = \boldsymbol{ s }_1) = 0.5\hspace{0.05cm}.$
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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