Aufgaben:Aufgabe 4.06: Optimale Entscheidungsgrenzen - Versionsgeschichte

Guenter am 27. Juli 2022 um 15:47 Uhr

2022-07-27T15:47:29Z

Guenter am 27. Juli 2022 um 15:33 Uhr

2022-07-27T15:33:01Z

Guenter am 13. März 2019 um 15:16 Uhr

2019-03-13T15:16:34Z

Guenter am 12. März 2019 um 17:14 Uhr

2019-03-12T17:14:20Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:47Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:33:34Z

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Hussain am 1. Dezember 2017 um 08:11 Uhr

2017-12-01T08:11:46Z

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2017-11-18T16:18:11Z

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Guenter am 14. November 2017 um 11:29 Uhr

2017-11-14T11:29:03Z

Guenter am 14. November 2017 um 11:19 Uhr

2017-11-14T11:19:34Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Mit ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$ lautet die Gleichung der Begrenzungsgeraden zwischen den  Entscheidungsgebieten $I_0$ und $I_1$:
+'''(1)'''&nbsp; Mit&nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = {\rm Pr}(m_1) = 0.5$&nbsp; lautet die Gleichung der Begrenzungsgeraden zwischen den  Entscheidungsgebieten&nbsp; $I_0$&nbsp; und&nbsp; $I_1$:
 :$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2  =
 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.$$
-Mit den gegebenen Vektorwerten, also den Zahlenwerten
+*Mit den gegebenen Vektorwerten,&nbsp; also den Zahlenwerten
 :$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2  = 4^2 + 1^2 = 17\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
   || \boldsymbol{ s }_0||^2  =  1^2 + 5^2 = 26\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}
 \boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0 = (3,\hspace{0.1cm}-4) \hspace{0.05cm}$$
-erhält man folgende Gleichung für die Entscheidungsgrenzen:
+:erhält man folgende Gleichung für die Entscheidungsgrenzen:
 :$$3 \cdot \rho_1 - 4 \cdot \rho_2  =  ({17-26})/{2} = -  {9}/{2}
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\rho_2  = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8
 \hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID2033__Dig_A_4_6a.png|right|frame|Entscheidungsgerade und Entscheidungsregionen für $K=0$]]
+[[Datei:P_ID2033__Dig_A_4_6a.png|right|frame|Entscheidungsgerade und Entscheidungsregionen für&nbsp; $K=0$]]
-Die Entscheidungsgrenze liegt in der Mitte zwischen $s_0$ und $s_1$ und verläuft um $90^\circ$ gedreht gegenüber der Verbindungslinie zwischen den beiden Symbolen. Sie geht durch den Punkt $(2.5, \ \,  3)$. Richtig ist also der <u>erste Lösungsvorschlag</u>.
+*Die Entscheidungsgrenze liegt in der Mitte zwischen&nbsp; $s_0$&nbsp; und&nbsp; $s_1$&nbsp; und verläuft um&nbsp; $90^\circ$&nbsp; gedreht gegenüber der Verbindungslinie zwischen den beiden Symbolen.
 '''(4)'''&nbsp; Entsprechend der Gleichung auf dem Angabenblatt und den Berechnungen zur Teilaufgabe (1) gilt nun:
-[[Datei:P_ID2034__Dig_A_4_6c.png|right|frame|Entscheidungsgebiete für verschiedene $K$&ndash;Werte]]
+'''(3)'''&nbsp; Die Entscheidungsgerade geht auch durch den Punkt&nbsp; $(3, \ \,  3.375)$.
 :$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 + 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot  {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} =
 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.$$
-Mit $|| \boldsymbol{ s }_1||^2 = 17$, $|| \boldsymbol{ s }_0||^2 = 26$, $ \boldsymbol{ s }_1 \, &ndash;\boldsymbol{ s }_0 = (3, \ \, &ndash;4)$ erhält man:
+*Mit&nbsp; $|| \boldsymbol{ s }_1||^2 = 17$,&nbsp; $|| \boldsymbol{ s }_0||^2 = 26$,&nbsp; $ \boldsymbol{ s }_1 \, &ndash;\boldsymbol{ s }_0 = (3, \ \, &ndash;4)$&nbsp; erhält man:
 :$$\rho_2  = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8 - K /8
 \hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei ist folgende Abkürzung verwendet worden:
+*Hierbei ist folgende Abkürzung verwendet worden:
 :$$K =  2 \cdot \sigma_n^2 \cdot  {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} =
 \cdot 1^2 \cdot 1.5 = 3 \hspace{0.05cm}.$$
-Daraus folgt weiter:
+*Daraus folgt weiter:
 :$$\rho_2  = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8 - 3 /8 = 3/4 \cdot \rho_1 + 3/4
 \hspace{0.05cm}.$$
-Die Entscheidungsgerade ist um $3/8$ nach unten verschoben (schwarze Kurve, mit &bdquo;$K = 3$&rdquo; bezeichnet in der Grafik). Richtig ist also der <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+*Die Entscheidungsgerade ist um&nbsp; $3/8$&nbsp; nach unten verschoben&nbsp; $($schwarze Kurve,&nbsp; mit&nbsp; "$K = 3$" bezeichnet in der Grafik$)$.
-*Die erste Gleichung beschreibt die optimale Entscheidungsgrenze für gleichwahrscheinliche Symbole ($K = 0$, grau gestrichelt).
+#Die erste Gleichung beschreibt die optimale Entscheidungsgrenze für gleichwahrscheinliche Symbole&nbsp; $(K = 0$,&nbsp; grau gestrichelt$)$.
-*Die dritte Gleichung gilt für $K = \, &ndash;3$. Diese ergibt sich mit $\sigma_n^2 = 1$ für die Symbolwahrscheinlichkeiten ${\rm Pr}(m_1) \approx 0.817$ und ${\rm Pr}(m_0) \approx 0.138$ (grüne Kurve).
+#Die dritte Gleichung gilt für&nbsp; $K = \, &ndash;3$.&nbsp; Diese ergibt sich mit&nbsp; $\sigma_n^2 = 1$&nbsp; für die Symbolwahrscheinlichkeiten&nbsp; ${\rm Pr}(m_1) \approx 0.817$,&nbsp;  ${\rm Pr}(m_0) \approx 0.138$&nbsp; $($grüne Kurve$)$.
-*Die violette Gerade ergibt sich mit $K = 9$, also zum Beispiel bei gleichen Wahrscheinlichkeiten wie für die schwarze Kurve, aber nun mit der Varianz $\sigma_n^2 = 3$.
+#Die violette Gerade ergibt sich mit&nbsp; $K = 9$,&nbsp; also zum Beispiel bei gleichen Wahrscheinlichkeiten wie für die schwarze Kurve,&nbsp; aber nun mit der Varianz&nbsp; $\sigma_n^2 = 3$.
-'''(5)'''&nbsp; Bereits aus obiger Grafik erkennt man, dass nun sowohl $A$ als auch $B$ zur Entscheidungsregion $I_0$ gehören. Richtig sind also die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.
+'''(5)'''&nbsp; Bereits aus obiger Grafik erkennt man,&nbsp; dass nun sowohl&nbsp; $A$&nbsp; als auch&nbsp; $B$&nbsp; zur Entscheidungsregion&nbsp; $I_0$&nbsp; gehören.&nbsp; Richtig sind also die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID2015__Dig_A_4_6.png|right|frame|Signalraumkonstellation mit<br> $N = 2, \ M = 2$]]
-Wie betrachten ein binäres Nachrichtensystem &nbsp;$(M = 2)$, das durch die gezeichnete 2D&ndash;Signalraumkonstellation  &nbsp;$(N = 2)$&nbsp; festliegt. Für die beiden möglichen Sendevektoren, die mit den Nachrichten&nbsp; $m_0$&nbsp; und&nbsp; $m_1$&nbsp; direkt gekoppelt sind, gilt:
+Wie betrachten ein binäres Nachrichtensystem &nbsp;$(M = 2)$,&nbsp; das durch die gezeichnete 2D&ndash;Signalraumkonstellation  &nbsp;$(N = 2)$&nbsp; festliegt.&nbsp; Für die beiden möglichen Sendevektoren,&nbsp; die mit den Nachrichten&nbsp; $m_0$&nbsp; und&nbsp; $m_1$&nbsp; direkt gekoppelt sind,&nbsp; gilt:
 :$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm}  \sqrt {E} \cdot (1,\hspace{0.1cm} 5) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0   \hspace{0.05cm},$$
 :$$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm}  \sqrt {E} \cdot (4, \hspace{0.1cm}1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1   \hspace{0.05cm}.$$
-Gesucht ist jeweils die optimale Entscheidungsgrenze zwischen den Regionen&nbsp; $I_0 &#8660; m_0$&nbsp; und&nbsp; $I_1 &#8660; m_1$, wobei von folgenden Voraussetzungen ausgegangen wird:
+Gesucht ist jeweils die optimale Entscheidungsgrenze zwischen den Regionen&nbsp; $I_0 &#8660; m_0$&nbsp; und&nbsp; $I_1 &#8660; m_1$,&nbsp; wobei von folgenden Voraussetzungen ausgegangen wird:
-* Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(3)''' gilt
+* Für die Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; bis '''(3)'''&nbsp; gilt:
 :$${\rm Pr}(m_0 ) = {\rm Pr}(m_1 ) = 0.5
   \hspace{0.05cm}. $$
-* Für die Teilaufgaben '''(4)''' und '''(5)''' soll dagegen gelten:
+* Für die Teilaufgaben&nbsp; '''(4)'''&nbsp; und&nbsp; '''(5)'''&nbsp; soll dagegen gelten:
 :$${\rm Pr}(m_0 ) = 0.817 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(m_1 ) = 0.183\hspace{0.3cm}
   \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} =
@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-Bei AWGN&ndash;Rauschen mit Varianz&nbsp; $\sigma_n^2$&nbsp; ist die Entscheidungsgrenze die Lösung folgender vektoriellen Gleichung hinsichtlich des Vektors&nbsp; $(\rho_1, \rho_2)$:
+Bei AWGN&ndash;Rauschen mit Varianz&nbsp; $\sigma_n^2$&nbsp; ist die Entscheidungsgrenze die Lösung folgender vektoriellen Gleichung hinsichtlich des Vektors&nbsp; $\boldsymbol{ \rho } = (\rho_1, \rho_2)$:
 :$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 + 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot  {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} =
-\cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
+\cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.$$
 Zusätzlich sind in der Grafik zwei Empfangswerte
-:$$\boldsymbol{ A }= \sqrt {E} \cdot (1.5, \hspace{0.1cm}2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ B }= \sqrt {E} \cdot (3, \hspace{0.1cm}3.5)   $$
+:$$\boldsymbol{ A }= \sqrt {E} \cdot (1.5, \hspace{0.1cm}2)\hspace{0.05cm},$$
-eingezeichnet. Es ist zu überprüfen, ob diese bei den entsprechenden Randbedingungen den Regionen&nbsp; $I_0$&nbsp; $($und damit der Nachricht $m_0)$&nbsp; oder&nbsp; $I_1$&nbsp; $($Nachricht $m_1)$&nbsp; zugeordnet werden sollten.
+eingezeichnet.&nbsp; Es ist zu überprüfen,&nbsp; ob diese bei den entsprechenden Randbedingungen den Regionen&nbsp; $I_0$&nbsp; $($und damit der Nachricht&nbsp; $m_0)$&nbsp; oder&nbsp; $I_1$&nbsp; $($Nachricht&nbsp; $m_1)$&nbsp; zugeordnet werden sollten.
@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
-''Hinweise:''
+Hinweise:
-* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
+* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| "Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit"]].
 * Für numerische Berechnungen kann zur Vereinfachung die Energie&nbsp; $E = 1$&nbsp; gesetzt werden.
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 <quiz display=simple>
-{Wo liegt die optimale Entscheidergrenze bei gleichwahrscheinlichen Symbolen? Bei
+{Wo liegt die optimale Entscheidergrenze bei gleichwahrscheinlichen Symbolen?&nbsp; Bei
 |type="[]"}
 + $\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8$,
@@ Zeile 56: / Zeile 57: @@
 - zum Entscheidungsgebiet&nbsp; $I_1$.
-{Wie lautet die Gleichung der Entscheidungsgeraden für&nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = 0.817, \sigma_n = 1$?
+{Wie lautet die Gleichung der Entscheidungsgeraden für&nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = 0.817,\ \sigma_n = 1$?
 |type="()"}
 - $\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8$,

@@ Zeile 57: / Zeile 57: @@
 {Wie lautet die Gleichung der Entscheidungsgeraden für&nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = 0.817, \sigma_n = 1$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8$,
 + $\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 3/4$,
@@ Zeile 87: / Zeile 87: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID2033__Dig_A_4_6a.png|right|frame|Entscheidungsgerade und Entscheidungsregionen]]
+[[Datei:P_ID2033__Dig_A_4_6a.png|right|frame|Entscheidungsgerade und Entscheidungsregionen für $K=0$]]
 Die Entscheidungsgrenze liegt in der Mitte zwischen $s_0$ und $s_1$ und verläuft um $90^\circ$ gedreht gegenüber der Verbindungslinie zwischen den beiden Symbolen. Sie geht durch den Punkt $(2.5, \ \,  3)$. Richtig ist also der <u>erste Lösungsvorschlag</u>.
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 '''(4)'''&nbsp; Entsprechend der Gleichung auf dem Angabenblatt und den Berechnungen zur Teilaufgabe (1) gilt nun:
-[[Datei:P_ID2034__Dig_A_4_6c.png|right|frame|Entscheidungsgebiete für verschiedene Randbedingungen]]
+[[Datei:P_ID2034__Dig_A_4_6c.png|right|frame|Entscheidungsgebiete für verschiedene $K$&ndash;Werte]]
 :$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 + 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot  {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} =
 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm}.$$

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 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit}}
-[[Datei:P_ID2015__Dig_A_4_6.png|right|frame|Signalraumkonstellation<br> $N = 2, \ M = 2$]]
+[[Datei:P_ID2015__Dig_A_4_6.png|right|frame|Signalraumkonstellation mit<br> $N = 2, \ M = 2$]]
-Wie betrachten ein binäres Nachrichtensystem $(M = 2)$, das durch die gezeichnete 2D&ndash;Signalraumkonstellation  $(N = 2)$ festliegt. Für die beiden möglichen Sendevektoren, die mit den Nachrichten $m_0$ und $m_1$ direkt gekoppelt sind, gilt:
+Wie betrachten ein binäres Nachrichtensystem &nbsp;$(M = 2)$, das durch die gezeichnete 2D&ndash;Signalraumkonstellation  &nbsp;$(N = 2)$&nbsp; festliegt. Für die beiden möglichen Sendevektoren, die mit den Nachrichten&nbsp; $m_0$&nbsp; und&nbsp; $m_1$&nbsp; direkt gekoppelt sind, gilt:
 :$$\boldsymbol{ s }_0 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm}  \sqrt {E} \cdot (1,\hspace{0.1cm} 5) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_0   \hspace{0.05cm},$$
 :$$ \boldsymbol{ s }_1 \hspace{-0.1cm} \ =\ \hspace{-0.1cm}  \sqrt {E} \cdot (4, \hspace{0.1cm}1) \hspace{0.2cm} \Leftrightarrow \hspace{0.2cm} m_1   \hspace{0.05cm}.$$
-Gesucht ist jeweils die optimale Entscheidungsgrenze zwischen den Regionen $I_0 &#8660; m_0$ und $I_1 &#8660; m_1$, wobei von folgenden Voraussetzungen ausgegangen wird:
+Gesucht ist jeweils die optimale Entscheidungsgrenze zwischen den Regionen&nbsp; $I_0 &#8660; m_0$&nbsp; und&nbsp; $I_1 &#8660; m_1$, wobei von folgenden Voraussetzungen ausgegangen wird:
-* Für die Teilaufgaben (1) bis (3) gilt
+* Für die Teilaufgaben '''(1)''' bis '''(3)''' gilt
 :$${\rm Pr}(m_0 ) = {\rm Pr}(m_1 ) = 0.5
   \hspace{0.05cm}. $$
-* Für die Teilaufgaben (4) und (5) soll dagegen gelten:
+* Für die Teilaufgaben '''(4)''' und '''(5)''' soll dagegen gelten:
 :$${\rm Pr}(m_0 ) = 0.817 \hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm} {\rm Pr}(m_1 ) = 0.183\hspace{0.3cm}
   \Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} =
@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-Bei AWGN&ndash;Rauschen mit Varianz $\sigma_n^2$ ist die Entscheidungsgrenze die Lösung folgender vektoriellen Gleichung hinsichtlich des Vektors ($\rho_1, \rho_2$):
+Bei AWGN&ndash;Rauschen mit Varianz&nbsp; $\sigma_n^2$&nbsp; ist die Entscheidungsgrenze die Lösung folgender vektoriellen Gleichung hinsichtlich des Vektors&nbsp; $(\rho_1, \rho_2)$:
 :$$|| \boldsymbol{ s }_1||^2 - || \boldsymbol{ s }_0||^2 + 2 \cdot \sigma_n^2 \cdot  {\rm ln} \hspace{0.15cm} \frac{{\rm Pr}( m_0)}{{\rm Pr}( m_1)} =
 \cdot \boldsymbol{ \rho }^{\rm T} \cdot (\boldsymbol{ s }_1 - \boldsymbol{ s }_0)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
@@ Zeile 25: / Zeile 25: @@
 :$$\boldsymbol{ A }= \sqrt {E} \cdot (1.5, \hspace{0.1cm}2)\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm} \boldsymbol{ B }= \sqrt {E} \cdot (3, \hspace{0.1cm}3.5)   $$
-eingezeichnet. Es ist zu überprüfen, ob diese bei den entsprechenden Randbedingungen den Regionen $I_0$ (und damit der Nachricht $m_0$) oder $I_1$ (Nachricht $m_1$) zugeordnet werden sollten.
+eingezeichnet. Es ist zu überprüfen, ob diese bei den entsprechenden Randbedingungen den Regionen&nbsp; $I_0$&nbsp; $($und damit der Nachricht $m_0)$&nbsp; oder&nbsp; $I_1$&nbsp; $($Nachricht $m_1)$&nbsp; zugeordnet werden sollten.
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
+* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
-* Für numerische Berechnungen kann zur Vereinfachung die Energie $E = 1$ gesetzt werden.
+* Für numerische Berechnungen kann zur Vereinfachung die Energie&nbsp; $E = 1$&nbsp; gesetzt werden.
@@ Zeile 43: / Zeile 46: @@
 - $\rho_2 = 3$.
-{Zu welchem Entscheidungsgebiet gehört der Empfangswert $A = (1.5, \ \, 2)$?
+{Zu welchem Entscheidungsgebiet gehört der Empfangswert&nbsp; $A = (1.5, \ \, 2)$?
 |type="()"}
-- Zum Entscheidungsgebiet $I_0$,
+- Zum Entscheidungsgebiet&nbsp; $I_0$,
-+ zum Entscheidungsgebiet $I_1$.
++ zum Entscheidungsgebiet&nbsp; $I_1$.
-{Zu welchem Entscheidungsgebiet gehört der Empfangswert $B = (3, \ \, 3.5)$?
+{Zu welchem Entscheidungsgebiet gehört der Empfangswert&nbsp; $B = (3, \ \, 3.5)$?
 |type="()"}
-+ Zum Entscheidungsgebiet $I_0$,
++ Zum Entscheidungsgebiet&nbsp; $I_0$,
-- zum Entscheidungsgebiet $I_1$.
+- zum Entscheidungsgebiet&nbsp; $I_1$.
-{Wie lautet die Gleichung der Entscheidungsgeraden für ${\rm Pr}(m_0) = 0.817, \sigma_n = 1$?
+{Wie lautet die Gleichung der Entscheidungsgeraden für&nbsp; ${\rm Pr}(m_0) = 0.817, \sigma_n = 1$?
 |type="[]"}
 - $\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1 + 9/8$,
@@ Zeile 60: / Zeile 63: @@
 - $\rho_2 = 3/4 \cdot \rho_1$.
-{Welche Entscheidungen werden mit diesen neuen Regionen $I_0$ und $I_1$ getroffen?
+{Welche Entscheidungen werden mit diesen neuen Regionen&nbsp; $I_0$&nbsp; und&nbsp; $I_1$&nbsp; getroffen?
 |type="[]"}
-+ Der Empfangsvektor $A$ wird als Nachricht $m_0$ interpretiert.
++ Der Empfangsvektor&nbsp; $A$&nbsp; wird als Nachricht &nbsp;$m_0$&nbsp; interpretiert.
-- Der Empfangsvektor $A$ wird als Nachricht $m_1$ interpretiert.
+- Der Empfangsvektor &nbsp;$A$&nbsp; wird als Nachricht &nbsp;$m_1$&nbsp; interpretiert.
-+ Der Empfangsvektor $B$ wird als Nachricht $m_0$ interpretiert.
++ Der Empfangsvektor &nbsp;$B$&nbsp; wird als Nachricht &nbsp;$m_0$&nbsp; interpretiert.
-- Der Empfangsvektor $B$ wird als Nachricht $m_1$ interpretiert.
+- Der Empfangsvektor &nbsp;$B$&nbsp; wird als Nachricht &nbsp;$m_1$&nbsp; interpretiert.
 </quiz>

@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
 * Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Approximation_der_Fehlerwahrscheinlichkeit| Approximation der Fehlerwahrscheinlichkeit]].
 * Für numerische Berechnungen kann zur Vereinfachung die Energie $E = 1$ gesetzt werden.
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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(kein Unterschied)