Aufgaben:Aufgabe 3.9Z: Sinustransformation - Versionsgeschichte

Guenter am 2. Februar 2022 um 17:07 Uhr

2022-02-02T17:07:48Z

Guenter am 2. Februar 2022 um 16:57 Uhr

2022-02-02T16:57:53Z

Guenter am 2. Februar 2022 um 16:55 Uhr

2022-02-02T16:55:10Z

Guenter am 22. November 2019 um 16:20 Uhr

2019-11-22T16:20:16Z

Guenter am 22. November 2019 um 16:01 Uhr

2019-11-22T16:01:43Z

Guenter am 10. August 2018 um 15:06 Uhr

2018-08-10T15:06:14Z

Guenter am 10. August 2018 um 14:52 Uhr

2018-08-10T14:52:47Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:47Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:38:09Z

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Guenter am 15. März 2017 um 08:47 Uhr

2017-03-15T08:47:33Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>der zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>der zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>:
 *Aufgrund des Wertebereichs von&nbsp; $x$&nbsp; und der gegebenen Kennlinie kann&nbsp; $y$&nbsp; keine Werte kleiner als&nbsp; $0$&nbsp; bzw. größer als&nbsp; $1$&nbsp; annehmen.
-*Der Wert&nbsp; $y = 0$&nbsp; kann allerdings ebenfalls nicht auftreten, da weder&nbsp; $x = 0$&nbsp; noch&nbsp; $x = 2$&nbsp; m&ouml;glich sind.
+*Der Wert&nbsp; $y = 0$&nbsp; kann allerdings ebenfalls nicht auftreten,&nbsp; da weder&nbsp; $x = 0$&nbsp; noch&nbsp; $x = 2$&nbsp; m&ouml;glich sind.
-*Mit diesen Eigenschaften ergibt sich sicher &nbsp;$m_y < 1$, also ein kleinerer Wert als &nbsp;$m_x = 1$&nbsp; (siehe Angabe).
+*Mit diesen Eigenschaften ergibt sich sicher &nbsp;$m_y < 1$, also ein kleinerer Wert als &nbsp;$m_x = 1$ &nbsp; (siehe Angabe).
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 *Die Umkehrfunktion lautet:&nbsp; $ x=h(y)={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \arcsin( y).$
-*Unter Berücksichtigung des zweiten Beitrags durch den Faktor&nbsp; $2$&nbsp; erh&auml;lt man f&uuml;r die gesuchte WDF im Bereich&nbsp; $0 \le y \le 1$ ):
+*Unter Berücksichtigung des zweiten Beitrags durch den Faktor&nbsp; $2$&nbsp; erh&auml;lt man f&uuml;r die gesuchte WDF im Bereich&nbsp; $0 \le y \le 1$:
 :$$f_y(y)= 2\cdot\frac{\sin^{ 2}({ \pi}/{ 2}\cdot x)}{{ \pi}/{ 2}\cdot \cos({ \pi}/{ 2}\cdot x)}\Big|_{\,  x={ 2}/{ \pi}\cdot \arcsin( y)}.$$
-[[Datei:P_ID138__Sto_Z_3_9_e_neu.png|right|frame|Gesuchte WDF]]
+[[Datei:P_ID138__Sto_Z_3_9_e_neu.png|right|frame|"Ausgangs"&ndash;WDF]]
 *Au&szlig;erhalb ist  $f_y(y) \equiv 0$. Dies f&uuml;hrt zum Zwischenergebnis
 :$$f_y(y)=\frac{4}{\pi}\cdot \frac{\sin^{2}(\arcsin( y ))}{\sqrt{\rm 1-\sin^{ 2}(\arcsin( y \rm ))}}.$$
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 '''(5)'''&nbsp; Die WDF ist an der Stelle&nbsp; $y = 1$&nbsp;  unendlich gro&szlig;.
-*Dies h&auml;ngt damit zusammen, dass an dieser Stelle die Ableitung&nbsp; $g\hspace{0.05cm}'(x)$&nbsp; der Kennlinie horizontal verl&auml;uft.
+*Dies h&auml;ngt damit zusammen,&nbsp; dass an dieser Stelle die Ableitung&nbsp; $g\hspace{0.05cm}'(x)$&nbsp; der Kennlinie horizontal verl&auml;uft.
-* Da aber&nbsp; $y$&nbsp; eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist, gilt trotzdem&nbsp; ${\rm Pr}(y = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$.
+* Da aber&nbsp; $y$&nbsp; eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist,&nbsp; gilt trotzdem&nbsp; ${\rm Pr}(y = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$.
 Das bedeutet:
 *Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist nicht identisch mit einer Diracfunktion.
-*Oder salopper ausgedrückt: &nbsp; Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist &bdquo;weniger&rdquo; als  eine Diracfunktion.
+*Oder salopper ausgedrückt: &nbsp; Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist&nbsp; &bdquo;weniger&rdquo;&nbsp; als  eine Diracfunktion.
 {{ML-Fuß}}

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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgrößen]].
-*Besonderer Bezug genommen wird auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]]&nbsp; und auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|Erwartungswerte und Momente]].
+*Besonderer Bezug genommen wird auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|"Transformation von Zufallsgrößen"]]&nbsp; und auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|"Erwartungswerte und Momente"]].
 *Vorgegeben sind die beiden unbestimmten Integrale:
 :$$\int \sin^{\rm 3}( ax)\,{\rm d}x = \frac{\rm 1}{ 3 a} \cdot \cos^{\rm 3}( ax)-\frac{\rm 1}{ a}\cdot \cos(ax),$$

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 [[Datei:P_ID137__Sto_Z_3_9.png|right|frame|Eingangs&ndash;WDF und Kennlinie]]
-Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; mit&nbsp; $\sin^2$&ndash;f&ouml;rmiger WDF im Bereich zwischen&nbsp; $x= 0$&nbsp; und&nbsp; $x= 2$:
+Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; mit&nbsp; sinus&ndash;quadrat&ndash;f&ouml;rmiger WDF im Bereich zwischen&nbsp; $x= 0$&nbsp; und&nbsp; $x= 2$:
 :$$f_x(x)= \sin^2({\rm\pi}/{\rm 2}\cdot  x) \hspace{1cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}{\rm 0\le \it x \le \rm 2} .$$

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>der zweite und der dritte Lösungsvorschlag</u>:
-*Aufgrund des Wertebereichs von $x$ und der gegebenen Kennlinie kann $y$ keine Werte kleiner als $0$ bzw. größer als $1$ annehmen.
+*Aufgrund des Wertebereichs von&nbsp; $x$&nbsp; und der gegebenen Kennlinie kann&nbsp; $y$&nbsp; keine Werte kleiner als&nbsp; $0$&nbsp; bzw. größer als&nbsp; $1$&nbsp; annehmen.
-*Der Wert $y = 0$ kann allerdings ebenfalls nicht auftreten, da weder $x = 0$ noch $x = 2$ m&ouml;glich sind.
+*Der Wert&nbsp; $y = 0$&nbsp; kann allerdings ebenfalls nicht auftreten, da weder&nbsp; $x = 0$&nbsp; noch&nbsp; $x = 2$&nbsp; m&ouml;glich sind.
-*Mit diesen Eigenschaften ergibt sich sicher &nbsp;$m_y < 1$, also ein kleinerer Wert als &nbsp;$m_x = 1$ (siehe Angabe).
+*Mit diesen Eigenschaften ergibt sich sicher &nbsp;$m_y < 1$, also ein kleinerer Wert als &nbsp;$m_x = 1$&nbsp; (siehe Angabe).
-'''(2)'''&nbsp; Zur L&ouml;sung dieser Aufgabe k&ouml;nnte man beispielsweise zun&auml;chst die WDF $f_y(y)$ bestimmen und daraus in gewohnter Weise &nbsp;$m_y$ berechnen. <br>Zum gleichen Ergebnis führt der direkte Weg:
 :$$m_y={\rm E}\big[y\big]={\rm E}\big[g(x)\big]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\cdot f_x(x)\,{\rm d}x.$$
-Mit den aktuellen Funktionen $g(x)$  und $f_x(x)$ erh&auml;lt man:
+*Mit den aktuellen Funktionen&nbsp; $g(x)$&nbsp;  und&nbsp; $f_x(x)$&nbsp; erh&auml;lt man:
 :$$m_y=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\hspace{-0.1cm}\sin^{\rm 3}({\pi}/{ 2}\cdot  x)\,{\rm d}x=\frac{\rm 2}{\rm 3\cdot \pi}\cdot \cos^{\rm 3}({\pi}/{ 2}\cdot  x)-\frac{\rm 2}{\rm \pi} \cdot \cos({3 \rm \pi}/{\rm 2}\cdot x)\Big|_{\rm 0}^{\rm 2}=\frac{\rm 8}{\rm 3\cdot \pi} \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.849}.$$
 '''(3)'''&nbsp; In Analogie zu Punkt '''(2)''' gilt:
 :$$m_{2 y}={\rm E}[y^{\rm 2}]={\rm E}[g^{\rm 2}( x)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\hspace{-0.35cm}g^{2}( x)\cdot  f_x(x)\,{\rm d}x.$$
-Dies f&uuml;hrt zum Ergebnis:
+*Dies f&uuml;hrt zum Ergebnis:
 :$$ m_{ 2 y}=\int_{\rm 0}^{\rm 2}\hspace{-0.15cm}\sin^{\rm 4}({\rm \pi}/{\rm 2}\cdot x)\,{\rm d} x= \frac{\rm 3}{\rm 8}\cdot  x-\frac{\rm 1}{\rm 2\cdot\pi}\cdot \sin(\rm \pi\cdot{\it  x})+\frac{\rm 1}{\rm 16\cdot\pi}\cdot \sin(\rm 2 \pi\cdot {\it  x})\Big|_{\rm 0}^{\rm 2} \hspace{0.15cm}{= \rm
 .75}.$$
-Mit dem Ergebnis aus '''(2)''' folgt somit f&uuml;r die Streuung:
+*Mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(2)'''&nbsp; folgt somit f&uuml;r die Streuung:
 :$$ \sigma_{y}=\sqrt{\frac{\rm 3}{\rm 4}-\Big(\frac{\rm 8}{\rm 3\cdot\pi}\Big)^{\rm 2}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.172}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Aufgrund der Symmetrie von WDF $f_x(x)$ und Kennlinie $y =g(x)$ um $x = 1$ liefern die beiden Bereiche
-*$0 \le x \le 1$ und
+'''(4)'''&nbsp; Aufgrund der Symmetrie von WDF&nbsp; $f_x(x)$&nbsp; und Kennlinie&nbsp; $y =g(x)$&nbsp; um&nbsp; $x = 1$&nbsp; liefern die beiden Bereiche
 *$1 \le x \le 2$
-und die Umkehrfunktion lautet:
+jeweils den gleichen Beitrag f&uuml;r $f_y(y)$.
-$$ x=h(y)={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \arcsin( y).$$
+*Im ersten Bereich ist die Ableitung der Kennlinie positiv:&nbsp; $g\hspace{0.05cm}'(x)={\rm \pi}/{\rm 2}\cdot \cos({\rm \pi}/{\rm  2}\cdot x).$
-Unter Berücksichtigung des zweiten Beitrags durch den Faktor $2$ erh&auml;lt man f&uuml;r die gesuchte WDF im Bereich $0 \le y \le 1$ ):
+*Die Umkehrfunktion lautet:&nbsp; $ x=h(y)={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \arcsin( y).$
 :$$f_y(y)= 2\cdot\frac{\sin^{ 2}({ \pi}/{ 2}\cdot x)}{{ \pi}/{ 2}\cdot \cos({ \pi}/{ 2}\cdot x)}\Big|_{\,  x={ 2}/{ \pi}\cdot \arcsin( y)}.$$
-Au&szlig;erhalb ist  $f_y(y) \equiv 0$. Dies f&uuml;hrt zum Zwischenergebnis
+*Und wegen&nbsp; $\sin\big (\arcsin(y)\big) = y$:
-:$$f_y(y)=\frac{4}{\pi}\cdot \frac{\sin^{2}(\arcsin( y ))}{\sqrt{\rm 1-\sin^{ 2}(\arcsin( y \rm ))}},$$
+:$$f_y(y)=\frac{ 4}{\pi}\cdot \frac{ y^{2}}{\sqrt{1- y^{\rm 2}}}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Die WDF ist an der Stelle $y = 1$  unendlich gro&szlig;.
+'''(5)'''&nbsp; Die WDF ist an der Stelle&nbsp; $y = 1$&nbsp;  unendlich gro&szlig;.
-*Dies h&auml;ngt damit zusammen, dass an dieser Stelle die Ableitung $g\hspace{0.05cm}'(x)$ der Kennlinie horizontal verl&auml;uft.
+*Dies h&auml;ngt damit zusammen, dass an dieser Stelle die Ableitung&nbsp; $g\hspace{0.05cm}'(x)$&nbsp; der Kennlinie horizontal verl&auml;uft.
-* Da aber $y$ eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist, gilt trotzdem ${\rm Pr}(y = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$.
+* Da aber&nbsp; $y$&nbsp; eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist, gilt trotzdem&nbsp; ${\rm Pr}(y = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$.
 Das bedeutet:
 *Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist nicht identisch mit einer Diracfunktion.
-*Oder salopper ausgedrückt: Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist &bdquo;weniger&rdquo; als  eine Diracfunktion.
+*Oder salopper ausgedrückt: &nbsp; Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist &bdquo;weniger&rdquo; als  eine Diracfunktion.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID137__Sto_Z_3_9.png|right|frame|Eingangs&ndash;WDF und Kennlinie]]
-Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ mit $\sin^2$&ndash;f&ouml;rmiger WDF im Bereich zwischen $x= 0$ und $x= 2$:
+Wir betrachten in dieser Aufgabe eine Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; mit&nbsp; $\sin^2$&ndash;f&ouml;rmiger WDF im Bereich zwischen&nbsp; $x= 0$&nbsp; und&nbsp; $x= 2$:
 :$$f_x(x)= \sin^2({\rm\pi}/{\rm 2}\cdot  x) \hspace{1cm}\rm f\ddot{u}r\hspace{0.15cm}{\rm 0\le \it x \le \rm 2} .$$
-Au&szlig;erhalb ist die WDF identisch $0$.
+Au&szlig;erhalb ist die WDF identisch Null.
-Der Mittelwert und die Streuung dieser Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ wurden bereits in der [[Aufgaben:3.3_Momente_bei_cos²-WDF|Aufgabe 3.3]] ermittelt:
+Der Mittelwert und die Streuung dieser Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; wurden bereits in der&nbsp; [[Aufgaben:3.3_Momente_bei_cos²-WDF|Aufgabe 3.3]]&nbsp; ermittelt:
 :$$m_x = 1,\hspace{0.2cm}\sigma_x = 0.361.$$
-Eine weitere Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ erh&auml;lt man durch Transformation mittels der nichtlinearen Kennlinie
+Eine weitere Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; erh&auml;lt man durch Transformation mittels der nichtlinearen Kennlinie
 :$$y= g(x) =\sin({\rm\pi}/{\rm 2}\cdot  x).$$
-Die Abbildung zeigt jeweils im Bereich $0 \le x \le 2$:
+Die Abbildung zeigt jeweils im Bereich&nbsp; $0 \le x \le 2$:
-*oben die WDF $f_x(x)$,
+*oben die WDF&nbsp; $f_x(x)$,
-*unten die nichtlineare Kennlinie $y = g(x)$.
+*unten die nichtlineare Kennlinie&nbsp; $y = g(x)$.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgrößen]].
-*Besonderer Bezug genommen wird auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]] und auf das Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|Erwartungswerte und Momente]].
+*Besonderer Bezug genommen wird auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]]&nbsp; und auf das Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Erwartungswerte_und_Momente|Erwartungswerte und Momente]].
 *Vorgegeben sind die beiden unbestimmten Integrale:
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 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-- $y$ ist auf den Wertbereich $0 \le y \le 1$ begrenzt.
+- $y$&nbsp; ist auf den Wertbereich&nbsp; $0 \le y \le 1$&nbsp; begrenzt.
-+ $y$ ist auf den Wertbereich $0 < y \le 1$ begrenzt.
++ $y$&nbsp; ist auf den Wertbereich&nbsp; $0 < y \le 1$&nbsp; begrenzt.
-+ Der Mittelwert $m_y$ ist kleiner als der Mittelwert $m_x$.
++ Der Mittelwert&nbsp; $m_y$&nbsp; ist kleiner als der Mittelwert&nbsp; $m_x$.
-{Berechnen Sie den Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$.
+{Berechnen Sie den Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$.
 |type="{}"}
 $m_y \ = \ $  { 0.849 3% }
-{Berechnen Sie den quadratischen Mittelwert von $y$ und die Streuung.
+{Berechnen Sie den quadratischen Mittelwert von&nbsp; $y$&nbsp; und die Streuung&nbsp;$\sigma_y$ .
 |type="{}"}
 $\sigma_y \ = \ $  { 0.172 3% }
-{Berechnen Sie die WDF $f_y(y)$. <i>Hinweis</i>: &nbsp; Beachten Sie die Symmetrieeigenschaften. <br>Welcher WDF&ndash;Wert ergibt sich f&uuml;r $y = 0.6$?
+{Berechnen Sie die WDF $f_y(y)$.&nbsp; Beachten Sie die Symmetrieeigenschaften.&nbsp; Welcher WDF&ndash;Wert ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $y = 0.6$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $f_y(y=0.6) \ = \ $ { 0.573 3% }
-{Welcher WDF-Wert ergibt sich f&uuml;r $y = 1$? Interpretieren Sie das Ergebnis. <br>Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $y$ exakt gleich $1$ ist?
+{Welcher WDF-Wert ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $y = 1$?&nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis.&nbsp; Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp;  $y$&nbsp; exakt gleich&nbsp; $1$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(y=1) \ = \ $ { 0. }

@@ Zeile 87: / Zeile 87: @@
 '''(4)'''&nbsp; Aufgrund der Symmetrie von WDF $f_x(x)$ und Kennlinie $y =g(x)$ um $x = 1$ liefern die beiden Bereiche $0 \le x \le 1$ und $1 \le x \le 2$ jeweils den gleichen Beitrag f&uuml;r $f_y(y)$. Im ersten Bereich ist die Ableitung der Kennlinie positiv,
-[[Datei:P_ID138__Sto_Z_3_9_e_neu.png|right|]]
+[[Datei:P_ID138__Sto_Z_3_9_e_neu.png|right|WDF nach Transformation]]
 $$g'(x)={\rm \pi}/{\rm 2}\cdot \cos({\rm \pi}/{\rm  2}\cdot x),$$
@@ Zeile 94: / Zeile 94: @@
 Unter Berücksichtigung des zweiten Beitrags durch den Faktor $2$ erh&auml;lt man f&uuml;r die gesuchte WDF im Bereich $0 \le y \le 1$ (au&szlig;erhalb ist  $f_y(y) \equiv 0$):
-$$f_y(y)=\rm 2\cdot\frac{sin^{\rm 2}({\rm \pi}/{\rm 2}\cdot\it x)}{{\rm \pi}/{\rm 2}\cdot cos({\rm \pi}/{\rm 2}\cdot\it x)}\Big|_{\, \it x={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \rm arcsin(\it y)}.$$
+$$f_y(y)= 2\cdot\frac{\sin^{ 2}({ \pi}/{ 2}\cdot x)}{{ \pi}/{ 2}\cdot \cos({ \pi}/{ 2}\cdot x)}\Big|_{\,  x={ 2}/{ \pi}\cdot \arcsin( y)}.$$
-Dies f&uuml;hrt zum Zwischenergebnis:
+Dies f&uuml;hrt zum Zwischenergebnis
-$$f_y(y)=\frac{\rm 4}{\rm \pi}\cdot \frac{\rm sin^{\rm 2}(\rm arcsin(\it y))}{\sqrt{\rm 1-sin^{\rm 2}(\rm arcsin(\it y))}}.$$
+$$f_y(y)=\frac{4}{\pi}\cdot \frac{\sin^{2}(\arcsin( y ))}{\sqrt{\rm 1-\sin^{ 2}(\arcsin( y \rm ))}},$$
-Wegen sin(arcsin(<i>y</i>)) = <i>y</i> erh&auml;lt man schlie&szlig;lich:
+und wegen $\sin(\arcsin(y)) = y$:
-$$f_y(y)=\frac{\rm 4}{\rm \pi}\cdot \frac{\it y^{\rm 2}}{\sqrt{\rm 1-\it y^{\rm 2}}}.$$
+$$f_y(y)=\frac{ 4}{\pi}\cdot \frac{ y^{2}}{\sqrt{1- y^{\rm 2}}}.$$
-An der Stelle <i>y</i> = 0.6 erh&auml;lt man den Wert <u>0.573</u>. Rechts ist die WDF <i>f<sub>y</sub></i>(<i>y</i>) grafisch dargestellt.
+An der Stelle $y = 0.6$ erh&auml;lt man den Wert $f_y(y= 0.6)\hspace{0.15cm}\underline{=0.573}$. Rechts ist die WDF $f_y(y)$ grafisch dargestellt.
-'''(5)'''&nbsp; Die WDF ist an der Stelle <i>y</i> = 1 unendlich gro&szlig;. Dies h&auml;ngt damit zusammen, dass an dieser Stelle die Ableitung <i>g</i>'(<i>x</i>) der Kennlinie horizontal verl&auml;uft. Da aber <i>y</i> eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist, gilt trotzdem Pr(<i>y</i> = 1) = 0. Das bedeutet: Eine Unendlichkeitsstelle in der WDF ist nicht identisch mit einer Diracfunktion.
+'''(5)'''&nbsp; Die WDF ist an der Stelle $y = 1$  unendlich gro&szlig;. Dies h&auml;ngt damit zusammen, dass an dieser Stelle die Ableitung $g'(x)$ der Kennlinie horizontal verl&auml;uft. Da aber $y$ eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e ist, gilt trotzdem ${\rm Pr}(y = 1) \hspace{0.15cm}\underline{= 0}$.
 {{ML-Fuß}}