Aufgaben:Aufgabe 3.9Z: Gauß gefaltet mit Gauß - Versionsgeschichte

Guenter am 29. April 2021 um 14:29 Uhr

2021-04-29T14:29:11Z

Guenter am 29. April 2021 um 14:20 Uhr

2021-04-29T14:20:45Z

Guenter am 27. September 2019 um 13:40 Uhr

2019-09-27T13:40:04Z

Guenter am 27. September 2019 um 13:29 Uhr

2019-09-27T13:29:25Z

Guenter am 24. Juli 2018 um 16:18 Uhr

2018-07-24T16:18:51Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:47Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 18. Januar 2018 um 10:51 Uhr

2018-01-18T10:51:53Z

Guenter am 18. Januar 2018 um 10:41 Uhr

2018-01-18T10:41:47Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.9Z Gauß gefaltet mit Gauß nach Aufgaben:Aufgabe 3.9Z: Gauß gefaltet mit Gauß

2018-01-01T17:25:06Z

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Guenter am 18. Januar 2017 um 16:03 Uhr

2017-01-18T16:03:15Z

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-[[Datei:P_ID589__Sig_Z_3_9_b_neu.png|right|frame|Faltungsergebnis für &bdquo;$\rm Gauß  \ast  Gauß$&rdquo;]]
+[[Datei:P_ID589__Sig_Z_3_9_b_neu.png|right|frame|Gaußspektren&nbsp; $X(f)$&nbsp; und&nbsp; $Y(f)$ &nbsp; &nbsp; &ndash; &nbsp; &nbsp; Gaußimpulse&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$]]
 '''(2)'''&nbsp;  Der Faltung im Zeitbereich entspricht die Multiplikation im Frequenzbereich:
 :$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x^2  + \Delta t_h^2 } \right)f^2 } .$$
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 :$$y(t) = x(t) * h(t) = x_0  \cdot \frac{\Delta t_x }{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
 *Der Maximalwert des Signals&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; liegt ebenfalls bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; und beträgt&nbsp; $y_0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.8 \text{ V} }$.
-*Die äquivalente Impulsdauer ergibt sich zu&nbsp; $\Delta t_y \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \text{ ms}}$&nbsp; (siehe obiges Bild, rechte Skizze).
+*Die äquivalente Impulsdauer ergibt sich zu&nbsp; $\Delta t_y \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \text{ ms}}$&nbsp; (siehe obiges Grafik, rechte Skizze).
 *Das bedeutet:&nbsp; Das Gaußfilter&nbsp; ${H(f)}$&nbsp; bewirkt, dass der Ausgangsimpuls&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; kleiner und breiter als der Eingangsimpuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; ist.
 *Die Impulsform bleibt weiterhin gaußförmig, weil: &nbsp; '''Gauß gefaltet mit Gauß ergibt immer Gauß!'''

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 }}
-[[Datei:P_ID544__Sig_Z_3_9.png|right|frame|Gaußförmige $x(t)$ und $h(t)$]]
+[[Datei:P_ID544__Sig_Z_3_9.png|right|frame|Gaußimpulse&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $h(t)$]]
-Es soll das Faltungsergebnis zweier Gaußfunktionen ermittelt werden. Wir betrachten einen gaußförmigen Eingangsimpuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; mit Amplitude $x_0 = 1\,\text{V}$ und äquivalenter Dauer&nbsp; $\Delta t_x = 4 \,\text{ms}$&nbsp; sowie eine ebenfalls gaußförmige Impulsantwort&nbsp; ${h(t)}$, welche die äquivalente Dauer&nbsp; $\Delta t_h = 3 \,\text{ms}$&nbsp; aufweist:
+Es soll das Faltungsergebnis zweier Gaußfunktionen ermittelt werden.&nbsp; Wir betrachten
 :$$x( t ) = x_0  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_x } )^2 } ,$$
 :$$h( t ) = \frac{1}{\Delta t_h } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_h } )^2 } .$$
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die Spektralfunktionen&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; und&nbsp; ${H(f)}$&nbsp; an. Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $f = 0$?
+{Geben Sie die Spektralfunktionen&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; und&nbsp; ${H(f)}$&nbsp; an.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $f = 0$?
 |type="{}"}
 $X(f = 0)\ = \ $ { 4 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
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-{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; ${Y(f)}$&nbsp; des Ausgangssignals. Wie groß ist der Spektralwert bei&nbsp; $f = 0$?
+{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; ${Y(f)}$&nbsp; des Ausgangssignals.&nbsp; Wie groß ist der Spektralwert bei&nbsp; $f = 0$?
 |type="{}"}
 $Y(f = 0)\ = \ $ { 4 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
-{Berechnen Sie den Ausgangsimpuls&nbsp; ${y(t)}$. Welche Werte ergeben sich für die Amplitude&nbsp; $y_0 = y(t = 0)$&nbsp; und die äquivalente Impulsdauer&nbsp; $\Delta t_y$?
+{Berechnen Sie den Ausgangsimpuls&nbsp; ${y(t)}$.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für die Amplitude&nbsp; $y_0 = y(t = 0)$&nbsp; und die äquivalente Impulsdauer&nbsp; $\Delta t_y$?
 |type="{}"}
 $y_0\ = \ $ { 0.8 3% } &nbsp;$\text{V}$

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 '''(1)'''&nbsp;  Durch Fouriertransformation erhält man:
 :$$X( f ) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f} \right)^2 } , \hspace{0.5cm}H(f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_h  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \right)^2 } .$$
-Die gesuchten Werte sind $X(f = 0)\;\underline{ = 4 \,\text{mV/Hz}}$ und $H(f = 0)\; \underline{= 1}$.
+*Die gesuchten Werte sind
-[[Datei:P_ID589__Sig_Z_3_9_b_neu.png|right|frame|Faltungsergebnis für &bdquo;$\rm Gauß \ \ast \ Gauß$&rdquo;]]
+[[Datei:P_ID589__Sig_Z_3_9_b_neu.png|right|frame|Faltungsergebnis für &bdquo;$\rm Gauß  \ast  Gauß$&rdquo;]]
 '''(2)'''&nbsp;  Der Faltung im Zeitbereich entspricht die Multiplikation im Frequenzbereich:
 :$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x^2  + \Delta t_h^2 } \right)f^2 } .$$
-Mit der Abkürzung $\Delta t_y = (\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2)^{1/2} = 5\, \text{ms}$ kann man hierfür auch schreiben:
+*Mit der Abkürzung&nbsp; $\Delta t_y = (\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2)^{1/2} = 5\, \text{ms}$&nbsp; kann man hierfür schreiben:
 :$$Y(f) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f} \right)^2 } .$$
-*Bei der Frequenz $f = 0$ sind die Spektralwerte am Eingang und Ausgang des Gaußfilters gleich, also gilt:
+*Bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; sind die Spektralwerte am Eingang und Ausgang des Gaußfilters gleich, also gilt:
 :$$Y(f = 0) \;\underline{= 4 \text{ mV/Hz}}.$$
-*Der Funktionsverlauf von ${Y(f)}$ ist schmaler als ${X(f)}$ und auch schmaler als ${H(f)}$.
+*Der Funktionsverlauf von&nbsp; ${Y(f)}$&nbsp; ist schmaler als&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; und schmaler als&nbsp; ${H(f)}$.
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 '''(3)'''&nbsp;  Es gilt die folgende Fourierkorrespondenz:
 :$${\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f} \right)^2 }\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \frac{1}{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
-Damit erhält man:
+*Damit erhält man:
 :$$y(t) = x(t) * h(t) = x_0  \cdot \frac{\Delta t_x }{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
-*Der Maximalwert des Signals ${y(t)}$ liegt ebenfalls bei $t = 0$ und beträgt $y_0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.8 \text{ V} }$.
+*Der Maximalwert des Signals&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; liegt ebenfalls bei&nbsp; $t = 0$&nbsp; und beträgt&nbsp; $y_0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.8 \text{ V} }$.
-*Die äquivalente Impulsdauer ergibt sich zu $\Delta t_y \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \text{ ms}}$ (siehe obiges Bild, rechte Skizze).
+*Die äquivalente Impulsdauer ergibt sich zu&nbsp; $\Delta t_y \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \text{ ms}}$&nbsp; (siehe obiges Bild, rechte Skizze).
-*Das bedeutet: Das Gaußfilter ${H(f)}$ bewirkt, dass der Ausgangsimpuls ${y(t)}$ kleiner und breiter als der Eingangsimpuls ${x(t)}$ ist.
+*Das bedeutet:&nbsp; Das Gaußfilter&nbsp; ${H(f)}$&nbsp; bewirkt, dass der Ausgangsimpuls&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; kleiner und breiter als der Eingangsimpuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; ist.
-*Die Impulsform bleibt weiterhin gaußförmig.
+*Die Impulsform bleibt weiterhin gaußförmig, weil: &nbsp; '''Gauß gefaltet mit Gauß ergibt immer Gauß!'''
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID544__Sig_Z_3_9.png|right|frame|Gaußförmige $x(t)$ und $h(t)$]]
-Es soll das Faltungsergebnis zweier Gaußfunktionen ermittelt werden. Wir betrachten einen gaußförmigen Eingangsimpuls ${x(t)}$ mit der Amplitude $x_0 = 1\,\text{ V}$ und der äquivalenten Dauer $\Delta t_x = 4 \,\text{ms}$ sowie eine ebenfalls gaußförmige Impulsantwort ${h(t)}$, welche die äquivalente Dauer $\Delta t_h = 3 \,\text{ms}$ aufweist:
+Es soll das Faltungsergebnis zweier Gaußfunktionen ermittelt werden. Wir betrachten einen gaußförmigen Eingangsimpuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; mit Amplitude $x_0 = 1\,\text{V}$ und äquivalenter Dauer&nbsp; $\Delta t_x = 4 \,\text{ms}$&nbsp; sowie eine ebenfalls gaußförmige Impulsantwort&nbsp; ${h(t)}$, welche die äquivalente Dauer&nbsp; $\Delta t_h = 3 \,\text{ms}$&nbsp; aufweist:
 :$$x( t ) = x_0  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_x } )^2 } ,$$
 :$$h( t ) = \frac{1}{\Delta t_h } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}( {t/\Delta t_h } )^2 } .$$
-Gesucht ist das Ausgangssignal ${y(t)} = {x(t)} ∗{h(t)}$, wobei der Umweg über die Spektralfunktionen gegangen werden soll.
+Gesucht ist das Ausgangssignal&nbsp; ${y(t)} = {x(t)} ∗{h(t)}$, wobei der Umweg über die Spektralfunktionen gegangen werden soll.
@@ Zeile 14: / Zeile 14: @@
 ''Hinweis:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz und Faltungsoperation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz und Faltungsoperation]].
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die Spektralfunktionen ${X(f)}$ und ${H(f)}$ an. Welche Werte ergeben sich für $f = 0$?
+{Geben Sie die Spektralfunktionen&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; und&nbsp; ${H(f)}$&nbsp; an. Welche Werte ergeben sich für&nbsp; $f = 0$?
 |type="{}"}
 $X(f = 0)\ = \ $ { 4 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
@@ Zeile 28: / Zeile 28: @@
-{Berechnen Sie die Spektralfunktion ${Y(f)}$ des Ausgangssignals. Wie groß ist der Spektralwert bei $f = 0$?
+{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; ${Y(f)}$&nbsp; des Ausgangssignals. Wie groß ist der Spektralwert bei&nbsp; $f = 0$?
 |type="{}"}
 $Y(f = 0)\ = \ $ { 4 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
-{Berechnen Sie den Ausgangsimpuls ${y(t)}$. Welche Werte ergeben sich für die Amplitude $y_0 = y(t = 0)$ und die äquivalente Impulsdauer $\Delta t_y$?
+{Berechnen Sie den Ausgangsimpuls&nbsp; ${y(t)}$. Welche Werte ergeben sich für die Amplitude&nbsp; $y_0 = y(t = 0)$&nbsp; und die äquivalente Impulsdauer&nbsp; $\Delta t_y$?
 |type="{}"}
 $y_0\ = \ $ { 0.8 3% } &nbsp;$\text{V}$

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-''Hinweise:''
+''Hinweis:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz und Faltungsoperation]].
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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp;  Durch Fouriertransformation erhält man:
-:$$X( f ) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x  \cdot f} \right)^2 } , \hspace{0.5cm}H(f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_h  \cdot f} \right)^2 } .$$
+:$$X( f ) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f} \right)^2 } , \hspace{0.5cm}H(f) = {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_h  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}f} \right)^2 } .$$
 Die gesuchten Werte sind $X(f = 0)\;\underline{ = 4 \,\text{mV/Hz}}$ und $H(f = 0)\; \underline{= 1}$.
@@ Zeile 52: / Zeile 52: @@
 '''(2)'''&nbsp;  Der Faltung im Zeitbereich entspricht die Multiplikation im Frequenzbereich:
 :$$Y(f) = X(f) \cdot H(f) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_x^2  + \Delta t_h^2 } \right)f^2 } .$$
-Mit der Abkürzung $\Delta t_y = (\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2)^{1/2} = 5\, \text{ms}$ kann hierfür auch geschrieben werden:
+Mit der Abkürzung $\Delta t_y = (\Delta t_x^2 + \Delta t_h^2)^{1/2} = 5\, \text{ms}$ kann man hierfür auch schreiben:
-:$$Y(f) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y  \cdot f} \right)^2 } .$$
+:$$Y(f) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f} \right)^2 } .$$
 *Bei der Frequenz $f = 0$ sind die Spektralwerte am Eingang und Ausgang des Gaußfilters gleich, also gilt:
-:$$Y(f = 0) \;\underline{= 4 \text{mV/Hz}}.$$
+:$$Y(f = 0) \;\underline{= 4 \text{ mV/Hz}}.$$
 *Der Funktionsverlauf von ${Y(f)}$ ist schmaler als ${X(f)}$ und auch schmaler als ${H(f)}$.
@@ Zeile 61: / Zeile 61: @@
 '''(3)'''&nbsp;  Es gilt die folgende Fourierkorrespondenz:
-:$${\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y  \cdot f} \right)^2 }\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \frac{1}{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
+:$${\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y  \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} f} \right)^2 }\bullet\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \frac{1}{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
 Damit erhält man:
 :$$y(t) = x(t) * h(t) = x_0  \cdot \frac{\Delta t_x }{\Delta t_y } \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {t/\Delta t_y } \right)^2 } .$$
-*Der Maximalwert des Signals ${y(t)}$ liegt ebenfalls bei $t = 0$ und beträgt $y_0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.8 V}$.
+*Der Maximalwert des Signals ${y(t)}$ liegt ebenfalls bei $t = 0$ und beträgt $y_0 \hspace{0.15cm}\underline{= 0.8 \text{ V} }$.
-*Die äquivalente Impulsdauer ergibt sich zu $\Delta t_y \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \text{ms}}$ (siehe obiges Bild, rechte Skizze).
+*Die äquivalente Impulsdauer ergibt sich zu $\Delta t_y \hspace{0.15cm}\underline{= 5 \text{ ms}}$ (siehe obiges Bild, rechte Skizze).
 *Das bedeutet: Das Gaußfilter ${H(f)}$ bewirkt, dass der Ausgangsimpuls ${y(t)}$ kleiner und breiter als der Eingangsimpuls ${x(t)}$ ist.
 *Die Impulsform bleibt weiterhin gaußförmig.

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(kein Unterschied)

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 :$$Y(f) = x_0  \cdot \Delta t_x  \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{\pi }}\left( {\Delta t_y  \cdot f} \right)^2 } .$$
 Bei der Frequenz $f = 0$ sind die Spektralwerte am Eingang und Ausgang des Gaußfilters gleich, also gilt $Y(f = 0) \;\underline{= 4 \text{mV/Hz}}$. Der Funktionsverlauf von ${Y(f)}$ ist schmaler als ${X(f)}$ und auch schmaler als ${H(f)}$.
-[[Datei:P_ID589__Sig_Z_3_9_b_neu.png|Zur Faltung von Gauß mit Gauß]]
+[[Datei:P_ID589__Sig_Z_3_9_b_neu.png|center|Zur Faltung von Gauß mit Gauß]]
 '''3.'''  Es gilt die folgende Fourierkorrespondenz: