Aufgaben:Aufgabe 3.9: Kreisbogen und Parabel - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:36:59Z

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	[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren\|^3.2 Frequenzmodulation (FM)^]]		[[Category:Aufgaben zu Modulationsverfahren\|^3.2 Frequenzmodulation (FM)^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.9:_Circular_Arc_and_Parabola]]

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2026-02-24T13:39:31Z

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Zeile 11:		Zeile 11:
	:$$ s_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$		:$$ s_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$
	*Dieses beschreibt einen Kreisbogen.  Innerhalb der Periodendauer  $T_{\rm N} = 1/f_{\rm N} = 200 \ \rm µ s$  ergeben sich folgende Phasenwinkel:		*Dieses beschreibt einen Kreisbogen.  Innerhalb der Periodendauer  $T_{\rm N} = 1/f_{\rm N} = 200 \ \rm µ s$  ergeben sich folgende Phasenwinkel:
	:$$ \phi(0) = 0, \hspace{0.2cm}\phi(0.25 \cdot T_{\rm N}) = \eta, \hspace{0.2cm}\phi(0.5 \cdot T_{\rm N})= 0,\hspace{0.2cm}		:$$ \phi(0) = 0, \hspace{0.2cm}\phi(0.25 \cdot T_{\rm N}) = \eta, \hspace{0.2cm}\phi(0.5 \cdot T_{\rm N})= 0,\hspace{0.2cm}\phi(0.75 \cdot T_{\rm N})= -\eta,\hspace{0.2cm}\phi(T_{\rm N})= 0.$$
	\phi(0.75 \cdot T_{\rm N})= -\eta,\hspace{0.2cm}\phi(T_{\rm N})= 0.$$
	*Die erforderliche Kanalbandbreite zur Übertragung dieses Signals ist theoretisch unendlich groß.		*Die erforderliche Kanalbandbreite zur Übertragung dieses Signals ist theoretisch unendlich groß.

Zeile 82:		Zeile 81:
	:$$r_{\rm TP}(t) = {\rm J}_0 + \left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} - {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} \right]\cdot {\rm J}_1 \hspace{0.27cm} +\left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} \right]\cdot {\rm J}_2 = {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm j} \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma)+ 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2\gamma)\hspace{0.05cm} .$$		:$$r_{\rm TP}(t) = {\rm J}_0 + \left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} - {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} \right]\cdot {\rm J}_1 \hspace{0.27cm} +\left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} \right]\cdot {\rm J}_2 = {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm j} \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma)+ 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2\gamma)\hspace{0.05cm} .$$
	*Somit ergibt sich für den Realteil allgemein bzw. für  $η = 2.4$, das heißt  ${\rm J}_0 = 0$  und  ${\rm J}_2 = 0.43$:		*Somit ergibt sich für den Realteil allgemein bzw. für  $η = 2.4$, das heißt  ${\rm J}_0 = 0$  und  ${\rm J}_2 = 0.43$:
	:$$ x(t) = {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) = 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) \hspace{0.3cm}		:$$ x(t) = {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) = 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm max} = 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.15cm}\underline { = 0.86}, \hspace{0.3cm} x_{\rm min} = -x_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {= -0.86}\hspace{0.05cm}.$$
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm max} = 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.15cm}\underline { = 0.86}, \hspace{0.3cm} x_{\rm min} = -x_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {= -0.86}\hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 27. März 2020 um 17:08 Uhr

2020-03-27T17:08:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. März 2020, 19:08 Uhr
Zeile 63:		Zeile 63:
	{Wie groß ist der maximale Phasenwinkel  $ϕ_{\rm max}$?  Interpretieren Sie das Ergebnis.		{Wie groß ist der maximale Phasenwinkel  $ϕ_{\rm max}$?  Interpretieren Sie das Ergebnis.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$ϕ_{max} \ = \ $ { 129.6 3% } $\ \rm Grad$		$ϕ_{\rm max} \ = \ $ { 129.6 3% } $\ \rm Grad$

	{Zeigen Sie, dass man die Ortskurve in der Form  $y^2 + a · x + b = 0$  angeben kann.  Bestimmen Sie die Parabelparameter  $a$  und  $b$.		{Zeigen Sie, dass man die Ortskurve in der Form  $y^2 + a · x + b = 0$  angeben kann.  Bestimmen Sie die Parabelparameter  $a$  und  $b$.
Zeile 78:		Zeile 78:


	'''(2)'''  Die angegebene Gleichung für das äquivalente TP–Signal lautet in ausgeschriebener Form mit $γ = ω_{\rm N} · t$ unter Berücksichtigung von ${\rm J}_{–1} = –{\rm J}_1$ und ${\rm J}_{–2} = {\rm J}_2$:
			'''(2)'''  Die angegebene Gleichung für das äquivalente TP–Signal lautet in ausgeschriebener Form mit  $γ = ω_{\rm N} · t$  unter Berücksichtigung von  ${\rm J}_{–1} = –{\rm J}_1$  und  ${\rm J}_{–2} = {\rm J}_2$:
	:$$r_{\rm TP}(t) = {\rm J}_0 + \left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} - {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} \right]\cdot {\rm J}_1 \hspace{0.27cm} +\left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} \right]\cdot {\rm J}_2 = {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm j} \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma)+ 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2\gamma)\hspace{0.05cm} .$$		:$$r_{\rm TP}(t) = {\rm J}_0 + \left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} - {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} \right]\cdot {\rm J}_1 \hspace{0.27cm} +\left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} \right]\cdot {\rm J}_2 = {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm j} \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma)+ 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2\gamma)\hspace{0.05cm} .$$
	*Somit ergibt sich für den Realteil allgemein bzw. für $η = 2.4$, das heißt ${\rm J}_0 = 0$ und ${\rm J}_2 = 0.43$:		*Somit ergibt sich für den Realteil allgemein bzw. für  $η = 2.4$, das heißt  ${\rm J}_0 = 0$  und  ${\rm J}_2 = 0.43$:
	:$$ x(t) = {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) = 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) \hspace{0.3cm}		:$$ x(t) = {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) = 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm max} = 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.15cm}\underline { = 0.86}, \hspace{0.3cm} x_{\rm min} = -x_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {= -0.86}\hspace{0.05cm}.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm max} = 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.15cm}\underline { = 0.86}, \hspace{0.3cm} x_{\rm min} = -x_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {= -0.86}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(3)'''  Entsprechend dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' erhält man für den Imaginärteil $({\rm J}_1 = 0.52)$:

			'''(3)'''  Entsprechend dem Ergebnis der Teilaufgabe  '''(2)'''  erhält man für den Imaginärteil  $({\rm J}_1 = 0.52)$:
	:$$y(t) = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin ( \omega_{\rm N} t )\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm max} =2 \cdot {\rm J}_1\hspace{0.15cm}\underline { = 1.04}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} y_{\rm min} = -y_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline { = -1.04}\hspace{0.05cm}.$$		:$$y(t) = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin ( \omega_{\rm N} t )\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm max} =2 \cdot {\rm J}_1\hspace{0.15cm}\underline { = 1.04}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} y_{\rm min} = -y_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline { = -1.04}\hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Der Imaginärteil ist zu diesen Zeitpunkten jeweils 0 und damit auch die Phasenfunktion:   $ϕ(t = n · T_{\rm N}/2)\hspace{0.15cm}\underline{= 0}$ .
			'''(4)'''  Der Imaginärteil ist zu diesen Zeitpunkten jeweils Null und damit auch die Phasenfunktion:
			:$$ϕ(t = n · T_{\rm N}/2)\hspace{0.15cm}\underline{= 0}.$$
	*Diesen Sachverhalt erkennt man auch aus der Skizze auf der Angabenseite.		*Diesen Sachverhalt erkennt man auch aus der Skizze auf der Angabenseite.



	'''(5)'''  Aus der Skizze ist bereits zu erkennen, dass der Phasenwinkel beispielsweise für $t = T_{\rm N}/4$ seinen Maximalwert erreicht.
	*Dieser kann mit $y_{\rm max} = 1.04$ und $x_{\rm min} = -0.86$ wie folgt berechnet werden:		'''(5)'''  Aus der Skizze ist bereits zu erkennen, dass der Phasenwinkel beispielsweise für  $t = T_{\rm N}/4$  seinen Maximalwert erreicht.
			*Dieser kann mit  $y_{\rm max} = 1.04$  und  $x_{\rm min} = -0.86$  wie folgt berechnet werden:
	:$$\phi_{\rm max} = \arctan \frac{y_{\rm max}}{x_{\rm min}} = \arctan (-1.21) = 180^\circ - 50.4^\circ \hspace{0.15cm}\underline {= 129.6^\circ} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\phi_{\rm max} = \arctan \frac{y_{\rm max}}{x_{\rm min}} = \arctan (-1.21) = 180^\circ - 50.4^\circ \hspace{0.15cm}\underline {= 129.6^\circ} \hspace{0.05cm}.$$
	*Ohne Bandbegrenzung würde sich hier der Phasenwinkel $ϕ(t = T_{\rm N}/4) = η = 2.4 = 137.5^\circ$ ergeben.		*Ohne Bandbegrenzung würde sich hier der Phasenwinkel  $ϕ(t = T_{\rm N}/4) = η = 2.4 = 137.5^\circ$  ergeben.
	*Die maximale Abweichung des Sinkensignals vom Quellensignal tritt somit ~~z.B.~~ zur Zeit $t = T_{\rm N}/4$ auf.		*Die maximale Abweichung des Sinkensignals vom Quellensignal tritt somit beispielsweise zur Zeit  $t = T_{\rm N}/4$  auf.


	'''(6)'''  Mit $γ = ω_{\rm N} · t$ und $\cos(2γ) = 1 - 2 · \cos^2(γ)$ kann für Real– und Imaginärteil geschrieben werden:
			[[Datei:P_ID1113__Mod_A_3_8_f.png\|right\|frame\|Parabelverlauf]]
			'''(6)'''  Mit  $γ = ω_{\rm N} · t$  und  $\cos(2γ) = 1 - 2 · \cos^2(γ)$  kann für Real– und Imaginärteil geschrieben werden:

	:$$x = {\rm J}_0 + 4 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos^2 (\gamma) - 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} y = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma) \hspace{0.05cm}.$$		:$$x = {\rm J}_0 + 4 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos^2 (\gamma) - 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} y = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma) \hspace{0.05cm}.$$

	Diese Gleichungen können wie folgt umgeformt werden:		*Diese Gleichungen können wie folgt umgeformt werden:
	~~[[Datei:P_ID1113__Mod_A_3_8_f.png\|right\|frame\|Parabelverlauf]]~~
	:$$\cos^2 (\gamma) =\frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \sin^2 (\gamma) = \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2}$$		:$$\cos^2 (\gamma) =\frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \sin^2 (\gamma) = \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2}$$

	$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2} + \frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} =1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {y^2 } + \frac{{\rm J}_1^2}{ {\rm J}_2} \cdot x + {{\rm J}_1^2} \cdot \left ( 2 - \frac{{\rm J}_0}{ {\rm J}_2} \right ) =0\hspace{0.05cm}.$$		$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2} + \frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} =1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {y^2 } + \frac{{\rm J}_1^2}{ {\rm J}_2} \cdot x + {{\rm J}_1^2} \cdot \left ( 2 - \frac{{\rm J}_0}{ {\rm J}_2} \right ) =0\hspace{0.05cm}.$$

	Damit lauten die Parabelparameter für $ {\rm J}_0 = 0$:		*Damit lauten die Parabelparameter für  $ {\rm J}_0 = 0$:
	:$$a = \frac{{\rm J}_1^2}{ {\rm J}_2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.629}, \hspace{0.3cm} b = 2 \cdot {\rm J}_1^2 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.541} \hspace{0.05cm}.$$		:$$a = \frac{{\rm J}_1^2}{ {\rm J}_2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.629}, \hspace{0.3cm} b = 2 \cdot {\rm J}_1^2 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.541} \hspace{0.05cm}.$$
	*Zur Kontrolle verwenden wir $y = 0$:   $ x_{\rm max} = {b}/{a} = 2 \cdot {\rm J}_2 = 0.86 \hspace{0.05cm}.$		*Zur Kontrolle verwenden wir  $y = 0$   ⇒   $ x_{\rm max} = {b}/{a} = 2 \cdot {\rm J}_2 = 0.86 \hspace{0.05cm}.$
	*Die Werte bei $x = 0$ sind somit:   $y_0 = \pm \sqrt{2} \cdot {\rm J}_1 \approx 0.735 \hspace{0.05cm}.$		*Die Werte bei  $x = 0$  sind somit:     $y_0 = \pm \sqrt{2} \cdot {\rm J}_1 \approx 0.735 \hspace{0.05cm}.$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 27. März 2020 um 16:58 Uhr

2020-03-27T16:58:10Z

Guenter am 20. Dezember 2018 um 14:09 Uhr

2018-12-20T14:09:45Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. Dezember 2018, 16:09 Uhr
Zeile 74:		Zeile 74:
	:$$ \eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K_{\rm FM} = \frac{2 \pi \cdot f_{\rm N }\cdot \eta}{ A_{\rm N}} = \frac{2 \pi \cdot 5 \cdot 10^3 \,{\rm Hz}\cdot 2.4}{ 1\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 7.54 }\cdot 10^4 \,\,{\rm V}^{-1}{\rm s}^{-1}\hspace{0.05cm}.$$		:$$ \eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} K_{\rm FM} = \frac{2 \pi \cdot f_{\rm N }\cdot \eta}{ A_{\rm N}} = \frac{2 \pi \cdot 5 \cdot 10^3 \,{\rm Hz}\cdot 2.4}{ 1\,{\rm V}} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 7.54 }\cdot 10^4 \,\,{\rm V}^{-1}{\rm s}^{-1}\hspace{0.05cm}.$$

	'''(2)'''  Die angegebene Gleichung für das äquivalente TP–Signal lautet in ausgeschriebener Form mit ~~der Abkürzung~~ $γ = ω_{\rm N} · t$ unter Berücksichtigung von ${\rm J}_{–1} = –{\rm J}_1$ und ${\rm J}_{–2} = {\rm J}_2$:
			'''(2)'''  Die angegebene Gleichung für das äquivalente TP–Signal lautet in ausgeschriebener Form mit $γ = ω_{\rm N} · t$ unter Berücksichtigung von ${\rm J}_{–1} = –{\rm J}_1$ und ${\rm J}_{–2} = {\rm J}_2$:
	:$$r_{\rm TP}(t) = {\rm J}_0 + \left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} - {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} \right]\cdot {\rm J}_1 \hspace{0.27cm} +\left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} \right]\cdot {\rm J}_2 = {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm j} \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma)+ 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2\gamma)\hspace{0.05cm} .$$		:$$r_{\rm TP}(t) = {\rm J}_0 + \left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} - {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \gamma} \right]\cdot {\rm J}_1 \hspace{0.27cm} +\left[ {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} + {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{-\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2\gamma} \right]\cdot {\rm J}_2 = {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm j} \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma)+ 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2\gamma)\hspace{0.05cm} .$$
	Somit ergibt sich für den Realteil allgemein bzw. für $η = 2.4$, das heißt ${\rm J}_0 = 0$ und ${\rm J}_2 = 0.43$:		*Somit ergibt sich für den Realteil allgemein bzw. für $η = 2.4$, das heißt ${\rm J}_0 = 0$ und ${\rm J}_2 = 0.43$:
	:$$ x(t) = {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) = 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) \hspace{0.3cm}		:$$ x(t) = {\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) = 2 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos (2 \omega_{\rm N} t ) \hspace{0.3cm}
	\Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm max} = 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.15cm}\underline { = 0.86}, \hspace{0.3cm} x_{\rm min} = -x_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {= -0.86}\hspace{0.05cm}.$$		\Rightarrow \hspace{0.3cm} x_{\rm max} = 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.15cm}\underline { = 0.86}, \hspace{0.3cm} x_{\rm min} = -x_{\rm max} \hspace{0.15cm}\underline {= -0.86}\hspace{0.05cm}.$$

	'''(3)'''  Entsprechend dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) erhält man für den Imaginärteil (${\rm J}_1 = 0.52$):
			'''(3)'''  Entsprechend dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' erhält man für den Imaginärteil $({\rm J}_1 = 0.52)$:
	:$$y(t) = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin ( \omega_{\rm N} t )\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm max} =2 \cdot {\rm J}_1\hspace{0.15cm}\underline { = 1.04}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} y_{\rm min} = -y_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline { = -1.04}\hspace{0.05cm}.$$		:$$y(t) = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin ( \omega_{\rm N} t )\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm max} =2 \cdot {\rm J}_1\hspace{0.15cm}\underline { = 1.04}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.3cm} y_{\rm min} = -y_{\rm max}\hspace{0.15cm}\underline { = -1.04}\hspace{0.05cm}.$$

	'''(4)'''  Der Imaginärteil ist zu diesen Zeitpunkten jeweils 0 und damit auch die Phasenfunktion:   $ϕ(t = n · T_{\rm N}/2)\hspace{0.15cm}\underline{= 0}$ . Diesen Sachverhalt erkennt man auch aus der Skizze auf der Angabenseite.
			'''(4)'''  Der Imaginärteil ist zu diesen Zeitpunkten jeweils 0 und damit auch die Phasenfunktion:   $ϕ(t = n · T_{\rm N}/2)\hspace{0.15cm}\underline{= 0}$ .
			*Diesen Sachverhalt erkennt man auch aus der Skizze auf der Angabenseite.



	'''(5)'''  Aus der Skizze ist bereits zu erkennen, dass der Phasenwinkel beispielsweise für $t = T_{\rm N}/4$ seinen Maximalwert erreicht. Dieser kann mit $y_{\rm max} = 1.04$ und $x_{{\rm N}min} = -0.86$ wie folgt berechnet werden:		'''(5)'''  Aus der Skizze ist bereits zu erkennen, dass der Phasenwinkel beispielsweise für $t = T_{\rm N}/4$ seinen Maximalwert erreicht.
			*Dieser kann mit $y_{\rm max} = 1.04$ und $x_{\rm min} = -0.86$ wie folgt berechnet werden:
	:$$\phi_{\rm max} = \arctan \frac{y_{\rm max}}{x_{\rm min}} = \arctan (-1.21) = 180^\circ - 50.4^\circ \hspace{0.15cm}\underline {= 129.6^\circ} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\phi_{\rm max} = \arctan \frac{y_{\rm max}}{x_{\rm min}} = \arctan (-1.21) = 180^\circ - 50.4^\circ \hspace{0.15cm}\underline {= 129.6^\circ} \hspace{0.05cm}.$$
	*Ohne Bandbegrenzung würde sich hier der Phasenwinkel $ϕ(t = T_{\rm N}/4) = η = 2.4 = 137.5^\circ$ ergeben.		*Ohne Bandbegrenzung würde sich hier der Phasenwinkel $ϕ(t = T_{\rm N}/4) = η = 2.4 = 137.5^\circ$ ergeben.
Zeile 94:		Zeile 100:
	'''(6)'''  Mit $γ = ω_{\rm N} · t$ und $\cos(2γ) = 1 - 2 · \cos^2(γ)$ kann für Real– und Imaginärteil geschrieben werden:		'''(6)'''  Mit $γ = ω_{\rm N} · t$ und $\cos(2γ) = 1 - 2 · \cos^2(γ)$ kann für Real– und Imaginärteil geschrieben werden:
	:$$x = {\rm J}_0 + 4 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos^2 (\gamma) - 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} y = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma) \hspace{0.05cm}.$$		:$$x = {\rm J}_0 + 4 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos^2 (\gamma) - 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} y = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma) \hspace{0.05cm}.$$

			Diese Gleichungen können wie folgt umgeformt werden:
	[[Datei:P_ID1113__Mod_A_3_8_f.png\|right\|frame\|Parabelverlauf]]		[[Datei:P_ID1113__Mod_A_3_8_f.png\|right\|frame\|Parabelverlauf]]
	~~Diese Gleichungen können wie folgt umgeformt werden:~~
	:$$\cos^2 (\gamma) =\frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \sin^2 (\gamma) = \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2}$$		:$$\cos^2 (\gamma) =\frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \sin^2 (\gamma) = \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2}$$

	$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2} + \frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} =1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {y^2 } + \frac{{\rm J}_1^2}{ {\rm J}_2} \cdot x + {{\rm J}_1^2} \cdot \left ( 2 - \frac{{\rm J}_0}{ {\rm J}_2} \right ) =0\hspace{0.05cm}.$$		$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2} + \frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} =1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {y^2 } + \frac{{\rm J}_1^2}{ {\rm J}_2} \cdot x + {{\rm J}_1^2} \cdot \left ( 2 - \frac{{\rm J}_0}{ {\rm J}_2} \right ) =0\hspace{0.05cm}.$$

Guenter am 20. Dezember 2018 um 13:34 Uhr

2018-12-20T13:34:32Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. Dezember 2018, 15:34 Uhr
Zeile 41:		Zeile 41:
	{Wie groß ist die Modulatorkonstante  $K_{\rm FM}$?		{Wie groß ist die Modulatorkonstante  $K_{\rm FM}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$K_{\rm FM} \ = \ $ { 7.54 3% } $\ \rm (Vs)^{-1}$		$K_{\rm FM} \ = \ $ { 7.54 3% } $\ \cdot 10^4 \ \rm (Vs)^{-1}$

Guenter am 20. Dezember 2018 um 13:28 Uhr

2018-12-20T13:28:32Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:47Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:03 Uhr
Zeile 22:		Zeile 22:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)\|Frequenzmodulation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)\|Frequenzmodulation]].
	*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)\|Phasenmodulation]] und insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation\|Signalverläufe bei Frequenzmodulation]].		*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)\|Phasenmodulation]] und insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation\|Signalverläufe bei Frequenzmodulation]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	*Gehen Sie bei der Berechnung von folgenden Werten der Besselfunktion aus:		*Gehen Sie bei der Berechnung von folgenden Werten der Besselfunktion aus:
	:$${\rm J}_0 (2.4) \approx 0, \hspace{0.2cm}{\rm J}_1 (2.4) = -{\rm J}_{-1} (2.4)\approx 0.52, \hspace{0.2cm}{\rm J}_2 (2.4) = {\rm J}_{-2} (2.4)\approx 0.43.$$		:$${\rm J}_0 (2.4) \approx 0, \hspace{0.2cm}{\rm J}_1 (2.4) = -{\rm J}_{-1} (2.4)\approx 0.52, \hspace{0.2cm}{\rm J}_2 (2.4) = {\rm J}_{-2} (2.4)\approx 0.43.$$

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.9 Kreisbogen und Parabel nach Aufgaben:Aufgabe 3.9: Kreisbogen und Parabel

2018-01-03T14:26:03Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.9 Kreisbogen und Parabel nach Aufgaben:Aufgabe 3.9: Kreisbogen und Parabel

← Nächstältere Version	Version vom 3. Januar 2018, 16:26 Uhr
(kein Unterschied)

Guenter am 17. Juli 2017 um 09:28 Uhr

2017-07-17T09:28:51Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Juli 2017, 11:28 Uhr
Zeile 83:		Zeile 83:


	'''(6)'''  Mit $γ = ω_{\rm N} · t$ und $cos(2γ) = 1 – 2 · cos^2(γ)$ kann für Real– und Imaginärteil geschrieben werden:		'''(6)'''  Mit $γ = ω_{\rm N} · t$ und $\cos(2γ) = 1 - 2 · \cos^2(γ)$ kann für Real– und Imaginärteil geschrieben werden:
	:$$x = {\rm J}_0 + 4 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos^2 (\gamma) - 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} y = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma) \hspace{0.05cm}.$$		:$$x = {\rm J}_0 + 4 \cdot {\rm J}_2 \cdot \cos^2 (\gamma) - 2 \cdot {\rm J}_2\hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} y = 2 \cdot {\rm J}_1 \cdot \sin (\gamma) \hspace{0.05cm}.$$
			[[Datei:P_ID1113__Mod_A_3_8_f.png\|right\|frame\|Parabelverlauf]]
	Diese Gleichungen können wie folgt umgeformt werden:		Diese Gleichungen können wie folgt umgeformt werden:
	:$$\cos^2 (\gamma) =\frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \sin^2 (\gamma) = \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2}$$		:$$\cos^2 (\gamma) =\frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} \sin^2 (\gamma) = \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2}$$
	$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2} + \frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} =1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {y^2 } + \frac{{\rm J}_1^2}{ {\rm J}_2} \cdot x + {{\rm J}_1^2} \cdot \left ( 2 - \frac{{\rm J}_0}{ {\rm J}_2} \right ) =0\hspace{0.05cm}.$$		$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \frac{y^2 }{4 \cdot {\rm J}_1^2} + \frac{x-{\rm J}_0 + 2 \cdot {\rm J}_2 }{4 \cdot {\rm J}_2} =1 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {y^2 } + \frac{{\rm J}_1^2}{ {\rm J}_2} \cdot x + {{\rm J}_1^2} \cdot \left ( 2 - \frac{{\rm J}_0}{ {\rm J}_2} \right ) =0\hspace{0.05cm}.$$

	~~[[Datei:P_ID1113__Mod_A_3_8_f.png\|right\|]]~~		Damit lauten die Parabelparameter für $ {\rm J}_0 = 0$:
	Damit lauten die Parabelparameter für $~~J_0~~ = 0$:		:$$a = \frac{{\rm J}_1^2}{ {\rm J}_2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.629}, \hspace{0.3cm} b = 2 \cdot {\rm J}_1^2 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.541} \hspace{0.05cm}.$$
	$$a = \frac{{\rm J}_1^2}{ {\rm J}_2} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.629}, \hspace{0.3cm} b = 2 \cdot {\rm J}_1^2 \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.541} \hspace{0.05cm}.$$		*Zur Kontrolle verwenden wir $y = 0$:   $ x_{\rm max} = {b}/{a} = 2 \cdot {\rm J}_2 = 0.86 \hspace{0.05cm}.$
	Zur Kontrolle verwenden wir $y = 0$:		*Die Werte bei $x = 0$ sind somit:   $y_0 = \pm \sqrt{2} \cdot {\rm J}_1 \approx 0.735 \hspace{0.05cm}.$
	$$ x_{\rm max} = ~~\frac~~{b}{a} = 2 \cdot {\rm J}_2 = 0.86 \hspace{0.05cm}.$$
	Die Werte bei $x = 0$ sind somit:
	$$y_0 = \pm \sqrt{2} \cdot {\rm J}_1 \approx 0.735 \hspace{0.05cm}.$$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

← Nächstältere Version		Version vom 27. März 2020, 18:58 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	}}		}}

	[[Datei:P_ID1106__Mod_A_3_8.png\|right\|frame\|Ortskurven bei ~~Frequenzmodulation~~: <br>Kreisbogen und Parabel]]		[[Datei:P_ID1106__Mod_A_3_8.png\|right\|frame\|Ortskurven bei FM: <br>Kreisbogen und Parabel]]
	Wir betrachten hier die Frequenzmodulation eines cosinusförmigen Quellensignals		Wir betrachten hier die Frequenzmodulation eines cosinusförmigen Quellensignals
	:$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t )$$		:$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t )$$
Zeile 10:		Zeile 10:
	*Das zugehörige TP–Signal lautet bei normierter Trägeramplitude  $(A_{\rm T} = 1)$:		*Das zugehörige TP–Signal lautet bei normierter Trägeramplitude  $(A_{\rm T} = 1)$:
	:$$ s_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$		:$$ s_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$
	*Dieses beschreibt einen Kreisbogen. Innerhalb der Periodendauer  $T_{\rm N} = 1/f_{\rm N} = 200 \ \rm µ s$  ergeben sich folgende Phasenwinkel:		*Dieses beschreibt einen Kreisbogen.  Innerhalb der Periodendauer  $T_{\rm N} = 1/f_{\rm N} = 200 \ \rm µ s$  ergeben sich folgende Phasenwinkel:
	:$$ \phi(0) = 0, \hspace{0.2cm}\phi(0.25 \cdot T_{\rm N}) = \eta, \hspace{0.2cm}\phi(0.5 \cdot T_{\rm N})= 0,\hspace{0.2cm}		:$$ \phi(0) = 0, \hspace{0.2cm}\phi(0.25 \cdot T_{\rm N}) = \eta, \hspace{0.2cm}\phi(0.5 \cdot T_{\rm N})= 0,\hspace{0.2cm}
	\phi(0.75 \cdot T_{\rm N})= -\eta,\hspace{0.2cm}\phi(T_{\rm N})= 0.$$		\phi(0.75 \cdot T_{\rm N})= -\eta,\hspace{0.2cm}\phi(T_{\rm N})= 0.$$
Zeile 16:		Zeile 16:


	Ist die Bandbreite jedoch begrenzt, zum Beispiel auf  $B_{\rm K} = 25 \ \rm kHz$, so kann das äquivalente ~~TP–Signal~~ des Empfangssignals wie folgt beschrieben werden:		Ist die Bandbreite jedoch begrenzt, zum Beispiel auf  $B_{\rm K} = 25 \ \rm kHz$, so kann das äquivalente Tiefpass–Signal des Empfangssignals wie folgt beschrieben werden:
	:$$r_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - 2}^{+2}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$		:$$r_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - 2}^{+2}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$
	In diesem Fall ergibt sich eine parabelförmige Ortskurve		In diesem Fall ergibt sich eine parabelförmige Ortskurve
	:$$ y^2 + a \cdot x + b = 0,$$		:$$ y^2 + a \cdot x + b = 0,$$
	die in dieser Aufgabe analysiert werden soll.		die in dieser Aufgabe analysiert werden soll.





Zeile 44:		Zeile 47:


	{Berechnen Sie den Realteil  $x(t) = {\rm Re}\big[r_{\rm TP}(t)\big]$  des äquivalenten TP-Signals und geben Sie dessen Maximum und Minimum an.		{Berechnen Sie den Realteil  $x(t) = {\rm Re}\big[r_{\rm TP}(t)\big]$  des äquivalenten Tiefpass-Signals und geben Sie dessen Maximum und Minimum an.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$x_{\rm max} \ = \ $ { 0.86 3% }		$x_{\rm max} \ = \ $ { 0.86 3% }
Zeile 58:		Zeile 61:
	$ϕ(t = n · T_{\rm N}/2) \ = \ $ { 0. } $\ \rm Grad$		$ϕ(t = n · T_{\rm N}/2) \ = \ $ { 0. } $\ \rm Grad$

	{Wie groß ist der maximale Phasenwinkel  $ϕ_{\rm max}$? Interpretieren Sie das Ergebnis.		{Wie groß ist der maximale Phasenwinkel  $ϕ_{\rm max}$?  Interpretieren Sie das Ergebnis.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$ϕ_{max} \ = \ $ { 129.6 3% } $\ \rm Grad$		$ϕ_{max} \ = \ $ { 129.6 3% } $\ \rm Grad$

	{Zeigen Sie, dass man die Ortskurve in der Form  $y^2 + a · x + b = 0$  angeben kann. Bestimmen Sie die Parabelparameter  $a$  und  $b$.		{Zeigen Sie, dass man die Ortskurve in der Form  $y^2 + a · x + b = 0$  angeben kann.  Bestimmen Sie die Parabelparameter  $a$  und  $b$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$a\ = \ $ { 0.629 3% }		$a\ = \ $ { 0.629 3% }

← Nächstältere Version		Version vom 20. Dezember 2018, 15:28 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	}}		}}

	[[Datei:P_ID1106__Mod_A_3_8.png\|right\|frame\|Kreisbogen und Parabel]]		[[Datei:P_ID1106__Mod_A_3_8.png\|right\|frame\|Ortskurven bei Frequenzmodulation: <br>Kreisbogen und Parabel]]
	Wir betrachten hier die Frequenzmodulation eines cosinusförmigen Quellensignals		Wir betrachten hier die Frequenzmodulation eines cosinusförmigen Quellensignals
	:$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t )$$		:$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t )$$
	mit der Amplitude $A_{\rm N} = 1 \ \rm V$ und der Frequenz $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$. Der Modulationsindex (Phasenhub) beträgt $η = 2.4$. Das zugehörige TP–Signal lautet bei normierter Trägeramplitude ($A_{\rm T} = 1$):		mit der Amplitude  $A_{\rm N} = 1 \ \rm V$  und der Frequenz  $f_{\rm N} = 5 \ \rm kHz$.
			*Der Modulationsindex (Phasenhub) beträgt  $η = 2.4$.
			*Das zugehörige TP–Signal lautet bei normierter Trägeramplitude  $(A_{\rm T} = 1)$:
	:$$ s_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$		:$$ s_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - \infty}^{+\infty}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$
	Dieses beschreibt einen Kreisbogen. Innerhalb der Periodendauer $T_{\rm N} = 1/f_{\rm N} = 200 \ \rm μs$ ergeben sich folgende Phasenwinkel:		*Dieses beschreibt einen Kreisbogen. Innerhalb der Periodendauer  $T_{\rm N} = 1/f_{\rm N} = 200 \ \rm µ s$  ergeben sich folgende Phasenwinkel:
	:$$ \phi(0) = 0, \hspace{0.2cm}\phi(0.25 \cdot T_{\rm N}) = \eta, \hspace{0.2cm}\phi(0.5 \cdot T_{\rm N})= 0,\hspace{0.2cm}		:$$ \phi(0) = 0, \hspace{0.2cm}\phi(0.25 \cdot T_{\rm N}) = \eta, \hspace{0.2cm}\phi(0.5 \cdot T_{\rm N})= 0,\hspace{0.2cm}
	\phi(0.75 \cdot T_{\rm N})= -\eta,\hspace{0.2cm}\phi(T_{\rm N})= 0.$$		\phi(0.75 \cdot T_{\rm N})= -\eta,\hspace{0.2cm}\phi(T_{\rm N})= 0.$$
	*Die erforderliche Kanalbandbreite zur Übertragung dieses Signals ist theoretisch unendlich groß.		*Die erforderliche Kanalbandbreite zur Übertragung dieses Signals ist theoretisch unendlich groß.
	*Ist die Bandbreite jedoch begrenzt, zum Beispiel auf $B_{\rm K} = 25 \ \rm kHz$, so kann das äquivalente TP–Signal des Empfangssignals wie folgt beschrieben werden:

			Ist die Bandbreite jedoch begrenzt, zum Beispiel auf  $B_{\rm K} = 25 \ \rm kHz$, so kann das äquivalente TP–Signal des Empfangssignals wie folgt beschrieben werden:
	:$$r_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - 2}^{+2}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$		:$$r_{\rm TP}(t) = \sum_{n = - 2}^{+2}{\rm J}_n (\eta) \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}n\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}\omega_{\rm N} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} t}.$$
	In diesem Fall ergibt sich eine parabelförmige Ortskurve		In diesem Fall ergibt sich eine parabelförmige Ortskurve
	:$$ y^2 + a \cdot x + b = 0,$$		:$$ y^2 + a \cdot x + b = 0,$$
	die in dieser Aufgabe analysiert werden soll.		die in dieser Aufgabe analysiert werden soll.





	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)\|Frequenzmodulation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)\|Frequenzmodulation]].
	*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)\|Phasenmodulation]] und insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation\|Signalverläufe bei Frequenzmodulation]].		*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)\|Phasenmodulation]]  und insbesondere auf den Abschnitt  [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation\|Signalverläufe bei Frequenzmodulation]].

	*Gehen Sie bei der Berechnung von folgenden Werten der Besselfunktion aus:		*Gehen Sie bei der Berechnung von folgenden Werten der Besselfunktion aus:
	:$${\rm J}_0 (2.4) \approx 0, \hspace{0.2cm}{\rm J}_1 (2.4) = -{\rm J}_{-1} (2.4)\approx 0.52, \hspace{0.2cm}{\rm J}_2 (2.4) = {\rm J}_{-2} (2.4)\approx 0.43.$$		:$${\rm J}_0 (2.4) \approx 0, \hspace{0.2cm}{\rm J}_1 (2.4) = -{\rm J}_{-1} (2.4)\approx 0.52, \hspace{0.2cm}{\rm J}_2 (2.4) = {\rm J}_{-2} (2.4)\approx 0.43.$$




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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Wie groß ist die Modulatorkonstante $K_{\rm FM}$?		{Wie groß ist die Modulatorkonstante  $K_{\rm FM}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$K_{\rm FM} \ = \ $ { 7.54 3% } $\ \rm (Vs)^{-1}$		$K_{\rm FM} \ = \ $ { 7.54 3% } $\ \rm (Vs)^{-1}$


	{Berechnen Sie den Realteil $x(t) = {\rm Re}[r_{\rm TP}(t)]$ des äquivalenten TP-Signals und geben Sie dessen Maximum und Minimum an.		{Berechnen Sie den Realteil  $x(t) = {\rm Re}\big[r_{\rm TP}(t)\big]$  des äquivalenten TP-Signals und geben Sie dessen Maximum und Minimum an.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$x_{\rm max} \ = \ $ { 0.86 3% }		$x_{\rm max} \ = \ $ { 0.86 3% }
	$x_{\rm min} \ = \ $ { -0.89--0.83 }		$x_{\rm min} \ = \ $ { -0.89--0.83 }

	{Wie groß ist das Maximum und Minimum des Imaginärteils $y(t) = {\rm Im}[r_{\rm TP}(t)]$?		{Wie groß ist das Maximum und Minimum des Imaginärteils  $y(t) = {\rm Im}\big[r_{\rm TP}(t)\big]$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y_{\rm max} \ = \ $ { 1.04 3% }		$y_{\rm max} \ = \ $ { 1.04 3% }
	$y_{\rm min} \ = \ $ { -1.07--1.01 }		$y_{\rm min} \ = \ $ { -1.07--1.01 }

	{Welche Phasenwerte ergeben sich bei allen Vielfachen von $T_{\rm N}/2$?		{Welche Phasenwerte ergeben sich bei allen Vielfachen von  $T_{\rm N}/2$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$ϕ(t = n · T_{\rm N}/2) \ = \ $ { 0. } $\ \rm Grad$		$ϕ(t = n · T_{\rm N}/2) \ = \ $ { 0. } $\ \rm Grad$

	{Wie groß ist der maximale Phasenwinkel $ϕ_{\rm max}$? Interpretieren Sie das Ergebnis.		{Wie groß ist der maximale Phasenwinkel  $ϕ_{\rm max}$? Interpretieren Sie das Ergebnis.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$ϕ_{max} \ = \ $ { 129.6 3% } $\ \rm Grad$		$ϕ_{max} \ = \ $ { 129.6 3% } $\ \rm Grad$

	{Zeigen Sie, dass man die Ortskurve in der Form $y^2 + a · x + b = 0$ angeben kann. Bestimmen Sie die Parabelparameter $a$ und $b$.		{Zeigen Sie, dass man die Ortskurve in der Form  $y^2 + a · x + b = 0$  angeben kann. Bestimmen Sie die Parabelparameter  $a$  und  $b$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$a\ = \ $ { 0.629 3% }		$a\ = \ $ { 0.629 3% }