Aufgaben:Aufgabe 3.9: Kennlinie für Cosinus-WDF - Versionsgeschichte

Guenter am 2. Februar 2022 um 14:45 Uhr

2022-02-02T14:45:04Z

Guenter am 2. Februar 2022 um 14:41 Uhr

2022-02-02T14:41:05Z

Guenter am 22. November 2019 um 15:53 Uhr

2019-11-22T15:53:54Z

Guenter am 22. November 2019 um 15:44 Uhr

2019-11-22T15:44:45Z

Guenter am 22. November 2019 um 15:36 Uhr

2019-11-22T15:36:54Z

Guenter am 10. August 2018 um 14:45 Uhr

2018-08-10T14:45:46Z

Guenter am 10. August 2018 um 14:33 Uhr

2018-08-10T14:33:27Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:47Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.9 Kennlinie für Cosinus-WDF nach Aufgaben:Aufgabe 3.9: Kennlinie für Cosinus-WDF

2018-01-03T13:37:51Z

Guenter verschob die Seite 3.9 Kennlinie für Cosinus-WDF nach Aufgabe 3.9: Kennlinie für Cosinus-WDF

Guenter am 14. März 2017 um 16:03 Uhr

2017-03-14T16:03:53Z

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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgrößen]].
 *Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]].
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Aussagen 1 und 3</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>die Aussagen 1 und 3</u>:
-*Da&nbsp; $x$&nbsp; nur Werte zwischen&nbsp; $\pm 1$&nbsp; annehmen kann, ist der Verlauf der Kennlinie au&szlig;erhalb dieses Bereichs f&uuml;r die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; ohne Belang.
+*Da&nbsp; $x$&nbsp; nur Werte zwischen&nbsp; $\pm 1$&nbsp; annehmen kann,&nbsp; ist der Verlauf der Kennlinie au&szlig;erhalb dieses Bereichs f&uuml;r die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; ohne Belang.
-*Die Bedingung&nbsp; $g(-x) = g(x)$&nbsp; muss nicht eingehalten werden.&nbsp; Es gibt beliebig viele Kennlinien, die die gew&uuml;nschte WDF erzeugen k&ouml;nnen.
+*Die Bedingung&nbsp; $g(-x) = g(x)$&nbsp; muss nicht eingehalten werden.&nbsp; Es gibt beliebig viele Kennlinien,&nbsp; die die gew&uuml;nschte WDF erzeugen k&ouml;nnen.
 *Die unter Punkt&nbsp; '''(5)'''&nbsp; berechnete Kennlinie ist beispielsweise punktsymmetrisch: &nbsp; $g(-x) = -g(x)$.
-*Schon die grafischen Darstellungen der beiden Dichtefunktionen zeigen, dass&nbsp; $\sigma_y^2 < \sigma_x^2$&nbsp;  ist.
+*Schon die grafischen Darstellungen der beiden Dichtefunktionen zeigen,&nbsp; dass&nbsp; $\sigma_y^2 < \sigma_x^2$&nbsp;  ist.
-'''(2)'''&nbsp; Das Integral &uuml;ber die WDF muss stets gleich&nbsp; $1$&nbsp; sein. Daraus folgt:
+'''(2)'''&nbsp; Das Integral &uuml;ber die WDF muss stets gleich&nbsp; $1$&nbsp; sein.&nbsp; Daraus folgt:
 :$$\int_{-\rm 1}^{\rm 1}A\cdot \cos({\pi}/{\rm 2}\cdot y)\, {\rm d} y=\frac{A\cdot \rm 4}{\pi}\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} A=\frac{\pi}{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.785}.$$

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 [[Datei:P_ID136__Sto_A_3_9.png|right|frame|Rechteck&ndash; und Cosinus&ndash;WDF]]
-Gesucht ist eine stetige, monoton steigende nichtlineare Kennlinie&nbsp; $y =g(x)$, die aus einer zwischen&nbsp; $-1$&nbsp; und&nbsp; $+1$&nbsp; gleichverteilten Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; eine neue Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; mit &bdquo;cosinusf&ouml;rmiger&rdquo; WDF generiert:
+Gesucht ist eine stetige,&nbsp; monoton steigende nichtlineare Kennlinie&nbsp; $y =g(x)$,&nbsp; die aus einer zwischen&nbsp; $-1$&nbsp; und&nbsp; $+1$&nbsp; gleichverteilten Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; eine neue Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; mit &bdquo;cosinusf&ouml;rmiger&rdquo; WDF generiert:
 :$$f_y(y)=A\cdot\cos({\pi}/{2}\cdot y).$$
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-{Bestimmen Sie die Steigung&nbsp; $h\hspace{0.05cm}'(y)$&nbsp; der Umkehrfunktion&nbsp; $x = h(y)$, wobei für&nbsp; $|y| \le 1$&nbsp; stets&nbsp; $h\hspace{0.05cm}'(y) > 0$&nbsp; gelten soll?&nbsp; Welche Steigung gilt bei&nbsp;  $y = 0$&nbsp;?
+{Bestimmen Sie die Steigung&nbsp; $h\hspace{0.05cm}'(y)$&nbsp; der Umkehrfunktion&nbsp; $x = h(y)$,&nbsp; wobei für&nbsp; $|y| \le 1$&nbsp; stets&nbsp; $h\hspace{0.05cm}'(y) > 0$&nbsp; gelten soll?&nbsp; Welche Steigung gilt bei&nbsp;  $y = 0$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $h'(y = 0) \ = \ $ { 1.571 3% }
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 :$$h(y) = \sin({\pi}/{2}\cdot y) \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm}
 h(y = 1)  \hspace{0.15cm}\underline{= +1}.$$

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 *Die Nebenbedingung&nbsp; $h(y= 0) = 0$&nbsp; f&uuml;hrt zur Konstanten&nbsp; $C = 0$&nbsp; und damit zum Ergebnis:
 :$$h(y) = \sin({\pi}/{2}\cdot y) \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm}
-h(y = 1)  \hspace{0.15cm}\underline{= 1}.$$
+h(y = 1)  \hspace{0.15cm}\underline{= +1}.$$

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Aussagen 1 und 3</u>:
-*Da $x$ nur Werte zwischen $\pm 1$ annehmen kann, ist der Verlauf der Kennlinie au&szlig;erhalb dieses Bereichs f&uuml;r die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ ohne Belang.
+*Da&nbsp; $x$&nbsp; nur Werte zwischen&nbsp; $\pm 1$&nbsp; annehmen kann, ist der Verlauf der Kennlinie au&szlig;erhalb dieses Bereichs f&uuml;r die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; ohne Belang.
-*Die Bedingung $g(-x) = g(x)$ muss nicht eingehalten werden. Es gibt beliebig viele Kennlinien, die die gew&uuml;nschte WDF erzeugen k&ouml;nnen.
+*Die Bedingung&nbsp; $g(-x) = g(x)$&nbsp; muss nicht eingehalten werden.&nbsp; Es gibt beliebig viele Kennlinien, die die gew&uuml;nschte WDF erzeugen k&ouml;nnen.
-*Die unter Punkt '''(5)''' berechnete Kennlinie ist beispielsweise punktsymmetrisch: &nbsp; $g(-x) = -g(x)$.
+*Die unter Punkt&nbsp; '''(5)'''&nbsp; berechnete Kennlinie ist beispielsweise punktsymmetrisch: &nbsp; $g(-x) = -g(x)$.
-*Schon die grafischen Darstellungen der beiden Dichtefunktionen zeigen, dass $\sigma_y^2 < \sigma_x^2$  ist.
+*Schon die grafischen Darstellungen der beiden Dichtefunktionen zeigen, dass&nbsp; $\sigma_y^2 < \sigma_x^2$&nbsp;  ist.
 '''(2)'''&nbsp; Das Integral &uuml;ber die WDF muss stets gleich $1$ sein. Daraus folgt:
 :$$\int_{-\rm 1}^{\rm 1}A\cdot \cos({\pi}/{\rm 2}\cdot y)\, {\rm d} y=\frac{A\cdot \rm 4}{\pi}\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} A=\frac{\pi}{\rm 4} \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 0.785}.$$
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 :$$f_y(y)=\frac{f_x(x)}{| g'(x)|}\Big|_{\, x=h(y)}=f_x(x)\cdot |h'(y)| \Big|_{\, x=h(y)}.$$
-Die Umkehrfunktion $x = h(y)$ einer monoton ansteigenden Kennlinie $y = g(x)$ steigt ebenfalls monoton an. <br>Deshalb kann auf die Betragsbildung verzichtet werden und man erh&auml;lt:
+*Die Umkehrfunktion&nbsp; $x = h(y)$&nbsp; einer monoton ansteigenden Kennlinie&nbsp; $y = g(x)$&nbsp; steigt ebenfalls monoton an.
 :$$h\hspace{0.05cm}'(y)=\frac{f_y(y)}{f_x(x)\Big|_{\, x=h(y)}}={\pi}/{\rm 2}\cdot \cos({\pi}/{2}\cdot  y).$$
-An der Stelle $y = 0$ hat die Steigung den Wert $h'(y= 0)=&pi;/2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.571}$.
+*An der Stelle&nbsp; $y = 0$&nbsp; hat die Steigung den Wert&nbsp; $h\hspace{0.05cm}'(y= 0)=&pi;/2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.571}$.
 '''(4)'''&nbsp; Man erh&auml;lt durch (unbestimmte) Integration:
-:$$h(y)=\int h'(y)\, {\rm d} y + C = \frac{\pi}{2}\cdot \frac{2}{\pi}\cdot \sin(\frac{\pi}{ 2}\cdot  y) +  C.$$
+:$$h(y)=\int h\hspace{0.05cm}'(y)\, {\rm d} y + C = \frac{\pi}{2}\cdot \frac{2}{\pi}\cdot \sin(\frac{\pi}{ 2}\cdot  y) +  C.$$
+*Die Nebenbedingung&nbsp; $h(y= 0) = 0$&nbsp; f&uuml;hrt zur Konstanten&nbsp; $C = 0$&nbsp; und damit zum Ergebnis:
 :$$h(y) = \sin({\pi}/{2}\cdot y) \hspace{0.5cm} \Rightarrow\hspace{0.5cm}
 h(y = 1)  \hspace{0.15cm}\underline{= 1}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Die Umkehrfunktion der in der Teilaufgabe '''(4)''' ermittelten Funktion $x = h(y)$ lautet:
 :$$y=g(x)={\rm 2}/{\rm \pi}\cdot \rm arcsin({\it x}).$$
-*Diese Kennlinie steigt im Bereich $-1 \le x \le +1$&nbsp; von &nbsp;$y = -1$&nbsp; bis &nbsp;$y = +1$&nbsp; monoton an.
+*Diese Kennlinie steigt im Bereich&nbsp; $-1 \le x \le +1$&nbsp; von &nbsp;$y = -1$&nbsp; bis &nbsp;$y = +1$&nbsp; monoton an.
-*Der gesuchte Wert ist also $g(x= 1) \hspace{0.15cm}\underline{= +1}$.
+*Der gesuchte Wert ist also&nbsp; $g(x= 1) \hspace{0.15cm}\underline{= +1}$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID136__Sto_A_3_9.png|right|frame|Rechteck&ndash; und Cosinus&ndash;WDF]]
-Gesucht ist eine stetige, monoton steigende nichtlineare Kennlinie $y =g(x)$, die aus einer zwischen $-1$ und $+1$ gleichverteilten Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$eine neue Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ mit &bdquo;cosinusf&ouml;rmiger&rdquo; WDF generiert:
+Gesucht ist eine stetige, monoton steigende nichtlineare Kennlinie&nbsp; $y =g(x)$, die aus einer zwischen&nbsp; $-1$&nbsp; und&nbsp; $+1$&nbsp; gleichverteilten Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; eine neue Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; mit &bdquo;cosinusf&ouml;rmiger&rdquo; WDF generiert:
 :$$f_y(y)=A\cdot\cos({\pi}/{2}\cdot y).$$
-*Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ kann ebenfalls nur Werte zwischen $-1$ und $+1$ annehmen.
+*Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; kann ebenfalls nur Werte zwischen&nbsp; $-1$&nbsp; und&nbsp; $+1$&nbsp; annehmen.
-*Die beiden  Dichtefunktionen $f_x(x)$ und $f_y(y)$ sind nebenstehend skizziert.
+*Die beiden  Dichtefunktionen&nbsp; $f_x(x)$&nbsp; und&nbsp; $f_y(y)$&nbsp; sind nebenstehend skizziert.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgrößen]].
-*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]].
+*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]].
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 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Au&szlig;erhalb des Bereichs $-1 \le x \le +1$ kann $g(x)$ beliebig sein.
++ Au&szlig;erhalb des Bereichs&nbsp; $-1 \le x \le +1$&nbsp; kann&nbsp; $g(x)$&nbsp; beliebig sein.
-- Die Kennlinie muss symmetrisch um $x= 0$  sein: &nbsp; $g(-x) = g(x)$.
+- Die Kennlinie muss symmetrisch um&nbsp; $x= 0$&nbsp;  sein: &nbsp; $g(-x) = g(x)$.
-+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ hat eine kleinere Varianz als $x$.
++ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; hat eine kleinere Varianz als&nbsp; $x$.
-{Berechnen Sie den $f_y(y)$&ndash;Wert bei $y = 0$: &nbsp;  $A = f_y(0)$.
+{Berechnen Sie den&nbsp; $f_y(y)$&ndash;Wert bei&nbsp; $y = 0$: &nbsp;  $A = f_y(0)$.
 |type="{}"}
 $A \ = \ $  { 0.785 3% }
-{Bestimmen Sie die Steigung $h\hspace{0.05cm}'(y)$ der Umkehrfunktion $x = h(y)$, wobei für $|y| \le 1$ stets $h\hspace{0.05cm}'(y) > 0$ gelten soll? <br>Welche Steigung gilt bei  $y = 0$?
+{Bestimmen Sie die Steigung&nbsp; $h\hspace{0.05cm}'(y)$&nbsp; der Umkehrfunktion&nbsp; $x = h(y)$, wobei für&nbsp; $|y| \le 1$&nbsp; stets&nbsp; $h\hspace{0.05cm}'(y) > 0$&nbsp; gelten soll?&nbsp; Welche Steigung gilt bei&nbsp;  $y = 0$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $h'(y = 0) \ = \ $ { 1.571 3% }
-{Berechnen Sie mit dem Ergebnis aus '''(3)''' die Funktion $x = h(y)$ unter der Nebenbedingung $h(0) = 0$. <br>Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r $y = 1$?
+{Berechnen Sie mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(3)'''&nbsp; die Funktion&nbsp; $x = h(y)$&nbsp; unter der Nebenbedingung&nbsp; $h(0) = 0$.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $y = 1$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $h(y=1) \ = \ $ { 1 3% }
-{Ermitteln Sie den Funktionsverlauf $y = g(x)$ der gesuchten Kennlinie. <br>Welcher Funktionswert ergibt sich an der Stelle $x = 1$?
+{Ermitteln Sie den Funktionsverlauf&nbsp; $y = g(x)$&nbsp; der gesuchten Kennlinie.&nbsp; Welcher Funktionswert ergibt sich an der Stelle&nbsp; $x = 1$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $g(x = 1) \ = \ $ { 1 3% }

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgröße]].
 *Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

@@ Zeile 68: / Zeile 68: @@
 $$h'(y)=\frac{f_y(y)}{f_x(x)\Big|_{\, x=h(y)}}={\pi}/{\rm 2}\cdot \rm cos({\pi}/{2}\cdot  y).$$
-An der Stelle $y = 0$ hat die Steigung den Wert $h'(y= 0)=&pi;/2\hspace{0.15cm}\underline{approx 1.571}$.
+An der Stelle $y = 0$ hat die Steigung den Wert $h'(y= 0)=&pi;/2\hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.571}$.
 '''(4)'''&nbsp; Man erh&auml;lt durch (unbestimmte) Integration: