Aufgaben:Aufgabe 3.8Z: Optimaler Detektionszeitpunkt bei DFE - Versionsgeschichte

Guenter am 27. Juni 2022 um 14:58 Uhr

2022-06-27T14:58:51Z

Guenter am 27. Juni 2022 um 14:40 Uhr

2022-06-27T14:40:58Z

Guenter am 7. März 2019 um 08:02 Uhr

2019-03-07T08:02:13Z

Guenter am 7. März 2019 um 07:54 Uhr

2019-03-07T07:54:17Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:47Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:29:56Z

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2017-11-05T15:08:45Z

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Guenter am 2. November 2017 um 17:08 Uhr

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Guenter am 2. November 2017 um 17:00 Uhr

2017-11-02T17:00:06Z

Guenter am 2. November 2017 um 16:57 Uhr

2017-11-02T16:57:13Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Für den Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$ gilt (wurde bereits in der Aufgabe 3.8 berechnet):
+'''(1)'''&nbsp; Für den Detektionszeitpunkt&nbsp; $T_{\rm D} = 0$&nbsp; gilt&nbsp; (wurde bereits in der Aufgabe 3.8 berechnet):
 :$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{
 } = g_d(0) - g_d(-T)- g_d(-2T)- g_d(-3T) \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 81: / Zeile 81: @@
-'''(2)'''&nbsp; Die Koeffizienten sind so zu wählen, dass $g_k(t)$ die Nachläufer von $g_d(t)$ vollständig kompensiert:
+'''(2)'''&nbsp; Die Koeffizienten sind so zu wählen,&nbsp; dass&nbsp; $g_k(t)$&nbsp; die Nachläufer von&nbsp; $g_d(t)$&nbsp; vollständig kompensiert:
 :$$k_1 = g_d( T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.235},\hspace{0.2cm}k_2 = g_d(2T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.029},\hspace{0.2cm}k_3 =
    g_d(3T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.001}
@@ Zeile 87: / Zeile 87: @@
-'''(3)'''&nbsp; Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(1)''' erhält man:
+'''(3)'''&nbsp; Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; erhält man:
 :$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{
 \cdot s_0} = 0.205 - 0.5 \cdot (0.235 + 0.029 + 0.001)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.072}
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-'''(4)'''&nbsp; Die Optimierung von $T_{\rm D}$ entsprechend den Einträgen in der Tabelle liefert:
+'''(4)'''&nbsp; Die Optimierung von&nbsp; $T_{\rm D}$&nbsp; entsprechend den Einträgen in der Tabelle liefert:
 :$$T_{\rm D}/T = 0: \hspace{0.5cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.470 &ndash; 0.235 &ndash; 0.029 &ndash; 0.001 = 0.205,$$
 :$$T_{\rm D}/T = \ &ndash;0.1: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.466 \ &ndash; \ 0.204 \ &ndash; \ 0.022 \ &ndash; \ 0.001 = 0.240,$$
@@ Zeile 101: / Zeile 101: @@
 :$$T_{\rm D}/T = \ &ndash;0.5: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.395 \ &ndash; \ 0.099 \ &ndash; \ 0.006 \ &ndash; \ 0.001 = 0.290,$$
 :$$T_{\rm D}/T = \ &ndash;0.6: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.366 \ &ndash; \ 0.080 \ &ndash; \ 0.004 \ &ndash; \ 0.001 = 0.282,$$
-*Der optimale Detektionszeitpunkt ist demnach $T_{\rm D, \ opt} \ \underline {= \ &ndash;0.4T}$ (wahrscheinlich geringfügig größer).
+*Der optimale Detektionszeitpunkt ist demnach&nbsp; $T_{\rm D, \ opt} \ \underline {= \ &ndash;0.4T}$&nbsp; (wahrscheinlich geringfügig größer).
 '''(5)'''&nbsp; Mit $T_{\rm D} = \ &ndash;0.4 \ T$ lauten die Filterkoeffizienten:
 :$$k_1 = g_d(0.6 T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.366},\hspace{0.2cm}k_2 = g_d(1.6T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.080},\hspace{0.2cm}k_3 =
    g_d(2.6T)\hspace{0.15cm}\underline {= 0.004}
@@ Zeile 111: / Zeile 112: @@
-'''(6)'''&nbsp; Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe (3) erhält man hier:
+'''(6)'''&nbsp; Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; erhält man hier:
 :$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D,\hspace{0.05cm} opt})}{
 \cdot s_0} = 0.291 - 0.5 \cdot (0.366 + 0.080 + 0.004) \hspace{0.15cm}\underline {= 0.066}
@@ Zeile 117: / Zeile 118: @@
 Die Ergebnisse dieser Aufgabe lassen sich wie folgt zusammenfassen:
-* Durch Optimierung des Detektionszeitpunktes wird die Augenöffnung im Idealfall um den Faktor $0.291/0.205 = 1.42$ vergrößert, was dem Störabstandsgewinn von $20 \cdot {\rm lg} \, 1.42 \approx 3 \ \rm dB$ entspricht.
+# Durch Optimierung des Detektionszeitpunktes wird die Augenöffnung im Idealfall um den Faktor&nbsp; $0.291/0.205 = 1.42$&nbsp; vergrößert,&nbsp; was dem Störabstandsgewinn von&nbsp; $20 \cdot {\rm lg} \, 1.42 \approx 3 \ \rm dB$&nbsp; entspricht.
-* Funktioniert die DFE aufgrund von Realisierungsungenauigkeiten jedoch nur zu $50\%$, so ergibt sich mit $T_{\rm D} = \ &ndash;0.4T$ gegenüber der idealen DFE eine Verschlechterung um den Amplitudenfaktor $0.291/0.066 \approx 4.4$. Für $T_{\rm D} = 0$ ist dieser Faktor mit $2.05/0.072 \approx 3$ deutlich kleiner.
+# Funktioniert die DFE aufgrund von Realisierungsungenauigkeiten jedoch nur zu&nbsp; $50\%$,&nbsp; so ergibt sich mit&nbsp; $T_{\rm D} = \ &ndash;0.4T$&nbsp; gegenüber der idealen DFE eine Verschlechterung um den Amplitudenfaktor&nbsp; $0.291/0.066 \approx 4.4$.&nbsp; Für&nbsp; $T_{\rm D} = 0$&nbsp; ist dieser Faktor mit&nbsp; $2.05/0.072 \approx 3$&nbsp; deutlich kleiner.
-* Es ist sogar so:&nbsp; Das eigentlich schlechtere System (mit $T_{\rm D} = 0$) ist dem eigentlich besseren System (mit $T_{\rm D} = \ &ndash;0.4T$) überlegen, wenn die Entscheidungsrückkopplung nur zu $50\%$ funktioniert. Dann ergibt sich ein Störabstandsverlust von $20 \cdot {\rm lg} \, (0.072/0.066) \approx 0.75 \ \rm dB$.
+# Es ist sogar so:&nbsp; Das eigentlich schlechtere System&nbsp; $($mit&nbsp; $T_{\rm D} = 0)$&nbsp; ist dem eigentlich besseren System&nbsp; $($mit $T_{\rm D} = \ &ndash;0.4T)$&nbsp; überlegen,&nbsp; wenn die Entscheidungsrückkopplung nur zu&nbsp; $50\%$&nbsp; funktioniert. Dann ergibt sich ein Störabstandsverlust von&nbsp; $20 \cdot {\rm lg} \, (0.072/0.066) \approx 0.75 \ \rm dB$.
-* Man kann diese Aussagen verallgemeinern: &nbsp; Je größer die Verbesserung durch Systemoptimierung (hier:&nbsp; die Optimierung des Detektionszeitpunktes) im Idealfall ist, desto größer ist auch die Verschlechterung bei nichtidealen Bedingungen, z.B. bei toleranzbehafteter Realisierung.
+# Man kann diese Aussagen verallgemeinern: &nbsp; '''Je größer die Verbesserung durch Systemoptimierung'''&nbsp; (hier:&nbsp; die Optimierung des Detektionszeitpunktes)&nbsp; '''im Idealfall ist,&nbsp; desto größer ist auch die Verschlechterung bei nichtidealen Bedingungen''',&nbsp; z.B. bei toleranzbehafteter Realisierung.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID1454__Dig_Z_3_8.png|right|frame|Tabelle der Grundimpulswerte]]
-Wir betrachten wie in der&nbsp; [[Aufgaben:3.8_Decision_Feedback_Equalization_mit_Laufzeitfilter|Aufgabe 3.8]]&nbsp; das bipolare Binärsystem mit Entscheidungsrückkopplung. Im Englischen bezeichnet man diese Konstellation als <i>Decision Feedback Equalization</i> (DFE).
+Wir betrachten wie in der&nbsp; [[Aufgaben:3.8_Decision_Feedback_Equalization_mit_Laufzeitfilter|Aufgabe 3.8]]&nbsp; das bipolare Binärsystem mit Entscheidungsrückkopplung.&nbsp; Im Englischen bezeichnet man diese Konstellation als&nbsp; "Decision Feedback Equalization"&nbsp; $\rm (DFE)$.
 Der vorentzerrte Grundimpuls &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; am Eingang der DFE entspricht der Rechteckantwort eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G} \cdot T = 0.25$.
-Bei der idealen DFE wird ein Kompensationsimpuls &nbsp;$g_w(t)$&nbsp; gebildet, der für alle Zeiten &nbsp;$t &#8805; T_{\rm D} + T_{\rm V}$&nbsp; genau gleich dem Eingangsimpuls &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; ist, so dass für den korrigierten Grundimpuls gilt:
+Bei der idealen DFE wird ein Kompensationsimpuls &nbsp;$g_w(t)$&nbsp; gebildet,&nbsp; der für alle Zeiten &nbsp;$t &#8805; T_{\rm D} + T_{\rm V}$&nbsp; genau gleich dem Eingangsimpuls &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; ist,&nbsp; so dass für den korrigierten Grundimpuls gilt:
 :$$g_k(t) \ = \ g_d(t) - g_w(t) = \ \left\{ \begin{array}{c} g_d(t)
   \\ 0  \\  \end{array} \right.\quad
@@ Zeile 14: / Zeile 14: @@
 \end{array}$$
-Hierbei bezeichnet &nbsp;$T_{\rm D}$&nbsp; den Detektionszeitpunkt, der eine optimierbare Systemgröße darstellt. $T_{\rm D} = 0$&nbsp; bedeutet eine Symboldetektion in Impulsmitte.
+Hierbei bezeichnet &nbsp;$T_{\rm D}$&nbsp; den Detektionszeitpunkt,&nbsp; der eine optimierbare Systemgröße darstellt.&nbsp; $T_{\rm D} = 0$&nbsp; bedeutet eine Symboldetektion in Impulsmitte.
-*Bei einem System mit DFE ist jedoch &nbsp;$g_k(t)$&nbsp; stark unsymmetrisch, so dass ein Detektionszeitpunkt &nbsp;$T_{\rm D} < 0$&nbsp; günstiger ist.
+*Bei einem System mit DFE ist jedoch &nbsp;$g_k(t)$&nbsp; stark unsymmetrisch,&nbsp; so dass ein Detektionszeitpunkt &nbsp;$T_{\rm D} < 0$&nbsp; günstiger ist.
 *Die Verzögerungszeit &nbsp;$T_{\rm V} = T/2$&nbsp; gibt an, dass die DFE erst eine halbe Symboldauer nach der Detektion wirksam wird.
-*Zur Lösung dieser Aufgabe ist &nbsp;$T_{\rm V}$&nbsp; allerdings nicht relevant.
+*Die Verzögerungszeit &nbsp;$T_{\rm V} = T/2$&nbsp; gibt an,&nbsp; dass die DFE erst eine halbe Symboldauer nach der Detektion wirksam wird.&nbsp; Zur Lösung dieser Aufgabe ist &nbsp;$T_{\rm V}$&nbsp; allerdings nicht relevant.
-Eine aufwandsgünstige Realisierung der DFE ist mit einem Laufzeitfilter möglich, wobei die Filterordnung bei dem gegebenen Grundimpuls mindestens &nbsp;$N = 3$&nbsp; betragen muss. Die Filterkoeffizienten sind dabei wie folgt zu wählen:
+Eine aufwandsgünstige Realisierung der DFE ist mit einem Laufzeitfilter möglich,&nbsp; wobei die Filterordnung bei dem gegebenen Grundimpuls mindestens &nbsp;$N = 3$&nbsp; betragen muss.&nbsp; Die Filterkoeffizienten sind dabei wie folgt zu wählen:
 :$$k_1 = g_d(T_{\rm D} + T),\hspace{0.2cm}k_2 = g_d(T_{\rm D} + 2T),\hspace{0.2cm}k_3 = g_d(T_{\rm D} + 3T)
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 28: / Zeile 28: @@
-''Hinweise:''
+* Der vorentzerrte Grundimpuls &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; am Eingang der DFE entspricht der Rechteckantwort eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G} = 0.25/T$.
-* Beachten Sie auch, dass die Entscheidungsrückkopplung nicht mit einer Erhöhung der Rauschleistung verbunden ist, so dass eine Vergrößerung der (halben) Augenöffnung um den Faktor &nbsp;$K$&nbsp; gleichzeitig einen Störabstandsgewinn von &nbsp;$20 \cdot {\rm lg} \, K$&nbsp; zur Folge hat.
+*In der Tabelle sind die auf &nbsp;$s_0$&nbsp; normierten Abtastwerte von &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; angegeben.&nbsp; Auf der Angabenseite zu&nbsp; [[Aufgaben:3.8_Decision_Feedback_Equalization_mit_Laufzeitfilter| Aufgabe 3.8]]&nbsp; ist &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; skizziert.
@@ Zeile 50: / Zeile 51: @@
 $k_3\ = \ $ { 0.001 3% }
-{Es gelte weiter &nbsp;$T_{\rm D} = 0$. Welche (halbe) Augenöffnung ergibt sich, wenn die DFE die Nachläufer nur zu &nbsp;$50 \%$&nbsp; kompensiert?
+{Es gelte weiter &nbsp;$T_{\rm D} = 0$.&nbsp; Welche (halbe) Augenöffnung ergibt sich,&nbsp; wenn die DFE die Nachläufer nur zu &nbsp;$50 \%$&nbsp; kompensiert?
 |type="{}"}
 $50\% \ {\rm DFE} \text{:} \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D} = 0)/(2s_0)\ = \ $ { 0.072 3% }
@@ Zeile 65: / Zeile 66: @@
 $k_3\ = \ $ { 0.004 3% }
-{Wie groß ist die (halbe) Augenöffnung mit &nbsp;$T_{\rm D, \ opt}$, wenn die DFE die Nachläufer nur zu &nbsp;$50 \%$&nbsp; kompensiert? Interpretieren Sie das Ergebnis.
+{Wie groß ist die (halbe) Augenöffnung mit &nbsp;$T_{\rm D, \ opt}$,&nbsp; wenn die DFE die Nachläufer nur zu &nbsp;$50 \%$&nbsp; kompensiert? Interpretieren Sie das Ergebnis.
 |type="{}"}
 $50\% \ {\rm DFE} \text{:} \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_\text{D, opt})/(2s_0)\ = \ $ { 0.066 3% }

@@ Zeile 72: / Zeile 72: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Für den Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$ gilt (wurde bereits in [[Aufgaben:3.8_Decision_Feedback_Equalization_mit_Laufzeitfilter| Aufgabe 3.8]] berechnet):
+'''(1)'''&nbsp; Für den Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$ gilt (wurde bereits in der Aufgabe 3.8 berechnet):
 :$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{
 } = g_d(0) - g_d(-T)- g_d(-2T)- g_d(-3T) \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 78: / Zeile 78: @@
 \cdot s_0} = 0.470 - 0.235 - 0.029 -0.001 \hspace{0.15cm}\underline {= 0.205}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Die Koeffizienten sind so zu wählen, dass $g_k(t)$ die Nachläufer von $g_d(t)$ vollständig kompensiert:
@@ Zeile 84: / Zeile 85: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Ausgehend von dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) erhält man:
 :$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{
 \cdot s_0} = 0.205 - 0.5 \cdot (0.235 + 0.029 + 0.001)\hspace{0.15cm}\underline { = 0.072}
@@ Zeile 98: / Zeile 100: @@
 :$$T_{\rm D}/T = \ &ndash;0.5: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.395 \ &ndash; \ 0.099 \ &ndash; \ 0.006 \ &ndash; \ 0.001 = 0.290,$$
 :$$T_{\rm D}/T = \ &ndash;0.6: \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D})/(2 \, s_0) = 0.366 \ &ndash; \ 0.080 \ &ndash; \ 0.004 \ &ndash; \ 0.001 = 0.282,$$
+*Der optimale Detektionszeitpunkt ist demnach $T_{\rm D, \ opt} \ \underline {= \ &ndash;0.4T}$ (wahrscheinlich geringfügig größer).
-Der optimale Detektionszeitpunkt ist demnach $T_{\rm D, \ opt} \ \underline {= \ &ndash;0.4T}$ (wahrscheinlich geringfügig größer). Hierfür wurde für die halbe Augenöffnung der maximale Wert ($0.291$) ermittelt.
+* Hierfür wurde für die halbe Augenöffnung der maximale Wert $(\underline{0.291})$ ermittelt.
@@ Zeile 116: / Zeile 118: @@
 * Durch Optimierung des Detektionszeitpunktes wird die Augenöffnung im Idealfall um den Faktor $0.291/0.205 = 1.42$ vergrößert, was dem Störabstandsgewinn von $20 \cdot {\rm lg} \, 1.42 \approx 3 \ \rm dB$ entspricht.
 * Funktioniert die DFE aufgrund von Realisierungsungenauigkeiten jedoch nur zu $50\%$, so ergibt sich mit $T_{\rm D} = \ &ndash;0.4T$ gegenüber der idealen DFE eine Verschlechterung um den Amplitudenfaktor $0.291/0.066 \approx 4.4$. Für $T_{\rm D} = 0$ ist dieser Faktor mit $2.05/0.072 \approx 3$ deutlich kleiner.
-* Es ist sogar so: Das eigentlich schlechtere System (mit $T_{\rm D} = 0$) ist dem eigentlich besseren System (mit $T_{\rm D} = \ &ndash;0.4T$) überlegen, wenn die Entscheidungsrückkopplung nur zu $50\%$ funktioniert. Dann ergibt sich ein Störabstandsverlust von $20 \cdot {\rm lg} \, (0.072/0.066) \approx 0.75 \ \rm dB$.
+* Es ist sogar so:&nbsp; Das eigentlich schlechtere System (mit $T_{\rm D} = 0$) ist dem eigentlich besseren System (mit $T_{\rm D} = \ &ndash;0.4T$) überlegen, wenn die Entscheidungsrückkopplung nur zu $50\%$ funktioniert. Dann ergibt sich ein Störabstandsverlust von $20 \cdot {\rm lg} \, (0.072/0.066) \approx 0.75 \ \rm dB$.
-* Man kann diese Aussagen verallgemeinern: Je größer die Verbesserung durch Systemoptimierung (hier: die Optimierung des Detektionszeitpunktes) im Idealfall ist, desto größer ist auch die Verschlechterung bei nichtidealen Bedingungen, z.B. bei toleranzbehafteter Realisierung.
+* Man kann diese Aussagen verallgemeinern: &nbsp; Je größer die Verbesserung durch Systemoptimierung (hier:&nbsp; die Optimierung des Detektionszeitpunktes) im Idealfall ist, desto größer ist auch die Verschlechterung bei nichtidealen Bedingungen, z.B. bei toleranzbehafteter Realisierung.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 [[Datei:P_ID1454__Dig_Z_3_8.png|right|frame|Tabelle der Grundimpulswerte]]
-Wir betrachten wie in der [[Aufgaben:3.8_Decision_Feedback_Equalization_mit_Laufzeitfilter|Aufgabe 3.8]] das bipolare Binärsystem mit Entscheidungsrückkopplung. Im Englischen bezeichnet man diese Konstellation als <i>Decision Feedback Equalization</i> (DFE).
+Wir betrachten wie in der&nbsp; [[Aufgaben:3.8_Decision_Feedback_Equalization_mit_Laufzeitfilter|Aufgabe 3.8]]&nbsp; das bipolare Binärsystem mit Entscheidungsrückkopplung. Im Englischen bezeichnet man diese Konstellation als <i>Decision Feedback Equalization</i> (DFE).
-Der vorentzerrte Grundimpuls $g_d(t)$ am Eingang der DFE entspricht der Rechteckantwort eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} \cdot T = 0.25$.
+Der vorentzerrte Grundimpuls &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; am Eingang der DFE entspricht der Rechteckantwort eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G} \cdot T = 0.25$.
-Bei der idealen DFE wird ein Kompensationsimpuls $g_w(t)$ gebildet, der für alle Zeiten $t &#8805; T_{\rm D} + T_{\rm V}$ genau gleich dem Eingangsimpuls $g_d(t)$ ist, so dass für den korrigierten Grundimpuls gilt:
+Bei der idealen DFE wird ein Kompensationsimpuls &nbsp;$g_w(t)$&nbsp; gebildet, der für alle Zeiten &nbsp;$t &#8805; T_{\rm D} + T_{\rm V}$&nbsp; genau gleich dem Eingangsimpuls &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; ist, so dass für den korrigierten Grundimpuls gilt:
 :$$g_k(t) \ = \ g_d(t) - g_w(t) = \ \left\{ \begin{array}{c} g_d(t)
   \\ 0  \\  \end{array} \right.\quad
@@ Zeile 14: / Zeile 14: @@
 \end{array}$$
-Hierbei bezeichnet $T_{\rm D}$ den Detektionszeitpunkt, der eine optimierbare Systemgröße darstellt. $T_{\rm D} = 0$ bedeutet eine Symboldetektion in Impulsmitte.
+Hierbei bezeichnet &nbsp;$T_{\rm D}$&nbsp; den Detektionszeitpunkt, der eine optimierbare Systemgröße darstellt. $T_{\rm D} = 0$&nbsp; bedeutet eine Symboldetektion in Impulsmitte.
-*Bei einem System mit DFE ist jedoch $g_k(t)$ stark unsymmetrisch, so dass ein Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} < 0$ günstiger ist.
+*Bei einem System mit DFE ist jedoch &nbsp;$g_k(t)$&nbsp; stark unsymmetrisch, so dass ein Detektionszeitpunkt &nbsp;$T_{\rm D} < 0$&nbsp; günstiger ist.
-*Die Verzögerungszeit $T_{\rm V} = T/2$ gibt an, dass die DFE erst eine halbe Symboldauer nach der Detektion wirksam wird.
+*Die Verzögerungszeit &nbsp;$T_{\rm V} = T/2$&nbsp; gibt an, dass die DFE erst eine halbe Symboldauer nach der Detektion wirksam wird.
-*Zur Lösung dieser Aufgabe ist $T_{\rm V}$ allerdings nicht relevant.
+*Zur Lösung dieser Aufgabe ist &nbsp;$T_{\rm V}$&nbsp; allerdings nicht relevant.
-Eine aufwandsgünstige Realisierung der DFE ist mit einem Laufzeitfilter möglich, wobei die Filterordnung bei dem gegebenen Grundimpuls mindestens $N = 3$ betragen muss. Die Filterkoeffizienten sind dabei wie folgt zu wählen:
+Eine aufwandsgünstige Realisierung der DFE ist mit einem Laufzeitfilter möglich, wobei die Filterordnung bei dem gegebenen Grundimpuls mindestens &nbsp;$N = 3$&nbsp; betragen muss. Die Filterkoeffizienten sind dabei wie folgt zu wählen:
 :$$k_1 = g_d(T_{\rm D} + T),\hspace{0.2cm}k_2 = g_d(T_{\rm D} + 2T),\hspace{0.2cm}k_3 = g_d(T_{\rm D} + 3T)
   \hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Entscheidungsr%C3%BCckkopplung|Entscheidungsrückkopplung]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Entscheidungsr%C3%BCckkopplung|Entscheidungsrückkopplung]].
-* Beachten Sie auch, dass die Entscheidungsrückkopplung nicht mit einer Erhöhung der Rauschleistung verbunden ist, so dass eine Vergrößerung der (halben) Augenöffnung um den Faktor $K$ gleichzeitig einen Störabstandsgewinn von $20 \cdot {\rm lg} \, K$ zur Folge hat.
+* Beachten Sie auch, dass die Entscheidungsrückkopplung nicht mit einer Erhöhung der Rauschleistung verbunden ist, so dass eine Vergrößerung der (halben) Augenöffnung um den Faktor &nbsp;$K$&nbsp; gleichzeitig einen Störabstandsgewinn von &nbsp;$20 \cdot {\rm lg} \, K$&nbsp; zur Folge hat.
-* Der vorentzerrte Grundimpuls $g_d(t)$ am Eingang der DFE entspricht der Rechteckantwort eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 0.25/T$.
+* Der vorentzerrte Grundimpuls &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; am Eingang der DFE entspricht der Rechteckantwort eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G} = 0.25/T$.
-*In der Tabelle sind die auf $s_0$ normierten Abtastwerte von $g_d(t)$ angegeben. Auf der Angabenseite zu [[Aufgaben:3.8_Decision_Feedback_Equalization_mit_Laufzeitfilter| Aufgabe 3.8]] ist $g_d(t)$ skizziert.
+*In der Tabelle sind die auf &nbsp;$s_0$&nbsp; normierten Abtastwerte von &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; angegeben. Auf der Angabenseite zu&nbsp; [[Aufgaben:3.8_Decision_Feedback_Equalization_mit_Laufzeitfilter| Aufgabe 3.8]]&nbsp; ist &nbsp;$g_d(t)$&nbsp; skizziert.
@@ Zeile 37: / Zeile 40: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die halbe Augenöffnung für $T_{\rm D} = 0$ und ideale DFE.
+{Berechnen Sie die halbe Augenöffnung für &nbsp;$T_{\rm D} = 0$&nbsp; und ideale DFE.
 |type="{}"}
 $100\% \ {\rm DFE} \text{:} \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D} = 0)/(2s_0) \ = \ $ { 0.205 3% }
@@ Zeile 47: / Zeile 50: @@
 $k_3\ = \ $ { 0.001 3% }
-{Es gelte weiter $T_{\rm D} = 0$. Welche (halbe) Augenöffnung ergibt sich, wenn die DFE die Nachläufer nur zu $50 \%$ kompensiert?
+{Es gelte weiter &nbsp;$T_{\rm D} = 0$. Welche (halbe) Augenöffnung ergibt sich, wenn die DFE die Nachläufer nur zu &nbsp;$50 \%$&nbsp; kompensiert?
 |type="{}"}
 $50\% \ {\rm DFE} \text{:} \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_{\rm D} = 0)/(2s_0)\ = \ $ { 0.072 3% }
@@ Zeile 62: / Zeile 65: @@
 $k_3\ = \ $ { 0.004 3% }
-{Wie groß ist die (halbe) Augenöffnung mit $T_{\rm D, \ opt}$, wenn die DFE die Nachläufer nur zu $50 \%$ kompensiert? Interpretieren Sie das Ergebnis.
+{Wie groß ist die (halbe) Augenöffnung mit &nbsp;$T_{\rm D, \ opt}$, wenn die DFE die Nachläufer nur zu &nbsp;$50 \%$&nbsp; kompensiert? Interpretieren Sie das Ergebnis.
 |type="{}"}
 $50\% \ {\rm DFE} \text{:} \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_\text{D, opt})/(2s_0)\ = \ $ { 0.066 3% }

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Entscheidungsr%C3%BCckkopplung|Entscheidungsrückkopplung]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 * Beachten Sie auch, dass die Entscheidungsrückkopplung nicht mit einer Erhöhung der Rauschleistung verbunden ist, so dass eine Vergrößerung der (halben) Augenöffnung um den Faktor $K$ gleichzeitig einen Störabstandsgewinn von $20 \cdot {\rm lg} \, K$ zur Folge hat.
 * Der vorentzerrte Grundimpuls $g_d(t)$ am Eingang der DFE entspricht der Rechteckantwort eines Gaußtiefpasses mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 0.25/T$.

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 |type="{}"}
 $T_{\rm D, \ opt}/T\ = \ $ { -0.412--0.388 }
-$100\% \ {\rm DFE} \text{:} \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_\text{D, opt})/(2s_0) \ = \ $ { 0.205 3% }
+$100\% \ {\rm DFE} \text{:} \hspace{0.2cm} \ddot{o}(T_\text{D, opt})/(2s_0) \ = \ $ { 0.291 3% }
 {Wie müssen hierzu die Koeffizienten des Laufzeitfilters eingestellt werden?