Aufgaben:Aufgabe 3.8Z: Kreis(ring)fläche - Versionsgeschichte

Guenter am 2. Februar 2022 um 14:10 Uhr

2022-02-02T14:10:44Z

Guenter am 2. Februar 2022 um 14:07 Uhr

2022-02-02T14:07:11Z

Guenter am 22. November 2019 um 15:29 Uhr

2019-11-22T15:29:33Z

Guenter am 22. November 2019 um 15:22 Uhr

2019-11-22T15:22:38Z

Guenter am 22. November 2019 um 15:18 Uhr

2019-11-22T15:18:56Z

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2018-08-10T11:48:24Z

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2018-08-10T11:26:17Z

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2018-08-10T10:10:28Z

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:46Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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 *Zwischen&nbsp; $R$&nbsp; und&nbsp; $r$&nbsp; besteht also ein linearer Zusammenhang.
-*Das heißt:&nbsp; $R$&nbsp; ist ebenfalls gleichverteilt und zwar unabh&auml;ngig von der Breite&nbsp; $b$, solange&nbsp; $b \ll r$&nbsp; ist.
+*Das heißt:&nbsp; $R$&nbsp; ist ebenfalls gleichverteilt und zwar unabh&auml;ngig von der Breite&nbsp; $b$,&nbsp; solange&nbsp; $b \ll r$&nbsp; ist.
 *F&uuml;r den Minimalwert gilt:
 :$$R_{\rm min}=\rm 2\pi\cdot 6\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx3.77}. $$

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 Wir betrachten unterschiedlich große Kreise:
 *Der Radius&nbsp; $r$&nbsp; und die Fläche&nbsp; $A$&nbsp; lassen sich als  voneinander abhängige Zufallsgrößen auffassen.
-*Es wird vorausgesetzt, dass der Radius auf den Bereich&nbsp; $6 \le r \le 8$&nbsp; beschr&auml;nkt ist.
+*Es wird vorausgesetzt,&nbsp; dass der Radius auf den Bereich&nbsp; $6 \le r \le 8$&nbsp; beschr&auml;nkt ist.
-In der oberen Skizze  ist der Bereich, in dem solche Kreise&nbsp; (alle mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung)&nbsp; liegen k&ouml;nnen, gelb markiert. Weiterhin kann davon ausgegangen werden, dass der Radius in diesem Intervall gleichverteilt ist:
+In der oberen Skizze  ist der Bereich,&nbsp; in dem solche Kreise&nbsp; $($alle mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung$)$&nbsp; liegen k&ouml;nnen, gelb markiert.&nbsp; Weiterhin kann davon ausgegangen werden,&nbsp; dass der Radius in diesem Intervall gleichverteilt ist:
 :$$f_r(r)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 0.5 & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm}{\rm 6\le \it r \le \rm 8}, \\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right.$$
-Ab der Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; werden schmale Kreisringe mit dem Mittenradius&nbsp; $r$&nbsp; und der Breite&nbsp; $b$&nbsp; betrachtet (untere Skizze):
+Ab der Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; werden schmale Kreisringe mit dem Mittenradius&nbsp; $r$&nbsp; und der Breite&nbsp; $b$&nbsp; betrachtet&nbsp; $($untere Skizze$)$:
 *Die Fl&auml;che eines solchen Kreisrings wird mit&nbsp; $R$&nbsp; bezeichnet.
 *Die m&ouml;glichen Mittenradien&nbsp; $r$&nbsp; seien auch hier gleichverteilt zwischen&nbsp; $6$&nbsp; und&nbsp; $8$.
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgrößen]].
 *Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]].
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-{Welche WDF besitzt die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $R$&nbsp; (Fl&auml;che der Kreisringe gemäß der unteren Skizze)?&nbsp; Wie groß ist deren Minimalwert?&nbsp; Es gelte&nbsp; $b = 0.1$.
+{Welche WDF besitzt die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $R$&nbsp; $($Fl&auml;che der Kreisringe gemäß der unteren Skizze$)$?&nbsp; Wie groß ist deren Minimalwert?&nbsp; Es gelte&nbsp; $b = 0.1$.
 |type="{}"}
 $R_\text{min} \ =  \ $ { 3.77 3% }

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die Gleichung der Kreisfl&auml;che ist gleichzeitig die Transformationskennlinie: &nbsp; $A = \pi \cdot r^2$. <br>Daraus ergibt sich mit $r = 6$ f&uuml;r den Minimalwert: &nbsp; $A_\text{min} \hspace{0.15cm}\underline {= 113.09}$.
+'''(1)'''&nbsp; Die Gleichung der Kreisfl&auml;che ist gleichzeitig die Transformationskennlinie: &nbsp; $A = \pi \cdot r^2$.
-'''(2)'''&nbsp; Entsprechend gilt mit $r = 8$ f&uuml;r den Maximalwert: &nbsp; $A_\text{max} \hspace{0.15cm}\underline {= 201.06}$.
+'''(2)'''&nbsp; Entsprechend gilt mit&nbsp; $r = 8$&nbsp; f&uuml;r den Maximalwert: &nbsp;
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 :$$m_{\rm A}={\rm E}\big[A\big]={\rm E}\big[g(r)\big]=\int_{ -\infty}^{+\infty}g(r)\cdot f_r(r) {\rm d}r.$$
-Mit $g(r) = \pi \cdot r^2$ und $f_r(r) = 1/2$ im Bereich von $6$ ... $8$ erh&auml;lt man:
+*Mit&nbsp; $g(r) = \pi \cdot r^2$&nbsp; und&nbsp; $f_r(r) = 1/2$&nbsp; im Bereich von&nbsp; $6$ ... $8$&nbsp; erh&auml;lt man:
 :$$m_{\rm A}=\int_{\rm 6}^{\rm 8}1/2 \cdot\pi\cdot r^{\rm 2}\, {\rm d} \it r=\frac{\pi}{\rm 6}\cdot \rm ( 8^3-6^3)
 \hspace{0.15cm}\underline{=\rm 154.98}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Die WDF der transformierten Zufallsgr&ouml;&szlig;e $A$ lautet:
+'''(4)'''&nbsp; Die WDF der transformierten Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $A$&nbsp; lautet:
 :$$f_A(A)=\frac{f_r(r)}{|g\hspace{0.05cm}'(r)|}\Bigg|_{r=h(y) = \sqrt{A/ \pi }}.$$
-Im Bereich zwischen $A_\text{min}  {= 113.09}$ und $A_\text{max}  {= 201.06}$ gilt dann:
+*Im Bereich zwischen&nbsp; $A_\text{min}  {= 113.09}$&nbsp; und&nbsp; $A_\text{max}  {= 201.06}$&nbsp; gilt dann:
 :$$f_A(A)=\frac{\rm 1/2}{\rm 2\cdot \pi\cdot\it r}\Bigg|_{\it r=\sqrt{\it A/\rm \pi}}=\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\sqrt{\it A\cdot\rm \pi}}.$$
-Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erh&auml;lt man durch Integration:
+*Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erh&auml;lt man durch Integration:
 :$${\rm Pr}(A> 150)=\int_{\rm 150}^{\it A_{\rm max}}\frac{\rm 1}{\rm 4\cdot\sqrt{\it A\cdot\rm \pi}} \; \rm d \it A= \frac{\rm 2\cdot\sqrt{\it A}}{\rm 4\cdot\sqrt{\pi}}\Big|_{\rm 150}^{\it A_{\rm max}}.$$
-Die obere Integrationsgrenze liefert den Wert $4$ und die untere Grenze $3.455$. Daraus ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
+*Die obere Integrationsgrenze liefert den Wert&nbsp; $4$&nbsp; und die untere Grenze&nbsp; $3.455$.&nbsp; Daraus ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
-:$${\rm Pr}(A> 150) \hspace{0.15cm}\underline {=0.545}.$$
+:$${\rm Pr}(A> 150) \hspace{0.15cm}\underline {=54.5\%}.$$
-'''(5)'''&nbsp; F&uuml;r die Kreisringfl&auml;che $R$ gilt bei gegebenem Radius $r$:
+'''(5)'''&nbsp; F&uuml;r die Kreisringfl&auml;che&nbsp; $R$&nbsp; gilt bei gegebenem Radius&nbsp; $r$:
 :$$R=\left (r+{b}/{\rm 2} \right)^{\rm 2}\cdot \rm\pi-\left ({\it r}-{\it b}/{\rm 2} \right)^{\rm 2}\cdot \rm\pi= \rm2\cdot\pi\cdot\it r \cdot b.$$
-*Zwischen $R$ und $r$ besteht also ein linearer Zusammenhang.
+*Zwischen&nbsp; $R$&nbsp; und&nbsp; $r$&nbsp; besteht also ein linearer Zusammenhang.
-*Das heißt, $R$ ist ebenfalls gleichverteilt und zwar unabh&auml;ngig von der Breite $b$, solange $b \ll r$ ist.
+*Das heißt:&nbsp; $R$&nbsp; ist ebenfalls gleichverteilt und zwar unabh&auml;ngig von der Breite&nbsp; $b$, solange&nbsp; $b \ll r$&nbsp; ist.
 *F&uuml;r den Minimalwert gilt:
 :$$R_{\rm min}=\rm 2\pi\cdot 6\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx3.77}. $$
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-'''(7)'''&nbsp; Aufgrund des linearen Zusammenhangs zwischen $R$ und  $r$ führt der mittlere Radius $r = 7$  auch zur mittleren Kreisringfl&auml;che:
+'''(7)'''&nbsp; Aufgrund des linearen Zusammenhangs zwischen&nbsp; $R$&nbsp; und&nbsp;  $r$&nbsp; führt der mittlere Radius&nbsp; $r = 7$&nbsp;  auch zur mittleren Kreisringfl&auml;che:
 :$${\rm E}\big[R\big]=\rm 2\pi\cdot 7\cdot 0.1\hspace{0.15cm}\underline{\approx 4.4}.$$

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 {Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $A$.&nbsp; Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Fl&auml;che&nbsp; $A> 150$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(A > 150) \ =  \ $ { 0.545 3% }
+${\rm Pr}(A > 150) \ =  \ $ { 54.5 3% } $\ \%$

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 }}
-[[Datei:P_ID133__Sto_Z_3_8.png|right|frame|Kreisringflächen]]
+[[Datei:P_ID133__Sto_Z_3_8.png|right|frame|Zu den Kreisringflächen]]
 Wir betrachten unterschiedlich große Kreise:
-*Radius $r$ und Fläche $A$ lassen sich als  voneinander abhängige Zufallsgrößen auffassen.
+*Der Radius&nbsp; $r$&nbsp; und die Fläche&nbsp; $A$&nbsp; lassen sich als  voneinander abhängige Zufallsgrößen auffassen.
-*Es wird vorausgesetzt, dass der Radius auf den Bereich $6 \le r \le 8$ beschr&auml;nkt ist.
+*Es wird vorausgesetzt, dass der Radius auf den Bereich&nbsp; $6 \le r \le 8$&nbsp; beschr&auml;nkt ist.
-In der oberen Skizze  ist der Bereich, in dem solche Kreise (alle mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung) liegen k&ouml;nnen, gelb markiert. Weiterhin kann davon ausgegangen werden, dass der Radius in diesem Intervall gleichverteilt ist:
+In der oberen Skizze  ist der Bereich, in dem solche Kreise&nbsp; (alle mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung)&nbsp; liegen k&ouml;nnen, gelb markiert. Weiterhin kann davon ausgegangen werden, dass der Radius in diesem Intervall gleichverteilt ist:
 :$$f_r(r)=\left\{ \begin{array}{*{4}{c}} 0.5 & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm}{\rm 6\le \it r \le \rm 8}, \\\rm 0 & \rm sonst. \end{array} \right.$$
-Ab der Teilaufgabe '''(5)''' werden schmale Kreisringe mit dem Mittelradius $r$ und der Breite $b$ betrachtet (untere Skizze):
+Ab der Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''&nbsp; werden schmale Kreisringe mit dem Mittenradius&nbsp; $r$&nbsp; und der Breite&nbsp; $b$&nbsp; betrachtet (untere Skizze):
-*Die Fl&auml;che eines solchen Kreisrings wird mit $R$ bezeichnet.
+*Die Fl&auml;che eines solchen Kreisrings wird mit&nbsp; $R$&nbsp; bezeichnet.
-*Die m&ouml;glichen Mittelradien $r$ seien wieder gleichverteilt zwischen $6$ und $8$.
+*Die m&ouml;glichen Mittenradien&nbsp; $r$&nbsp; seien auch hier gleichverteilt zwischen&nbsp; $6$&nbsp; und&nbsp; $8$.
-*Die Kreisringbreite beträgt $b = 0.1$.
+*Die Kreisringbreite beträgt&nbsp; $b = 0.1$.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgrößen]].
-*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]].
+*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]].
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die Transformationskennlinie $A = g(r)$ analytisch an. Wie gro&szlig; ist der Minimalwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $A$?
+{Geben Sie die Transformationskennlinie&nbsp; $A = g(r)$&nbsp; analytisch an.&nbsp; Wie gro&szlig; ist der Minimalwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $A$?
 |type="{}"}
 $A_\text{min} \ = \ $ { 113.09 3% }
-{Wie gro&szlig; ist der Maximalwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $A$?
+{Wie gro&szlig; ist der Maximalwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $A$?
 |type="{}"}
 $A_\text{max} \ =  \ $ { 201.06 3% }
-{Welcher Wert $m_{ A} = {\rm E}\big[A\big]$ ergibt sich f&uuml;r die &bdquo;mittlere&rdquo; Kreisfl&auml;che?
+{Welcher Wert&nbsp; $m_{ A} = {\rm E}\big[A\big]$&nbsp; ergibt sich f&uuml;r die &bdquo;mittlere&rdquo; Kreisfl&auml;che?
 |type="{}"}
 $m_{ A} \ =  \ $ { 154.98 3% }
-{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $A$. <br>Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Fl&auml;che $A$ gr&ouml;&szlig;er als $150$ ist?
+{Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $A$.&nbsp; Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Fl&auml;che&nbsp; $A> 150$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(A > 150) \ =  \ $ { 0.545 3% }
-{Welche WDF besitzt die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $R$ (Fl&auml;che der Kreisringe gemäß der unteren Skizze)? <br>Wie groß ist deren Minimalwert? Es gelte $b = 0.1$.
+{Welche WDF besitzt die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $R$&nbsp; (Fl&auml;che der Kreisringe gemäß der unteren Skizze)?&nbsp; Wie groß ist deren Minimalwert?&nbsp; Es gelte&nbsp; $b = 0.1$.
 |type="{}"}
 $R_\text{min} \ =  \ $ { 3.77 3% }
-{Es gelte weiter $b = 0.1$. Welchen Maximalwert besitzt die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $R$?
+{Es gelte weiter&nbsp; $b = 0.1$. Welchen Maximalwert besitzt die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $R$?
 |type="{}"}
 $R_\text{max} \ =  \ $ { 5.03 3% }
-{Wie groß ist der Erwartungswert der Zufallsgröße $R$ für $b = 0.1$?
+{Wie groß ist der Erwartungswert der Zufallsgröße&nbsp; $R$&nbsp; für&nbsp; $b = 0.1$?
 |type="{}"}
 ${\rm E}\big[R\big] \ =  \ $ { 4.4 3% }

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgröße]].
 *Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen#Transformation_von_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transformation von Zufallsgrößen]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.