Aufgaben:Aufgabe 3.8Z: Faltung zweier Rechtecke - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:36:56Z

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	__NOEDITSECTION__		__NOEDITSECTION__
	[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^3. Aperiodische Signale - Impulse^]]		[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^3. Aperiodische Signale - Impulse^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.8Z:_Convolution_of_Two_Rectangles]]

Guenter am 29. April 2021 um 13:15 Uhr

2021-04-29T13:15:36Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. April 2021, 15:15 Uhr
Zeile 52:		Zeile 52:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	[[Datei:P_ID536__Sig_Z_3_8_a_neu.png\|right\|frame\|Zur ~~Verdeutlichung der~~ grafischen Faltung $x(t) \star h(t)$]]		[[Datei:P_ID536__Sig_Z_3_8_a_neu.png\|right\|frame\|Zur grafischen Faltung  $x(t) \star h(t)$;<br>die Abszissen wurden in  $\tau$  umbenannt]]
	'''(1)'''  Allgemein gilt für das Faltungsintegral:		'''(1)'''  Allgemein gilt für das Faltungsintegral:
	:$$y(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( \tau ) \cdot h( {t - \tau } )}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau.$$		:$$y(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( \tau ) \cdot h( {t - \tau } )}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau.$$
	~~''Hinweis:''  Die Abszissen in nebenstehender Grafik wurden zu  $\tau$  umbenannt.~~

	Der Signalwert zum Zeitpunkt  $t = 1 \,\text{ms}$  kann wie folgt berechnet werden:		Der Signalwert zum Zeitpunkt  $t = 1 \,\text{ms}$  kann wie folgt berechnet werden:
Zeile 63:		Zeile 62:


	Das Produkt ist ebenfalls rechteckförmig mit ~~der~~ Höhe  $2 \text{ V} \cdot 300 \; \text{1/s}$  und ~~der~~ Breite  $1 \,\text{ms}$. Daraus ergibt sich für die Fläche:		Das Produkt ist ebenfalls rechteckförmig mit Höhe  $2 \text{ V} \cdot 300 \; \text{1/s}$  und Breite  $1 \,\text{ms}$. Daraus ergibt sich für die Fläche:
	:$$y( {t = 1\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$		:$$y( {t = 1\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
	Das grüne Rechteck verdeutlicht die Berechnung des zweiten Signalwertes. Nun ist das resultierende Rechteck nach der Multiplikation doppelt so breit und man erhält:		Das grüne Rechteck verdeutlicht die Berechnung des zweiten Signalwertes.  Nun ist das resultierende Rechteck nach der Multiplikation doppelt so breit und man erhält:
	:$$y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) = 2\;{\rm{V}} \cdot {\rm{300}}\;{1}/{{\rm{s}}} \cdot 2\;{\rm{ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{={\rm{1.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$		:$$y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) = 2\;{\rm{V}} \cdot {\rm{300}}\;{1}/{{\rm{s}}} \cdot 2\;{\rm{ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{={\rm{1.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$


	'''(2)'''  Wegen der Symmetrie von ${y(t)}$ bezüglich des Zeitpunktes  $t = 2.5\, \text {ms}$  gilt:		'''(2)'''  Wegen der Symmetrie von  ${y(t)}$  bezüglich des Zeitpunktes  $t = 2.5\, \text {ms}$  gilt:
	:$$y( {t = 3\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm{1}}{\rm{.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{,}}$$		:$$y( {t = 3\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm{1}}{\rm{.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{,}}$$
	:$$y( {t = 4\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 1\;{\rm{ms}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$		:$$y( {t = 4\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 1\;{\rm{ms}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$


	[[Datei:P_ID537__Sig_Z_3_8_c.png\|right\|frame\|Faltungsergebnis  $y(t)$]]		[[Datei:P_ID537__Sig_Z_3_8_c.png\|right\|frame\|Gesamtes Faltungsergebnis  $y(t)$]]
	'''(3)'''  In den Teilaufgaben  '''(1)'''  und  '''(2)'''  wurden die Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten berechnet.		'''(3)'''  Richtig sind die Lösungsvorschläge <u>1 und 3</u>:
	*Alle Punkte sind durch Geradenstücke zu verbinden, da die Integration über Rechteckfunktionen wachsender Breite einen linearen Verlauf ergibt.		*In den Teilaufgaben  '''(1)'''  und  '''(2)'''  wurden die Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten berechnet.
	*Das heißt:  Das Ausgangssignal  ${y(t)}$  ist trapezförmig.		*Alle Punkte sind durch Geradenstücke zu verbinden, da die Integration über Rechteckfunktionen wachsender Breite einen linearen Verlauf ergibt.  Das heißt:  Das Ausgangssignal  ${y(t)}$  ist trapezförmig.

	*Das dazugehörige Spektrum ist komplex und lautet:		*Das dazugehörige Spektrum ist komplex und lautet:
	:$$Y(f) = 6 \cdot 10^{ - 3} \;{{\rm{V}}}/{{{\rm{Hz}}}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {3\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2.5\;{\rm{ms}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi }}f} .$$		:$$Y(f) = 6 \cdot 10^{ - 3} \;{{\rm{V}}}/{{{\rm{Hz}}}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {3\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2.5\;{\rm{ms}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi }}f} .$$
	*Hätte der Eingangsimpuls  ${x(t)}$  die Dauer  $T = 2\, \text {ms}$, so würde  ${y(t)}$  einen dreieckförmigen Signalverlauf zwischen  ${t = 0}$  und  $t = 4 \text { ms}$  zeigen.		*Hätte der Eingangsimpuls  ${x(t)}$  die Dauer  $T = 2\, \text {ms}$, so würde  ${y(t)}$  einen dreieckförmigen Signalverlauf zwischen  ${t = 0}$  und  $t = 4 \text { ms}$  zeigen.  Das Maximum  $1.2 \, \text {V}$  ergäbe sich dann nur zum Zeitpunkt  $t = 2 \, \text {ms}$.
	*Das Maximum  $1.2 \, \text {V}$  ergäbe sich dann nur zum Zeitpunkt  $t = 2 \, \text {ms}$.


	~~Richtig sind somit die Lösungsvorschläge <u>1 und 3</u>.~~
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 29. April 2021 um 13:05 Uhr

2021-04-29T13:05:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 29. April 2021, 15:05 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID535__Sig_Z_3_8.png\|right\|frame\|Zur Faltung zweier Rechtecke]]		[[Datei:P_ID535__Sig_Z_3_8.png\|right\|frame\|Zur Faltung zweier Rechtecke]]
	Am Eingang eines kausalen LZI-Systems (also linear und zeitinvariant) mit einer rechteckförmigen Impulsantwort  ${h(t)}$  der Dauer  $2 \,\text{ms}$  liegt ein Rechteckimpuls  ${x(t)}$  der Dauer  $T = 3 \,\text{ms}$  und der Amplitude  $A = 2\,\text{ V}$  an. Die Rechteckfunktionen beginnen jeweils zum Zeitpunkt  $t = 0$.		Am Eingang eines kausalen LZI-Systems  (also linear und zeitinvariant)  mit einer rechteckförmigen Impulsantwort  ${h(t)}$  der Dauer  $2 \,\text{ms}$  liegt ein Rechteckimpuls  ${x(t)}$  der Dauer  $T = 3 \,\text{ms}$  und der Amplitude  $A = 2\,\text{ V}$  an.  Die Rechteckfunktionen beginnen jeweils zum Zeitpunkt  $t = 0$.

	In dieser Aufgabe sollen Sie das Ausgangssignal  ${y(t)}$  mit Hilfe der grafischen Faltung berechnen. Wie man leicht nachprüfen kann, ist das Ausgangssignal  ${y(t)}$		In dieser Aufgabe sollen Sie das Ausgangssignal  ${y(t)}$  mit Hilfe der grafischen Faltung berechnen.  Wie man leicht nachprüfen kann, ist das Ausgangssignal  ${y(t)}$
	*nur im Bereich von  $0$  bis  $5 \, \text{ms}$  von Null verschieden, und		*nur im Bereich von  $0$  bis  $5 \, \text{ms}$  von Null verschieden, und
	*symmetrisch zum Zeitpunkt  $t = 2.5 \, \text{ms}$.		*symmetrisch zum Zeitpunkt  $t = 2.5 \, \text{ms}$.

Guenter am 27. September 2019 um 11:33 Uhr

2019-09-27T11:33:42Z

Guenter am 27. September 2019 um 11:20 Uhr

2019-09-27T11:20:58Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. September 2019, 13:20 Uhr
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	[[Datei:P_ID535__Sig_Z_3_8.png\|right\|frame\|Zur Faltung zweier Rechtecke]]		[[Datei:P_ID535__Sig_Z_3_8.png\|right\|frame\|Zur Faltung zweier Rechtecke]]
	Am Eingang eines kausalen LZI-Systems (also linear und zeitinvariant) mit einer rechteckförmigen Impulsantwort ${h(t)}$ der Dauer $2 \,\text{ms}$ liegt ein Rechteckimpuls ${x(t)}$ der Dauer $T = 3 \,\text{ms}$ und der Amplitude $A = 2\,\text{ V}$ an. Die ~~beiden~~ Rechteckfunktionen beginnen jeweils zum Zeitpunkt $t = 0$.		Am Eingang eines kausalen LZI-Systems (also linear und zeitinvariant) mit einer rechteckförmigen Impulsantwort  ${h(t)}$  der Dauer  $2 \,\text{ms}$  liegt ein Rechteckimpuls  ${x(t)}$  der Dauer  $T = 3 \,\text{ms}$  und der Amplitude  $A = 2\,\text{ V}$  an. Die Rechteckfunktionen beginnen jeweils zum Zeitpunkt  $t = 0$.

			In dieser Aufgabe sollen Sie das Ausgangssignal  ${y(t)}$  mit Hilfe der grafischen Faltung berechnen. Wie man leicht nachprüfen kann, ist das Ausgangssignal  ${y(t)}$
			*nur im Bereich von  $0$  bis  $5 \, \text{ms}$  von Null verschieden, und
			*symmetrisch zum Zeitpunkt  $t = 2.5 \, \text{ms}$.



	~~In dieser Aufgabe sollen Sie das Ausgangssignal ${y(t)}$ mit Hilfe der grafischen Faltung berechnen. Wie man leicht nachprüfen kann, ist das Ausgangssignal ${y(t)}$~~
	*nur im Bereich von $0$ bis $5 \, \text{ms}$ von Null verschieden,
	*symmetrisch zum Zeitpunkt $t = 2.5 \, \text{ms}$.


Zeile 15:		Zeile 18:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation\|Faltungssatz und Faltungsoperation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation\|Faltungssatz und Faltungsoperation]].
	*Sie bezieht sich vorwiegend auf die Seite [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Grafische_Faltung\|Grafische Faltung]]		*Sie bezieht sich vorwiegend auf die Seite  [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Grafische_Faltung\|Grafische Faltung]]
	*Die Thematik dieses Abschnitts wird auch im interaktiven Applet [[Applets:~~Graphische_Faltung~~\|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]] veranschaulicht.		*Die Thematik dieses Abschnitts wird auch im interaktiven Applet  [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung\|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]] veranschaulicht.


Zeile 25:		Zeile 28:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie die Signalwerte zu den Zeitpunkten $t = 1 \,\text{ms}$ und $t = 2 \,\text{ms}$.		{Berechnen Sie die Signalwerte zu den Zeitpunkten  $t = 1 \,\text{ms}$  und  $t = 2 \,\text{ms}$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y(t = 1 \,\text{ms})\ = \ $ { 0.6 3% }  $\text{V}$		$y(t = 1 \,\text{ms})\ = \ $ { 0.6 3% }  $\text{V}$
Zeile 31:		Zeile 34:


	{Bestimmen Sie die Signalwerte für die Zeitpunkte $t = 3 \,\text{ms}$ und $t = 4 \,\text{ms}$ durch Ausnutzung der ~~angegebenen~~ Symmetrieeigenschaften.		{Bestimmen Sie die Signalwerte für die Zeitpunkte  $t = 3 \,\text{ms}$  und  $t = 4 \,\text{ms}$  durch Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y(t = 3 \,\text{ms})\ = \ $ { 1.2 3% }  $\text{V}$		$y(t = 3 \,\text{ms})\ = \ $ { 1.2 3% }  $\text{V}$
Zeile 39:		Zeile 42:
	{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?		{Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Das Ausgangssignal ${y(t)}$ hat einen trapezförmigen Verlauf.		+ Das Ausgangssignal  ${y(t)}$  hat einen trapezförmigen Verlauf.
	- Das Spektrum lautet:   ${Y(f)} = Y_0 \cdot \text{si}^{2}(\pi f T)$.		- Das Spektrum lautet:   ${Y(f)} = Y_0 \cdot \text{si}^{2}(\pi f T)$.
	+ Mit $T = 2 \,\text{ms}$ würde sich eine Dreiecksform ergeben.		+ Mit  $T = 2 \,\text{ms}$  würde sich eine Dreiecksform ergeben.

Guenter am 24. Juli 2018 um 16:01 Uhr

2018-07-24T16:01:04Z

Guenter am 24. Juli 2018 um 15:56 Uhr

2018-07-24T15:56:18Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. Juli 2018, 17:56 Uhr
Zeile 8:		Zeile 8:
	In dieser Aufgabe sollen Sie das Ausgangssignal ${y(t)}$ mit Hilfe der grafischen Faltung berechnen. Wie man leicht nachprüfen kann, ist das Ausgangssignal ${y(t)}$		In dieser Aufgabe sollen Sie das Ausgangssignal ${y(t)}$ mit Hilfe der grafischen Faltung berechnen. Wie man leicht nachprüfen kann, ist das Ausgangssignal ${y(t)}$
	*nur im Bereich von $0$ bis $5 \, \text{ms}$ von Null verschieden,		*nur im Bereich von $0$ bis $5 \, \text{ms}$ von Null verschieden,
	*symmetrisch zum Zeitpunkt $t = 2.5 \text{ms}$.		*symmetrisch zum Zeitpunkt $t = 2.5 \, \text{ms}$.


Zeile 40:		Zeile 40:
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Das Ausgangssignal ${y(t)}$ hat einen trapezförmigen Verlauf.		+ Das Ausgangssignal ${y(t)}$ hat einen trapezförmigen Verlauf.
	- Das Spektrum lautet: ${Y(f)} = Y_0 \cdot \text{si}^{2}(\pi f T)$.		- Das Spektrum lautet:   ${Y(f)} = Y_0 \cdot \text{si}^{2}(\pi f T)$.
	+ Mit $T = 2 \,\text{ms}$ würde sich eine Dreiecksform ergeben.		+ Mit $T = 2 \,\text{ms}$ würde sich eine Dreiecksform ergeben.

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:47Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:03 Uhr
Zeile 18:		Zeile 18:
	*Sie bezieht sich vorwiegend auf die Seite [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Grafische_Faltung\|Grafische Faltung]]		*Sie bezieht sich vorwiegend auf die Seite [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Grafische_Faltung\|Grafische Faltung]]
	*Die Thematik dieses Abschnitts wird auch im interaktiven Applet [[Applets:Graphische_Faltung\|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]] veranschaulicht.		*Die Thematik dieses Abschnitts wird auch im interaktiven Applet [[Applets:Graphische_Faltung\|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]] veranschaulicht.
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter am 18. Januar 2018 um 10:16 Uhr

2018-01-18T10:16:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Januar 2018, 12:16 Uhr
Zeile 49:		Zeile 49:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	[[Datei:P_ID536__Sig_Z_3_8_a_neu.png\|right\|]]		[[Datei:P_ID536__Sig_Z_3_8_a_neu.png\|right\|frame\|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung $x(t) \star h(t)$]]
	'''1.''' Allgemein gilt für das Faltungsintegral:		'''(1)'''  Allgemein gilt für das Faltungsintegral:
	:$$y(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( \tau ) \cdot h( {t - \tau } )}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau.$$		:$$y(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( \tau ) \cdot h( {t - \tau } )}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau.$$
	''Hinweis:'' Die Abszissen in nebenstehender Grafik wurden zu $\tau$ umbenannt.		''Hinweis:'' Die Abszissen in nebenstehender Grafik wurden zu $\tau$ umbenannt.
Zeile 65:		Zeile 65:
	:$$y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) = 2\;{\rm{V}} \cdot {\rm{300}}\;{1}/{{\rm{s}}} \cdot 2\;{\rm{ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{={\rm{1.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$		:$$y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) = 2\;{\rm{V}} \cdot {\rm{300}}\;{1}/{{\rm{s}}} \cdot 2\;{\rm{ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{={\rm{1.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$

	'''2.''' Wegen der Symmetrie von ${y(t)}$ bezüglich des Zeitpunktes $t = 2.5\, \text {ms}$ gilt:
			'''(2)'''  Wegen der Symmetrie von ${y(t)}$ bezüglich des Zeitpunktes $t = 2.5\, \text {ms}$ gilt:
	:$$y( {t = 3\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm{1}}{\rm{.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{,}}$$		:$$y( {t = 3\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm{1}}{\rm{.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{,}}$$
	:$$y( {t = 4\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 1\;{\rm{ms}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$		:$$y( {t = 4\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 1\;{\rm{ms}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$

	[[Datei:P_ID537__Sig_Z_3_8_c.png\|right\|]]
	'''3.''' In den Teilaufgaben (1) und (2) wurden die Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten berechnet. Alle Punkte sind durch Geradenstücke zu verbinden, da die Integration über Rechteckfunktionen wachsender Breite einen linearen Verlauf ergibt. Das heißt: ${y(t)}$ ist trapezförmig.		[[Datei:P_ID537__Sig_Z_3_8_c.png\|right\|frame\|Faltungsergebnis $y(t)$]]
			'''(3)'''  In den Teilaufgaben (1) und (2) wurden die Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten berechnet. Alle Punkte sind durch Geradenstücke zu verbinden, da die Integration über Rechteckfunktionen wachsender Breite einen linearen Verlauf ergibt. Das heißt: Das Ausgangssignal ${y(t)}$ ist trapezförmig.

	Das dazugehörige Spektrum ist komplex und lautet:		Das dazugehörige Spektrum ist komplex und lautet:
Zeile 76:		Zeile 78:
	*Hätte der Eingangsimpuls ${x(t)}$ die Dauer $T = 2\, \text {ms}$, so würde ${y(t)}$ einen dreieckförmigen Signalverlauf zwischen ${t = 0}$ und $t = 4 \, \text {ms}$ zeigen.		*Hätte der Eingangsimpuls ${x(t)}$ die Dauer $T = 2\, \text {ms}$, so würde ${y(t)}$ einen dreieckförmigen Signalverlauf zwischen ${t = 0}$ und $t = 4 \, \text {ms}$ zeigen.
	*Das Maximum $1.2 \, \text {V}$ ergäbe sich dann nur zum Zeitpunkt $t = 2 \, \text {ms}$.		*Das Maximum $1.2 \, \text {V}$ ergäbe sich dann nur zum Zeitpunkt $t = 2 \, \text {ms}$.


	Richtig sind somit die Lösungsvorschläge <u>1 und 3</u>.		Richtig sind somit die Lösungsvorschläge <u>1 und 3</u>.

Guenter am 18. Januar 2018 um 10:03 Uhr

2018-01-18T10:03:17Z

← Nächstältere Version		Version vom 18. Januar 2018, 12:03 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	}}		}}

	[[Datei:P_ID535__Sig_Z_3_8.png\|right\|Faltung zweier Rechtecke]]		[[Datei:P_ID535__Sig_Z_3_8.png\|right\|frame\|Zur Faltung zweier Rechtecke]]
	Am Eingang eines kausalen LZI-Systems (also linear und zeitinvariant) mit einer rechteckförmigen Impulsantwort ${h(t)}$ der Dauer $2 \,\text{ms}$ liegt ein Rechteckimpuls ${x(t)}$ der Dauer $T = 3 \,\text{ms}$ und der Amplitude $A = 2\,\text{ V}$ an. Die beiden Rechteckfunktionen beginnen jeweils zum Zeitpunkt $t = 0$.		Am Eingang eines kausalen LZI-Systems (also linear und zeitinvariant) mit einer rechteckförmigen Impulsantwort ${h(t)}$ der Dauer $2 \,\text{ms}$ liegt ein Rechteckimpuls ${x(t)}$ der Dauer $T = 3 \,\text{ms}$ und der Amplitude $A = 2\,\text{ V}$ an. Die beiden Rechteckfunktionen beginnen jeweils zum Zeitpunkt $t = 0$.

	In dieser Aufgabe sollen Sie das Ausgangssignal ${y(t)}$ mit Hilfe der grafischen Faltung berechnen. Wie man leicht nachprüfen kann, ist das Ausgangssignal ${y(t)}$		In dieser Aufgabe sollen Sie das Ausgangssignal ${y(t)}$ mit Hilfe der grafischen Faltung berechnen. Wie man leicht nachprüfen kann, ist das Ausgangssignal ${y(t)}$
	*nur im Bereich von $0$ bis $5 \text{ms}$ von Null verschieden,		*nur im Bereich von $0$ bis $5 \, \text{ms}$ von Null verschieden,
	*symmetrisch zum Zeitpunkt $t = 2.5 \text{ms}$.		*symmetrisch zum Zeitpunkt $t = 2.5 \text{ms}$.





	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation\|Faltungssatz und Faltungsoperation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation\|Faltungssatz und Faltungsoperation]].
	*Sie bezieht sich vorwiegend auf die Seite [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Grafische_Faltung\|Grafische Faltung]]		*Sie bezieht sich vorwiegend auf die Seite [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Grafische_Faltung\|Grafische Faltung]]
	*Die Thematik dieses Abschnitts wird auch im ~~Interaktionsmodul~~ [[Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]] veranschaulicht.		*Die Thematik dieses Abschnitts wird auch im interaktiven Applet [[Applets:Graphische_Faltung\|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]] veranschaulicht.
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.		*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Zeile 23:		Zeile 27:
	{Berechnen Sie die Signalwerte zu den Zeitpunkten $t = 1 \,\text{ms}$ und $t = 2 \,\text{ms}$.		{Berechnen Sie die Signalwerte zu den Zeitpunkten $t = 1 \,\text{ms}$ und $t = 2 \,\text{ms}$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y(t = 1 \,\text{ms})$ ~~ =~~ { 0.6 3% }  $\text{V}$		$y(t = 1 \,\text{ms})\ = \ $ { 0.6 3% }  $\text{V}$
	$y(t = 2 \,\text{ms})$ ~~ =~~ { 1.2 3% }  $\text{V}$		$y(t = 2 \,\text{ms})\ = \ ${ 1.2 3% }  $\text{V}$


	{Bestimmen Sie die Signalwerte für die Zeitpunkte $t = 3 \,\text{ms}$ und $t = 4 \,\text{ms}$ durch Ausnutzung der angegebenen Symmetrieeigenschaften.		{Bestimmen Sie die Signalwerte für die Zeitpunkte $t = 3 \,\text{ms}$ und $t = 4 \,\text{ms}$ durch Ausnutzung der angegebenen Symmetrieeigenschaften.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y(t = 3 \,\text{ms})$ ~~ =~~ { 1.2 3% }  $\text{V}$		$y(t = 3 \,\text{ms})\ = \ $ { 1.2 3% }  $\text{V}$
	$y(t = 4 \,\text{ms})$ ~~ =~~ { 0.6 3% }  $\text{V}$		$y(t = 4 \,\text{ms})\ = \ $ { 0.6 3% }  $\text{V}$

← Nächstältere Version		Version vom 27. September 2019, 13:33 Uhr
Zeile 55:		Zeile 55:
	'''(1)'''  Allgemein gilt für das Faltungsintegral:		'''(1)'''  Allgemein gilt für das Faltungsintegral:
	:$$y(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( \tau ) \cdot h( {t - \tau } )}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau.$$		:$$y(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( \tau ) \cdot h( {t - \tau } )}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau.$$
	''Hinweis:'' Die Abszissen in nebenstehender Grafik wurden zu $\tau$ umbenannt.		''Hinweis:''  Die Abszissen in nebenstehender Grafik wurden zu  $\tau$  umbenannt.

	Der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 1 \,\text{ms}$ kann wie folgt berechnet werden:		Der Signalwert zum Zeitpunkt  $t = 1 \,\text{ms}$  kann wie folgt berechnet werden:
	*Spiegelung der Impulsantwort ${h(\tau)}$,		*Spiegelung der Impulsantwort  ${h(\tau)}$,
	*Verschiebung um $t = 1 \text{ ms}$ nach rechts (violette Kurve in der Skizze),		*Verschiebung um  $t = 1 \text{ ms}$  nach rechts (violette Kurve in der Skizze),
	*Multiplikation der beiden Funktionen sowie Integration.		*Multiplikation der beiden Funktionen sowie Integration.


	Das Produkt ist ebenfalls rechteckförmig mit der Höhe $2 \text{ V} \cdot 300 \; \text{1/s}$ und der Breite $1 \,\text{ms}$. Daraus ergibt sich für die Fläche:		Das Produkt ist ebenfalls rechteckförmig mit der Höhe  $2 \text{ V} \cdot 300 \; \text{1/s}$  und der Breite  $1 \,\text{ms}$. Daraus ergibt sich für die Fläche:
	:$$y( {t = 1\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$		:$$y( {t = 1\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
	Das grüne Rechteck verdeutlicht die Berechnung des zweiten Signalwertes. Nun ist das resultierende Rechteck nach der Multiplikation doppelt so breit und man erhält:		Das grüne Rechteck verdeutlicht die Berechnung des zweiten Signalwertes. Nun ist das resultierende Rechteck nach der Multiplikation doppelt so breit und man erhält:
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	'''(2)'''  Wegen der Symmetrie von ${y(t)}$ bezüglich des Zeitpunktes $t = 2.5\, \text {ms}$ gilt:		'''(2)'''  Wegen der Symmetrie von ${y(t)}$ bezüglich des Zeitpunktes  $t = 2.5\, \text {ms}$  gilt:
	:$$y( {t = 3\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm{1}}{\rm{.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{,}}$$		:$$y( {t = 3\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm{1}}{\rm{.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{,}}$$
	:$$y( {t = 4\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 1\;{\rm{ms}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$		:$$y( {t = 4\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 1\;{\rm{ms}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$


	[[Datei:P_ID537__Sig_Z_3_8_c.png\|right\|frame\|Faltungsergebnis $y(t)$]]		[[Datei:P_ID537__Sig_Z_3_8_c.png\|right\|frame\|Faltungsergebnis  $y(t)$]]
	'''(3)'''  In den Teilaufgaben (1) und (2) wurden die Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten berechnet.		'''(3)'''  In den Teilaufgaben  '''(1)'''  und  '''(2)'''  wurden die Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten berechnet.
	*Alle Punkte sind durch Geradenstücke zu verbinden, da die Integration über Rechteckfunktionen wachsender Breite einen linearen Verlauf ergibt.		*Alle Punkte sind durch Geradenstücke zu verbinden, da die Integration über Rechteckfunktionen wachsender Breite einen linearen Verlauf ergibt.
	*Das heißt: Das Ausgangssignal ${y(t)}$ ist trapezförmig.		*Das heißt:  Das Ausgangssignal  ${y(t)}$  ist trapezförmig.

			*Das dazugehörige Spektrum ist komplex und lautet:
	Das dazugehörige Spektrum ist komplex und lautet:
	:$$Y(f) = 6 \cdot 10^{ - 3} \;{{\rm{V}}}/{{{\rm{Hz}}}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {3\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2.5\;{\rm{ms}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi }}f} .$$		:$$Y(f) = 6 \cdot 10^{ - 3} \;{{\rm{V}}}/{{{\rm{Hz}}}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {3\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2.5\;{\rm{ms}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi }}f} .$$
	*Hätte der Eingangsimpuls ${x(t)}$ die Dauer $T = 2\, \text {ms}$, so würde ${y(t)}$ einen dreieckförmigen Signalverlauf zwischen ${t = 0}$ und $t = 4 \text { ms}$ zeigen.		*Hätte der Eingangsimpuls  ${x(t)}$  die Dauer  $T = 2\, \text {ms}$, so würde  ${y(t)}$  einen dreieckförmigen Signalverlauf zwischen  ${t = 0}$  und  $t = 4 \text { ms}$  zeigen.
	*Das Maximum $1.2 \, \text {V}$ ergäbe sich dann nur zum Zeitpunkt $t = 2 \, \text {ms}$.		*Das Maximum  $1.2 \, \text {V}$  ergäbe sich dann nur zum Zeitpunkt  $t = 2 \, \text {ms}$.

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	Der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 1 \,\text{ms}$ kann wie folgt berechnet werden:		Der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 1 \,\text{ms}$ kann wie folgt berechnet werden:
	*Spiegelung der Impulsantwort ${h(\tau)}$,		*Spiegelung der Impulsantwort ${h(\tau)}$,
	*Verschiebung um $t = 1 \text{ms}$ nach rechts (violette Kurve in der Skizze),		*Verschiebung um $t = 1 \text{ ms}$ nach rechts (violette Kurve in der Skizze),
	*Multiplikation der beiden Funktionen sowie Integration.		*Multiplikation der beiden Funktionen sowie Integration.


	Das Produkt ist ebenfalls rechteckförmig mit der Höhe $2 \text{V} \cdot 300 \; \text{1/s}$ und der Breite $1 \,\text{ms}$. Daraus ergibt sich für die Fläche:		Das Produkt ist ebenfalls rechteckförmig mit der Höhe $2 \text{ V} \cdot 300 \; \text{1/s}$ und der Breite $1 \,\text{ms}$. Daraus ergibt sich für die Fläche:
	:$$y( {t = 1\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$		:$$y( {t = 1\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
	Das grüne Rechteck verdeutlicht die Berechnung des zweiten Signalwertes. Nun ist das resultierende Rechteck nach der Multiplikation doppelt so breit und man erhält:		Das grüne Rechteck verdeutlicht die Berechnung des zweiten Signalwertes. Nun ist das resultierende Rechteck nach der Multiplikation doppelt so breit und man erhält:
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	[[Datei:P_ID537__Sig_Z_3_8_c.png\|right\|frame\|Faltungsergebnis $y(t)$]]		[[Datei:P_ID537__Sig_Z_3_8_c.png\|right\|frame\|Faltungsergebnis $y(t)$]]
	'''(3)'''  In den Teilaufgaben (1) und (2) wurden die Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten berechnet. Alle Punkte sind durch Geradenstücke zu verbinden, da die Integration über Rechteckfunktionen wachsender Breite einen linearen Verlauf ergibt. Das heißt: Das Ausgangssignal ${y(t)}$ ist trapezförmig.		'''(3)'''  In den Teilaufgaben (1) und (2) wurden die Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten berechnet.
			*Alle Punkte sind durch Geradenstücke zu verbinden, da die Integration über Rechteckfunktionen wachsender Breite einen linearen Verlauf ergibt.
			*Das heißt: Das Ausgangssignal ${y(t)}$ ist trapezförmig.


	Das dazugehörige Spektrum ist komplex und lautet:		Das dazugehörige Spektrum ist komplex und lautet:
	:$$Y(f) = 6 \cdot 10^{ - 3} \;{{\rm{V}}}/{{{\rm{Hz}}}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {3\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2.5\;{\rm{ms}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi }}f} .$$		:$$Y(f) = 6 \cdot 10^{ - 3} \;{{\rm{V}}}/{{{\rm{Hz}}}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {3\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2.5\;{\rm{ms}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi }}f} .$$
	*Hätte der Eingangsimpuls ${x(t)}$ die Dauer $T = 2\, \text {ms}$, so würde ${y(t)}$ einen dreieckförmigen Signalverlauf zwischen ${t = 0}$ und $t = 4 \, \text {ms}$ zeigen.		*Hätte der Eingangsimpuls ${x(t)}$ die Dauer $T = 2\, \text {ms}$, so würde ${y(t)}$ einen dreieckförmigen Signalverlauf zwischen ${t = 0}$ und $t = 4 \text { ms}$ zeigen.
	*Das Maximum $1.2 \, \text {V}$ ergäbe sich dann nur zum Zeitpunkt $t = 2 \, \text {ms}$.		*Das Maximum $1.2 \, \text {V}$ ergäbe sich dann nur zum Zeitpunkt $t = 2 \, \text {ms}$.