Aufgaben:Aufgabe 3.8Z: Faltung zweier Rechtecke - Versionsgeschichte

Guenter am 29. April 2021 um 13:15 Uhr

2021-04-29T13:15:36Z

Guenter am 29. April 2021 um 13:05 Uhr

2021-04-29T13:05:40Z

Guenter am 27. September 2019 um 11:33 Uhr

2019-09-27T11:33:42Z

Guenter am 27. September 2019 um 11:20 Uhr

2019-09-27T11:20:58Z

Guenter am 24. Juli 2018 um 16:01 Uhr

2018-07-24T16:01:04Z

Guenter am 24. Juli 2018 um 15:56 Uhr

2018-07-24T15:56:18Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:47Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 18. Januar 2018 um 10:16 Uhr

2018-01-18T10:16:49Z

Guenter am 18. Januar 2018 um 10:03 Uhr

2018-01-18T10:03:17Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.8Z Faltung zweier Rechtecke nach Aufgaben:Aufgabe 3.8Z: Faltung zweier Rechtecke

2018-01-01T17:24:03Z

Guenter verschob die Seite 3.8Z Faltung zweier Rechtecke nach Aufgabe 3.8Z: Faltung zweier Rechtecke

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-[[Datei:P_ID536__Sig_Z_3_8_a_neu.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung $x(t) \star h(t)$]]
+[[Datei:P_ID536__Sig_Z_3_8_a_neu.png|right|frame|Zur grafischen Faltung&nbsp; $x(t) \star h(t)$;<br>die Abszissen  wurden in&nbsp; $\tau$&nbsp; umbenannt]]
 '''(1)'''&nbsp;  Allgemein gilt für das Faltungsintegral:
 :$$y(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( \tau  ) \cdot h( {t - \tau } )}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau.$$
 Der Signalwert zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 1 \,\text{ms}$&nbsp; kann wie folgt berechnet werden:
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-Das Produkt ist ebenfalls rechteckförmig mit der Höhe&nbsp; $2 \text{ V} \cdot 300 \; \text{1/s}$&nbsp; und der Breite&nbsp; $1 \,\text{ms}$. Daraus ergibt sich für die Fläche:
+Das Produkt ist ebenfalls rechteckförmig mit Höhe&nbsp; $2 \text{ V} \cdot 300 \; \text{1/s}$&nbsp; und Breite&nbsp; $1 \,\text{ms}$. Daraus ergibt sich für die Fläche:
 :$$y( {t = 1\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
-Das grüne Rechteck verdeutlicht die Berechnung des zweiten Signalwertes. Nun ist das resultierende Rechteck nach der Multiplikation doppelt so breit und man erhält:
+Das grüne Rechteck verdeutlicht die Berechnung des zweiten Signalwertes.&nbsp; Nun ist das resultierende Rechteck nach der Multiplikation doppelt so breit und man erhält:
 :$$y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) = 2\;{\rm{V}} \cdot {\rm{300}}\;{1}/{{\rm{s}}} \cdot 2\;{\rm{ms}}\hspace{0.15 cm}\underline{={\rm{1.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
-'''(2)'''&nbsp; Wegen der Symmetrie von ${y(t)}$ bezüglich des Zeitpunktes&nbsp; $t = 2.5\, \text {ms}$&nbsp; gilt:
+'''(2)'''&nbsp; Wegen der Symmetrie von&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; bezüglich des Zeitpunktes&nbsp; $t = 2.5\, \text {ms}$&nbsp; gilt:
 :$$y( {t = 3\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm{1}}{\rm{.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{,}}$$
 :$$y( {t = 4\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 1\;{\rm{ms}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
-[[Datei:P_ID537__Sig_Z_3_8_c.png|right|frame|Faltungsergebnis&nbsp; $y(t)$]]
+[[Datei:P_ID537__Sig_Z_3_8_c.png|right|frame|Gesamtes Faltungsergebnis&nbsp; $y(t)$]]
-'''(3)'''&nbsp;  In den Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(2)'''&nbsp; wurden die Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten berechnet.
+'''(3)'''&nbsp;  Richtig sind die Lösungsvorschläge <u>1 und 3</u>:
-*Alle Punkte sind durch Geradenstücke zu verbinden, da die Integration über Rechteckfunktionen wachsender Breite einen linearen Verlauf ergibt.
+*In den Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(2)'''&nbsp; wurden die Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten berechnet.
-*Das heißt:&nbsp; Das Ausgangssignal&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; ist trapezförmig.
+*Alle Punkte sind durch Geradenstücke zu verbinden, da die Integration über Rechteckfunktionen wachsender Breite einen linearen Verlauf ergibt.&nbsp; Das heißt:&nbsp; Das Ausgangssignal&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; ist trapezförmig.
 *Das dazugehörige Spektrum ist komplex und lautet:
 :$$Y(f) = 6 \cdot 10^{ - 3} \;{{\rm{V}}}/{{{\rm{Hz}}}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {3\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2.5\;{\rm{ms}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi }}f} .$$
-*Hätte der Eingangsimpuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; die Dauer&nbsp; $T = 2\, \text {ms}$, so würde&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; einen dreieckförmigen Signalverlauf zwischen&nbsp; ${t = 0}$&nbsp; und&nbsp; $t = 4  \text { ms}$&nbsp; zeigen.
+*Hätte der Eingangsimpuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; die Dauer&nbsp; $T = 2\, \text {ms}$, so würde&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; einen dreieckförmigen Signalverlauf zwischen&nbsp; ${t = 0}$&nbsp; und&nbsp; $t = 4  \text { ms}$&nbsp; zeigen.&nbsp; Das Maximum&nbsp; $1.2 \, \text {V}$&nbsp; ergäbe sich dann nur zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 2 \, \text {ms}$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID535__Sig_Z_3_8.png|right|frame|Zur Faltung zweier Rechtecke]]
-Am Eingang eines kausalen LZI-Systems (also linear und zeitinvariant) mit einer rechteckförmigen Impulsantwort&nbsp; ${h(t)}$&nbsp; der Dauer&nbsp; $2 \,\text{ms}$&nbsp; liegt ein Rechteckimpuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; der Dauer&nbsp; $T = 3 \,\text{ms}$&nbsp; und der Amplitude&nbsp; $A = 2\,\text{ V}$&nbsp; an. Die Rechteckfunktionen beginnen jeweils zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$.
+Am Eingang eines kausalen LZI-Systems&nbsp; (also linear und zeitinvariant)&nbsp; mit einer rechteckförmigen Impulsantwort&nbsp; ${h(t)}$&nbsp; der Dauer&nbsp; $2 \,\text{ms}$&nbsp; liegt ein Rechteckimpuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; der Dauer&nbsp; $T = 3 \,\text{ms}$&nbsp; und der Amplitude&nbsp; $A = 2\,\text{ V}$&nbsp; an.&nbsp; Die Rechteckfunktionen beginnen jeweils zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$.
-In dieser Aufgabe sollen Sie das Ausgangssignal&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; mit Hilfe der grafischen Faltung berechnen. Wie man leicht nachprüfen kann, ist das Ausgangssignal&nbsp; ${y(t)}$
+In dieser Aufgabe sollen Sie das Ausgangssignal&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; mit Hilfe der grafischen Faltung berechnen.&nbsp; Wie man leicht nachprüfen kann, ist das Ausgangssignal&nbsp; ${y(t)}$
 *nur im Bereich von&nbsp; $0$&nbsp; bis&nbsp; $5 \, \text{ms}$&nbsp; von Null verschieden, und
 *symmetrisch zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 2.5 \, \text{ms}$.

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 '''(1)'''&nbsp;  Allgemein gilt für das Faltungsintegral:
 :$$y(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x( \tau  ) \cdot h( {t - \tau } )}\hspace{0.1cm} {\rm d}\tau.$$
-''Hinweis:'' Die Abszissen in nebenstehender Grafik wurden zu $\tau$ umbenannt.
+''Hinweis:''&nbsp; Die Abszissen in nebenstehender Grafik wurden zu&nbsp; $\tau$&nbsp; umbenannt.
-Der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 1 \,\text{ms}$ kann wie folgt berechnet werden:
+Der Signalwert zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 1 \,\text{ms}$&nbsp; kann wie folgt berechnet werden:
-*Spiegelung der Impulsantwort ${h(\tau)}$,
+*Spiegelung der Impulsantwort&nbsp; ${h(\tau)}$,
-*Verschiebung um $t = 1 \text{ ms}$ nach rechts (violette Kurve in der Skizze),
+*Verschiebung um&nbsp; $t = 1 \text{ ms}$&nbsp; nach rechts (violette Kurve in der Skizze),
 *Multiplikation der beiden Funktionen sowie Integration.
-Das Produkt ist ebenfalls rechteckförmig mit der Höhe $2 \text{ V} \cdot 300 \; \text{1/s}$ und der Breite $1 \,\text{ms}$. Daraus ergibt sich für die Fläche:
+Das Produkt ist ebenfalls rechteckförmig mit der Höhe&nbsp; $2 \text{ V} \cdot 300 \; \text{1/s}$&nbsp; und der Breite&nbsp; $1 \,\text{ms}$. Daraus ergibt sich für die Fläche:
 :$$y( {t = 1\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
 Das grüne Rechteck verdeutlicht die Berechnung des zweiten Signalwertes. Nun ist das resultierende Rechteck nach der Multiplikation doppelt so breit und man erhält:
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-'''(2)'''&nbsp; Wegen der Symmetrie von ${y(t)}$ bezüglich des Zeitpunktes $t = 2.5\, \text {ms}$ gilt:
+'''(2)'''&nbsp; Wegen der Symmetrie von ${y(t)}$ bezüglich des Zeitpunktes&nbsp; $t = 2.5\, \text {ms}$&nbsp; gilt:
 :$$y( {t = 3\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 2\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm{1}}{\rm{.2}}\;{\rm{V}}}{\rm{,}}$$
 :$$y( {t = 4\;{\rm{ms}}} ) = y( {t = 1\;{\rm{ms}}} )\hspace{0.15 cm}\underline{ = 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
-[[Datei:P_ID537__Sig_Z_3_8_c.png|right|frame|Faltungsergebnis $y(t)$]]
+[[Datei:P_ID537__Sig_Z_3_8_c.png|right|frame|Faltungsergebnis&nbsp; $y(t)$]]
-'''(3)'''&nbsp;  In den Teilaufgaben (1) und (2) wurden die Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten berechnet.
+'''(3)'''&nbsp;  In den Teilaufgaben&nbsp; '''(1)'''&nbsp; und&nbsp; '''(2)'''&nbsp; wurden die Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten berechnet.
 *Alle Punkte sind durch Geradenstücke zu verbinden, da die Integration über Rechteckfunktionen wachsender Breite einen linearen Verlauf ergibt.
-*Das heißt: Das Ausgangssignal ${y(t)}$ ist trapezförmig.
+*Das heißt:&nbsp; Das Ausgangssignal&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; ist trapezförmig.
+*Das dazugehörige Spektrum ist komplex und lautet:
 :$$Y(f) = 6 \cdot 10^{ - 3} \;{{\rm{V}}}/{{{\rm{Hz}}}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {3\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2.5\;{\rm{ms}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi }}f} .$$
-*Hätte der Eingangsimpuls ${x(t)}$ die Dauer $T = 2\, \text {ms}$, so würde ${y(t)}$ einen dreieckförmigen Signalverlauf zwischen ${t = 0}$ und $t = 4  \text { ms}$ zeigen.
+*Hätte der Eingangsimpuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; die Dauer&nbsp; $T = 2\, \text {ms}$, so würde&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; einen dreieckförmigen Signalverlauf zwischen&nbsp; ${t = 0}$&nbsp; und&nbsp; $t = 4  \text { ms}$&nbsp; zeigen.
-*Das Maximum $1.2 \, \text {V}$ ergäbe sich dann nur zum Zeitpunkt $t = 2 \, \text {ms}$.
+*Das Maximum&nbsp; $1.2 \, \text {V}$&nbsp; ergäbe sich dann nur zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 2 \, \text {ms}$.

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 [[Datei:P_ID535__Sig_Z_3_8.png|right|frame|Zur Faltung zweier Rechtecke]]
-Am Eingang eines kausalen LZI-Systems (also linear und zeitinvariant) mit einer rechteckförmigen Impulsantwort ${h(t)}$ der Dauer $2 \,\text{ms}$ liegt ein Rechteckimpuls ${x(t)}$ der Dauer $T = 3 \,\text{ms}$ und der Amplitude $A = 2\,\text{ V}$ an. Die beiden Rechteckfunktionen beginnen jeweils zum Zeitpunkt $t = 0$.
+Am Eingang eines kausalen LZI-Systems (also linear und zeitinvariant) mit einer rechteckförmigen Impulsantwort&nbsp; ${h(t)}$&nbsp; der Dauer&nbsp; $2 \,\text{ms}$&nbsp; liegt ein Rechteckimpuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; der Dauer&nbsp; $T = 3 \,\text{ms}$&nbsp; und der Amplitude&nbsp; $A = 2\,\text{ V}$&nbsp; an. Die Rechteckfunktionen beginnen jeweils zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz und Faltungsoperation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz und Faltungsoperation]].
-*Sie bezieht sich vorwiegend auf die Seite [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Grafische_Faltung|Grafische Faltung]]
+*Sie bezieht sich vorwiegend auf die Seite&nbsp; [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Grafische_Faltung|Grafische Faltung]]
-*Die Thematik dieses Abschnitts wird auch im interaktiven Applet [[Applets:Graphische_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]] veranschaulicht.
+*Die Thematik dieses Abschnitts wird auch im interaktiven Applet&nbsp; [[Applets:Zur_Verdeutlichung_der_grafischen_Faltung|Zur Verdeutlichung der grafischen Faltung]] veranschaulicht.
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Signalwerte zu den Zeitpunkten $t = 1 \,\text{ms}$ und $t = 2 \,\text{ms}$.
+{Berechnen Sie die Signalwerte zu den Zeitpunkten&nbsp; $t = 1 \,\text{ms}$&nbsp; und&nbsp; $t = 2 \,\text{ms}$.
 |type="{}"}
 $y(t = 1 \,\text{ms})\ = \ $ { 0.6 3% } &nbsp;$\text{V}$
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-{Bestimmen Sie die Signalwerte für die Zeitpunkte $t = 3 \,\text{ms}$ und $t = 4 \,\text{ms}$ durch Ausnutzung der angegebenen Symmetrieeigenschaften.
+{Bestimmen Sie die Signalwerte für die Zeitpunkte&nbsp; $t = 3 \,\text{ms}$&nbsp; und&nbsp; $t = 4 \,\text{ms}$&nbsp; durch Ausnutzung der Symmetrieeigenschaften.
 |type="{}"}
 $y(t = 3 \,\text{ms})\ = \ $ { 1.2 3% } &nbsp;$\text{V}$
@@ Zeile 39: / Zeile 42: @@
 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Das Ausgangssignal ${y(t)}$ hat einen trapezförmigen Verlauf.
++ Das Ausgangssignal&nbsp; ${y(t)}$&nbsp; hat einen trapezförmigen Verlauf.
 - Das Spektrum lautet: &nbsp; ${Y(f)} = Y_0 \cdot \text{si}^{2}(\pi f T)$.
-+ Mit $T = 2 \,\text{ms}$ würde sich eine Dreiecksform ergeben.
++ Mit&nbsp; $T = 2 \,\text{ms}$&nbsp; würde sich eine Dreiecksform ergeben.

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 Der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 1 \,\text{ms}$ kann wie folgt berechnet werden:
 *Spiegelung der Impulsantwort ${h(\tau)}$,
-*Verschiebung um $t = 1 \text{ms}$ nach rechts (violette Kurve in der Skizze),
+*Verschiebung um $t = 1 \text{ ms}$ nach rechts (violette Kurve in der Skizze),
 *Multiplikation der beiden Funktionen sowie Integration.
-Das Produkt ist ebenfalls rechteckförmig mit der Höhe $2 \text{V} \cdot 300 \; \text{1/s}$ und der Breite $1 \,\text{ms}$. Daraus ergibt sich für die Fläche:
+Das Produkt ist ebenfalls rechteckförmig mit der Höhe $2 \text{ V} \cdot 300 \; \text{1/s}$ und der Breite $1 \,\text{ms}$. Daraus ergibt sich für die Fläche:
 :$$y( {t = 1\;{\rm{ms}}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 0.6\;{\rm{V}}}{\rm{.}}$$
 Das grüne Rechteck verdeutlicht die Berechnung des zweiten Signalwertes. Nun ist das resultierende Rechteck nach der Multiplikation doppelt so breit und man erhält:
@@ Zeile 72: / Zeile 72: @@
 [[Datei:P_ID537__Sig_Z_3_8_c.png|right|frame|Faltungsergebnis $y(t)$]]
-'''(3)'''&nbsp;  In den Teilaufgaben (1) und (2) wurden die Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten berechnet. Alle Punkte sind durch Geradenstücke zu verbinden, da die Integration über Rechteckfunktionen wachsender Breite einen linearen Verlauf ergibt. Das heißt: Das Ausgangssignal ${y(t)}$ ist trapezförmig.
+'''(3)'''&nbsp;  In den Teilaufgaben (1) und (2) wurden die Signalwerte zu diskreten Zeitpunkten berechnet.
 Das dazugehörige Spektrum ist komplex und lautet:
 :$$Y(f) = 6 \cdot 10^{ - 3} \;{{\rm{V}}}/{{{\rm{Hz}}}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {2\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f} ) \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {3\;{\rm{ms}}\cdot{\rm{\pi }}f}) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} 2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}2.5\;{\rm{ms}}\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm} \pi }}f} .$$
-*Hätte der Eingangsimpuls ${x(t)}$ die Dauer $T = 2\, \text {ms}$, so würde ${y(t)}$ einen dreieckförmigen Signalverlauf zwischen ${t = 0}$ und $t = 4 \, \text {ms}$ zeigen.
+*Hätte der Eingangsimpuls ${x(t)}$ die Dauer $T = 2\, \text {ms}$, so würde ${y(t)}$ einen dreieckförmigen Signalverlauf zwischen ${t = 0}$ und $t = 4  \text { ms}$ zeigen.
 *Das Maximum $1.2 \, \text {V}$ ergäbe sich dann nur zum Zeitpunkt $t = 2 \, \text {ms}$.

@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
 In dieser Aufgabe sollen Sie das Ausgangssignal ${y(t)}$ mit Hilfe der grafischen Faltung berechnen. Wie man leicht nachprüfen kann, ist das Ausgangssignal ${y(t)}$
 *nur im Bereich von $0$ bis $5 \, \text{ms}$ von Null verschieden,
-*symmetrisch zum Zeitpunkt $t = 2.5 \text{ms}$.
+*symmetrisch zum Zeitpunkt $t = 2.5 \, \text{ms}$.
@@ Zeile 40: / Zeile 40: @@
 |type="[]"}
 + Das Ausgangssignal ${y(t)}$ hat einen trapezförmigen Verlauf.
-- Das Spektrum lautet: ${Y(f)} = Y_0 \cdot \text{si}^{2}(\pi f T)$.
+- Das Spektrum lautet: &nbsp; ${Y(f)} = Y_0 \cdot \text{si}^{2}(\pi f T)$.
 + Mit $T = 2 \,\text{ms}$ würde sich eine Dreiecksform ergeben.

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(kein Unterschied)