Aufgaben:Aufgabe 3.8: Verstärkung und Begrenzung - Versionsgeschichte

Guenter am 2. Februar 2022 um 13:47 Uhr

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Guenter am 2. Februar 2022 um 13:30 Uhr

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Guenter am 2. Februar 2022 um 13:24 Uhr

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Guenter am 22. November 2019 um 14:42 Uhr

2019-11-22T14:42:20Z

Guenter am 22. November 2019 um 14:32 Uhr

2019-11-22T14:32:58Z

Guenter am 22. November 2019 um 14:30 Uhr

2019-11-22T14:30:55Z

Guenter am 10. August 2018 um 10:41 Uhr

2018-08-10T10:41:44Z

Guenter am 10. August 2018 um 10:23 Uhr

2018-08-10T10:23:46Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:47Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:37:12Z

Guenter verschob die Seite 3.8 Verstärkung und Begrenzung nach Aufgabe 3.8: Verstärkung und Begrenzung

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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgröße]].
-* Verwenden Sie zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse das HTML5/JavaScript&ndash;Applet&nbsp; [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen ]].
+* Verwenden Sie zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse das HTML5/JavaScript&ndash; Applet&nbsp; [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen ]].
 *Gegeben ist das folgende bestimmte Integral:
 :$$\int_{0}^{\infty}\it x^n\cdot\rm e^{-\it a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}x}\, d{\it x} =\frac{\it n{\rm !}}{\it a^{n}}.$$
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 :$$\it F=\rm 2\cdot \it A\int_{\rm 0}^{\infty}\hspace{-0.15cm}\rm e^{\rm -2\it x}\, \rm d \it x=\frac{\rm 2\cdot \it A}{\rm -2}\cdot \rm e^{\rm -2\it x}\Big|_{\rm 0}^{\infty}=\it A.$$
-*Da diese Fl&auml;che definitionsgem&auml;&szlig; gleich&nbsp; $F = 1$&nbsp; sein muss, gilt&nbsp; $\underline{A = 1}$.
+*Da diese Fl&auml;che definitionsgem&auml;&szlig; gleich&nbsp; $F = 1$&nbsp; sein muss,&nbsp; gilt&nbsp; $\underline{A = 1}$.
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 [[Datei:P_ID131__Sto_A_3_8_e.png|right|frame|WDF nach Verstärkung und Begrenzung]]
-'''(3)'''&nbsp; Das Zentralmoment vierter Ordnung ist&nbsp; $\mu_4 = m_4 = 4!/2^4 = 1.5$.
+'''(3)'''&nbsp; Das Zentralmoment vierter Ordnung ist&nbsp; $\mu_4 = m_4 = 4!/2^4 = 1.5$.&nbsp; Daraus folgt für die Kurtosis:
 :$$K_{x}=\frac{ \mu_{\rm 4}}{ \sigma_{\it x}^{4}}=\frac{1.5}{0.25}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 6}.$$
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 '''(6)'''&nbsp; Der Signalbereich&nbsp; $0 \le x \le 0.5$&nbsp; wird am Ausgang auf den Bereich&nbsp; $0 \le y \le 1$&nbsp; linear abgebildet.
-*Die Ableitung der Kennlinie ist hier konstant gleich&nbsp; $2$&nbsp; (Verst&auml;rkung). Daraus erh&auml;lt man:
+*Die Ableitung der Kennlinie ist hier konstant gleich&nbsp; $2$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Verst&auml;rkung. Daraus erh&auml;lt man:
 :$$f_y(y)=\frac{f_x(x)}{|g'(x)|}\Bigg|_{x=h(y)}=\frac{\rm e^{-\rm 2\it x}}{\rm 2}\Bigg|_{\it x={\it y}/{\rm 2}}=0.5 \cdot {\rm e^{\it -y}} .$$
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 :$$m_y=\frac{1}{\rm 2\rm e} \cdot 1 +\int_{\rm 0}^{\rm 1}\frac{\it y}{\rm 2}\cdot \rm e^{\it -y}\, \rm d \it y=\frac{\rm 1}{\rm 2\rm e}{\rm +}\frac{\rm 1}{\rm 2}-\frac{\rm 1}{\rm e}=\frac{\rm 1}{\rm 2}-\frac{\rm 1}{\rm 2 e}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.316}.$$
-*Der erste Term stammt vom Dirac bei&nbsp; $y= 1$, der zweite vom kontinuierlichen WDF&ndash;Anteil.
+*Der erste Term stammt vom Dirac bei&nbsp; $y= 1$,&nbsp; der zweite vom kontinuierlichen WDF&ndash;Anteil.
 {{ML-Fuß}}

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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgröße]].
+* Verwenden Sie zur Kontrolle Ihrer Ergebnisse das HTML5/JavaScript&ndash;Applet&nbsp; [[Applets:WDF,_VTF_und_Momente_spezieller_Verteilungen_(Applet)|WDF, VTF und Momente spezieller Verteilungen ]].
 *Gegeben ist das folgende bestimmte Integral:
 :$$\int_{0}^{\infty}\it x^n\cdot\rm e^{-\it a \hspace{0.03cm}\cdot \hspace{0.03cm}x}\, d{\it x} =\frac{\it n{\rm !}}{\it a^{n}}.$$

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 :$$f_x(x)=A\cdot  \rm e^{\rm -2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}|\it x|}.$$
-*Dieses Signal wird an den Eingang einer Nichtlinearit&auml;t mit der Kennlinie (siehe unteres Bild) angelegt:
+*Dieses Signal wird an den Eingang einer Nichtlinearit&auml;t mit der Kennlinie&nbsp; (siehe unteres Skizze)&nbsp; angelegt:
 :$$y=\left\{\begin{array}{*{4}{c}}0  &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} \it x <\rm 0, \\\rm2\it x   & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} \rm 0\le \it x\le \rm 0.5,  \\1 & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm}\it x > \rm 0.5\\\end{array}\right.$$
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgröße]].
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den Funktionswert&nbsp; $A= f_x(0)$&nbsp; der WDF an der Stelle&nbsp; $x = 0$.
+{Berechnen Sie den Wert&nbsp; $A= f_x(0)$&nbsp; der WDF an der Stelle&nbsp; $x = 0$.
 |type="{}"}
 $A \ = \ $  { 1 3% }
-{Berechnen Sie die Momente&nbsp; $m_k$&nbsp; der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$.&nbsp; Begr&uuml;nden Sie, dass alle Momente mit ungeradem Index Null sind. <br>Wie groß ist die Streuung?
+{Berechnen Sie die Momente&nbsp; $m_k$&nbsp; der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$.&nbsp; Begr&uuml;nden Sie,&nbsp; dass alle Momente mit ungeradem Index Null sind. <br>Wie groß ist die Streuung?
 |type="{}"}
 $\sigma_x \ = \ $ { 0.707 3% }
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-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; den Wert&nbsp; $0.5$&nbsp; &uuml;berschreitet?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $x$&nbsp; den Wert&nbsp; $0.5$&nbsp; &uuml;berschreitet?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(x > 0.5) \ = \ $ { 18.4 3% } $\ \%$

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 :$$\it F=\rm 2\cdot \it A\int_{\rm 0}^{\infty}\hspace{-0.15cm}\rm e^{\rm -2\it x}\, \rm d \it x=\frac{\rm 2\cdot \it A}{\rm -2}\cdot \rm e^{\rm -2\it x}\Big|_{\rm 0}^{\infty}=\it A.$$
-Da diese Fl&auml;che definitionsgem&auml;&szlig; gleich $F = 1$ sein muss, gilt $\underline{A = 1}$.
+*Da diese Fl&auml;che definitionsgem&auml;&szlig; gleich&nbsp; $F = 1$&nbsp; sein muss, gilt&nbsp; $\underline{A = 1}$.
 '''(2)'''&nbsp; Alle Momente mit ungeradem Index $k$ sind aufgrund der symmetrischen WDF gleich Null. Bei geradem $k$ kann der linke Teil der WDF in den rechten gespiegelt werden und man erh&auml;lt:
 :$$\it m_k=\rm 2 \cdot \int_{\rm 0}^{\infty}\hspace{-0.15cm}\it x^{k}\cdot \rm e^{-\rm 2\it x}\,\rm d \it x=\frac{\rm 2\cdot\rm\Gamma(\it k{\rm +}\rm 1)}{\rm 2^{\it k{\rm +}\rm 1}}=\frac{\it k{\rm !}}{\rm 2^{\it k}}.$$
-Daraus folgt mit $k = 2$ unter Berücksichtigung des Mittelwertes $m_1 = 0$:
+*Daraus folgt mit&nbsp; $k = 2$&nbsp; unter Berücksichtigung des Mittelwertes&nbsp; $m_1 = 0$:
-$$m_{\rm 2}=\frac{\rm 2!}{\rm 2^2}={\rm 0.5\hspace{0.5cm}bzw.\hspace{0,5cm} }\sigma_x=\sqrt{ m_{\rm 2}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.707}.$$
+:$$m_{\rm 2}=\frac{\rm 2!}{\rm 2^2}={\rm 0.5\hspace{0.5cm}bzw.\hspace{0,5cm} }\sigma_x=\sqrt{ m_{\rm 2}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.707}.$$
 [[Datei:P_ID131__Sto_A_3_8_e.png|right|frame|WDF nach Verstärkung und Begrenzung]]
 :$$K_{x}=\frac{ \mu_{\rm 4}}{ \sigma_{\it x}^{4}}=\frac{1.5}{0.25}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 6}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus '''(1)''' erh&auml;lt man:
+'''(4)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus&nbsp; '''(1)'''&nbsp; erh&auml;lt man:
-:$${\rm Pr}( x> 0.5)=\int_{0.5}^{\infty}{\rm e}^{- 2 x}\,{\rm d}t x=\frac{\rm 1}{\rm 2\rm e}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.184}.$$
+:$${\rm Pr}( x> 0.5)=\int_{0.5}^{\infty}{\rm e}^{- 2 x}\,{\rm d}x=\frac{\rm 1}{\rm 2\rm e}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 18.4\%}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Richtig sind  die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
-*Die WDF $f_y(y)$ beinhaltet eine Diracfunktion an der Stelle $y= 0$ mit dem Gewicht ${\rm Pr}(x < 0) = 0.5$.
+*Die WDF&nbsp; $f_y(y)$&nbsp; beinhaltet eine Diracfunktion an der Stelle&nbsp; $y= 0$&nbsp; mit dem Gewicht&nbsp; ${\rm Pr}(x < 0) = 0.5$.
-*Zudem eine weitere Diracfunktion bei $y= 1$ mit dem Gewicht ${\rm Pr}(x > 0.5) = 0.184$.
+*Zudem eine weitere Diracfunktion bei&nbsp; $y= 1$&nbsp; mit dem Gewicht&nbsp; ${\rm Pr}(x > 0.5) = 0.184$.
-<br clear=all>
 '''(6)'''&nbsp; Der Signalbereich $0 \le x \le 0.5$ wird am Ausgang auf den Bereich $0 \le y \le 1$ linear abgebildet. Die Ableitung der Kennlinie ist hier konstant gleich $2$ (Verst&auml;rkung). Daraus erh&auml;lt man:
 :$$f_y(y)=\frac{f_x(x)}{|g'(x)|}\Bigg|_{x=h(y)}=\frac{\rm e^{-\rm 2\it x}}{\rm 2}\Bigg|_{\it x={\it y}/{\rm 2}}=0.5 \cdot {\rm e^{\it -y}} .$$
-Bei $y= 0.5$ beträgt dementsprechend der kontinuierliche WDF-Anteil $f_y(y = 0.5)\hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.304}$.
+*Bei&nbsp; $y= 0.5$&nbsp; beträgt dementsprechend der kontinuierliche WDF-Anteil
-'''(7)'''&nbsp; Für den Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y$ gilt:
+'''(7)'''&nbsp; Für den Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y$&nbsp; gilt:
 :$$m_y=\frac{1}{\rm 2\rm e} \cdot 1 +\int_{\rm 0}^{\rm 1}\frac{\it y}{\rm 2}\cdot \rm e^{\it -y}\, \rm d \it y=\frac{\rm 1}{\rm 2\rm e}{\rm +}\frac{\rm 1}{\rm 2}-\frac{\rm 1}{\rm e}=\frac{\rm 1}{\rm 2}-\frac{\rm 1}{\rm 2 e}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 0.316}.$$
-Der erste Term stammt vom Dirac bei $y= 1$, der zweite vom kontinuierlichen WDF&ndash;Anteil.
+*Der erste Term stammt vom Dirac bei&nbsp; $y= 1$, der zweite vom kontinuierlichen WDF&ndash;Anteil.
 {{ML-Fuß}}

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 {Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; den Wert&nbsp; $0.5$&nbsp; &uuml;berschreitet?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(x > 0.5) \ = \ $ { 0.184 3% }
+${\rm Pr}(x > 0.5) \ = \ $ { 18.4 3% } $\ \%$

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID130__Sto_A_3_8.png|right|frame|Verstärkung und Begrenzung der Zufallsgröße $x$]]
+[[Datei:P_ID130__Sto_A_3_8.png|right|frame|Verstärkung und Begrenzung <br>der Zufallsgröße&nbsp; $x$]]
-Wir betrachten ein Zufallssignal $x(t)$ mit symmetrischer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
+Wir betrachten ein Zufallssignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; mit symmetrischer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:
 :$$f_x(x)=A\cdot  \rm e^{\rm -2 \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}|\it x|}.$$
@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
 :$$y=\left\{\begin{array}{*{4}{c}}0  &\rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} \it x <\rm 0, \\\rm2\it x   & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm} \rm 0\le \it x\le \rm 0.5,  \\1 & \rm f\ddot{u}r\hspace{0.2cm}\it x > \rm 0.5\\\end{array}\right.$$
-*Das Ausgangssignal wird mit $y(t)$ bezeichnet.
+*Das Ausgangssignal wird mit&nbsp; $y(t)$&nbsp; bezeichnet.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgröße]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Exponentialverteilte_Zufallsgrößen|Exponentialverteilte Zufallsgröße]].
 *Gegeben ist das folgende bestimmte Integral:
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den Funktionswert $A= f_x(0)$ der WDF an der Stelle $x = 0$.
+{Berechnen Sie den Funktionswert&nbsp; $A= f_x(0)$&nbsp; der WDF an der Stelle&nbsp; $x = 0$.
 |type="{}"}
 $A \ = \ $  { 1 3% }
-{Berechnen Sie die Momente $m_k$ der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$. Begr&uuml;nden Sie, dass alle Momente mit ungeradem Index Null sind. <br>Wie groß ist die Streuung?
+{Berechnen Sie die Momente&nbsp; $m_k$&nbsp; der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$.&nbsp; Begr&uuml;nden Sie, dass alle Momente mit ungeradem Index Null sind. <br>Wie groß ist die Streuung?
 |type="{}"}
 $\sigma_x \ = \ $ { 0.707 3% }
-{Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r die Kurtosis der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$?
+{Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r die Kurtosis der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$?
 |type="{}"}
 $K_x \ = \ $ { 6 3% }
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ den Wert $0.5$ &uuml;berschreitet?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; den Wert&nbsp; $0.5$&nbsp; &uuml;berschreitet?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(x > 0.5) \ = \ $ { 0.184 3% }
-{Welche der folgenden Aussagen sind bez&uuml;glich der WDF $f_y(y)$ zutreffend?
+{Welche der folgenden Aussagen sind bez&uuml;glich der WDF&nbsp; $f_y(y)$&nbsp; zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Die WDF beinhaltet eine Diracfunktion bei $y = 0$.
++ Die WDF beinhaltet eine Diracfunktion bei&nbsp; $y = 0$.
-- Die WDF beinhaltet eine Diracfunktion bei $y = 0.5$.
+- Die WDF beinhaltet eine Diracfunktion bei&nbsp; $y = 0.5$.
-+ Die WDF beinhaltet eine Diracfunktion bei $y = 1$.
++ Die WDF beinhaltet eine Diracfunktion bei&nbsp; $y = 1$.
-{Wie lautet der kontinuierliche Anteil der WDF $f_y(y)$? Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r $y = 0.5$?
+{Wie lautet der kontinuierliche Anteil der WDF&nbsp; $f_y(y)$?&nbsp; Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r&nbsp; $y = 0.5$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $f_y(y = 0.5) \ = \ $ { 0.304 3% }

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(kein Unterschied)