Aufgaben:Aufgabe 3.8: Nochmals Transinformation - Versionsgeschichte

Guenter am 20. September 2021 um 16:29 Uhr

2021-09-20T16:29:22Z

Guenter am 20. September 2021 um 15:54 Uhr

2021-09-20T15:54:04Z

Guenter am 31. Januar 2020 um 13:34 Uhr

2020-01-31T13:34:53Z

Guenter am 31. Januar 2020 um 13:13 Uhr

2020-01-31T13:13:37Z

Guenter am 9. Oktober 2018 um 15:53 Uhr

2018-10-09T15:53:49Z

Guenter am 9. Oktober 2018 um 15:37 Uhr

2018-10-09T15:37:29Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:46Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:05:29Z

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Guenter am 1. Juni 2017 um 13:35 Uhr

2017-06-01T13:35:59Z

Guenter am 1. Juni 2017 um 12:50 Uhr

2017-06-01T12:50:47Z

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-[[Datei:P_ID2770__Inf_A_3_7c.png|right|Verbundwahrscheinlichkeit zwischen&nbsp; $Z$&nbsp; und&nbsp; $W$]]
+[[Datei:P_ID2770__Inf_A_3_7c.png|right|frame|Verbundwahrscheinlichkeit zwischen&nbsp; $Z$&nbsp; und&nbsp; $W$]]
 '''(3)'''&nbsp;  Die zweite Grafik zeigt die Verbundwahrscheinlichkeit&nbsp; $P_{ ZW }(⋅)$.&nbsp;
 *Das Schema besteht aus&nbsp; $5 · 9 = 45$&nbsp; Feldern im Gegensatz zur Darstellung von&nbsp; $P_{ XW }(⋅)$&nbsp; auf der Angabenseite mit&nbsp; $3 · 9 = 27$&nbsp; Feldern.

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 }}
-[[Datei:P_ID2768__Inf_A_3_7_neu.png|right|frame|&bdquo;Wahrscheinlichkeiten&rdquo; $P_{ XY }$ &nbsp;und&nbsp; $P_{ XW }$]]
+[[Datei:P_ID2768__Inf_A_3_7_neu.png|right|frame|Die 2D&ndash;Funktionen&nbsp; <br>&nbsp;$P_{ XY }$&nbsp; und&nbsp; $P_{ XW }$]]
-Wir betrachten das Tupel&nbsp; $Z = (X, Y)$, wobei die Einzelkomponenten&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; jeweils ternäre Zufallsgrößen darstellen:
+Wir betrachten das Tupel&nbsp; $Z = (X, Y)$,&nbsp; wobei die Einzelkomponenten&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; jeweils ternäre Zufallsgrößen darstellen:
 :$$X = \{ 0 ,\ 1 ,\ 2 \} , \hspace{0.3cm}Y= \{ 0 ,\ 1 ,\ 2 \}.$$
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 :* $I(X, Z) = 1.585.$
-Desweiteren betrachten wir die Zufallsgröße&nbsp; $W = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 \}$, deren Eigenschaften sich aus der Verbundwahrscheinlichkeitsfunktion&nbsp; $P_{ XW }(X, W)$&nbsp; nach der unteren Skizze ergeben.&nbsp; Die Wahrscheinlichkeiten sind in allen weiß hinterlegten Feldern jeweils Null.
+Desweiteren betrachten wir die Zufallsgröße&nbsp; $W = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 \}$,&nbsp; deren Eigenschaften sich aus der Verbundwahrscheinlichkeitsfunktion&nbsp; $P_{ XW }(X, W)$&nbsp; nach der unteren Skizze ergeben.&nbsp; Die Wahrscheinlichkeiten sind in allen weiß hinterlegten Feldern jeweils Null.
 Gesucht ist in der vorliegenden Aufgabe die Transinformation zwischen
@@ Zeile 62: / Zeile 62: @@
 *Mit&nbsp; $X = \{0,\ 1,\ 2\}$,&nbsp; $Y = \{0,\ 1,\ 2\}$&nbsp; gilt&nbsp; $X + Y = \{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\}$.&nbsp;
 *Auch die Wahrscheinlichkeiten stimmen mit der gegebenen Wahrscheinlichkeitsfunktion überein.
-*Die Überprüfung der beiden anderen Vorgaben zeigt, dass auch $W = X – Y + 2$ möglich ist, nicht jedoch $W = Y – X + 2$.
+*Die Überprüfung der beiden anderen Vorgaben zeigt, dass auch&nbsp; $W = X - Y + 2$&nbsp; möglich ist, nicht jedoch&nbsp; $W = Y - X + 2$.
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   {= 2.197\ {\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$
-Mit&nbsp; $H(X) = 1.585 \ \rm bit$&nbsp; (wurde vorgegeben) ergibt sich somit für die&nbsp; ''Mutual Information'':
+Mit&nbsp; $H(X) = 1.585 \ \rm bit$&nbsp; (wurde vorgegeben) ergibt sich somit für die Transinformation &nbsp; ("Mutual Information"):
 :$$I(X;W) = H(X) + H(W) - H(XW) = 1.585 + 2.197- 3.170\hspace{0.15cm} \underline {= 0.612\ {\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$
 Das linke der beiden Schaubilder verdeutlicht die Berechnung der Transinformation&nbsp; $I(X; W)$&nbsp; zwischen der ersten Komponente&nbsp; $X$&nbsp; und der Summe&nbsp; $W$.
 <br clear=all>
 [[Datei:P_ID2770__Inf_A_3_7c.png|right|Verbundwahrscheinlichkeit zwischen&nbsp; $Z$&nbsp; und&nbsp; $W$]]
-'''(3)'''&nbsp;  Die zweite Grafik zeigt die Verbundwahrscheinlichkeit&nbsp; $P_{ ZW }(⋅)$.&nbsp; Das Schema besteht aus&nbsp; $5 · 9 = 45$&nbsp; Feldern im Gegensatz zur Darstellung von&nbsp; $P_{ XW }(⋅)$&nbsp; auf der Angabenseite mit&nbsp; $3 · 9 = 27$&nbsp; Feldern.
+'''(3)'''&nbsp;  Die zweite Grafik zeigt die Verbundwahrscheinlichkeit&nbsp; $P_{ ZW }(⋅)$.&nbsp;
 *Von den&nbsp; $45$&nbsp; Feldern sind aber auch nur neun mit Wahrscheinlichkeiten ungleich Null belegt.&nbsp; Für die Verbundentropie gilt: &nbsp; $H(ZW)  = 3.170\ {\rm (bit)} \hspace{0.05cm}.$
 *Mit den weiteren Entropien&nbsp; $H(Z)  = 3.170\ {\rm (bit)}\hspace{0.05cm}$&nbsp; und&nbsp; $H(W)  = 2.197\ {\rm (bit)}\hspace{0.05cm}$&nbsp; entsprechend der&nbsp; [[Aufgaben:3.07Z_Tupel_aus_tern%C3%A4ren_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen| Aufgabe 3.8Z]]&nbsp; bzw. der Teilfrage&nbsp; '''(2)'''&nbsp; dieser Aufgabe erhält man für die Transinformation:
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-Wir versuchen eine Interpretation dieser numerischen Ergebnisse:
+'''(4)'''&nbsp; <u>Alle drei Aussagen</u> treffen zu, wie aus dem rechten der beiden oberen Schaubilder ersichtlich ist.&nbsp; Wir versuchen eine Interpretation dieser numerischen Ergebnisse:
-* Die Verbundwahrscheinlichkeit&nbsp; $P_{ ZW }(⋅)$&nbsp; setzt sich ebenso wie&nbsp; $P_{ XW }(⋅)$&nbsp; aus neun gleichwahrscheinlichen Elementenungleich 0 zusammen. Damit ist offensichtlich, dass auch die Verbundentropien gleich sind &nbsp; ⇒ &nbsp; $H(ZW) =  H(XW) = 3.170 \ \rm (bit)$.
+* Die Verbundwahrscheinlichkeit&nbsp; $P_{ ZW }(⋅)$&nbsp; setzt sich ebenso wie&nbsp; $P_{ XW }(⋅)$&nbsp; aus neun gleichwahrscheinlichen Elementen ungleich 0 zusammen.&nbsp; Damit ist offensichtlich, dass auch die Verbundentropien gleich sind &nbsp; ⇒ &nbsp; $H(ZW) =  H(XW) = 3.170 \ \rm (bit)$.
-* Wenn ich das Tupel&nbsp; $Z = (X, Y)$&nbsp; kenne, kenne ich natürlich auch die Summe&nbsp; $W = X + Y$.&nbsp; Damit ist&nbsp; $H(W|Z) = 0$.
+* Wenn ich das Tupel&nbsp; $Z = (X, Y)$&nbsp; kenne,&nbsp; kenne ich natürlich auch die Summe&nbsp; $W = X + Y$.&nbsp; Damit ist&nbsp; $H(W|Z) = 0$.
 *Dagegen ist&nbsp; $H(Z|W) \ne 0$.&nbsp; Vielmehr gilt&nbsp; $H(Z|W) = H(X|W) = 0.973   \ \rm (bit)$.
 * Die Zufallsgröße&nbsp; $W$&nbsp; liefert also die genau gleiche Information hinsichtlich des Tupels&nbsp; $Z$&nbsp; wie für die Einzelkomponente&nbsp; $X$.&nbsp; Dies ist die verbale Interpretation der Aussage&nbsp; $H(Z|W) = H(X|W)$.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
-*Mit $X = \{0, 1, 2\}$, $Y = \{0, 1, 2\}$ gilt $X + Y = \{0, 1, 2, 3, 4\}$. Auch die Wahrscheinlichkeiten stimmen mit der gegebenen Wahrscheinlichkeitsfunktion überein.
+*Mit&nbsp; $X = \{0,\ 1,\ 2\}$,&nbsp; $Y = \{0,\ 1,\ 2\}$&nbsp; gilt&nbsp; $X + Y = \{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\}$.&nbsp;
 *Die Überprüfung der beiden anderen Vorgaben zeigt, dass auch $W = X – Y + 2$ möglich ist, nicht jedoch $W = Y – X + 2$.
 '''(2)'''&nbsp; Aus der 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_{ XW }(X, W)$ auf der Angabenseite erhält man für
 *die Verbundentropie:
 :$$H(XW) =  {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} (9)
-= 3.170\,{\rm (bit)}
+= 3.170\ {\rm (bit)}
 	\hspace{0.05cm},$$
-* die Wahrsacheinlichkeitsfunktion der Zufallsgröße $W$:
+* die Wahrsacheinlichkeitsfunktion der Zufallsgröße&nbsp; $W$:
-:$$P_W(W) = \big [\hspace{0.05cm}1/9\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 2/9\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm} 3/9 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 2/9\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1/9\hspace{0.05cm} \big ]\hspace{0.05cm},$$
+:$$P_W(W) = \big [\hspace{0.05cm}1/9\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} 2/9\hspace{0.05cm},\hspace{0.15cm} 3/9 \hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} 2/9\hspace{0.05cm}, \hspace{0.15cm} 1/9\hspace{0.05cm} \big ]\hspace{0.05cm},$$
 *die Entropie der Zufallsgröße $W$:
 :$$H(W) = 2 \cdot \frac{1}{9} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{9}{1} + 2 \cdot \frac{2}{9} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{9}{2} +
 \frac{3}{9} \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{9}{3}
-  {= 2.197\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$
+  {= 2.197\ {\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$
-Mit $H(X) = 1.585 \ \rm bit$ (wurde vorgegeben) ergibt sich somit für die ''Mutual Information'':
+Mit&nbsp; $H(X) = 1.585 \ \rm bit$&nbsp; (wurde vorgegeben) ergibt sich somit für die&nbsp; ''Mutual Information'':
-:$$I(X;W) = H(X) + H(W) - H(XW) = 1.585 + 2.197- 3.170\hspace{0.15cm} \underline {= 0.612\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$I(X;W) = H(X) + H(W) - H(XW) = 1.585 + 2.197- 3.170\hspace{0.15cm} \underline {= 0.612\ {\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$
-[[Datei:P_ID2769__Inf_A_3_7d.png|center|frame|Zur Berechnung der Transinformation]]
+[[Datei:P_ID2769__Inf_A_3_7d.png|right|frame|Zur Berechnung der Transinformation]]
-'''(4)'''&nbsp; <u>Alle drei Aussagen</u> treffen zu, wie auch aus dem oberen Schaubild ersichtlich ist. Wir versuchen eine Interpretation dieser numerischen Ergebnisse:
+Wir versuchen eine Interpretation dieser numerischen Ergebnisse:
-* Die Verbundwahrscheinlichkeit $P_{ ZW }(⋅)$ setzt sich ebenso wie $P_{ XW }(⋅)$ aus neun gleichwahrscheinlichen Elementenungleich 0 zusammen. Damit ist offensichtlich, dass auch die Verbundentropien gleich sind &nbsp; ⇒ &nbsp; $H(ZW) =  H(XW) = 3.170 \ \rm (bit)$.
+* Die Verbundwahrscheinlichkeit&nbsp; $P_{ ZW }(⋅)$&nbsp; setzt sich ebenso wie&nbsp; $P_{ XW }(⋅)$&nbsp; aus neun gleichwahrscheinlichen Elementenungleich 0 zusammen. Damit ist offensichtlich, dass auch die Verbundentropien gleich sind &nbsp; ⇒ &nbsp; $H(ZW) =  H(XW) = 3.170 \ \rm (bit)$.
-* Wenn ich das Tupel $Z = (X, Y)$ kenne, kenne ich natürlich auch die Summe $W = X + Y$. Damit ist $H(W|Z) = 0$.
+* Wenn ich das Tupel&nbsp; $Z = (X, Y)$&nbsp; kenne, kenne ich natürlich auch die Summe&nbsp; $W = X + Y$.&nbsp; Damit ist&nbsp; $H(W|Z) = 0$.
-*Dagegen ist $H(Z|W) \ne 0$. Vielmehr gilt $H(Z|W) = H(X|W) = 0.973   \ \rm (bit)$.
+*Dagegen ist&nbsp; $H(Z|W) \ne 0$.&nbsp; Vielmehr gilt&nbsp; $H(Z|W) = H(X|W) = 0.973   \ \rm (bit)$.
-* Die Zufallsgröße $W$ liefert also die genau gleiche Information hinsichtlich des Tupels $Z$ wie für die Einzelkomponente $X$. Dies ist die verbale Interpretation der Aussage $H(Z|W) = H(X|W)$.
+* Die Zufallsgröße&nbsp; $W$&nbsp; liefert also die genau gleiche Information hinsichtlich des Tupels&nbsp; $Z$&nbsp; wie für die Einzelkomponente&nbsp; $X$.&nbsp; Dies ist die verbale Interpretation der Aussage&nbsp; $H(Z|W) = H(X|W)$.
-* Die gemeinsame Information von $Z$ und $W$ &nbsp; ⇒ &nbsp; $I(Z; W)$ ist größer als die gemeinsame Information von $X$ und $W$  &nbsp; ⇒ &nbsp; $I(X; W)$ , weil $H(W|Z) =0$ gilt, während $H(W|X)$ ungleich $0$ ist, nämlich genau so groß ist wie $H(X)$ :
+* Die gemeinsame Information von&nbsp; $Z$&nbsp; und&nbsp; $W$&nbsp; &nbsp; ⇒ &nbsp; $I(Z; W)$&nbsp; ist größer als die gemeinsame Information von&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $W$  &nbsp; ⇒ &nbsp; $I(X; W)$, weil&nbsp; $H(W|Z) =0$&nbsp; gilt, während&nbsp; $H(W|X)$&nbsp; ungleich Null ist, nämlich genau so groß ist wie&nbsp; $H(X)$ :
 :$$I(Z;W)  = H(W) - H(W|Z) = 2.197 - 0= 2.197\,{\rm (bit)} \hspace{0.05cm},$$
 :$$I(X;W) =  H(W) - H(W|X) = 2.197 - 1.585= 0.612\,{\rm (bit)} \hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID2768__Inf_A_3_7_neu.png|right|frame|&bdquo;Wahrscheinlichkeiten&rdquo; $P_{ XY }$ &nbsp;und&nbsp; $P_{ XW }$]]
-Wir betrachten das Tupel $Z = (X, Y)$, wobei die Einzelkomponenten $X$ und $Y$ jeweils ternäre Zufallsgrößen darstellen:
+Wir betrachten das Tupel&nbsp; $Z = (X, Y)$, wobei die Einzelkomponenten&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; jeweils ternäre Zufallsgrößen darstellen:
-:$$X = \{ 0 , 1 , 2 \} , \hspace{0.3cm}Y= \{ 0 , 1 , 2 \}.$$
+:$$X = \{ 0 ,\ 1 ,\ 2 \} , \hspace{0.3cm}Y= \{ 0 ,\ 1 ,\ 2 \}.$$
-Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_{ XY }(X, Y)$ beider Zufallsgrößen ist in der oberen Grafik angegeben. In der [[Aufgaben:3.07Z_Tupel_aus_tern%C3%A4ren_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen|Aufgabe 3.8Z]] wird diese Konstellation ausführlich analysiert. Man erhält als Ergebnis (alle Angaben in &bdquo;bit&rdquo;):
+Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion&nbsp; $P_{ XY }(X, Y)$&nbsp; beider Zufallsgrößen ist in der oberen Grafik angegeben.&nbsp;
 :* $H(X) = H(Y) = \log_2 (3) = 1.585,$
 :* $H(XY) = \log_2 (9) = 3.170,$
@@ Zeile 14: / Zeile 16: @@
 :* $I(X, Z) = 1.585.$
-Desweiteren betrachten wir hier die Zufallsgröße $W = \{ 0, 1, 2, 3, 4 \}$, deren Eigenschaften sich aus der Verbundwahrscheinlichkeitsfunktion $P_{ XW }(X, W)$ nach der unteren Skizze ergeben. Die Wahrscheinlichkeiten sind in allen weiß hinterlegten Feldern jeweils $0$.
+Desweiteren betrachten wir die Zufallsgröße&nbsp; $W = \{ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 \}$, deren Eigenschaften sich aus der Verbundwahrscheinlichkeitsfunktion&nbsp; $P_{ XW }(X, W)$&nbsp; nach der unteren Skizze ergeben.&nbsp; Die Wahrscheinlichkeiten sind in allen weiß hinterlegten Feldern jeweils Null.
 Gesucht ist in der vorliegenden Aufgabe die Transinformation zwischen
-:*den Zufallsgrößen $X$ und $W$ &nbsp; ⇒ &nbsp;  $I(X; W)$,
+:*den Zufallsgrößen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $W$ &nbsp; ⇒ &nbsp;  $I(X; W)$,
-:* den Zufallsgrößen $Z$ und $W  ⇒  I(Z; W)$.
+:* den Zufallsgrößen&nbsp; $Z$&nbsp; und&nbsp; $W &nbsp; ⇒ &nbsp; I(Z; W)$.
@@ Zeile 25: / Zeile 27: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen|Verschiedene Entropien zweidimensionaler Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen|Verschiedene Entropien zweidimensionaler Zufallsgrößen]].
 *Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seiten <br> &nbsp; &nbsp;  [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen#Bedingte_Wahrscheinlichkeit_und_bedingte_Entropie|Bedingte Wahrscheinlichkeit und bedingte Entropie]] sowie <br> &nbsp; &nbsp;  [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen#Transinformation_zwischen_zwei_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transinformation zwischen zwei Zufallsgrößen]].
@@ Zeile 33: / Zeile 35: @@
 <quiz display=simple>
-{Wie könnten die Größen $X$, $Y$ und $W$ zusammenhängen?
+{Wie könnten die Größen&nbsp; $X$,&nbsp; $Y$&nbsp; und&nbsp; $W$&nbsp; zusammenhängen?
 |type="[]"}
 + $W = X + Y$,
@@ Zeile 39: / Zeile 41: @@
 -$W = Y - X + 2$.
-{Welche Transinformation besteht zwischen den Zufallsgrößen $X$ und $W$?
+{Welche Transinformation besteht zwischen den Zufallsgrößen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $W$?
 |type="{}"}
 $I(X; W) \ = \ $ { 0.612 3%  } $\ \rm bit$
-{Welche Transinformation besteht zwischen den Zufallsgrößen $Z$ und $W$?
+{Welche Transinformation besteht zwischen den Zufallsgrößen&nbsp; $Z$&nbsp; und&nbsp; $W$?
 |type="{}"}
 $I(Z; W) \ = \ $ { 2.197 3%  } $\ \rm bit$
@@ Zeile 49: / Zeile 51: @@
 {Welche der nachfolgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Es gilt $H(ZW) = H(XW)$.
++ Es gilt&nbsp; $H(ZW) = H(XW)$.
-+ Es gilt $H(W|Z) = 0$.
++ Es gilt&nbsp; $H(W|Z) = 0$.
-+ Es gilt $I(Z; W) > I(X; W)$.
++ Es gilt&nbsp; $I(Z; W) > I(X; W)$.
 </quiz>

@@ Zeile 57: / Zeile 57: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Mit $X = \{0, 1, 2\}$, $Y = \{0, 1, 2\}$ gilt $X + Y = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ und auch die Wahrscheinlichkeiten stimmen mit der vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsfunktion überein. Die Überprüfung der beiden anderen Vorgaben zeigt, dass auch $W = X – Y + 2$ möglich ist  &nbsp; ⇒ &nbsp;  <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>.
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
 '''(2)'''&nbsp; Aus der 2D–Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_{ XW }(X, W)$ auf der Angabenseite erhält man für
@@ Zeile 75: / Zeile 78: @@
 Das linke Schaubild verdeutlicht die Berechnung der Transinformation $I(X; W)$ zwischen der ersten Komponente $X$ und der Summe $W$.
-[[Datei:P_ID2769__Inf_A_3_7d.png|Zur Berechnung der Transinformation]]
+[[Datei:P_ID2769__Inf_A_3_7d.png|center|frame|Zur Berechnung der Transinformation]]
-[[Datei:P_ID2770__Inf_A_3_7c.png|right|Verbundwahrscheinlichkeit zwischen <i>Z</i> und <i>W</i>]]
+[[Datei:P_ID2770__Inf_A_3_7c.png|right|Verbundwahrscheinlichkeit zwischen $Z$ und $W$]]
-'''(3)'''&nbsp;  Die untere Grafik zeigt die Verbundwahrscheinlichkeit $P_{ ZW }(⋅)$. Das Schema besteht aus $5 · 9 = 45$ Feldern im Gegensatz zur Darstellung von $P_{ XW }(⋅)$ auf der Angabenseite mit $3 · 9 = 27$ Feldern.
+'''(3)'''&nbsp;  Die zweite Grafik zeigt die Verbundwahrscheinlichkeit $P_{ ZW }(⋅)$. Das Schema besteht aus $5 · 9 = 45$ Feldern im Gegensatz zur Darstellung von $P_{ XW }(⋅)$ auf der Angabenseite mit $3 · 9 = 27$ Feldern.
-*Von den $45$ Feldern sind aber auch nur neun mit Wahrscheinlichkeiten ungleich 0 belegt. Für die Verbundentropie gilt: $H(ZW)  = 3.170\,{\rm (bit)} \hspace{0.05cm}.$
+*Von den $45$ Feldern sind aber auch nur neun mit Wahrscheinlichkeiten ungleich $0$ belegt. Für die Verbundentropie gilt: &nbsp; $H(ZW)  = 3.170\,{\rm (bit)} \hspace{0.05cm}.$
-*Mit den weiteren Entropien $H(Z)  = 3.170\,{\rm (bit)}\hspace{0.05cm}$ und $H(W)  = 2.197\,{\rm (bit)}\hspace{0.05cm}$ entsprechend der [[Aufgaben:3.07Z_Tupel_aus_tern%C3%A4ren_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen| Teilaufgabe 3.8Z]] bzw. der Teilfrage (2) dieser Aufgabe erhält man für die Transinformation:
+*Mit den weiteren Entropien $H(Z)  = 3.170\,{\rm (bit)}\hspace{0.05cm}$ und $H(W)  = 2.197\,{\rm (bit)}\hspace{0.05cm}$ entsprechend der [[Aufgaben:3.07Z_Tupel_aus_tern%C3%A4ren_Zufallsgr%C3%B6%C3%9Fen| Aufgabe 3.8Z]] bzw. der Teilfrage '''(2)''' dieser Aufgabe erhält man für die Transinformation:
 :$$I(Z;W) = H(Z) + H(W) - H(ZW) \hspace{0.15cm} \underline {= 2.197\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; <u>Alle drei Aussagen</u> treffen zu, wie auch aus dem oberen Schaubild ersichtlich ist. Wir versuchen eine Interpretation dieser numerischen Ergebnisse:
-* Die Verbundwahrscheinlichkeit $P_{ ZW }$ setzt sich ebenso wie $P_{ XW }$ aus neun gleichwahrscheinlichen Elementenungleich 0 zusammen. Damit ist offensichtlich, dass auch die Verbundentropien gleich sind &nbsp; ⇒ &nbsp; $H(ZW) =  H(XW) = 3.170 \ \rm (bit)$.
+* Die Verbundwahrscheinlichkeit $P_{ ZW }(⋅)$ setzt sich ebenso wie $P_{ XW }(⋅)$ aus neun gleichwahrscheinlichen Elementenungleich 0 zusammen. Damit ist offensichtlich, dass auch die Verbundentropien gleich sind &nbsp; ⇒ &nbsp; $H(ZW) =  H(XW) = 3.170 \ \rm (bit)$.
-* Wenn ich das Tupel $Z = (X, Y)$ kenne, kenne ich natürlich auch die Summe $W = X + Y$. Damit ist $H(W|Z) = 0$. Dagegen ist $H(Z|W) \ne 0$. Vielmehr gilt $H(Z|W) = H(X|W) = 0.973   \ \rm (bit)$.
+* Wenn ich das Tupel $Z = (X, Y)$ kenne, kenne ich natürlich auch die Summe $W = X + Y$. Damit ist $H(W|Z) = 0$.
 * Die Zufallsgröße $W$ liefert also die genau gleiche Information hinsichtlich des Tupels $Z$ wie für die Einzelkomponente $X$. Dies ist die verbale Interpretation der Aussage $H(Z|W) = H(X|W)$.
 * Die gemeinsame Information von $Z$ und $W$ &nbsp; ⇒ &nbsp; $I(Z; W)$ ist größer als die gemeinsame Information von $X$ und $W$  &nbsp; ⇒ &nbsp; $I(X; W)$ , weil $H(W|Z) =0$ gilt, während $H(W|X)$ ungleich $0$ ist, nämlich genau so groß ist wie $H(X)$ :

@@ Zeile 24: / Zeile 24: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen|Verschiedene Entropien zweidimensionaler Zufallsgrößen]].
 *Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seiten [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen#Bedingte_Wahrscheinlichkeit_und_bedingte_Entropie|Bedingte Wahrscheinlichkeit und bedingte Entropie]] sowie [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen#Transinformation_zwischen_zwei_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transinformation zwischen zwei Zufallsgrößen]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.