Aufgaben:Aufgabe 3.8: Modulationsindex und Bandbreite - Versionsgeschichte

Guenter am 27. März 2020 um 16:53 Uhr

2020-03-27T16:53:00Z

Guenter am 27. März 2020 um 16:43 Uhr

2020-03-27T16:43:52Z

Guenter am 20. Dezember 2018 um 13:18 Uhr

2018-12-20T13:18:29Z

Guenter am 20. Dezember 2018 um 13:13 Uhr

2018-12-20T13:13:42Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:46Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:25:46Z

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Guenter am 7. Juli 2017 um 15:43 Uhr

2017-07-07T15:43:19Z

Guenter am 7. Juli 2017 um 15:23 Uhr

2017-07-07T15:23:00Z

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2017-07-05T15:33:19Z

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Safwen am 3. Januar 2017 um 16:20 Uhr

2017-01-03T16:20:50Z

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 '''(2)'''&nbsp; Die angegebene Spektralfunktion lässt aufgrund von Symmetrieeigenschaften auf die Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ schließen. Da bei $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$ die Spektrallinie bei $f_{\rm T} = 100 \ \rm kHz$ verschwindet, ist $η_2 \hspace{0.15cm}\underline { ≈ 2.4}$ zu vermuten. Eine Kontrolle der weiteren Impulsgewichte bestätigt das Ergebnis:
 :$$\frac { |S_{\rm +}(f =102\,{\rm kHz})|}{ |S_{\rm +}(f =104\,{\rm kHz})|} = 1.206,\hspace{0.2cm} \frac { {\rm J}_1(2.4)}{ {\rm J}_2(2.4)}= 1.206 \hspace{0.05cm}.$$
-'''(4)'''&nbsp; Mit der Forderung $K < 1\%$ gilt folgende Faustformel (''Carson–Regel''):
+'''(3)'''&nbsp; Die Gewichte der Diraclinien bei&nbsp; $f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$&nbsp; lauten allgemein:
 :$$B_{\rm 2} = 2 \cdot f_{\rm N} \cdot (\eta +2) \hspace{0.15cm}\underline {= 17.6\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
-&rArr; &nbsp; Somit stehen dem Empfänger die Fourierkoeffizienten $D_{–4}$, ... , $D_4$ zur Verfügung.
+*Somit stehen dem Empfänger die Fourierkoeffizienten&nbsp; $D_{–4}$, ... , $D_4$&nbsp; zur Verfügung.
 '''(5)'''&nbsp; Bei Frequenzmodulation gilt allgemein:
 :$$\eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$
-&rArr; &nbsp; Durch Verdopplung der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ wird also der Modulationsindex halbiert: &nbsp; $η_4 = η_2/2\hspace{0.15cm}\underline { = 1.2}$.
+*Durch Verdopplung der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ wird also der Modulationsindex halbiert: &nbsp; $η_4 = η_2/2\hspace{0.15cm}\underline { = 1.2}$.
-'''(6)'''&nbsp; Die für $K < 1\%$ erforderliche Kanalbandbreite ergibt sich nach gleicher Rechnung wie in der Teilaufgabe '''(4)''' zu
+'''(6)'''&nbsp; Die für&nbsp; $K < 1\%$&nbsp; erforderliche Kanalbandbreite ergibt sich nach gleicher Rechnung wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(4)'''&nbsp; zu
 :$$B_4 = 3.2 · 8\ \rm  kHz \hspace{0.15cm}\underline {= 25.6 \ \rm   kHz}.$$
-&rArr; &nbsp; Aufgrund des um den Faktor $2$ kleineren Modulationsindex genügt es für die Begrenzung des Klirrfaktors auf $1\%$, die Fourierkoeffizienten $D_{–3}$, ... , $D_3$ zu übertragen.
+*Aufgrund des nur halb so großen Modulationsindex' genügt es für die Begrenzung des Klirrfaktors auf&nbsp; $1\%$, die Fourierkoeffizienten&nbsp; $D_{–3}$, ... , $D_3$&nbsp; zu übertragen.
 {{ML-Fuß}}

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 :$$ |S_{\rm +}(92\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(108\,{\rm kHz})| = 0.477\,{\rm V},$$
 :sowie weitere, vernachlässigbare Diraclinien im Abstand &nbsp;$f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$.
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 <quiz display=simple>
 {Welches Modulationsverfahren liegt hier vor?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Phasenmodulation.
 + Frequenzmodulation.
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 $B_2 \ = \ $ { 17.6 3% } $\ \rm kHz$
-{Wie groß ist der Modulationsindex &nbsp;$η_4$&nbsp; bei der Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$?
+{Wie groß ist der Modulationsindex &nbsp;$η_4$&nbsp; mit der Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$?
 |type="{}"}
 $η_4\ = \ $ { 1.2 3% }

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 '''(3)'''&nbsp; Die Gewichte der Diraclinien bei $f_{\rm T} + n · f_{\rm N}$ lauten allgemein:
 :$$D_n = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_n(\eta)} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm} D_1 = A_{\rm T} \cdot { {\rm J}_1(\eta)}\hspace{0.05cm}.$$
-Daraus folgt $A_{\rm T} = D_1/{\rm J}_1(η) = 1.560\ \rm  V/0.520\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \ V}$.
+&rArr; &nbsp;  $A_{\rm T} = D_1/{\rm J}_1(η) = 1.560\ \rm  V/0.520\hspace{0.15cm}\underline { = 3 \ V}$.
 '''(4)'''&nbsp; Mit der Forderung $K < 1\%$ gilt folgende Faustformel (''Carson–Regel''):
 :$$B_{\rm 2} = 2 \cdot f_{\rm N} \cdot (\eta +2) \hspace{0.15cm}\underline {= 17.6\,{\rm kHz}}\hspace{0.05cm}.$$
-Somit stehen dem Empfänger die Fourierkoeffizienten $D_{–4}$, ... , $D_4$ zur Verfügung.
+&rArr; &nbsp; Somit stehen dem Empfänger die Fourierkoeffizienten $D_{–4}$, ... , $D_4$ zur Verfügung.
 '''(5)'''&nbsp; Bei Frequenzmodulation gilt allgemein:
 :$$\eta = \frac{K_{\rm FM} \cdot A_{\rm N}}{ \omega_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$
-Durch Verdopplung der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ wird also der Modulationsindex halbiert: &nbsp; $η_4 = η_2/2\hspace{0.15cm}\underline { = 1.2}$.
+&rArr; &nbsp; Durch Verdopplung der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N}$ wird also der Modulationsindex halbiert: &nbsp; $η_4 = η_2/2\hspace{0.15cm}\underline { = 1.2}$.
-'''(6)'''&nbsp; Die für $K < 1\%$ erforderliche Kanalbandbreite ergibt sich nach gleicher Rechnung wie in der Teilaufgabe (4) zu
+'''(6)'''&nbsp; Die für $K < 1\%$ erforderliche Kanalbandbreite ergibt sich nach gleicher Rechnung wie in der Teilaufgabe '''(4)''' zu
 :$$B_4 = 3.2 · 8\ \rm  kHz \hspace{0.15cm}\underline {= 25.6 \ \rm   kHz}.$$
-&rArr; &nbsp; Aufgrund des um den Faktor $2$ kleineren Modulationsindex genügt es für die Begrenzung des Klirrfaktors auf 1%, die Fourierkoeffizienten $D_{–3}$, ... , $D_3$ zu übertragen.
+&rArr; &nbsp; Aufgrund des um den Faktor $2$ kleineren Modulationsindex genügt es für die Begrenzung des Klirrfaktors auf $1\%$, die Fourierkoeffizienten $D_{–3}$, ... , $D_3$ zu übertragen.
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[Datei:P_ID1105__Mod_A_3_7.png|right|frame|Tabelle der Besselfunktionen]]
+[[Datei:P_ID1105__Mod_A_3_7.png|right|frame|Werte der Besselfunktionen]]
 Eine harmonische Schwingung der Form
 :$$q(t) = A_{\rm N} \cdot \cos(2 \pi \cdot f_{\rm N} \cdot t + \phi_{\rm N})$$
-wird winkelmoduliert und dann das einseitige Betragsspektrum $|S_+(f)|$ ermittelt.
+wird winkelmoduliert und dann das einseitige Betragsspektrum &nbsp;$|S_+(f)|$&nbsp; ermittelt.
-*Mit der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$ sind folgende Spektrallinien mit folgenden Gewichten zu erkennen:
+*Mit der Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$&nbsp; sind folgende Spektrallinien mit folgenden Gewichten zu erkennen:
 :$$|S_{\rm +}(98\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(102\,{\rm kHz})| = 1.560\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$ $$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.293\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$
 :$$ |S_{\rm +}(94\,{\rm kHz})| = |S_{\rm +}(106\,{\rm kHz})| = 0.594\,{\rm V}\hspace{0.05cm}.$$
-:Weitere Spektrallinien folgen mit jeweiligem Frequenzabstand $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$, sind hier jedoch nicht angegeben und können vernachlässigt werden.
+:Weitere Spektrallinien folgen mit jeweiligem Frequenzabstand &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$, sind hier jedoch nicht angegeben und können vernachlässigt werden.
-*Erhöht man die Nachrichtenfrequenz auf $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$, so gibt es die dominanten Linien
+*Erhöht man die Nachrichtenfrequenz auf &nbsp;$f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$, so gibt es die dominanten Linien
 :$$|S_{\rm +}(100\,{\rm kHz})| = 2.013\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$
 :$$|S_{\rm +}(96\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(104\,{\rm kHz})| = 1.494\,{\rm V}\hspace{0.05cm},$$
 :$$ |S_{\rm +}(92\,{\rm kHz})|\hspace{0.2cm} = |S_{\rm +}(108\,{\rm kHz})| = 0.477\,{\rm V},$$
-:sowie weitere, vernachlässigbare Diraclinien im Abstand $4 \ \rm kHz$.
+:sowie weitere, vernachlässigbare Diraclinien im Abstand &nbsp;$f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]].
-*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]] und insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation|Signalverl.äufe bei Frequenzmodulation]].
+*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]]&nbsp; und auf den Abschnitt &nbsp;[[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation|Signalverläufe bei Frequenzmodulation]].
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-{Wie groß ist der Modulationsindex $η_2$ bei der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$?
+{Wie groß ist der Modulationsindex &nbsp;$η_2$&nbsp; bei der Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$?
 |type="{}"}
 $η_2 \ = \ $ { 2.4 3% }
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 $A_{\rm T} \ = \ $ { 3 3% } $\ \rm V$
-{Geben Sie die Bandbreite $B_2$ an, wenn mit $f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$ ein Klirrfaktor  $K < 1\%$  gefordert wird.
+{Geben Sie die Bandbreite &nbsp;$B_2$ an, wenn mit &nbsp;$f_{\rm N} = 2 \ \rm kHz$&nbsp; ein Klirrfaktor  &nbsp;$K < 1\%$&nbsp;  gefordert wird.
 |type="{}"}
 $B_2 \ = \ $ { 17.6 3% } $\ \rm kHz$
-{Wie groß ist der Modulationsindex $η_4$ bei der Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$?
+{Wie groß ist der Modulationsindex &nbsp;$η_4$&nbsp; bei der Nachrichtenfrequenz &nbsp;$f_{\rm N} = 4 \ \rm kHz$?
 |type="{}"}
 $η_4\ = \ $ { 1.2 3% }
-{Welche Kanalbandbreite $B_4$ ist nun erforderlich, um $K < 1\%$ zu gewährleisten?
+{Welche Kanalbandbreite &nbsp;$B_4$&nbsp; ist nun erforderlich, um &nbsp;$K < 1\%$&nbsp; zu gewährleisten?
 |type="{}"}
 $B_4 \ = \ $ { 25.6 3% } $\ \rm kHz$

@@ Zeile 23: / Zeile 23: @@
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]].
 *Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]] und insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation|Signalverl.äufe bei Frequenzmodulation]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:|right|]]
+[[Datei:P_ID1105__Mod_A_3_7.png|right|]]
@@ Zeile 9: / Zeile 23: @@
 <quiz display=simple>
-{Multiple-Choice Frage
+{Welches Modulationsverfahren liegt hier vor?
 |type="[]"}
-- Falsch
+- Phasenmodulation.
-+ Richtig
++ Frequenzmodulation.
-{Input-Box Frage
+{Wie groß ist die Trägeramplitude?
 |type="{}"}
-$\alpha$ = { 0.3 }
+$A_T$ = { 3 3% } $V$
 </quiz>
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''
+'''1.''' Es handelt sich um eine Frequenzmodulation ⇒ Antwort 2. Bei Phasenmodulation würden sich die Gewichte der Diraclinien bei der Frequenzverdopplung nicht ändern.
 '''2.'''
 '''3.'''
-'''4.'''
+'''2.''' Die angegebene Spektralfunktion lässt aufgrund von Symmetrieeigenschaften auf die Trägerfrequenz $f_T = 100 kHz$ schließen. Da bei $f_N = 2 kHz$ die Spektrallinie bei $f_T = 100 kHz$ verschwindet, ist $η_2 ≈ 2.4$ zu vermuten. Eine Kontrolle der weiteren Impulsgewichte bestätigt das Ergebnis:
-'''5.'''
+$$\frac { |S_{\rm +}(f =102\,{\rm kHz})|}{ |S_{\rm +}(f =104\,{\rm kHz})|} = 1.206,\hspace{0.2cm} \frac { {\rm J}_1(2.4)}{ {\rm J}_2(2.4)}= 1.206 \hspace{0.05cm}.$$
 '''6.'''
 '''7.'''
 {{ML-Fuß}}