Aufgaben:Aufgabe 3.7Z: Rechtecksignal mit Echo - Versionsgeschichte

Guenter am 28. April 2021 um 12:00 Uhr

2021-04-28T12:00:49Z

Guenter am 28. April 2021 um 11:54 Uhr

2021-04-28T11:54:35Z

Guenter am 27. September 2019 um 09:50 Uhr

2019-09-27T09:50:07Z

Guenter am 27. September 2019 um 09:43 Uhr

2019-09-27T09:43:34Z

Guenter am 24. Juli 2018 um 15:41 Uhr

2018-07-24T15:41:11Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:46Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 18. Januar 2018 um 08:24 Uhr

2018-01-18T08:24:56Z

Guenter am 18. Januar 2018 um 08:09 Uhr

2018-01-18T08:09:03Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.7Z Rechtecksignal mit Echo nach Aufgaben:Aufgabe 3.7Z: Rechtecksignal mit Echo

2018-01-01T17:23:13Z

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Guenter am 18. Januar 2017 um 11:36 Uhr

2017-01-18T11:36:18Z

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 [[Datei:P_ID532__Sig_Z_3_7_b_neu.png|right|frame|Faltung von Rechtecksignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; und Impulsantwort&nbsp; $h(t)$]]
-'''(2)'''&nbsp;   Es gilt&nbsp; $r(t) = s(t) ∗ h(t)$. Diese Faltungsoperation lässt sich am einfachsten grafisch ausführen:
+'''(2)'''&nbsp;   Es gilt&nbsp; $r(t) = s(t) ∗ h(t)$.&nbsp; Diese Faltungsoperation lässt sich am einfachsten grafisch ausführen:
 Die Werte des Empfangssignals lauten allgemein:
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-'''(3)'''&nbsp;  Bei ähnlicher Vorgehensweise wie unter '''(2)''' erhält man für $r(t)$ ein Gleichsignal von $2 \hspace{0.02cm}\text{ V}$:
+'''(3)'''&nbsp;  Bei ähnlicher Vorgehensweise wie unter&nbsp; '''(2)'''&nbsp; erhält man für&nbsp; $r(t)$&nbsp; ein Gleichsignal von $2 \hspace{0.02cm}\text{ V}$:
-*Die Lücken im Signal $s(t)$ werden durch das Echo $s(t - T/2)$ vollständig aufgefüllt.
+*Die Lücken im Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; werden durch das Echo&nbsp; $s(t - T/2)$&nbsp; vollständig aufgefüllt.
-*Dieses Ergebnis lässt sich auch im Frequenzbereich ableiten.
+*Dieses Ergebnis lässt sich auch im Frequenzbereich ableiten.&nbsp; Der Kanalfrequenzgang lautet mit&nbsp; $\alpha = 1$&nbsp; und&nbsp; $\tau = T/2$:
 :$$H( f ) = 1 + 1 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}fT}  = 1 + \cos ( {{\rm{\pi }}fT} ) - {\rm{j}} \cdot {\rm{sin}}( {{\rm{\pi }}fT} ).$$
-*Das Eingangssignal ${s(t)}$ hat außer dem Gleichanteil nur Anteile bei $f = f_0 = 1/T$, $f = 3 \cdot f_0$, $f = 5 \cdot f_0$ usw..
+*Das Eingangssignal&nbsp; ${s(t)}$&nbsp; hat außer dem Gleichanteil nur Anteile bei&nbsp; $f = f_0 = 1/T$,&nbsp; $f = 3 \cdot f_0$,&nbsp; $f = 5 \cdot f_0$ usw.
-*Bei diesen Frequenzen sind aber sowohl der Real&ndash; als auch der Imaginärteil von ${H(f)}$ gleich Null.
+*Bei diesen Frequenzen sind aber sowohl der Real&ndash; als auch der Imaginärteil von&nbsp; ${H(f)}$&nbsp; gleich Null.
-*Damit erhält man für das Ausgangsspektrum mit $A_0 = 1 \text{ V}$ und $H(f = 0) = 2$:
+*Damit erhält man für das Ausgangsspektrum mit&nbsp; $A_0 = 1 \text{ V}$&nbsp; und&nbsp; $H(f = 0) = 2$:
 :$$R(f) = A_0  \cdot H(f = 0) \cdot \delta (f) = 2\;{\rm{V}} \cdot \delta (f).$$
-Die Fourierrücktransformation liefert damit ebenfalls $r(t) \underline{= 2 \text{ V= const}}$.
+Die Fourierrücktransformation liefert damit ebenfalls&nbsp; $r(t) \underline{= 2 \text{ V= const}}$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID531__Sig_Z_3_7_neu.png|right|frame|Sendesignal $s(t)$ & Signal $r(t)$ mit Echo]]
-Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; mit den möglichen Amplitudenwerten&nbsp; $0\text{ V}$&nbsp; und&nbsp; $2\text{ V}$&nbsp; und der Periodendauer&nbsp; $T_0 = T = 1 \text{ ms}$. Bei den Sprungstellen, zum Beispiel bei&nbsp; $t = T/4$, beträgt der Signalwert jeweils&nbsp; $1\text{ V}$. Der Gleichanteil $($also der Fourierkoeffizient&nbsp; $A_0)$&nbsp; des Signals ist ebenfalls&nbsp; $1\text{ V}$.
+Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; mit den möglichen Amplitudenwerten&nbsp; $0\text{ V}$&nbsp; und&nbsp; $2\text{ V}$&nbsp; und der Periodendauer&nbsp; $T_0 = T = 1 \text{ ms}$.&nbsp; Bei den Sprungstellen, zum Beispiel bei&nbsp; $t = T/4$, beträgt der Signalwert jeweils&nbsp; $1\text{ V}$.&nbsp; Der Gleichanteil $($also der Fourierkoeffizient&nbsp; $A_0)$&nbsp; des Signals ist ebenfalls&nbsp; $1\text{ V}$.
 Weiter gilt:
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-{Berechnen Sie das Signal&nbsp; $r(t)$&nbsp; mit&nbsp; $\alpha = 1$&nbsp; und&nbsp; $\tau = T/2$. Interpretieren Sie das Ergebnis im Frequenzbereich. <br>Welcher Wert ergibt sich bei&nbsp; $t = T/2$?
+{Berechnen Sie das Signal&nbsp; $r(t)$&nbsp; mit&nbsp; $\alpha = 1$&nbsp; und&nbsp; $\tau = T/2$.&nbsp; Interpretieren Sie das Ergebnis im Frequenzbereich. <br>Welcher Wert ergibt sich bei&nbsp; $t = T/2$?
 |type="{}"}
 $r(t = T/2)\ = \ $ { 2 3% } &nbsp;$\text{V}$

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp;  Richtig ist der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>:
-*Die Impulsantwort ist gleich dem Empfangssignal $r(t)$, wenn am Eingang ein einzelner Diracimpuls zum Zeitpunkt $t = 0$ anliegt:
+*Die Impulsantwort ist gleich dem Empfangssignal&nbsp; $r(t)$, wenn am Eingang ein einzelner Diracimpuls zum Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; anliegt:
 :$$h(t) = \delta (t) + \alpha  \cdot \delta( {t - \tau } ).$$
-[[Datei:P_ID532__Sig_Z_3_7_b_neu.png|right|frame|Faltung von Rechtecksignal $s(t)$ und Impulsantwort $h(t)$]]
+[[Datei:P_ID532__Sig_Z_3_7_b_neu.png|right|frame|Faltung von Rechtecksignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; und Impulsantwort&nbsp; $h(t)$]]
-'''(2)'''&nbsp;   Es gilt $r(t) = s(t) ∗ h(t)$. Diese Faltungsoperation lässt sich am einfachsten grafisch ausführen:
+'''(2)'''&nbsp;   Es gilt&nbsp; $r(t) = s(t) ∗ h(t)$. Diese Faltungsoperation lässt sich am einfachsten grafisch ausführen:
 Die Werte des Empfangssignals lauten allgemein:
-* $0.00 < t/T < 0.25\text{:}\hspace{0.4cm}   r(t) = -1\hspace{0.02cm}\text{ V}$,
+* $0.00 < t/T < 0.25\text{:}\hspace{0.4cm}   r(t) = +1\hspace{0.02cm}\text{ V}$,
 * $0.25 < t/T < 0.50\text{:}\hspace{0.4cm}  r(t) = -1 \hspace{0.02cm}\text{ V}$,
 * $0.50 < t/T < 0.75\text{:}\hspace{0.4cm}   r(t) = 0 \hspace{0.02cm}\text{ V}$,
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-Die gesuchten Werte sind somit $r(t = 0.2 \cdot T) \hspace{0.15cm}\underline{= +1 \hspace{0.02cm}\text{ V}}$ und $r(t = 0.3 · T) \hspace{0.15cm}\underline{= -1 \hspace{0.02cm}\text{ V}}$.
+Die gesuchten Werte sind somit

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 [[Datei:P_ID531__Sig_Z_3_7_neu.png|right|frame|Sendesignal $s(t)$ & Signal $r(t)$ mit Echo]]
-Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal $s(t)$ mit den möglichen Amplitudenwerten $0\hspace{0.02cm}\text{ V}$ und $2\hspace{0.02cm}\text{ V}$ und der Periodendauer $T_0 = T = 1 \hspace{0.02cm}\text{ms}$. Bei den Sprungstellen, zum Beispiel bei $t = T/4$, beträgt der Signalwert jeweils $1\hspace{0.05cm}\text{ V}$. Der Gleichanteil (also der Fourierkoeffizient $A_0$) des Signals ist ebenfalls $1\hspace{0.02cm}\text{ V}$. Weiter gilt:
+Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; mit den möglichen Amplitudenwerten&nbsp; $0\text{ V}$&nbsp; und&nbsp; $2\text{ V}$&nbsp; und der Periodendauer&nbsp; $T_0 = T = 1 \text{ ms}$. Bei den Sprungstellen, zum Beispiel bei&nbsp; $t = T/4$, beträgt der Signalwert jeweils&nbsp; $1\text{ V}$. Der Gleichanteil $($also der Fourierkoeffizient&nbsp; $A_0)$&nbsp; des Signals ist ebenfalls&nbsp; $1\text{ V}$.
-* Aufgrund der Symmetrie (gerade Funktion) sind alle Sinuskoeffizienten $B_n = 0$.
+Weiter gilt:
-* Die Koeffizienten $A_n$ mit geradzahligem $n$ sind ebenfalls $0$.
+* Aufgrund der Symmetrie (gerade Funktion) sind alle Sinuskoeffizienten&nbsp; $B_n = 0$.
-* Für ungeradzahlige Werte von $n$ gilt hingegen:
+* Die Koeffizienten&nbsp; $A_n$&nbsp; mit geradzahligem&nbsp; $n$&nbsp; sind ebenfalls Null.
 :$$A_n  = ( { - 1} )^{\left( {n - 1} \right)/2}  \cdot \frac{{4\;{\rm{V}}}}{{n \cdot {\rm{\pi }}}}.$$
-Das Signal $s(t)$ gelangt über zwei Wege zum Empfänger (siehe untere Skizze):
+Das Signal&nbsp; $s(t)$&nbsp; gelangt über zwei Wege zum Empfänger (siehe untere Skizze):
 *Einmal auf dem direkten Pfad und zum zweiten über einen Nebenpfad.
-*Letzterer ist durch den Dämpfungsfaktor $\alpha$ und die Laufzeit $\tau$ gekennzeichnet.
+*Letzterer ist durch den Dämpfungsfaktor&nbsp; $\alpha$&nbsp; und die Laufzeit&nbsp; $\tau$&nbsp; gekennzeichnet.
 *Daher gilt für das Empfangssignal:
 :$$r(t) = s(t) + \alpha  \cdot s( {t - \tau } ).$$
-Der Frequenzgang des Kanals ist $H(f) = R(f)/S(f)$, die Impulsantwort wird mit $h(t)$ bezeichnet.
+Der Frequenzgang des Kanals ist&nbsp; $H(f) = R(f)/S(f)$, die Impulsantwort wird mit&nbsp; $h(t)$&nbsp; bezeichnet.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz und Faltungsoperation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation|Faltungssatz und Faltungsoperation]].
-*Wichtige Informationen finden Sie insbesondere auf der Seite [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_einer_Funktion_mit_einer_Diracfunktion|Faltung einer Funktion mit einer Diracfunktion]].
+*Wichtige Informationen finden Sie insbesondere auf der Seite&nbsp; [[Signaldarstellung/Faltungssatz_und_Faltungsoperation#Faltung_einer_Funktion_mit_einer_Diracfunktion|Faltung einer Funktion mit einer Diracfunktion]].
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 <quiz display=simple>
-{Welche Aussagen treffen hinsichtlich der Impulsantwort $h(t)$ zu?
+{Welche Aussagen treffen hinsichtlich der Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
-- Für $0 ≤ t < \tau$ gilt &nbsp;$h(t) = 1$, für $t  > \tau$ ist $h(t) = 1 + \alpha$.
+- Für&nbsp; $0 ≤ t < \tau$&nbsp; gilt &nbsp;$h(t) = 1$, für&nbsp; $t  > \tau$&nbsp; ist&nbsp; $h(t) = 1 + \alpha$.
 + Es gilt &nbsp;$h(t) = \delta (t) + \alpha \cdot \delta(t - \tau)$.
-- $h(t)$ hat einen gaußförmigen Verlauf.
+- $h(t)$&nbsp; hat einen gaußförmigen Verlauf.
-{Berechnen Sie das Signal $r(t)$ für die Kanalparameter $\alpha = -0.5$ und $\tau = T/4$. Welche Werte ergeben sich zu den angegebenen Zeiten?
+{Berechnen Sie das Signal&nbsp; $r(t)$&nbsp; für die Kanalparameter&nbsp; $\alpha = -0.5$&nbsp; und&nbsp; $\tau = T/4$. <br>Welche Werte ergeben sich zu den angegebenen Zeiten?
 |type="{}"}
 $r(t = 0.2 \cdot T)\ = \ $  { 1 3% } &nbsp;$\text{V}$
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-{Berechnen Sie das Signal $r(t)$ mit $\alpha = 1$ und $\tau = T/2$. Interpretieren Sie das Ergebnis im Frequenzbereich. <br>Welcher Wert ergibt sich bei $t = T/2$?
+{Berechnen Sie das Signal&nbsp; $r(t)$&nbsp; mit&nbsp; $\alpha = 1$&nbsp; und&nbsp; $\tau = T/2$. Interpretieren Sie das Ergebnis im Frequenzbereich. <br>Welcher Wert ergibt sich bei&nbsp; $t = T/2$?
 |type="{}"}
 $r(t = T/2)\ = \ $ { 2 3% } &nbsp;$\text{V}$

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 }}
-[[Datei:P_ID531__Sig_Z_3_7_neu.png|right|frame|Sendesignal $s(t)$ und Signal $r(t)$ mit Echo]]
+[[Datei:P_ID531__Sig_Z_3_7_neu.png|right|frame|Sendesignal $s(t)$ & Signal $r(t)$ mit Echo]]
 Wir betrachten ein periodisches Rechtecksignal $s(t)$ mit den möglichen Amplitudenwerten $0\hspace{0.02cm}\text{ V}$ und $2\hspace{0.02cm}\text{ V}$ und der Periodendauer $T_0 = T = 1 \hspace{0.02cm}\text{ms}$. Bei den Sprungstellen, zum Beispiel bei $t = T/4$, beträgt der Signalwert jeweils $1\hspace{0.05cm}\text{ V}$. Der Gleichanteil (also der Fourierkoeffizient $A_0$) des Signals ist ebenfalls $1\hspace{0.02cm}\text{ V}$. Weiter gilt:
@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
 :$$A_n  = ( { - 1} )^{\left( {n - 1} \right)/2}  \cdot \frac{{4\;{\rm{V}}}}{{n \cdot {\rm{\pi }}}}.$$
-Das Signal $s(t)$ gelangt über zwei Wege zum Empfänger (siehe untere Skizze): Einmal auf dem direkten Pfad und zum zweiten über einen Nebenpfad. Dieser ist durch den Dämpfungsfaktor $\alpha$ und die Laufzeit $\tau$ gekennzeichnet. Daher gilt für das Empfangssignal:
+Das Signal $s(t)$ gelangt über zwei Wege zum Empfänger (siehe untere Skizze):
 :$$r(t) = s(t) + \alpha  \cdot s( {t - \tau } ).$$
 Der Frequenzgang des Kanals ist $H(f) = R(f)/S(f)$, die Impulsantwort wird mit $h(t)$ bezeichnet.
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 {Welche Aussagen treffen hinsichtlich der Impulsantwort $h(t)$ zu?
 |type="[]"}
-- Für $0 ≤ t < \tau$ gilt $h(t) = 1$, für $t  > \tau$ ist $h(t) = 1 + \alpha$.
+- Für $0 ≤ t < \tau$ gilt &nbsp;$h(t) = 1$, für $t  > \tau$ ist $h(t) = 1 + \alpha$.
-+ Es gilt $h(t) = \delta (t) + \alpha \cdot \delta(t – \tau)$.
++ Es gilt &nbsp;$h(t) = \delta (t) + \alpha \cdot \delta(t - \tau)$.
 - $h(t)$ hat einen gaußförmigen Verlauf.
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-'''(3)'''&nbsp;  Bei ähnlicher Vorgehensweise wie unter (2) erhält man für $r(t)$ ein Gleichsignal von $2 \hspace{0.02cm}\text{ V}$:
+'''(3)'''&nbsp;  Bei ähnlicher Vorgehensweise wie unter '''(2)''' erhält man für $r(t)$ ein Gleichsignal von $2 \hspace{0.02cm}\text{ V}$:
-*Die Lücken im Signal $s(t)$ werden durch das Echo $s(t – T/2)$ vollständig aufgefüllt.
+*Die Lücken im Signal $s(t)$ werden durch das Echo $s(t - T/2)$ vollständig aufgefüllt.
-*Dieses Ergebnis lässt sich auch im Frequenzbereich ableiten. Der Kanalfrequenzgang lautet mit $\alpha = 1$ und $\tau = T/2$:
+*Dieses Ergebnis lässt sich auch im Frequenzbereich ableiten.
 :$$H( f ) = 1 + 1 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}fT}  = 1 + \cos ( {{\rm{\pi }}fT} ) - {\rm{j}} \cdot {\rm{sin}}( {{\rm{\pi }}fT} ).$$
 *Das Eingangssignal ${s(t)}$ hat außer dem Gleichanteil nur Anteile bei $f = f_0 = 1/T$, $f = 3 \cdot f_0$, $f = 5 \cdot f_0$ usw..
-*Bei diesen Frequenzen sind aber sowohl der Real- als auch der Imaginärteil von ${H(f)}$ gleich Null.
+*Bei diesen Frequenzen sind aber sowohl der Real&ndash; als auch der Imaginärteil von ${H(f)}$ gleich Null.
 *Damit erhält man für das Ausgangsspektrum mit $A_0 = 1 \text{ V}$ und $H(f = 0) = 2$:
 :$$R(f) = A_0  \cdot H(f = 0) \cdot \delta (f) = 2\;{\rm{V}} \cdot \delta (f).$$

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''  Die Impulsantwort ist gleich dem Empfangssignal $\text{r(t)}$, wenn am Eingang ein einzelner Diracimpuls zum Zeitpunkt $t = 0$ anliegt:
+'''1.'''  Die Impulsantwort ist gleich dem Empfangssignal $r(t)$, wenn am Eingang ein einzelner Diracimpuls zum Zeitpunkt $t = 0$ anliegt:
 :$$h(t) = \delta (t) + \alpha  \cdot \delta( {t - \tau } ).$$
 Richtig ist somit der <u>zweite Lösungsvorschlag</u>.
-'''2.'''  Es gilt $\text{r(t)} = \text{s(t)} ∗ \text{h(t)}$. Diese Faltungsoperation lässt sich am einfachsten grafisch ausführen:
+[[Datei:P_ID532__Sig_Z_3_7_b_neu.png|right|Faltung von Rechteck und Dirac]]
 Die Werte des Empfangssignals lauten allgemein:
-:* $0.00 < t/T < 0.25:   r(t) = –1 V$,
+:* $0.00 < t/T < 0.25:   r(t) = –1\text{ V}$,
-:* $0.25 < t/T < 0.50:   r(t) = –1 V$,
+:* $0.25 < t/T < 0.50:   r(t) = \,–1 \text{ V}$,
-:* $0.50 < t/T < 0.75:   r(t) = 0 V$,
+:* $0.50 < t/T < 0.75:   r(t) = 0 \text{ V}$,
-:* $0.75 < t/T < 1.00:   r(t) = 2 V$.
+:* $0.75 < t/T < 1.00:   r(t) = +2 \text{ V}$.
-Die gesuchten Werte sind somit $r(t = 0.2 \cdot T) \underline{= +1 V}$ und $r(t = 0.3 · T) \underline{= –1 V}$.
+Die gesuchten Werte sind somit $r(t = 0.2 \cdot T) \underline{= +1 \text{ V}}$ und $r(t = 0.3 · T) \underline{= \,–1 \text{ V}}$.
-'''3.'''  Bei ähnlicher Vorgehensweise wie unter 2) erhält man für $\text{r(t)}$ ein Gleichsignal von $2 V$. Die Lücken im Signal $\text{s(t)}$ werden durch das Echo $\text{s(t – T/2)}$ vollständig aufgefüllt. Dieses Ergebnis lässt sich auch im Frequenzbereich ableiten. Der Kanalfrequenzgang lautet mit $\alpha = 1$ und $\tau = T/2$:
+'''3.'''  Bei ähnlicher Vorgehensweise wie unter 2) erhält man für $r(t)$ ein Gleichsignal von $2 \text{ V}$:
 :$$H( f ) = 1 + 1 \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}fT}  = 1 + \cos ( {{\rm{\pi }}fT} ) - {\rm{j}} \cdot {\rm{sin}}( {{\rm{\pi }}fT} ).$$
-Das Eingangssignal $\text{s(t)}$ hat außer dem Gleichanteil nur Anteile bei $f = f_0 = 1/T$, $f = 3 \cdot f_0$, $f = 5 \cdot f_0$ usw.. Bei diesen Frequenzen sind aber sowohl der Real- als auch der Imaginärteil von $\text{H(f)}$ gleich Null. Damit erhält man für das Ausgangsspektrum mit $A_0 = 1 V$ und $H(f = 0) = 2$:
+*Das Eingangssignal ${s(t)}$ hat außer dem Gleichanteil nur Anteile bei $f = f_0 = 1/T$, $f = 3 \cdot f_0$, $f = 5 \cdot f_0$ usw..
 :$$R(f) = A_0  \cdot H(f = 0) \cdot \delta (f) = 2\;{\rm{V}} \cdot \delta (f).$$
-Die Fourierrücktransformation liefert damit ebenfalls $r(t) \underline{= 2 V = const}$.
+Die Fourierrücktransformation liefert damit ebenfalls $r(t) \underline{= 2 \text{ V= const}}$.
 {{ML-Fuß}}