Aufgaben:Aufgabe 3.7Z: Partialbruchzerlegung - Versionsgeschichte

Guenter am 25. Januar 2022 um 14:07 Uhr

2022-01-25T14:07:34Z

Guenter am 25. Januar 2022 um 13:59 Uhr

2022-01-25T13:59:58Z

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2019-11-04T09:28:57Z

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2019-11-04T09:23:24Z

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2018-11-28T11:31:49Z

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2018-11-28T11:07:24Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:55Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-03-17T15:36:48Z

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2018-03-17T15:20:04Z

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2018-01-03T13:22:15Z

Guenter verschob die Seite 3.7Z Partialbruchzerlegung nach Aufgabe 3.7Z: Partialbruchzerlegung

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
-*Nach den in der Aufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle &nbsp;$p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$&nbsp;  in der linken $p$&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle &nbsp;$p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$&nbsp; in der rechten Halbebene gibt.
+*Nach den in der Aufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor,&nbsp; wenn es zu jeder Polstelle &nbsp;$p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$&nbsp;  in der linken $p$&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle &nbsp;$p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$&nbsp; in der rechten Halbebene gibt.
 *Mit&nbsp; $K = 1$&nbsp; ist dann die Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f) = 0 \ \rm  Np$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $|H(f)| = 1$.
 *Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man: &nbsp; Die Konfigurationen &nbsp;$(1)$ und &nbsp;$(2)$ erfüllen genau diese Symmetrieeigenschaften.
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-'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u> Lösungsvorschlag 4</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der&nbsp; <u> Lösungsvorschlag 4</u>:
-*Die Übertragungsfunktion &nbsp;$H_{\rm L}^{(5)}(p)$&nbsp; wird ebenso durch die Konfiguration &nbsp;$(4)$&nbsp; beschrieben, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
+*Die Übertragungsfunktion &nbsp;$H_{\rm L}^{(5)}(p)$&nbsp; wird ebenso durch die Konfiguration &nbsp;$(4)$&nbsp; beschrieben,&nbsp; wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
 :$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2}
   =\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}}
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   }= H_{\rm L}^{(4)}(p)
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Die doppelte Nullstelle liegt bei &nbsp;$p_{\rm o} = 0$, der doppelte Pol bei &nbsp;$p_{\rm x} = -A = -2$.
+*Die doppelte Nullstelle liegt bei &nbsp;$p_{\rm o} = 0$,&nbsp; der doppelte Pol bei &nbsp;$p_{\rm x} = -A = -2$.
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   \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig sind also die <u> Lösungsvorschläge 2 und 3</u> im Gegensatz zur Aussage 1:
+Richtig sind also die&nbsp; <u> Lösungsvorschläge 2 und 3</u>&nbsp; im Gegensatz zur Aussage 1:
 * Während &nbsp;$H_{\rm L}(p)$&nbsp; zwei konjugiert&ndash;komplexe Nullstellen aufweist,
 *besitzt &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; nur eine einzige Nullstelle bei &nbsp;$p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = 0$.
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   \hspace{0.05cm}.$$
 *Die Nullstelle von &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; liegt nun bei &nbsp;$p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = -2$.
-*Die Konstante ist &nbsp;$K\hspace{0.01cm}' = 4$ &nbsp; &#8658; &nbsp; richtig ist hier nur der <u> Lösungsvorschlag 2</u>.
+*Die Konstante ist &nbsp;$K\hspace{0.01cm}' = 4$ &nbsp; &#8658; &nbsp; richtig ist hier nur der&nbsp; <u> Lösungsvorschlag 2</u>.
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   \cdot \frac{p+1}{(p+2)^2}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist auch hier <u>der Lösungsvorschlag 2</u>. Allgemein lässt sich sagen:
+Richtig ist auch hier&nbsp; <u>der Lösungsvorschlag 2</u>.&nbsp; Allgemein lässt sich sagen:
 *Durch die Partialbruchzerlegung wird die Anzahl und die Lage der Nullstellen verändert.
-*Die Pole von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ sind dagegen stets identisch mit denen von $H_{\rm L}(p)$.
+*Die Pole von&nbsp; $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; sind dagegen stets identisch mit denen von&nbsp; $H_{\rm L}(p)$.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID1789__LZI_Z_3_7.png|right|frame|Pol–Nullstellen–Diagramme]]
 In der Grafik sind vier Vierpole durch ihre Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Diagramme &nbsp;$H_{\rm L}(p)$&nbsp; gegeben.
-* Sie alle haben gemein, dass die Anzahl &nbsp;$Z$&nbsp; der Nullstellen gleich der Anzahl &nbsp;$N$&nbsp; der Polstellen ist.
+* Sie alle haben gemein,&nbsp; dass die Anzahl &nbsp;$Z$&nbsp; der Nullstellen gleich der Anzahl &nbsp;$N$&nbsp; der Polstellen ist.
 *Der konstante Faktor ist jeweils &nbsp;$K=1$.
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 Im Sonderfall &nbsp;$Z = N$&nbsp; kann zur Berechnung der Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; der Residuensatz nicht direkt angewendet werden.
-Vielmehr muss vorher eine Partialbruchzerlegung entsprechend
+Vielmehr muss vorher eine&nbsp; '''Partialbruchzerlegung'''&nbsp; entsprechend
 :$$H_{\rm L}(p)  =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)
   \hspace{0.05cm}$$
-vorgenommen werden. Für die Impulsantwort gilt dann
+vorgenommen werden.&nbsp; Für die Impulsantwort gilt dann
 :$$h(t)  = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t)
   \hspace{0.05cm}.$$
-&nbsp;$h\hspace{0.03cm}'(t)$&nbsp; ist die Laplace&ndash;Rücktransformierte von &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$&nbsp;, bei der die Bedingung &nbsp;$Z' < N'$&nbsp;  erfüllt ist.
+$h\hspace{0.03cm}'(t)$&nbsp; ist die Laplace&ndash;Rücktransformierte von &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$,&nbsp; bei der die Bedingung &nbsp;$Z' < N'$&nbsp;  erfüllt ist.
-Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte ''Allpässe''.
+Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte&nbsp; '''Allpässe'''.
-*Darunter versteht man Vierpole, bei denen die Fourier&ndash;Spektralfunktion die Bedingung &nbsp;$|H(f)| = 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $a(f) = 0$&nbsp; erfüllt.
+*Darunter versteht man Vierpole,&nbsp; bei denen die Fourier&ndash;Spektralfunktion die Bedingung &nbsp;$|H(f)| = 1$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $a(f) = 0$&nbsp; erfüllt.
-*In [[Aufgaben:3.4Z_Verschiedene_Allpässe|Aufgabe 3.4Z]] ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses liegen müssen.
+*In [[Aufgaben:3.4Z_Verschiedene_Allpässe|Aufgabe 3.4Z]]&nbsp; ist angegeben,&nbsp; wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses liegen müssen.
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 :$$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2}
   \hspace{0.05cm}$$
-&rArr; &nbsp; &bdquo;Konfiguration $(5)$&rdquo; näher untersucht werden, die bei richtiger Wahl des Parameters &nbsp;$A$&nbsp; durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Diagramme dargestellt werden kann.
+&rArr; &nbsp; &bdquo;Konfiguration $(5)$&rdquo; näher untersucht werden,&nbsp; die bei richtiger Wahl des Parameters &nbsp;$A$&nbsp; durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Diagramme dargestellt werden kann.
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-''Hinweise:''
+Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Partialbruchzerlegung|Partialbruchzerlegung]].

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 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
 *Nach den in der Aufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle &nbsp;$p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$&nbsp;  in der linken $p$&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle &nbsp;$p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$&nbsp; in der rechten Halbebene gibt.
-*$K = 1$&nbsp; ist dann die Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f) = 0 \ \rm  Np$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $|H(f)| = 1$.
+*Mit&nbsp; $K = 1$&nbsp; ist dann die Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f) = 0 \ \rm  Np$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $|H(f)| = 1$.
 *Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man: &nbsp; Die Konfigurationen &nbsp;$(1)$ und &nbsp;$(2)$ erfüllen genau diese Symmetrieeigenschaften.
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 * Während &nbsp;$H_{\rm L}(p)$&nbsp; zwei konjugiert&ndash;komplexe Nullstellen aufweist,
 *besitzt &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; nur eine einzige Nullstelle bei &nbsp;$p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = 0$.

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 }}
-[[Datei:P_ID1789__LZI_Z_3_7.png|right|frame|Pol–Nullstellen–Konfigurationen]]
+[[Datei:P_ID1789__LZI_Z_3_7.png|right|frame|Pol–Nullstellen–Diagramme]]
 In der Grafik sind vier Vierpole durch ihre Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Diagramme &nbsp;$H_{\rm L}(p)$&nbsp; gegeben.
 * Sie alle haben gemein, dass die Anzahl &nbsp;$Z$&nbsp; der Nullstellen gleich der Anzahl &nbsp;$N$&nbsp; der Polstellen ist.
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-Im Sonderfall &nbsp;$Z = N$&nbsp; kann zur Berechnung der Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; der Residuensatz nicht direkt angewendet werden. Vielmehr muss vorher eine Partialbruchzerlegung entsprechend
+Im Sonderfall &nbsp;$Z = N$&nbsp; kann zur Berechnung der Impulsantwort &nbsp;$h(t)$&nbsp; der Residuensatz nicht direkt angewendet werden.
 :$$H_{\rm L}(p)  =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)
   \hspace{0.05cm}$$
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 {Welcher Vierpol hat die Übertragungsfunktion &nbsp;$H_{\rm L}^{(5)}(p)$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - Konfiguration &nbsp;$(1)$,
 - Konfiguration &nbsp;$(2)$,
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-{Berechnen Sie die Funktion &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; nach einer Partialbruchzerlegung für die Konfiguration '''(1)'''. <br>Geben Sie den Funktionswert für &nbsp;$p = 0$&nbsp; ein.
+{Berechnen Sie die Funktion &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; nach einer Partialbruchzerlegung für die Konfiguration&nbsp; '''(1)'''. <br>Geben Sie den Funktionswert für &nbsp;$p = 0$&nbsp; ein.
 |type="{}"}
 $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p = 0) \ = \ $  { 2 3% }
-{Berechnen Sie  &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$(2)$. Welche Aussagen treffen hier zu?
+{Berechnen Sie  &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$(2)$.&nbsp; Welche Aussagen treffen hier zu?
 |type="[]"}
 - $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; besitzt die gleichen Nullstellen wie &nbsp;$H_{\rm L}(p)$.
@@ Zeile 69: / Zeile 71: @@
-{Berechnen Sie &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$(3)$. Welche Aussagen treffen hier zu?
+{Berechnen Sie &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$(3)$.&nbsp; Welche Aussagen treffen hier zu?
 |type="[]"}
 - $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; besitzt die gleichen Nullstellen wie &nbsp;$H_{\rm L}(p)$.
@@ Zeile 76: / Zeile 78: @@
-{Berechnen Sie &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$(4)$. Welche Aussagen treffen hier zu?
+{Berechnen Sie &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$(4)$.&nbsp; Welche Aussagen treffen hier zu?
 |type="[]"}
 - $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; besitzt die gleichen Nullstellen wie &nbsp;$H_{\rm L}(p)$.

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
-*Nach den in der Aufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle $p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$  in der linken $p$&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle $p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$ in der rechten Halbebene gibt.
+*Nach den in der Aufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle &nbsp;$p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$&nbsp;  in der linken $p$&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle &nbsp;$p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$&nbsp; in der rechten Halbebene gibt.
-*$K = 1$ ist dann die Dämpfungsfunktion $a(f) = 0 \ \rm  Np$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $|H(f)| = 1$.
+*$K = 1$&nbsp; ist dann die Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f) = 0 \ \rm  Np$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $|H(f)| = 1$.
 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u> Lösungsvorschlag 4</u>:
-*Die Übertragungsfunktion $H_{\rm L}^{(5)}(p)$ wird ebenso durch die Konfiguration $(4)$ beschrieben, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
+*Die Übertragungsfunktion &nbsp;$H_{\rm L}^{(5)}(p)$&nbsp; wird ebenso durch die Konfiguration &nbsp;$(4)$&nbsp; beschrieben, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
 :$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2}
   =\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}}
@@ Zeile 102: / Zeile 102: @@
   }= H_{\rm L}^{(4)}(p)
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die doppelte Nullstelle liegt bei $p_{\rm o} = 0$, der doppelte Pol bei $p_{\rm x} = -A = -2$.
+*Die doppelte Nullstelle liegt bei &nbsp;$p_{\rm o} = 0$, der doppelte Pol bei &nbsp;$p_{\rm x} = -A = -2$.
 '''(3)'''&nbsp; Für die Konfiguration $(1)$ gilt:
 :$$H_{\rm L}(p)  =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)  = \frac{4}{p+2}
@@ Zeile 113: / Zeile 114: @@
 '''(4)'''&nbsp; In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration $(2)$:
 :$$H_{\rm L}(p)  =\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}=
    \frac{p^2 -4\cdot p  +8 }{p^2 +4\cdot p  +8}=
@@ Zeile 123: / Zeile 125: @@
 Richtig sind also die <u> Lösungsvorschläge 2 und 3</u> im Gegensatz zur Aussage 1:
-* Während $H_{\rm L}(p)$ zwei konjugiert&ndash;komplexe Nullstellen aufweist,
+* Während &nbsp;$H_{\rm L}(p)$&nbsp; zwei konjugiert&ndash;komplexe Nullstellen aufweist,
-*besitzt $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ nur eine einzige Nullstelle bei $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = 0$.
+*besitzt &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; nur eine einzige Nullstelle bei &nbsp;$p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = 0$.
-'''(5)'''&nbsp; Für die Konfiguration $(3)$ gilt:
+'''(5)'''&nbsp; Für die Konfiguration &nbsp;$(3)$&nbsp; gilt:
 :$$H_{\rm L}(p)  =
    \frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p  +8}=\frac{p^2 +4\cdot p  +8 -4\cdot p  -8 }{p^2 +4\cdot p  +8}
@@ Zeile 135: / Zeile 137: @@
   \cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die Nullstelle von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ liegt nun bei $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = -2$ . Die Konstante ist $K\hspace{0.01cm}' = 4$ &nbsp; &#8658; &nbsp; richtig ist hier nur der <u> Lösungsvorschlag 2</u>.
+*Die Nullstelle von &nbsp;$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$&nbsp; liegt nun bei &nbsp;$p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = -2$.
-'''(6)'''&nbsp; Schließlich gilt für die Konfiguration $(4)$:
+'''(6)'''&nbsp; Schließlich gilt für die Konfiguration &nbsp;$(4)$:
 :$$H_{\rm L}(p)  =  \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p  +4 -4\cdot p  -4 }{p^2 +4\cdot p  +4}
    = 1- \frac{4\cdot p  +4 }{p^2 +4\cdot p  +4}

@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Partialbruchzerlegung|Partialbruchzerlegung]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

@@ Zeile 16: / Zeile 16: @@
 Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte ''Allpässe''.
 *Darunter versteht man Vierpole, bei denen die Fourier&ndash;Spektralfunktion die Bedingung $|H(f)| = 1$ &nbsp; &#8658;  $a(f) = 0$ erfüllt.
-*In der [[Aufgaben:3.4Z_Verschiedene_Allpässe|Aufgabe 3.4Z]] ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses angeordnet sein müssen.
+*In der [[Aufgaben:3.4Z_Verschiedene_Allpässe|Aufgabe 3.4Z]] ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses liegen müssen.
@@ Zeile 85: / Zeile 85: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Nach den in der Zusatzaufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle $p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$  in der linken $p$&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle $p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$ in der rechten Halbebene gibt. $K = 1$ ist dann die Dämpfungsfunktion $a(f) = 0 \ \rm  Np$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $|H(f)| = 1$. Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass die beiden <u>Konfigurationen (1) und (2)</u> genau diese Symmetrieeigenschaften aufweisen.
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
-'''(2)'''&nbsp; Die Übertragungsfunktion $H_{\rm L}^{(5)}(p)$ wird ebenso durch <u>die Konfiguration '''(4)'''</u> beschrieben, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
-$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2}
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u> Lösungsvorschlag 4</u>:
   =\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}}
    =  \hspace{0.2cm}\frac{p^2}{p^2 + 2A \cdot p + A^2} = \frac{p^2}{(p+A)^2
@@ Zeile 97: / Zeile 102: @@
-'''(3)'''&nbsp; Für die Konfiguration '''(1)''' gilt:
+'''(3)'''&nbsp; Für die Konfiguration $(1)$ gilt:
-$$H_{\rm L}(p)  =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)
+:$$H_{\rm L}(p)  =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)
 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)  = \frac{4}{p+2}
   \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p =0)
@@ Zeile 105: / Zeile 110: @@
-'''(4)'''&nbsp; In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration '''(2)''':
+'''(4)'''&nbsp; In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration $(2)$:
-$$H_{\rm L}(p)  =\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}=
+:$$H_{\rm L}(p)  =\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}=
    \frac{p^2 -4\cdot p  +8 }{p^2 +4\cdot p  +8}=
      \hspace{0.2cm}\frac{p^2 +4\cdot p  +8 -8\cdot p}{p^2 +4\cdot p
-  +8} $$
+  +8} =1- \frac{8\cdot p}{p^2 +4\cdot p  +8}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$
-$$H_{\rm L}(p)  =1- \frac{8\cdot p}{p^2 +4\cdot p  +8}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)  = 8
   \cdot \frac{p}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig sind <u>die beiden letzten Lösungsvorschläge</u> im Gegensatz zur Aussage 1:
 * Während $H_{\rm L}(p)$ zwei konjugiert&ndash;komplexe Nullstellen aufweist,
-*besitzt $H_{\rm L}'(p)$ nur eine einzige Nullstelle bei $p_{\rm o}' = 0$.
+*besitzt $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ nur eine einzige Nullstelle bei $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = 0$.
-'''(5)'''&nbsp; Für die Konfiguration '''(3)''' gilt:
+'''(5)'''&nbsp; Für die Konfiguration $(3)$ gilt:
-$$H_{\rm L}(p)  =
+:$$H_{\rm L}(p)  =
    \frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p  +8}=\frac{p^2 +4\cdot p  +8 -4\cdot p  -8 }{p^2 +4\cdot p  +8}
   = 1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$
-$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)  = 4
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)  = 4
   \cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die Nullstelle von $H_{\rm L}'(p)$ liegt nun bei $p_{\rm o}' = -2$ . Die Konstante ist $K' = 4$ &nbsp; &#8658; &nbsp; richtig ist hier nur die <u>Aussage 2</u>.
+Die Nullstelle von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ liegt nun bei $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = -2$ . Die Konstante ist $K\hspace{0.01cm}' = 4$ &nbsp; &#8658; &nbsp; richtig ist hier nur der <u> Lösungsvorschlag 2</u>.
-'''(6)'''&nbsp; Schließlich gilt für die Konfiguration '''(4)''':
+'''(6)'''&nbsp; Schließlich gilt für die Konfiguration $(4)$:
-$$H_{\rm L}(p)  =  \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p  +4 -4\cdot p  -4 }{p^2 +4\cdot p  +4}
+:$$H_{\rm L}(p)  =  \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p  +4 -4\cdot p  -4 }{p^2 +4\cdot p  +4}
    = 1- \frac{4\cdot p  +4 }{p^2 +4\cdot p  +4}
 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)  = 4
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 Richtig ist auch hier <u>der Lösungsvorschlag 2</u>. Allgemein lässt sich sagen:
 *Durch die Partialbruchzerlegung wird die Anzahl und die Lage der Nullstellen verändert.
-*Die Pole von $H_{\rm L}'(p)$ sind dagegen stets identisch mit denen von $H_{\rm L}(p)$.
+*Die Pole von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ sind dagegen stets identisch mit denen von $H_{\rm L}(p)$.
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[Datei:P_ID1789__LZI_Z_3_7.png|right|Einige Pol–Nullstellen–Konfigurationen]]
+[[Datei:P_ID1789__LZI_Z_3_7.png|right|frame|Einige Pol–Nullstellen–Konfigurationen]]
 In der Grafik sind vier Vierpole durch ihre Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Diagramme $H_{\rm L}(p)$ gegeben. Sie alle haben gemein, dass die Anzahl $Z$ der Nullstellen gleich der Anzahl $N$ der Polstellen ist. Der konstante Faktor ist jeweils $K=1$.
 Im Sonderfall $Z = N$ kann zur Berechnung der Impulsantwort $h(t)$ der Residuensatz nicht direkt angewendet werden. Vielmehr muss vorher eine Partialbruchzerlegung entsprechend
-$$H_{\rm L}(p)  =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)
+:$$H_{\rm L}(p)  =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)
   \hspace{0.05cm}$$
 vorgenommen werden. Für die Impulsantwort gilt dann
-$$h(t)  = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t)
+:$$h(t)  = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t)
   \hspace{0.05cm},$$
-wobei $h'(t)$ die Laplace&ndash;Rücktransformierte von $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ angibt, bei der die Bedingung $Z' < N'$  erfüllt ist.
+wobei $h\hspace{0.03cm}'(t)$ die Laplace&ndash;Rücktransformierte von $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ angibt, bei der die Bedingung $Z' < N'$  erfüllt ist.
 Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte ''Allpässe''.
 *Darunter versteht man Vierpole, bei denen die Fourier&ndash;Spektralfunktion die Bedingung $|H(f)| = 1$ &nbsp; &#8658;  $a(f) = 0$ erfüllt.
-*In der [[Aufgaben:3.4Z_Verschiedene_Allpässe|Zusatzaufgabe 3.4Z]] ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses angeordnet sein müssen.
+*In der [[Aufgaben:3.4Z_Verschiedene_Allpässe|Aufgabe 3.4Z]] ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses angeordnet sein müssen.
 Weiterhin soll in dieser Aufgabe die $p$&ndash;Übertragungsfunktion
-$$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2}
+:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2}
   \hspace{0.05cm}$$
-&rArr; &nbsp; &bdquo;Konfiguration (5)&rdquo; näher untersucht werden, die bei richtiger Wahl des Parameters $A$ durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Diagramme dargestellt werden kann.
+&rArr; &nbsp; &bdquo;Konfiguration $(5)$&rdquo; näher untersucht werden, die bei richtiger Wahl des Parameters $A$ durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Diagramme dargestellt werden kann.
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Partialbruchzerlegung|Partialbruchzerlegung]].
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 {Bei welchen der skizzierten Vierpole handelt es sich um Allpässe?
 |type="[]"}
-+ Konfiguration (1),
++ Konfiguration $(1)$,
-+ Konfiguration (2),
++ Konfiguration $(2)$,
-- Konfiguration (3),
+- Konfiguration $(3)$,
-- Konfiguration (4).
+- Konfiguration $(4)$.
 {Welcher Vierpol hat die Übertragungsfunktion $H_{\rm L}^{(5)}(p)$?
 |type="[]"}
-- Konfiguration (1),
+- Konfiguration $(1)$,
-- Konfiguration (2),
+- Konfiguration $(2)$,
-- Konfiguration (3),
+- Konfiguration $(3)$,
-+ Konfiguration (4).
++ Konfiguration $(4)$.
-{Berechnen Sie die Funktion $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ nach einer Partialbruchzerlegung für die Konfiguration '''(1)'''. Geben Sie den Funktionswert für $p = 0$ ein.
+{Berechnen Sie die Funktion $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ nach einer Partialbruchzerlegung für die Konfiguration '''(1)'''. Geben Sie den Funktionswert für $p = 0$ ein.
 |type="{}"}
-${\rm Konfiguration}\ (1):\ \ H_L'(p = 0) \ = $  { 2 3% }
+$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p = 0) \ = \ $  { 2 3% }
-{Berechnen Sie  $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ für Konfiguration '''(2)'''. Welche Aussagen treffen hier zu?
+{Berechnen Sie  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ für Konfiguration $(2)$. Welche Aussagen treffen hier zu?
 |type="[]"}
-- $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ besitzt die gleichen Nullstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
+- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Nullstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
-+ $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ besitzt die gleichen Polstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
++ $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Polstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
-+ Der konstante Faktor von $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ ist $K' = 8$.
++ Der konstante Faktor von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ ist $K' = 8$.
-{Berechnen Sie <i>H</i><sub>L</sub>'(<i>p</i>) für Konfiguration '''(3)'''. Welche Aussagen treffen hier zu?
+{Berechnen Sie $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ für Konfiguration $(3)$. Welche Aussagen treffen hier zu?
 |type="[]"}
-- $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ besitzt die gleichen Nullstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
+- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Nullstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
-+ $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ besitzt die gleichen Polstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
++ $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Polstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
-- Der konstante Faktor von $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ ist $K' = 8$.
+- Der konstante Faktor von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ ist $K' = 8$.
-{Berechnen Sie <i>H</i><sub>L</sub>'(<i>p</i>) für Konfiguration '''(4)'''. Welche Aussagen treffen hier zu?
+{Berechnen Sie $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ für Konfiguration $(4)$. Welche Aussagen treffen hier zu?
 |type="[]"}
-- $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ besitzt die gleichen Nullstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
+- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Nullstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
-+ $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ besitzt die gleichen Polstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
++ $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Polstellen wie $H_{\rm L}(p)$.
-- Der konstante Faktor von $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ ist $K' = 8$.
+- Der konstante Faktor von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ ist $K' = 8$.