Aufgaben:Aufgabe 3.7Z: Partialbruchzerlegung - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:36:50Z

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	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.3 Laplace–Rücktransformation^]]		[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.3 Laplace–Rücktransformation^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.7Z:_Partial_Fraction_Decomposition]]

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2026-02-24T13:39:28Z

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← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:39 Uhr
Zeile 12:		Zeile 12:

	Vielmehr muss vorher eine  '''Partialbruchzerlegung'''  entsprechend		Vielmehr muss vorher eine  '''Partialbruchzerlegung'''  entsprechend
	:$$H_{\rm L}(p) =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)		:$$H_{\rm L}(p) =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)\hspace{0.05cm}$$
	\hspace{0.05cm}$$
	vorgenommen werden.  Für die Impulsantwort gilt dann		vorgenommen werden.  Für die Impulsantwort gilt dann
	:$$h(t) = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t)		:$$h(t) = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t)\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$
	$h\hspace{0.03cm}'(t)$  ist die Laplace–Rücktransformierte von  $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$,  bei der die Bedingung  $Z' < N'$  erfüllt ist.		$h\hspace{0.03cm}'(t)$  ist die Laplace–Rücktransformierte von  $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$,  bei der die Bedingung  $Z' < N'$  erfüllt ist.

Zeile 25:		Zeile 23:

	Weiterhin soll in dieser Aufgabe die  $p$–Übertragungsfunktion		Weiterhin soll in dieser Aufgabe die  $p$–Übertragungsfunktion
	:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2}		:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2}\hspace{0.05cm}$$
	\hspace{0.05cm}$$
	⇒   &bdquo;Konfiguration $(5)$” näher untersucht werden,  die bei richtiger Wahl des Parameters  $A$  durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol–Nullstellen–Diagramme dargestellt werden kann.		⇒   &bdquo;Konfiguration $(5)$” näher untersucht werden,  die bei richtiger Wahl des Parameters  $A$  durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol–Nullstellen–Diagramme dargestellt werden kann.

Zeile 99:		Zeile 96:
	'''(2)'''  Richtig ist der  <u> Lösungsvorschlag 4</u>:		'''(2)'''  Richtig ist der  <u> Lösungsvorschlag 4</u>:
	*Die Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}^{(5)}(p)$  wird ebenso durch die Konfiguration  $(4)$  beschrieben,  wie die nachfolgende Rechnung zeigt:		*Die Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}^{(5)}(p)$  wird ebenso durch die Konfiguration  $(4)$  beschrieben,  wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
	:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2}		:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2}=\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}}= \hspace{0.2cm}\frac{p^2}{p^2 + 2A \cdot p + A^2} = \frac{p^2}{(p+A)^2}= H_{\rm L}^{(4)}(p)\hspace{0.05cm}.$$
	=\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}}
	= \hspace{0.2cm}\frac{p^2}{p^2 + 2A \cdot p + A^2} = \frac{p^2}{(p+A)^2
	}= H_{\rm L}^{(4)}(p)
	\hspace{0.05cm}.$$
	*Die doppelte Nullstelle liegt bei  $p_{\rm o} = 0$,  der doppelte Pol bei  $p_{\rm x} = -A = -2$.		*Die doppelte Nullstelle liegt bei  $p_{\rm o} = 0$,  der doppelte Pol bei  $p_{\rm x} = -A = -2$.

Zeile 109:		Zeile 102:

	'''(3)'''  Für die Konfiguration  $(1)$  gilt:		'''(3)'''  Für die Konfiguration  $(1)$  gilt:
	:$$H_{\rm L}(p) =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)		:$$H_{\rm L}(p) =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = \frac{4}{p+2}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p =0)=2}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = \frac{4}{p+2}
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p =0)
	=2}
	\hspace{0.05cm}.$$



	'''(4)'''  In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration  $(2)$:		'''(4)'''  In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration  $(2)$:
	:$$H_{\rm L}(p) =\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}=		:$$H_{\rm L}(p) =\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}=\frac{p^2 -4\cdot p +8 }{p^2 +4\cdot p +8}=\hspace{0.2cm}\frac{p^2 +4\cdot p +8 -8\cdot p}{p^2 +4\cdot p+8} =1- \frac{8\cdot p}{p^2 +4\cdot p +8}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$
	\frac{p^2 -4\cdot p +8 }{p^2 +4\cdot p +8}=		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 8\cdot \frac{p}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.2cm}\frac{p^2 +4\cdot p +8 -8\cdot p}{p^2 +4\cdot p
	+8} =1- \frac{8\cdot p}{p^2 +4\cdot p +8}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 8
	\cdot \frac{p}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}
	\hspace{0.05cm}.$$

	Richtig sind also die  <u> Lösungsvorschläge 2 und 3</u>  im Gegensatz zur Aussage 1:		Richtig sind also die  <u> Lösungsvorschläge 2 und 3</u>  im Gegensatz zur Aussage 1:
Zeile 134:		Zeile 118:

	'''(5)'''  Für die Konfiguration  $(3)$  gilt:		'''(5)'''  Für die Konfiguration  $(3)$  gilt:
	:$$H_{\rm L}(p) =		:$$H_{\rm L}(p) =\frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p +8}=\frac{p^2 +4\cdot p +8 -4\cdot p -8 }{p^2 +4\cdot p +8}= 1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$
	\frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p +8}=\frac{p^2 +4\cdot p +8 -4\cdot p -8 }{p^2 +4\cdot p +8}		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = 4\cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}\hspace{0.05cm}.$$
	= 1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = 4
	\cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}
	\hspace{0.05cm}.$$
	*Die Nullstelle von  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  liegt nun bei  $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = -2$.		*Die Nullstelle von  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  liegt nun bei  $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = -2$.
	*Die Konstante ist  $K\hspace{0.01cm}' = 4$   ⇒   richtig ist hier nur der  <u> Lösungsvorschlag 2</u>.		*Die Konstante ist  $K\hspace{0.01cm}' = 4$   ⇒   richtig ist hier nur der  <u> Lösungsvorschlag 2</u>.
Zeile 146:		Zeile 126:

	'''(6)'''  Schließlich gilt für die Konfiguration  $(4)$:		'''(6)'''  Schließlich gilt für die Konfiguration  $(4)$:
	:$$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p +4 -4\cdot p -4 }{p^2 +4\cdot p +4}		:$$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p +4 -4\cdot p -4 }{p^2 +4\cdot p +4}= 1- \frac{4\cdot p +4 }{p^2 +4\cdot p +4}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 4\cdot \frac{p+1}{(p+2)^2}\hspace{0.05cm}.$$
	= 1- \frac{4\cdot p +4 }{p^2 +4\cdot p +4}
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 4
	\cdot \frac{p+1}{(p+2)^2}
	\hspace{0.05cm}.$$
	Richtig ist auch hier  <u>der Lösungsvorschlag 2</u>.  Allgemein lässt sich sagen:		Richtig ist auch hier  <u>der Lösungsvorschlag 2</u>.  Allgemein lässt sich sagen:
	*Durch die Partialbruchzerlegung wird die Anzahl und die Lage der Nullstellen verändert.		*Durch die Partialbruchzerlegung wird die Anzahl und die Lage der Nullstellen verändert.

Guenter am 25. Januar 2022 um 14:07 Uhr

2022-01-25T14:07:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. Januar 2022, 16:07 Uhr
Zeile 90:		Zeile 90:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die  <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
	*Nach den in der Aufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle  $p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$  in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle  $p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$  in der rechten Halbebene gibt.		*Nach den in der Aufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor,  wenn es zu jeder Polstelle  $p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$  in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle  $p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$  in der rechten Halbebene gibt.
	*Mit  $K = 1$  ist dann die Dämpfungsfunktion  $a(f) = 0 \ \rm Np$   ⇒   $\|H(f)\| = 1$.		*Mit  $K = 1$  ist dann die Dämpfungsfunktion  $a(f) = 0 \ \rm Np$   ⇒   $\|H(f)\| = 1$.
	*Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man:   Die Konfigurationen  $(1)$ und  $(2)$ erfüllen genau diese Symmetrieeigenschaften.		*Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man:   Die Konfigurationen  $(1)$ und  $(2)$ erfüllen genau diese Symmetrieeigenschaften.
Zeile 97:		Zeile 97:


	'''(2)'''  Richtig ist der <u> Lösungsvorschlag 4</u>:		'''(2)'''  Richtig ist der  <u> Lösungsvorschlag 4</u>:
	*Die Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}^{(5)}(p)$  wird ebenso durch die Konfiguration  $(4)$  beschrieben, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:		*Die Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}^{(5)}(p)$  wird ebenso durch die Konfiguration  $(4)$  beschrieben,  wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
	:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2}		:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2}
	=\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}}		=\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}}
Zeile 104:		Zeile 104:
	}= H_{\rm L}^{(4)}(p)		}= H_{\rm L}^{(4)}(p)
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	*Die doppelte Nullstelle liegt bei  $p_{\rm o} = 0$, der doppelte Pol bei  $p_{\rm x} = -A = -2$.		*Die doppelte Nullstelle liegt bei  $p_{\rm o} = 0$,  der doppelte Pol bei  $p_{\rm x} = -A = -2$.


Zeile 126:		Zeile 126:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Richtig sind also die <u> Lösungsvorschläge 2 und 3</u> im Gegensatz zur Aussage 1:		Richtig sind also die  <u> Lösungsvorschläge 2 und 3</u>  im Gegensatz zur Aussage 1:
	* Während  $H_{\rm L}(p)$  zwei konjugiert–komplexe Nullstellen aufweist,		* Während  $H_{\rm L}(p)$  zwei konjugiert–komplexe Nullstellen aufweist,
	*besitzt  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  nur eine einzige Nullstelle bei  $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = 0$.		*besitzt  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  nur eine einzige Nullstelle bei  $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = 0$.
Zeile 141:		Zeile 141:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	*Die Nullstelle von  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  liegt nun bei  $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = -2$.		*Die Nullstelle von  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  liegt nun bei  $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = -2$.
	*Die Konstante ist  $K\hspace{0.01cm}' = 4$   ⇒   richtig ist hier nur der <u> Lösungsvorschlag 2</u>.		*Die Konstante ist  $K\hspace{0.01cm}' = 4$   ⇒   richtig ist hier nur der  <u> Lösungsvorschlag 2</u>.


Zeile 151:		Zeile 151:
	\cdot \frac{p+1}{(p+2)^2}		\cdot \frac{p+1}{(p+2)^2}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Richtig ist auch hier <u>der Lösungsvorschlag 2</u>. Allgemein lässt sich sagen:		Richtig ist auch hier  <u>der Lösungsvorschlag 2</u>.  Allgemein lässt sich sagen:
	*Durch die Partialbruchzerlegung wird die Anzahl und die Lage der Nullstellen verändert.		*Durch die Partialbruchzerlegung wird die Anzahl und die Lage der Nullstellen verändert.
	*Die Pole von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ sind dagegen stets identisch mit denen von $H_{\rm L}(p)$.		*Die Pole von  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  sind dagegen stets identisch mit denen von  $H_{\rm L}(p)$.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 25. Januar 2022 um 13:59 Uhr

2022-01-25T13:59:58Z

← Nächstältere Version		Version vom 25. Januar 2022, 15:59 Uhr
Zeile 5:		Zeile 5:
	[[Datei:P_ID1789__LZI_Z_3_7.png\|right\|frame\|Pol–Nullstellen–Diagramme]]		[[Datei:P_ID1789__LZI_Z_3_7.png\|right\|frame\|Pol–Nullstellen–Diagramme]]
	In der Grafik sind vier Vierpole durch ihre Pol–Nullstellen–Diagramme  $H_{\rm L}(p)$  gegeben.		In der Grafik sind vier Vierpole durch ihre Pol–Nullstellen–Diagramme  $H_{\rm L}(p)$  gegeben.
	* Sie alle haben gemein, dass die Anzahl  $Z$  der Nullstellen gleich der Anzahl  $N$  der Polstellen ist.		* Sie alle haben gemein,  dass die Anzahl  $Z$  der Nullstellen gleich der Anzahl  $N$  der Polstellen ist.
	*Der konstante Faktor ist jeweils  $K=1$.		*Der konstante Faktor ist jeweils  $K=1$.

Zeile 11:		Zeile 11:
	Im Sonderfall  $Z = N$  kann zur Berechnung der Impulsantwort  $h(t)$  der Residuensatz nicht direkt angewendet werden.		Im Sonderfall  $Z = N$  kann zur Berechnung der Impulsantwort  $h(t)$  der Residuensatz nicht direkt angewendet werden.

	Vielmehr muss vorher eine Partialbruchzerlegung entsprechend		Vielmehr muss vorher eine  '''Partialbruchzerlegung'''  entsprechend
	:$$H_{\rm L}(p) =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)		:$$H_{\rm L}(p) =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)
	\hspace{0.05cm}$$		\hspace{0.05cm}$$
	vorgenommen werden. Für die Impulsantwort gilt dann		vorgenommen werden.  Für die Impulsantwort gilt dann
	:$$h(t) = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t)		:$$h(t) = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t)
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	~~ ~~$h\hspace{0.03cm}'(t)$  ist die Laplace–Rücktransformierte von  $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ , bei der die Bedingung  $Z' < N'$  erfüllt ist.		$h\hspace{0.03cm}'(t)$  ist die Laplace–Rücktransformierte von  $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$,  bei der die Bedingung  $Z' < N'$  erfüllt ist.

	Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte ''Allpässe''.		Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte  '''Allpässe'''.
	*Darunter versteht man Vierpole, bei denen die Fourier–Spektralfunktion die Bedingung  $\|H(f)\| = 1$   ⇒   $a(f) = 0$  erfüllt.		*Darunter versteht man Vierpole,  bei denen die Fourier–Spektralfunktion die Bedingung  $\|H(f)\| = 1$   ⇒   $a(f) = 0$  erfüllt.
	*In [[Aufgaben:3.4Z_Verschiedene_Allpässe\|Aufgabe 3.4Z]] ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses liegen müssen.		*In [[Aufgaben:3.4Z_Verschiedene_Allpässe\|Aufgabe 3.4Z]]  ist angegeben,  wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses liegen müssen.


Zeile 27:		Zeile 27:
	:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2}		:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2}
	\hspace{0.05cm}$$		\hspace{0.05cm}$$
	⇒   &bdquo;Konfiguration $(5)$” näher untersucht werden, die bei richtiger Wahl des Parameters  $A$  durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol–Nullstellen–Diagramme dargestellt werden kann.		⇒   &bdquo;Konfiguration $(5)$” näher untersucht werden,  die bei richtiger Wahl des Parameters  $A$  durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol–Nullstellen–Diagramme dargestellt werden kann.


Zeile 33:		Zeile 33:


	''Hinweise:''		Hinweise:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation\|Laplace–Rücktransformation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation\|Laplace–Rücktransformation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Partialbruchzerlegung\|Partialbruchzerlegung]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Partialbruchzerlegung\|Partialbruchzerlegung]].

Guenter am 4. November 2019 um 09:28 Uhr

2019-11-04T09:28:57Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. November 2019, 11:28 Uhr
Zeile 92:		Zeile 92:
	'''(1)'''  Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
	*Nach den in der Aufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle  $p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$  in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle  $p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$  in der rechten Halbebene gibt.		*Nach den in der Aufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle  $p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$  in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle  $p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$  in der rechten Halbebene gibt.
	*$K = 1$  ist dann die Dämpfungsfunktion  $a(f) = 0 \ \rm Np$   ⇒   $\|H(f)\| = 1$.		*Mit  $K = 1$  ist dann die Dämpfungsfunktion  $a(f) = 0 \ \rm Np$   ⇒   $\|H(f)\| = 1$.
	*Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man:   Die Konfigurationen  $(1)$ und  $(2)$ erfüllen genau diese Symmetrieeigenschaften.		*Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man:   Die Konfigurationen  $(1)$ und  $(2)$ erfüllen genau diese Symmetrieeigenschaften.

Zeile 129:		Zeile 129:
	* Während  $H_{\rm L}(p)$  zwei konjugiert–komplexe Nullstellen aufweist,		* Während  $H_{\rm L}(p)$  zwei konjugiert–komplexe Nullstellen aufweist,
	*besitzt  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  nur eine einzige Nullstelle bei  $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = 0$.		*besitzt  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  nur eine einzige Nullstelle bei  $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = 0$.

Guenter am 4. November 2019 um 09:23 Uhr

2019-11-04T09:23:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. November 2019, 11:23 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	}}		}}

	[[Datei:P_ID1789__LZI_Z_3_7.png\|right\|frame\|~~Pol–Nullstellen–Konfigurationen~~]]		[[Datei:P_ID1789__LZI_Z_3_7.png\|right\|frame\|Pol–Nullstellen–Diagramme]]
	In der Grafik sind vier Vierpole durch ihre Pol–Nullstellen–Diagramme  $H_{\rm L}(p)$  gegeben.		In der Grafik sind vier Vierpole durch ihre Pol–Nullstellen–Diagramme  $H_{\rm L}(p)$  gegeben.
	* Sie alle haben gemein, dass die Anzahl  $Z$  der Nullstellen gleich der Anzahl  $N$  der Polstellen ist.		* Sie alle haben gemein, dass die Anzahl  $Z$  der Nullstellen gleich der Anzahl  $N$  der Polstellen ist.
Zeile 9:		Zeile 9:


	Im Sonderfall  $Z = N$  kann zur Berechnung der Impulsantwort  $h(t)$  der Residuensatz nicht direkt angewendet werden. Vielmehr muss vorher eine Partialbruchzerlegung entsprechend		Im Sonderfall  $Z = N$  kann zur Berechnung der Impulsantwort  $h(t)$  der Residuensatz nicht direkt angewendet werden.

			Vielmehr muss vorher eine Partialbruchzerlegung entsprechend
	:$$H_{\rm L}(p) =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)		:$$H_{\rm L}(p) =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)
	\hspace{0.05cm}$$		\hspace{0.05cm}$$
Zeile 50:		Zeile 52:

	{Welcher Vierpol hat die Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}^{(5)}(p)$?		{Welcher Vierpol hat die Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}^{(5)}(p)$?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	- Konfiguration  $(1)$,		- Konfiguration  $(1)$,
	- Konfiguration  $(2)$,		- Konfiguration  $(2)$,
Zeile 57:		Zeile 59:


	{Berechnen Sie die Funktion  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  nach einer Partialbruchzerlegung für die Konfiguration '''(1)'''. <br>Geben Sie den Funktionswert für  $p = 0$  ein.		{Berechnen Sie die Funktion  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  nach einer Partialbruchzerlegung für die Konfiguration  '''(1)'''. <br>Geben Sie den Funktionswert für  $p = 0$  ein.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p = 0) \ = \ $ { 2 3% }		$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p = 0) \ = \ $ { 2 3% }


	{Berechnen Sie  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  für die Konfiguration  $(2)$. Welche Aussagen treffen hier zu?		{Berechnen Sie  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  für die Konfiguration  $(2)$.  Welche Aussagen treffen hier zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Nullstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.		- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Nullstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.
Zeile 69:		Zeile 71:


	{Berechnen Sie  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  für die Konfiguration  $(3)$. Welche Aussagen treffen hier zu?		{Berechnen Sie  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  für die Konfiguration  $(3)$.  Welche Aussagen treffen hier zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Nullstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.		- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Nullstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.
Zeile 76:		Zeile 78:


	{Berechnen Sie  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  für die Konfiguration  $(4)$. Welche Aussagen treffen hier zu?		{Berechnen Sie  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  für die Konfiguration  $(4)$.  Welche Aussagen treffen hier zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Nullstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.		- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Nullstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.

Guenter am 28. November 2018 um 11:31 Uhr

2018-11-28T11:31:49Z

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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
	*Nach den in der Aufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle $p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$ in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle $p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$ in der rechten Halbebene gibt.		*Nach den in der Aufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle  $p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$  in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle  $p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$  in der rechten Halbebene gibt.
	*$K = 1$ ist dann die Dämpfungsfunktion $a(f) = 0 \ \rm Np$   ⇒   $\|H(f)\| = 1$.		*$K = 1$  ist dann die Dämpfungsfunktion  $a(f) = 0 \ \rm Np$   ⇒   $\|H(f)\| = 1$.
			*Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man:   Die Konfigurationen  $(1)$ und  $(2)$ erfüllen genau diese Symmetrieeigenschaften.

	~~Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass die beiden ersten Konfigurationen genau diese Symmetrieeigenschaften aufweisen.~~


	'''(2)'''  Richtig ist der <u> Lösungsvorschlag 4</u>:		'''(2)'''  Richtig ist der <u> Lösungsvorschlag 4</u>:
	*Die Übertragungsfunktion $H_{\rm L}^{(5)}(p)$ wird ebenso durch die Konfiguration $(4)$ beschrieben, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:		*Die Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}^{(5)}(p)$  wird ebenso durch die Konfiguration  $(4)$  beschrieben, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
	:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2}		:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2}
	=\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}}		=\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}}
Zeile 102:		Zeile 102:
	}= H_{\rm L}^{(4)}(p)		}= H_{\rm L}^{(4)}(p)
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Die doppelte Nullstelle liegt bei $p_{\rm o} = 0$, der doppelte Pol bei $p_{\rm x} = -A = -2$.		*Die doppelte Nullstelle liegt bei  $p_{\rm o} = 0$, der doppelte Pol bei  $p_{\rm x} = -A = -2$.


	'''(3)'''  Für die Konfiguration $(1)$ gilt:
			'''(3)'''  Für die Konfiguration  $(1)$  gilt:
	:$$H_{\rm L}(p) =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)		:$$H_{\rm L}(p) =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = \frac{4}{p+2}		\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = \frac{4}{p+2}
Zeile 113:		Zeile 114:


	'''(4)'''  In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration $(2)$:
			'''(4)'''  In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration  $(2)$:
	:$$H_{\rm L}(p) =\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}=		:$$H_{\rm L}(p) =\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}=
	\frac{p^2 -4\cdot p +8 }{p^2 +4\cdot p +8}=		\frac{p^2 -4\cdot p +8 }{p^2 +4\cdot p +8}=
Zeile 123:		Zeile 125:

	Richtig sind also die <u> Lösungsvorschläge 2 und 3</u> im Gegensatz zur Aussage 1:		Richtig sind also die <u> Lösungsvorschläge 2 und 3</u> im Gegensatz zur Aussage 1:
	* Während $H_{\rm L}(p)$ zwei konjugiert–komplexe Nullstellen aufweist,		* Während  $H_{\rm L}(p)$  zwei konjugiert–komplexe Nullstellen aufweist,
	*besitzt $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ nur eine einzige Nullstelle bei $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = 0$.		*besitzt  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  nur eine einzige Nullstelle bei  $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = 0$.



	'''(5)'''  Für die Konfiguration $(3)$ gilt:		'''(5)'''  Für die Konfiguration  $(3)$  gilt:
	:$$H_{\rm L}(p) =		:$$H_{\rm L}(p) =
	\frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p +8}=\frac{p^2 +4\cdot p +8 -4\cdot p -8 }{p^2 +4\cdot p +8}		\frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p +8}=\frac{p^2 +4\cdot p +8 -4\cdot p -8 }{p^2 +4\cdot p +8}
Zeile 135:		Zeile 137:
	\cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}		\cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Die Nullstelle von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ liegt nun bei $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = -2$ . Die Konstante ist $K\hspace{0.01cm}' = 4$   ⇒   richtig ist hier nur der <u> Lösungsvorschlag 2</u>.		*Die Nullstelle von  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  liegt nun bei  $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = -2$.
			*Die Konstante ist  $K\hspace{0.01cm}' = 4$   ⇒   richtig ist hier nur der <u> Lösungsvorschlag 2</u>.



	'''(6)'''  Schließlich gilt für die Konfiguration $(4)$:		'''(6)'''  Schließlich gilt für die Konfiguration  $(4)$:
	:$$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p +4 -4\cdot p -4 }{p^2 +4\cdot p +4}		:$$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p +4 -4\cdot p -4 }{p^2 +4\cdot p +4}
	= 1- \frac{4\cdot p +4 }{p^2 +4\cdot p +4}		= 1- \frac{4\cdot p +4 }{p^2 +4\cdot p +4}

Guenter am 28. November 2018 um 11:07 Uhr

2018-11-28T11:07:24Z

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	}}		}}

	[[Datei:P_ID1789__LZI_Z_3_7.png\|right\|frame\|~~Einige~~ Pol–Nullstellen–Konfigurationen]]		[[Datei:P_ID1789__LZI_Z_3_7.png\|right\|frame\|Pol–Nullstellen–Konfigurationen]]
	In der Grafik sind vier Vierpole durch ihre Pol–Nullstellen–Diagramme $H_{\rm L}(p)$ gegeben. Sie alle haben gemein, dass die Anzahl $Z$ der Nullstellen gleich der Anzahl $N$ der Polstellen ist. Der konstante Faktor ist jeweils $K=1$.		In der Grafik sind vier Vierpole durch ihre Pol–Nullstellen–Diagramme  $H_{\rm L}(p)$  gegeben.
			* Sie alle haben gemein, dass die Anzahl  $Z$  der Nullstellen gleich der Anzahl  $N$  der Polstellen ist.
			*Der konstante Faktor ist jeweils  $K=1$.

	Im Sonderfall $Z = N$ kann zur Berechnung der Impulsantwort $h(t)$ der Residuensatz nicht direkt angewendet werden. Vielmehr muss vorher eine Partialbruchzerlegung entsprechend
			Im Sonderfall  $Z = N$  kann zur Berechnung der Impulsantwort  $h(t)$  der Residuensatz nicht direkt angewendet werden. Vielmehr muss vorher eine Partialbruchzerlegung entsprechend
	:$$H_{\rm L}(p) =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)		:$$H_{\rm L}(p) =1- H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)
	\hspace{0.05cm}$$		\hspace{0.05cm}$$
	vorgenommen werden. Für die Impulsantwort gilt dann		vorgenommen werden. Für die Impulsantwort gilt dann
	:$$h(t) = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t)		:$$h(t) = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t)
	\hspace{0.05cm},$$		\hspace{0.05cm}.$$
	~~wobei~~ $h\hspace{0.03cm}'(t)$ die Laplace–Rücktransformierte von $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ ~~angibt~~, bei der die Bedingung $Z' < N'$ erfüllt ist.		$h\hspace{0.03cm}'(t)$  ist die Laplace–Rücktransformierte von  $H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p)$ , bei der die Bedingung  $Z' < N'$  erfüllt ist.

	Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte ''Allpässe''.		Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte ''Allpässe''.
	*Darunter versteht man Vierpole, bei denen die Fourier–Spektralfunktion die Bedingung $\|H(f)\| = 1$   ⇒ $a(f) = 0$ erfüllt.		*Darunter versteht man Vierpole, bei denen die Fourier–Spektralfunktion die Bedingung  $\|H(f)\| = 1$   ⇒   $a(f) = 0$  erfüllt.
	*In ~~der~~ [[Aufgaben:3.4Z_Verschiedene_Allpässe\|Aufgabe 3.4Z]] ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses liegen müssen.		*In [[Aufgaben:3.4Z_Verschiedene_Allpässe\|Aufgabe 3.4Z]] ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses liegen müssen.


	Weiterhin soll in dieser Aufgabe die $p$–Übertragungsfunktion		Weiterhin soll in dieser Aufgabe die  $p$–Übertragungsfunktion
	:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2}		:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) =\frac{p/A}{\left (\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p} \right )^2}
	\hspace{0.05cm}$$		\hspace{0.05cm}$$
	⇒   &bdquo;Konfiguration $(5)$” näher untersucht werden, die bei richtiger Wahl des Parameters $A$ durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol–Nullstellen–Diagramme dargestellt werden kann.		⇒   &bdquo;Konfiguration $(5)$” näher untersucht werden, die bei richtiger Wahl des Parameters  $A$  durch eines der vier in der Grafik vorgegebenen Pol–Nullstellen–Diagramme dargestellt werden kann.


Zeile 29:		Zeile 32:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation\|Laplace–Rücktransformation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation\|Laplace–Rücktransformation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Partialbruchzerlegung\|Partialbruchzerlegung]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Partialbruchzerlegung\|Partialbruchzerlegung]].


Zeile 40:		Zeile 43:
	{Bei welchen der skizzierten Vierpole handelt es sich um Allpässe?		{Bei welchen der skizzierten Vierpole handelt es sich um Allpässe?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Konfiguration $(1)$,		+ Konfiguration  $(1)$,
	+ Konfiguration $(2)$,		+ Konfiguration  $(2)$,
	- Konfiguration $(3)$,		- Konfiguration  $(3)$,
	- Konfiguration $(4)$.		- Konfiguration  $(4)$.


	{Welcher Vierpol hat die Übertragungsfunktion $H_{\rm L}^{(5)}(p)$?		{Welcher Vierpol hat die Übertragungsfunktion  $H_{\rm L}^{(5)}(p)$?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Konfiguration $(1)$,		- Konfiguration  $(1)$,
	- Konfiguration $(2)$,		- Konfiguration  $(2)$,
	- Konfiguration $(3)$,		- Konfiguration  $(3)$,
	+ Konfiguration $(4)$.		+ Konfiguration  $(4)$.


	{Berechnen Sie die Funktion $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ nach einer Partialbruchzerlegung für die Konfiguration '''(1)'''. Geben Sie den Funktionswert für $p = 0$ ein.		{Berechnen Sie die Funktion  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  nach einer Partialbruchzerlegung für die Konfiguration '''(1)'''. <br>Geben Sie den Funktionswert für  $p = 0$  ein.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p = 0) \ = \ $ { 2 3% }		$H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p = 0) \ = \ $ { 2 3% }


	{Berechnen Sie $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ für Konfiguration $(2)$. Welche Aussagen treffen hier zu?		{Berechnen Sie  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  für die Konfiguration  $(2)$. Welche Aussagen treffen hier zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Nullstellen wie $H_{\rm L}(p)$.		- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Nullstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.
	+ $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Polstellen wie $H_{\rm L}(p)$.		+ $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Polstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.
	+ Der konstante Faktor von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ ist $K' = 8$.		+ Der konstante Faktor von  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  ist  $K' = 8$.


	{Berechnen Sie $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ für Konfiguration $(3)$. Welche Aussagen treffen hier zu?		{Berechnen Sie  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  für die Konfiguration  $(3)$. Welche Aussagen treffen hier zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Nullstellen wie $H_{\rm L}(p)$.		- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Nullstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.
	+ $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Polstellen wie $H_{\rm L}(p)$.		+ $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Polstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.
	- Der konstante Faktor von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ ist $K' = 8$.		- Der konstante Faktor von  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  ist  $K' = 8$.


	{Berechnen Sie $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ für Konfiguration $(4)$. Welche Aussagen treffen hier zu?		{Berechnen Sie  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  für die Konfiguration  $(4)$. Welche Aussagen treffen hier zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Nullstellen wie $H_{\rm L}(p)$.		- $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Nullstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.
	+ $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ besitzt die gleichen Polstellen wie $H_{\rm L}(p)$.		+ $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  besitzt die gleichen Polstellen wie  $H_{\rm L}(p)$.
	- Der konstante Faktor von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ ist $K' = 8$.		- Der konstante Faktor von  $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$  ist  $K' = 8$.

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:55Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 15:19 Uhr
Zeile 31:		Zeile 31:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation\|Laplace–Rücktransformation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation\|Laplace–Rücktransformation]].
	*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Partialbruchzerlegung\|Partialbruchzerlegung]].		*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Partialbruchzerlegung\|Partialbruchzerlegung]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.

Guenter am 17. März 2018 um 15:36 Uhr

2018-03-17T15:36:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. März 2018, 17:36 Uhr
Zeile 16:		Zeile 16:
	Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte ''Allpässe''.		Bei zwei der vier angegebenen Konfigurationen handelt es sich um so genannte ''Allpässe''.
	*Darunter versteht man Vierpole, bei denen die Fourier–Spektralfunktion die Bedingung $\|H(f)\| = 1$   ⇒ $a(f) = 0$ erfüllt.		*Darunter versteht man Vierpole, bei denen die Fourier–Spektralfunktion die Bedingung $\|H(f)\| = 1$   ⇒ $a(f) = 0$ erfüllt.
	*In der [[Aufgaben:3.4Z_Verschiedene_Allpässe\|Aufgabe 3.4Z]] ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses ~~angeordnet sein~~ müssen.		*In der [[Aufgaben:3.4Z_Verschiedene_Allpässe\|Aufgabe 3.4Z]] ist angegeben, wie die Pole und Nullstelle eines solchen Allpasses liegen müssen.


Zeile 85:		Zeile 85:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Nach den in der ~~Zusatzaufgabe~~ 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle $p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$ in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle $p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$ in der rechten Halbebene gibt. $K = 1$ ist dann die Dämpfungsfunktion $a(f) = 0 \ \rm Np$   ⇒   $\|H(f)\| = 1$~~. Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass die beiden <u>Konfigurationen (1) und (2)</u> genau diese Symmetrieeigenschaften aufweisen~~.		'''(1)'''  Richtig sind die <u> Lösungsvorschläge 1 und 2</u>:
			*Nach den in der Aufgabe 3.4Z angegebenen Kriterien liegt immer dann ein Allpass vor, wenn es zu jeder Polstelle $p_{\rm x} = - A + {\rm j} \cdot B$ in der linken $p$–Halbebene eine entsprechende Nullstelle $p_{\rm o} = + A + {\rm j} \cdot B$ in der rechten Halbebene gibt.
			*$K = 1$ ist dann die Dämpfungsfunktion $a(f) = 0 \ \rm Np$   ⇒   $\|H(f)\| = 1$.

			Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man, dass die beiden ersten Konfigurationen genau diese Symmetrieeigenschaften aufweisen.

	'''(2)'''  Die Übertragungsfunktion $H_{\rm L}^{(5)}(p)$ wird ebenso durch ~~<u>~~die Konfiguration ~~'''~~(4)~~'''</u>~~ beschrieben, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
	$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2}		'''(2)'''  Richtig ist der <u> Lösungsvorschlag 4</u>:
			*Die Übertragungsfunktion $H_{\rm L}^{(5)}(p)$ wird ebenso durch die Konfiguration $(4)$ beschrieben, wie die nachfolgende Rechnung zeigt:
			:$$H_{\rm L}^{(5)}(p) \hspace{0.25cm} = \hspace{0.2cm} \frac{p/A}{(\sqrt{p/A}+\sqrt{A/p})^2}
	=\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}}		=\frac{p/A}{{p/A}+2+ {A/p}}
	= \hspace{0.2cm}\frac{p^2}{p^2 + 2A \cdot p + A^2} = \frac{p^2}{(p+A)^2		= \hspace{0.2cm}\frac{p^2}{p^2 + 2A \cdot p + A^2} = \frac{p^2}{(p+A)^2
Zeile 97:		Zeile 102:


	'''(3)'''  Für die Konfiguration ~~'''~~(1)~~'''~~ gilt:		'''(3)'''  Für die Konfiguration $(1)$ gilt:
	$$H_{\rm L}(p) =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)		:$$H_{\rm L}(p) =\frac{p-2}{p+2}=\frac{p+2-4}{p+2}= 1 - \frac{4}{p+2}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)
	\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = \frac{4}{p+2}		\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = \frac{4}{p+2}
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p =0)		\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm}\underline{H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p =0)
Zeile 105:		Zeile 110:


	'''(4)'''  In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration ~~'''~~(2)~~'''~~:		'''(4)'''  In gleicher Weise ergibt sich für die Konfiguration $(2)$:
	$$H_{\rm L}(p) =\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}=		:$$H_{\rm L}(p) =\frac{(p-2 - {\rm j} \cdot 2)(p-2 + {\rm j} \cdot 2)}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}=
	\frac{p^2 -4\cdot p +8 }{p^2 +4\cdot p +8}=		\frac{p^2 -4\cdot p +8 }{p^2 +4\cdot p +8}=
	\hspace{0.2cm}\frac{p^2 +4\cdot p +8 -8\cdot p}{p^2 +4\cdot p		\hspace{0.2cm}\frac{p^2 +4\cdot p +8 -8\cdot p}{p^2 +4\cdot p
	+8} $$		+8} =1- \frac{8\cdot p}{p^2 +4\cdot p +8}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$
	~~$$H_{\rm L}(p)~~ =1- \frac{8\cdot p}{p^2 +4\cdot p +8}=1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 8
	~~\hspace{0.3cm}~~\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 8
	\cdot \frac{p}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}		\cdot \frac{p}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Richtig sind <u>~~die beiden letzten~~ Lösungsvorschläge</u> im Gegensatz zur Aussage 1:
			Richtig sind also die <u> Lösungsvorschläge 2 und 3</u> im Gegensatz zur Aussage 1:
	* Während $H_{\rm L}(p)$ zwei konjugiert–komplexe Nullstellen aufweist,		* Während $H_{\rm L}(p)$ zwei konjugiert–komplexe Nullstellen aufweist,
	*besitzt $H_{\rm L}'(p)$ nur eine einzige Nullstelle bei $p_{\rm o}' = 0$.		*besitzt $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ nur eine einzige Nullstelle bei $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = 0$.



	'''(5)'''  Für die Konfiguration ~~'''~~(3)~~'''~~ gilt:		'''(5)'''  Für die Konfiguration $(3)$ gilt:
	$$H_{\rm L}(p) =		:$$H_{\rm L}(p) =
	\frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p +8}=\frac{p^2 +4\cdot p +8 -4\cdot p -8 }{p^2 +4\cdot p +8}		\frac{p^2 }{p^2 +4\cdot p +8}=\frac{p^2 +4\cdot p +8 -4\cdot p -8 }{p^2 +4\cdot p +8}
	= 1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$		= 1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)$$
	$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = 4		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p) = 4
	\cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}		\cdot \frac{p+2}{(p+2 - {\rm j} \cdot 2)(p+2 + {\rm j} \cdot 2)}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Die Nullstelle von $H_{\rm L}'(p)$ liegt nun bei $p_{\rm o}' = -2$ . Die Konstante ist $K' = 4$   ⇒   richtig ist hier nur ~~die~~ <u>~~Aussage~~ 2</u>.		Die Nullstelle von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ liegt nun bei $p_{\rm o}\hspace{0.01cm}' = -2$ . Die Konstante ist $K\hspace{0.01cm}' = 4$   ⇒   richtig ist hier nur der <u> Lösungsvorschlag 2</u>.


	'''(6)'''  Schließlich gilt für die Konfiguration ~~'''~~(4)~~'''~~:		'''(6)'''  Schließlich gilt für die Konfiguration $(4)$:
	$$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p +4 -4\cdot p -4 }{p^2 +4\cdot p +4}		:$$H_{\rm L}(p) = \frac{p^2 }{(p+2)^2}=\frac{p^2 +4\cdot p +4 -4\cdot p -4 }{p^2 +4\cdot p +4}
	= 1- \frac{4\cdot p +4 }{p^2 +4\cdot p +4}		= 1- \frac{4\cdot p +4 }{p^2 +4\cdot p +4}
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 4		\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}H_{\rm L}\hspace{0.05cm}'(p) = 4
Zeile 136:		Zeile 143:
	Richtig ist auch hier <u>der Lösungsvorschlag 2</u>. Allgemein lässt sich sagen:		Richtig ist auch hier <u>der Lösungsvorschlag 2</u>. Allgemein lässt sich sagen:
	*Durch die Partialbruchzerlegung wird die Anzahl und die Lage der Nullstellen verändert.		*Durch die Partialbruchzerlegung wird die Anzahl und die Lage der Nullstellen verändert.
	*Die Pole von $H_{\rm L}'(p)$ sind dagegen stets identisch mit denen von $H_{\rm L}(p)$.		*Die Pole von $H_{\rm L}\hspace{0.01cm}'(p)$ sind dagegen stets identisch mit denen von $H_{\rm L}(p)$.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}