Aufgaben:Aufgabe 3.7Z: Error Performance - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:36:50Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:36 Uhr
Zeile 96:		Zeile 96:

	[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^3.5 Gaußverteilte Zufallsgröße^]]		[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^3.5 Gaußverteilte Zufallsgröße^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.7Z:_Error_Performance]]

Maintenance script: Fix 1 split formula(s) (join $$...$$ across lines)

2026-02-27T13:59:47Z

Fix 1 split formula(s) (join $$...$$ across lines)

← Nächstältere Version		Version vom 27. Februar 2026, 15:59 Uhr
Zeile 88:		Zeile 88:

	*Die Lösung dieser quadratischen Gleichung ist somit:		*Die Lösung dieser quadratischen Gleichung ist somit:
	:$$\sqrt{\it \lambda}=\frac{\rm -2.9\pm\rm\sqrt{\rm 8.41+256}}{\rm 2}=\rm 6.68		:$$\sqrt{\it \lambda}=\frac{\rm -2.9\pm\rm\sqrt{\rm 8.41+256}}{\rm 2}=\rm 6.68 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} \lambda = 44.6 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm} {\it p}_\text{B, max}= \frac{44.6}{64000} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.069\%}.$$
	\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
	\lambda = 44.6 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
	{\it p}_\text{B, max}= \frac{44.6}{64000} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.069\%}.$$

	*Die zweite Lösung ist negativ und muss nicht weiter berücksichtigt werden.		*Die zweite Lösung ist negativ und muss nicht weiter berücksichtigt werden.

Guenter am 2. Februar 2022 um 13:09 Uhr

2022-02-02T13:09:11Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Februar 2022, 15:09 Uhr
Zeile 59:		Zeile 59:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:		'''(1)'''  <u>Beide Aussagen</u>  sind richtig:
	*Bei der hier definierten Zufallsgröße $f$  handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgröße:  Summe über  $N$  Binärwerte  $(0$ oder $1)$.		*Bei der hier definierten Zufallsgröße $f$  handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgröße:  Summe über  $N$  Binärwerte  $(0$ oder $1)$.
	*Da das Produkt  $N \cdot p = 64$  und dadurch sehr viel größer als  $1$  ist,		*Da das Produkt  $N \cdot p = 64$  und dadurch sehr viel größer als  $1$  ist,  kann die Binomialverteilung mit guter Näherung durch eine Poissonverteilung mit der Rate  ${\it \lambda} = 64$  angenähert werden.
	*kann die Binomialverteilung mit guter Näherung durch eine Poissonverteilung mit der Rate  ${\it \lambda} = 64$  angenähert werden.



	'''(2)'''  Der Mittelwert ergibt sich zu  $m_f = N \cdot p \hspace{0.15cm}\underline{= 64}$  unabhängig davon, ob man von der Binomial– oder der Poissonverteilung ausgeht.		'''(2)'''  Der Mittelwert ergibt sich zu  $m_f = N \cdot p \hspace{0.15cm}\underline{= 64}$  unabhängig davon,  ob man von der Binomial– oder der Poissonverteilung ausgeht.


Zeile 85:		Zeile 84:
	:$$\rm Q\big (\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}} \big )\le \rm 0.002\hspace{0.5cm}\rm bzw.\hspace{0.5cm}\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}}>\rm 2.9.$$		:$$\rm Q\big (\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}} \big )\le \rm 0.002\hspace{0.5cm}\rm bzw.\hspace{0.5cm}\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}}>\rm 2.9.$$

	*Der Maximalwert von  $\lambda$  kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:		*Der Maximalwert von  $\lambda$   kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:
	:$$ \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$		:$$ \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$

Guenter am 2. Februar 2022 um 13:05 Uhr

2022-02-02T13:05:34Z

Guenter am 21. November 2019 um 16:58 Uhr

2019-11-21T16:58:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. November 2019, 18:58 Uhr
Zeile 63:		Zeile 63:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:		'''(1)'''  <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:
	*Bei der hier definierten Zufallsgröße $f$  handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgröße~~, n~~&~~auml~~;~~mlich der~~ Summe über $N$ Binärwerte ($0$ oder $1$).		*Bei der hier definierten Zufallsgröße $f$  handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgröße:  Summe über  $N$  Binärwerte  $(0$ oder $1)$.
	*Da das Produkt  $N \cdot p = 64$  und dadurch sehr viel größer als $1$ ist, kann die Binomialverteilung mit guter Näherung durch eine Poissonverteilung mit der Rate ${\it \lambda} = 64$ angenähert werden.		*Da das Produkt  $N \cdot p = 64$  und dadurch sehr viel größer als  $1$  ist,
			*kann die Binomialverteilung mit guter Näherung durch eine Poissonverteilung mit der Rate  ${\it \lambda} = 64$  angenähert werden.


	~~'''(2)'''  Der Mittelwert ergibt sich zu  $m_f = N \cdot p \hspace{0.15cm}\underline{= 64}$  unabhängig davon, ob man von der Binomial- oder der Poissonverteilung ausgeht.~~

			'''(2)'''  Der Mittelwert ergibt sich zu  $m_f = N \cdot p \hspace{0.15cm}\underline{= 64}$  unabhängig davon, ob man von der Binomial– oder der Poissonverteilung ausgeht.

	'''(3)'''  Für die Streuung erhält man   $\it \sigma_f=\rm\sqrt{\rm 64000\cdot 10^{-3}\cdot 0.999}\hspace{0.15cm}\underline{\approx\sqrt{64}=8}.$ Der Fehler durch Anwendung der Poissonlverteilung anstelle der Binomialverteilung ist hier kleiner als $0.05\%$.


	'''(4)'''  Bei einer Gaußschen Zufallsgröße $f$  mit Mittelwert  $m_f {= 64}$  ist die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(f \le 64) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 50\%}$.   ~~<i>~~Anmerkung:~~</i>~~		'''(3)'''  Für die Streuung erhält man
	*Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße wäre die Wahrscheinlichkeit exakt $~~0.5~~$.		:$$\it \sigma_f=\rm\sqrt{\rm 64000\cdot 10^{-3}\cdot 0.999}\hspace{0.15cm}\underline{\approx\sqrt{64}=8}.$$
			* Der Fehler durch Anwendung der Poissonlverteilung anstelle der Binomialverteilung ist hier kleiner als  $0.05\%$.



			'''(4)'''  Bei einer Gaußschen Zufallsgröße $f$  mit Mittelwert  $m_f {= 64}$  ist die Wahrscheinlichkeit  ${\rm Pr}(f \le 64) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 50\%}$.   Anmerkung:
			*Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße wäre die Wahrscheinlichkeit exakt $50\%$.
	*Da $f$  nur ganzzahlige Werte annehmen kann, ist sie hier geringfügig größer.		*Da $f$  nur ganzzahlige Werte annehmen kann, ist sie hier geringfügig größer.



Zeile 81:		Zeile 88:
	:$$\rm Q\big (\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}} \big )\le \rm 0.002\hspace{0.5cm}\rm bzw.\hspace{0.5cm}\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}}>\rm 2.9.$$		:$$\rm Q\big (\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}} \big )\le \rm 0.002\hspace{0.5cm}\rm bzw.\hspace{0.5cm}\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}}>\rm 2.9.$$

	Der Maximalwert von $\lambda$  kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:		*Der Maximalwert von  $\lambda$  kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:
	:$$ \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$		:$$ \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$

	Die Lösung dieser quadratischen Gleichung ist somit:		*Die Lösung dieser quadratischen Gleichung ist somit:
	:$$\sqrt{\it \lambda}=\frac{\rm -2.9\pm\rm\sqrt{\rm 8.41+256}}{\rm 2}=\rm 6.68		:$$\sqrt{\it \lambda}=\frac{\rm -2.9\pm\rm\sqrt{\rm 8.41+256}}{\rm 2}=\rm 6.68
	\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}		\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
	\lambda = 44.6 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}		\lambda = 44.6 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
	p_\text{B, max}= \frac{44.6}{64000} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.069\%}.$$		{\it p}_\text{B, max}= \frac{44.6}{64000} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.069\%}.$$

	Die zweite Lösung ist negativ und muss nicht weiter berücksichtigt werden.		*Die zweite Lösung ist negativ und muss nicht weiter berücksichtigt werden.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 21. November 2019 um 16:49 Uhr

2019-11-21T16:49:40Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. November 2019, 18:49 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID132__Sto_Z_3_7.png\|right\|frame<Auszug aus der CCITT-Empfehlung G.821: Error Performance]]		[[Datei:P_ID132__Sto_Z_3_7.png\|right\|frame<Auszug aus der CCITT-Empfehlung G.821: Error Performance]]
	Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote (BER) einhalten, die zum Beispiel in der [https://de.wikipedia.org/wiki/G.821 CCITT-Empfehlung G.821] unter dem Namen ~~<i>~~Error Performance~~</i>~~ spezifiziert sind.		Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote (BER) einhalten, die zum Beispiel in der  [https://de.wikipedia.org/wiki/G.821 CCITT-Empfehlung G.821]  unter dem Namen &bdquo;Error Performance” spezifiziert sind.

	Rechts sehen Sie einen Auszug aus dieser Empfehlung:		Rechts sehen Sie einen Auszug aus dieser Empfehlung:
	*Diese besagt unter Anderem, dass – über eine ausreichend lange Zeit gemittelt – mindestens $99.8\%$ aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner $10^{-3}$ (ein Promille) aufweisen müssen.		*Diese besagt unter Anderem,  dass – über eine ausreichend lange Zeit gemittelt – mindestens  $99.8\%$  aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner als  $10^{-3}$  (ein Promille) aufweisen müssen.
	*Bei einer Bitrate von $\text{64 kbit/s}$ entspricht dies der Bedingung, dass in einer Sekunde (und somit bei $N = 64\hspace{0.~~05cm~~}000$ übertragenen Symbolen) nicht mehr als $64$ Bitfehler auftreten dürfen:		*Bei einer Bitrate von  $\text{64 kbit/s}$  entspricht dies der Bedingung, dass in einer Sekunde  $($und somit bei  $N = 64\hspace{0.08cm}000$  übertragenen Symbolen$)$  nicht mehr als  $64$  Bitfehler auftreten dürfen:
	:$$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$		:$$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$





Zeile 15:		Zeile 18:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].

	*Gehen Sie für die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p = 10^{-3}$ aus. In der gesamten Aufgabe gelte zudem $N = 64\hspace{0.~~05cm~~}000$.		*Gehen Sie für die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p = 10^{-3}$  aus.
	*~~In der [[Aufgaben:3.7_Bitfehlerquote_(BER)\|Aufgabe 3.7]] wurde darauf hingewiesen, dass unter~~ gewissen Bedingungen – die hier alle erfüllt sind – die Binomialverteilung durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann.		*In der gesamten Aufgabe gelte zudem $N = 64\hspace{0.08cm}000$.
	*Verwenden Sie diese Näherung bei der Teilaufgabe '''(4)'''.		* Unter gewissen Bedingungen – die hier alle erfüllt sind – kann die Binomialverteilung durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann.
			*Verwenden Sie diese Näherung bei der Teilaufgabe  '''(4)'''.


Zeile 27:		Zeile 31:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Welche der folgenden Aussagen treffen hinsichtlich der Zufallsgröße $f$ zu?		{Welche der folgenden Aussagen treffen hinsichtlich der Zufallsgröße $f$  zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Die Zufallsgröße $f$  ist binomialverteilt.		+ Die Zufallsgröße $f$  ist binomialverteilt.
Zeile 33:		Zeile 37:


	{Welcher ~~Wert~~ ergibt sich für ~~den Mittelwert der~~ Zufallsgröße $f$?		{Welcher Mittelwert ergibt sich für die Zufallsgröße $f$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$m_f \ = \ $ { 64 3% }		$m_f \ = \ $ { 64 3% }


	{Wie groß ist die Streuung? Verwenden Sie geeignete Näherungen.		{Wie groß ist die Streuung?  Verwenden Sie geeignete Näherungen.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\sigma_f \ = \ $ { 8 3% }		$\sigma_f \ = \ $ { 8 3% }


	{Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als $64$ Bitfehler auftreten. Verwenden Sie hierzu die Gaußnäherung.		{Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als  $64$  Bitfehler auftreten.  Verwenden Sie hierzu die Gaußnäherung.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(f ≤ 64) \ = \ $ { 50 3% } $ \ \rm \%$		${\rm Pr}(f ≤ 64) \ = \ $ { 50 3% } $ \ \rm \%$


	{Wie groß darf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B, max}$ höchstens sein, damit die Bedingung &bdquo;64 (oder mehr) Bitfehler nur in höchstens 0.2% der Einsekunden-Intervalle ” eingehalten werden kann? Es gilt ${\rm Q}(2.9) \approx 0.002$.		{Wie groß darf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_\text{B, max}$  höchstens sein, damit die Bedingung &bdquo;64 (oder mehr) Bitfehler nur in höchstens 0.2% der Einsekunden-Intervalle ” eingehalten werden kann?  Es gilt  ${\rm Q}(2.9) \approx 0.002$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_\text{B, max}\ = \ $ { 0.069 3% } $ \ \rm \%$		$p_\text{B, max}\ = \ $ { 0.069 3% } $ \ \rm \%$

Guenter am 10. August 2018 um 09:31 Uhr

2018-08-10T09:31:59Z

Guenter am 10. August 2018 um 09:24 Uhr

2018-08-10T09:24:33Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. August 2018, 11:24 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	}}		}}

	[[Datei:P_ID132__Sto_Z_3_7.png\|right\|Auszug aus der CCITT-Empfehlung G.821: Error Performance]]		[[Datei:P_ID132__Sto_Z_3_7.png\|right\|frame<Auszug aus der CCITT-Empfehlung G.821: Error Performance]]
	Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote (BER) einhalten, die zum Beispiel in der CCITT-Empfehlung G.821 unter dem Namen <i>Error Performance</i> spezifiziert sind.		Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote (BER) einhalten, die zum Beispiel in der [https://de.wikipedia.org/wiki/G.821 CCITT-Empfehlung G.821] unter dem Namen <i>Error Performance</i> spezifiziert sind.

	Rechts sehen Sie einen Auszug aus dieser Empfehlung:		Rechts sehen Sie einen Auszug aus dieser Empfehlung:
	*Diese besagt unter Anderem, dass – über eine ausreichend lange Zeit gemittelt – mindestens 99.8% aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner $10^{-3}$ (ein Promille) aufweisen müssen.		*Diese besagt unter Anderem, dass – über eine ausreichend lange Zeit gemittelt – mindestens $99.8\%$ aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner $10^{-3}$ (ein Promille) aufweisen müssen.
	*Bei einer Bitrate von 64 kbit/s entspricht dies der Bedingung, dass in einer Sekunde (und somit bei $N = 64\hspace{0.05cm}000$ übertragenen Symbolen) nicht mehr als 64 Bitfehler auftreten dürfen:		*Bei einer Bitrate von $\text{64 kbit/s}$ entspricht dies der Bedingung, dass in einer Sekunde (und somit bei $N = 64\hspace{0.05cm}000$ übertragenen Symbolen) nicht mehr als $64$ Bitfehler auftreten dürfen:
	:$$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$		:$$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$




	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte ~~Zufallsgröße~~]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].

	*Gehen Sie für die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p = 10^{-3}$ aus. In der gesamten Aufgabe gelte zudem $N = 64\hspace{0.05cm}000$.		*Gehen Sie für die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p = 10^{-3}$ aus. In der gesamten Aufgabe gelte zudem $N = 64\hspace{0.05cm}000$.
	*In der [[Aufgaben:3.7_Bitfehlerquote_(BER)\|Aufgabe 3.7]] wurde darauf hingewiesen, dass unter gewissen Bedingungen – die hier alle erfüllt sind – die Binomialverteilung durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann. Verwenden Sie diese Näherung bei der Teilaufgabe (4).		*In der [[Aufgaben:3.7_Bitfehlerquote_(BER)\|Aufgabe 3.7]] wurde darauf hingewiesen, dass unter gewissen Bedingungen – die hier alle erfüllt sind – die Binomialverteilung durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann.
			*Verwenden Sie diese Näherung bei der Teilaufgabe '''(4)'''.




Zeile 25:		Zeile 29:
	{Welche der folgenden Aussagen treffen hinsichtlich der Zufallsgröße $f$ zu?		{Welche der folgenden Aussagen treffen hinsichtlich der Zufallsgröße $f$ zu?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Die Zufallsgröße $f$ ist binomialverteilt.		+ Die Zufallsgröße $f$  ist binomialverteilt.
	+ $f$ kann durch eine Poissonverteilung angenähert werden.		+ $f$  kann durch eine Poissonverteilung angenähert werden.


	{Welcher Wert ergibt sich für den Mittelwert der Zufallsgröße $f$?		{Welcher Wert ergibt sich für den Mittelwert der Zufallsgröße $f$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$m_f \ = $ { 64 3% }		$m_f \ = \ $ { 64 3% }


	{Wie groß ist die Streuung? Verwenden Sie geeignete Näherungen.		{Wie groß ist die Streuung? Verwenden Sie geeignete Näherungen.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\sigma_f \ = $ { 8 3% }		$\sigma_f \ = \ $ { 8 3% }


	{Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als $64$ Bitfehler auftreten. Verwenden Sie hierzu die Gaußnäherung.		{Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als $64$ Bitfehler auftreten. Verwenden Sie hierzu die Gaußnäherung.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(f ≤ 64) \ = $ { 50 3% } $ \ \rm \%$		${\rm Pr}(f ≤ 64) \ = \ $ { 50 3% } $ \ \rm \%$


	{Wie groß darf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B, max}$ höchstens sein, damit die Bedingung &bdquo;~~Nur~~ in höchstens 0.2% der Einsekunden-Intervalle ~~64 (oder mehr) Bitfehler~~” eingehalten werden kann? Es gilt ${\rm Q}(2.9) \approx 0.002$.		{Wie groß darf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B, max}$ höchstens sein, damit die Bedingung &bdquo;64 (oder mehr) Bitfehler nur in höchstens 0.2% der Einsekunden-Intervalle ” eingehalten werden kann? Es gilt ${\rm Q}(2.9) \approx 0.002$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_\text{B, max}\ = $ { 0.069 3% } $ \ \rm \%$		$p_\text{B, max}\ = \ $ { 0.069 3% } $ \ \rm \%$

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:46Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:03 Uhr
Zeile 15:		Zeile 15:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgröße]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgröße]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	*Gehen Sie für die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p = 10^{-3}$ aus. In der gesamten Aufgabe gelte zudem $N = 64\hspace{0.05cm}000$.		*Gehen Sie für die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p = 10^{-3}$ aus. In der gesamten Aufgabe gelte zudem $N = 64\hspace{0.05cm}000$.
	*In der [[Aufgaben:3.7_Bitfehlerquote_(BER)\|Aufgabe 3.7]] wurde darauf hingewiesen, dass unter gewissen Bedingungen – die hier alle erfüllt sind – die Binomialverteilung durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann. Verwenden Sie diese Näherung bei der Teilaufgabe (4).		*In der [[Aufgaben:3.7_Bitfehlerquote_(BER)\|Aufgabe 3.7]] wurde darauf hingewiesen, dass unter gewissen Bedingungen – die hier alle erfüllt sind – die Binomialverteilung durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann. Verwenden Sie diese Näherung bei der Teilaufgabe (4).

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2018-01-03T13:36:54Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.7Z Error Performance nach Aufgaben:Aufgabe 3.7Z: Error Performance

← Nächstältere Version	Version vom 3. Januar 2018, 15:36 Uhr
(kein Unterschied)

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	[[Datei:P_ID132__Sto_Z_3_7.png\|right\|frame<Auszug aus der CCITT-Empfehlung G.821: Error Performance]]		[[Datei:P_ID132__Sto_Z_3_7.png\|right\|frame<Auszug aus der CCITT-Empfehlung G.821: Error Performance]]
	Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote (BER) einhalten, die zum Beispiel in der  [https://de.wikipedia.org/wiki/G.821 CCITT-Empfehlung G.821]  unter dem Namen &bdquo;Error Performance” spezifiziert sind.		Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote  $\rm (BER)$  einhalten,  die zum Beispiel in der  [https://de.wikipedia.org/wiki/G.821 CCITT-Empfehlung G.821]  unter dem Namen &bdquo;Error Performance” spezifiziert sind.

	Rechts sehen Sie einen Auszug aus dieser Empfehlung:		Rechts sehen Sie einen Auszug aus dieser Empfehlung:
	*Diese besagt unter Anderem,  dass – über eine ausreichend lange Zeit gemittelt – mindestens  $99.8\%$  aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner als  $10^{-3}$  (ein Promille) aufweisen müssen.		*Diese besagt unter Anderem,  dass  – über eine ausreichend lange Zeit gemittelt –  mindestens  $99.8\%$  aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner als  $10^{-3}$  (ein Promille)  aufweisen müssen.
	*Bei einer Bitrate von  $\text{64 kbit/s}$  entspricht dies der Bedingung, dass in einer Sekunde  $($und somit bei  $N = 64\hspace{0.08cm}000$  übertragenen Symbolen$)$  nicht mehr als  $64$  Bitfehler auftreten dürfen:		*Bei einer Bitrate von  $\text{64 kbit/s}$  entspricht dies der Bedingung,  dass in einer Sekunde  $($und somit bei  $N = 64\hspace{0.08cm}000$  übertragenen Symbolen$)$  nicht mehr als  $64$  Bitfehler auftreten dürfen:
	:$$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$		:$$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$

Zeile 15:		Zeile 15:


			Hinweise:

	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].

	*Gehen Sie für die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p = 10^{-3}$  aus.		*Gehen Sie für die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p = 10^{-3}$  aus.
	*In der gesamten Aufgabe gelte zudem $N = 64\hspace{0.08cm}000$.		*In der gesamten Aufgabe gelte zudem $N = 64\hspace{0.08cm}000$.
Zeile 47:		Zeile 44:


	{Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als  $64$  Bitfehler auftreten.  Verwenden Sie hierzu die Gaußnäherung.		{Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit,  dass nicht mehr als  $64$  Bitfehler auftreten.  Verwenden Sie hierzu die Gaußnäherung.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(f ≤ 64) \ = \ $ { 50 3% } $ \ \rm \%$		${\rm Pr}(f ≤ 64) \ = \ $ { 50 3% } $ \ \rm \%$


	{Wie groß darf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_\text{B, max}$  höchstens sein, damit die Bedingung &bdquo;64 (oder mehr) Bitfehler nur in höchstens 0.2% der Einsekunden-Intervalle ” eingehalten werden kann?  Es gilt  ${\rm Q}(2.9) \approx 0.002$.		{Wie groß darf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit  $p_\text{B, max}$  höchstens sein,  damit die Bedingung &bdquo;64 (oder mehr) Bitfehler nur in höchstens 0.2% der Einsekunden-Intervalle ” eingehalten werden kann?  Es gilt  ${\rm Q}(2.9) \approx 0.002$.
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	$p_\text{B, max}\ = \ $ { 0.069 3% } $ \ \rm \%$		$p_\text{B, max}\ = \ $ { 0.069 3% } $ \ \rm \%$

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	'''(1)'''  <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:		'''(1)'''  <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:
	*Bei der hier definierten Zufallsgröße $f$ handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgröße, nämlich der Summe über $N$ Binärwerte ($0$ oder $1$).		*Bei der hier definierten Zufallsgröße $f$  handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgröße, nämlich der Summe über $N$ Binärwerte ($0$ oder $1$).
	*Da das Produkt $N \cdot p = 64$ und dadurch sehr viel größer als $1$ ist, kann die Binomialverteilung mit guter Näherung durch eine Poissonverteilung mit der Rate ${\it \lambda} = 64$ angenähert werden.		*Da das Produkt  $N \cdot p = 64$  und dadurch sehr viel größer als $1$ ist, kann die Binomialverteilung mit guter Näherung durch eine Poissonverteilung mit der Rate ${\it \lambda} = 64$ angenähert werden.


	'''(2)'''  Der Mittelwert ergibt sich zu $m_f = N \cdot p \hspace{0.15cm}\underline{= 64}$ unabhängig davon, ob man von der Binomial- oder der Poissonverteilung ausgeht.		'''(2)'''  Der Mittelwert ergibt sich zu  $m_f = N \cdot p \hspace{0.15cm}\underline{= 64}$  unabhängig davon, ob man von der Binomial- oder der Poissonverteilung ausgeht.


	'''(3)'''  Für die Streuung erhält man   $\it \sigma_f=\rm\sqrt{\rm 64000\cdot 10^{-3}\cdot 0.999}\hspace{0.15cm}\underline{\approx\sqrt{64}=8}.$ Der Fehler durch Anwendung der Poissonlverteilung anstelle der Binomialverteilung ist hier kleiner als $0.~~0005~~$.		'''(3)'''  Für die Streuung erhält man   $\it \sigma_f=\rm\sqrt{\rm 64000\cdot 10^{-3}\cdot 0.999}\hspace{0.15cm}\underline{\approx\sqrt{64}=8}.$ Der Fehler durch Anwendung der Poissonlverteilung anstelle der Binomialverteilung ist hier kleiner als $0.05\%$.


	'''(4)'''  Bei einer Gaußschen Zufallsgröße $f$ mit Mittelwert $m_f {= 64}$ ist die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(f \le 64) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 50\%}$. <i>Anmerkung:</i> Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße wäre die Wahrscheinlichkeit exakt $0.5$. Da $f$ nur ganzzahlige Werte annehmen kann, ist sie hier geringfügig größer.		'''(4)'''  Bei einer Gaußschen Zufallsgröße $f$  mit Mittelwert  $m_f {= 64}$  ist die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(f \le 64) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 50\%}$.   <i>Anmerkung:</i>
			*Bei einer kontinuierlichen Zufallsgröße wäre die Wahrscheinlichkeit exakt $0.5$.
			*Da $f$  nur ganzzahlige Werte annehmen kann, ist sie hier geringfügig größer.


	'''(5)'''  Mit $\lambda = N \cdot p$ lautet die entsprechende Bedingung:		'''(5)'''  Mit  $\lambda = N \cdot p$  lautet die entsprechende Bedingung:
	$$\rm Q\big (\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}} \big )\le \rm 0.002\hspace{0.5cm}\rm bzw.\hspace{0.5cm}\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}}>\rm 2.9.$$		:$$\rm Q\big (\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}} \big )\le \rm 0.002\hspace{0.5cm}\rm bzw.\hspace{0.5cm}\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}}>\rm 2.9.$$

	Der Maximalwert von $\lambda$ kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:		Der Maximalwert von $\lambda$  kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:
	$$ \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$		:$$ \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$

	Die Lösung dieser quadratischen Gleichung ~~lautet~~:		Die Lösung dieser quadratischen Gleichung ist somit:
	$$\sqrt{\it \lambda}=\frac{\rm -2.9\pm\rm\sqrt{\rm 8.41+256}}{\rm 2}=\rm 6.68		:$$\sqrt{\it \lambda}=\frac{\rm -2.9\pm\rm\sqrt{\rm 8.41+256}}{\rm 2}=\rm 6.68
	\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}		\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
	\lambda = 44.6 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}		\lambda = 44.6 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
	p_\text{B, max}= \frac{44.6}{64000} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.069\%}.$$		p_\text{B, max}= \frac{44.6}{64000} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.069\%}.$$

	Die zweite Lösung ~~obiger Gleichung~~ ist negativ und muss nicht weiter berücksichtigt werden.		Die zweite Lösung ist negativ und muss nicht weiter berücksichtigt werden.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}