Aufgaben:Aufgabe 3.7Z: Error Performance - Versionsgeschichte

Guenter am 2. Februar 2022 um 13:09 Uhr

2022-02-02T13:09:11Z

Guenter am 2. Februar 2022 um 13:05 Uhr

2022-02-02T13:05:34Z

Guenter am 21. November 2019 um 16:58 Uhr

2019-11-21T16:58:34Z

Guenter am 21. November 2019 um 16:49 Uhr

2019-11-21T16:49:40Z

Guenter am 10. August 2018 um 09:31 Uhr

2018-08-10T09:31:59Z

Guenter am 10. August 2018 um 09:24 Uhr

2018-08-10T09:24:33Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:46Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:36:54Z

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Guenter am 13. März 2017 um 16:41 Uhr

2017-03-13T16:41:22Z

Guenter am 13. März 2017 um 16:14 Uhr

2017-03-13T16:14:38Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:
+'''(1)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen</u>&nbsp; sind richtig:
 *Bei der hier definierten Zufallsgröße  $f$&nbsp; handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgr&ouml;&szlig;e:&nbsp; Summe &uuml;ber&nbsp; $N$&nbsp; Bin&auml;rwerte&nbsp; $(0$ oder $1)$.
-*Da das Produkt &nbsp;$N \cdot p = 64$&nbsp; und dadurch sehr viel gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $1$&nbsp; ist,
+*Da das Produkt &nbsp;$N \cdot p = 64$&nbsp; und dadurch sehr viel gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $1$&nbsp; ist,&nbsp; kann die Binomialverteilung mit guter N&auml;herung durch eine Poissonverteilung mit der Rate&nbsp; ${\it \lambda} = 64$&nbsp; angen&auml;hert werden.
-'''(2)'''&nbsp; Der Mittelwert ergibt sich zu &nbsp;$m_f = N \cdot p \hspace{0.15cm}\underline{= 64}$&nbsp; unabh&auml;ngig davon, ob man von der Binomial&ndash; oder der Poissonverteilung ausgeht.
+'''(2)'''&nbsp; Der Mittelwert ergibt sich zu &nbsp;$m_f = N \cdot p \hspace{0.15cm}\underline{= 64}$&nbsp; unabh&auml;ngig davon,&nbsp; ob man von der Binomial&ndash; oder der Poissonverteilung ausgeht.
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 :$$\rm Q\big (\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}} \big )\le \rm  0.002\hspace{0.5cm}\rm bzw.\hspace{0.5cm}\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}}>\rm 2.9.$$
-*Der Maximalwert von&nbsp; $\lambda$&nbsp; kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:
+*Der Maximalwert von&nbsp; $\lambda$ &nbsp; kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:
 :$$ \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$

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 [[Datei:P_ID132__Sto_Z_3_7.png|right|frame<Auszug aus der CCITT-Empfehlung G.821: Error Performance]]
-Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote (BER) einhalten, die zum Beispiel in der&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/G.821 CCITT-Empfehlung G.821]&nbsp; unter dem Namen &bdquo;Error Performance&rdquo; spezifiziert sind.
+Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote&nbsp; $\rm (BER)$&nbsp; einhalten,&nbsp; die zum Beispiel in der&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/G.821 CCITT-Empfehlung G.821]&nbsp; unter dem Namen &bdquo;Error Performance&rdquo; spezifiziert sind.
 Rechts sehen Sie einen Auszug aus dieser Empfehlung:
-*Diese besagt unter Anderem,&nbsp; dass &ndash; &uuml;ber eine ausreichend lange Zeit gemittelt &ndash; mindestens&nbsp; $99.8\%$&nbsp; aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner als&nbsp; $10^{-3}$&nbsp; (ein Promille) aufweisen m&uuml;ssen.
+*Diese besagt unter Anderem,&nbsp; dass&nbsp; &ndash; &uuml;ber eine ausreichend lange Zeit gemittelt &ndash;&nbsp; mindestens&nbsp; $99.8\%$&nbsp; aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner als&nbsp; $10^{-3}$&nbsp; (ein Promille)&nbsp; aufweisen m&uuml;ssen.
-*Bei einer Bitrate von&nbsp; $\text{64 kbit/s}$&nbsp; entspricht dies der Bedingung, dass in einer Sekunde&nbsp; $($und somit bei&nbsp; $N = 64\hspace{0.08cm}000$&nbsp; &uuml;bertragenen Symbolen$)$&nbsp; nicht mehr als&nbsp; $64$&nbsp; Bitfehler auftreten dürfen:
+*Bei einer Bitrate von&nbsp; $\text{64 kbit/s}$&nbsp; entspricht dies der Bedingung,&nbsp; dass in einer Sekunde&nbsp; $($und somit bei&nbsp; $N = 64\hspace{0.08cm}000$&nbsp; &uuml;bertragenen Symbolen$)$&nbsp; nicht mehr als&nbsp; $64$&nbsp; Bitfehler auftreten dürfen:
 :$$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
 *Gehen Sie f&uuml;r die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p = 10^{-3}$&nbsp; aus.
 *In der gesamten Aufgabe gelte zudem   $N = 64\hspace{0.08cm}000$.
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-{Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als&nbsp; $64$&nbsp; Bitfehler auftreten.&nbsp; Verwenden Sie hierzu die Gau&szlig;n&auml;herung.
+{Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass nicht mehr als&nbsp; $64$&nbsp; Bitfehler auftreten.&nbsp; Verwenden Sie hierzu die Gau&szlig;n&auml;herung.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(f ≤ 64) \ =  \ $ { 50 3% } $ \ \rm \%$
-{Wie gro&szlig; darf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_\text{B, max}$&nbsp; höchstens sein, damit die Bedingung &bdquo;64 (oder mehr) Bitfehler nur in höchstens 0.2% der Einsekunden-Intervalle &rdquo; eingehalten werden kann?&nbsp; Es gilt&nbsp; ${\rm Q}(2.9) \approx 0.002$.
+{Wie gro&szlig; darf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_\text{B, max}$&nbsp; höchstens sein,&nbsp; damit die Bedingung &bdquo;64 (oder mehr) Bitfehler nur in höchstens 0.2% der Einsekunden-Intervalle &rdquo; eingehalten werden kann?&nbsp; Es gilt&nbsp; ${\rm Q}(2.9) \approx 0.002$.
 |type="{}"}
 $p_\text{B, max}\ =  \ $ { 0.069 3% } $ \ \rm \%$

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:
-*Bei der hier definierten Zufallsgröße  $f$&nbsp; handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgr&ouml;&szlig;e, n&auml;mlich der Summe &uuml;ber $N$ Bin&auml;rwerte ($0$ oder $1$).
+*Bei der hier definierten Zufallsgröße  $f$&nbsp; handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgr&ouml;&szlig;e:&nbsp; Summe &uuml;ber&nbsp; $N$&nbsp; Bin&auml;rwerte&nbsp; $(0$ oder $1)$.
-*Da das Produkt &nbsp;$N \cdot p = 64$&nbsp; und dadurch sehr viel gr&ouml;&szlig;er als $1$ ist, kann die Binomialverteilung mit guter N&auml;herung durch eine Poissonverteilung mit der Rate ${\it \lambda} = 64$ angen&auml;hert werden.
+*Da das Produkt &nbsp;$N \cdot p = 64$&nbsp; und dadurch sehr viel gr&ouml;&szlig;er als&nbsp; $1$&nbsp; ist,
-'''(4)'''&nbsp; Bei einer Gau&szlig;schen Zufallsgr&ouml;&szlig;e $f$&nbsp; mit Mittelwert &nbsp;$m_f  {= 64}$&nbsp; ist die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(f \le  64) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 50\%}$. &nbsp; <i>Anmerkung:</i>
+'''(3)'''&nbsp; F&uuml;r die Streuung erh&auml;lt man &nbsp;
-*Bei einer kontinuierlichen Zufallsgr&ouml;&szlig;e w&auml;re die Wahrscheinlichkeit exakt $0.5$.
+:$$\it \sigma_f=\rm\sqrt{\rm 64000\cdot 10^{-3}\cdot 0.999}\hspace{0.15cm}\underline{\approx\sqrt{64}=8}.$$
 *Da $f$&nbsp; nur ganzzahlige Werte annehmen kann, ist sie hier geringf&uuml;gig gr&ouml;&szlig;er.
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 :$$\rm Q\big (\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}} \big )\le \rm  0.002\hspace{0.5cm}\rm bzw.\hspace{0.5cm}\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}}>\rm 2.9.$$
-Der Maximalwert von $\lambda$&nbsp; kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:
+*Der Maximalwert von&nbsp; $\lambda$&nbsp; kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:
 :$$ \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$
-Die L&ouml;sung dieser quadratischen Gleichung ist somit:
+*Die L&ouml;sung dieser quadratischen Gleichung ist somit:
 :$$\sqrt{\it \lambda}=\frac{\rm -2.9\pm\rm\sqrt{\rm 8.41+256}}{\rm 2}=\rm 6.68
 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
 \lambda = 44.6 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
-p_\text{B, max}= \frac{44.6}{64000} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.069\%}.$$
+{\it p}_\text{B, max}= \frac{44.6}{64000} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.069\%}.$$
-Die zweite Lösung ist negativ und muss nicht weiter berücksichtigt werden.
+*Die zweite Lösung ist negativ und muss nicht weiter berücksichtigt werden.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID132__Sto_Z_3_7.png|right|frame<Auszug aus der CCITT-Empfehlung G.821: Error Performance]]
-Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote (BER) einhalten, die zum Beispiel in der [https://de.wikipedia.org/wiki/G.821 CCITT-Empfehlung G.821] unter dem Namen <i>Error Performance</i> spezifiziert sind.
+Jeder Betreiber von ISDN-Systemen muss gewisse Mindestanforderungen hinsichtlich der Bitfehlerquote (BER) einhalten, die zum Beispiel in der&nbsp; [https://de.wikipedia.org/wiki/G.821 CCITT-Empfehlung G.821]&nbsp; unter dem Namen &bdquo;Error Performance&rdquo; spezifiziert sind.
 Rechts sehen Sie einen Auszug aus dieser Empfehlung:
-*Diese besagt unter Anderem, dass &ndash; &uuml;ber eine ausreichend lange Zeit gemittelt &ndash; mindestens $99.8\%$ aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner $10^{-3}$ (ein Promille) aufweisen m&uuml;ssen.
+*Diese besagt unter Anderem,&nbsp; dass &ndash; &uuml;ber eine ausreichend lange Zeit gemittelt &ndash; mindestens&nbsp; $99.8\%$&nbsp; aller Einsekunden-Intervalle eine Bitfehlerquote kleiner als&nbsp; $10^{-3}$&nbsp; (ein Promille) aufweisen m&uuml;ssen.
-*Bei einer Bitrate von $\text{64 kbit/s}$ entspricht dies der Bedingung, dass in einer Sekunde (und somit bei $N = 64\hspace{0.05cm}000$ &uuml;bertragenen Symbolen) nicht mehr als $64$ Bitfehler auftreten dürfen:
+*Bei einer Bitrate von&nbsp; $\text{64 kbit/s}$&nbsp; entspricht dies der Bedingung, dass in einer Sekunde&nbsp; $($und somit bei&nbsp; $N = 64\hspace{0.08cm}000$&nbsp; &uuml;bertragenen Symbolen$)$&nbsp; nicht mehr als&nbsp; $64$&nbsp; Bitfehler auftreten dürfen:
 :$$\rm Pr(\it f \le \rm 64) \ge \rm 0.998.$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
-*Gehen Sie f&uuml;r die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p = 10^{-3}$ aus. In der gesamten Aufgabe gelte zudem   $N = 64\hspace{0.05cm}000$.
+*Gehen Sie f&uuml;r die ersten drei Teilaufgaben stets von der Bitfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p = 10^{-3}$&nbsp; aus.
-*In der [[Aufgaben:3.7_Bitfehlerquote_(BER)|Aufgabe 3.7]] wurde darauf hingewiesen, dass unter gewissen Bedingungen &ndash; die hier alle erf&uuml;llt sind &ndash; die Binomialverteilung durch eine Gau&szlig;verteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann.
+*In der gesamten Aufgabe gelte zudem   $N = 64\hspace{0.08cm}000$.
-*Verwenden Sie diese N&auml;herung bei der Teilaufgabe '''(4)'''.
+* Unter gewissen Bedingungen &ndash; die hier alle erf&uuml;llt sind &ndash; kann die Binomialverteilung durch eine Gau&szlig;verteilung mit gleichem Mittelwert und gleicher Streuung approximiert werden kann.
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 <quiz display=simple>
-{Welche der folgenden Aussagen treffen hinsichtlich der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $f$ zu?
+{Welche der folgenden Aussagen treffen hinsichtlich der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $f$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
 + Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $f$&nbsp; ist binomialverteilt.
@@ Zeile 33: / Zeile 37: @@
-{Welcher Wert ergibt sich f&uuml;r den Mittelwert der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $f$?
+{Welcher Mittelwert ergibt sich f&uuml;r die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $f$?
 |type="{}"}
 $m_f \ = \ $ { 64 3% }
-{Wie groß ist die Streuung? Verwenden Sie geeignete N&auml;herungen.
+{Wie groß ist die Streuung?&nbsp; Verwenden Sie geeignete N&auml;herungen.
 |type="{}"}
 $\sigma_f \ =  \ $ { 8 3% }
-{Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als $64$ Bitfehler auftreten. Verwenden Sie hierzu die Gau&szlig;n&auml;herung.
+{Berechnen Sie Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als&nbsp; $64$&nbsp; Bitfehler auftreten.&nbsp; Verwenden Sie hierzu die Gau&szlig;n&auml;herung.
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(f ≤ 64) \ =  \ $ { 50 3% } $ \ \rm \%$
-{Wie gro&szlig; darf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_\text{B, max}$ höchstens sein, damit die Bedingung &bdquo;64 (oder mehr) Bitfehler nur in höchstens 0.2% der Einsekunden-Intervalle &rdquo; eingehalten werden kann? Es gilt ${\rm Q}(2.9) \approx 0.002$.
+{Wie gro&szlig; darf die Bitfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_\text{B, max}$&nbsp; höchstens sein, damit die Bedingung &bdquo;64 (oder mehr) Bitfehler nur in höchstens 0.2% der Einsekunden-Intervalle &rdquo; eingehalten werden kann?&nbsp; Es gilt&nbsp; ${\rm Q}(2.9) \approx 0.002$.
 |type="{}"}
 $p_\text{B, max}\ =  \ $ { 0.069 3% } $ \ \rm \%$

@@ Zeile 59: / Zeile 59: @@
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:
-*Bei der hier definierten Zufallsgröße  $f$ handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgr&ouml;&szlig;e, n&auml;mlich der Summe &uuml;ber $N$ Bin&auml;rwerte ($0$ oder $1$).
+*Bei der hier definierten Zufallsgröße  $f$&nbsp; handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgr&ouml;&szlig;e, n&auml;mlich der Summe &uuml;ber $N$ Bin&auml;rwerte ($0$ oder $1$).
-*Da das Produkt $N \cdot p = 64$ und dadurch sehr viel gr&ouml;&szlig;er als $1$ ist, kann die Binomialverteilung mit guter N&auml;herung durch eine Poissonverteilung mit der Rate ${\it \lambda} = 64$ angen&auml;hert werden.
+*Da das Produkt &nbsp;$N \cdot p = 64$&nbsp; und dadurch sehr viel gr&ouml;&szlig;er als $1$ ist, kann die Binomialverteilung mit guter N&auml;herung durch eine Poissonverteilung mit der Rate ${\it \lambda} = 64$ angen&auml;hert werden.
-'''(2)'''&nbsp; Der Mittelwert ergibt sich zu $m_f = N \cdot p \hspace{0.15cm}\underline{= 64}$ unabh&auml;ngig davon, ob man von der Binomial- oder der Poissonverteilung ausgeht.
+'''(2)'''&nbsp; Der Mittelwert ergibt sich zu &nbsp;$m_f = N \cdot p \hspace{0.15cm}\underline{= 64}$&nbsp; unabh&auml;ngig davon, ob man von der Binomial- oder der Poissonverteilung ausgeht.
-'''(3)'''&nbsp; F&uuml;r die Streuung erh&auml;lt man &nbsp; $\it \sigma_f=\rm\sqrt{\rm 64000\cdot 10^{-3}\cdot 0.999}\hspace{0.15cm}\underline{\approx\sqrt{64}=8}.$ Der Fehler durch Anwendung der Poissonlverteilung anstelle der Binomialverteilung ist hier kleiner als $0.0005$.
+'''(3)'''&nbsp; F&uuml;r die Streuung erh&auml;lt man &nbsp; $\it \sigma_f=\rm\sqrt{\rm 64000\cdot 10^{-3}\cdot 0.999}\hspace{0.15cm}\underline{\approx\sqrt{64}=8}.$ Der Fehler durch Anwendung der Poissonlverteilung anstelle der Binomialverteilung ist hier kleiner als $0.05\%$.
-'''(4)'''&nbsp; Bei einer Gau&szlig;schen Zufallsgr&ouml;&szlig;e $f$ mit Mittelwert $m_f  {= 64}$ ist die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(f \le  64) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 50\%}$. <i>Anmerkung:</i> Bei einer kontinuierlichen Zufallsgr&ouml;&szlig;e w&auml;re die Wahrscheinlichkeit exakt $0.5$. Da $f$ nur ganzzahlige Werte annehmen kann, ist sie hier geringf&uuml;gig gr&ouml;&szlig;er.
+'''(4)'''&nbsp; Bei einer Gau&szlig;schen Zufallsgr&ouml;&szlig;e $f$&nbsp; mit Mittelwert &nbsp;$m_f  {= 64}$&nbsp; ist die Wahrscheinlichkeit ${\rm Pr}(f \le  64) \hspace{0.15cm}\underline{\approx 50\%}$. &nbsp; <i>Anmerkung:</i>
-'''(5)'''&nbsp; Mit $\lambda = N \cdot p$ lautet die entsprechende Bedingung:
+'''(5)'''&nbsp; Mit &nbsp;$\lambda = N \cdot p$&nbsp; lautet die entsprechende Bedingung:
-$$\rm Q\big (\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}} \big )\le \rm  0.002\hspace{0.5cm}\rm bzw.\hspace{0.5cm}\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}}>\rm 2.9.$$
+:$$\rm Q\big (\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}} \big )\le \rm  0.002\hspace{0.5cm}\rm bzw.\hspace{0.5cm}\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}}>\rm 2.9.$$
-Der Maximalwert von $\lambda$ kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:
+Der Maximalwert von $\lambda$&nbsp; kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:
-$$ \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$
+:$$ \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$
-Die L&ouml;sung dieser quadratischen Gleichung lautet:
+Die L&ouml;sung dieser quadratischen Gleichung ist somit:
-$$\sqrt{\it \lambda}=\frac{\rm -2.9\pm\rm\sqrt{\rm 8.41+256}}{\rm 2}=\rm 6.68
+:$$\sqrt{\it \lambda}=\frac{\rm -2.9\pm\rm\sqrt{\rm 8.41+256}}{\rm 2}=\rm 6.68
 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
 \lambda = 44.6 \hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}
 p_\text{B, max}= \frac{44.6}{64000} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.069\%}.$$
-Die zweite Lösung obiger Gleichung ist negativ und muss nicht weiter berücksichtigt werden.
+Die zweite Lösung ist negativ und muss nicht weiter berücksichtigt werden.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 54: / Zeile 54: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;<u>Beide Aussagen</u> sind richtig. Bei <i>f</i> handelt es sich um den klassischen Fall einer binomialverteilten Zufallsgr&ouml;&szlig;e, n&auml;mlich der Summe &uuml;ber <i>N</i> Bin&auml;rwerte (0 oder 1). Da das Produkt <i>N</i> &middot; <i>p</i> = 64 und dadurch sehr viel gr&ouml;&szlig;er als 1 ist, kann die Binomialverteilung mit guter N&auml;herung durch eine Poissonverteilung mit der Rate <i>&lambda;</i> = 64 angen&auml;hert werden.
+'''(1)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:
-:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;F&uuml;r die Streuung erh&auml;lt man:
+'''(2)'''&nbsp; Der Mittelwert ergibt sich zu $m_f = N \cdot p \hspace{0.15cm}\underline{= 64=$ unabh&auml;ngig davon, ob man von der Binomial- oder der Poissonverteilung ausgeht.
-:Der Fehler durch Anwendung der Poisson&ndash; anstelle der Binomialverteilung ist kleiner als 0.0005.
+'''(3)'''&nbsp; F&uuml;r die Streuung erh&auml;lt man:
-:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Bei einer Gau&szlig;schen Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>f</i> mit Mittelwert 64 ist die Wahrscheinlichkeit Pr(<i>f</i> &#8804; 64) <u>etwa 50%</u>. <i>Anmerkung:</i> Bei einer kontinuierlichen Zufallsgr&ouml;&szlig;e w&auml;re die Wahrscheinlichkeit exakt 0.5. Da <i>f</i> nur ganzzahlige Werte annehmen kann, ist sie hier geringf&uuml;gig gr&ouml;&szlig;er.
+Der Fehler durch Anwendung der Poisson&ndash; anstelle der Binomialverteilung ist kleiner als 0.0005.
-:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Mit <i>&lambda;</i> = <i>N</i> &middot; <i>p</i> lautet die entsprechende Bedingung:
+'''(4)'''&nbsp; Bei einer Gau&szlig;schen Zufallsgr&ouml;&szlig;e <i>f</i> mit Mittelwert 64 ist die Wahrscheinlichkeit Pr(<i>f</i> &#8804; 64) <u>etwa 50%</u>. <i>Anmerkung:</i> Bei einer kontinuierlichen Zufallsgr&ouml;&szlig;e w&auml;re die Wahrscheinlichkeit exakt 0.5. Da <i>f</i> nur ganzzahlige Werte annehmen kann, ist sie hier geringf&uuml;gig gr&ouml;&szlig;er.
-:Der Maximalwert von <i>&lambda;</i> kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:
+'''(5)'''&nbsp; Mit <i>&lambda;</i> = <i>N</i> &middot; <i>p</i> lautet die entsprechende Bedingung:
-:$$\it \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$
+$$\rm Q\big (\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}} \big )\le \rm  0.002\hspace{0.5cm}\rm bzw.\hspace{0.5cm}\frac{\rm 64-\it \lambda}{\sqrt{\it \lambda}}>\rm 2.9.$$
-:Die L&ouml;sung dieser quadratischen Gleichung lautet:
+Der Maximalwert von <i>&lambda;</i> kann nach folgender Gleichung ermittelt werden:
-:$$\sqrt{\it \lambda}=\frac{\rm -2.9\pm\rm\sqrt{\rm 8.41+256}}{\rm 2}=\rm 6.68.$$
+$$\it \lambda+\rm 2.9\cdot\sqrt{\it\lambda}-\rm 64 = \rm 0.$$
-:Daraus folgt direkt <i>&lambda;</i> = 44.6 und <i>p</i><sub>max</sub> <u>= 0.69 &middot; 10 <sup>&ndash;3</sup></u>. Die zweite Lösung obiger Gleichung ist negativ und muss nicht weiter berücksichtigt werden.
+Die L&ouml;sung dieser quadratischen Gleichung lautet:
 {{ML-Fuß}}