Aufgaben:Aufgabe 3.7: Winkelmodulation einer harmonischen Schwingung - Versionsgeschichte

Guenter am 27. März 2020 um 15:57 Uhr

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2020-03-27T15:49:52Z

Guenter am 20. Dezember 2018 um 12:58 Uhr

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Guenter am 20. Dezember 2018 um 12:53 Uhr

2018-12-20T12:53:25Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:46Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:25:32Z

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Guenter am 7. Juli 2017 um 15:10 Uhr

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2017-07-05T15:33:59Z

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 }}
-[[Datei:P_ID1103__Mod_Z_3_6.png|right|frame|Möglicher <br>FM–Demodulator]]
+[[Datei:P_ID1103__Mod_Z_3_6.png|right|frame|Demodulator <br>für FM]]
 Das an einem Empfänger ankommende Signal lautet:
 :$$ r(t) = 3\,{\rm V} \cdot \cos \hspace{-0.05cm} \big[2 \pi \cdot 1\,{\rm MHz} \cdot t + 3 \cdot \cos(2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t)\big]\hspace{0.05cm}.$$
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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
-*Aus der Gleichung für $r(t)$ kann lediglich abgelesen werden, dass es sich um eine Winkelmodulation handelt,
+*Aus der Gleichung für&nbsp; $r(t)$&nbsp; kann lediglich abgelesen werden, dass es sich um eine Winkelmodulation handelt,
 *nicht jedoch, ob eine Phasenmodulation (PM) oder eine Frequenzmodulation (FM) vorliegt.
-*Aufgrund der Gleichung steht fest, dass die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$ beträgt.
+*Aufgrund der Gleichung steht fest, dass die Nachrichtenfrequenz&nbsp; $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$&nbsp; beträgt.
-*Die Phase $ϕ_{\rm N} = 0$ des Quellensignals würde dagegen nur zutreffen, wenn eine Phasenmodulation vorläge.
+*Die Phase&nbsp; $ϕ_{\rm N} = 0$&nbsp; des Quellensignals würde dagegen nur zutreffen, wenn eine Phasenmodulation vorläge.
 '''(2)'''&nbsp;  Mit der Modulatorkonstanten $K_{\rm PM} = 2 \ \rm V^{–1}$ erhält man hierfür:
 :$$v_{\rm PM}(t) = \frac{1}{K_{\rm PM}} \cdot \phi_r(t) = \frac{3}{2\,{\rm V}^{-1}} \cdot \cos(2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
-*Für den Zeitpunkt $t = 0$ gilt deshalb:
+*Für den Zeitpunkt&nbsp; $t = 0$&nbsp; gilt deshalb:
 :$$v_{\rm PM}(t = 0) = {A_{\rm N}} \hspace{0.15cm}\underline {= 1.5\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp;  Für das Ausgangssignal $v_{\rm FM}(t)$ des FM–Demodulators – bestehend aus PM–Demodulator und Differenzierer – kann man schreiben:
 :$$v_{\rm FM}(t)  =  \frac{{\rm d}v_{\rm PM}(t)}{{\rm d}t} \cdot K = \frac{K \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \cdot (- \sin(2 \pi \cdot {f_{\rm N}} \cdot t))=  \frac{K \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \cdot \cos(2 \pi \cdot {f_{\rm N}} \cdot t + 90^\circ)\hspace{0.05cm}.$$
-*Die Nachrichtenphase ist somit $ϕ_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= 90^\circ}$.
+*Die Nachrichtenphase ist somit&nbsp; $ϕ_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= 90^\circ}$.
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 *Der Phasenhub ist identisch mit dem Modulationsindex, der aus der angegebenen Gleichung abgelesen werden kann:
 :$$\phi_{\rm max} = \eta = 3 = \frac{\Delta f_{\rm A}}{ f_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$
-*Damit erhält man den Frequenzhub $Δf_{\rm A} = 3 · f_{\rm N} = 30 \ \rm kHz$.
+*Damit erhält man den Frequenzhub&nbsp; $Δf_{\rm A} = 3 · f_{\rm N} = 30 \ \rm kHz$.
-*Mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 1 \ \rm MHz$ kann somit die Augenblicksfrequenz $f_{\rm T}(t)$ nur Werte zwischen $1±0.03 \ \rm  MHz$ annehmen.
+*Mit der Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T} = 1 \ \rm MHz$&nbsp; kann somit die Augenblicksfrequenz&nbsp; $f_{\rm T}(t)$&nbsp; nur Werte zwischen&nbsp; $1±0.03 \ \rm  MHz$&nbsp; annehmen.
 '''Es gilt also auch folgende Aussage''':
-Bei halber Nachrichtenfrequenz verdoppelt sich der Phasenhub $η$, während der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ davon nicht beeinflusst wird:
+Bei halber Nachrichtenfrequenz verdoppelt sich der Phasenhub&nbsp; $η$, während der Frequenzhub&nbsp; $Δf_{\rm A}$&nbsp; davon nicht beeinflusst wird:
 :$$\eta = \frac{K_{\rm PM} \cdot A_{\rm N}}{ f_{\rm N}} = 6 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_{\rm A} = \eta \cdot f_{\rm N} = 6 \cdot 5\,{\rm kHz} = 30\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$

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 }}
-[[Datei:P_ID1103__Mod_Z_3_6.png|right|frame|Möglicher FM–Demodulator]]
+[[Datei:P_ID1103__Mod_Z_3_6.png|right|frame|Möglicher <br>FM–Demodulator]]
 Das an einem Empfänger ankommende Signal lautet:
 :$$ r(t) = 3\,{\rm V} \cdot \cos \hspace{-0.05cm} \big[2 \pi \cdot 1\,{\rm MHz} \cdot t + 3 \cdot \cos(2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t)\big]\hspace{0.05cm}.$$
-Bei &nbsp;$r(t)$&nbsp; handelt es sich um ein winkelmoduliertes Signal, das bei der Übertragung weder verzerrt noch durch Rauschen beaufschlagt wurde. Die Signale &nbsp;$v_{\rm PM}(t)$&nbsp; und &nbsp;$v_{\rm FM}(t)$&nbsp; ergeben sich nach idealer Demodulation mittels
+Bei &nbsp;$r(t)$&nbsp; handelt es sich um ein winkelmoduliertes Signal, das bei der Übertragung weder verzerrt noch durch Rauschen beaufschlagt wurde.
 * Phasendemodulator, gegeben durch die Gleichung
 :$$ v_{\rm PM}(t) = \frac{1}{K_{\rm PM}} \cdot \phi_r(t) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {K_{\rm PM}} = 2\,{\rm V}^{-1}\hspace{0.05cm},$$
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 Damit alle Signale gleiche Einheiten besitzen, ist diese Konstante $K$ dimensionsbehaftet.
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-{Berechnen Sie das Signal &nbsp;$v_{\rm PM}(t)$&nbsp; nach dem Phasendemodulator. Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$?
+{Berechnen Sie das Signal &nbsp;$v_{\rm PM}(t)$&nbsp; nach dem Phasendemodulator.&nbsp; Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$?
 |type="{}"}
 $v_{\rm PM}(t = 0) \ = \ $ { 1.5 3% } $\ \rm V$

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp;  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 1, 2 und 4</u>:
-*Aus der Gleichung für $r(t)$ kann lediglich abgelesen werden, dass es sich um eine Winkelmodulation handelt, nicht jedoch, ob eine Phasenmodulation (PM) oder eine Frequenzmodulation (FM) vorliegt.
+*Aus der Gleichung für $r(t)$ kann lediglich abgelesen werden, dass es sich um eine Winkelmodulation handelt,
 *Aufgrund der Gleichung steht fest, dass die Nachrichtenfrequenz $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$ beträgt.
 *Die Phase $ϕ_{\rm N} = 0$ des Quellensignals würde dagegen nur zutreffen, wenn eine Phasenmodulation vorläge.
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 '''(2)'''&nbsp;  Mit der Modulatorkonstanten $K_{\rm PM} = 2 \ \rm V^{–1}$ erhält man hierfür:
 :$$v_{\rm PM}(t) = \frac{1}{K_{\rm PM}} \cdot \phi_r(t) = \frac{3}{2\,{\rm V}^{-1}} \cdot \cos(2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t)\hspace{0.05cm}.$$
-Für den Zeitpunkt $t = 0$ gilt deshalb:
+*Für den Zeitpunkt $t = 0$ gilt deshalb:
 :$$v_{\rm PM}(t = 0) = {A_{\rm N}} \hspace{0.15cm}\underline {= 1.5\,{\rm V}}\hspace{0.05cm}.$$
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 '''(3)'''&nbsp;  Für das Ausgangssignal $v_{\rm FM}(t)$ des FM–Demodulators – bestehend aus PM–Demodulator und Differenzierer – kann man schreiben:
 :$$v_{\rm FM}(t)  =  \frac{{\rm d}v_{\rm PM}(t)}{{\rm d}t} \cdot K = \frac{K \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \cdot (- \sin(2 \pi \cdot {f_{\rm N}} \cdot t))=  \frac{K \cdot A_{\rm N}}{2 \pi \cdot f_{\rm N}} \cdot \cos(2 \pi \cdot {f_{\rm N}} \cdot t + 90^\circ)\hspace{0.05cm}.$$
-Die Nachrichtenphase ist somit $ϕ_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= 90^\circ}$.
+*Die Nachrichtenphase ist somit $ϕ_{\rm N} \hspace{0.15cm}\underline {= 90^\circ}$.
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 :$$\phi_{\rm max} = \eta = 3 = \frac{\Delta f_{\rm A}}{ f_{\rm N}} \hspace{0.05cm}.$$
 *Damit erhält man den Frequenzhub $Δf_{\rm A} = 3 · f_{\rm N} = 30 \ \rm kHz$.
-*Mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 1 \ \rm MHz$ kann somit die Augenblicksfrequenz $f_{\rm T}(t)$ nur Werte zwischen $1±0.03 MHz$ annehmen.
+*Mit der Trägerfrequenz $f_{\rm T} = 1 \ \rm MHz$ kann somit die Augenblicksfrequenz $f_{\rm T}(t)$ nur Werte zwischen $1±0.03 \ \rm  MHz$ annehmen.
-Es gilt also auch folgende Aussage:
+'''Es gilt also auch folgende Aussage''':
 Bei halber Nachrichtenfrequenz verdoppelt sich der Phasenhub $η$, während der Frequenzhub $Δf_{\rm A}$ davon nicht beeinflusst wird:
 :$$\eta = \frac{K_{\rm PM} \cdot A_{\rm N}}{ f_{\rm N}} = 6 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\Delta f_{\rm A} = \eta \cdot f_{\rm N} = 6 \cdot 5\,{\rm kHz} = 30\,{\rm kHz}\hspace{0.05cm}.$$

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 [[Datei:P_ID1103__Mod_Z_3_6.png|right|frame|Möglicher FM–Demodulator]]
 Das an einem Empfänger ankommende Signal lautet:
-:$$ r(t) = 3\,{\rm V} \cdot \cos\left[2 \pi \cdot 1\,{\rm MHz} \cdot t + 3 \cdot \cos(2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t)\right]\hspace{0.05cm}.$$
+:$$ r(t) = 3\,{\rm V} \cdot \cos \hspace{-0.05cm} \big[2 \pi \cdot 1\,{\rm MHz} \cdot t + 3 \cdot \cos(2 \pi \cdot 10\,{\rm kHz} \cdot t)\big]\hspace{0.05cm}.$$
-Bei $r(t)$ handelt es sich um ein winkelmoduliertes Signal, das bei der Übertragung weder verzerrt noch durch Rauschen beaufschlagt wurde. Die Signale $v_{\rm PM}(t)$ und $v_{\rm FM}(t)$ ergeben sich nach idealer Demodulation mittels
+Bei &nbsp;$r(t)$&nbsp; handelt es sich um ein winkelmoduliertes Signal, das bei der Übertragung weder verzerrt noch durch Rauschen beaufschlagt wurde. Die Signale &nbsp;$v_{\rm PM}(t)$&nbsp; und &nbsp;$v_{\rm FM}(t)$&nbsp; ergeben sich nach idealer Demodulation mittels
 * Phasendemodulator, gegeben durch die Gleichung
 :$$ v_{\rm PM}(t) = \frac{1}{K_{\rm PM}} \cdot \phi_r(t) \hspace{0.05cm},\hspace{0.3cm} {K_{\rm PM}} = 2\,{\rm V}^{-1}\hspace{0.05cm},$$
-* Frequenzdemodulator, bestehend aus PM–Demodulator, Differenzierer und einer Konstanten $K$. Damit alle Signale gleiche Einheiten besitzen, ist diese Konstante $K$ dimensionsbehaftet.
+* Frequenzdemodulator, bestehend aus PM–Demodulator, Differenzierer und einer Konstanten $K$.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]].
-*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]] und insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation|Signalverl.äufe bei Frequenzmodulation]].
+*Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel&nbsp;  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]]&nbsp; und auf den Abschnitt &nbsp;[[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation|Signalverläufe bei Frequenzmodulation]].
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 + Es könnte eine PM–Modulation vorliegen.
 + Es könnte eine FM–Modulation vorliegen.
-- Die Nachrichtenphase ist sicher $ϕ_{\rm N} = 0$.
+- Die Nachrichtenphase ist sicher &nbsp;$ϕ_{\rm N} = 0$.
-+ Die Nachrichtenfrequenz ist sicher $f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$.
++ Die Nachrichtenfrequenz ist sicher &nbsp;$f_{\rm N} = 10 \ \rm kHz$.
-{Berechnen Sie das Signal $v_{\rm PM}(t)$ nach dem Phasendemodulator. Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt $t = 0$?
+{Berechnen Sie das Signal &nbsp;$v_{\rm PM}(t)$&nbsp; nach dem Phasendemodulator. Wie groß ist der Signalwert zum Zeitpunkt &nbsp;$t = 0$?
 |type="{}"}
 $v_{\rm PM}(t = 0) \ = \ $ { 1.5 3% } $\ \rm V$
-{Berechnen Sie das Signal $v_{\rm FM}(t)$. Wie groß ist die Nachrichtenphase $ϕ_{\rm N}$?
+{Berechnen Sie das Signal &nbsp;$v_{\rm FM}(t)$. Wie groß ist die Nachrichtenphase &nbsp;$ϕ_{\rm N}$?
 |type="{}"}
 $ϕ_{\rm N} \ = \ $ { 90 3% } $\ \rm Grad$
-{Wie groß ist $K$ zu wählen, damit die Amplitude von $v_{\rm FM}(t)$ gleich $1.5 \ \rm  V$ ist?
+{Wie groß ist &nbsp;$K$&nbsp; zu wählen, damit die Amplitude von &nbsp;$v_{\rm FM}(t)$&nbsp; gleich &nbsp;$1.5 \ \rm  V$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 $K\ = \ $ { 6.28 3% } $\ \rm \cdot 10^4 \ 1/s$
@@ Zeile 44: / Zeile 50: @@
 {Welche der folgenden Aussagen treffen für das FM–modulierte Signal zu?
 |type="[]"}
-+ Der Phasenhub beträgt $ϕ_{\rm max} = 3$.
++ Der Phasenhub beträgt &nbsp;$ϕ_{\rm max} = 3$.
-+ Der Frequenzhub beträgt $Δf_{\rm A} = 30 \ \rm  kHz$.
++ Der Frequenzhub beträgt &nbsp;$Δf_{\rm A} = 30 \ \rm  kHz$.
-+ Es treten Augenblicksfrequenzen zwischen $0.97\ \rm   MHz$ und $1.03 \ \rm   MHz$ auf.
++ Es treten Augenblicksfrequenzen zwischen &nbsp;$0.97\ \rm   MHz$&nbsp; und &nbsp;$1.03 \ \rm   MHz$&nbsp; auf.
-- Mit $f_{\rm N} = 5 \ \rm  kHz$ würde sich am Phasenhub nichts ändern.
+- Mit &nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm  kHz$&nbsp; würde sich am Phasenhub nichts ändern.
-+ Mit $f_{\rm N} = 5 \ \rm  kHz$ würde sich am Frequenzhub nichts ändern.
++ Mit &nbsp;$f_{\rm N} = 5 \ \rm  kHz$&nbsp; würde sich am Frequenzhub nichts ändern.
 </quiz>

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)|Frequenzmodulation]].
 *Bezug genommen wird aber auch auf das Kapitel  [[Modulationsverfahren/Phasenmodulation_(PM)|Phasenmodulation]] und insbesondere auf den Abschnitt [[Modulationsverfahren/Frequenzmodulation_(FM)#Signalverl.C3.A4ufe_bei_Frequenzmodulation|Signalverl.äufe bei Frequenzmodulation]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.