Aufgaben:Aufgabe 3.7: Nochmals Optimale Nyquistentzerrung - Versionsgeschichte

Guenter am 23. Juni 2022 um 09:49 Uhr

2022-06-23T09:49:14Z

Guenter am 23. Juni 2022 um 09:43 Uhr

2022-06-23T09:43:59Z

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:01Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

Guenter am 6. März 2019 um 09:09 Uhr

2019-03-06T09:09:10Z

Guenter am 6. März 2019 um 09:03 Uhr

2019-03-06T09:03:53Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:46Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:29:06Z

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Guenter am 1. November 2017 um 14:42 Uhr

2017-11-01T14:42:35Z

Guenter am 1. November 2017 um 14:41 Uhr

2017-11-01T14:41:57Z

Guenter am 1. November 2017 um 14:29 Uhr

2017-11-01T14:29:55Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Allgemein gilt für alle Frequenzen $f \ge  0$: &nbsp;
+'''(1)'''&nbsp; Allgemein gilt für alle Frequenzen&nbsp; $f \ge  0$: &nbsp;
 :$$|H_{\rm SK}(f)|= {\rm si}(\pi f T) \cdot {\rm e}^{ -9.2
 \cdot \sqrt{2 \cdot |f| \cdot T}  }\hspace{0.05cm}.$$
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-'''(2)'''&nbsp; Die Grafik zeigt, dass $H_{\rm TF}(f)$ bei $f = f_{\rm Nyq}$ maximal wird. Daraus folgt mit der angegebenen Gleichung, dass
+'''(2)'''&nbsp; Die Grafik zeigt,&nbsp; dass&nbsp; $H_{\rm TF}(f)$&nbsp; bei&nbsp; $f = f_{\rm Nyq}$&nbsp; maximal wird.
 :$${\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty}  |H_{\rm SK}(f -
   \frac{\kappa}{T})
   |^2}$$
-bei der Nyquistfrequenz minimal ist. Für $f = f_{\rm Nyq}$ tragen von der unendlichen Summe allerdings nur die Terme mit $\kappa = 0$ und $\kappa = 1$ relevant zum Ergebnis bei.
+bei der Nyquistfrequenz minimal ist.
-*Daraus folgt weiter mit dem Ergebnis aus '''(1)''':
+*Für&nbsp; $f = f_{\rm Nyq}$&nbsp; tragen von der unendlichen Summe allerdings nur die Terme mit&nbsp; $\kappa = 0$&nbsp; und&nbsp; $\kappa = 1$&nbsp; relevant zum Ergebnis bei.
 :$${\rm Max} \left [ H_{\rm TF}(f) \right ] \ = \ H_{\rm TF}(f = f_{\rm
   Nyq})=
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-'''(3)'''&nbsp; Nähert man das Integral über $H_{\rm TF}(f)$ durch die in der Grafik eingezeichnete Dreieckfläche an, so erhält man:
+'''(3)'''&nbsp; Nähert man das Integral über&nbsp; $H_{\rm TF}(f)$&nbsp; durch die in der Grafik eingezeichnete Dreieckfläche an,&nbsp; so erhält man:
 :$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2  = T \cdot
 \int_{0}^{1/T} H_{\rm TF}(f) \,{\rm d} f \approx  T \cdot
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 \hspace{0.3cm} p_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.8 \%} \hspace{0.05cm}.$$
-:Da ein Nyquistsystem vorliegt, ist die ungünstigste (worst&ndash;case) Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ genau so groß.
+:Da ein binäres Nyquistsystem vorliegt,&nbsp; ist die ungünstigste (worst&ndash;case) Fehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm U}$&nbsp; genau so groß.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.5 Lineare Nyquistentzerrung^]]

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 {{quiz-Header|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Lineare Nyquistentzerrung}}
-[[Datei:P_ID1435__Dig_A_3_7.png|right|frame|Transversalfilterfrequenzgang]]
+[[Datei:P_ID1435__Dig_A_3_7.png|right|frame|TF&ndash;Frequenzgang]]
 Wir gehen bei dieser Aufgabe von folgenden Voraussetzungen aus:
 * binäre bipolare NRZ&ndash;Rechteckimpulse
 :$$|H_{\rm S}(f)|= {\rm si}(\pi f T) \hspace{0.05cm},$$
-* Koaxialkabel mit der Kabeldämpfung &nbsp;$a_* = 9.2 \ {\rm Np} \ (\approx 80 \ \rm dB)$:
+* Koaxialkabel mit der charakteistischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_* = 9.2 \ {\rm Np} \ (\approx 80 \ \rm dB)$:
 :$$|H_{\rm K}(f)|= {\rm e}^{ -9.2
 \cdot \sqrt{2 \cdot |f| \cdot T}  }\hspace{0.05cm},$$
-* optimaler Nyquistentzerrer, bestehend aus Matched&ndash;Filter und Transversalfilter:
+* optimaler Nyquistentzerrer,&nbsp; bestehend aus Matched&ndash;Filter und Transversalfilter:
 :$$H_{\rm E}(f) = H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f)$$
 :$$\hspace{0.8cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}H_{\rm MF}(f) = H_{\rm S}^{\star}(f) \cdot H_{\rm K}^{\star}(f)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
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-Wegen der Nyquistentzerrung ist das Auge maximal geöffnet. Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt:
+Wegen der Nyquistentzerrung ist das Auge maximal geöffnet.&nbsp; Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt:
 :$$p_{\rm S}  \left ( = p_{\rm U} \right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T}{N_0 \cdot \sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2}} \right )
   \hspace{0.05cm}.$$
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 \hspace{0.05cm}.$$
-Die Gültigkeit dieser Gleichung ergibt sich aus der Periodizität des Transversalfilterfrequenzgangs &nbsp;$H_{\rm TF}(f)$.
+Die Gültigkeit dieser Gleichung ergibt sich aus der Periodizität des Transversalfilter&ndash;Frequenzgangs &nbsp;$H_{\rm TF}(f)$.
 *In der Grafik erkennt man die normierte Störleistung als die rot hinterlegte Fläche.
 *Näherungsweise kann die normierte Störleistung durch die in der Grafik blau eingezeichnete Dreieckfläche berechnet werden.
 Hinweise:
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung|"Linare Nyquistentzerrung"]].
-* Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; benutzen.
+* Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen|"Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen"]]&nbsp; benutzen.

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	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung\|Linare Nyquistentzerrung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung\|Linare Nyquistentzerrung]].

−	* Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul  [[Applets:~~Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)~~\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  benutzen.	+	* Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  benutzen.

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung|Linare Nyquistentzerrung]].
-* Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]]&nbsp; benutzen.
+* Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]&nbsp; benutzen.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Allgemein gilt für alle Frequenzen $f \ge  0$: &nbsp; $|H_{\rm SK}(f)|= {\rm si}(\pi f T) \cdot {\rm e}^{ -9.2
+'''(1)'''&nbsp; Allgemein gilt für alle Frequenzen $f \ge  0$: &nbsp;
-\cdot \sqrt{2 \cdot |f| \cdot T}  }\hspace{0.05cm}.$ Daraus ergeben sich die gesuchten Sonderfälle:
+:$$|H_{\rm SK}(f)|= {\rm si}(\pi f T) \cdot {\rm e}^{ -9.2
 :$$f= 0 \text{:} \ \hspace{0.1cm}|H_{\rm SK}(f = 0)|= {\rm si}(0) \cdot {\rm e}^0 \hspace{0.15cm}\underline {= 1}
   \hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 81: / Zeile 83: @@
 \hspace{0.15cm}\underline { = 0} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Die Grafik zeigt, dass $H_{\rm TF}(f)$ bei $f = f_{\rm Nyq}$ maximal wird. Daraus folgt mit der angegebenen Gleichung weiter, dass
 :$${\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty}  |H_{\rm SK}(f -
   \frac{\kappa}{T})
   |^2}$$
-bei der Nyquistfrequenz minimal ist. Für $f = f_{\rm Nyq}$ tragen von der unendlichen Summe allerdings nur die Terme mit $\kappa = 0$ und $\kappa = 1$ relevant zum Ergebnis bei. Daraus folgt mit dem Ergebnis aus (1):
+bei der Nyquistfrequenz minimal ist. Für $f = f_{\rm Nyq}$ tragen von der unendlichen Summe allerdings nur die Terme mit $\kappa = 0$ und $\kappa = 1$ relevant zum Ergebnis bei.
 :$${\rm Max} \left [ H_{\rm TF}(f) \right ] \ = \ H_{\rm TF}(f = f_{\rm
   Nyq})=
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   \frac{10^{10}}{82.69} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.21 \cdot 10^{8}}
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Nähert man das Integral über $H_{\rm TF}(f)$ durch die in der Grafik eingezeichnete Dreieckfläche an, so erhält man:
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 \frac{1}{2}\cdot 1.21 \cdot 10^{8}\cdot (0.64 -0.36)\hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.7
 \cdot 10^{7}} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Gemäß der gegebenen Gleichung erhält man für die (mittlere) Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:
@@ Zeile 107: / Zeile 113: @@
 \hspace{0.3cm} p_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.8 \%} \hspace{0.05cm}.$$
-Da ein Nyquistsystem vorliegt, ist die ungünstigste (worst&ndash;case) Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ genau so groß.
+:Da ein Nyquistsystem vorliegt, ist die ungünstigste (worst&ndash;case) Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ genau so groß.
 {{ML-Fuß}}
 [[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung|^3.5 Lineare Nyquistentzerrung^]]

@@ Zeile 6: / Zeile 6: @@
 * binäre bipolare NRZ&ndash;Rechteckimpulse
 :$$|H_{\rm S}(f)|= {\rm si}(\pi f T) \hspace{0.05cm},$$
-* Koaxialkabel mit Kabeldämpfung $a_* = 9.2 \ {\rm Np} \ (\approx 80 \ \rm dB)$:
+* Koaxialkabel mit der Kabeldämpfung &nbsp;$a_* = 9.2 \ {\rm Np} \ (\approx 80 \ \rm dB)$:
 :$$|H_{\rm K}(f)|= {\rm e}^{ -9.2
 \cdot \sqrt{2 \cdot |f| \cdot T}  }\hspace{0.05cm},$$
@@ Zeile 17: / Zeile 17: @@
   |^2}\hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei bezeichnet $H_{\rm SK}(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f)$ das Produkt von Sender&ndash; und Kanalfrequenzgang.
+:Hierbei bezeichnet &nbsp;$H_{\rm SK}(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f)$&nbsp; das Produkt von Sender&ndash; und Kanalfrequenzgang.
 Wegen der Nyquistentzerrung ist das Auge maximal geöffnet. Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt:
@@ Zeile 32: / Zeile 33: @@
 \hspace{0.05cm}.$$
-Die Gültigkeit dieser Gleichung ergibt sich aus der Periodizität des Transversalfilterfrequenzgangs $H_{\rm TF}(f)$.
+Die Gültigkeit dieser Gleichung ergibt sich aus der Periodizität des Transversalfilterfrequenzgangs &nbsp;$H_{\rm TF}(f)$.
 *In der Grafik erkennt man die normierte Störleistung als die rot hinterlegte Fläche.
 *Näherungsweise kann die normierte Störleistung durch die in der Grafik blau eingezeichnete Dreieckfläche berechnet werden.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung|Linare Nyquistentzerrung]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung|Linare Nyquistentzerrung]].
-* Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]] benutzen.
+* Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul&nbsp; [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]]&nbsp; benutzen.
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den Betrag des Sender&ndash;Kanal&ndash;Frequenzgangs für die Frequenzen $f = 0$, $f  = 1/(2T)= f_{\rm Nyq}$ und $f = 1/T =  2 \cdot f_{\rm Nyq}$.
+{Berechnen Sie den Betrag des Sender&ndash;Kanal&ndash;Frequenzgangs für die Frequenzen &nbsp;$f = 0$, &nbsp;$f  = 1/(2T)= f_{\rm Nyq}$&nbsp; und&nbsp; $f = 1/T =  2 \cdot f_{\rm Nyq}$.
 |type="{}"}
 $|H_{\rm SK} (f = 0)| \hspace{0.8cm} = \ $ { 1 3% }
-$|H_{\rm SK} (f = f_{\rm Nyq})| \hspace{0.2cm} = \ $ { 6.43 3% } $\ \cdot 10^{\rm &ndash;5}$
+$|H_{\rm SK} (f = f_{\rm Nyq})| \hspace{0.2cm} = \ $ { 6.43 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
 $|H_{\rm SK} (f = 1/T)| \hspace{0.25cm} = \ $ { 0. }
-{Berechnen Sie den Maximalwert von $H_{\rm TF}(f)$ bei der Frequenz$f = f_{\rm Nyq}$.
+{Berechnen Sie den Maximalwert von &nbsp;$H_{\rm TF}(f)$&nbsp; bei der Frequenz &nbsp;$f = f_{\rm Nyq}$.
 |type="{}"}
 $|H_{\rm TF} (f = f_{\rm Nyq})| \hspace{0.2cm} = \ $ { 1.21 3% } $\ \cdot 10^8$
@@ Zeile 60: / Zeile 64: @@
 $\sigma_{d, \ \rm  norm}^2 \hspace{0.2cm} = \ $ { 1.7 3% } $\ \cdot 10^7$
-{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $s_0^2 \cdot T/N_0 = 10^8$?
+{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit &nbsp;$s_0^2 \cdot T/N_0 = 10^8$?
 |type="{}"}
 $p_{\rm S} \hspace{0.2cm} = \ $ { 0.8 3% } $\ \%$