Aufgaben:Aufgabe 3.7: Nochmals Optimale Nyquistentzerrung - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:36:48Z

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← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:36 Uhr
Zeile 73:		Zeile 73:
	*Für  $f = f_{\rm Nyq}$  tragen von der unendlichen Summe allerdings nur die Terme mit  $\kappa = 0$  und  $\kappa = 1$  relevant zum Ergebnis bei.		*Für  $f = f_{\rm Nyq}$  tragen von der unendlichen Summe allerdings nur die Terme mit  $\kappa = 0$  und  $\kappa = 1$  relevant zum Ergebnis bei.
	*Daraus folgt weiter mit dem Ergebnis aus Aufgabe  '''(1)''':		*Daraus folgt weiter mit dem Ergebnis aus Aufgabe  '''(1)''':
	:$${\rm Max} \left [ H_{\rm TF}(f) \right ] \ = \ H_{\rm TF}(f = f_{\~~rmNyq~~})={1}/{2 \cdot \|H_{\rm SK}(f = f_{\~~rmNyq~~}) \|^2} = \ \frac{1}{2 \cdot (6.43 \cdot 10^{-5})^2}=\frac{10^{10}}{82.69} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.21 \cdot 10^{8}}\hspace{0.05cm}.$$		:$${\rm Max} \left [ H_{\rm TF}(f) \right ] \ = \ H_{\rm TF}(f = f_{\rm Nyq})={1}/{2 \cdot \|H_{\rm SK}(f = f_{\rm Nyq}) \|^2} = \ \frac{1}{2 \cdot (6.43 \cdot 10^{-5})^2}=\frac{10^{10}}{82.69} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.21 \cdot 10^{8}}\hspace{0.05cm}.$$


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	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.5 Lineare Nyquistentzerrung^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.5 Lineare Nyquistentzerrung^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.7:_Optimal_Nyquist_Equalization_once_again]]

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2026-02-24T13:39:27Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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Zeile 7:		Zeile 7:
	:$$\|H_{\rm S}(f)\|= {\rm si}(\pi f T) \hspace{0.05cm},$$		:$$\|H_{\rm S}(f)\|= {\rm si}(\pi f T) \hspace{0.05cm},$$
	* Koaxialkabel mit der charakteistischen Kabeldämpfung  $a_* = 9.2 \ {\rm Np} \ (\approx 80 \ \rm dB)$:		* Koaxialkabel mit der charakteistischen Kabeldämpfung  $a_* = 9.2 \ {\rm Np} \ (\approx 80 \ \rm dB)$:
	:$$\|H_{\rm K}(f)\|= {\rm e}^{ -9.2		:$$\|H_{\rm K}(f)\|= {\rm e}^{ -9.2\cdot \sqrt{2 \cdot \|f\| \cdot T} }\hspace{0.05cm},$$
	\cdot \sqrt{2 \cdot \|f\| \cdot T} }\hspace{0.05cm},$$
	* optimaler Nyquistentzerrer,  bestehend aus Matched–Filter und Transversalfilter:		* optimaler Nyquistentzerrer,  bestehend aus Matched–Filter und Transversalfilter:
	:$$H_{\rm E}(f) = H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f)$$		:$$H_{\rm E}(f) = H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f)$$
	:$$\hspace{0.8cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}H_{\rm MF}(f) = H_{\rm S}^{\star}(f) \cdot H_{\rm K}^{\star}(f)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}		:$$\hspace{0.8cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}H_{\rm MF}(f) = H_{\rm S}^{\star}(f) \cdot H_{\rm K}^{\star}(f)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}H_{\rm TF}(f) =\frac{1}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} \|H_{\rm SK}(f -{\kappa}/{T})\|^2}\hspace{0.05cm}.$$
	H_{\rm TF}(f) =
	\frac{1}{\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} \|H_{\rm SK}(f -
	{\kappa}/{T})
	\|^2}\hspace{0.05cm}.$$

	:Hierbei bezeichnet  $H_{\rm SK}(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f)$  das Produkt von Sender– und Kanalfrequenzgang.		:Hierbei bezeichnet  $H_{\rm SK}(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f)$  das Produkt von Sender– und Kanalfrequenzgang.
Zeile 21:		Zeile 16:

	Wegen der Nyquistentzerrung ist das Auge maximal geöffnet.  Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt:		Wegen der Nyquistentzerrung ist das Auge maximal geöffnet.  Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt:
	:$$p_{\rm S} \left ( = p_{\rm U} \right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T}{N_0 \cdot \sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2}} \right )		:$$p_{\rm S} \left ( = p_{\rm U} \right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T}{N_0 \cdot \sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2}} \right )\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm}.$$

	Die normierte Störleistung am Entscheider ist durch folgende Gleichungen gegeben:		Die normierte Störleistung am Entscheider ist durch folgende Gleichungen gegeben:
	:$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = T \cdot		:$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = T \cdot\int_{-\infty}^{+\infty} \|H_{\rm E}(f)\|^2 \,{\rm d} f\hspace{0.5cm} = \hspace{0.5cm}\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = T \cdot\int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} H_{\rm TF}(f) \,{\rm d} f \hspace{0.5cm}= \hspace{0.5cm}T\cdot \int_{0}^{1/T} H_{\rm TF}(f) \,{\rm d} f\hspace{0.05cm}.$$
	\int_{-\infty}^{+\infty} \|H_{\rm E}(f)\|^2 \,{\rm d} f
	\hspace{0.5cm} = \hspace{0.5cm}
	\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = T \cdot
	\int_{-1/(2T)}^{+1/(2T)} H_{\rm TF}(f) \,{\rm d} f \hspace{0.5cm}= \hspace{0.5cm}T
	\cdot \int_{0}^{1/T} H_{\rm TF}(f) \,{\rm d} f
	\hspace{0.05cm}.$$

	Die Gültigkeit dieser Gleichung ergibt sich aus der Periodizität des Transversalfilter–Frequenzgangs  $H_{\rm TF}(f)$.		Die Gültigkeit dieser Gleichung ergibt sich aus der Periodizität des Transversalfilter–Frequenzgangs  $H_{\rm TF}(f)$.
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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Allgemein gilt für alle Frequenzen  $f \ge 0$:		'''(1)'''  Allgemein gilt für alle Frequenzen  $f \ge 0$:
	:$$\|H_{\rm SK}(f)\|= {\rm si}(\pi f T) \cdot {\rm e}^{ -9.2		:$$\|H_{\rm SK}(f)\|= {\rm si}(\pi f T) \cdot {\rm e}^{ -9.2\cdot \sqrt{2 \cdot \|f\| \cdot T} }\hspace{0.05cm}.$$
	\cdot \sqrt{2 \cdot \|f\| \cdot T} }\hspace{0.05cm}.$$
	*Daraus ergeben sich die gesuchten Sonderfälle:		*Daraus ergeben sich die gesuchten Sonderfälle:
	:$$f= 0 \text{:} \ \hspace{0.1cm}\|H_{\rm SK}(f = 0)\|= {\rm si}(0) \cdot {\rm e}^0 \hspace{0.15cm}\underline {= 1}		:$$f= 0 \text{:} \ \hspace{0.1cm}\|H_{\rm SK}(f = 0)\|= {\rm si}(0) \cdot {\rm e}^0 \hspace{0.15cm}\underline {= 1}\hspace{0.05cm},$$
	\hspace{0.05cm},$$		:$$ f= f_{\rm Nyq}\text{:} \ \hspace{0.1cm}\|H_{\rm SK}(f = \frac{1}{2T})\|= {\rm si}({\pi}/{2}) \cdot {\rm e}^{-9.2}\hspace{0.15cm}\underline { \approx 6.43 \cdot 10^{-5}}\hspace{0.05cm},$$
	:$$ f= f_{\rm Nyq}\text{:} \ \hspace{0.1cm}\|H_{\rm SK}(f = \frac{1}{2T})\|= {\rm si}({\pi}/{2}) \cdot {\rm e}^{-9.2}		:$$ f= {1}/{T} \text{:}\ \hspace{0.1cm}\|H_{\rm SK}(f = \frac{1}{T})\|= {\rm si}({\pi}) \cdot {\rm e}^{...}\hspace{0.15cm}\underline { = 0} \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.15cm}\underline { \approx 6.43 \cdot 10^{-5}}
	\hspace{0.05cm},$$
	:$$ f= {1}/{T} \text{:}\ \hspace{0.1cm}\|H_{\rm SK}(f = \frac{1}{T})\|= {\rm si}({\pi}) \cdot {\rm e}^{...}
	\hspace{0.15cm}\underline { = 0} \hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Die Grafik zeigt,  dass  $H_{\rm TF}(f)$  bei  $f = f_{\rm Nyq}$  maximal wird.		'''(2)'''  Die Grafik zeigt,  dass  $H_{\rm TF}(f)$  bei  $f = f_{\rm Nyq}$  maximal wird.
	*Daraus folgt mit der angegebenen Gleichung,  dass		*Daraus folgt mit der angegebenen Gleichung,  dass
	:$${\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} \|H_{\rm SK}(f -		:$${\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} \|H_{\rm SK}(f -\frac{\kappa}{T})\|^2}$$
	\frac{\kappa}{T})
	\|^2}$$

	bei der Nyquistfrequenz minimal ist.		bei der Nyquistfrequenz minimal ist.
	*Für  $f = f_{\rm Nyq}$  tragen von der unendlichen Summe allerdings nur die Terme mit  $\kappa = 0$  und  $\kappa = 1$  relevant zum Ergebnis bei.		*Für  $f = f_{\rm Nyq}$  tragen von der unendlichen Summe allerdings nur die Terme mit  $\kappa = 0$  und  $\kappa = 1$  relevant zum Ergebnis bei.
	*Daraus folgt weiter mit dem Ergebnis aus Aufgabe  '''(1)''':		*Daraus folgt weiter mit dem Ergebnis aus Aufgabe  '''(1)''':
	:$${\rm Max} \left [ H_{\rm TF}(f) \right ] \ = \ H_{\rm TF}(f = f_{\rm		:$${\rm Max} \left [ H_{\rm TF}(f) \right ] \ = \ H_{\rm TF}(f = f_{\rmNyq})={1}/{2 \cdot \|H_{\rm SK}(f = f_{\rmNyq}) \|^2} = \ \frac{1}{2 \cdot (6.43 \cdot 10^{-5})^2}=\frac{10^{10}}{82.69} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.21 \cdot 10^{8}}\hspace{0.05cm}.$$
	~~Nyq~~})=
	{1}/{2 \cdot \|H_{\rm SK}(f = f_{\rm
	~~Nyq~~}) \|^2} = \ \frac{1}{2 \cdot (6.43 \cdot 10^{-5})^2}=
	\frac{10^{10}}{82.69} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.21 \cdot 10^{8}}
	\hspace{0.05cm}.$$


	'''(3)'''  Nähert man das Integral über  $H_{\rm TF}(f)$  durch die in der Grafik eingezeichnete Dreieckfläche an,  so erhält man:		'''(3)'''  Nähert man das Integral über  $H_{\rm TF}(f)$  durch die in der Grafik eingezeichnete Dreieckfläche an,  so erhält man:
	:$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = T \cdot		:$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = T \cdot\int_{0}^{1/T} H_{\rm TF}(f) \,{\rm d} f \approx T \cdot\frac{1}{2}\cdot 1.21 \cdot 10^{8}\cdot (0.64 -0.36)\hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.7\cdot 10^{7}} \hspace{0.05cm}.$$
	\int_{0}^{1/T} H_{\rm TF}(f) \,{\rm d} f \approx T \cdot
	\frac{1}{2}\cdot 1.21 \cdot 10^{8}\cdot (0.64 -0.36)\hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.7
	\cdot 10^{7}} \hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Gemäß der gegebenen Gleichung erhält man für die (mittlere) Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:		'''(4)'''  Gemäß der gegebenen Gleichung erhält man für die (mittlere) Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:
	:$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T}{N_0 \cdot \sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2}} \right		:$$p_{\rm S} = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T}{N_0 \cdot \sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2}} \right) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{10^{8}}{1.7\cdot 10^{7}}} \right ) \approx {\rm Q}(2.42)\hspace{0.3cm} \Rightarrow\hspace{0.3cm} p_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.8 \%} \hspace{0.05cm}.$$
	) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{10^{8}}{1.7
	\cdot 10^{7}}} \right ) \approx {\rm Q}(2.42)\hspace{0.3cm}
	\Rightarrow
	\hspace{0.3cm} p_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.8 \%} \hspace{0.05cm}.$$

	:Da ein binäres Nyquistsystem vorliegt,  ist die ungünstigste (worst–case) Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U}$  genau so groß.		:Da ein binäres Nyquistsystem vorliegt,  ist die ungünstigste (worst–case) Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U}$  genau so groß.

Guenter am 23. Juni 2022 um 09:49 Uhr

2022-06-23T09:49:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. Juni 2022, 11:49 Uhr
Zeile 70:		Zeile 70:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Allgemein gilt für alle Frequenzen $f \ge 0$:		'''(1)'''  Allgemein gilt für alle Frequenzen  $f \ge 0$:
	:$$\|H_{\rm SK}(f)\|= {\rm si}(\pi f T) \cdot {\rm e}^{ -9.2		:$$\|H_{\rm SK}(f)\|= {\rm si}(\pi f T) \cdot {\rm e}^{ -9.2
	\cdot \sqrt{2 \cdot \|f\| \cdot T} }\hspace{0.05cm}.$$		\cdot \sqrt{2 \cdot \|f\| \cdot T} }\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 83:		Zeile 83:


	'''(2)'''  Die Grafik zeigt, dass $H_{\rm TF}(f)$ bei $f = f_{\rm Nyq}$ maximal wird. Daraus folgt mit der angegebenen Gleichung, dass		'''(2)'''  Die Grafik zeigt,  dass  $H_{\rm TF}(f)$  bei  $f = f_{\rm Nyq}$  maximal wird.
			*Daraus folgt mit der angegebenen Gleichung,  dass
	:$${\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} \|H_{\rm SK}(f -		:$${\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} \|H_{\rm SK}(f -
	\frac{\kappa}{T})		\frac{\kappa}{T})
	\|^2}$$		\|^2}$$

	bei der Nyquistfrequenz minimal ist. Für $f = f_{\rm Nyq}$ tragen von der unendlichen Summe allerdings nur die Terme mit $\kappa = 0$ und $\kappa = 1$ relevant zum Ergebnis bei.		bei der Nyquistfrequenz minimal ist.
	*Daraus folgt weiter mit dem Ergebnis aus '''(1)''':		*Für  $f = f_{\rm Nyq}$  tragen von der unendlichen Summe allerdings nur die Terme mit  $\kappa = 0$  und  $\kappa = 1$  relevant zum Ergebnis bei.
			*Daraus folgt weiter mit dem Ergebnis aus Aufgabe  '''(1)''':
	:$${\rm Max} \left [ H_{\rm TF}(f) \right ] \ = \ H_{\rm TF}(f = f_{\rm		:$${\rm Max} \left [ H_{\rm TF}(f) \right ] \ = \ H_{\rm TF}(f = f_{\rm
	Nyq})=		Nyq})=
Zeile 98:		Zeile 100:


	'''(3)'''  Nähert man das Integral über $H_{\rm TF}(f)$ durch die in der Grafik eingezeichnete Dreieckfläche an, so erhält man:		'''(3)'''  Nähert man das Integral über  $H_{\rm TF}(f)$  durch die in der Grafik eingezeichnete Dreieckfläche an,  so erhält man:
	:$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = T \cdot		:$$\sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2 = T \cdot
	\int_{0}^{1/T} H_{\rm TF}(f) \,{\rm d} f \approx T \cdot		\int_{0}^{1/T} H_{\rm TF}(f) \,{\rm d} f \approx T \cdot
Zeile 112:		Zeile 114:
	\hspace{0.3cm} p_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.8 \%} \hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.3cm} p_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.8 \%} \hspace{0.05cm}.$$

	:Da ein Nyquistsystem vorliegt, ist die ungünstigste (worst–case) Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ genau so groß.		:Da ein binäres Nyquistsystem vorliegt,  ist die ungünstigste (worst–case) Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U}$  genau so groß.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}


	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.5 Lineare Nyquistentzerrung^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.5 Lineare Nyquistentzerrung^]]

Guenter am 23. Juni 2022 um 09:43 Uhr

2022-06-23T09:43:59Z

Tasnad: Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

2020-06-10T15:50:01Z

Textersetzung - „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)“ durch „Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen“

← Nächstältere Version		Version vom 10. Juni 2020, 17:50 Uhr
Zeile 44:		Zeile 44:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung\|Linare Nyquistentzerrung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung\|Linare Nyquistentzerrung]].

	* Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul  [[Applets:~~Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)~~\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  benutzen.		* Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  benutzen.

Guenter am 6. März 2019 um 09:09 Uhr

2019-03-06T09:09:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. März 2019, 11:09 Uhr
Zeile 44:		Zeile 44:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung\|Linare Nyquistentzerrung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung\|Linare Nyquistentzerrung]].

	* Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)\|Komplementäre Gaußsche ~~Fehlerfunktion~~]]  benutzen.		* Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  benutzen.


Zeile 71:		Zeile 71:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Allgemein gilt für alle Frequenzen $f \ge 0$:   $\|H_{\rm SK}(f)\|= {\rm si}(\pi f T) \cdot {\rm e}^{ -9.2		'''(1)'''  Allgemein gilt für alle Frequenzen $f \ge 0$:
	\cdot \sqrt{2 \cdot \|f\| \cdot T} }\hspace{0.05cm}.$ Daraus ergeben sich die gesuchten Sonderfälle:		:$$\|H_{\rm SK}(f)\|= {\rm si}(\pi f T) \cdot {\rm e}^{ -9.2
			\cdot \sqrt{2 \cdot \|f\| \cdot T} }\hspace{0.05cm}.$$
			*Daraus ergeben sich die gesuchten Sonderfälle:
	:$$f= 0 \text{:} \ \hspace{0.1cm}\|H_{\rm SK}(f = 0)\|= {\rm si}(0) \cdot {\rm e}^0 \hspace{0.15cm}\underline {= 1}		:$$f= 0 \text{:} \ \hspace{0.1cm}\|H_{\rm SK}(f = 0)\|= {\rm si}(0) \cdot {\rm e}^0 \hspace{0.15cm}\underline {= 1}
	\hspace{0.05cm},$$		\hspace{0.05cm},$$
Zeile 81:		Zeile 83:
	\hspace{0.15cm}\underline { = 0} \hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.15cm}\underline { = 0} \hspace{0.05cm}.$$

	'''(2)'''  Die Grafik zeigt, dass $H_{\rm TF}(f)$ bei $f = f_{\rm Nyq}$ maximal wird. Daraus folgt mit der angegebenen Gleichung ~~weiter~~, dass
			'''(2)'''  Die Grafik zeigt, dass $H_{\rm TF}(f)$ bei $f = f_{\rm Nyq}$ maximal wird. Daraus folgt mit der angegebenen Gleichung, dass
	:$${\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} \|H_{\rm SK}(f -		:$${\sum\limits_{\kappa = -\infty}^{+\infty} \|H_{\rm SK}(f -
	\frac{\kappa}{T})		\frac{\kappa}{T})
	\|^2}$$		\|^2}$$

	bei der Nyquistfrequenz minimal ist. Für $f = f_{\rm Nyq}$ tragen von der unendlichen Summe allerdings nur die Terme mit $\kappa = 0$ und $\kappa = 1$ relevant zum Ergebnis bei. Daraus folgt mit dem Ergebnis aus (1):		bei der Nyquistfrequenz minimal ist. Für $f = f_{\rm Nyq}$ tragen von der unendlichen Summe allerdings nur die Terme mit $\kappa = 0$ und $\kappa = 1$ relevant zum Ergebnis bei.
			*Daraus folgt weiter mit dem Ergebnis aus '''(1)''':
	:$${\rm Max} \left [ H_{\rm TF}(f) \right ] \ = \ H_{\rm TF}(f = f_{\rm		:$${\rm Max} \left [ H_{\rm TF}(f) \right ] \ = \ H_{\rm TF}(f = f_{\rm
	Nyq})=		Nyq})=
Zeile 93:		Zeile 97:
	\frac{10^{10}}{82.69} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.21 \cdot 10^{8}}		\frac{10^{10}}{82.69} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.21 \cdot 10^{8}}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$


	'''(3)'''  Nähert man das Integral über $H_{\rm TF}(f)$ durch die in der Grafik eingezeichnete Dreieckfläche an, so erhält man:		'''(3)'''  Nähert man das Integral über $H_{\rm TF}(f)$ durch die in der Grafik eingezeichnete Dreieckfläche an, so erhält man:
Zeile 99:		Zeile 104:
	\frac{1}{2}\cdot 1.21 \cdot 10^{8}\cdot (0.64 -0.36)\hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.7		\frac{1}{2}\cdot 1.21 \cdot 10^{8}\cdot (0.64 -0.36)\hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.7
	\cdot 10^{7}} \hspace{0.05cm}.$$		\cdot 10^{7}} \hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Gemäß der gegebenen Gleichung erhält man für die (mittlere) Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:		'''(4)'''  Gemäß der gegebenen Gleichung erhält man für die (mittlere) Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:
Zeile 107:		Zeile 113:
	\hspace{0.3cm} p_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.8 \%} \hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.3cm} p_{\rm S} \hspace{0.15cm}\underline {\approx 0.8 \%} \hspace{0.05cm}.$$

	Da ein Nyquistsystem vorliegt, ist die ungünstigste (worst–case) Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ genau so groß.		:Da ein Nyquistsystem vorliegt, ist die ungünstigste (worst–case) Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ genau so groß.
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}


	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.5 Lineare Nyquistentzerrung^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.5 Lineare Nyquistentzerrung^]]

Guenter am 6. März 2019 um 09:03 Uhr

2019-03-06T09:03:53Z

← Nächstältere Version		Version vom 6. März 2019, 11:03 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:
	* binäre bipolare NRZ–Rechteckimpulse		* binäre bipolare NRZ–Rechteckimpulse
	:$$\|H_{\rm S}(f)\|= {\rm si}(\pi f T) \hspace{0.05cm},$$		:$$\|H_{\rm S}(f)\|= {\rm si}(\pi f T) \hspace{0.05cm},$$
	* Koaxialkabel mit Kabeldämpfung $a_* = 9.2 \ {\rm Np} \ (\approx 80 \ \rm dB)$:		* Koaxialkabel mit der Kabeldämpfung  $a_* = 9.2 \ {\rm Np} \ (\approx 80 \ \rm dB)$:
	:$$\|H_{\rm K}(f)\|= {\rm e}^{ -9.2		:$$\|H_{\rm K}(f)\|= {\rm e}^{ -9.2
	\cdot \sqrt{2 \cdot \|f\| \cdot T} }\hspace{0.05cm},$$		\cdot \sqrt{2 \cdot \|f\| \cdot T} }\hspace{0.05cm},$$
Zeile 17:		Zeile 17:
	\|^2}\hspace{0.05cm}.$$		\|^2}\hspace{0.05cm}.$$

	Hierbei bezeichnet $H_{\rm SK}(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f)$ das Produkt von Sender– und Kanalfrequenzgang.		:Hierbei bezeichnet  $H_{\rm SK}(f) = H_{\rm S}(f) \cdot H_{\rm K}(f)$  das Produkt von Sender– und Kanalfrequenzgang.


	Wegen der Nyquistentzerrung ist das Auge maximal geöffnet. Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt:		Wegen der Nyquistentzerrung ist das Auge maximal geöffnet. Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt:
Zeile 32:		Zeile 33:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Die Gültigkeit dieser Gleichung ergibt sich aus der Periodizität des Transversalfilterfrequenzgangs $H_{\rm TF}(f)$.		Die Gültigkeit dieser Gleichung ergibt sich aus der Periodizität des Transversalfilterfrequenzgangs  $H_{\rm TF}(f)$.
	*In der Grafik erkennt man die normierte Störleistung als die rot hinterlegte Fläche.		*In der Grafik erkennt man die normierte Störleistung als die rot hinterlegte Fläche.
	*Näherungsweise kann die normierte Störleistung durch die in der Grafik blau eingezeichnete Dreieckfläche berechnet werden.		*Näherungsweise kann die normierte Störleistung durch die in der Grafik blau eingezeichnete Dreieckfläche berechnet werden.





	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung\|Linare Nyquistentzerrung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung\|Linare Nyquistentzerrung]].

	* Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]] benutzen.		* Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen_(neues_Applet)\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]]  benutzen.


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	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie den Betrag des Sender–Kanal–Frequenzgangs für die Frequenzen $f = 0$, $f = 1/(2T)= f_{\rm Nyq}$ und $f = 1/T = 2 \cdot f_{\rm Nyq}$.		{Berechnen Sie den Betrag des Sender–Kanal–Frequenzgangs für die Frequenzen  $f = 0$,  $f = 1/(2T)= f_{\rm Nyq}$  und  $f = 1/T = 2 \cdot f_{\rm Nyq}$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|H_{\rm SK} (f = 0)\| \hspace{0.8cm} = \ $ { 1 3% }		$\|H_{\rm SK} (f = 0)\| \hspace{0.8cm} = \ $ { 1 3% }
	$\|H_{\rm SK} (f = f_{\rm Nyq})\| \hspace{0.2cm} = \ $ { 6.43 3% } $\ \cdot 10^{~~\rm –~~5}$		$\|H_{\rm SK} (f = f_{\rm Nyq})\| \hspace{0.2cm} = \ $ { 6.43 3% } $\ \cdot 10^{-5}$
	$\|H_{\rm SK} (f = 1/T)\| \hspace{0.25cm} = \ $ { 0. }		$\|H_{\rm SK} (f = 1/T)\| \hspace{0.25cm} = \ $ { 0. }

	{Berechnen Sie den Maximalwert von $H_{\rm TF}(f)$ bei der Frequenz$f = f_{\rm Nyq}$.		{Berechnen Sie den Maximalwert von  $H_{\rm TF}(f)$  bei der Frequenz  $f = f_{\rm Nyq}$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|H_{\rm TF} (f = f_{\rm Nyq})\| \hspace{0.2cm} = \ $ { 1.21 3% } $\ \cdot 10^8$		$\|H_{\rm TF} (f = f_{\rm Nyq})\| \hspace{0.2cm} = \ $ { 1.21 3% } $\ \cdot 10^8$
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	$\sigma_{d, \ \rm norm}^2 \hspace{0.2cm} = \ $ { 1.7 3% } $\ \cdot 10^7$		$\sigma_{d, \ \rm norm}^2 \hspace{0.2cm} = \ $ { 1.7 3% } $\ \cdot 10^7$

	{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit $s_0^2 \cdot T/N_0 = 10^8$?		{Welche Symbolfehlerwahrscheinlichkeit ergibt sich mit  $s_0^2 \cdot T/N_0 = 10^8$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_{\rm S} \hspace{0.2cm} = \ $ { 0.8 3% } $\ \%$		$p_{\rm S} \hspace{0.2cm} = \ $ { 0.8 3% } $\ \%$

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:46Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:03 Uhr
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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung\|Linare Nyquistentzerrung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung\|Linare Nyquistentzerrung]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	* Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]] benutzen.		* Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul [[Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktion]] benutzen.

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.7 Nochmals Optimale Nyquistentzerrung nach Aufgaben:Aufgabe 3.7: Nochmals Optimale Nyquistentzerrung

2018-01-04T06:29:06Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.7 Nochmals Optimale Nyquistentzerrung nach Aufgaben:Aufgabe 3.7: Nochmals Optimale Nyquistentzerrung

← Nächstältere Version	Version vom 4. Januar 2018, 08:29 Uhr
(kein Unterschied)

Guenter am 1. November 2017 um 14:42 Uhr

2017-11-01T14:42:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 1. November 2017, 16:42 Uhr
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	\frac{1}{2}\cdot 1.21 \cdot 10^{8}\cdot (0.64 -0.36)\hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.7		\frac{1}{2}\cdot 1.21 \cdot 10^{8}\cdot (0.64 -0.36)\hspace{0.15cm}\underline {\approx 1.7
	\cdot 10^{7}} \hspace{0.05cm}.$$		\cdot 10^{7}} \hspace{0.05cm}.$$


	'''(4)'''  Gemäß der gegebenen Gleichung erhält man für die (mittlere) Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:		'''(4)'''  Gemäß der gegebenen Gleichung erhält man für die (mittlere) Symbolfehlerwahrscheinlichkeit:

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	{{quiz-Header\|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Lineare Nyquistentzerrung}}		{{quiz-Header\|Buchseite=Digitalsignalübertragung/Lineare Nyquistentzerrung}}

	[[Datei:P_ID1435__Dig_A_3_7.png\|right\|frame\|~~Transversalfilterfrequenzgang~~]]		[[Datei:P_ID1435__Dig_A_3_7.png\|right\|frame\|TF–Frequenzgang]]
	Wir gehen bei dieser Aufgabe von folgenden Voraussetzungen aus:		Wir gehen bei dieser Aufgabe von folgenden Voraussetzungen aus:
	* binäre bipolare NRZ–Rechteckimpulse		* binäre bipolare NRZ–Rechteckimpulse
	:$$\|H_{\rm S}(f)\|= {\rm si}(\pi f T) \hspace{0.05cm},$$		:$$\|H_{\rm S}(f)\|= {\rm si}(\pi f T) \hspace{0.05cm},$$
	* Koaxialkabel mit der Kabeldämpfung  $a_* = 9.2 \ {\rm Np} \ (\approx 80 \ \rm dB)$:		* Koaxialkabel mit der charakteistischen Kabeldämpfung  $a_* = 9.2 \ {\rm Np} \ (\approx 80 \ \rm dB)$:
	:$$\|H_{\rm K}(f)\|= {\rm e}^{ -9.2		:$$\|H_{\rm K}(f)\|= {\rm e}^{ -9.2
	\cdot \sqrt{2 \cdot \|f\| \cdot T} }\hspace{0.05cm},$$		\cdot \sqrt{2 \cdot \|f\| \cdot T} }\hspace{0.05cm},$$
	* optimaler Nyquistentzerrer, bestehend aus Matched–Filter und Transversalfilter:		* optimaler Nyquistentzerrer,  bestehend aus Matched–Filter und Transversalfilter:
	:$$H_{\rm E}(f) = H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f)$$		:$$H_{\rm E}(f) = H_{\rm MF}(f) \cdot H_{\rm TF}(f)$$
	:$$\hspace{0.8cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}H_{\rm MF}(f) = H_{\rm S}^{\star}(f) \cdot H_{\rm K}^{\star}(f)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}		:$$\hspace{0.8cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}H_{\rm MF}(f) = H_{\rm S}^{\star}(f) \cdot H_{\rm K}^{\star}(f)\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}
Zeile 20:		Zeile 20:


	Wegen der Nyquistentzerrung ist das Auge maximal geöffnet. Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt:		Wegen der Nyquistentzerrung ist das Auge maximal geöffnet.  Für die Fehlerwahrscheinlichkeit gilt:
	:$$p_{\rm S} \left ( = p_{\rm U} \right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T}{N_0 \cdot \sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2}} \right )		:$$p_{\rm S} \left ( = p_{\rm U} \right ) = {\rm Q}\left ( \sqrt{\frac{s_0^2 \cdot T}{N_0 \cdot \sigma_{d,\hspace{0.05cm} {\rm norm}}^2}} \right )
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
Zeile 33:		Zeile 33:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	Die Gültigkeit dieser Gleichung ergibt sich aus der Periodizität des ~~Transversalfilterfrequenzgangs~~  $H_{\rm TF}(f)$.		Die Gültigkeit dieser Gleichung ergibt sich aus der Periodizität des Transversalfilter–Frequenzgangs  $H_{\rm TF}(f)$.
	*In der Grafik erkennt man die normierte Störleistung als die rot hinterlegte Fläche.		*In der Grafik erkennt man die normierte Störleistung als die rot hinterlegte Fläche.

	*Näherungsweise kann die normierte Störleistung durch die in der Grafik blau eingezeichnete Dreieckfläche berechnet werden.		*Näherungsweise kann die normierte Störleistung durch die in der Grafik blau eingezeichnete Dreieckfläche berechnet werden.



			Hinweise:
			*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung\|"Linare Nyquistentzerrung"]].
	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Lineare_Nyquistentzerrung\|Linare Nyquistentzerrung]].

	* Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen]]  benutzen.		* Zur Bestimmung der Fehlerwahrscheinlichkeit können Sie das interaktive Berechnungsmodul  [[Applets:Komplementäre_Gaußsche_Fehlerfunktionen\|"Komplementäre Gaußsche Fehlerfunktionen"]]  benutzen.