Aufgaben:Aufgabe 3.7: Hochpass-Impulsantwort - Versionsgeschichte

Guenter am 25. Januar 2022 um 13:35 Uhr

2022-01-25T13:35:06Z

Guenter am 25. Januar 2022 um 13:30 Uhr

2022-01-25T13:30:09Z

Guenter am 4. November 2019 um 09:16 Uhr

2019-11-04T09:16:17Z

Guenter am 4. November 2019 um 09:11 Uhr

2019-11-04T09:11:49Z

Guenter am 28. November 2018 um 10:53 Uhr

2018-11-28T10:53:58Z

Guenter am 28. November 2018 um 10:46 Uhr

2018-11-28T10:46:21Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „\\sSollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:03:45Z

Textersetzung - „\*\s*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0\.” ein.“ durch „ “

Guenter am 17. März 2018 um 15:03 Uhr

2018-03-17T15:03:48Z

Guenter am 17. März 2018 um 14:47 Uhr

2018-03-17T14:47:15Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.7 Hochpass-Impulsantwort nach Aufgaben:Aufgabe 3.7: Hochpass-Impulsantwort

2018-01-03T13:22:00Z

Guenter verschob die Seite 3.7 Hochpass-Impulsantwort nach Aufgabe 3.7: Hochpass-Impulsantwort

@@ Zeile 90: / Zeile 90: @@
 :$$H_{\rm L}(p) = H_{\rm L}^{(1)}(p) \cdot H_{\rm L}^{(2)}(p) =\frac{p^2}{(p+A)^2}
   \hspace{0.05cm} .$$
-Ein Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; zeigt, dass&nbsp; $\underline{A = 0.5}$&nbsp; sein muss.
+Ein Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; zeigt,&nbsp; dass&nbsp; $\underline{A = 0.5}$&nbsp; sein muss.
-'''(3)'''&nbsp; Richtig ist <u>der letzte Lösungsvorschlag</u>:
+'''(3)'''&nbsp; Richtig ist&nbsp; <u>der letzte Lösungsvorschlag</u>:
 *Ausgehend von der in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; berechneten Gleichung erhält man
 :$$H_{\rm L}(p)  =\frac{p^2}{p^2 + p +0.25}= \frac{p^2 + p +0.25}{p^2 + p
@@ Zeile 107: / Zeile 107: @@
 '''(4)'''&nbsp; Bezüglich der Funktion &nbsp;$H_{\rm L}'(p)$&nbsp; gilt &nbsp;$Z' = 1$, &nbsp;$N' = 2$&nbsp; und &nbsp;$K' = 1$.
-Die beiden Pole bei &nbsp;$p_{\rm x} = -0.5$&nbsp; fallen zusammen, so dass nur ein Residium ermittelt werden muss:
+*Die beiden Pole bei &nbsp;$p_{\rm x} = -0.5$&nbsp; fallen zusammen,&nbsp; so dass nur ein Residium ermittelt werden muss:
 :$$h\hspace{0.03cm}'(t) \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} {\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{\rm x}}
   \hspace{0.7cm}\{H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}=
@@ Zeile 122: / Zeile 122: @@
   \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-0.5}
   \hspace{0.05cm} .$$
-[[Datei:P_ID1788__LZI_A_3_7_d.png|right|frame|Impulsantwort des Hochpasses (rot); <br>kontinuierlicher Anteil $h\hspace{0.03cm}'(t)$ (blau)]]
+[[Datei:P_ID1788__LZI_A_3_7_d.png|right|frame|Impulsantwort des Hochpasses inklusive Diracfunktion&nbsp; (rot); <br>kontinuierlicher Anteil $h\hspace{0.03cm}'(t)$&nbsp; (blau)]]
-Mit der Produktregel der Differentialrechnung erhält man:
+*Mit der Produktregel der Differentialrechnung erhält man:
-$$h\hspace{0.03cm}'(t) \hspace{0.15cm}  =  \hspace{0.15cm}
+:$$h\hspace{0.03cm}'(t) \hspace{0.15cm}  =  \hspace{0.15cm}
     {\rm e}^{p  \hspace{0.05cm}t} + ( p + 0.25) \cdot t \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p  \hspace{0.05cm}t}
   \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-0.5}
@@ Zeile 130: / Zeile 130: @@
   \cdot{\rm e}^{-t/2}
   \hspace{0.05cm} $$
-$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h\hspace{0.03cm}'(t = 0) \hspace{0.15cm}  =   \underline{1}\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.3cm} h\hspace{0.03cm}'(t = 1) \hspace{0.15cm}  =   \underline {0.455}\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm} ,\hspace{0.3cm}
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}h\hspace{0.03cm}'(t = 0) \hspace{0.15cm}  =   \underline{1}\hspace{0.05cm} ,\hspace{0.3cm} h\hspace{0.03cm}'(t = 1) \hspace{0.15cm}  =   \underline {0.455}\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm} ,\hspace{0.3cm}
   h\hspace{0.03cm}'(t \rightarrow \infty) \hspace{0.15cm}  =   \underline {= 0}\hspace{0.05cm} .$$
 Die Grafik zeigt jeweils für nicht&ndash;negative Zeiten

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 :$$H_{\rm L}^{(1)}(p) = H_{\rm L}^{(2)}(p) =\frac{p}{p+A}
   \hspace{0.05cm} .$$
-Da die Vierpole durch einen Trennverstärker widerstandsmäßig entkoppelt sind, lässt sich für die Gesamtübertragungsfunktion schreiben:
+Da die Vierpole durch einen Trennverstärker widerstandsmäßig entkoppelt sind,&nbsp; lässt sich für die Gesamtübertragungsfunktion schreiben:
 :$$H_{\rm L}(p) = H_{\rm L}^{(1)}(p) \cdot H_{\rm L}^{(2)}(p)
   \hspace{0.05cm} .$$
-Gleichzeitig ist bekannt, dass folgende Gleichung gültig ist:
+Gleichzeitig ist bekannt,&nbsp; dass folgende Gleichung gültig ist:
 :$$H_{\rm L}(p)  =\frac{4}{1/p^2 + 4/p +4}
   \hspace{0.05cm} .$$
-Stellt man diese Funktion in Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Form dar, so wird sich herausstellen, dass hier die Anzahl der Nullstellen &nbsp;$(Z)$&nbsp; gleich der Anzahl der Pole &nbsp;$(N)$&nbsp; ist.&nbsp; Eine direkte Anwendung des Residuensatzes ist hier deshalb nicht möglich.
+Stellt man diese Funktion in Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Form dar,&nbsp; so wird sich herausstellen,&nbsp; dass hier die Anzahl der Nullstellen &nbsp;$(Z)$&nbsp; gleich der Anzahl der Pole &nbsp;$(N)$&nbsp; ist.&nbsp; Eine direkte Anwendung des Residuensatzes ist hier deshalb nicht möglich.
-Um die Zeitfunktion &nbsp;$h(t)$&nbsp; berechnen zu können, muss vielmehr eine Partialbruchzerlegung entsprechend&nbsp;
+Um die Zeitfunktion &nbsp;$h(t)$&nbsp; berechnen zu können,&nbsp; muss vielmehr eine&nbsp; "Partialbruchzerlegung"&nbsp; entsprechend&nbsp;
 $H_{\rm L}(p)  =1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)
   \hspace{0.05cm}$&nbsp;
-vorgenommen werden. Damit gilt für die Impulsantwort:
+vorgenommen werden.&nbsp; Damit gilt für die Impulsantwort:
 :$$h(t)  = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t)
   \hspace{0.05cm}.$$
-Bezüglich &nbsp;$H_{\rm L}'(p)$&nbsp; gilt &nbsp;$Z' < N'$. Somit kann der kontinuierliche Anteil &nbsp;$h'(t)$&nbsp; der Impulsantwort  mit dem Residuensatz ermittelt werden.
+Bezüglich &nbsp;$H_{\rm L}'(p)$&nbsp; gilt &nbsp;$Z' < N'$.&nbsp; Somit kann der kontinuierliche Anteil &nbsp;$h'(t)$&nbsp; der Impulsantwort  mit dem Residuensatz ermittelt werden.
@@ Zeile 27: / Zeile 27: @@
 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]].
 *Das Residium eines &nbsp;$l$&ndash;fachen Pols &nbsp;$p_{\rm x}$&nbsp; innerhalb der Funktion &nbsp;$H_{\rm L}(p)$&nbsp; lautet:
 :$${\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{\rm x}}
@@ Zeile 64: / Zeile 60: @@
 {Wandeln Sie &nbsp;$H_{\rm L}(p) = 1 - H_{\rm L}'(p)$&nbsp; um. &nbsp;Welches Ergebnis erhält man für &nbsp;$H_{\rm L}'(p)$?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $H_{\rm L}'(p) = p^2/(p+0.5)^2$,
 - $H_{\rm L}'(p) = p/(p+0.5)^2$,

@@ Zeile 82: / Zeile 82: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Ausgehend von der vorgegebenen Gleichung kann $H_{\rm L}(p)$ wie folgt umgeformt werden:
+'''(1)'''&nbsp; Ausgehend von der vorgegebenen Gleichung kann&nbsp; $H_{\rm L}(p)$&nbsp; wie folgt umgeformt werden:
 :$$H_{\rm L}(p)  =\frac{4}{1/p^2 + 4/p +4}=\frac{p^2}{p^2 + p +1/4}=\frac{p^2}{(p +1/2)^2}
   \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 88: / Zeile 88: @@
   \hspace{0.2cm}K = 1}
   \hspace{0.05cm} .$$
@@ Zeile 93: / Zeile 94: @@
 :$$H_{\rm L}(p) = H_{\rm L}^{(1)}(p) \cdot H_{\rm L}^{(2)}(p) =\frac{p^2}{(p+A)^2}
   \hspace{0.05cm} .$$
-Ein Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(1)''' zeigt, dass $\underline{A = 0.5}$ sein muss.
+Ein Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; zeigt, dass&nbsp; $\underline{A = 0.5}$&nbsp; sein muss.
 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist <u>der letzte Lösungsvorschlag</u>:
-*Ausgehend von der in der Teilaufgabe '''(1)''' berechneten Gleichung erhält man
+*Ausgehend von der in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; berechneten Gleichung erhält man
 :$$H_{\rm L}(p)  =\frac{p^2}{p^2 + p +0.25}= \frac{p^2 + p +0.25}{p^2 + p
   +0.25}- \frac{p +0.25}{p^2 + p
@@ Zeile 136: / Zeile 138: @@
 Die Grafik zeigt jeweils für nicht&ndash;negative Zeiten
 *als blaue Kurve die Impulsantwort  &nbsp;$h'(t)$&nbsp; des äquivalenten Tiefpasses,
-*als rote Kurve die gesamte Impulsantwort des betrachterten Hochpasses:
+*als rote Kurve die gesamte Impulsantwort des betrachteten Hochpasses:
 :$$h(t) =
     \delta (t) - (1- {t}/{4})

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID1787__LZI_A_3_7.png|right|frame|Hochpass zweiter Ordnung]]
-Wir gehen von der nebenstehend skizzierten Anordnung aus. Die Übertragungsfunktionen der beiden identischen Hochpässe lauten:
+Wir gehen von der skizzierten Anordnung aus.&nbsp; Die Übertragungsfunktionen der beiden identischen Hochpässe lauten:
 :$$H_{\rm L}^{(1)}(p) = H_{\rm L}^{(2)}(p) =\frac{p}{p+A}
   \hspace{0.05cm} .$$
@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
 :$$H_{\rm L}(p)  =\frac{4}{1/p^2 + 4/p +4}
   \hspace{0.05cm} .$$
-Stellt man diese Funktion in Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Form dar, so wird sich herausstellen, dass hier die Anzahl der Nullstellen &nbsp;$(Z)$&nbsp; gleich der Anzahl der Pole &nbsp;$(N)$&nbsp; ist. Eine direkte Anwendung des Residuensatzes ist hier deshalb nicht möglich.
+Stellt man diese Funktion in Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Form dar, so wird sich herausstellen, dass hier die Anzahl der Nullstellen &nbsp;$(Z)$&nbsp; gleich der Anzahl der Pole &nbsp;$(N)$&nbsp; ist.&nbsp; Eine direkte Anwendung des Residuensatzes ist hier deshalb nicht möglich.
-Um die Zeitfunktion &nbsp;$h(t)$&nbsp; berechnen zu können, muss vielmehr eine Partialbruchzerlegung entsprechend
+Um die Zeitfunktion &nbsp;$h(t)$&nbsp; berechnen zu können, muss vielmehr eine Partialbruchzerlegung entsprechend&nbsp;
 $H_{\rm L}(p)  =1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)
-  \hspace{0.05cm}$
+  \hspace{0.05cm}$&nbsp;
 vorgenommen werden. Damit gilt für die Impulsantwort:
 :$$h(t)  = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t)
   \hspace{0.05cm}.$$
 Bezüglich &nbsp;$H_{\rm L}'(p)$&nbsp; gilt &nbsp;$Z' < N'$. Somit kann der kontinuierliche Anteil &nbsp;$h'(t)$&nbsp; der Impulsantwort  mit dem Residuensatz ermittelt werden.

@@ Zeile 90: / Zeile 90: @@
 :$$H_{\rm L}(p) = H_{\rm L}^{(1)}(p) \cdot H_{\rm L}^{(2)}(p) =\frac{p^2}{(p+A)^2}
   \hspace{0.05cm} .$$
-Ein Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (1) zeigt, dass $\underline{A = 0.5}$ sein muss.
+Ein Vergleich mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(1)''' zeigt, dass $\underline{A = 0.5}$ sein muss.
 '''(3)'''&nbsp; Richtig ist <u>der letzte Lösungsvorschlag</u>:
-*Ausgehend von der in der Teilaufgabe (1) berechneten Gleichung erhält man
+*Ausgehend von der in der Teilaufgabe '''(1)''' berechneten Gleichung erhält man
 :$$H_{\rm L}(p)  =\frac{p^2}{p^2 + p +0.25}= \frac{p^2 + p +0.25}{p^2 + p
   +0.25}- \frac{p +0.25}{p^2 + p
@@ Zeile 104: / Zeile 104: @@
-'''(4)'''&nbsp; Bezüglich der Funktion $H_{\rm L}'(p)$ gilt $Z' = 1$, $N' = 2$ und $K' = 1$. Die beiden Pole bei $p_{\rm x} = -0.5$ fallen zusammen, so dass nur ein Residium ermittelt werden muss:
+'''(4)'''&nbsp; Bezüglich der Funktion &nbsp;$H_{\rm L}'(p)$&nbsp; gilt &nbsp;$Z' = 1$, &nbsp;$N' = 2$&nbsp; und &nbsp;$K' = 1$.
 :$$h\hspace{0.03cm}'(t) \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} {\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{\rm x}}
   \hspace{0.7cm}\{H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)\cdot {\rm e}^{p t}\}=
@@ Zeile 119: / Zeile 121: @@
   \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-0.5}
   \hspace{0.05cm} .$$
-[[Datei:P_ID1788__LZI_A_3_7_d.png|right|frame|Impulsantwort des Hochpasses (rot)]]
+[[Datei:P_ID1788__LZI_A_3_7_d.png|right|frame|Impulsantwort des Hochpasses (rot); <br>kontinuierlicher Anteil $h\hspace{0.03cm}'(t)$ (blau)]]
 Mit der Produktregel der Differentialrechnung erhält man:
 $$h\hspace{0.03cm}'(t) \hspace{0.15cm}  =  \hspace{0.15cm}
@@ Zeile 130: / Zeile 132: @@
   h\hspace{0.03cm}'(t \rightarrow \infty) \hspace{0.15cm}  =   \underline {= 0}\hspace{0.05cm} .$$
 Die Grafik zeigt jeweils für nicht&ndash;negative Zeiten
-*als blaue Kurve die Impulsantwort  $h'(t)$ des äquivalenten Tiefpasses,
+*als blaue Kurve die Impulsantwort  &nbsp;$h'(t)$&nbsp; des äquivalenten Tiefpasses,
 *als rote Kurve die gesamte Impulsantwort des betrachterten Hochpasses:
 :$$h(t) =

@@ Zeile 13: / Zeile 13: @@
 :$$H_{\rm L}(p)  =\frac{4}{1/p^2 + 4/p +4}
   \hspace{0.05cm} .$$
-Stellt man diese Funktion in Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Form dar, so wird sich herausstellen, dass hier die Anzahl der Nullstellen ($Z$) gleich der Anzahl der Pole ($N$) ist. Eine direkte Anwendung des Residuensatzes ist hier deshalb nicht möglich.
+Stellt man diese Funktion in Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Form dar, so wird sich herausstellen, dass hier die Anzahl der Nullstellen &nbsp;$(Z)$&nbsp; gleich der Anzahl der Pole &nbsp;$(N)$&nbsp; ist. Eine direkte Anwendung des Residuensatzes ist hier deshalb nicht möglich.
-Um die Zeitfunktion $h(t)$ berechnen zu können, muss vielmehr eine Partialbruchzerlegung entsprechend
+Um die Zeitfunktion &nbsp;$h(t)$&nbsp; berechnen zu können, muss vielmehr eine Partialbruchzerlegung entsprechend
 $H_{\rm L}(p)  =1- H_{\rm L}\hspace{-0.05cm}'(p)
   \hspace{0.05cm}$
@@ Zeile 21: / Zeile 21: @@
 :$$h(t)  = \delta(t)- h\hspace{0.03cm}'(t)
   \hspace{0.05cm}.$$
-Bezüglich $H_{\rm L}'(p)$ gilt $Z' < N'$. Somit kann der kontinuierliche Anteil $h'(t)$ der Impulsantwort wieder mit dem Residuensatz ermittelt werden.
+Bezüglich &nbsp;$H_{\rm L}'(p)$&nbsp; gilt &nbsp;$Z' < N'$. Somit kann der kontinuierliche Anteil &nbsp;$h'(t)$&nbsp; der Impulsantwort  mit dem Residuensatz ermittelt werden.
@@ Zeile 28: / Zeile 28: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]].
-*Das Residium eines $l$&ndash;fachen Pols $p_{\rm x}$ innerhalb der Funktion $H_{\rm L}(p)$ lautet:
+*Das Residium eines &nbsp;$l$&ndash;fachen Pols &nbsp;$p_{\rm x}$&nbsp; innerhalb der Funktion &nbsp;$H_{\rm L}(p)$&nbsp; lautet:
 :$${\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{\rm x}}
   \hspace{0.03cm}\{H_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p t}\}=
@@ Zeile 38: / Zeile 38: @@
   \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{\rm x}}
   \hspace{0.05cm} .$$
-*Die Ableitung des Produkts $y(x) = f(x)  \cdot g(x)$ ist wie folgt gegeben:
+*Die Ableitung des Produkts &nbsp;$y(x) = f(x)  \cdot g(x)$&nbsp; ist wie folgt gegeben:
 :$$\frac{{\rm d}{\hspace{0.05cm}y(x)}}{{\rm d}\hspace{0.05cm}x}= \frac{{\rm d}{\hspace{0.05cm}f(x)}}{{\rm
   d}\hspace{0.05cm}x}\cdot g(x) + \frac{{\rm d}{\hspace{0.05cm}g(x)}}{{\rm
@@ Zeile 48: / Zeile 48: @@
 <quiz display=simple>
-{Stellen Sie $H_{\rm L}(p)$ in Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Form dar. Wieviele Nullstellen ($Z$) und Pole ($N$) gibt es? Wie groß ist der konstante Faktor $K$?
+{Stellen Sie &nbsp;$H_{\rm L}(p)$&nbsp; in Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Form dar. &nbsp;Wieviele Nullstellen &nbsp;$(Z)$&nbsp; und Pole &nbsp;$(N)$&nbsp; gibt es? &nbsp;Wie groß ist der konstante Faktor &nbsp;$K$?
 |type="{}"}
 $Z \hspace{0.28cm} = \ $  { 2 }
@@ Zeile 55: / Zeile 55: @@
-{Wie groß ist der Parameter $A$ der beiden Teilvierpolen?
+{Wie groß ist der Parameter $A$&nbsp; der beiden Teilvierpolen?
 |type="{}"}
 $A \ =  \ $ { 0.5 3% }
-{Wandeln Sie $H_{\rm L}(p) = 1 - H_{\rm L}'(p)$ um. Welches Ergebnis erhält man für $H_{\rm L}'(p)$?
+{Wandeln Sie &nbsp;$H_{\rm L}(p) = 1 - H_{\rm L}'(p)$&nbsp; um. &nbsp;Welches Ergebnis erhält man für &nbsp;$H_{\rm L}'(p)$?
 |type="[]"}
 - $H_{\rm L}'(p) = p^2/(p+0.5)^2$,
@@ Zeile 67: / Zeile 67: @@
-{Berechnen Sie die Zeitfunktion $h'(t)$. Welche Zahlenwerte ergeben sich für die angegebenen Zeitpunkte?
+{Berechnen Sie die Zeitfunktion &nbsp;$h'(t)$. &nbsp;Welche Zahlenwerte ergeben sich für die angegebenen Zeitpunkte?
 |type="{}"}
 $h'(t = 0) \ = \ $  { 1 3% }