Aufgaben:Aufgabe 3.7: Einige Entropieberechnungen - Versionsgeschichte

Guenter am 1. September 2021 um 09:46 Uhr

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Guenter am 1. September 2021 um 09:39 Uhr

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Guenter am 9. Oktober 2018 um 15:35 Uhr

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Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:54Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:05:14Z

Guenter verschob die Seite 3.7 Einige Entropieberechnungen nach Aufgabe 3.7: Einige Entropieberechnungen

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 '''(5)'''&nbsp; Richtig sind gemäß dem Schaubild die Aussagen 1, 2 und 4:
-*Man erkennt die Gültigkeit von&nbsp; $P_{ UV } = P_U  · P_V$  &nbsp; &rArr; &nbsp;   Transinformation $I(U; V) = 0$&nbsp; daran, dass die zweite Zeile der&nbsp; $P_{ UV }$–Matrix sich von der ersten Zeile nur durch einen konstanten Faktor&nbsp; $(4)$&nbsp; unterscheidet.
+*Man erkennt die Gültigkeit von&nbsp; $P_{ UV } = P_U  · P_V$  &nbsp; &rArr; &nbsp;   Transinformation $I(U; V) = 0$&nbsp; daran, <br>dass die zweite Zeile der&nbsp; $P_{ UV }$–Matrix sich von der ersten Zeile nur durch einen konstanten Faktor&nbsp; $(4)$&nbsp; unterscheidet.
 *Es ergeben sich gleiche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen wie für die Zufallsgröße&nbsp; $XY$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  $P_U(U) = \big [0.2, \ 0.8 \big ]$ &nbsp;und&nbsp;  $P_V(V) = \big [0.34, \ 0.66 \big ]$.
 *Deshalb ist auch&nbsp; $H(U) = H(X) = 0.722\ \rm  bit$ &nbsp;und&nbsp; $H(V) = H(Y) = 0.925 \ \rm bit$.

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 }}
-[[Datei:P_ID2766__Inf_A_3_6.png|right|frame|Schaubild: Entropien und Information]]
+[[Datei:P_ID2766__Inf_A_3_6.png|right|frame|Schaubild: <br>Entropien und Transinformation]]
 Wir betrachten die beiden Zufallsgrößen&nbsp; $XY$&nbsp; und&nbsp; $UV$&nbsp; mit den folgenden 2D-Wahrscheinlichkeitsfunktionen:
 :$$P_{XY}(X, Y) = \begin{pmatrix} 0.18 & 0.16\\ 0.02 & 0.64 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm}$$
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 Für die Zufallsgröße&nbsp; $XY$&nbsp; sollen in dieser Aufgabe berechnet werden:
-* die Verbundentropie&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Joint Entropy''):
+* die Verbundentropie&nbsp; (englisch:&nbsp; "Joint Entropy"):
 :$$H(XY) = -{\rm E}\big [\log_2  P_{ XY }( X,Y) \big ],$$
 * die beiden Einzelentropien:
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 :$$H(Y) = -{\rm E}\big [\log_2  P_Y( Y)\big ].$$
 Daraus lassen sich gemäß dem obigen Schema – dargestellt für die Zufallsgröße&nbsp; $XY$ – auch folgende Beschreibungsgrößen sehr einfach bestimmen:
-* die bedingten Entropien&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Conditional Entropies''):
+* die bedingten Entropien&nbsp; (englisch:&nbsp; "Conditional Entropies"):
 :$$H(X \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} Y) = -{\rm E}\big [\log_2  P_{ X \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}Y }( X \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} Y)\big ],$$
 :$$H(Y \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} X) = -{\rm E}\big [\log_2  P_{ Y \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} X }( Y \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} X)\big ],$$
-* die Transinformation&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Mutual Information'') zwischen $X$ und $Y$:
+* die Transinformation&nbsp; (englisch:&nbsp; "Mutual Information") zwischen $X$ und $Y$:
 :$$I(X;Y) = {\rm E} \hspace{-0.08cm}\left [ \hspace{0.02cm}{\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_{XY}(X, Y)}
 {P_{X}(X) \cdot P_{Y}(Y) }\right ]  \hspace{0.05cm}.$$
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-''Hinweise:''
+Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen|Verschiedene Entropien zweidimensionaler Zufallsgrößen]].
 *Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seiten&nbsp; <br> &nbsp; &nbsp; [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen#Bedingte_Wahrscheinlichkeit_und_bedingte_Entropie|Bedingte Wahrscheinlichkeit und bedingte Entropie]] &nbsp; sowie <br> &nbsp; &nbsp; [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen#Transinformation_zwischen_zwei_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transinformation zwischen zwei Zufallsgrößen]].
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-{Welche der folgenden Aussagen treffen für die 2D–Zufallsgröße $UV$ zu?
+{Welche der folgenden Aussagen treffen für die 2D–Zufallsgröße&nbsp; $UV$&nbsp; zu?
 |type="[]"}
 + Die 1D–Zufallsgrößen&nbsp; $U$&nbsp; und&nbsp; $V$&nbsp; sind statistisch unabhängig.

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 '''(1)'''&nbsp; Aus der gegebenen Verbundwahrscheinlichkeit erhält man
-:$$H(XY) = 0.18 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.18} + 0.16\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.16}+ \hspace{-0.15cm}
+:$$H(XY) = 0.18 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.18} + 0.16\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.16}+
 .02\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.02}+
 .64\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.64}
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 '''(2)'''&nbsp; Die 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen lauten $P_X(X) = \big [0.2, \ 0.8 \big ]$ und $P_Y(Y) = \big [0.34, \ 0.66 \big ]$. Daraus folgt:
 :$$H(X)  = 0.2 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.2} + 0.8\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.8}\hspace{0.15cm} \underline {= 0.722\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm},$$
 :$$H(Y) =0.34 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.34} + 0.66\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.66}\hspace{0.15cm} \underline {= 0.925\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man den Zusammenhang:
 :$$I(X;Y) = H(X) + H(Y) - H(XY) = 0.722\,{\rm (bit)} + 0.925\,{\rm (bit)}- 1.393\,{\rm (bit)}\hspace{0.15cm} \underline {= 0.254\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$
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 [[Datei:P_ID2767__Inf_A_3_6d.png|right|frame|Entropiewerte für die Zufallsgrößen $XY$ und $UV$]]
-*Die linke Grafik fasst die Ergebnisse der Teilaufgaben '''(1)''', ... , '''(4)''' maßstabsgetreu zusammen.
+*Die linke Grafik fasst die Ergebnisse der Teilaufgaben&nbsp; '''(1)''', ... , &nbsp;'''(4)'''&nbsp; maßstabsgetreu zusammen.
 *Grau hinterlegt ist die Verbundentropie und gelb die Transinformation.
-*Eine rote Hinterlegung bezieht sich auf die Zufallsgröße $X$, eine grüne auf $Y$. Schraffierte Felder deuten auf eine bedingte Entropie hin.
+*Eine rote Hinterlegung bezieht sich auf die Zufallsgröße&nbsp; $X$, eine grüne auf&nbsp; $Y$.&nbsp; Schraffierte Felder deuten auf eine bedingte Entropie hin.
-Die rechte Grafik beschreibt den gleichen Sachverhalt für die Zufallsgröße $UV$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Teilaufgabe '''(5)'''.
+Die rechte Grafik beschreibt den gleichen Sachverhalt für die Zufallsgröße&nbsp; $UV$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''.
 '''(5)'''&nbsp; Richtig sind gemäß dem Schaubild die Aussagen 1, 2 und 4:
-*Man erkennt die Gültigkeit von $P_{ UV } = P_U  · P_V$  &nbsp; &rArr; &nbsp;   Transinformation $I(U; V) = 0$ daran, dass die zweite Zeile der $P_{ UV }$–Matrix sich von der ersten Zeile nur durch einen konstanten Faktor $(4)$ unterscheidet.
+*Man erkennt die Gültigkeit von&nbsp; $P_{ UV } = P_U  · P_V$  &nbsp; &rArr; &nbsp;   Transinformation $I(U; V) = 0$&nbsp; daran, dass die zweite Zeile der&nbsp; $P_{ UV }$–Matrix sich von der ersten Zeile nur durch einen konstanten Faktor&nbsp; $(4)$&nbsp; unterscheidet.
-*Es ergeben sich gleiche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen wie für die Zufallsgröße $XY$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  $P_U(U) = \big [0.2, \ 0.8 \big ]$ &nbsp;und&nbsp;  $P_V(V) = \big [0.34, \ 0.66 \big ]$.
+*Es ergeben sich gleiche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen wie für die Zufallsgröße&nbsp; $XY$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  $P_U(U) = \big [0.2, \ 0.8 \big ]$ &nbsp;und&nbsp;  $P_V(V) = \big [0.34, \ 0.66 \big ]$.
-*Deshalb ist auch $H(U) = H(X) = 0.722\ \rm  bit$ &nbsp;und&nbsp; $H(V) = H(Y) = 0.925 \ \rm bit$.
+*Deshalb ist auch&nbsp; $H(U) = H(X) = 0.722\ \rm  bit$ &nbsp;und&nbsp; $H(V) = H(Y) = 0.925 \ \rm bit$.
 * Hier gilt aber nun für die Verbundentropie: &nbsp; $H(UV) = H(U) + H(V) ≠ H(XY)$.

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 [[Datei:P_ID2766__Inf_A_3_6.png|right|frame|Schaubild: Entropien und Information]]
-Wir betrachten die beiden Zufallsgrößen $XY$ und $UV$ mit den folgenden 2D-Wahrscheinlichkeitsfunktionen:
+Wir betrachten die beiden Zufallsgrößen&nbsp; $XY$&nbsp; und&nbsp; $UV$&nbsp; mit den folgenden 2D-Wahrscheinlichkeitsfunktionen:
 :$$P_{XY}(X, Y) = \begin{pmatrix} 0.18 & 0.16\\ 0.02 & 0.64 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm} \hspace{0.05cm}$$
 :$$P_{UV}(U, V) \hspace{0.05cm}= \begin{pmatrix} 0.068 & 0.132\\ 0.272 & 0.528 \end{pmatrix}\hspace{0.05cm}$$
-Für die Zufallsgröße $XY$ sollen in dieser Aufgabe berechnet werden:
+Für die Zufallsgröße&nbsp; $XY$&nbsp; sollen in dieser Aufgabe berechnet werden:
-* die Verbundentropie (englisch: ''Joint Entropy''):
+* die Verbundentropie&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Joint Entropy''):
 :$$H(XY) = -{\rm E}\big [\log_2  P_{ XY }( X,Y) \big ],$$
 * die beiden Einzelentropien:
 :$$H(X) = -{\rm E}\big [\log_2  P_X( X)\big ],$$
 :$$H(Y) = -{\rm E}\big [\log_2  P_Y( Y)\big ].$$
-Daraus lassen sich gemäß dem obigen Schema – dargestellt für die Zufallsgröße $XY$ – auch folgende Beschreibungsgrößen sehr einfach bestimmen:
+Daraus lassen sich gemäß dem obigen Schema – dargestellt für die Zufallsgröße&nbsp; $XY$ – auch folgende Beschreibungsgrößen sehr einfach bestimmen:
-* die bedingten Entropien (englisch: ''Conditional Entropies''):
+* die bedingten Entropien&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Conditional Entropies''):
 :$$H(X \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} Y) = -{\rm E}\big [\log_2  P_{ X \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}Y }( X \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} Y)\big ],$$
 :$$H(Y \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} X) = -{\rm E}\big [\log_2  P_{ Y \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} X }( Y \hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm} X)\big ],$$
-* die Transinformation (englisch: Mutual Information) zwischen $X$ und $Y$:
+* die Transinformation&nbsp; (englisch:&nbsp; ''Mutual Information'') zwischen $X$ und $Y$:
 :$$I(X;Y) = {\rm E} \hspace{-0.08cm}\left [ \hspace{0.02cm}{\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_{XY}(X, Y)}
 {P_{X}(X) \cdot P_{Y}(Y) }\right ]  \hspace{0.05cm}.$$
-Abschließend sind qualitative Aussagen hinsichtlich der zweiten Zufallsgröße $UV$ zu verifizieren.
+Abschließend sind qualitative Aussagen hinsichtlich der zweiten Zufallsgröße&nbsp; $UV$&nbsp; zu verifizieren.
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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen|Verschiedene Entropien zweidimensionaler Zufallsgrößen]].
-*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seiten&nbsp; <br> &nbsp; &nbsp; [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen#Bedingte_Wahrscheinlichkeit_und_bedingte_Entropie|Bedingte Wahrscheinlichkeit und bedingte Entropie]] sowie <br> &nbsp; &nbsp; [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen#Transinformation_zwischen_zwei_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transinformation zwischen zwei Zufallsgrößen]].
+*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seiten&nbsp; <br> &nbsp; &nbsp; [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen#Bedingte_Wahrscheinlichkeit_und_bedingte_Entropie|Bedingte Wahrscheinlichkeit und bedingte Entropie]] &nbsp; sowie <br> &nbsp; &nbsp; [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen#Transinformation_zwischen_zwei_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transinformation zwischen zwei Zufallsgrößen]].
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 $H(XY) \ = \ $  { 1.393 3% } $\ \rm bit$
-{Welche Entropien weisen die 1D–Zufallsgrößen $X$ und $Y$ auf?
+{Welche Entropien weisen die 1D–Zufallsgrößen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$&nbsp; auf?
 |type="{}"}
 $H(X) \ = \ $ { 0.722 3% } $\ \rm bit$
 $H(Y) \ = \ $ { 0.925 3% } $\ \rm bit$
-{Wie groß ist die Transinformation zwischen den Zufallsgrößen $X$ und $Y$?
+{Wie groß ist die Transinformation zwischen den Zufallsgrößen&nbsp; $X$&nbsp; und&nbsp; $Y$?
 |type="{}"}
 $I(X; Y) \ = \ $ { 0.254 3% } $\ \rm bit$
@@ Zeile 60: / Zeile 60: @@
 {Welche der folgenden Aussagen treffen für die 2D–Zufallsgröße $UV$ zu?
 |type="[]"}
-+ Die 1D–Zufallsgrößen $U$ und $V$ sind statistisch unabhängig.
++ Die 1D–Zufallsgrößen&nbsp; $U$&nbsp; und&nbsp; $V$&nbsp; sind statistisch unabhängig.
-+ Die gemeinsame Information von $U$ und $V$   ist  $I(U; V) = 0$.
++ Die gemeinsame Information von&nbsp; $U$&nbsp; und&nbsp; $V$&nbsp;   ist&nbsp;  $I(U; V) = 0$.
-- Für die Verbundentropie gilt $H(UV) = H(XY)$.
+- Für die Verbundentropie gilt&nbsp; $H(UV) = H(XY)$.
-+ Es gelten die Beziehungen $H(U|V) = H(U)$ und $H(V|U) = H(V)$.
++ Es gelten die Beziehungen&nbsp; $H(U|V) = H(U)$&nbsp; und&nbsp; $H(V|U) = H(V)$.

@@ Zeile 32: / Zeile 32: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen|Verschiedene Entropien zweidimensionaler Zufallsgrößen]].
-*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seiten&nbsp; [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen#Bedingte_Wahrscheinlichkeit_und_bedingte_Entropie|Bedingte Wahrscheinlichkeit und bedingte Entropie]] sowie [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen#Transinformation_zwischen_zwei_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transinformation zwischen zwei Zufallsgrößen]].
+*Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seiten&nbsp; <br> &nbsp; &nbsp; [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen#Bedingte_Wahrscheinlichkeit_und_bedingte_Entropie|Bedingte Wahrscheinlichkeit und bedingte Entropie]] sowie <br> &nbsp; &nbsp; [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen#Transinformation_zwischen_zwei_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transinformation zwischen zwei Zufallsgrößen]].

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 	\hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Die 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen lauten $P_X(X) = [0.2, 0.8]$ und $P_Y(Y) = [0.34, 0.66]$. Daraus folgt:
 :$$H(X)  = 0.2 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.2} + 0.8\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.8}\hspace{0.15cm} \underline {= 0.722\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm},$$
 :$$H(Y) =0.34 \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.34} + 0.66\cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{1}{0.66}\hspace{0.15cm} \underline {= 0.925\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Aus der Grafik auf der Angabenseite erkennt man den Zusammenhang:
@@ Zeile 91: / Zeile 93: @@
 :$$H(Y \hspace{-0.1cm}\mid \hspace{-0.08cm} X)  = H(XY) - H(X) = 1.393- 0.722\hspace{0.15cm} \underline {= 0.671\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}$$
-Die linke Grafik fasst die Ergebnisse der Teilaufgaben (1), ... , (4) maßstabsgetreu zusammen. Grau hinterlegt ist die Verbundentropie und gelb die Transinformation. Eine rote Hinterlegung bezieht sich auf die Zufallsgröße $X$, eine grüne auf $Y$. Schraffierte Felder deuten auf eine bedingte Entropie hin.
+[[Datei:P_ID2767__Inf_A_3_6d.png|right|frame|Entropiewerte für die Zufallsgrößen $XY$ und $UV$]]
-Die rechte Grafik beschreibt den gleichen Sachverhalt für die Zufallsgröße $UV$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Teilaufgabe (5).
+Die rechte Grafik beschreibt den gleichen Sachverhalt für die Zufallsgröße $UV$ &nbsp; &rArr; &nbsp; Teilaufgabe '''(5)'''.
-'''(5)'''&nbsp; Richtig sind demzufolge die Aussagen 1, 2 und 4:
+'''(5)'''&nbsp; Richtig sind gemäß dem Schaubild die Aussagen 1, 2 und 4:
-*Man erkennt die Gültigkeit von $P_{ UV } (⋅) = P_U (⋅) · P_V(⋅)$  &nbsp; &rArr; &nbsp;   Transinformation $I(U; V) = 0$ daran, dass die zweite Zeile der $P_{ UV }$–Matrix sich von der ersten Zeile nur durch einen konstanten Faktor ($4$) unterscheidet.
+*Man erkennt die Gültigkeit von $P_{ UV } = P_U  · P_V$  &nbsp; &rArr; &nbsp;   Transinformation $I(U; V) = 0$ daran, dass die zweite Zeile der $P_{ UV }$–Matrix sich von der ersten Zeile nur durch einen konstanten Faktor $(4)$ unterscheidet.
-*Es ergeben sich gleiche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen wie für die Zufallsgröße $XY$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  $P_U(U) = [0.2, 0.8]$, $P_V(V) = [0.34, 0.66]$.
+*Es ergeben sich gleiche 1D–Wahrscheinlichkeitsfunktionen wie für die Zufallsgröße $XY$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  $P_U(U) = \big [0.2, \ 0.8 \big ]$ &nbsp;und&nbsp;  $P_V(V) = \big [0.34, \ 0.66 \big ]$.
-*Deshalb ist auch $H(U) = H(X) = 0.722\ \rm  bit$ und $H(V) = H(Y) = 0.925 \ \rm bit$.
+*Deshalb ist auch $H(U) = H(X) = 0.722\ \rm  bit$ &nbsp;und&nbsp; $H(V) = H(Y) = 0.925 \ \rm bit$.
-* Hier gilt aber nun für die Verbundentropie: $H(UV) = H(U) + H(V) ≠ H(XY)$.
+* Hier gilt aber nun für die Verbundentropie: &nbsp; $H(UV) = H(U) + H(V) ≠ H(XY)$.
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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen|Verschiedene Entropien zweidimensionaler Zufallsgrößen]].
 *Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seiten [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen#Bedingte_Wahrscheinlichkeit_und_bedingte_Entropie|Bedingte Wahrscheinlichkeit und bedingte Entropie]] sowie [[Informationstheorie/Verschiedene_Entropien_zweidimensionaler_Zufallsgrößen#Transinformation_zwischen_zwei_Zufallsgr.C3.B6.C3.9Fen|Transinformation zwischen zwei Zufallsgrößen]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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(kein Unterschied)