Aufgaben:Aufgabe 3.7: Bitfehlerquote (BER) - Versionsgeschichte

Guenter am 2. Februar 2022 um 11:20 Uhr

2022-02-02T11:20:16Z

Guenter am 2. Februar 2022 um 11:16 Uhr

2022-02-02T11:16:04Z

Guenter am 2. Februar 2022 um 10:25 Uhr

2022-02-02T10:25:44Z

Guenter am 21. November 2019 um 16:31 Uhr

2019-11-21T16:31:34Z

Guenter am 21. November 2019 um 16:21 Uhr

2019-11-21T16:21:05Z

Guenter am 21. November 2019 um 16:14 Uhr

2019-11-21T16:14:17Z

Guenter am 10. August 2018 um 09:15 Uhr

2018-08-10T09:15:34Z

Guenter am 10. August 2018 um 08:58 Uhr

2018-08-10T08:58:20Z

Guenter am 10. August 2018 um 08:21 Uhr

2018-08-10T08:21:48Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:53Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Die <u>beiden letzten Aussagen</u> stimmen:
+'''(1)'''&nbsp; Die&nbsp; <u>beiden letzten Aussagen</u>&nbsp; stimmen:
 *Bez&uuml;glich der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $n_{\rm B}$&nbsp; liegt der klassische Fall einer Binomialverteilung vor.
-*Es wird die Summe &uuml;ber&nbsp; $N$&nbsp; bin&auml;re Zufallsgr&ouml;&szlig;en gebildet.
+*Es wird die Summe &uuml;ber&nbsp; $N$&nbsp; bin&auml;re Zufallsgr&ouml;&szlig;en gebildet.&nbsp; Die m&ouml;glichen Werte von&nbsp; $n_{\rm B}$&nbsp; liegen somit zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $N$.
 *Der lineare Mittelwert ergibt &nbsp; $m_{n{\rm B}}=p_{\rm B}\cdot N=\rm 10^{-3}\cdot 10^{5}=\rm 100.$
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-'''(4)'''&nbsp; Richtig ist <u>der erste Vorschlag</u>. Es gilt:
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist&nbsp; <u>der erste Vorschlag</u>.&nbsp; Es gilt:
 :$${\rm Pr}(h_{\rm B} > p_{\rm B} + \varepsilon)=\rm Q({\it\varepsilon}/{\it\sigma_{h{\rm B}}}),$$
 :$$\rm Pr(\it h_{\rm B} < p_{\rm B} - \varepsilon {\rm )}=\rm Q(\it{\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}{\rm )}$$
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 :$$p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q(\frac{\rm 10^{\rm -4}}{\rm 10^{\rm -4}} {\rm )}=\rm 1-\rm 2\cdot\rm Q(\rm 1)\hspace{0.15cm}\underline{\approx\rm 0.684}.$$
-In Worten:
+In Worten:&nbsp; Bestimmt man die Bitfehlerquote per Simulation &uuml;ber&nbsp; $10^5$&nbsp;  Symbole,&nbsp; so erh&auml;lt man mit einem Konfidenzniveau von&nbsp; $\underline{68.4\%}$&nbsp; einen Wert zwischen&nbsp; $0.9 \cdot 10^{-3}$&nbsp; und&nbsp; $1.1 \cdot 10^{-3}$,&nbsp; wenn&nbsp; $p_{\rm B} = 10^{-3}$&nbsp; ist.

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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
-*L&ouml;sen Sie die Aufgaben so weit wie m&ouml;glich allgemein.
+*L&ouml;sen Sie die Aufgaben so weit wie m&ouml;glich allgemein.&nbsp; Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte&nbsp;  $p_{\rm B} = 10^{-3}$&nbsp; und&nbsp; $N = 10^{5}$.
 *Nachfolgend finden Sie einige Werte der sogenannten Q-Funktion:
 :$$\rm Q(\rm 1.00)=\rm 0.159,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.65)=\rm 0.050,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.96)=\rm 0.025,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 2.59)=\rm 0.005.$$
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-{Zur Abk&uuml;rzung verwenden wir das Konfidenzniveau&nbsp; $p_\varepsilon = {\rm Pr}(\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}h_{\rm B} - p_{\rm B}\hspace{0.05cm}| \le \varepsilon)$.&nbsp; Welches&nbsp;   $p_\varepsilon$&nbsp; ergibt sich mit&nbsp; $\varepsilon = 10^{-4}$,&nbsp; $p_{\rm B} = 10^{-3}$&nbsp; und&nbsp; $N = 10^{5}$&nbsp;?
+{Zur Abk&uuml;rzung verwenden wir das Konfidenzniveau&nbsp; $p_\varepsilon = {\rm Pr}(\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}h_{\rm B} - p_{\rm B}\hspace{0.05cm}| \le \varepsilon)$.&nbsp; Welches&nbsp;   $p_\varepsilon$&nbsp; ergibt sich mit&nbsp; $\varepsilon = 10^{-4}$, &nbsp; $p_{\rm B} = 10^{-3}$&nbsp; und&nbsp; $N = 10^{5}$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $p_\varepsilon \ =  \ $ { 0.684 3% }
-{Das Argument der Q-Funktion sei&nbsp; $\alpha$.&nbsp; Wie gro&szlig; muss&nbsp;  $\alpha$&nbsp; mindestens gew&auml;hlt werden, damit das Konfidenzniveau&nbsp;  $p_\varepsilon =  95\%$&nbsp; betr&auml;gt&nbsp;?
+{Das Argument der Q-Funktion sei&nbsp; $\alpha$.&nbsp; Wie gro&szlig; muss&nbsp;  $\alpha$&nbsp; mindestens gew&auml;hlt werden,&nbsp; damit das Konfidenzniveau&nbsp;  $p_\varepsilon =  95\%$&nbsp; betr&auml;gt&nbsp;?
 |type="{}"}
 $\alpha_{\rm min} \ =  \ $ { 1.96 3% }

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-$\rm (A)$&nbsp; Das wichtigste Beurteilungskriterium eines solchen Digitalsystems ist
+$\rm (A)$&nbsp; Ein wichtiges Beurteilungskriterium ist die&nbsp; '''Bitfehlerwahrscheinlichkeit'''&nbsp; (englisch: &nbsp; "Bit Error Probability").
 :*Mit dem Erwartungswert&nbsp; ${\rm E}\big[\text{ ...} \big]$&nbsp; ist diese ist wie folgt definiert:
 ::$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu} \rm )\big]=\rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1).$$
-:*Der rechte Teil dieser Gleichung beschreibt eine Zeitmittelung;&nbsp;diese muss zum Beispiel bei zeitvarianten Kan&auml;len stets angewandt werden.
+:*Der rechte Teil dieser Gleichung beschreibt eine Zeitmittelung;&nbsp; diese muss zum Beispiel bei zeitvarianten Kan&auml;len stets angewandt werden.
-:*Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit f&uuml;r alle Symbole gleich (was hier vorausgesetzt wird), so kann man die obige Gleichung vereinfachen:
+:*Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit f&uuml;r alle Symbole gleich&nbsp; (was hier vorausgesetzt wird),&nbsp; so kann man die obige Gleichung vereinfachen:
 ::$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\rm E\big[\it e_{\nu} \rm \big].$$
-:Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist eine ''A-priori-Kenngr&ouml;&szlig;e'', erlaubt also eine Vorhersage f&uuml;r das zu erwartende Resultat.
+:*Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist eine&nbsp; "A-priori-Kenngr&ouml;&szlig;e",&nbsp; erlaubt also eine Vorhersage f&uuml;r das zu erwartende Resultat.
-$\rm (B)$&nbsp; Dagegen muss zur messtechnischen Ermittlung der &Uuml;bertragungsqualit&auml;t oder bei der Systemsimulation auf
+$\rm (B)$&nbsp; Zur messtechnischen Ermittlung/Systemsimulation der &Uuml;bertragungsqualit&auml;t muss  auf die &nbsp; '''Bitfehlerquote'''&nbsp; (englisch:&nbsp; "Bit Error Rate")&nbsp; &uuml;bergegangen werden:
+:*Die Bitfehlerquote ist eine A-posteriori-Kenngröße,&nbsp; die aus einem durchgeführten statistischem Experiment als&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Definition_der_Bitfehlerquote|relative H&auml;ufigkeit]] abgeleitet wird:
 ::$$h_{\rm B}=\frac{n_{\rm B}}{N}=\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N} e_{\nu}.$$
+:* $n_{\rm B}$&nbsp; gibt die  Anzahl der aufgetretenen im Experiment Bitfehler an,&nbsp; wenn insgesamt&nbsp; $N$&nbsp; Binärsymbole &uuml;bertragen wurden.
-:*$h_{\rm B}$&nbsp; ist eine&nbsp; [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Definition_der_Bitfehlerquote|relative H&auml;ufigkeit]].&nbsp; $n_{\rm B}$&nbsp; gibt die Anzahl der aufgetretenen Bitfehler an, wenn insgesamt&nbsp; $N$&nbsp; Symbole (Bit) &uuml;bertragen wurden.
+:*Im Grenzfall&nbsp; $N \to \infty$&nbsp; stimmt die relative H&auml;ufigkeit&nbsp; $h_{\rm B}$&nbsp; mit der Wahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; &uuml;berein.&nbsp; Hier soll nun die Frage gekl&auml;rt werden, mit welcher statistischen Unsicherheit bei endlichem&nbsp; $N$&nbsp; gerechnet werden muss.
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-''Hinweise:''
+Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
 *L&ouml;sen Sie die Aufgaben so weit wie m&ouml;glich allgemein.
 *Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte&nbsp;  $p_{\rm B} = 10^{-3}$&nbsp; und&nbsp; $N = 10^{5}$.

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 *F&uuml;r den Mittelwert erh&auml;lt man:
 :$$m_{h{\rm B}}=m_{n{\rm B}}/N=p_{\rm B} = 10^{-3}.$$
 *Die Streuung ergibt sich zu
-:$$\sigma_{h{\rm B}}=\frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}=\sqrt{\frac{ p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B}{\rm )}}{N}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 10^{-4}}.$$
+:$$\sigma_{h{\rm B}}=\frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}=\sqrt{\frac{ p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B}{\rm )}}{N}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.0001}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist <u>der erste Vorschlag</u>. Es gilt:
-:$${\rm Pr}(h_{\rm B} > p_{\rm B} + \varepsilon)=\rm Q({\it\varepsilon}/{\it\sigma_{h{\rm B}}}),\hspace{0.5cm}\rm Pr(\it h_{\rm B} < p_{\rm B} - \varepsilon {\rm )}=\rm Q(\it{\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}{\rm )}\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\rm Pr(\it |h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon \rm )=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q({\it \varepsilon}/{\it \sigma_{h{\rm B}}}).$$
+:$${\rm Pr}(h_{\rm B} > p_{\rm B} + \varepsilon)=\rm Q({\it\varepsilon}/{\it\sigma_{h{\rm B}}}),$$
-'''(5)'''&nbsp; Man erh&auml;lt mit den Zahlenwerten $\varepsilon = \sigma_{h{\rm B}} = 10^{-4}$:
+'''(5)'''&nbsp; Man erh&auml;lt mit den Zahlenwerten&nbsp; $\varepsilon = \sigma_{h{\rm B}} = 10^{-4}$:
 :$$p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q(\frac{\rm 10^{\rm -4}}{\rm 10^{\rm -4}} {\rm )}=\rm 1-\rm 2\cdot\rm Q(\rm 1)\hspace{0.15cm}\underline{\approx\rm 0.684}.$$
-Das heißt: Bestimmt man die Bitfehlerquote per Simulation &uuml;ber $10^5$  Symbole, so erh&auml;lt man mit einem <u>Konfidenzniveau von 68.4%</u> einen Wert zwischen $0.9 \cdot 10^{-3}$ und $1.1 \cdot 10^{-3}$, wenn $p_{\rm B} = 10^{-3}$ ist.
+In Worten:
-'''(6)'''&nbsp; Aus der Beziehung $p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot {\rm Q}(\alpha) = 0.95$ folgt direkt:
+'''(6)'''&nbsp; Aus der Beziehung&nbsp; $p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot {\rm Q}(\alpha) = 0.95$&nbsp; folgt direkt:
 :$$\alpha_{\rm min}=\rm Q^{\rm -1}\Big(\frac{\rm 1-\it p_{\varepsilon}}{\rm 2}\Big)=\rm Q^{\rm -1}(\rm 0.025)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.96}\hspace{0.15cm}{\approx\rm 2}.$$
 '''(7)'''&nbsp; Es muss $\alpha = \varepsilon/\sigma_{h{\rm B}}$ gelten. Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' folgt dann:
 :$$\frac{\varepsilon}{\sqrt{p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})/N}}\ge {\rm 2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}
-N\ge \frac{\rm 4\cdot \it p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})}{\varepsilon^{\rm 2}}\approx \frac{\rm 4\cdot 10^{-3}}{10^{-8}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 400000}.$$
+N\ge \frac{\rm 4\cdot \it p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})}{\varepsilon^{\rm 2}}\approx \frac{\rm 4\cdot 10^{-3}}{10^{-8}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 400\hspace{0.08cm}000}.$$
 {{ML-Fuß}}

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Die <u>beiden letzten Aussagen</u> stimmen:
-*Bez&uuml;glich der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $n_{\rm B}$ liegt der klassische Fall einer Binomialverteilung vor.
+*Bez&uuml;glich der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $n_{\rm B}$&nbsp; liegt der klassische Fall einer Binomialverteilung vor.
-*Es wird die Summe &uuml;ber $N$ bin&auml;re Zufallsgr&ouml;&szlig;en gebildet.
+*Es wird die Summe &uuml;ber&nbsp; $N$&nbsp; bin&auml;re Zufallsgr&ouml;&szlig;en gebildet.
-*Die m&ouml;glichen Werte von $n_{\rm B}$ liegen somit zwischen $0$ und $N$.
+*Die m&ouml;glichen Werte von&nbsp; $n_{\rm B}$&nbsp; liegen somit zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $N$.
 *Der lineare Mittelwert ergibt &nbsp; $m_{n{\rm B}}=p_{\rm B}\cdot N=\rm 10^{-3}\cdot 10^{5}=\rm 100.$
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-F&uuml;r den Mittelwert erh&auml;lt man:
+'''(3)'''&nbsp; M&ouml;gliche Werte von&nbsp; $h_{\rm B}$&nbsp; sind alle ganzzahligen Vielfachen von&nbsp; $1/N$.&nbsp; Diese liegen alle zwischen&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $1$.
 :$$m_{h{\rm B}}=m_{n{\rm B}}/N=p_{\rm B} = 10^{-3}.$$
-Die Streuung ergibt sich zu
+*Die Streuung ergibt sich zu
 :$$\sigma_{h{\rm B}}=\frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}=\sqrt{\frac{ p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B}{\rm )}}{N}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 10^{-4}}.$$

@@ Zeile 6: / Zeile 6: @@
 Wir betrachten ein bin&auml;res &Uuml;bertragungssystem mit
-*der Quellensymbolfolge $\langle q_\nu \rangle $ und
+*der Quellensymbolfolge&nbsp; $\langle q_\nu \rangle $&nbsp; und
-*der Sinkensymbolfolge $\langle v_\nu \rangle $.
+*der Sinkensymbolfolge&nbsp; $\langle v_\nu \rangle $.
-Stimmen Sinkensymbol $v_\nu$ und Quellensymbol $q_\nu$ nicht &uuml;berein, so liegt ein Bitfehler vor &nbsp; &rArr; &nbsp;  $e_\nu = 1$. Ansonsten gilt $e_\nu = 0$.
+Stimmen Sinkensymbol&nbsp; $v_\nu$&nbsp; und Quellensymbol&nbsp; $q_\nu$&nbsp; nicht &uuml;berein, so liegt ein Bitfehler vor &nbsp; &rArr; &nbsp;  $e_\nu = 1$. <br>Ansonsten gilt&nbsp; $e_\nu = 0$.
-Wichtigstes Beurteilungskriterium eines solchen Digitalsystems ist die <br>'''Bitfehlerwahrscheinlichkeit''' (englisch: &nbsp; <i>Bit Error Probability</i>).
+$\rm (A)$&nbsp; Das wichtigste Beurteilungskriterium eines solchen Digitalsystems ist
-*Der rechte Teil dieser Gleichung beschreibt eine Zeitmittelung und muss zum Beispiel bei zeitvarianten Kan&auml;len stets angewandt werden.
+:die&nbsp; '''Bitfehlerwahrscheinlichkeit'''&nbsp; (englisch: &nbsp; <i>Bit Error Probability</i>).
-*Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit f&uuml;r alle Symbole gleich (was hier vorausgesetzt wird), so kann man die obige Gleichung vereinfachen:
+:*Mit dem Erwartungswert&nbsp; ${\rm E}\big[\text{ ...} \big]$&nbsp; ist diese ist wie folgt definiert:
-:$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\rm E\big[\it e_{\nu} \rm \big].$$
+::$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu} \rm )\big]=\rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1).$$
-Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist eine A-priori-Kenngr&ouml;&szlig;e, erlaubt also eine Vorhersage f&uuml;r das zu erwartende Resultat.
+:Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist eine ''A-priori-Kenngr&ouml;&szlig;e'', erlaubt also eine Vorhersage f&uuml;r das zu erwartende Resultat.
@@ Zeile 38: / Zeile 45: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
 *L&ouml;sen Sie die Aufgaben so weit wie m&ouml;glich allgemein.
-*Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte  $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$.
+*Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte&nbsp;  $p_{\rm B} = 10^{-3}$&nbsp; und&nbsp; $N = 10^{5}$.
 *Nachfolgend finden Sie einige Werte der sogenannten Q-Funktion:
 :$$\rm Q(\rm 1.00)=\rm 0.159,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.65)=\rm 0.050,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.96)=\rm 0.025,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 2.59)=\rm 0.005.$$
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 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-- Für $n_{\rm B}$ sind alle Werte $(0$, ... , $N)$ gleichwahrscheinlich.
+- Für&nbsp; $n_{\rm B}$&nbsp; sind alle Werte&nbsp; $(0$, ... , $N)$&nbsp; gleichwahrscheinlich.
-+ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $n_{\rm B}$ ist binomialverteilt.
++ Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $n_{\rm B}$&nbsp; ist binomialverteilt.
-+ Mit $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$ ergibt sich ${\rm E}\big[n_{\rm B}\big] = 100$.
++ Mit&nbsp; $p_{\rm B} = 10^{-3}$&nbsp; und&nbsp; $N = 10^{5}$&nbsp; ergibt sich&nbsp; ${\rm E}\big[n_{\rm B}\big] = 100$.
-{Wie gro&szlig; ist die Streuung der Zufallsgr&ouml;&szlig;e $n_{\rm B}$ für $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$?
+{Wie gro&szlig; ist die Streuung der Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $n_{\rm B}$&nbsp; für&nbsp; $p_{\rm B} = 10^{-3}$&nbsp; und&nbsp; $N = 10^{5}$?
 |type="{}"}
 $\sigma_{n{\rm B}} \ = \ $  { 10 3% }
-{Welche Werte kann die Bitfehlerquote $h_{\rm B}$ annehmen? Zeigen Sie, dass der lineare Mittelwert $m_{h{\rm B}}$ dieser Zufallsgröße gleich der tats&auml;chlichen Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ ist. Wie gro&szlig; ist deren Streuung?
+{Welche Werte kann die Bitfehlerquote&nbsp; $h_{\rm B}$&nbsp; annehmen?&nbsp; <br>Zeigen Sie, dass der lineare Mittelwert&nbsp; $m_{h{\rm B}}$&nbsp; dieser Zufallsgröße gleich der tats&auml;chlichen Bitfehlerwahrscheinlichkeit&nbsp; $p_{\rm B}$&nbsp; ist.&nbsp; Wie gro&szlig; ist deren Streuung?
 |type="{}"}
 $\sigma_{h{\rm B}} \ =  \ $ { 0.0001 3% }
-{Unter gewissen Voraussetzungen kann eine binomialverteilte Zufallsgr&ouml;&szlig;e durch eine Gau&szlig;verteilung mit gleichem Mittelwert  $(m_{h{\rm B}})$ und gleicher Streuung $(\sigma_{h{\rm B}})$ angen&auml;hert werden. Welche Aussage ist zutreffend?
+{Unter gewissen Voraussetzungen kann eine binomialverteilte Zufallsgr&ouml;&szlig;e durch eine Gau&szlig;verteilung mit gleichem Mittelwert&nbsp;  $(m_{h{\rm B}})$&nbsp; und gleicher Streuung&nbsp; $(\sigma_{h{\rm B}})$&nbsp; angen&auml;hert werden.&nbsp; Welche Aussage ist zutreffend?
 |type="()"}
-+ ${\rm Pr}(|h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)=1- 2\cdot \rm Q({\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}).$
++ ${\rm Pr}(\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}h_{\rm B} - p_{\rm B}\hspace{0.05cm}| \le \varepsilon)=1- 2\cdot \rm Q({\varepsilon}/{\sigma_{{\it h}{\rm B}}}).$
-- ${\rm Pr}(|h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)=1- \rm Q({\varepsilon}/{2\cdot \sigma_{h{\rm B}}}).$
+- ${\rm Pr}(\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}h_{\rm B} - p_{\rm B}\hspace{0.05cm}| \le \varepsilon)=1- \rm Q({\varepsilon}/{2\cdot \sigma_{{\it h}{\rm B}}}).$
-{Zur Abk&uuml;rzung verwenden wir das Konfidenzniveau $p_\varepsilon = {\rm Pr}(|h_{\rm B} - p_{\rm B}| \le \varepsilon)$. <br>Welches   $p_\varepsilon$ ergibt sich mit $\varepsilon = 10^{-4}$, $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$?
+{Zur Abk&uuml;rzung verwenden wir das Konfidenzniveau&nbsp; $p_\varepsilon = {\rm Pr}(\hspace{0.05cm}|\hspace{0.05cm}h_{\rm B} - p_{\rm B}\hspace{0.05cm}| \le \varepsilon)$.&nbsp; Welches&nbsp;   $p_\varepsilon$&nbsp; ergibt sich mit&nbsp; $\varepsilon = 10^{-4}$,&nbsp; $p_{\rm B} = 10^{-3}$&nbsp; und&nbsp; $N = 10^{5}$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $p_\varepsilon \ =  \ $ { 0.684 3% }
-{Das Argument der Q-Funktion sei $\alpha$. Wie gro&szlig; muss  $\alpha$ mindestens gew&auml;hlt werden, damit das Konfidenzniveau  $p_\varepsilon =  95\%$ betr&auml;gt?
+{Das Argument der Q-Funktion sei&nbsp; $\alpha$.&nbsp; Wie gro&szlig; muss&nbsp;  $\alpha$&nbsp; mindestens gew&auml;hlt werden, damit das Konfidenzniveau&nbsp;  $p_\varepsilon =  95\%$&nbsp; betr&auml;gt&nbsp;?
 |type="{}"}
 $\alpha_{\rm min} \ =  \ $ { 1.96 3% }
-{Es gelte weiterhin $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $p_\varepsilon =  95\%$ &Uuml;ber wie viele Symbole muss man mindestens gemittelt werden, damit die ermittelte Bitfehlerquote im Bereich zwischen $0.9 \cdot 10^{-3}$ und $1.1 \cdot 10^{-3}$ liegt $(\varepsilon = 10^{-4}, \text{10% vom Sollwert)}$?
+{Es gelte weiterhin&nbsp; $p_{\rm B} = 10^{-3}$&nbsp; und&nbsp; $p_\varepsilon =  95\%$. &nbsp; &Uuml;ber wie viele Symbole&nbsp;  $(N_\text{min})$&nbsp; muss mindestens gemittelt werden, <br>damit die ermittelte Bitfehlerquote im Bereich zwischen&nbsp; $0.9 \cdot 10^{-3}$&nbsp; und&nbsp; $1.1 \cdot 10^{-3}$&nbsp; liegt &nbsp; $(\varepsilon = 10^{-4}, \ \text{10% vom Sollwert)}$&nbsp;?
 |type="{}"}
 $N_\text{min} \ =  \ ${ 400000 3% }

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID128__Sto_A_3_7.png|right|Zur Verdeutlichung der Bitfehlerquote]]
+[[Datei:P_ID128__Sto_A_3_7.png|right|frame|Zur Verdeutlichung der Bitfehlerquote]]
 Wir betrachten ein bin&auml;res &Uuml;bertragungssystem mit
@@ Zeile 9: / Zeile 9: @@
 *der Sinkensymbolfolge $\langle v_\nu \rangle $.
-Der rechte Teil dieser Gleichung beschreibt eine Zeitmittelung und muss z.&nbsp;B. bei zeitvarianten Kan&auml;len stets angewandt werden. Ist dagegen die Fehlerwahrscheinlichkeit f&uuml;r alle Symbole gleich (was hier vorausgesetzt werden soll), so kann man die obige Gleichung wie folgt vereinfachen:
+Wichtigstes Beurteilungskriterium eines solchen Digitalsystems ist die <br>'''Bitfehlerwahrscheinlichkeit''' (englisch: <i>Bit Error Probability</i>).
-$$\it p_{\rm B} = \rm E[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)]=\rm E[\it e_{\nu} \rm ].$$
+*Mit dem Erwartungswert ${\rm E}\big[\text{ ...} \big]$ ist diese ist wie folgt definiert:
@@ Zeile 27: / Zeile 29: @@
 *Im Grenzfall $N \to \infty$ stimmt die relative H&auml;ufigkeit $h_{\rm B}$ mit der Wahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ &uuml;berein.
 *Hier soll nun die Frage gekl&auml;rt werden, mit welcher statistischen Unsicherheit bei endlichem <i>N</i> gerechnet werden muss.
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgröße]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
 *L&ouml;sen Sie die Aufgaben so weit wie m&ouml;glich allgemein. Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte  $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$.