Aufgaben:Aufgabe 3.7: Bitfehlerquote (BER) - Versionsgeschichte

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Zeile 141:		Zeile 141:

	[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^3.5 Gaußverteilte Zufallsgröße^]]		[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^3.5 Gaußverteilte Zufallsgröße^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.7:_Bit_Error_Rate_(BER)]]

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2026-02-27T13:59:46Z

Fix 2 split formula(s) (join $$...$$ across lines)

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Zeile 101:		Zeile 101:

	'''(2)'''  Für die Streuung der Binomialverteilung gilt mit guter Näherung:		'''(2)'''  Für die Streuung der Binomialverteilung gilt mit guter Näherung:
	:$$\sigma_{n{\rm B}}=\sqrt{N\cdot p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B}{\rm )}}		:$$\sigma_{n{\rm B}}=\sqrt{N\cdot p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B}{\rm )}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 10}.$$
	\hspace{0.15cm}\underline{\approx 10}.$$


Zeile 135:		Zeile 134:

	'''(7)'''  Es muss  $\alpha = \varepsilon/\sigma_{h{\rm B}}$  gelten.  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  '''(2)'''  folgt dann:		'''(7)'''  Es muss  $\alpha = \varepsilon/\sigma_{h{\rm B}}$  gelten.  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  '''(2)'''  folgt dann:
	:$$\frac{\varepsilon}{\sqrt{p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})/N}}\ge {\rm 2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}		:$$\frac{\varepsilon}{\sqrt{p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})/N}}\ge {\rm 2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm} N\ge \frac{\rm 4\cdot \it p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})}{\varepsilon^{\rm 2}}\approx \frac{\rm 4\cdot 10^{-3}}{10^{-8}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 400\hspace{0.08cm}000}.$$
	N\ge \frac{\rm 4\cdot \it p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})}{\varepsilon^{\rm 2}}\approx \frac{\rm 4\cdot 10^{-3}}{10^{-8}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 400\hspace{0.08cm}000}.$$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 2. Februar 2022 um 11:20 Uhr

2022-02-02T11:20:16Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Februar 2022, 13:20 Uhr
Zeile 93:		Zeile 93:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die <u>beiden letzten Aussagen</u> stimmen:		'''(1)'''  Die  <u>beiden letzten Aussagen</u>  stimmen:
	*Bezüglich der Zufallsgröße  $n_{\rm B}$  liegt der klassische Fall einer Binomialverteilung vor.		*Bezüglich der Zufallsgröße  $n_{\rm B}$  liegt der klassische Fall einer Binomialverteilung vor.
	*Es wird die Summe über  $N$  binäre Zufallsgrößen gebildet.		*Es wird die Summe über  $N$  binäre Zufallsgrößen gebildet.  Die möglichen Werte von  $n_{\rm B}$  liegen somit zwischen  $0$  und  $N$.
	*Die möglichen Werte von  $n_{\rm B}$  liegen somit zwischen  $0$  und  $N$.
	*Der lineare Mittelwert ergibt   $m_{n{\rm B}}=p_{\rm B}\cdot N=\rm 10^{-3}\cdot 10^{5}=\rm 100.$		*Der lineare Mittelwert ergibt   $m_{n{\rm B}}=p_{\rm B}\cdot N=\rm 10^{-3}\cdot 10^{5}=\rm 100.$

Zeile 116:		Zeile 115:


	'''(4)'''  Richtig ist <u>der erste Vorschlag</u>. Es gilt:		'''(4)'''  Richtig ist  <u>der erste Vorschlag</u>.  Es gilt:
	:$${\rm Pr}(h_{\rm B} > p_{\rm B} + \varepsilon)=\rm Q({\it\varepsilon}/{\it\sigma_{h{\rm B}}}),$$		:$${\rm Pr}(h_{\rm B} > p_{\rm B} + \varepsilon)=\rm Q({\it\varepsilon}/{\it\sigma_{h{\rm B}}}),$$
	:$$\rm Pr(\it h_{\rm B} < p_{\rm B} - \varepsilon {\rm )}=\rm Q(\it{\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}{\rm )}$$		:$$\rm Pr(\it h_{\rm B} < p_{\rm B} - \varepsilon {\rm )}=\rm Q(\it{\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}{\rm )}$$
Zeile 126:		Zeile 125:
	:$$p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q(\frac{\rm 10^{\rm -4}}{\rm 10^{\rm -4}} {\rm )}=\rm 1-\rm 2\cdot\rm Q(\rm 1)\hspace{0.15cm}\underline{\approx\rm 0.684}.$$		:$$p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q(\frac{\rm 10^{\rm -4}}{\rm 10^{\rm -4}} {\rm )}=\rm 1-\rm 2\cdot\rm Q(\rm 1)\hspace{0.15cm}\underline{\approx\rm 0.684}.$$

	In Worten:		In Worten:  Bestimmt man die Bitfehlerquote per Simulation über  $10^5$  Symbole,  so erhält man mit einem Konfidenzniveau von  $\underline{68.4\%}$  einen Wert zwischen  $0.9 \cdot 10^{-3}$  und  $1.1 \cdot 10^{-3}$,  wenn  $p_{\rm B} = 10^{-3}$  ist.
	*Bestimmt man die Bitfehlerquote per Simulation über  $10^5$  Symbole,
	*so erhält man mit einem Konfidenzniveau von  $\underline{68.4\%}$  einen Wert zwischen  $0.9 \cdot 10^{-3}$  und  $1.1 \cdot 10^{-3}$,
	*wenn  $p_{\rm B} = 10^{-3}$  ist.

Guenter am 2. Februar 2022 um 11:16 Uhr

2022-02-02T11:16:04Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Februar 2022, 13:16 Uhr
Zeile 38:		Zeile 38:
	Hinweise:		Hinweise:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
	*Lösen Sie die Aufgaben so weit wie möglich allgemein.		*Lösen Sie die Aufgaben so weit wie möglich allgemein.  Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte  $p_{\rm B} = 10^{-3}$  und  $N = 10^{5}$.
	*Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte  $p_{\rm B} = 10^{-3}$  und  $N = 10^{5}$.
	*Nachfolgend finden Sie einige Werte der sogenannten Q-Funktion:		*Nachfolgend finden Sie einige Werte der sogenannten Q-Funktion:
	:$$\rm Q(\rm 1.00)=\rm 0.159,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.65)=\rm 0.050,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.96)=\rm 0.025,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 2.59)=\rm 0.005.$$		:$$\rm Q(\rm 1.00)=\rm 0.159,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.65)=\rm 0.050,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.96)=\rm 0.025,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 2.59)=\rm 0.005.$$
Zeile 74:		Zeile 73:


	{Zur Abkürzung verwenden wir das Konfidenzniveau  $p_\varepsilon = {\rm Pr}(\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}h_{\rm B} - p_{\rm B}\hspace{0.05cm}\| \le \varepsilon)$.  Welches  $p_\varepsilon$  ergibt sich mit  $\varepsilon = 10^{-4}$,  $p_{\rm B} = 10^{-3}$  und  $N = 10^{5}$ ?		{Zur Abkürzung verwenden wir das Konfidenzniveau  $p_\varepsilon = {\rm Pr}(\hspace{0.05cm}\|\hspace{0.05cm}h_{\rm B} - p_{\rm B}\hspace{0.05cm}\| \le \varepsilon)$.  Welches  $p_\varepsilon$  ergibt sich mit  $\varepsilon = 10^{-4}$,   $p_{\rm B} = 10^{-3}$  und  $N = 10^{5}$ ?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_\varepsilon \ = \ $ { 0.684 3% }		$p_\varepsilon \ = \ $ { 0.684 3% }


	{Das Argument der Q-Funktion sei  $\alpha$.  Wie groß muss  $\alpha$  mindestens gewählt werden, damit das Konfidenzniveau  $p_\varepsilon = 95\%$  beträgt ?		{Das Argument der Q-Funktion sei  $\alpha$.  Wie groß muss  $\alpha$  mindestens gewählt werden,  damit das Konfidenzniveau  $p_\varepsilon = 95\%$  beträgt ?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\alpha_{\rm min} \ = \ $ { 1.96 3% }		$\alpha_{\rm min} \ = \ $ { 1.96 3% }

Guenter am 2. Februar 2022 um 10:25 Uhr

2022-02-02T10:25:44Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. Februar 2022, 12:25 Uhr
Zeile 13:		Zeile 13:


	$\rm (A)$  ~~Das wichtigste~~ Beurteilungskriterium ~~eines solchen Digitalsystems~~ ist		$\rm (A)$  Ein wichtiges Beurteilungskriterium ist die  '''Bitfehlerwahrscheinlichkeit'''  (englisch:   "Bit Error Probability").

	:die  '''Bitfehlerwahrscheinlichkeit'''  (englisch:   ~~<i>~~Bit Error Probability~~</i>~~).
	:*Mit dem Erwartungswert  ${\rm E}\big[\text{ ...} \big]$  ist diese ist wie folgt definiert:		:*Mit dem Erwartungswert  ${\rm E}\big[\text{ ...} \big]$  ist diese ist wie folgt definiert:
	::$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu} \rm )\big]=\rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1).$$		::$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu} \rm )\big]=\rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1).$$

	:*Der rechte Teil dieser Gleichung beschreibt eine Zeitmittelung; diese muss zum Beispiel bei zeitvarianten Kanälen stets angewandt werden.		:*Der rechte Teil dieser Gleichung beschreibt eine Zeitmittelung;  diese muss zum Beispiel bei zeitvarianten Kanälen stets angewandt werden.
	:*Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit für alle Symbole gleich (was hier vorausgesetzt wird), so kann man die obige Gleichung vereinfachen:		:*Ist die Fehlerwahrscheinlichkeit für alle Symbole gleich  (was hier vorausgesetzt wird),  so kann man die obige Gleichung vereinfachen:
	::$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\rm E\big[\it e_{\nu} \rm \big].$$		::$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\rm E\big[\it e_{\nu} \rm \big].$$

	:Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist eine ''A-priori-Kenngröße'', erlaubt also eine Vorhersage für das zu erwartende Resultat.		:*Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist eine  "A-priori-Kenngröße",  erlaubt also eine Vorhersage für das zu erwartende Resultat.


	$\rm (B)$  ~~Dagegen muss zur~~ messtechnischen Ermittlung der Übertragungsqualität ~~oder bei der Systemsimulation~~ auf		$\rm (B)$  Zur messtechnischen Ermittlung/Systemsimulation der Übertragungsqualität muss auf die   '''Bitfehlerquote'''  (englisch:  "Bit Error Rate")  übergegangen werden:
			:*Die Bitfehlerquote ist eine A-posteriori-Kenngröße,  die aus einem durchgeführten statistischem Experiment als  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Definition_der_Bitfehlerquote\|relative Häufigkeit]] abgeleitet wird:
	:die ~~vergleichbare ''A-posteriori-Kenngröße''~~  '''Bitfehlerquote'''  (englisch:   ~~<i>~~Bit Error Rate~~</i>~~)  übergegangen werden:
	::$$h_{\rm B}=\frac{n_{\rm B}}{N}=\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N} e_{\nu}.$$		::$$h_{\rm B}=\frac{n_{\rm B}}{N}=\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N} e_{\nu}.$$
			:* $n_{\rm B}$  gibt die Anzahl der aufgetretenen im Experiment Bitfehler an,  wenn insgesamt  $N$  Binärsymbole übertragen wurden.
	:*~~$h_{\rm B}$  ist eine  [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Definition_der_Bitfehlerquote\|relative Häufigkeit]]. ~~ $n_{\rm B}$  gibt die Anzahl der aufgetretenen Bitfehler an, wenn insgesamt  $N$  ~~Symbole (Bit)~~ übertragen wurden.		:*Im Grenzfall  $N \to \infty$  stimmt die relative Häufigkeit  $h_{\rm B}$  mit der Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  überein.  Hier soll nun die Frage geklärt werden, mit welcher statistischen Unsicherheit bei endlichem  $N$  gerechnet werden muss.

	:*Im Grenzfall  $N \to \infty$  stimmt die relative Häufigkeit  $h_{\rm B}$  mit der Wahrscheinlichkeit  $p_{\rm B}$  überein.
	:*Hier soll nun die Frage geklärt werden, mit welcher statistischen Unsicherheit bei endlichem  $N$  gerechnet werden muss.




Zeile 44:		Zeile 36:


	''Hinweise:''		Hinweise:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].

	*Lösen Sie die Aufgaben so weit wie möglich allgemein.		*Lösen Sie die Aufgaben so weit wie möglich allgemein.
	*Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte  $p_{\rm B} = 10^{-3}$  und  $N = 10^{5}$.		*Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte  $p_{\rm B} = 10^{-3}$  und  $N = 10^{5}$.

Guenter am 21. November 2019 um 16:31 Uhr

2019-11-21T16:31:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. November 2019, 18:31 Uhr
Zeile 121:		Zeile 121:
	*Für den Mittelwert erhält man:		*Für den Mittelwert erhält man:
	:$$m_{h{\rm B}}=m_{n{\rm B}}/N=p_{\rm B} = 10^{-3}.$$		:$$m_{h{\rm B}}=m_{n{\rm B}}/N=p_{\rm B} = 10^{-3}.$$


	*Die Streuung ergibt sich zu		*Die Streuung ergibt sich zu
	:$$\sigma_{h{\rm B}}=\frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}=\sqrt{\frac{ p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B}{\rm )}}{N}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm ~~10^{-4}~~}.$$		:$$\sigma_{h{\rm B}}=\frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}=\sqrt{\frac{ p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B}{\rm )}}{N}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 0.0001}.$$


	'''(4)'''  Richtig ist <u>der erste Vorschlag</u>. Es gilt:		'''(4)'''  Richtig ist <u>der erste Vorschlag</u>. Es gilt:
	:$${\rm Pr}(h_{\rm B} > p_{\rm B} + \varepsilon)=\rm Q({\it\varepsilon}/{\it\sigma_{h{\rm B}}}),~~\hspace{0.5cm}~~\rm Pr(\it h_{\rm B} < p_{\rm B} - \varepsilon {\rm )}=\rm Q(\it{\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}{\rm )}~~\hspace{0.5cm}~~\Rightarrow \hspace{0.5cm}\rm Pr(\it \|h_{\rm B} - p_{\rm B}\| \le \varepsilon \rm )=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q({\it \varepsilon}/{\it \sigma_{h{\rm B}}}).$$		:$${\rm Pr}(h_{\rm B} > p_{\rm B} + \varepsilon)=\rm Q({\it\varepsilon}/{\it\sigma_{h{\rm B}}}),$$
			:$$\rm Pr(\it h_{\rm B} < p_{\rm B} - \varepsilon {\rm )}=\rm Q(\it{\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}{\rm )}$$
			:$$\Rightarrow \hspace{0.5cm}\rm Pr(\it \|h_{\rm B} - p_{\rm B}\| \le \varepsilon \rm )=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q({\it \varepsilon}/{\it \sigma_{h{\rm B}}}).$$



	'''(5)'''  Man erhält mit den Zahlenwerten $\varepsilon = \sigma_{h{\rm B}} = 10^{-4}$:		'''(5)'''  Man erhält mit den Zahlenwerten  $\varepsilon = \sigma_{h{\rm B}} = 10^{-4}$:
	:$$p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q(\frac{\rm 10^{\rm -4}}{\rm 10^{\rm -4}} {\rm )}=\rm 1-\rm 2\cdot\rm Q(\rm 1)\hspace{0.15cm}\underline{\approx\rm 0.684}.$$		:$$p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q(\frac{\rm 10^{\rm -4}}{\rm 10^{\rm -4}} {\rm )}=\rm 1-\rm 2\cdot\rm Q(\rm 1)\hspace{0.15cm}\underline{\approx\rm 0.684}.$$

	~~Das heißt~~: Bestimmt man die Bitfehlerquote per Simulation über $10^5$ Symbole, so erhält man mit einem ~~<u>~~Konfidenzniveau von 68.4%~~</u>~~ einen Wert zwischen $0.9 \cdot 10^{-3}$ und $1.1 \cdot 10^{-3}$, wenn $p_{\rm B} = 10^{-3}$ ist.		In Worten:
			*Bestimmt man die Bitfehlerquote per Simulation über  $10^5$  Symbole,
			*so erhält man mit einem Konfidenzniveau von  $\underline{68.4\%}$  einen Wert zwischen  $0.9 \cdot 10^{-3}$  und  $1.1 \cdot 10^{-3}$,
			*wenn  $p_{\rm B} = 10^{-3}$  ist.



	'''(6)'''  Aus der Beziehung $p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot {\rm Q}(\alpha) = 0.95$ folgt direkt:		'''(6)'''  Aus der Beziehung  $p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot {\rm Q}(\alpha) = 0.95$  folgt direkt:
	:$$\alpha_{\rm min}=\rm Q^{\rm -1}\Big(\frac{\rm 1-\it p_{\varepsilon}}{\rm 2}\Big)=\rm Q^{\rm -1}(\rm 0.025)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.96}\hspace{0.15cm}{\approx\rm 2}.$$		:$$\alpha_{\rm min}=\rm Q^{\rm -1}\Big(\frac{\rm 1-\it p_{\varepsilon}}{\rm 2}\Big)=\rm Q^{\rm -1}(\rm 0.025)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.96}\hspace{0.15cm}{\approx\rm 2}.$$


	'''(7)'''  Es muss $\alpha = \varepsilon/\sigma_{h{\rm B}}$ gelten. Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' folgt dann:
			'''(7)'''  Es muss  $\alpha = \varepsilon/\sigma_{h{\rm B}}$  gelten.  Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  '''(2)'''  folgt dann:
	:$$\frac{\varepsilon}{\sqrt{p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})/N}}\ge {\rm 2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}		:$$\frac{\varepsilon}{\sqrt{p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})/N}}\ge {\rm 2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}
	N\ge \frac{\rm 4\cdot \it p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})}{\varepsilon^{\rm 2}}\approx \frac{\rm 4\cdot 10^{-3}}{10^{-8}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm ~~400000~~}.$$		N\ge \frac{\rm 4\cdot \it p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})}{\varepsilon^{\rm 2}}\approx \frac{\rm 4\cdot 10^{-3}}{10^{-8}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 400\hspace{0.08cm}000}.$$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 21. November 2019 um 16:21 Uhr

2019-11-21T16:21:05Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. November 2019, 18:21 Uhr
Zeile 104:		Zeile 104:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Die <u>beiden letzten Aussagen</u> stimmen:		'''(1)'''  Die <u>beiden letzten Aussagen</u> stimmen:
	*Bezüglich der Zufallsgröße $n_{\rm B}$ liegt der klassische Fall einer Binomialverteilung vor.		*Bezüglich der Zufallsgröße  $n_{\rm B}$  liegt der klassische Fall einer Binomialverteilung vor.
	*Es wird die Summe über $N$ binäre Zufallsgrößen gebildet.		*Es wird die Summe über  $N$  binäre Zufallsgrößen gebildet.
	*Die möglichen Werte von $n_{\rm B}$ liegen somit zwischen $0$ und $N$.		*Die möglichen Werte von  $n_{\rm B}$  liegen somit zwischen  $0$  und  $N$.
	*Der lineare Mittelwert ergibt   $m_{n{\rm B}}=p_{\rm B}\cdot N=\rm 10^{-3}\cdot 10^{5}=\rm 100.$		*Der lineare Mittelwert ergibt   $m_{n{\rm B}}=p_{\rm B}\cdot N=\rm 10^{-3}\cdot 10^{5}=\rm 100.$



Zeile 115:		Zeile 116:


	~~'''(3)'''  Mögliche Werte von $h_{\rm B}$ sind alle ganzzahligen Vielfachen von $1/N$. Diese liegen zwischen $0$ und $1$ liegen.~~

	Für den Mittelwert erhält man:		'''(3)'''  Mögliche Werte von  $h_{\rm B}$  sind alle ganzzahligen Vielfachen von  $1/N$.  Diese liegen alle zwischen  $0$  und  $1$.

			*Für den Mittelwert erhält man:
	:$$m_{h{\rm B}}=m_{n{\rm B}}/N=p_{\rm B} = 10^{-3}.$$		:$$m_{h{\rm B}}=m_{n{\rm B}}/N=p_{\rm B} = 10^{-3}.$$


	Die Streuung ergibt sich zu		*Die Streuung ergibt sich zu
	:$$\sigma_{h{\rm B}}=\frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}=\sqrt{\frac{ p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B}{\rm )}}{N}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 10^{-4}}.$$		:$$\sigma_{h{\rm B}}=\frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}=\sqrt{\frac{ p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B}{\rm )}}{N}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 10^{-4}}.$$

Guenter am 21. November 2019 um 16:14 Uhr

2019-11-21T16:14:17Z

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Guenter am 10. August 2018 um 09:15 Uhr

2018-08-10T09:15:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. August 2018, 11:15 Uhr
Zeile 104:		Zeile 104:

	'''(2)'''  Für die Streuung der Binomialverteilung gilt mit guter Näherung:		'''(2)'''  Für die Streuung der Binomialverteilung gilt mit guter Näherung:
	$$\sigma_{n{\rm B}}=\sqrt{N\cdot p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})}		:$$\sigma_{n{\rm B}}=\sqrt{N\cdot p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B}{\rm )}}
	\hspace{0.15cm}\underline{\approx 10}.$$		\hspace{0.15cm}\underline{\approx 10}.$$

	'''(3)'''  Mögliche Werte von $h_{\rm B}$ sind alle ganzzahligen Vielfachen von $1/N$. Diese liegen zwischen $0$ und $1$ liegen. Für den Mittelwert erhält man:
	$$m_{h{\rm B}}=m_{n{\rm B}}/N=p_{\rm B} = 10^{-3}.$$		'''(3)'''  Mögliche Werte von $h_{\rm B}$ sind alle ganzzahligen Vielfachen von $1/N$. Diese liegen zwischen $0$ und $1$ liegen.

			Für den Mittelwert erhält man:
			:$$m_{h{\rm B}}=m_{n{\rm B}}/N=p_{\rm B} = 10^{-3}.$$


	Die Streuung ergibt sich zu		Die Streuung ergibt sich zu
	$$\sigma_{h{\rm B}}=\frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}=\sqrt{\frac{p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B})}{N}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 10^{-4}}.$$		:$$\sigma_{h{\rm B}}=\frac{\sigma_{n{\rm B}}}{N}=\sqrt{\frac{ p_{\rm B}\cdot (\rm 1- \it p_{\rm B}{\rm )}}{N}}\hspace{0.15cm}\underline{\approx \rm 10^{-4}}.$$


	'''(4)'''  Richtig ist <u>der erste Vorschlag</u>. Es gilt:		'''(4)'''  Richtig ist <u>der erste Vorschlag</u>. Es gilt:
	$${\rm Pr}(h_{\rm B} > p_{\rm B} + \varepsilon)=\rm Q({\it\varepsilon}/{\it\sigma_{h{\rm B}}}),\hspace{0.5cm}\rm Pr(\it h_{\rm B} < p_{\rm B} - \varepsilon {\rm )}=\rm Q(\it{\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}{\rm )}\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\rm Pr(\it \|h_{\rm B} - p_{\rm B}\| \le \varepsilon \rm )=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q({\it \varepsilon}/{\it \sigma_{h{\rm B}}}).$$		:$${\rm Pr}(h_{\rm B} > p_{\rm B} + \varepsilon)=\rm Q({\it\varepsilon}/{\it\sigma_{h{\rm B}}}),\hspace{0.5cm}\rm Pr(\it h_{\rm B} < p_{\rm B} - \varepsilon {\rm )}=\rm Q(\it{\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}{\rm )}\hspace{0.5cm}\Rightarrow \hspace{0.5cm}\rm Pr(\it \|h_{\rm B} - p_{\rm B}\| \le \varepsilon \rm )=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q({\it \varepsilon}/{\it \sigma_{h{\rm B}}}).$$

	'''(5)'''  Man erhält mit den Zahlenwerten$\varepsilon = \sigma_{h{\rm B}} = 10^{-4}$:
	$$p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q(\frac{\rm 10^{\rm -4}}{\rm 10^{\rm -4}} {\rm )}=\rm 1-\rm 2\cdot\rm Q(\rm 1)\hspace{0.15cm}\underline{\approx\rm 0.684}.$$		'''(5)'''  Man erhält mit den Zahlenwerten $\varepsilon = \sigma_{h{\rm B}} = 10^{-4}$:
			:$$p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot \rm Q(\frac{\rm 10^{\rm -4}}{\rm 10^{\rm -4}} {\rm )}=\rm 1-\rm 2\cdot\rm Q(\rm 1)\hspace{0.15cm}\underline{\approx\rm 0.684}.$$

	Das heißt: Bestimmt man die Bitfehlerquote per Simulation über $10^5$ Symbole, so erhält man mit einem <u>Konfidenzniveau von 68.4%</u> einen Wert zwischen $0.9 \cdot 10^{-3}$ und $1.1 \cdot 10^{-3}$, wenn $p_{\rm B} = 10^{-3}$ ist.		Das heißt: Bestimmt man die Bitfehlerquote per Simulation über $10^5$ Symbole, so erhält man mit einem <u>Konfidenzniveau von 68.4%</u> einen Wert zwischen $0.9 \cdot 10^{-3}$ und $1.1 \cdot 10^{-3}$, wenn $p_{\rm B} = 10^{-3}$ ist.


	'''(6)'''  Aus der Beziehung $p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot {\rm Q}(\alpha) = 0.95$ folgt direkt:		'''(6)'''  Aus der Beziehung $p_{\varepsilon}=\rm 1-\rm 2\cdot {\rm Q}(\alpha) = 0.95$ folgt direkt:
	$$\alpha_{\rm min}=\rm Q^{\rm -1}\Big(\frac{\rm 1-\it p_{\varepsilon}}{\rm 2}\Big)=\rm Q^{\rm -1}(\rm 0.025)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.96}\hspace{0.15cm}{\approx\rm 2}.$$		:$$\alpha_{\rm min}=\rm Q^{\rm -1}\Big(\frac{\rm 1-\it p_{\varepsilon}}{\rm 2}\Big)=\rm Q^{\rm -1}(\rm 0.025)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 1.96}\hspace{0.15cm}{\approx\rm 2}.$$


	'''(7)'''  Es muss $\alpha = \varepsilon/\sigma_{h{\rm B}}$ gelten. Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) folgt dann:		'''(7)'''  Es muss $\alpha = \varepsilon/\sigma_{h{\rm B}}$ gelten. Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' folgt dann:
	$$\frac{\varepsilon}{\sqrt{p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})/N}}\ge {\rm 2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}		:$$\frac{\varepsilon}{\sqrt{p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})/N}}\ge {\rm 2} \hspace{0.5cm}\Rightarrow\hspace{0.5cm}
	N\ge \frac{\rm 4\cdot \it p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})}{\varepsilon^{\rm 2}}\approx \frac{\rm 4\cdot 10^{-3}}{10^{-8}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 400000}.$$		N\ge \frac{\rm 4\cdot \it p_{\rm B}\cdot(\rm 1-\it p_{\rm B})}{\varepsilon^{\rm 2}}\approx \frac{\rm 4\cdot 10^{-3}}{10^{-8}}\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 400000}.$$

Guenter am 10. August 2018 um 08:58 Uhr

2018-08-10T08:58:20Z

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	Wichtigstes Beurteilungskriterium eines solchen Digitalsystems ist die <br>'''Bitfehlerwahrscheinlichkeit''' (englisch: <i>Bit Error Probability</i>).		Wichtigstes Beurteilungskriterium eines solchen Digitalsystems ist die <br>'''Bitfehlerwahrscheinlichkeit''' (englisch:   <i>Bit Error Probability</i>).
	*Mit dem Erwartungswert ${\rm E}\big[\text{ ...} \big]$ ist diese ist wie folgt definiert:		*Mit dem Erwartungswert ${\rm E}\big[\text{ ...} \big]$ ist diese ist wie folgt definiert:
	:$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu} \rm )\big]=\rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1).$$		:$$\it p_{\rm B} = \rm E\big[\rm Pr(\it v_{\nu} \ne q_{\nu} \rm )\big]=\rm E\big[\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1)\big]=\lim_{{\it N}\to\infty}\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N}\rm Pr(\it e_{\nu}=\rm 1).$$
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	Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist eine A-priori-Kenngröße, erlaubt also eine Vorhersage für das zu erwartende Resultat. Dagegen muss zur messtechnischen Ermittlung der Übertragungsqualität oder bei der Systemsimulation auf die vergleichbare A-posteriori-Kenngröße '''Bitfehlerquote''' (englisch: <i>Bit Error Rate</i>) übergegangen werden:		Die Bitfehlerwahrscheinlichkeit ist eine A-priori-Kenngröße, erlaubt also eine Vorhersage für das zu erwartende Resultat.

			Dagegen muss zur messtechnischen Ermittlung der Übertragungsqualität oder bei der Systemsimulation auf die vergleichbare A-posteriori-Kenngröße '''Bitfehlerquote''' (englisch:   <i>Bit Error Rate</i>) übergegangen werden:
	:$$h_{\rm B}=\frac{n_{\rm B}}{N}=\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N} e_{\nu}.$$		:$$h_{\rm B}=\frac{n_{\rm B}}{N}=\frac{\rm 1}{\it N}\cdot\sum\limits_{\it \nu=\rm 1}^{\it N} e_{\nu}.$$

	~~Diese~~ ist eine [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Definition_der_Bitfehlerquote\|relative Häufigkeit]]~~, wobei~~ $n_{\rm B}$ die Anzahl der aufgetretenen Bitfehler ~~angibt~~, wenn insgesamt $N$ Symbole (Bit) übertragen wurden.		$h_{\rm B}$ ist eine [[Digitalsignalübertragung/Fehlerwahrscheinlichkeit_bei_Basisbandübertragung#Definition_der_Bitfehlerquote\|relative Häufigkeit]]. $n_{\rm B}$ gibt die Anzahl der aufgetretenen Bitfehler an, wenn insgesamt $N$ Symbole (Bit) übertragen wurden.

	*Im Grenzfall $N \to \infty$ stimmt die relative Häufigkeit $h_{\rm B}$ mit der Wahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ überein.		*Im Grenzfall $N \to \infty$ stimmt die relative Häufigkeit $h_{\rm B}$ mit der Wahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ überein.
	*Hier soll nun die Frage geklärt werden, mit welcher statistischen Unsicherheit bei endlichem ~~<i>~~N~~</i>~~ gerechnet werden muss.		*Hier soll nun die Frage geklärt werden, mit welcher statistischen Unsicherheit bei endlichem $N$ gerechnet werden muss.


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	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].

	*Lösen Sie die Aufgaben so weit wie möglich allgemein. Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$.		*Lösen Sie die Aufgaben so weit wie möglich allgemein.
			*Verwenden Sie zur Kontrolleingabe die Parameterwerte $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$.
	*Nachfolgend finden Sie einige Werte der sogenannten Q-Funktion:		*Nachfolgend finden Sie einige Werte der sogenannten Q-Funktion:
	:$$\rm Q(\rm 1.00)=\rm 0.159,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.65)=\rm 0.050,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.96)=\rm 0.025,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 2.59)=\rm 0.005.$$		:$$\rm Q(\rm 1.00)=\rm 0.159,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.65)=\rm 0.050,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 1.96)=\rm 0.025,\hspace{0.5cm}\rm Q(\rm 2.59)=\rm 0.005.$$




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	- Für $n_{\rm B}$ sind alle Werte $(0$, ... , $N)$ gleichwahrscheinlich.		- Für $n_{\rm B}$ sind alle Werte $(0$, ... , $N)$ gleichwahrscheinlich.
	+ Die Zufallsgröße $n_{\rm B}$ ist binomialverteilt.		+ Die Zufallsgröße $n_{\rm B}$ ist binomialverteilt.
	+ Mit $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$ ergibt sich ${\rm E}[n_{\rm B}] = 100$.		+ Mit $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$ ergibt sich ${\rm E}\big[n_{\rm B}\big] = 100$.


	{Wie groß ist die Streuung der Zufallsgröße $n_{\rm B}$ für $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$?		{Wie groß ist die Streuung der Zufallsgröße $n_{\rm B}$ für $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\sigma_{n{\rm B}} \ = $ { 10 3% }		$\sigma_{n{\rm B}} \ = \ $ { 10 3% }


	{Welche Werte kann die Bitfehlerquote $h_{\rm B}$ annehmen? Zeigen Sie, dass der lineare Mittelwert $m_{h{\rm B}}$ dieser Zufallsgröße gleich der tatsächlichen Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ ist. Wie groß ist deren Streuung?		{Welche Werte kann die Bitfehlerquote $h_{\rm B}$ annehmen? Zeigen Sie, dass der lineare Mittelwert $m_{h{\rm B}}$ dieser Zufallsgröße gleich der tatsächlichen Bitfehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm B}$ ist. Wie groß ist deren Streuung?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\sigma_{h{\rm B}} \ = $ { 0.0001 3% }		$\sigma_{h{\rm B}} \ = \ $ { 0.0001 3% }


	{Unter gewissen Voraussetzungen kann eine binomialverteilte Zufallsgröße durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert $(m_{h{\rm B}})$ und gleicher Streuung $(\sigma_{h{\rm B}})$ angenähert werden. Welche Aussage ist zutreffend?		{Unter gewissen Voraussetzungen kann eine binomialverteilte Zufallsgröße durch eine Gaußverteilung mit gleichem Mittelwert $(m_{h{\rm B}})$ und gleicher Streuung $(\sigma_{h{\rm B}})$ angenähert werden. Welche Aussage ist zutreffend?
	\|type="[]"}		\|type="()"}
	+ ${\rm Pr}(\|h_{\rm B} - p_{\rm B}\| \le \varepsilon)=1- 2\cdot \rm Q({\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}).$		+ ${\rm Pr}(\|h_{\rm B} - p_{\rm B}\| \le \varepsilon)=1- 2\cdot \rm Q({\varepsilon}/{\sigma_{h{\rm B}}}).$
	- ${\rm Pr}(\|h_{\rm B} - p_{\rm B}\| \le \varepsilon)=1- \rm Q({\varepsilon}/{2\cdot \sigma_{h{\rm B}}}).$		- ${\rm Pr}(\|h_{\rm B} - p_{\rm B}\| \le \varepsilon)=1- \rm Q({\varepsilon}/{2\cdot \sigma_{h{\rm B}}}).$
Zeile 71:		Zeile 76:


	{Zur Abkürzung verwenden wir das Konfidenzniveau $p_\varepsilon = {\rm Pr}(\|h_{\rm B} - p_{\rm B}\| \le \varepsilon)$. Welches $p_\varepsilon$ ergibt sich mit $\varepsilon = 10^{-4}$, $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$?		{Zur Abkürzung verwenden wir das Konfidenzniveau $p_\varepsilon = {\rm Pr}(\|h_{\rm B} - p_{\rm B}\| \le \varepsilon)$. <br>Welches $p_\varepsilon$ ergibt sich mit $\varepsilon = 10^{-4}$, $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $N = 10^{5}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$p_\varepsilon \ = $ { 0.684 3% }		$p_\varepsilon \ = \ $ { 0.684 3% }


	{Das Argument der Q-Funktion sei $\alpha$. Wie groß muss $\alpha$ mindestens gewählt werden, damit das Konfidenzniveau $p_\varepsilon = 95\%$ beträgt?		{Das Argument der Q-Funktion sei $\alpha$. Wie groß muss $\alpha$ mindestens gewählt werden, damit das Konfidenzniveau $p_\varepsilon = 95\%$ beträgt?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	~~$p_\varepsilon = 95\%$:    ~~ $\alpha_{\rm min} \ = $ { 1.96 3% }		$\alpha_{\rm min} \ = \ $ { 1.96 3% }


	{Es gelte weiterhin $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $p_\varepsilon = 95\%$ Über wie viele Symbole muss man mindestens gemittelt werden, damit die ermittelte Bitfehlerquote im Bereich zwischen $0.9 \cdot 10^{-3}$ und $1.1 \cdot 10^{-3}$ liegt $(\varepsilon = 10^{-4}, \text{10% vom Sollwert)}$?		{Es gelte weiterhin $p_{\rm B} = 10^{-3}$ und $p_\varepsilon = 95\%$ Über wie viele Symbole muss man mindestens gemittelt werden, damit die ermittelte Bitfehlerquote im Bereich zwischen $0.9 \cdot 10^{-3}$ und $1.1 \cdot 10^{-3}$ liegt $(\varepsilon = 10^{-4}, \text{10% vom Sollwert)}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$N_\text{min} \ = ${ 400000 3% }		$N_\text{min} \ = \ ${ 400000 3% }