Aufgaben:Aufgabe 3.6Z: Prüfungskorrektur - Versionsgeschichte

Guenter am 1. Februar 2022 um 15:15 Uhr

2022-02-01T15:15:54Z

Guenter am 1. Februar 2022 um 15:09 Uhr

2022-02-01T15:09:44Z

Guenter am 21. November 2019 um 15:45 Uhr

2019-11-21T15:45:19Z

Guenter am 21. November 2019 um 15:30 Uhr

2019-11-21T15:30:49Z

Guenter am 10. August 2018 um 08:11 Uhr

2018-08-10T08:11:32Z

Guenter am 10. August 2018 um 07:50 Uhr

2018-08-10T07:50:52Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:53Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T13:36:15Z

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Guenter am 13. März 2017 um 14:16 Uhr

2017-03-13T14:16:04Z

Guenter am 13. März 2017 um 13:55 Uhr

2017-03-13T13:55:18Z

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-''Hinweise:''
+Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
 *Gerade im Schulbereich wird die&nbsp; &bdquo;Gaußverteilung&rdquo;&nbsp;  oft als&nbsp;  &bdquo;Normalverteilung&rdquo;&nbsp; bezeichnet.&nbsp; Dies ist nicht ganz korrekt:
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
+'''(1)'''&nbsp;  Richtig sind&nbsp; <u>die Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
 *Nach dem zentralen Grenzwertsatz erh&auml;lt man f&uuml;r die Summe vieler unabh&auml;ngiger Gr&ouml;&szlig;en eine Gau&szlig;verteilung.
 *Im Umkehrschluss ergibt sich bei nur wenigen und dazu noch abh&auml;ngigen Aufgaben keine Gaußverteilung.
-*Eine einzige Ja/Nein-Frage f&uuml;hrt zu einer Zweipunktverteilung&nbsp; $(0$ Punkte oder Maximalpunktzahl$)$.
+*Eine einzige Ja/Nein-Frage f&uuml;hrt zu einer Zweipunktverteilung&nbsp; $(0$&nbsp; Punkte oder Maximalpunktzahl$)$.
 *Auch bei Einhaltung dieser Gebote wird man bei sehr wenigen Teilnehmern nicht mit einer Gaußverteilung rechnen k&ouml;nnen.
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 '''(3)'''&nbsp; Mit weniger als&nbsp; $46$&nbsp; Punkten hat man die Pr&uuml;fung nicht bestanden:
 :$$\rm Pr(\it z<\rm 46)=\rm Pr(\it z \le \rm 46)=\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 46-60}{\rm 10}\Bigg)=\rm \phi(\rm -1.4)=\rm Q(\rm 1.4)=\rm 0.0807.$$
-*Also m&uuml;ssen wohl <u>81 Studenten nochmals antreten</u>.
+*Also m&uuml;ssen wohl&nbsp; <u>81 Studenten nochmals antreten</u>.
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 '''(4)'''&nbsp; Die Punktedifferenz&nbsp; $82 - 46 = 36$&nbsp; muss auf neun Notenstufen&nbsp; $(1.3$, ... , $4.0)$&nbsp; aufgeteilt werden.
 *Jedes Intervall umfasst somit&nbsp; $4$&nbsp; Punkte.
-*Beispielsweise erh&auml;lt man die Note &bdquo;3.0&rdquo;, wenn man&nbsp; $58$&nbsp; bis&nbsp; $62$&nbsp; Punkte erreicht.
+*Beispielsweise erh&auml;lt man die Note &bdquo;3.0&rdquo;,&nbsp; wenn man&nbsp; $58$&nbsp; bis&nbsp; $62$&nbsp; Punkte erreicht.
-*Die Wahrscheinlichkeit, dass die Punktzahl in diesem Bereich liegt, ergibt sich zu
+*Die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass die Punktzahl in diesem Bereich liegt,&nbsp; ergibt sich zu
 :$$\rm Pr(\rm 58 <\it z<\rm 62)=\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 62-60}{\rm 10}\Bigg)-\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 58-60}{\rm 10}\Bigg).$$
+*Unter Ausnutzung der Symmetrie erh&auml;lt man:
 :$$\rm Pr(\rm 58 <\it z<\rm 62) = \rm \phi(\rm 0.2)-\rm \phi(\rm -0.2) = \rm 0.5792-\rm 0.4207=0.1587\hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{(159 \hspace{0.1cm}\rm Teilnehmer)}.$$
-''Anmerkungen:''
+Anmerkungen:
-*$z$&nbsp; ist als kontinuierliche Zufallsgröße aufzufassen. Deshalb ist die Punktzahl&nbsp; $62$&nbsp; gleichzeitig die obere Grenze für den &bdquo;3.0&rdquo;&ndash;Bereich als auch die untere Grenze für die Note &bdquo;2.7&rdquo; ist.
+*$z$&nbsp; ist als kontinuierliche Zufallsgröße aufzufassen.&nbsp; Deshalb ist die Punktzahl&nbsp; $62$&nbsp; gleichzeitig die obere Grenze für den &bdquo;3.0&rdquo;&ndash;Bereich als auch die untere Grenze für die Note &bdquo;2.7&rdquo;.
-*Wäre&nbsp; $z$&nbsp; nur ganzzahlig, so müsste&nbsp; $62$&nbsp; je nach Stimmung des Korrektors  entweder der Note &bdquo;2.7&rdquo; oder der Note &bdquo;3.0&rdquo; zugeordnet werden.&nbsp; Natürlich müsste das bei allen Prüflingen in gleicher Weise gemacht werden.
+*Wäre&nbsp; $z$&nbsp; nur ganzzahlig,&nbsp; so müsste&nbsp; $62$&nbsp; je nach Stimmung des Korrektors  entweder der Note &bdquo;2.7&rdquo; oder der Note &bdquo;3.0&rdquo; zugeordnet werden.&nbsp; Natürlich müsste das bei allen Prüflingen in gleicher Weise gemacht werden.
@@ Zeile 112: / Zeile 111: @@
 :$$\rm Pr(\rm 54 <\it z<\rm 58)=\rm \phi(-\rm 0.2)-\rm \phi(-\rm 0.6)= \rm Q(\rm 0.2)-\rm Q(\rm 0.6)=\rm 0.1465.$$
-*Also erhalten <u>je 146 Teilnehmer die Note &bdquo;2.7&rdquo; bzw. &bdquo;3.3&rdquo;</u>.
+*Also erhalten &nbsp; <u>je 146 Teilnehmer die Note &bdquo;2.7&rdquo; bzw. &bdquo;3.3&rdquo;</u>.
-'''(6)'''&nbsp; Mit der hier getroffenen Punkte&ndash;Noten&ndash;Zuordnung sind nicht nur die Punkte um&nbsp; $m_z = 60$&nbsp; symmetrisch verteilt, sondern auch die Noten um&nbsp; „3.0“.&nbsp; Es gibt
+'''(6)'''&nbsp; Mit der hier getroffenen Punkte&ndash;Noten&ndash;Zuordnung sind nicht nur die Punkte um&nbsp; $m_z = 60$&nbsp; symmetrisch verteilt,&nbsp; sondern auch die Noten um&nbsp; „3.0“.&nbsp; Es gibt
 *genau so viele „2.7“ wie „3.3“&nbsp; $($um&nbsp; $±0.3$&nbsp; von&nbsp; $3.0$&nbsp; entfernt$)$,
 *genau so viele „2.3“ wie „3.7“&nbsp; $(3.0 ±0.7)$, und
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-Deshalb ergibt sich die $\rm Mittelnote \hspace{0.15cm}\underline{  3.0}$.
+Deshalb ergibt sich die &nbsp; $\rm Mittelnote \hspace{0.15cm}\underline{  3.0}$.
 {{ML-Fuß}}

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 Weiter ist bei der Aufgabe zu berücksichtigen:
 *Die maximal erreichbare Punktzahl beträgt&nbsp; $100$.&nbsp; Der beste Student erreichte&nbsp; $88$&nbsp; Punkte.
-*Aufgrund der relativ gro&szlig;en Teilnehmerzahl ergibt sich f&uuml;r die erreichte Punktzahl &ndash; dies sei die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $z$&nbsp; &ndash; mit guter N&auml;herung eine&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|Gau&szlig;verteilung]]&nbsp; mit Mittelwert&nbsp; $m_z = 60$&nbsp; und Streuung (Standardabweichung)&nbsp; $\sigma_z = 10$.
+*Aufgrund der relativ gro&szlig;en Teilnehmerzahl ergibt sich f&uuml;r die erreichte Punktzahl&nbsp; &ndash; dies sei die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $z$&nbsp; &ndash;&nbsp; mit guter N&auml;herung eine&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|Gau&szlig;verteilung]]&nbsp; mit Mittelwert&nbsp; $m_z = 60$&nbsp; und Streuung&nbsp;  (Standardabweichung)&nbsp; $\sigma_z = 10$.
-*Bei der Korrektur wurden nicht nur ganze Punktzahlen vergeben, sondern auch (beliebige) Zwischenwerte, so dass man die Zufallsgröße&nbsp; $z$&nbsp; mit guter N&auml;herung als &bdquo;kontinuierlich&rdquo; auffassen kann.
+*Bei der Korrektur wurden nicht nur ganze Punktzahlen vergeben,&nbsp; sondern auch&nbsp; (beliebige)&nbsp; Zwischenwerte,&nbsp; so dass man die Zufallsgröße&nbsp; $z$&nbsp; mit guter N&auml;herung als &bdquo;kontinuierlich&rdquo; auffassen kann.
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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
 *Gerade im Schulbereich wird die&nbsp; &bdquo;Gaußverteilung&rdquo;&nbsp;  oft als&nbsp;  &bdquo;Normalverteilung&rdquo;&nbsp; bezeichnet.&nbsp; Dies ist nicht ganz korrekt:
-*Eine normalverteilte Zufallsgröße&nbsp; $z$&nbsp; hat zwar eine Gaußsche WDF und VTF,&nbsp; jedoch stets mit Mittelwert&nbsp; $m_z = 0$&nbsp; und Streuung&nbsp; $\sigma_z = 1$.
+: &nbsp; &nbsp; Eine normalverteilte Zufallsgröße&nbsp; $z$&nbsp; hat zwar eine Gaußsche WDF und VTF,&nbsp; jedoch stets mit Mittelwert&nbsp; $m_z = 0$&nbsp; und Streuung&nbsp; $\sigma_z = 1$.
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 <quiz display=simple>
-{Welche Kriterien sind bei der Aufgabenerstellung zu beachten, damit die Punktezahl  &bdquo;etwa eine Normalverteilung&rdquo; ergeben wird?
+{Welche Kriterien sind bei der Aufgabenerstellung zu beachten,&nbsp; damit die Punktezahl  &bdquo;etwa eine Normalverteilung&rdquo; ergeben wird?
 |type="[]"}
 + Es gibt viele Pr&uuml;fungsteilnehmer.
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-{Wieviele Teilnehmer werden die Prüfung  wohl nicht bestehen?&nbsp; Ber&uuml;cksichtigen Sie, dass man&nbsp; $z$&nbsp; als kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e auffassen kann.
+{Wieviele Teilnehmer werden die Prüfung  wohl nicht bestehen?&nbsp; Ber&uuml;cksichtigen Sie,&nbsp; dass man&nbsp; $z$&nbsp; als kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e auffassen kann.
 |type="{}"}
 $N_\text{4.3 ... 5.0}  \ =  \ $ { 81 3% }
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-{Wieviele Teilnehmer erhalten voraussichtlich die Note „2.7“?&nbsp; Begründen Sie, warum genau so viele Prüflinge die Note „3.3“ bekommen werden.
+{Wieviele Teilnehmer erhalten voraussichtlich die Note „2.7“?&nbsp; Begründen Sie,&nbsp; warum genau so viele Prüflinge die Note „3.3“ bekommen werden.
 |type="{}"}
 $N_\text{2.7}  \ =  \ $ { 146 3% }

@@ Zeile 72: / Zeile 72: @@
 *Nach dem zentralen Grenzwertsatz erh&auml;lt man f&uuml;r die Summe vieler unabh&auml;ngiger Gr&ouml;&szlig;en eine Gau&szlig;verteilung.
 *Im Umkehrschluss ergibt sich bei nur wenigen und dazu noch abh&auml;ngigen Aufgaben keine Gaußverteilung.
-*Eine einzige Ja/Nein-Frage f&uuml;hrt zu einer Zweipunktverteilung (0 Punkte oder Maximalpunktzahl).
+*Eine einzige Ja/Nein-Frage f&uuml;hrt zu einer Zweipunktverteilung&nbsp; $(0$ Punkte oder Maximalpunktzahl$)$.
-*Auch bei Einhaltung dieser Gebote wird man bei sehr wenigen Teilnehmern nicht mit einer &bdquo;Normalverteilung&rdquo; rechnen k&ouml;nnen.
+*Auch bei Einhaltung dieser Gebote wird man bei sehr wenigen Teilnehmern nicht mit einer Gaußverteilung rechnen k&ouml;nnen.
 '''(2)'''&nbsp; Man bekommt eine &bdquo;1.0&rdquo; mit $82$ Punkten oder mehr. Deshalb gilt mit Mittelwert $m_z = 60$ und Streuung  $\sigma_z = 10$:
 :$$\rm Pr(\it z\ge \rm 82)=\rm Q\Bigg(\frac{\rm 82-60}{\rm 10}\Bigg)=\rm Q(\rm 2.2)
 \hspace{0.15cm}{=\rm 0.0139}.$$
-Bei tausend Teilnehmern folgt daraus $N_\text{1.0}\hspace{0.15cm}\underline{= 14}$.
+*Bei tausend Teilnehmern folgt daraus&nbsp; $N_\text{1.0}\hspace{0.15cm}\underline{= 14}$.
 '''(3)'''&nbsp; Mit weniger als $46$ Punkten hat man die Pr&uuml;fung nicht bestanden:
 :$$\rm Pr(\it z<\rm 46)=\rm Pr(\it z \le \rm 46)=\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 46-60}{\rm 10}\Bigg)=\rm \phi(\rm -1.4)=\rm Q(\rm 1.4)=\rm 0.0807.$$
-Also m&uuml;ssen wohl <u>81 Studenten nochmals antreten</u>.
+*Also m&uuml;ssen wohl <u>81 Studenten nochmals antreten</u>.
 '''(4)'''&nbsp; Die Punktedifferenz $82 - 46 = 36$ muss auf neun Notenstufen (1.3, ... , 4.0) aufgeteilt werden.
-*Jedes Intervall umfasst somit $4$ Punkte.
+'''(4)'''&nbsp; Die Punktedifferenz&nbsp; $82 - 46 = 36$&nbsp; muss auf neun Notenstufen&nbsp; $(1.3$, ... , $4.0)$&nbsp; aufgeteilt werden.
-*Beispielsweise erh&auml;lt man die Note &bdquo;, wenn man $58$ bis $62$ Punkte erreicht.
+*Jedes Intervall umfasst somit&nbsp; $4$&nbsp; Punkte.
 *Die Wahrscheinlichkeit, dass die Punktzahl in diesem Bereich liegt, ergibt sich zu
 :$$\rm Pr(\rm 58 <\it z<\rm 62)=\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 62-60}{\rm 10}\Bigg)-\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 58-60}{\rm 10}\Bigg).$$
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 ''Anmerkungen:''
-*$z$ ist als kontinuierliche Zufallsgröße aufzufassen. Deshalb ist die Punktzahl $62$ gleichzeitig die obere Grenze für den &bdquo;3.0&rdquo;&ndash;Bereich als auch die untere Grenze für die Note &bdquo;2.7&rdquo; ist.
+*$z$&nbsp; ist als kontinuierliche Zufallsgröße aufzufassen. Deshalb ist die Punktzahl&nbsp; $62$&nbsp; gleichzeitig die obere Grenze für den &bdquo;3.0&rdquo;&ndash;Bereich als auch die untere Grenze für die Note &bdquo;2.7&rdquo; ist.
-*Wäre $z$ nur ganzzahlig, so müsste $62$ je nach Stimmung des Korrektors  entweder der Note &bdquo;2.7&rdquo; oder der Note &bdquo;3.0&rdquo; zugeordnet werden.
+*Wäre&nbsp; $z$&nbsp; nur ganzzahlig, so müsste&nbsp; $62$&nbsp; je nach Stimmung des Korrektors  entweder der Note &bdquo;2.7&rdquo; oder der Note &bdquo;3.0&rdquo; zugeordnet werden.&nbsp; Natürlich müsste das bei allen Prüflingen in gleicher Weise gemacht werden.
 '''(5)'''&nbsp; Analog zur Musterl&ouml;sung der Teilaufgabe '''(4)''' gilt f&uuml;r die Note &bdquo;2.7&rdquo;:
 :$$\rm Pr(\rm 62 <\it z<\rm 66)=\rm \phi(\rm 0.6)-\rm \phi(\rm 0.2)=\rm 0.7257-\rm 0.5792=0.1465.$$
-Aus Symmetriegr&uuml;nden erh&auml;lt man f&uuml;r die Note &bdquo;3.3&rdquo; den gleichen Wert:
+*Aus Symmetriegr&uuml;nden erh&auml;lt man f&uuml;r die Note &bdquo;3.3&rdquo; den gleichen Wert:
 :$$\rm Pr(\rm 54 <\it z<\rm 58)=\rm \phi(-\rm 0.2)-\rm \phi(-\rm 0.6)= \rm Q(\rm 0.2)-\rm Q(\rm 0.6)=\rm 0.1465.$$
-Also erhalten <u>je 146 Teilnehmer die Note &bdquo;2.7&rdquo; bzw. &bdquo;3.3&rdquo;</u>.
+*Also erhalten <u>je 146 Teilnehmer die Note &bdquo;2.7&rdquo; bzw. &bdquo;3.3&rdquo;</u>.
-'''(6)'''&nbsp; Mit der hier getroffenen Punkte&ndash;Noten&ndash;Zuordnung sind nicht nur die Punkte um $m_z = 60$ symmetrisch verteilt, sondern auch die Noten um „3.0“. Es gibt
+'''(6)'''&nbsp; Mit der hier getroffenen Punkte&ndash;Noten&ndash;Zuordnung sind nicht nur die Punkte um&nbsp; $m_z = 60$&nbsp; symmetrisch verteilt, sondern auch die Noten um&nbsp; „3.0“.&nbsp; Es gibt
-*genau so viele „2.7“ wie „3.3“ (um $±0.3$ von $3.0$ entfernt),
+*genau so viele „2.7“ wie „3.3“&nbsp; $($um&nbsp; $±0.3$&nbsp; von&nbsp; $3.0$&nbsp; entfernt$)$,
-*genau so viele „2.3“ wie „3.7“ ($3.0 ±0.7$), und
+*genau so viele „2.3“ wie „3.7“&nbsp; $(3.0 ±0.7)$, und
 *genau so viele „1.0“ wie „5.0“.

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 }}
-[[Datei:P_ID148__Sto_Z_3_6.png|right|frame|Gaußsche Fehlerintegrale <br>${\rm \phi}(x)$ und ${\rm Q}(x)$]]
+[[Datei:P_ID148__Sto_Z_3_6.png|right|frame|Tabelle für &nbsp;${\rm \phi}(x)$&nbsp; und&nbsp; ${\rm Q}(x)$]]
-An einer Pr&uuml;fung an der TU M&uuml;nchen haben $1000$ Studentinnen und Studenten teilgenommen. Ab der Note &bdquo;4.0&rdquo; gilt die Pr&uuml;fung als bestanden. Die Pr&uuml;fungsordnung sieht folgende Noten vor:
+An einer Pr&uuml;fung an der TU M&uuml;nchen haben&nbsp; $1000$&nbsp; Studentinnen und Studenten teilgenommen.&nbsp; Ab der Note &bdquo;4.0&rdquo; gilt die Pr&uuml;fung als bestanden.&nbsp; Die Pr&uuml;fungsordnung sieht folgende Noten vor:
 :$$1.0, \ 1.3, \ 1.7, \ 2.0, \ 2.3, \ 2.7, \ 3.0, \ 3.3, \ 3.7, \ 4.0, \ 4.3, \ 4.7, \ 5.0.$$
 Weiter ist bei der Aufgabe zu berücksichtigen:
-*Die maximal erreichbare Punktzahl betrug $100$. Der beste Student erreichte $88$ Punkte.
+*Die maximal erreichbare Punktzahl beträgt&nbsp; $100$.&nbsp; Der beste Student erreichte&nbsp; $88$&nbsp; Punkte.
-*Aufgrund der relativ gro&szlig;en Teilnehmerzahl ergibt sich f&uuml;r die erreichte Punktzahl &ndash; dies sei die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $z$ &ndash; mit guter N&auml;herung eine [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|Gau&szlig;verteilung]] mit Mittelwert $m_z = 60$ und Streuung (Standardabweichung) $\sigma_z = 10$.
+*Aufgrund der relativ gro&szlig;en Teilnehmerzahl ergibt sich f&uuml;r die erreichte Punktzahl &ndash; dies sei die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $z$&nbsp; &ndash; mit guter N&auml;herung eine&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße#Wahrscheinlichkeitsdichte-_und_Verteilungsfunktion|Gau&szlig;verteilung]]&nbsp; mit Mittelwert&nbsp; $m_z = 60$&nbsp; und Streuung (Standardabweichung)&nbsp; $\sigma_z = 10$.
-*Bei der Korrektur wurden nicht nur ganze Punktezahlen vergeben, sondern auch (beliebige) Zwischenwerte, so dass man die Zufallsgröße $z$ mit guter N&auml;herung als &bdquo;kontinuierlich&rdquo; auffassen kann.
+*Bei der Korrektur wurden nicht nur ganze Punktzahlen vergeben, sondern auch (beliebige) Zwischenwerte, so dass man die Zufallsgröße&nbsp; $z$&nbsp; mit guter N&auml;herung als &bdquo;kontinuierlich&rdquo; auffassen kann.
 F&uuml;r die Bewertung werden als Richtlinien vorgegeben:
-*Auch mit sechs Punkten weniger als der Beste (ab $82$ Punkten) soll man &bdquo;1.0&rdquo; bekommen.
+*Auch mit sechs Punkten weniger als der Beste&nbsp; $($also ab&nbsp; $82$&nbsp; Punkten$)$&nbsp; soll man &bdquo;1.0&rdquo; bekommen.
-*Hat man $46\%$ der Gesamtpunktzahl erreicht, so hat man die Pr&uuml;fung bestanden.
+*Hat man&nbsp; $46\%$&nbsp; der Gesamtpunktzahl erreicht, so hat man die Pr&uuml;fung bestanden.
 *Die Punkte/Noten-Zuordnung soll linear erfolgen.
@@ Zeile 23: / Zeile 23: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
-*Gerade im Schulbereich wird die &bdquo;Gaußverteilung&rdquo;  oft als  &bdquo;Normalverteilung&rdquo; bezeichnet. Dies ist nicht ganz korrekt:
+*Gerade im Schulbereich wird die&nbsp; &bdquo;Gaußverteilung&rdquo;&nbsp;  oft als&nbsp;  &bdquo;Normalverteilung&rdquo;&nbsp; bezeichnet.&nbsp; Dies ist nicht ganz korrekt:
-*Eine normalverteilte Zufallsgröße $z$ hat zwar eine Gaußsche WDF und VTF, jedoch mit Mittelwert $m_z = 0$ und Streuung $\sigma_z = 1$.
+*Eine normalverteilte Zufallsgröße&nbsp; $z$&nbsp; hat zwar eine Gaußsche WDF und VTF,&nbsp; jedoch stets mit Mittelwert&nbsp; $m_z = 0$&nbsp; und Streuung&nbsp; $\sigma_z = 1$.
@@ Zeile 45: / Zeile 45: @@
-{Wieviele Teilnehmer werden die Prüfung  wohl nicht bestehen? <br>Ber&uuml;cksichtigen Sie, dass man $z$ als kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e auffassen kann.
+{Wieviele Teilnehmer werden die Prüfung  wohl nicht bestehen?&nbsp; Ber&uuml;cksichtigen Sie, dass man&nbsp; $z$&nbsp; als kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e auffassen kann.
 |type="{}"}
 $N_\text{4.3 ... 5.0}  \ =  \ $ { 81 3% }
-{Legen Sie die Punkte/Noten&ndash;Zuordnung fest. Ab wann bekommt man eine „3.0“? <br>Wieviele Pr&uuml;fungsteilnehmer werden diese Note erhalten?
+{Legen Sie die Punkte/Noten&ndash;Zuordnung fest.&nbsp; Ab wann bekommt man eine „3.0“?&nbsp; Wieviele Pr&uuml;fungsteilnehmer werden diese Note erhalten?
 |type="{}"}
 $N_\text{3.0} \ =  \ $ { 159 3% }
-{Wieviele Teilnehmer erhalten voraussichtlich die Note „2.7“? <br>Begründen Sie, warum genau so viele Prüflinge die Note „3.3“ bekommen werden.
+{Wieviele Teilnehmer erhalten voraussichtlich die Note „2.7“?&nbsp; Begründen Sie, warum genau so viele Prüflinge die Note „3.3“ bekommen werden.
 |type="{}"}
 $N_\text{2.7}  \ =  \ $ { 146 3% }
-{Welche Mittelnote wird sich bei dieser Pr&uuml;fung ergeben? <br>Ber&uuml;cksichtigen Sie zur L&ouml;sung dieser Teilaufgabe das Ergebnis von '''(5)'''.
+{Welche Mittelnote wird sich bei dieser Pr&uuml;fung ergeben?&nbsp; Ber&uuml;cksichtigen Sie zur L&ouml;sung dieser Teilaufgabe das Ergebnis von  Teilaufgabe&nbsp; '''(5)'''.
 |type="{}"}
 $\rm Mittelnote \ =  \ $ { 3 3% }

@@ Zeile 23: / Zeile 23: @@
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgröße]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
 *Gerade im Schulbereich wird die &bdquo;Gaußverteilung&rdquo;  oft als  &bdquo;Normalverteilung&rdquo; bezeichnet. Dies ist nicht ganz korrekt:
@@ Zeile 45: / Zeile 45: @@
-{Wieviele Teilnehmer werden die Prüfung  wohl nicht bestehen? Ber&uuml;cksichtigen Sie, dass man $z$ als kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e auffassen kann.
+{Wieviele Teilnehmer werden die Prüfung  wohl nicht bestehen? <br>Ber&uuml;cksichtigen Sie, dass man $z$ als kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e auffassen kann.
 |type="{}"}
 $N_\text{4.3 ... 5.0}  \ =  \ $ { 81 3% }
@@ Zeile 55: / Zeile 55: @@
-{Wieviele Teilnehmer erhalten voraussichtlich die Note „2.7“? Begründen Sie, warum genau so viele Prüflinge die Note „3.3“ bekommen werden.
+{Wieviele Teilnehmer erhalten voraussichtlich die Note „2.7“? <br>Begründen Sie, warum genau so viele Prüflinge die Note „3.3“ bekommen werden.
 |type="{}"}
 $N_\text{2.7}  \ =  \ $ { 146 3% }
@@ Zeile 73: / Zeile 73: @@
 *Im Umkehrschluss ergibt sich bei nur wenigen und dazu noch abh&auml;ngigen Aufgaben keine Gaußverteilung.
 *Eine einzige Ja/Nein-Frage f&uuml;hrt zu einer Zweipunktverteilung (0 Punkte oder Maximalpunktzahl).
-*Auch bei Einhaltung dieser Gebote wird man bei sehr wenigen Teilnehmern nicht mit einer &bdquo;Normalverteilung&bdquo; rechnen k&ouml;nnen.
+*Auch bei Einhaltung dieser Gebote wird man bei sehr wenigen Teilnehmern nicht mit einer &bdquo;Normalverteilung&rdquo; rechnen k&ouml;nnen.
 '''(2)'''&nbsp; Man bekommt eine &bdquo;1.0&rdquo; mit $82$ Punkten oder mehr. Deshalb gilt mit Mittelwert $m_z = 60$ und Streuung  $\sigma_z = 10$:
-$$\rm Pr(\it z\ge \rm 82)=\rm Q\Bigg(\frac{\rm 82-60}{\rm 10}\Bigg)=\rm Q(\rm 2.2)
+:$$\rm Pr(\it z\ge \rm 82)=\rm Q\Bigg(\frac{\rm 82-60}{\rm 10}\Bigg)=\rm Q(\rm 2.2)
 \hspace{0.15cm}{=\rm 0.0139}.$$
-Bei 1000 Teilnehmern folgt daraus <i>N</i><sub>1.0</sub> <u>= 14</u>.
+Bei tausend Teilnehmern folgt daraus $N_\text{1.0}\hspace{0.15cm}\underline{= 14}$.
 '''(3)'''&nbsp; Mit weniger als $46$ Punkten hat man die Pr&uuml;fung nicht bestanden:
-$$\rm Pr(\it z<\rm 46)=\rm Pr(\it z \le \rm 46)=\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 46-60}{\rm 10}\Bigg)=\rm \phi(\rm -1.4)=\rm Q(\rm 1.4)=\rm 0.0807.$$
+:$$\rm Pr(\it z<\rm 46)=\rm Pr(\it z \le \rm 46)=\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 46-60}{\rm 10}\Bigg)=\rm \phi(\rm -1.4)=\rm Q(\rm 1.4)=\rm 0.0807.$$
 Also m&uuml;ssen wohl <u>81 Studenten nochmals antreten</u>.
-'''(4)'''&nbsp; Die Punktedifferenz $82 - 46 = 36$ muss auf neun Notenstufen (1.3, ... , 4.0) aufgeteilt werden. Jedes Intervall umfasst somit $4$ Punkte. Beispielsweise erh&auml;lt man die Note &bdquo;, wenn man $58$ bis $62$ Punkte erreicht. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Punktzahl in diesem Bereich liegt, ergibt sich zu
+'''(4)'''&nbsp; Die Punktedifferenz $82 - 46 = 36$ muss auf neun Notenstufen (1.3, ... , 4.0) aufgeteilt werden.
-$$\rm Pr(\rm 58 <\it z<\rm 62)=\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 62-60}{\rm 10}\Bigg)-\rm \phi\Bigg(\frac{\rm 58-60}{\rm 10}\Bigg).$$
+*Jedes Intervall umfasst somit $4$ Punkte.
 Unter Ausnutzung der Symmetrie erh&auml;lt man:
-$$\rm Pr(\rm 58 <\it z<\rm 62) = \rm \phi(\rm 0.2)-\rm \phi(\rm -0.2) = \rm 0.5792-\rm 0.4207=0.1587\hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{(159 \hspace{0.1cm}\rm Teilnehmer)}.$$
+:$$\rm Pr(\rm 58 <\it z<\rm 62) = \rm \phi(\rm 0.2)-\rm \phi(\rm -0.2) = \rm 0.5792-\rm 0.4207=0.1587\hspace{0.2cm}\hspace{0.15cm}\underline{(159 \hspace{0.1cm}\rm Teilnehmer)}.$$
-'''(5)'''&nbsp; Analog zur Musterl&ouml;sung der Teilaufgabe (4) gilt f&uuml;r die Note &bdquo;2.7&rdquo;:
+'''(5)'''&nbsp; Analog zur Musterl&ouml;sung der Teilaufgabe '''(4)''' gilt f&uuml;r die Note &bdquo;2.7&rdquo;:
-$$\rm Pr(\rm 62 <\it z<\rm 66)=\rm \phi(\rm 0.6)-\rm \phi(\rm 0.2)=\rm 0.7257-\rm 0.5792=0.1465.$$
+:$$\rm Pr(\rm 62 <\it z<\rm 66)=\rm \phi(\rm 0.6)-\rm \phi(\rm 0.2)=\rm 0.7257-\rm 0.5792=0.1465.$$
 Aus Symmetriegr&uuml;nden erh&auml;lt man f&uuml;r die Note &bdquo;3.3&rdquo; den gleichen Wert:
-$$\rm Pr(\rm 54 <\it z<\rm 58)=\rm \phi(-\rm 0.2)-\rm \phi(-\rm 0.6)= \rm Q(\rm 0.2)-\rm Q(\rm 0.6)=\rm 0.1465.$$
+:$$\rm Pr(\rm 54 <\it z<\rm 58)=\rm \phi(-\rm 0.2)-\rm \phi(-\rm 0.6)= \rm Q(\rm 0.2)-\rm Q(\rm 0.6)=\rm 0.1465.$$
 Also erhalten <u>je 146 Teilnehmer die Note &bdquo;2.7&rdquo; bzw. &bdquo;3.3&rdquo;</u>.
-'''(6)'''&nbsp; Mit der hier getroffenen Punkte-/Notenzuordnung sind nicht nur die Punkte um $m_z = 60$ symmetrisch verteilt, sondern auch die Noten um „3.0“. Es gibt
-*genau so viele „2.7“ wie „3.3“ (um ±0.3 von 3.0 entfernt),
+'''(6)'''&nbsp; Mit der hier getroffenen Punkte&ndash;Noten&ndash;Zuordnung sind nicht nur die Punkte um $m_z = 60$ symmetrisch verteilt, sondern auch die Noten um „3.0“. Es gibt
-*genau so viele „2.3“ wie „3.7“ (3.0 ±0.7), und
+*genau so viele „2.7“ wie „3.3“ (um $±0.3$ von $3.0$ entfernt),
 *genau so viele „1.0“ wie „5.0“.
-Deshalb ergibt sich die <u>Mittelnote exakt zu 3.0</u>.
+Deshalb ergibt sich die $\rm Mittelnote \hspace{0.15cm}\underline{  3.0}$.
 {{ML-Fuß}}

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgröße]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Gerade im Schulbereich wird die &bdquo;Gaußverteilung&rdquo;  oft als  &bdquo;Normalverteilung&rdquo; bezeichnet. Dies ist nicht ganz korrekt: Eine normalverteilte Zufallsgröße $z$ hat zwar eine Gaußsche WDF und VTF, jedoch mit Mittelwert $m_z = 0$ und Streuung $\sigma_z = 1$.

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(kein Unterschied)

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 <quiz display=simple>
-{Welche Kriterien sind bei der Aufgabenerstellung unbedingt zu beachten, damit die Punktezahl annähernd eine &bdquo;Normalverteilung&rdquo; ergeben wird?
+{Welche Kriterien sind bei der Aufgabenerstellung unbedingt zu beachten, damit die Punktezahl etwa eine &bdquo;Normalverteilung&rdquo; ergeben wird?
 |type="[]"}
 + Es gibt viele Pr&uuml;fungsteilnehmer.
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-{Wieviele Teilnehmer werden die Prüfung  wohl nicht bestehen? Ber&uuml;cksichtigen Sie, dass $z$ als eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e aufgefasst werden kann.
+{Wieviele Teilnehmer werden die Prüfung  wohl nicht bestehen? Ber&uuml;cksichtigen Sie, dass man $z$ als kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e auffassen kann.
 |type="{}"}
 $N_\text{4.3 ... 5.0}  \ = $ { 81 3% }