Aufgaben:Aufgabe 3.6: Verrauschtes Gleichsignal - Versionsgeschichte

Guenter am 1. Februar 2022 um 14:40 Uhr

2022-02-01T14:40:27Z

Guenter am 1. Februar 2022 um 14:36 Uhr

2022-02-01T14:36:41Z

Guenter am 21. November 2019 um 15:20 Uhr

2019-11-21T15:20:06Z

Guenter am 21. November 2019 um 14:49 Uhr

2019-11-21T14:49:35Z

Guenter am 21. November 2019 um 14:48 Uhr

2019-11-21T14:48:02Z

Guenter am 10. August 2018 um 07:37 Uhr

2018-08-10T07:37:27Z

Guenter am 10. August 2018 um 07:20 Uhr

2018-08-10T07:20:56Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:53Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.6 Verrauschtes Gleichsignal nach Aufgaben:Aufgabe 3.6: Verrauschtes Gleichsignal

2018-01-03T13:35:55Z

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Guenter am 13. März 2017 um 13:04 Uhr

2017-03-13T13:04:35Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
-*Das Gleichsignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; ist nicht gleichverteilt, vielmehr besteht dessen WDF aus nur einer Diracfunktion bei&nbsp; $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; mit Gewicht&nbsp; $1$.
+*Das Gleichsignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; ist nicht gleichverteilt,&nbsp; vielmehr besteht dessen WDF aus nur einer Diracfunktion bei&nbsp; $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; mit Gewicht&nbsp; $1$.
 *Das Signal&nbsp; $n(t)$&nbsp; ist gau&szlig;verteilt und mittelwertfrei &nbsp; &rArr; &nbsp; $m_n = 0$.
-*Deshalb ist auch das Summensignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; gau&szlig;verteilt, aber nun mit Mittelwert&nbsp; $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.
+*Deshalb ist auch das Summensignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; gau&szlig;verteilt,&nbsp; aber nun mit Mittelwert&nbsp; $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.
 *Dieser r&uuml;hrt allein vom Gleichsignal&nbsp; $s(t) =  2\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; her.
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-'''(3)'''&nbsp; Die Verteilungsfunktion (VTF) einer Gaußschen Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $($Mittelwert&nbsp; $m_x$,&nbsp; Streuung $\sigma_x)$&nbsp; lautet mit dem Gau&szlig;schen Fehlerintegral:
+'''(3)'''&nbsp; Die Verteilungsfunktion (VTF) einer Gaußschen Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $($Mittelwert&nbsp; $m_x$,&nbsp; Streuung&nbsp; $\sigma_x)$&nbsp; lautet mit dem Gau&szlig;schen Fehlerintegral:
 :$$F_x(r)=\rm\phi(\it\frac{r-m_x}{\sigma_x}\rm ).$$
-*Die Verteilungsfunktion an der Stelle&nbsp; $r = 0\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; kleiner oder gleich&nbsp; $0\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; ist.
+*Die Verteilungsfunktion an der Stelle&nbsp; $r = 0\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; ist gleich der Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $x$&nbsp; kleiner oder gleich&nbsp; $0\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; ist.
-*Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt aber auch&nbsp; ${\rm Pr}(x \le r) = {\rm Pr}(x < r)$.
+*Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt aber auch &nbsp; ${\rm Pr}(x \le r) = {\rm Pr}(x < r)$.
 *Mit dem komplement&auml;ren Gau&szlig;schen Fehlerintegral erh&auml;lt man somit:
 :$$\rm Pr(\it x < \rm 0\,V)=\rm \phi(\rm \frac{-2\,V}{1\,V})=\rm Q(\rm 2)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.27\%}.$$
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-'''(5)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er ist als&nbsp; $3\hspace{0.05cm}\rm V$, ergibt sich zu
+'''(5)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er ist als&nbsp; $3\hspace{0.05cm}\rm V$,&nbsp; ergibt sich zu
 :$${\rm Pr}( x > 3\text{ V}) = 1- F_x(\frac{3\text{ V}-2\text{ V}}{1\text{ V}})=\rm Q(\rm 1)=\rm 0.1587.$$

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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
 *Verwenden Sie zur L&ouml;sung das&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit| komplement&auml;re Gau&szlig;sche Fehlerintegral]]&nbsp; ${\rm Q}(x)$.
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-{Berechnen Sie die Standardabweichung (Streuung) des Signals&nbsp; $x(t)$.
+{Berechnen Sie die Standardabweichung&nbsp; (Streuung)&nbsp; des Signals&nbsp; $x(t)$.
 |type="{}"}
 $\sigma_x \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm V$
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x(t) < 0\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; ist?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $x(t) < 0\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(x < 0\hspace{0.05cm}\rm V)\ =  \ $ { 2.27 3% } $\ \%$
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x(t) > 4\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; ist?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $x(t) > 4\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(x > 4\hspace{0.05cm}\rm V)\ =  \ $ { 2.27 3% } $\ \%$

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 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
-*Das Gleichsignal $s(t)$ ist nicht gleichverteilt, vielmehr besteht dessen WDF aus nur einer Diracfunktion bei $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ mit Gewicht $1$.
+*Das Gleichsignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; ist nicht gleichverteilt, vielmehr besteht dessen WDF aus nur einer Diracfunktion bei&nbsp; $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; mit Gewicht&nbsp; $1$.
-*Das Signal $n(t)$ ist gau&szlig;verteilt und mittelwertfrei &nbsp; &rArr; &nbsp; $m_n = 0$.
+*Das Signal&nbsp; $n(t)$&nbsp; ist gau&szlig;verteilt und mittelwertfrei &nbsp; &rArr; &nbsp; $m_n = 0$.
-*Deshalb ist auch das Summensignal $x(t)$ gau&szlig;verteilt, aber nun mit Mittelwert $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.
+*Deshalb ist auch das Summensignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; gau&szlig;verteilt, aber nun mit Mittelwert&nbsp; $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.
-*Dieser r&uuml;hrt allein vom Gleichsignal $s(t) =  2\hspace{0.05cm}\rm V$ her.
+*Dieser r&uuml;hrt allein vom Gleichsignal&nbsp; $s(t) =  2\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; her.
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 :$$\sigma_{x}^{\rm 2}=m_{\rm 2 \it x}-m_{x}^{\rm 2}. $$
-Der quadratische Mittelwert $m_{2x}$ ist gleich der (auf $1\hspace{0.05cm} \Omega$ bezogenen) Gesamtleistung $P_x =  5\hspace{0.05cm}\rm V^2$. Mit dem Mittelwert $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ folgt daraus für die Streuung: &nbsp;
+*Der quadratische Mittelwert&nbsp; $m_{2x}$&nbsp; ist gleich der&nbsp; $($auf&nbsp; $1\hspace{0.05cm} \Omega$&nbsp; bezogenen$)$&nbsp; Gesamtleistung&nbsp; $P_x =  5\hspace{0.05cm}\rm V^2$.
 :$$\sigma_{x} = \sqrt{5\hspace{0.05cm}\rm V^2 - (2\hspace{0.05cm}\rm V)^2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1\hspace{0.05cm}\rm V}.$$
-'''(3)'''&nbsp; Die Verteilungsfunktion (VTF) einer Gaußschen Zufallsgr&ouml;&szlig;e (Mittelwert $m_x$, Streuung $\sigma_x$) lautet mit dem Gau&szlig;schen Fehlerintegral:
 :$$F_x(r)=\rm\phi(\it\frac{r-m_x}{\sigma_x}\rm ).$$
-*Die Verteilungsfunktion an der Stelle $r = 0\hspace{0.05cm}\rm V$ ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass $x$ kleiner oder gleich $0\hspace{0.05cm}\rm V$ ist.
+*Die Verteilungsfunktion an der Stelle&nbsp; $r = 0\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x$&nbsp; kleiner oder gleich&nbsp; $0\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; ist.
-*Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt aber auch ${\rm Pr}(x \le r) = {\rm Pr}(x < r)$.
+*Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt aber auch&nbsp; ${\rm Pr}(x \le r) = {\rm Pr}(x < r)$.
 *Mit dem komplement&auml;ren Gau&szlig;schen Fehlerintegral erh&auml;lt man somit:
 :$$\rm Pr(\it x < \rm 0\,V)=\rm \phi(\rm \frac{-2\,V}{1\,V})=\rm Q(\rm 2)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.27\%}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Wegen der Symmetrie um den Mittelwert $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ ergibt sich hierf&uuml;r die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich
 :$$\rm Pr(\it x > \rm 4\,V)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.27\%}.$$
 '''(5)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ gr&ouml;&szlig;er ist als $3\hspace{0.05cm}\rm V$, ergibt sich zu
 :$${\rm Pr}( x > 3\text{ V}) = 1- F_x(\frac{3\text{ V}-2\text{ V}}{1\text{ V}})=\rm Q(\rm 1)=\rm 0.1587.$$
-F&uuml;r die gesuchte Wahrscheinlichkeit erh&auml;lt man daraus:
+*F&uuml;r die gesuchte Wahrscheinlichkeit erh&auml;lt man daraus:
 :$$\rm Pr(3\,V\le \it x \le \rm 4\,V)= \rm Pr(\it x > \rm 3\,V)- \rm Pr(\it x > \rm 4\,V) = 0.1587 - 0.0227\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 13.6\%}. $$

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
-*Verwenden Sie zur L&ouml;sung das komplement&auml;re Gau&szlig;sche Fehlerintegral&nbsp; ${\rm Q}(x)$.
+*Verwenden Sie zur L&ouml;sung das&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit| komplement&auml;re Gau&szlig;sche Fehlerintegral]]&nbsp; ${\rm Q}(x)$.
 *Nachfolgend finden Sie einige Werte dieser monoton abfallenden Funktion:
 :$$\rm Q(0) = 0.5,\hspace{0.5cm} Q(1) = 0.1587, \hspace{0.5cm}\rm Q(2) = 0.0227, \hspace{0.5cm} Q(3) = 0.0013. $$

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 [[Datei:P_ID126__Sto_A_3_6.png|right|frame|Verrauschtes Gleichsignal und WDF]]
-Ein Gleichsignal $s(t) =  2\hspace{0.05cm}\rm V$ wird durch ein Rauschsignal $n(t)$ additiv &uuml;berlagert.
+Ein Gleichsignal&nbsp; $s(t) =  2\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; wird durch ein Rauschsignal&nbsp; $n(t)$&nbsp; additiv &uuml;berlagert.
 *Im oberen Bild sehen Sie  einen Ausschnitt des Summensignals &nbsp; $x(t)=s(t)+n(t).$
-*Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) des Signals $x(t)$ ist unten dargestellt.
+*Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) des Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist unten dargestellt.
-*Die (auf den Widerstand $1\hspace{0.05cm} \Omega$ bezogene) Gesamtleistung dieses Signals betr&auml;gt $P_x =  5\hspace{0.05cm}\rm V^2$.
+*Die&nbsp; (auf den Widerstand&nbsp; $1\hspace{0.05cm} \Omega$&nbsp; bezogene)&nbsp; Gesamtleistung dieses Signals betr&auml;gt&nbsp; $P_x =  5\hspace{0.05cm}\rm V^2$.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
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 { Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-- Das Nutzsignal $s(t)$ ist gleichverteilt.
+- Das Nutzsignal&nbsp; $s(t)$&nbsp; ist gleichverteilt.
-+ Das Rauschsignal $n(t)$ ist gau&szlig;verteilt.
++ Das Rauschsignal&nbsp; $n(t)$&nbsp; ist gau&szlig;verteilt.
-- Das Rauschsignal $n(t)$ hat einen Mittelwert $m_n \ne 0$.
+- Das Rauschsignal&nbsp; $n(t)$&nbsp; hat einen Mittelwert&nbsp; $m_n \ne 0$.
-+ Das Gesamtsignal $x(t)$ ist gau&szlig;verteilt mit Mittelwert $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.
++ Das Gesamtsignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; ist gau&szlig;verteilt mit Mittelwert&nbsp; $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.
-{Berechnen Sie die Standardabweichung (Streuung) des Signals $x(t)$.
+{Berechnen Sie die Standardabweichung (Streuung) des Signals&nbsp; $x(t)$.
 |type="{}"}
 $\sigma_x \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm V$
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x(t) < 0\hspace{0.05cm}\rm V$ ist?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x(t) < 0\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(x < 0\hspace{0.05cm}\rm V)\ =  \ $ { 2.27 3% } $\ \%$
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x(t) > 4\hspace{0.05cm}\rm V$ ist?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $x(t) > 4\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; ist?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(x > 4\hspace{0.05cm}\rm V)\ =  \ $ { 2.27 3% } $\ \%$
-{Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt $x(t)$ zwischen $3\hspace{0.05cm}\rm V$ und $4\hspace{0.05cm}\rm V$?
+{Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt&nbsp; $x(t)$&nbsp; zwischen&nbsp; $3\hspace{0.05cm}\rm V$&nbsp; und&nbsp; $4\hspace{0.05cm}\rm V$?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(3\hspace{0.05cm}{\rm V} < x < 4\hspace{0.05cm}{\rm V}) \ =  \ $ { 13.6 3% } $\ \%$
+${\rm Pr}(+3\hspace{0.05cm}{\rm V} < x < +4\hspace{0.05cm}{\rm V}) \ =  \ $ { 13.6 3% } $\ \%$

@@ Zeile 14: / Zeile 14: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße|Gaußverteilte Zufallsgröße]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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(kein Unterschied)

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-:<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Das Gleichsignal <i>s</i>(<i>t</i>) ist nat&uuml;rlich nicht gleichverteilt, vielmehr besteht dessen WDF aus nur einer Diracfunktion bei 2 V mit Gewicht 1. Das Signal <i>n</i>(<i>t</i>) ist gau&szlig;verteilt und mittelwertfrei. Deshalb ist auch das Summensignal <i>x</i>(<i>t</i>) gau&szlig;verteilt, aber nun mit Mittelwert <i>m<sub>x</sub></i> = 2 V. Dieser r&uuml;hrt allein vom Gleichsignal <i>s</i>(<i>t</i>) = 2 V her. Richtig sind somit <u>die Lösungsvorschläge 2 und 4</u>.
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind somit die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
-:Der quadratische Mittelwert ist gleich der (auf 1 &Omega; bezogenen) Gesamtleistung <i>P<sub>x</sub></i> = 5 V<sup>2</sup>. Mit dem Mittelwert <i>m<sub>x</sub></i> = 2 V folgt daraus für die Streuung: <i>&sigma;<sub>x</sub></i> <u>= 1 V</u>.
+'''(2)'''&nbsp; Nach dem Satz von Steiner gilt:
-:<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Die Verteilungsfunktion (VTF) einer gau&szlig;verteilten Zufallsgr&ouml;&szlig;e mit Mittelwert <i>m<sub>x</sub></i> und Streuung <i>&sigma;<sub>x</sub></i> lautet mit dem Gau&szlig;schen Fehlerintegral:
+Der quadratische Mittelwert $m_{2x}$ ist gleich der (auf $1\hspace{0.05cm} \Omega$ bezogenen) Gesamtleistung $P_x =  5\hspace{0.05cm}\rm V^2$. Mit dem Mittelwert $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ folgt daraus für die Streuung: &nbsp; $\sigma_{x}  \hspace{0.15cm}\underline{= 1\hspace{0.05cm}\rm V}$.
-:<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Wegen der Symmetrie um den Wert 2V ergibt sich hierf&uuml;r die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich  <u>2.27%</u>.
+'''(3)'''&nbsp; Die Verteilungsfunktion (VTF) einer gau&szlig;verteilten Zufallsgr&ouml;&szlig;e mit Mittelwert $m_x$ und Streuung $\sigma_x$ lautet mit dem Gau&szlig;schen Fehlerintegral:
-:<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Die Wahrscheinlichkeit, dass <i>x</i>(<i>t</i>) gr&ouml;&szlig;er ist als 3V, ergibt sich zu
+Die Verteilungsfunktion an der Stelle $r = 0\hspace{0.05cm}\rm V$ ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass $x$ kleiner oder gleich $0\hspace{0.05cm}\rm V$ ist. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt aber auch ${\rm Pr}(x \le r) = {\rm Pr}(x < r)$. Mit dem komplement&auml;ren Gau&szlig;schen Fehlerintegral erh&auml;lt man somit:
-:$$\rm Pr(\it x > \rm 3\,V) =\rm 1- \it F_x(\frac{\rm 3\,V-2\,V}{\rm 1V})=\rm Q(\rm 1)=\rm 0.1587.$$
+$$\rm Pr(\it x < \rm 0\,V)=\rm \phi(\rm \frac{-2\,V}{1\,V})=\rm Q(\rm 2)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.27\%}.$$
-:F&uuml;r die gesuchte Wahrscheinlichkeit erh&auml;lt man daraus:
+'''(4)'''&nbsp; Wegen der Symmetrie um den Wert 2V ergibt sich hierf&uuml;r die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich  $\rm Pr(\it x > \rm 4\,V)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.27\%}$.
-:Dies liefert den Zahlenwert 0.1587 - 0.0227 <u>= 13.6%</u>.
+'''(5)'''&nbsp; Die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ gr&ouml;&szlig;er ist als $3\hspace{0.05cm}\rm V$, ergibt sich zu
 {{ML-Fuß}}