Aufgaben:Aufgabe 3.6: Verrauschtes Gleichsignal - Versionsgeschichte

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2026-03-16T12:36:43Z

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	[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^3.5 Gaußverteilte Zufallsgröße^]]		[[Category:Aufgaben zu Stochastische Signaltheorie\|^3.5 Gaußverteilte Zufallsgröße^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.6:_Noisy_DC_Signal]]

Guenter am 1. Februar 2022 um 14:40 Uhr

2022-02-01T14:40:27Z

Guenter am 1. Februar 2022 um 14:36 Uhr

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			Hinweise:

	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
	*Verwenden Sie zur Lösung das  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit\| komplementäre Gaußsche Fehlerintegral]]  ${\rm Q}(x)$.		*Verwenden Sie zur Lösung das  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit\| komplementäre Gaußsche Fehlerintegral]]  ${\rm Q}(x)$.
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	{Berechnen Sie die Standardabweichung (Streuung) des Signals  $x(t)$.		{Berechnen Sie die Standardabweichung  (Streuung)  des Signals  $x(t)$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\sigma_x \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm V$		$\sigma_x \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm V$


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x(t) < 0\hspace{0.05cm}\rm V$  ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,  dass  $x(t) < 0\hspace{0.05cm}\rm V$  ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(x < 0\hspace{0.05cm}\rm V)\ = \ $ { 2.27 3% } $\ \%$		${\rm Pr}(x < 0\hspace{0.05cm}\rm V)\ = \ $ { 2.27 3% } $\ \%$


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x(t) > 4\hspace{0.05cm}\rm V$  ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,  dass  $x(t) > 4\hspace{0.05cm}\rm V$  ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(x > 4\hspace{0.05cm}\rm V)\ = \ $ { 2.27 3% } $\ \%$		${\rm Pr}(x > 4\hspace{0.05cm}\rm V)\ = \ $ { 2.27 3% } $\ \%$

Guenter am 21. November 2019 um 15:20 Uhr

2019-11-21T15:20:06Z

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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
	*Das Gleichsignal $s(t)$ ist nicht gleichverteilt, vielmehr besteht dessen WDF aus nur einer Diracfunktion bei $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ mit Gewicht $1$.		*Das Gleichsignal  $s(t)$  ist nicht gleichverteilt, vielmehr besteht dessen WDF aus nur einer Diracfunktion bei  $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$  mit Gewicht  $1$.
	*Das Signal $n(t)$ ist gaußverteilt und mittelwertfrei   ⇒   $m_n = 0$.		*Das Signal  $n(t)$  ist gaußverteilt und mittelwertfrei   ⇒   $m_n = 0$.
	*Deshalb ist auch das Summensignal $x(t)$ gaußverteilt, aber nun mit Mittelwert $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.		*Deshalb ist auch das Summensignal  $x(t)$  gaußverteilt, aber nun mit Mittelwert  $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.
	*Dieser rührt allein vom Gleichsignal $s(t) = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ her.		*Dieser rührt allein vom Gleichsignal  $s(t) = 2\hspace{0.05cm}\rm V$  her.



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	:$$\sigma_{x}^{\rm 2}=m_{\rm 2 \it x}-m_{x}^{\rm 2}. $$		:$$\sigma_{x}^{\rm 2}=m_{\rm 2 \it x}-m_{x}^{\rm 2}. $$

	Der quadratische Mittelwert $m_{2x}$ ist gleich der (auf $1\hspace{0.05cm} \Omega$ bezogenen) Gesamtleistung $P_x = 5\hspace{0.05cm}\rm V^2$. Mit dem Mittelwert $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ folgt daraus für die Streuung:		*Der quadratische Mittelwert  $m_{2x}$  ist gleich der  $($auf  $1\hspace{0.05cm} \Omega$  bezogenen$)$  Gesamtleistung  $P_x = 5\hspace{0.05cm}\rm V^2$.
			*Mit dem Mittelwert  $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$  folgt daraus für die Streuung:
	:$$\sigma_{x} = \sqrt{5\hspace{0.05cm}\rm V^2 - (2\hspace{0.05cm}\rm V)^2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1\hspace{0.05cm}\rm V}.$$		:$$\sigma_{x} = \sqrt{5\hspace{0.05cm}\rm V^2 - (2\hspace{0.05cm}\rm V)^2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1\hspace{0.05cm}\rm V}.$$

	'''(3)'''  Die Verteilungsfunktion (VTF) einer Gaußschen Zufallsgröße (Mittelwert $m_x$, Streuung $\sigma_x$) lautet mit dem Gaußschen Fehlerintegral:

			'''(3)'''  Die Verteilungsfunktion (VTF) einer Gaußschen Zufallsgröße  $($Mittelwert  $m_x$,  Streuung $\sigma_x)$  lautet mit dem Gaußschen Fehlerintegral:
	:$$F_x(r)=\rm\phi(\it\frac{r-m_x}{\sigma_x}\rm ).$$		:$$F_x(r)=\rm\phi(\it\frac{r-m_x}{\sigma_x}\rm ).$$

	*Die Verteilungsfunktion an der Stelle $r = 0\hspace{0.05cm}\rm V$ ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass $x$ kleiner oder gleich $0\hspace{0.05cm}\rm V$ ist.		*Die Verteilungsfunktion an der Stelle  $r = 0\hspace{0.05cm}\rm V$  ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  kleiner oder gleich  $0\hspace{0.05cm}\rm V$  ist.
	*Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt aber auch ${\rm Pr}(x \le r) = {\rm Pr}(x < r)$.		*Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt aber auch  ${\rm Pr}(x \le r) = {\rm Pr}(x < r)$.
	*Mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral erhält man somit:		*Mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral erhält man somit:
	:$$\rm Pr(\it x < \rm 0\,V)=\rm \phi(\rm \frac{-2\,V}{1\,V})=\rm Q(\rm 2)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.27\%}.$$		:$$\rm Pr(\it x < \rm 0\,V)=\rm \phi(\rm \frac{-2\,V}{1\,V})=\rm Q(\rm 2)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.27\%}.$$


	'''(4)'''  Wegen der Symmetrie um den Mittelwert $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ ergibt sich hierfür die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich
			'''(4)'''  Wegen der Symmetrie um den Mittelwert  $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$  ergibt sich hierfür die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich
	:$$\rm Pr(\it x > \rm 4\,V)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.27\%}.$$		:$$\rm Pr(\it x > \rm 4\,V)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.27\%}.$$


	'''(5)'''  Die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ größer ist als $3\hspace{0.05cm}\rm V$, ergibt sich zu
			'''(5)'''  Die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  größer ist als  $3\hspace{0.05cm}\rm V$, ergibt sich zu
	:$${\rm Pr}( x > 3\text{ V}) = 1- F_x(\frac{3\text{ V}-2\text{ V}}{1\text{ V}})=\rm Q(\rm 1)=\rm 0.1587.$$		:$${\rm Pr}( x > 3\text{ V}) = 1- F_x(\frac{3\text{ V}-2\text{ V}}{1\text{ V}})=\rm Q(\rm 1)=\rm 0.1587.$$

	Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man daraus:		*Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man daraus:
	:$$\rm Pr(3\,V\le \it x \le \rm 4\,V)= \rm Pr(\it x > \rm 3\,V)- \rm Pr(\it x > \rm 4\,V) = 0.1587 - 0.0227\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 13.6\%}. $$		:$$\rm Pr(3\,V\le \it x \le \rm 4\,V)= \rm Pr(\it x > \rm 3\,V)- \rm Pr(\it x > \rm 4\,V) = 0.1587 - 0.0227\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 13.6\%}. $$

Guenter am 21. November 2019 um 14:49 Uhr

2019-11-21T14:49:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. November 2019, 16:49 Uhr
Zeile 16:		Zeile 16:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
	*Verwenden Sie zur Lösung das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral  ${\rm Q}(x)$.		*Verwenden Sie zur Lösung das  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgrößen#.C3.9Cberschreitungswahrscheinlichkeit\| komplementäre Gaußsche Fehlerintegral]]  ${\rm Q}(x)$.
	*Nachfolgend finden Sie einige Werte dieser monoton abfallenden Funktion:		*Nachfolgend finden Sie einige Werte dieser monoton abfallenden Funktion:
	:$$\rm Q(0) = 0.5,\hspace{0.5cm} Q(1) = 0.1587, \hspace{0.5cm}\rm Q(2) = 0.0227, \hspace{0.5cm} Q(3) = 0.0013. $$		:$$\rm Q(0) = 0.5,\hspace{0.5cm} Q(1) = 0.1587, \hspace{0.5cm}\rm Q(2) = 0.0227, \hspace{0.5cm} Q(3) = 0.0013. $$

Guenter am 21. November 2019 um 14:48 Uhr

2019-11-21T14:48:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. November 2019, 16:48 Uhr
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	[[Datei:P_ID126__Sto_A_3_6.png\|right\|frame\|Verrauschtes Gleichsignal und WDF]]		[[Datei:P_ID126__Sto_A_3_6.png\|right\|frame\|Verrauschtes Gleichsignal und WDF]]
	Ein Gleichsignal $s(t) = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ wird durch ein Rauschsignal $n(t)$ additiv überlagert.		Ein Gleichsignal  $s(t) = 2\hspace{0.05cm}\rm V$  wird durch ein Rauschsignal  $n(t)$  additiv überlagert.
	*Im oberen Bild sehen Sie einen Ausschnitt des Summensignals   $x(t)=s(t)+n(t).$		*Im oberen Bild sehen Sie einen Ausschnitt des Summensignals   $x(t)=s(t)+n(t).$
	*Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) des Signals $x(t)$ ist unten dargestellt.		*Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) des Signals  $x(t)$  ist unten dargestellt.
	*Die (auf den Widerstand $1\hspace{0.05cm} \Omega$ bezogene) Gesamtleistung dieses Signals beträgt $P_x = 5\hspace{0.05cm}\rm V^2$.		*Die  (auf den Widerstand  $1\hspace{0.05cm} \Omega$  bezogene)  Gesamtleistung dieses Signals beträgt  $P_x = 5\hspace{0.05cm}\rm V^2$.


	~~Verwenden Sie zur Lösung das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral ${\rm Q}(x)$. Nachfolgend finden Sie einige Werte dieser monoton abfallenden Funktion:~~
	~~:$$\rm Q(0) = 0.5,\hspace{0.5cm} Q(1) = 0.1587, \hspace{0.5cm}\rm Q(2) = 0.0227, \hspace{0.5cm} Q(3) = 0.0013. $$~~


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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].
			*Verwenden Sie zur Lösung das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral  ${\rm Q}(x)$.
			*Nachfolgend finden Sie einige Werte dieser monoton abfallenden Funktion:
			:$$\rm Q(0) = 0.5,\hspace{0.5cm} Q(1) = 0.1587, \hspace{0.5cm}\rm Q(2) = 0.0227, \hspace{0.5cm} Q(3) = 0.0013. $$


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	{ Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?		{ Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Das Nutzsignal $s(t)$ ist gleichverteilt.		- Das Nutzsignal  $s(t)$  ist gleichverteilt.
	+ Das Rauschsignal $n(t)$ ist gaußverteilt.		+ Das Rauschsignal  $n(t)$  ist gaußverteilt.
	- Das Rauschsignal $n(t)$ hat einen Mittelwert $m_n \ne 0$.		- Das Rauschsignal  $n(t)$  hat einen Mittelwert  $m_n \ne 0$.
	+ Das Gesamtsignal $x(t)$ ist gaußverteilt mit Mittelwert $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.		+ Das Gesamtsignal  $x(t)$  ist gaußverteilt mit Mittelwert  $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.


	{Berechnen Sie die Standardabweichung (Streuung) des Signals $x(t)$.		{Berechnen Sie die Standardabweichung (Streuung) des Signals  $x(t)$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\sigma_x \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm V$		$\sigma_x \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm V$


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x(t) < 0\hspace{0.05cm}\rm V$ ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x(t) < 0\hspace{0.05cm}\rm V$  ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(x < 0\hspace{0.05cm}\rm V)\ = \ $ { 2.27 3% } $\ \%$		${\rm Pr}(x < 0\hspace{0.05cm}\rm V)\ = \ $ { 2.27 3% } $\ \%$


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x(t) > 4\hspace{0.05cm}\rm V$ ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass  $x(t) > 4\hspace{0.05cm}\rm V$  ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(x > 4\hspace{0.05cm}\rm V)\ = \ $ { 2.27 3% } $\ \%$		${\rm Pr}(x > 4\hspace{0.05cm}\rm V)\ = \ $ { 2.27 3% } $\ \%$


	{Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt $x(t)$ zwischen $3\hspace{0.05cm}\rm V$ und $4\hspace{0.05cm}\rm V$?		{Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt  $x(t)$  zwischen  $3\hspace{0.05cm}\rm V$  und  $4\hspace{0.05cm}\rm V$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(3\hspace{0.05cm}{\rm V} < x < 4\hspace{0.05cm}{\rm V}) \ = \ $ { 13.6 3% } $\ \%$		${\rm Pr}(+3\hspace{0.05cm}{\rm V} < x < +4\hspace{0.05cm}{\rm V}) \ = \ $ { 13.6 3% } $\ \%$

Guenter am 10. August 2018 um 07:37 Uhr

2018-08-10T07:37:27Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. August 2018, 09:37 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:P_ID126__Sto_A_3_6.png\|right\|frame\|Verrauschtes Gleichsignal & WDF]]		[[Datei:P_ID126__Sto_A_3_6.png\|right\|frame\|Verrauschtes Gleichsignal und WDF]]
	Ein Gleichsignal $s(t) = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ wird durch ein Rauschsignal $n(t)$ additiv überlagert.		Ein Gleichsignal $s(t) = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ wird durch ein Rauschsignal $n(t)$ additiv überlagert.
	*Im oberen Bild sehen Sie einen Ausschnitt des Summensignals   $x(t)=s(t)+n(t).$		*Im oberen Bild sehen Sie einen Ausschnitt des Summensignals   $x(t)=s(t)+n(t).$
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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte ~~Zufallsgröße~~]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgrößen]].


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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind ~~somit~~ die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
	*Das Gleichsignal $s(t)$ ist ~~natürlich~~ nicht gleichverteilt, vielmehr besteht dessen WDF aus nur einer Diracfunktion bei $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ mit Gewicht $1$.		*Das Gleichsignal $s(t)$ ist nicht gleichverteilt, vielmehr besteht dessen WDF aus nur einer Diracfunktion bei $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ mit Gewicht $1$.
	*Das Signal $n(t)$ ist gaußverteilt und mittelwertfrei   ⇒   $m_n = 0$		*Das Signal $n(t)$ ist gaußverteilt und mittelwertfrei   ⇒   $m_n = 0$.
	*Deshalb ist auch das Summensignal $x(t)$ gaußverteilt, aber nun mit Mittelwert $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.		*Deshalb ist auch das Summensignal $x(t)$ gaußverteilt, aber nun mit Mittelwert $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.
	*Dieser rührt allein vom Gleichsignal $s(t) = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ her.		*Dieser rührt allein vom Gleichsignal $s(t) = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ her.
Zeile 67:		Zeile 67:

	'''(2)'''  Nach dem Satz von Steiner gilt:		'''(2)'''  Nach dem Satz von Steiner gilt:
	$$\sigma_{x}^{\rm 2}=m_{\rm 2 \it x}-m_{x}^{\rm 2}. $$		:$$\sigma_{x}^{\rm 2}=m_{\rm 2 \it x}-m_{x}^{\rm 2}. $$

	Der quadratische Mittelwert $m_{2x}$ ist gleich der (auf $1\hspace{0.05cm} \Omega$ bezogenen) Gesamtleistung $P_x = 5\hspace{0.05cm}\rm V^2$. Mit dem Mittelwert $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ folgt daraus für die Streuung:   $\sigma_{x} \hspace{0.15cm}\underline{= 1\hspace{0.05cm}\rm V}$.		Der quadratische Mittelwert $m_{2x}$ ist gleich der (auf $1\hspace{0.05cm} \Omega$ bezogenen) Gesamtleistung $P_x = 5\hspace{0.05cm}\rm V^2$. Mit dem Mittelwert $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ folgt daraus für die Streuung:
			:$$\sigma_{x} = \sqrt{5\hspace{0.05cm}\rm V^2 - (2\hspace{0.05cm}\rm V)^2} \hspace{0.15cm}\underline{= 1\hspace{0.05cm}\rm V}.$$

			'''(3)'''  Die Verteilungsfunktion (VTF) einer Gaußschen Zufallsgröße (Mittelwert $m_x$, Streuung $\sigma_x$) lautet mit dem Gaußschen Fehlerintegral:
			:$$F_x(r)=\rm\phi(\it\frac{r-m_x}{\sigma_x}\rm ).$$

	~~'''(3)''' ~~ Die Verteilungsfunktion ~~(VTF) einer gaußverteilten Zufallsgröße mit Mittelwert~~ $~~m_x~~$ ~~und Streuung~~ $\~~sigma_x~~$ ~~lautet mit~~ dem Gaußschen Fehlerintegral:		*Die Verteilungsfunktion an der Stelle $r = 0\hspace{0.05cm}\rm V$ ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass $x$ kleiner oder gleich $0\hspace{0.05cm}\rm V$ ist.
	$$~~F_x~~(r)=\rm\phi(\it\frac{r-~~m_x~~}{\~~sigma_x~~}\rm ).$$		*Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt aber auch ${\rm Pr}(x \le r) = {\rm Pr}(x < r)$.
			*Mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral erhält man somit:
			:$$\rm Pr(\it x < \rm 0\,V)=\rm \phi(\rm \frac{-2\,V}{1\,V})=\rm Q(\rm 2)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.27\%}.$$

	Die Verteilungsfunktion an der Stelle $r = 0\hspace{0.05cm}\rm V$ ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass $x$ kleiner oder gleich $0\hspace{0.05cm}\rm V$ ist. Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt aber auch ${\rm Pr}(x \le r) = {\rm Pr}(x < r)$. Mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral erhält man somit:
	~~$$\rm Pr(\it x < \rm 0\,V)=\rm \phi(\rm \frac{-2\,V}{1\,V})=\rm Q(\rm 2)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.27\%}.$$~~

	'''(4)'''  Wegen der Symmetrie um den ~~Wert 2V~~ ergibt sich hierfür die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich $\rm Pr(\it x > \rm 4\,V)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.27\%}$.		'''(4)'''  Wegen der Symmetrie um den Mittelwert $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ ergibt sich hierfür die gleiche Wahrscheinlichkeit, nämlich
			:$$\rm Pr(\it x > \rm 4\,V)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.27\%}.$$


	'''(5)'''  Die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ größer ist als $3\hspace{0.05cm}\rm V$, ergibt sich zu		'''(5)'''  Die Wahrscheinlichkeit, dass $x$ größer ist als $3\hspace{0.05cm}\rm V$, ergibt sich zu
	$$\rm Pr(~~\it~~ x > ~~\rm~~ 3\,V) =~~\rm~~ 1- ~~\it~~ F_x(\frac{~~\rm~~ 3\,V-2\,V}{\~~rm 1V~~})=\rm Q(\rm 1)=\rm 0.1587.$$		:$${\rm Pr}( x > 3\text{ V}) = 1- F_x(\frac{3\text{ V}-2\text{ V}}{1\text{ V}})=\rm Q(\rm 1)=\rm 0.1587.$$

	Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man daraus:		Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man daraus:
	$$\rm Pr(~~\rm~~ 3\,V\le \it x \le \rm 4\,V)= \rm Pr(\it x > \rm 3\,V)- \rm Pr(\it x > \rm 4\,V) = 0.1587 - 0.0227\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 13.6\%}. $$		:$$\rm Pr(3\,V\le \it x \le \rm 4\,V)= \rm Pr(\it x > \rm 3\,V)- \rm Pr(\it x > \rm 4\,V) = 0.1587 - 0.0227\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 13.6\%}. $$

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 10. August 2018 um 07:20 Uhr

2018-08-10T07:20:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 10. August 2018, 09:20 Uhr
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	}}		}}

	[[Datei:P_ID126__Sto_A_3_6.png\|right\|Verrauschtes Gleichsignal]]		[[Datei:P_ID126__Sto_A_3_6.png\|right\|frame\|Verrauschtes Gleichsignal & WDF]]
	Ein Gleichsignal $s(t) = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ wird durch ein Rauschsignal $n(t)$ additiv überlagert.		Ein Gleichsignal $s(t) = 2\hspace{0.05cm}\rm V$ wird durch ein Rauschsignal $n(t)$ additiv überlagert.
	*Im oberen Bild sehen Sie einen Ausschnitt des Summensignals   $x(t)=s(t)+n(t).$		*Im oberen Bild sehen Sie einen Ausschnitt des Summensignals   $x(t)=s(t)+n(t).$
	*Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (~~kurz~~ WDF) des Signals $x(t)$ ist ~~im unteren Bild~~ dargestellt.		*Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) des Signals $x(t)$ ist unten dargestellt.
	*Die (auf den Widerstand $1\hspace{0.05cm} \Omega$ bezogene) Gesamtleistung dieses Signals beträgt $P_x = 5\hspace{0.05cm}\rm V^2$.		*Die (auf den Widerstand $1\hspace{0.05cm} \Omega$ bezogene) Gesamtleistung dieses Signals beträgt $P_x = 5\hspace{0.05cm}\rm V^2$.


	Verwenden Sie zur Lösung das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral ${\rm Q}(x)$. Nachfolgend finden Sie einige Werte dieser monoton abfallenden Funktion:		Verwenden Sie zur Lösung das komplementäre Gaußsche Fehlerintegral ${\rm Q}(x)$. Nachfolgend finden Sie einige Werte dieser monoton abfallenden Funktion:
	:$$\rm Q(0) = 0.5,\hspace{0.5cm} Q(1) = 0.1587, \hspace{0.5cm}\rm Q(2) = 0.0227, \hspace{0.5cm} Q(3) = 0.0013. $$		:$$\rm Q(0) = 0.5,\hspace{0.5cm} Q(1) = 0.1587, \hspace{0.5cm}\rm Q(2) = 0.0227, \hspace{0.5cm} Q(3) = 0.0013. $$





	''Hinweise:''		''Hinweise:''
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	{Berechnen Sie die Standardabweichung (Streuung) des Signals $x(t)$.		{Berechnen Sie die Standardabweichung (Streuung) des Signals $x(t)$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\sigma_x \ = $ { 1 3% } $\ \rm V$		$\sigma_x \ = \ $ { 1 3% } $\ \rm V$


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x(t) < 0\hspace{0.05cm}\rm V$ ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x(t) < 0\hspace{0.05cm}\rm V$ ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(x < 0\hspace{0.05cm}\rm V)\ = $ { 2.27 3% } $\ \%$		${\rm Pr}(x < 0\hspace{0.05cm}\rm V)\ = \ $ { 2.27 3% } $\ \%$


	{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x(t) > 4\hspace{0.05cm}\rm V$ ist?		{Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $x(t) > 4\hspace{0.05cm}\rm V$ ist?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(x > 4\hspace{0.05cm}\rm V)\ = $ { 2.27 3% } $\ \%$		${\rm Pr}(x > 4\hspace{0.05cm}\rm V)\ = \ $ { 2.27 3% } $\ \%$


	{Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt $x(t)$ zwischen $3\hspace{0.05cm}\rm V$ und $4\hspace{0.05cm}\rm V$?		{Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt $x(t)$ zwischen $3\hspace{0.05cm}\rm V$ und $4\hspace{0.05cm}\rm V$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	${\rm Pr}(3\hspace{0.05cm}{\rm V} < x < 4\hspace{0.05cm}{\rm V}) \ = $ { 13.6 3% } $\ \%$		${\rm Pr}(3\hspace{0.05cm}{\rm V} < x < 4\hspace{0.05cm}{\rm V}) \ = \ $ { 13.6 3% } $\ \%$

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:53Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgröße]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gaußverteilte_Zufallsgröße\|Gaußverteilte Zufallsgröße]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.6 Verrauschtes Gleichsignal nach Aufgaben:Aufgabe 3.6: Verrauschtes Gleichsignal

2018-01-03T13:35:55Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.6 Verrauschtes Gleichsignal nach Aufgaben:Aufgabe 3.6: Verrauschtes Gleichsignal

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(kein Unterschied)

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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 2 und 4</u>:
	*Das Gleichsignal  $s(t)$  ist nicht gleichverteilt, vielmehr besteht dessen WDF aus nur einer Diracfunktion bei  $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$  mit Gewicht  $1$.		*Das Gleichsignal  $s(t)$  ist nicht gleichverteilt,  vielmehr besteht dessen WDF aus nur einer Diracfunktion bei  $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$  mit Gewicht  $1$.
	*Das Signal  $n(t)$  ist gaußverteilt und mittelwertfrei   ⇒   $m_n = 0$.		*Das Signal  $n(t)$  ist gaußverteilt und mittelwertfrei   ⇒   $m_n = 0$.
	*Deshalb ist auch das Summensignal  $x(t)$  gaußverteilt, aber nun mit Mittelwert  $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.		*Deshalb ist auch das Summensignal  $x(t)$  gaußverteilt,  aber nun mit Mittelwert  $m_x = 2\hspace{0.05cm}\rm V$.
	*Dieser rührt allein vom Gleichsignal  $s(t) = 2\hspace{0.05cm}\rm V$  her.		*Dieser rührt allein vom Gleichsignal  $s(t) = 2\hspace{0.05cm}\rm V$  her.

Zeile 74:		Zeile 74:


	'''(3)'''  Die Verteilungsfunktion (VTF) einer Gaußschen Zufallsgröße  $($Mittelwert  $m_x$,  Streuung $\sigma_x)$  lautet mit dem Gaußschen Fehlerintegral:		'''(3)'''  Die Verteilungsfunktion (VTF) einer Gaußschen Zufallsgröße  $($Mittelwert  $m_x$,  Streuung  $\sigma_x)$  lautet mit dem Gaußschen Fehlerintegral:
	:$$F_x(r)=\rm\phi(\it\frac{r-m_x}{\sigma_x}\rm ).$$		:$$F_x(r)=\rm\phi(\it\frac{r-m_x}{\sigma_x}\rm ).$$

	*Die Verteilungsfunktion an der Stelle  $r = 0\hspace{0.05cm}\rm V$  ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  kleiner oder gleich  $0\hspace{0.05cm}\rm V$  ist.		*Die Verteilungsfunktion an der Stelle  $r = 0\hspace{0.05cm}\rm V$  ist gleich der Wahrscheinlichkeit,  dass  $x$  kleiner oder gleich  $0\hspace{0.05cm}\rm V$  ist.
	*Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt aber auch  ${\rm Pr}(x \le r) = {\rm Pr}(x < r)$.		*Bei kontinuierlichen Zufallsgrößen gilt aber auch   ${\rm Pr}(x \le r) = {\rm Pr}(x < r)$.
	*Mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral erhält man somit:		*Mit dem komplementären Gaußschen Fehlerintegral erhält man somit:
	:$$\rm Pr(\it x < \rm 0\,V)=\rm \phi(\rm \frac{-2\,V}{1\,V})=\rm Q(\rm 2)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.27\%}.$$		:$$\rm Pr(\it x < \rm 0\,V)=\rm \phi(\rm \frac{-2\,V}{1\,V})=\rm Q(\rm 2)\hspace{0.15cm}\underline{=\rm 2.27\%}.$$
Zeile 89:		Zeile 89:


	'''(5)'''  Die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  größer ist als  $3\hspace{0.05cm}\rm V$, ergibt sich zu		'''(5)'''  Die Wahrscheinlichkeit, dass  $x$  größer ist als  $3\hspace{0.05cm}\rm V$,  ergibt sich zu
	:$${\rm Pr}( x > 3\text{ V}) = 1- F_x(\frac{3\text{ V}-2\text{ V}}{1\text{ V}})=\rm Q(\rm 1)=\rm 0.1587.$$		:$${\rm Pr}( x > 3\text{ V}) = 1- F_x(\frac{3\text{ V}-2\text{ V}}{1\text{ V}})=\rm Q(\rm 1)=\rm 0.1587.$$