Aufgaben:Aufgabe 3.6: Gerades und ungerades Zeitsignal - Versionsgeschichte

Guenter am 27. April 2021 um 13:47 Uhr

2021-04-27T13:47:17Z

Guenter am 27. April 2021 um 13:42 Uhr

2021-04-27T13:42:36Z

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2021-04-27T13:39:41Z

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Guenter am 26. September 2019 um 16:08 Uhr

2019-09-26T16:08:43Z

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2019-09-26T16:00:25Z

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Guenter am 24. Juli 2018 um 09:46 Uhr

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Guenter am 24. Juli 2018 um 09:43 Uhr

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Guenter am 24. Juli 2018 um 09:42 Uhr

2018-07-24T09:42:54Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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 *Der Imaginärteil ist zahlenmäßig&nbsp;  ${\rm Im}[U(f=0.5 \,\text{kHz})]\; \underline{\approx 0.2 \,\text{mV/Hz}}$.
-*Dagegen liefert die si-Funktion bei&nbsp; $f \cdot T = 1$&nbsp; den Wert Null, während der Cosinus gleich&nbsp; $-1$&nbsp; ist. Damit erhält man mit&nbsp; $A_u = 1\,\text{V}$&nbsp; und&nbsp; $T = 1\,\text{ms}$:
+*Dagegen liefert die si-Funktion bei&nbsp; $f \cdot T = 1$&nbsp; den Wert Null, während der Cosinus gleich&nbsp; $-1$&nbsp; ist.
 :$$U( {f = 1\;{\rm{kHz}}} ) = {\rm{j}} \cdot \frac{ {A_{\rm u} \cdot T}}{ { {\rm{2\pi }}}} \hspace{0.3 cm} \Rightarrow \hspace{0.3 cm} {\rm Re} [\text{...}] \hspace{0.15 cm}\underline{ =  0}, \hspace{0.3 cm}{\rm Im} [\text{...}] \hspace{0.15 cm}\underline{\approx  0.159 \;{\rm{mV/Hz}}}.$$
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 '''(2)'''&nbsp; Eine ungerade Zeitfunktion&nbsp; $u(t)$&nbsp; besitzt nach dem Zuordnungssatz stets ein imaginäres und gleichzeitig ungerades Spektrum: &nbsp;
-$U( { - f} ) =  - U( f ).$ Mit dem Grenzübergang&nbsp; $f \rightarrow \infty$&nbsp; folgt aus der angegebenen Gleichung
+$U( { - f} ) =  - U( f ).$&nbsp; Mit dem Grenzübergang&nbsp; $f \rightarrow \infty$&nbsp; folgt aus der angegebenen Gleichung
 :$$U( f ) =  - {\rm{j}} \cdot \frac{ {A_u  \cdot T}}{ {2{\rm{\pi }}fT}}\big[ { {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }}fT} ) - \cos ( { {\rm{\pi }}fT} )} \big]$$
-das Ergebnis&nbsp; $U(f = 0) = 0$. Formal könnte man dieses Ergebnis durch Anwendung der l'Hospitalschen Regel bestätigen.
+das Ergebnis&nbsp; $U(f = 0) = 0$.&nbsp; Formal könnte man dieses Ergebnis durch Anwendung der l'Hospitalschen Regel bestätigen.
 Wir gehen etwas pragmatischer vor.
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 '''(3)'''&nbsp; Das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; kann in den geraden und den ungeraden Anteil aufgeteilt werden, die zum geraden Realteil bzw. ungeraden Imaginärteil von&nbsp; $X(f)$&nbsp; führen:
-*Der gerade Anteil ist gleich der Funktion&nbsp; $g(t)$&nbsp; mit&nbsp; $A_g = 3\,\text{V}$. Daraus folgt für den Realteil des Spektralwertes bei&nbsp; $f \cdot T = 0.5$:
+*Der gerade Anteil ist gleich der Funktion&nbsp; $g(t)$&nbsp; mit&nbsp; $A_g = 3\,\text{V}$.&nbsp; Daraus folgt für den Realteil des Spektralwertes bei&nbsp; $f \cdot T = 0.5$:
 :$${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {X( {f \cdot T = 0.5} )} \right] = A_{\rm g}  \cdot T \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{2}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 1.91  \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
-*Der Imaginärteil ergibt sich aus der Spektralfunktion&nbsp; $U(f)$ mit $A_u = 1\,\text{V}$. Dieser wurde bereits in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; berechnet:
+*Der Imaginärteil ergibt sich aus der Spektralfunktion&nbsp; $U(f)$ mit $A_u = 1\,\text{V}$.&nbsp; Dieser wurde bereits in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; berechnet:
 :$${\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {X( {f \cdot T = 0.5} )} \right] \hspace{0.15 cm}\underline{\approx  - 0.2  \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$

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 [[Datei:P_ID516__Sig_A_3_6_neu.png|250px|right|frame|&bdquo;Keilfunktion&rdquo; sowie ein gerades und ein ungerades Zeitsignal]]
-Gesucht ist das Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; des nebenstehend skizzierten impulsförmigen Signals&nbsp; $x(t)$, das im Bereich von&nbsp; $–T/2$&nbsp; bis&nbsp; $+T/2$&nbsp; linear von&nbsp; $2\,\text{ V}$&nbsp; auf&nbsp; $4\,\text{ V}$&nbsp;  ansteigt und außerhalb Null ist.
+Gesucht ist das Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; des nebenstehend skizzierten impulsförmigen Signals&nbsp; $x(t)$, das im Bereich von&nbsp; $–T/2$&nbsp; bis&nbsp; $+T/2$&nbsp; linear von&nbsp; $2\,\text{V}$&nbsp; auf&nbsp; $4\,\text{V}$&nbsp;  ansteigt und außerhalb Null ist.
 Die Spektralfunktionen der unten dargestellten Signale&nbsp; $g(t)$&nbsp; und&nbsp; $u(t)$&nbsp; werden als bekannt vorausgesetzt:
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 *Alle diese Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo&nbsp; [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]&nbsp;  an Beispielen verdeutlicht.
 *Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatzes]].
-*Verwenden Sie für die beiden ersten Teilaufgaben die Signalparameter&nbsp; $A_u = 1\,\text{ V}$&nbsp; und&nbsp; $T = 1\,\text{ ms}$.
+*Verwenden Sie für die beiden ersten Teilaufgaben die Signalparameter&nbsp; $A_u = 1\,\text{V}$&nbsp; und&nbsp; $T = 1\,\text{ms}$.
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 {Wie groß ist der Spektralwert von&nbsp; $u(t)$&nbsp; bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$? &nbsp; &nbsp;
-''Hinweis'': Lieber denken als rechnen.
+<u>Hinweis</u>: Lieber denken als rechnen.
 |type="{}"}
 ${\rm Im}\big[U(f=0)\big]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{mV/Hz}$

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 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Für $f \cdot T  = 0.5$ erhält man aus der angegebenen Gleichung:
+'''(1)'''&nbsp;  Für&nbsp; $f \cdot T  = 0.5$&nbsp; erhält man aus der angegebenen Gleichung:
 :$$U( {f = 0.5\;{\rm{kHz}}} ) =  - {\rm{j}} \cdot \frac{ {A_u  \cdot T}}{ {\rm{\pi }}} \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{2}} ) =  - {\rm{j}} \cdot \frac{2}{ { {\rm{\pi }}^{\rm{2}} }} \cdot A_{\rm u}  \cdot T.$$
-*Der Imaginärteil ist zahlenmäßig  ${\rm Im}[U(f=0.5 \,\text{kHz})]\; \underline{\approx 0.2 \,\text{mV/Hz}}$.
+*Der Imaginärteil ist zahlenmäßig&nbsp;  ${\rm Im}[U(f=0.5 \,\text{kHz})]\; \underline{\approx 0.2 \,\text{mV/Hz}}$.
-*Dagegen liefert die si-Funktion bei $f \cdot T = 1$ den Wert $0$, während der Cosinus gleich $-1$ ist. Damit erhält man mit $A_u = 1\,\text{V}$ und $T = 1\,\text{ms}$:
+*Dagegen liefert die si-Funktion bei&nbsp; $f \cdot T = 1$&nbsp; den Wert Null, während der Cosinus gleich&nbsp; $-1$&nbsp; ist. Damit erhält man mit&nbsp; $A_u = 1\,\text{V}$&nbsp; und&nbsp; $T = 1\,\text{ms}$:
 :$$U( {f = 1\;{\rm{kHz}}} ) = {\rm{j}} \cdot \frac{ {A_{\rm u} \cdot T}}{ { {\rm{2\pi }}}} \hspace{0.3 cm} \Rightarrow \hspace{0.3 cm} {\rm Re} [\text{...}] \hspace{0.15 cm}\underline{ =  0}, \hspace{0.3 cm}{\rm Im} [\text{...}] \hspace{0.15 cm}\underline{\approx  0.159 \;{\rm{mV/Hz}}}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Eine ungerade Zeitfunktion $u(t)$ besitzt nach dem Zuordnungssatz stets ein imaginäres und gleichzeitig ungerades Spektrum: &nbsp;
-$U( { - f} ) =  - U( f ).$ Mit dem Grenzübergang $f \rightarrow \infty$ folgt aus der angegebenen Gleichung
+'''(2)'''&nbsp; Eine ungerade Zeitfunktion&nbsp; $u(t)$&nbsp; besitzt nach dem Zuordnungssatz stets ein imaginäres und gleichzeitig ungerades Spektrum: &nbsp;
 :$$U( f ) =  - {\rm{j}} \cdot \frac{ {A_u  \cdot T}}{ {2{\rm{\pi }}fT}}\big[ { {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }}fT} ) - \cos ( { {\rm{\pi }}fT} )} \big]$$
-das Ergebnis $U(f = 0) = 0$. Formal könnte man dieses Ergebnis durch Anwendung der l'Hospitalschen Regel bestätigen.
+das Ergebnis&nbsp; $U(f = 0) = 0$. Formal könnte man dieses Ergebnis durch Anwendung der l'Hospitalschen Regel bestätigen.
-Wir gehen etwas pragmatischer vor. Setzen wir zum Beispiel $f \cdot T = 0.01$, so erhält man:
+Wir gehen etwas pragmatischer vor.
 :$$U( {f \cdot T = 0.01}) = -{\rm{j}} \cdot \frac{ {A_{\rm u} \cdot T}}{{0.02{\rm{\pi }}}}\big[ {{\mathop{\rm si}\nolimits} ( {0.01{\rm{\pi }}} ) - \cos ( {0.01{\rm{\pi }}} )} \big ] =  - {\rm{j}} \cdot \frac{ {A{\rm u} \cdot T}}{{0.02{\rm{\pi }}}}( {0.999836 - 0.999507} ) \approx  - {\rm{j}} \cdot 5 \cdot 10^{ - 6} \;{\rm{V/Hz}}{\rm{.}}$$
 *Für noch kleinere Frequenzwerte wird auch das Ergebnis immer kleiner.
-*Schneller kommt man zum Ergebnis $U(f = 0)\;\underline{ = 0}$, wenn man berücksichtigt, dass das Integral über $u(t)$ verschwindet.
+*Schneller kommt man zum Ergebnis&nbsp; $U(f = 0)\;\underline{ = 0}$, wenn man berücksichtigt, dass das Integral über&nbsp; $u(t)$&nbsp; verschwindet.
 *Man muss also gar nicht rechnen.
-'''(3)'''&nbsp; Das Signal $x(t)$ kann in einen geraden und einen ungeraden Anteil aufgeteilt werden, die zum geraden Realteil bzw. zum ungeraden Imaginärteil von $X(f)$ führen:
-*Der gerade Anteil ist gleich der Funktion $g(t)$ mit $A_g = 3\,\text{V}$. Daraus folgt für den Realteil des Spektralwertes bei $f \cdot T = 0.5$:
+'''(3)'''&nbsp; Das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; kann in den geraden und den ungeraden Anteil aufgeteilt werden, die zum geraden Realteil bzw. ungeraden Imaginärteil von&nbsp; $X(f)$&nbsp; führen:
 :$${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {X( {f \cdot T = 0.5} )} \right] = A_{\rm g}  \cdot T \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{ {\rm{\pi }}}/{2}} ) \hspace{0.15 cm}\underline{= 1.91  \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
-*Der Imaginärteil ergibt sich aus der Spektralfunktion $U(f)$ mit $A_u = 1\,\text{V}$. Dieser wurde bereits in der Teilaufgabe (1) berechnet:
+*Der Imaginärteil ergibt sich aus der Spektralfunktion&nbsp; $U(f)$ mit $A_u = 1\,\text{V}$. Dieser wurde bereits in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; berechnet:
 :$${\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {X( {f \cdot T = 0.5} )} \right] \hspace{0.15 cm}\underline{\approx  - 0.2  \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$

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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die (rein imaginären) Spektralwerte des unsymmetrischen Signals $u(t)$ bei den Frequenzen $f = 0.5\,\text{ kHz}$ und $f = 1\,\text{ kHz}$.
+{Berechnen Sie die (rein imaginären) Spektralwerte des unsymmetrischen Signals&nbsp; $u(t)$&nbsp; bei den Frequenzen&nbsp; $f = 0.5\,\text{kHz}$&nbsp; und&nbsp; $f = 1\,\text{kHz}$.
 |type="{}"}
-${\rm Im}[U(f=0.5 \,\text{kHz})] \ = \ $ { -0.205--0.195 } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
+${\rm Im}\big[U(f=0.5 \,\text{kHz})\big] \ = \ $ { -0.205--0.195 } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
-${\rm Im}[U(f=1.0 \,\text{kHz})]\ = \ $ { 0.159 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
+${\rm Im}\big[U(f=1.0 \,\text{kHz})\big]\ = \ $ { 0.159 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
-{Wie groß ist der Spektralwert von $u(t)$ bei der Frequenz $f = 0$? &nbsp; &nbsp;
+{Wie groß ist der Spektralwert von&nbsp; $u(t)$&nbsp; bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$? &nbsp; &nbsp;
 ''Hinweis'': Lieber denken als rechnen.
 |type="{}"}
-${\rm Im}[U(f=0)]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
+${\rm Im}\big[U(f=0)\big]\ = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
-{Berechnen Sie unter Verwendung des Ergebnisses aus (1) den Spektralwert des Signals $x(t)$ bei der Frequenz $f=0.5 \,\text{kHz}$.
+{Berechnen Sie unter Verwendung des Ergebnisses aus&nbsp; '''(1)'''&nbsp; den Spektralwert des Signals&nbsp; $x(t)$&nbsp; bei der Frequenz&nbsp; $f=0.5 \,\text{kHz}$.
 |type="{}"}
-${\rm Re}[X(f=0.5 \,\text{kHz})]\ = \ $ { 1.91 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
+${\rm Re}\big[X(f=0.5 \,\text{kHz})\big]\ = \ $ { 1.91 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
-${\rm Im}[X(f=0.5 \,\text{kHz})]\ = \ $ { -0.205--0.195 } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
+${\rm Im}\big[X(f=0.5 \,\text{kHz})\big]\ = \ $ { -0.205--0.195 } &nbsp;$\text{mV/Hz}$

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 }}
-[[Datei:P_ID516__Sig_A_3_6_neu.png|250px|right|frame|&bdquo;Keilfunktion&rdquo; sowie gerades/ungerades Zeitsignal]]
+[[Datei:P_ID516__Sig_A_3_6_neu.png|250px|right|frame|&bdquo;Keilfunktion&rdquo; sowie ein gerades und ein ungerades Zeitsignal]]
-Gesucht ist das Spektrum $X(f)$ des nebenstehend skizzierten impulsförmigen Signals $x(t)$, das im Bereich von $–T/2$ bis $+T/2$ linear von $2\,\text{ V}$ auf $4\,\text{ V}$  ansteigt und außerhalb $0$ ist.
+Gesucht ist das Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; des nebenstehend skizzierten impulsförmigen Signals&nbsp; $x(t)$, das im Bereich von&nbsp; $–T/2$&nbsp; bis&nbsp; $+T/2$&nbsp; linear von&nbsp; $2\,\text{ V}$&nbsp; auf&nbsp; $4\,\text{ V}$&nbsp;  ansteigt und außerhalb Null ist.
-Die Spektralfunktionen der unten dargestellten Signale $g(t)$ und $u(t)$ werden als bekannt vorausgesetzt:
+Die Spektralfunktionen der unten dargestellten Signale&nbsp; $g(t)$&nbsp; und&nbsp; $u(t)$&nbsp; werden als bekannt vorausgesetzt:
-*Die gerade, rechteckförmige Zeitfunktion $g(t)$ besitzt das Spektrum
+*Die gerade, rechteckförmige Zeitfunktion&nbsp; $g(t)$&nbsp; hat das Spektrum
 :$$G( f ) = A_g  \cdot T \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( { {\rm{\pi }}fT} ) \hspace{0.3cm} {\rm{mit}}\hspace{0.3cm} {\mathop{\rm si}\nolimits}( x ) =  {\sin ( x )}/{x}.$$
-*Das Spektrum der unsymmetrischen Funktion $u(t)$ lautet:
+*Das Spektrum der unsymmetrischen Funktion&nbsp; $u(t)$&nbsp; lautet:
 :$$U( f ) =  - {\rm{j}} \cdot \frac{ {A_u  \cdot T}}{ {2{\rm{\pi }}fT}}\big[ {{\mathop{\rm si}\nolimits} ( { {\rm{\pi }}fT} ) - \cos ( { {\rm{\pi }}fT} )} \big].$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
-*Alle diese Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]  an Beispielen verdeutlicht.
+*Alle diese Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo&nbsp; [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]&nbsp;  an Beispielen verdeutlicht.
-*Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatzes]].
+*Lösen Sie diese Aufgabe mit Hilfe des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Zuordnungssatz|Zuordnungssatzes]].
-*Verwenden Sie für die beiden ersten Teilaufgaben die Signalparameter $A_u = 1\,\text{ V}$ und $T = 1\,\text{ ms}$.
+*Verwenden Sie für die beiden ersten Teilaufgaben die Signalparameter&nbsp; $A_u = 1\,\text{ V}$&nbsp; und&nbsp; $T = 1\,\text{ ms}$.

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(kein Unterschied)