Aufgaben:Aufgabe 3.6: Einschwingverhalten - Versionsgeschichte

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	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.3 Laplace–Rücktransformation^]]		[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.3 Laplace–Rücktransformation^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.6:_Transient_Behavior]]

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Guenter am 9. Dezember 2021 um 16:22 Uhr

2021-12-09T16:22:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Dezember 2021, 18:22 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Ersetzt man in  $H_{\rm L}(p)$  den Parameter  $T$  durch  $1/f_0$  sowie  $p$  durch  ${\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man für den Frequenzgang allgemein bzw. für  $f_0 = 1 \ \rm MHz$:		'''(1)'''  Ersetzt man in  $H_{\rm L}(p)$  den Parameter  $T$  durch  $1/f_0$  sowie  $p$  durch  ${\rm j} \cdot 2 \pi f$,  so erhält man für den Frequenzgang allgemein bzw. für  $f_0 = 1 \ \rm MHz$:
	:$$H(f) = \frac {2 /T} { {\rm j} \cdot 2 \pi f + 2 /T}=		:$$H(f) = \frac {2 /T} { {\rm j} \cdot 2 \pi f + 2 /T}=
	\frac {f_0} { {\rm j} \cdot \pi f + f_0}		\frac {f_0} { {\rm j} \cdot \pi f + f_0}
Zeile 104:		Zeile 104:
	'''(2)'''  Das Ausgangssignal  $y_{\rm C}(t)$  ist gegenüber dem Eingangssignal  $c(t)$  um den Faktor  $0.303$  gedämpft und um  $\tau \approx 72/360 \cdot T = T/5$  verzögert.		'''(2)'''  Das Ausgangssignal  $y_{\rm C}(t)$  ist gegenüber dem Eingangssignal  $c(t)$  um den Faktor  $0.303$  gedämpft und um  $\tau \approx 72/360 \cdot T = T/5$  verzögert.

	Man kann dieses Signal somit auch folgendermaßen beschreiben:		*Man kann dieses Signal somit auch folgendermaßen beschreiben:
	:$$y_{\rm C}(t) = \frac { \cos(2\pi {t}/{T}) + \pi \cdot \sin(2\pi {t}/{T})} { {1 + \pi^2		:$$y_{\rm C}(t) = \frac { \cos(2\pi {t}/{T}) + \pi \cdot \sin(2\pi {t}/{T})} { {1 + \pi^2
	}}= 0.303 \cdot \cos(2\pi \cdot \frac{t-T/5}{T}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm C}(t=0) = \frac {1} { {1 + \pi^2		}}= 0.303 \cdot \cos(2\pi \cdot \frac{t-T/5}{T}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm C}(t=0) = \frac {1} { {1 + \pi^2
	}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.092} \hspace{0.05cm}.$$		}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.092} \hspace{0.05cm}.$$
	Dieses Signal ist in der linken Grafik zur Musterlösung  '''(5)'''  blau–gepunktet dargestellt.		*Dieses Signal ist in der linken Grafik zur Musterlösung  '''(5)'''  blau–gepunktet dargestellt.


Zeile 114:		Zeile 114:
	'''(3)'''  Das Signal  $y_{\rm S}(t)$  ist gegenüber  $s(t)$  ebenfalls um den Dämpfungsfaktor  $0.303$  kleiner und um die Zeitdauer  $\tau = T/5$  verzögert.		'''(3)'''  Das Signal  $y_{\rm S}(t)$  ist gegenüber  $s(t)$  ebenfalls um den Dämpfungsfaktor  $0.303$  kleiner und um die Zeitdauer  $\tau = T/5$  verzögert.

	Es lässt sich wie folgt beschreiben:		*Es lässt sich wie folgt beschreiben:
	:$$y_{\rm S}(t) = \frac { -\pi \cdot \cos(2\pi {t}/{T}) + \sin(2\pi {t}/{T})} { {1 + \pi^2		:$$y_{\rm S}(t) = \frac { -\pi \cdot \cos(2\pi {t}/{T}) + \sin(2\pi {t}/{T})} { {1 + \pi^2
	}}= 0.303 \cdot \sin(2\pi \cdot \frac{t-T/5}{T}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm S}(t=0) = -\frac {\pi} { {1 + \pi^2		}}= 0.303 \cdot \sin(2\pi \cdot \frac{t-T/5}{T}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm S}(t=0) = -\frac {\pi} { {1 + \pi^2
	}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.289} \hspace{0.05cm}.$$		}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.289} \hspace{0.05cm}.$$
	Dieses Signal ist in der rechten Grafik zur Musterlösung  '''(5)'''  blau–gepunktet skizziert.		*Dieses Signal ist in der rechten Grafik zur Musterlösung  '''(5)'''  blau–gepunktet skizziert.


Zeile 130:		Zeile 130:
	{0.02}/{T}\hspace{0.05cm}.$$		{0.02}/{T}\hspace{0.05cm}.$$

			[[Datei:P_ID1785__LZI_A_3_6_e.png\|right\|frame\|Einschwingverhalten eines kausalen Cosinus– und eines kausalen Sinussignals]]
			<br>'''(5)'''  Richtig sind  <u>die Aussagen 1 und 2</u>:
	'''(5)'''  Richtig sind <u>die Aussagen 1 und 2</u>:
	*Die kausalen Signale  $y_{\rm CK}(t)$  und  $y_{\rm SK}(t)$  müssen für  $t < 0$  identisch Null sein.		*Die kausalen Signale  $y_{\rm CK}(t)$  und  $y_{\rm SK}(t)$  müssen für  $t < 0$  identisch Null sein.
	*Da aber die Impulsantwort  $h(t)$  des betrachteten Filters für  $t > T_h$  (nahezu) verschwindet, ist es nach Abschluss des Einschwingvorganges egal, ob das zeitlich unbegrenzte ~~Cosinussignal~~  $c(t)$  oder das kausale Signal  $c_{\rm K}(t)$ am Eingang anliegt.		*Da aber die Impulsantwort  $h(t)$  des betrachteten Filters für  $t > T_h$  (nahezu) verschwindet,  ist es nach Abschluss des Einschwingvorganges egal,  ob das zeitlich unbegrenzte Signal  $c(t)$  oder das kausale Signal  $c_{\rm K}(t)$ am Eingang anliegt.
	*Das gleiche gilt für die Sinussignale:   Für  $t >T_{ h}$  ist  $y_{\rm SK}(t)=y_{\rm S}(t)$.		*Das gleiche gilt für die Sinussignale:   Für  $t >T_{ h}$  ist  $y_{\rm SK}(t)=y_{\rm S}(t)$.


	~~[[Datei:P_ID1785__LZI_A_3_6_e.png\|center\|frame\|Einschwingverhalten eines kausalen Cosinus– und eines kausalen Sinussignals]]~~		Die Grafik zeigt links die Ausgangssignale  $y_{\rm C}(t)$  und  $y_{\rm CK}(t)$  bei cosinusförmigem Eingang und rechts die Signale  $y_{\rm S}(t)$  und  $y_{\rm SK}(t)$  bei sinusförmigem Eingang.  '''Beachten Sie die Laufzeit'''  von  $T/5$  $($entsprechend der Phase  $72^\circ)$  '''in beiden Fällen'''.
			*Bei  $y_{\rm CK}(t)$  sind die ersten Wellenberge kleiner als  $1$,  um die richtige Phasenlage von  $y_{\rm C}(t)$  zu erreichen.
	Die Grafik zeigt links die Ausgangssignale  $y_{\rm C}(t)$  und  $y_{\rm CK}(t)$  bei cosinusförmigem Eingang und rechts die Signale  $y_{\rm S}(t)$  und  $y_{\rm SK}(t)$  bei sinusförmigem Eingang. Beachten Sie die Laufzeit von  $T/5$  $($entsprechend der Phase  $72^\circ)$  in beiden Fällen.		*Bei  $y_{\rm SK}(t)$  sind dagegen die ersten Wellenberge größer als  $1$,  um die richtige Phasenlage von  $y_{\rm S}(t)$  zu erreichen.
	*Bei  $y_{\rm CK}(t)$  sind die ersten Wellenberge kleiner als  $1$, um die richtige Phasenlage von  $y_{\rm C}(t)$  zu erreichen.
	*Bei  $y_{\rm SK}(t)$  sind dagegen die ersten Wellenberge größer als  $1$, um die richtige Phasenlage von  $y_{\rm S}(t)$  zu erreichen.



Zeile 203:		Zeile 199:
	:$$y_{1\hspace{-0.03cm}+2} (t) = \frac { \cos(2\pi {t}/{T}) + \pi \cdot \sin(2\pi {t}/{T})} { {1 + \pi^2		:$$y_{1\hspace{-0.03cm}+2} (t) = \frac { \cos(2\pi {t}/{T}) + \pi \cdot \sin(2\pi {t}/{T})} { {1 + \pi^2
	}}= y_{\rm C}(t)\hspace{0.05cm}.$$		}}= y_{\rm C}(t)\hspace{0.05cm}.$$
	Man erkennt, dass  $y_{1\hspace{0.03cm}+2}(t)$  gleich dem in der Teilaufgabe  '''(2)'''  berechneten Signal  $y_{\rm C}(t)$  ist.		Man erkennt,  dass  $y_{1\hspace{0.03cm}+2}(t)$  exakt gleich dem in der Teilaufgabe  '''(2)'''  berechneten Signal  $y_{\rm C}(t)$  ist.

	* Schließlich erhält man für das letzte Residuum:		* Schließlich erhält man für das letzte Residuum:

Guenter am 9. Dezember 2021 um 16:12 Uhr

2021-12-09T16:12:56Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. Dezember 2021, 18:12 Uhr
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	[[Datei:P_ID1784__LZI_A_3_6.png\|right\|frame\|Cosinus– und Sinusschwingung,<br>jeweils kausal]]		[[Datei:P_ID1784__LZI_A_3_6.png\|right\|frame\|Cosinus– und Sinusschwingung,<br>jeweils kausal]]
	Wir betrachten in dieser Aufgabe ein Cosinussignal  $c(t)$  mit der Amplitude  $1$  und der Periodendauer $T = 1 \ \rm µ s$, das für alle Zeiten  $t$  $($im Bereich  $ \pm \infty)$  definiert ist:		Wir betrachten in dieser Aufgabe ein Cosinussignal  $c(t)$  mit der Amplitude  $1$  und der Periodendauer $T = 1 \ \rm µ s$,  das für alle Zeiten  $t$  $($im Bereich  $ \pm \infty)$  definiert ist:
	:$$c(t) = \cos(2\pi \cdot {t}/{T})		:$$c(t) = \cos(2\pi \cdot {t}/{T})
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$
	Dagegen beginnt das kausale Cosinussignal  $c_{\rm K}(t)$  (rote Kurve) erst zum Einschaltzeitpunkt  $t = 0$:		Dagegen beginnt das kausale Cosinussignal  $c_{\rm K}(t)$  (rote Kurve)  erst zum Einschaltzeitpunkt  $t = 0$:
	:$$c_{\rm K}(t)= \left\{ \begin{array}{c} c(t) \\		:$$c_{\rm K}(t)= \left\{ \begin{array}{c} c(t) \\
	0 \end{array} \right.		0 \end{array} \right.
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	Die beidseitig unbegrenzte Sinusfunktion wird mit  $s(t)$  bezeichnet und ist als blau–gepunktete Kurve im unteren Diagramm dargestellt.		Die beidseitig unbegrenzte Sinusfunktion wird mit  $s(t)$  bezeichnet und ist als blau–gepunktete Kurve im unteren Diagramm dargestellt.

			Die Signale  $c(t)$,  $c_{\rm K}(t)$,  $s(t)$  und  $s_{\rm K}(t)$  werden an den Eingang eines Tiefpasses erster Ordnung mit folgender Übertragungsfunktion  (bzw. Impulsantwort)  angelegt:
	Die Signale  $c(t)$,  $c_{\rm K}(t)$,  $s(t)$  und  $s_{\rm K}(t)$  werden an den Eingang eines Tiefpasses erster Ordnung mit folgender Übertragungsfunktion (bzw. ~~der~~ Impulsantwort) angelegt:
	:$$H_{\rm L}(p) =		:$$H_{\rm L}(p) =
	\frac {2 /T} { p + 2 /T} \quad		\frac {2 /T} { p + 2 /T} \quad
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			Hinweise:
			*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation\|Laplace–Rücktransformation]].

	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation\|Laplace–Rücktransformation]].

	*Die Berechnungen zur Teilaufgabe  '''(6)'''  sind umfangreich.		*Die Berechnungen zur Teilaufgabe  '''(6)'''  sind umfangreich.
	*Zur Berechnung der Signale  $y_{\rm CK}(t)$  und  $y_{\rm SK}(t)$  bietet sich zum Beispiel der  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes\|Residuensatz]]  an.		*Zur Berechnung der Signale  $y_{\rm CK}(t)$  und  $y_{\rm SK}(t)$  bietet sich zum Beispiel der  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes\|Residuensatz]]  an.
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	{Bestimmen Sie die Einflusslänge  $T_h$  der Filterimpulsantwort, also diejenige Zeit, bei der  $h(t)$  auf  $1\%$  des Maximalwertes abgeklungen ist. Normierung auf  $T$.		{Bestimmen Sie die Einflusslänge  $T_h$  der Filterimpulsantwort,  also diejenige Zeit,  bei der  $h(t)$  auf  $1\%$  des Maximalwertes abgeklungen ist.  Normierung auf  $T$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$T_h/T \ = \ $ { 2.3 3% }		$T_h/T \ = \ $ { 2.3 3% }
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	{Berechnen Sie mittels Residuensatz das Signal  $y_{\rm CK}(t)$  nach dem Filter, wenn am Eingang  $c_{\rm K}(t)$  anliegt.  Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt  $t = T/5$  auf?		{Berechnen Sie mittels Residuensatz das Signal  $y_{\rm CK}(t)$  nach dem Filter, wenn am Eingang  $c_{\rm K}(t)$  anliegt.   Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt  $t = T/5$  auf?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y_\text{CK}(t = T/5) \ = \ $ { 0.24 3% }		$y_\text{CK}(t = T/5) \ = \ $ { 0.24 3% }

Guenter am 4. November 2019 um 08:27 Uhr

2019-11-04T08:27:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 4. November 2019, 10:27 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Ersetzt man in ~~der Übertragungsfunktion~~ $H_{\rm L}(p)$ den Parameter $T$ durch $1/f_0$ sowie $p$ durch ${\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man für den Frequenzgang allgemein bzw. für $f_0 = 1 \ \rm MHz$:		'''(1)'''  Ersetzt man in  $H_{\rm L}(p)$  den Parameter  $T$  durch  $1/f_0$  sowie  $p$  durch  ${\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man für den Frequenzgang allgemein bzw. für  $f_0 = 1 \ \rm MHz$:
	:$$H(f) = \frac {2 /T} { {\rm j} \cdot 2 \pi f + 2 /T}=		:$$H(f) = \frac {2 /T} { {\rm j} \cdot 2 \pi f + 2 /T}=
	\frac {f_0} { {\rm j} \cdot \pi f + f_0}		\frac {f_0} { {\rm j} \cdot \pi f + f_0}
Zeile 107:		Zeile 107:


	'''(2)'''  Das Ausgangssignal $y_{\rm C}(t)$ ist gegenüber dem Eingangssignal $c(t)$ um den Faktor $0.303$ gedämpft und um $\tau \approx 72/360 \cdot T = T/5$ verzögert. Man kann dieses Signal somit auch folgendermaßen beschreiben:		'''(2)'''  Das Ausgangssignal  $y_{\rm C}(t)$  ist gegenüber dem Eingangssignal  $c(t)$  um den Faktor  $0.303$  gedämpft und um  $\tau \approx 72/360 \cdot T = T/5$  verzögert.

			Man kann dieses Signal somit auch folgendermaßen beschreiben:
	:$$y_{\rm C}(t) = \frac { \cos(2\pi {t}/{T}) + \pi \cdot \sin(2\pi {t}/{T})} { {1 + \pi^2		:$$y_{\rm C}(t) = \frac { \cos(2\pi {t}/{T}) + \pi \cdot \sin(2\pi {t}/{T})} { {1 + \pi^2
	}}= 0.303 \cdot \cos(2\pi \cdot \frac{t-T/5}{T}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm C}(t=0) = \frac {1} { {1 + \pi^2		}}= 0.303 \cdot \cos(2\pi \cdot \frac{t-T/5}{T}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm C}(t=0) = \frac {1} { {1 + \pi^2
	}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.092} \hspace{0.05cm}.$$		}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.092} \hspace{0.05cm}.$$
	Dieses Signal ist in der linken Grafik zur Musterlösung '''(5)''' blau–gepunktet dargestellt.		Dieses Signal ist in der linken Grafik zur Musterlösung  '''(5)'''  blau–gepunktet dargestellt.



	'''(3)'''  Das Signal $y_{\rm S}(t)$ ist gegenüber $s(t)$ ebenfalls um den Dämpfungsfaktor $0.303$ kleiner und um die Zeitdauer $\tau = T/5$ verzögert.		'''(3)'''  Das Signal  $y_{\rm S}(t)$  ist gegenüber  $s(t)$  ebenfalls um den Dämpfungsfaktor  $0.303$  kleiner und um die Zeitdauer  $\tau = T/5$  verzögert.

	Es lässt sich wie folgt beschreiben:		Es lässt sich wie folgt beschreiben:
Zeile 121:		Zeile 123:
	}}= 0.303 \cdot \sin(2\pi \cdot \frac{t-T/5}{T}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm S}(t=0) = -\frac {\pi} { {1 + \pi^2		}}= 0.303 \cdot \sin(2\pi \cdot \frac{t-T/5}{T}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm S}(t=0) = -\frac {\pi} { {1 + \pi^2
	}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.289} \hspace{0.05cm}.$$		}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.289} \hspace{0.05cm}.$$
	Dieses Signal ist in der rechten Grafik zur Musterlösung '''(5)''' blau–gepunktet skizziert.		Dieses Signal ist in der rechten Grafik zur Musterlösung  '''(5)'''  blau–gepunktet skizziert.



	'''(4)'''  Bei $T_h$ soll die Impulsantwort $h(t)$ auf $1\%$ des Maximalwertes abgeklungen sein. Somit gilt:		'''(4)'''  Bei  $T_h$  soll die Impulsantwort  $h(t)$  auf  $1\%$  des Maximalwertes abgeklungen sein. Somit gilt:
	:$${\rm e}^{\hspace{0.05cm}-\hspace{0.03cm}2		:$${\rm e}^{\hspace{0.05cm}-\hspace{0.03cm}2
	\hspace{0.03cm}T_{ h}/T} = 0.01 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {T_{ h}}/{T} =\frac{1}{2}		\hspace{0.03cm}T_{ h}/T} = 0.01 \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} {T_{ h}}/{T} =\frac{1}{2}
Zeile 136:		Zeile 138:

	'''(5)'''  Richtig sind <u>die Aussagen 1 und 2</u>:		'''(5)'''  Richtig sind <u>die Aussagen 1 und 2</u>:
	*Die kausalen Signale $y_{\rm CK}(t)$ und $y_{\rm SK}(t)$ müssen für $t < 0$ identisch Null sein.		*Die kausalen Signale  $y_{\rm CK}(t)$  und  $y_{\rm SK}(t)$  müssen für  $t < 0$  identisch Null sein.
	*Da aber die Impulsantwort $h(t)$ des betrachteten Filters für $t > T_h$ (nahezu) verschwindet, ist es nach Abschluss des Einschwingvorganges egal, ob das zeitlich unbegrenzte Cosinussignal $c(t)$ oder das kausale Signal $c_{\rm K}(t)$ am Eingang anliegt.		*Da aber die Impulsantwort  $h(t)$  des betrachteten Filters für  $t > T_h$  (nahezu) verschwindet, ist es nach Abschluss des Einschwingvorganges egal, ob das zeitlich unbegrenzte Cosinussignal  $c(t)$  oder das kausale Signal  $c_{\rm K}(t)$ am Eingang anliegt.
	*Das gleiche gilt für die Sinussignale:   Für $t >T_{ h}$ ist $y_{\rm SK}(t)=y_{\rm S}(t)$.		*Das gleiche gilt für die Sinussignale:   Für  $t >T_{ h}$  ist  $y_{\rm SK}(t)=y_{\rm S}(t)$.


	[[Datei:P_ID1785__LZI_A_3_6_e.png\|center\|frame\|Einschwingverhalten eines kausalen Cosinus– und eines kausalen Sinussignals]]		[[Datei:P_ID1785__LZI_A_3_6_e.png\|center\|frame\|Einschwingverhalten eines kausalen Cosinus– und eines kausalen Sinussignals]]

	Die Grafik zeigt links die Ausgangssignale $y_{\rm C}(t)$ und $y_{\rm CK}(t)$ bei cosinusförmigem Eingang und rechts die Signale $y_{\rm S}(t)$ und $y_{\rm SK}(t)$ bei sinusförmigem Eingang. Beachten Sie die Laufzeit von $T/5$ (entsprechend der Phase $72^\circ$) in beiden Fällen.		Die Grafik zeigt links die Ausgangssignale  $y_{\rm C}(t)$  und  $y_{\rm CK}(t)$  bei cosinusförmigem Eingang und rechts die Signale  $y_{\rm S}(t)$  und  $y_{\rm SK}(t)$  bei sinusförmigem Eingang. Beachten Sie die Laufzeit von  $T/5$  $($entsprechend der Phase  $72^\circ)$  in beiden Fällen.
	*Bei $y_{\rm CK}(t)$ sind die ersten Wellenberge kleiner als $1$, um die richtige Phasenlage von $y_{\rm C}(t)$ zu erreichen.		*Bei  $y_{\rm CK}(t)$  sind die ersten Wellenberge kleiner als  $1$, um die richtige Phasenlage von  $y_{\rm C}(t)$  zu erreichen.
	*Bei $y_{\rm SK}(t)$ sind dagegen die ersten Wellenberge größer als $1$, um die richtige Phasenlage von $y_{\rm S}(t)$ zu erreichen.		*Bei  $y_{\rm SK}(t)$  sind dagegen die ersten Wellenberge größer als  $1$, um die richtige Phasenlage von  $y_{\rm S}(t)$  zu erreichen.




	'''(6)'''  Mit		'''(6)'''  Mit
	$p_{\rm x1}= {\rm j} \cdot {2\pi}/{T} , \hspace{0.1cm}p_{\rm x2}= -{\rm j} \cdot {2\pi}/{T} , \hspace{0.1cm}		$p_{\rm x1}= {\rm j} \cdot {2\pi}/{T} , \hspace{0.1cm}p_{\rm x2}= -{\rm j} \cdot {2\pi}/{T} , \hspace{0.1cm}
	p_{\rm x3}= -{2}/{T}		p_{\rm x3}= -{2}/{T}
	\hspace{0.05cm}$		\hspace{0.05cm}$
	kann für die Laplace–Transformierte des Signals $y_{\rm CK}(t)$ geschrieben werden:		kann für die Laplace–Transformierte des Signals  $y_{\rm CK}(t)$  geschrieben werden:
	:$$Y_{\rm L}(p) =		:$$Y_{\rm L}(p) =
	\frac {-p_{{\rm x}3}\cdot p} { (p-p_{{\rm x}1})(p-p_{{\rm x}2})(p-p_{{\rm x}3})}		\frac {-p_{{\rm x}3}\cdot p} { (p-p_{{\rm x}1})(p-p_{{\rm x}2})(p-p_{{\rm x}3})}
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	Die Zeitfunktion $y_{\rm CK}(t)$ setzt sich somit nach dem Residuensatz aus drei Anteilen zusammen:		Die Zeitfunktion  $y_{\rm CK}(t)$  setzt sich somit nach dem Residuensatz aus drei Anteilen zusammen:

	* Der erste Anteil ergibt sich unter Berücksichtigung von $p_{\rm x2}= -p_{\rm x1}$ zu		* Der erste Anteil ergibt sich unter Berücksichtigung von  $p_{\rm x2}= -p_{\rm x1}$  zu
	:$$y_1(t)= {\rm Res} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}		:$$y_1(t)= {\rm Res} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}
	\hspace{0.05cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}p t}\}=		\hspace{0.05cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}p t}\}=
Zeile 186:		Zeile 189:
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$

	* Fasst man beide Anteile zusammen und berücksichtigt die ~~Werte~~ von $p_{\rm x1}$ und $p_{\rm x3}$, so erhält man		* Fasst man beide Anteile zusammen und berücksichtigt die Zahlenwerte von  $p_{\rm x1}$  und  $p_{\rm x3}$, so erhält man
	:$$y_{1\hspace{0.03cm}+2}(t)= \frac {1/T} { 2/T + {\rm j} \cdot 2\pi /T}		:$$y_{1\hspace{0.03cm}+2}(t)= \frac {1/T} { 2/T + {\rm j} \cdot 2\pi /T}
	\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.03cm} t/T}+\frac {1/T} { 2/T - {\rm j} \cdot 2\pi /T}		\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.03cm} t/T}+\frac {1/T} { 2/T - {\rm j} \cdot 2\pi /T}
Zeile 205:		Zeile 208:
	:$$y_{1\hspace{-0.03cm}+2} (t) = \frac { \cos(2\pi {t}/{T}) + \pi \cdot \sin(2\pi {t}/{T})} { {1 + \pi^2		:$$y_{1\hspace{-0.03cm}+2} (t) = \frac { \cos(2\pi {t}/{T}) + \pi \cdot \sin(2\pi {t}/{T})} { {1 + \pi^2
	}}= y_{\rm C}(t)\hspace{0.05cm}.$$		}}= y_{\rm C}(t)\hspace{0.05cm}.$$
	Man erkennt, dass $y_{1\hspace{0.03cm}+2}(t)$ gleich dem in der Teilaufgabe '''(2)''' berechneten Signal $y_{\rm C}(t)$ ist.		Man erkennt, dass  $y_{1\hspace{0.03cm}+2}(t)$  gleich dem in der Teilaufgabe  '''(2)'''  berechneten Signal  $y_{\rm C}(t)$  ist.

	* Schließlich erhält man für das letzte Residuum:		* Schließlich erhält man für das letzte Residuum:
Zeile 229:		Zeile 232:
	e}^{\hspace{0.05cm}-0.4}} { {1 + \pi^2		e}^{\hspace{0.05cm}-0.4}} { {1 + \pi^2
	}} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.24} < 0.303\hspace{0.05cm} .$$		}} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.24} < 0.303\hspace{0.05cm} .$$
	:Zum Vergleich:   Das Signal $y_{\rm C}(t)$ hat zu diesem Zeitpunkt den Wert $0.303$.		:Zum Vergleich:   Das Signal  $y_{\rm C}(t)$  hat zu diesem Zeitpunkt den Wert  $0.303$.

	* Dagegen ergibt sich beim kausalen Sinussignal am Eingang allgemein und speziell zum Zeitpunkt des ersten Maximums bei $t = 0.45 \cdot T$:		* Dagegen ergibt sich beim kausalen Sinussignal am Eingang allgemein und speziell zum Zeitpunkt des ersten Maximums bei  $t = 0.45 \cdot T$:
	:$$y_{\rm SK}(t) = \frac { -\pi \cdot \cos(2\pi {t}/{T}) + \sin(2\pi {t}/{T})+\pi \cdot {\rm		:$$y_{\rm SK}(t) = \frac { -\pi \cdot \cos(2\pi {t}/{T}) + \sin(2\pi {t}/{T})+\pi \cdot {\rm
	e}^{\hspace{0.05cm}-2		e}^{\hspace{0.05cm}-2

Guenter am 2. November 2019 um 16:57 Uhr

2019-11-02T16:57:52Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. November 2019, 18:57 Uhr
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	[[Datei:P_ID1784__LZI_A_3_6.png\|right\|frame\|Cosinus– und Sinusschwingung,<br>jeweils kausal]]		[[Datei:P_ID1784__LZI_A_3_6.png\|right\|frame\|Cosinus– und Sinusschwingung,<br>jeweils kausal]]
	Wir betrachten in dieser Aufgabe ein Cosinussignal  $c(t)$  mit der Amplitude $1$ und der Periodendauer $T = 1 \ \rm µ s$, das für alle Zeiten $t$ (im Bereich $ \pm \infty$) definiert ist:		Wir betrachten in dieser Aufgabe ein Cosinussignal  $c(t)$  mit der Amplitude  $1$  und der Periodendauer $T = 1 \ \rm µ s$, das für alle Zeiten  $t$  $($im Bereich  $ \pm \infty)$  definiert ist:
	:$$c(t) = \cos(2\pi \cdot {t}/{T})		:$$c(t) = \cos(2\pi \cdot {t}/{T})
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$
	Dagegen beginnt das kausale Cosinussignal  $c_{\rm K}(t)$  (rote Kurve) erst zum Einschaltzeitpunkt $t = 0$:		Dagegen beginnt das kausale Cosinussignal  $c_{\rm K}(t)$  (rote Kurve) erst zum Einschaltzeitpunkt  $t = 0$:
	:$$c_{\rm K}(t)= \left\{ \begin{array}{c} c(t) \\		:$$c_{\rm K}(t)= \left\{ \begin{array}{c} c(t) \\
	0 \end{array} \right.		0 \end{array} \right.
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	*Die entsprechenden Ausgangssignale werden mit  $y_{\rm C}(t)$,  $y_{\rm CK}(t)$,  $y_{\rm S}(t)$  und  $y_{\rm SK}(t)$  bezeichnet.		*Die entsprechenden Ausgangssignale werden mit  $y_{\rm C}(t)$,  $y_{\rm CK}(t)$,  $y_{\rm S}(t)$  und  $y_{\rm SK}(t)$  bezeichnet.
	*Diese Signale sollen in dieser Aufgabe berechnet und zueinander in Bezug gesetzt werden.		*Diese Signale sollen in dieser Aufgabe berechnet und zueinander in Bezug gesetzt werden.





Zeile 43:		Zeile 46:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation\|Laplace–Rücktransformation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation\|Laplace–Rücktransformation]].

	*Die Berechnungen zur Teilaufgabe '''(6)''' sind umfangreich.		*Die Berechnungen zur Teilaufgabe  '''(6)'''  sind umfangreich.
	*Zur Berechnung der Signale  $y_{\rm CK}(t)$  und  $y_{\rm SK}(t)$  bietet sich zum Beispiel der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes\|Residuensatz]] an.		*Zur Berechnung der Signale  $y_{\rm CK}(t)$  und  $y_{\rm SK}(t)$  bietet sich zum Beispiel der  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes\|Residuensatz]]  an.


Zeile 50:		Zeile 53:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie den Frequenzgang  $H(f)$  aus  $H_{\rm L}(p)$  nach Betrag und Phase. ~~<br>~~Welche Werte ergeben sich für die Frequenz  $ f = f_0 = 1/T = 1 \ \rm MHz$?		{Berechnen Sie den Frequenzgang  $H(f)$  aus  $H_{\rm L}(p)$  nach Betrag und Phase.  Welche Werte ergeben sich für die Frequenz  $ f = f_0 = 1/T = 1 \ \rm MHz$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|H(f = f_0)\| \ = \ $ { 0.303 3% }		$\|H(f = f_0)\| \ = \ $ { 0.303 3% }
Zeile 58:		Zeile 61:


	{Berechnen Sie das Signal  $y_{\rm C}(t)$  am Filterausgang, wenn am ~~Eingang des Filters~~ das Cosinussignal  $c(t)$  anliegt. ~~<br>~~Welcher Wert ergibt sich für  $t = 0$?		{Berechnen Sie das Signal  $y_{\rm C}(t)$  am Filterausgang, wenn am Filtereingang das Cosinussignal  $c(t)$  anliegt.  Welcher Wert ergibt sich für  $t = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y_{\rm C}(t = 0) \ = \ $ { 0.092 3% }		$y_{\rm C}(t = 0) \ = \ $ { 0.092 3% }


	{Berechnen Sie das Ausgangssignal  $y_{\rm S}(t)$, wenn am ~~Eingang~~ das Sinussignal  $s(t)$  anliegt. ~~<br>~~Welcher Wert ergibt sich für $t = 0$?		{Berechnen Sie das Ausgangssignal  $y_{\rm S}(t)$, wenn am Filtereingang das Sinussignal  $s(t)$  anliegt.  Welcher Wert ergibt sich für  $t = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y_{\rm S}(t = 0) \ = \ $ { -0.295--0.283 }		$y_{\rm S}(t = 0) \ = \ $ { -0.295--0.283 }


	{Bestimmen Sie die Einflusslänge  $T_h$  der Filterimpulsantwort, also diejenige Zeit, bei der  $h(t)$  auf  $1\%$  des Maximalwertes abgeklungen ist. Normierung auf $T$.		{Bestimmen Sie die Einflusslänge  $T_h$  der Filterimpulsantwort, also diejenige Zeit, bei der  $h(t)$  auf  $1\%$  des Maximalwertes abgeklungen ist. Normierung auf  $T$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$T_h/T \ = \ $ { 2.3 3% }		$T_h/T \ = \ $ { 2.3 3% }
Zeile 80:		Zeile 83:


	{Berechnen Sie mittels Residuensatz das Signal  $y_{\rm CK}(t)$  nach dem Filter, wenn am Eingang  $c_{\rm K}(t)$  anliegt. ~~<br>~~Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt  $t = T/5$  auf?		{Berechnen Sie mittels Residuensatz das Signal  $y_{\rm CK}(t)$  nach dem Filter, wenn am Eingang  $c_{\rm K}(t)$  anliegt.  Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt  $t = T/5$  auf?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y_\text{CK}(t = T/5) \ = \ $ { 0.24 3% }		$y_\text{CK}(t = T/5) \ = \ $ { 0.24 3% }

Guenter am 27. November 2018 um 16:40 Uhr

2018-11-27T16:40:07Z

Guenter am 27. November 2018 um 16:30 Uhr

2018-11-27T16:30:02Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. November 2018, 18:30 Uhr
Zeile 54:		Zeile 54:
	$\|H(f = f_0)\| \ = \ $ { 0.303 3% }		$\|H(f = f_0)\| \ = \ $ { 0.303 3% }
	$a(f = f_0)\hspace{0.2cm} = \ $ { 1.194 3% } $\ \rm Np$		$a(f = f_0)\hspace{0.2cm} = \ $ { 1.194 3% } $\ \rm Np$
			${\rm arc} \ H(f = f_0)\ = \ $ { -74--70 } $\ \rm Grad$
	$b(f = f_0)\hspace{0.24cm} = \ $ { 72 3% } $\ \rm Grad$		$b(f = f_0)\hspace{0.24cm} = \ $ { 72 3% } $\ \rm Grad$
	~~${\rm arc} \ H(f = f_0)\ = \ $ { -74--70 } $\ \rm Grad$~~

Guenter am 27. November 2018 um 16:24 Uhr

2018-11-27T16:24:07Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. November 2018, 18:24 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID1784__LZI_A_3_6.png\|right\|frame\|Cosinus– und Sinusschwingung,<br>jeweils kausal]]		[[Datei:P_ID1784__LZI_A_3_6.png\|right\|frame\|Cosinus– und Sinusschwingung,<br>jeweils kausal]]
	Wir betrachten in dieser Aufgabe ein Cosinussignal $c(t)$ mit der Amplitude $1$ und der Periodendauer $T = 1 \ \rm µ s$, das für alle Zeiten $t$ (im Bereich $ \pm \infty$) definiert ist:		Wir betrachten in dieser Aufgabe ein Cosinussignal  $c(t)$  mit der Amplitude $1$ und der Periodendauer $T = 1 \ \rm µ s$, das für alle Zeiten $t$ (im Bereich $ \pm \infty$) definiert ist:
	:$$c(t) = \cos(2\pi \cdot {t}/{T})		:$$c(t) = \cos(2\pi \cdot {t}/{T})
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$
	Dagegen beginnt das kausale Cosinussignal $c_{\rm K}(t)$ (rote Kurve) erst zum Einschaltzeitpunkt $t = 0$:		Dagegen beginnt das kausale Cosinussignal  $c_{\rm K}(t)$  (rote Kurve) erst zum Einschaltzeitpunkt $t = 0$:
	:$$c_{\rm K}(t)= \left\{ \begin{array}{c} c(t) \\		:$$c_{\rm K}(t)= \left\{ \begin{array}{c} c(t) \\
	0 \end{array} \right.		0 \end{array} \right.
Zeile 15:		Zeile 15:
	{ t < 0\hspace{0.05cm}.}		{ t < 0\hspace{0.05cm}.}
	\end{array}$$		\end{array}$$
	Für das beidseitig unbegrenzte Signal $c(t)$ kann man nur das Fourierspektrum angeben:		Für das beidseitig unbegrenzte Signal  $c(t)$  kann man nur das Fourierspektrum angeben:
	:$$C(f) = {1}/{ 2} \cdot \delta (f - f_0) + {1}/{ 2} \cdot \delta (f + f_0)		:$$C(f) = {1}/{ 2} \cdot \delta (f - f_0) + {1}/{ 2} \cdot \delta (f + f_0)
	\quad {\rm mit} \quad f_0 = {1}/{ T}= 1\,\,{\rm MHz.}$$		\quad {\rm mit} \quad f_0 = {1}/{ T}= 1\,\,{\rm MHz.}$$
	Dagegen ist für das kausale Cosinussignal $c_{\rm K}(t)$ auch die Laplace–Transformierte angebbar:		Dagegen ist für das kausale Cosinussignal  $c_{\rm K}(t)$  auch die Laplace–Transformierte angebbar:
	:$$C_{\rm L}(p) =		:$$C_{\rm L}(p) =
	\frac {p} { (p-{\rm j} \cdot 2 \pi/T)\cdot (p+{\rm j} \cdot 2 \pi/T)}\hspace{0.05cm} .$$		\frac {p} { (p-{\rm j} \cdot 2 \pi/T)\cdot (p+{\rm j} \cdot 2 \pi/T)}\hspace{0.05cm} .$$
	Entsprechend gilt für die Laplace–Transformierte der kausalen Sinusfunktion $s_{\rm K}(t)$:		Entsprechend gilt für die Laplace–Transformierte der kausalen Sinusfunktion  $s_{\rm K}(t)$:
	:$$S_{\rm L}(p) =		:$$S_{\rm L}(p) =
	\frac {2 \pi/T} { (p-{\rm j} \cdot 2 \pi/T)\cdot (p+{\rm j} \cdot 2 \pi/T)}\hspace{0.05cm} .$$		\frac {2 \pi/T} { (p-{\rm j} \cdot 2 \pi/T)\cdot (p+{\rm j} \cdot 2 \pi/T)}\hspace{0.05cm} .$$
	Die beidseitig unbegrenzte Sinusfunktion wird mit $s(t)$ bezeichnet und ist als blau–gepunktete Kurve im unteren Diagramm dargestellt.		Die beidseitig unbegrenzte Sinusfunktion wird mit  $s(t)$  bezeichnet und ist als blau–gepunktete Kurve im unteren Diagramm dargestellt.


	Die Signale $c(t)$, $c_{\rm K}(t)$, $s(t)$ und $s_{\rm K}(t)$ werden ~~nun~~ an den Eingang eines Tiefpasses erster Ordnung mit ~~der~~ Übertragungsfunktion (bzw. der Impulsantwort)		Die Signale  $c(t)$,  $c_{\rm K}(t)$,  $s(t)$  und  $s_{\rm K}(t)$  werden an den Eingang eines Tiefpasses erster Ordnung mit folgender Übertragungsfunktion (bzw. der Impulsantwort) angelegt:
	:$$H_{\rm L}(p) =		:$$H_{\rm L}(p) =
	\frac {2 /T} { p + 2 /T} \quad		\frac {2 /T} { p + 2 /T} \quad
	\bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\circ\quad		\bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\circ\quad
	h(t) = {2}/{T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-\hspace{0.03cm}2		h(t) = {2}/{T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-\hspace{0.03cm}2
	\hspace{0.03cm}t/T}$$		\hspace{0.03cm}t/T}.$$
	~~angelegt.~~ Die entsprechenden Ausgangssignale werden mit $y_{\rm C}(t)$, $y_{\rm CK}(t)$, $y_{\rm S}(t)$ und $y_{\rm SK}(t)$ bezeichnet. Diese Signale sollen in dieser Aufgabe berechnet und zueinander in Bezug gesetzt werden.		*Die entsprechenden Ausgangssignale werden mit  $y_{\rm C}(t)$,  $y_{\rm CK}(t)$,  $y_{\rm S}(t)$  und  $y_{\rm SK}(t)$  bezeichnet.
			*Diese Signale sollen in dieser Aufgabe berechnet und zueinander in Bezug gesetzt werden.


Zeile 40:		Zeile 41:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation\|Laplace–Rücktransformation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation\|Laplace–Rücktransformation]].

	*Die Berechnungen zur Teilaufgabe (6) sind umfangreich.		*Die Berechnungen zur Teilaufgabe '''(6)''' sind umfangreich.
	*Zur Berechnung der Signale $y_{\rm CK}(t)$ und $y_{\rm SK}(t)$ bietet sich zum Beispiel der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes\|Residuensatz]] an.		*Zur Berechnung der Signale  $y_{\rm CK}(t)$  und  $y_{\rm SK}(t)$  bietet sich zum Beispiel der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes\|Residuensatz]] an.


Zeile 49:		Zeile 50:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie en Frequenzgang $H(f)$ aus $H_{\rm L}(p)$ nach Betrag und Phase. <br>Welche Werte ergeben sich für die Frequenz $ f = f_0 = 1/T = 1 \ \rm MHz$?		{Berechnen Sie den Frequenzgang  $H(f)$  aus  $H_{\rm L}(p)$  nach Betrag und Phase. <br>Welche Werte ergeben sich für die Frequenz  $ f = f_0 = 1/T = 1 \ \rm MHz$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|H(f = f_0)\| \ = \ $ { 0.303 3% }		$\|H(f = f_0)\| \ = \ $ { 0.303 3% }
Zeile 57:		Zeile 58:


	{Berechnen Sie das Signal $y_{\rm C}(t)$ am Filterausgang, wenn am Eingang des Filters das Cosinussignal $c(t)$ anliegt. Welcher Wert ergibt sich für $t = 0$?		{Berechnen Sie das Signal  $y_{\rm C}(t)$  am Filterausgang, wenn am Eingang des Filters das Cosinussignal  $c(t)$  anliegt. <br>Welcher Wert ergibt sich für  $t = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y_{\rm C}(t = 0) \ = \ $ { 0.092 3% }		$y_{\rm C}(t = 0) \ = \ $ { 0.092 3% }


	{Berechnen Sie das Ausgangssignal $y_{\rm S}(t)$, wenn am Eingang das Sinussignal $s(t)$ anliegt. Welcher Wert ergibt sich für $t = 0$?		{Berechnen Sie das Ausgangssignal  $y_{\rm S}(t)$, wenn am Eingang das Sinussignal  $s(t)$  anliegt. <br>Welcher Wert ergibt sich für $t = 0$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y_{\rm S}(t = 0) \ = \ $ { -0.295--0.283 }		$y_{\rm S}(t = 0) \ = \ $ { -0.295--0.283 }


	{Bestimmen Sie die Einflusslänge $T_h$ der Filterimpulsantwort, also diejenige Zeit, bei der $h(t)$ auf $1\%$ des Maximalwertes abgeklungen ist. Normierung auf $T$.		{Bestimmen Sie die Einflusslänge  $T_h$  der Filterimpulsantwort, also diejenige Zeit, bei der  $h(t)$  auf  $1\%$  des Maximalwertes abgeklungen ist. Normierung auf $T$.
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$T_h/T \ = \ $ { 2.3 3% }		$T_h/T \ = \ $ { 2.3 3% }


	{Welche Aussagen sind für die Signale $y_{\rm CK}(t)$ und $y_{\rm SK}(t)$ zutreffend?		{Welche Aussagen sind für die Signale  $y_{\rm CK}(t)$  und  $y_{\rm SK}(t)$  zutreffend?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Es gilt $y_{\rm CK}(t) \equiv 0$ und $y_{\rm SK}(t) \equiv 0$ für $t < 0$.		+ Es gilt  $y_{\rm CK}(t) \equiv 0$  und  $y_{\rm SK}(t) \equiv 0$  für  $t < 0$.
	+ Das Signal $y_{\rm CK}(t)$ ist für $t > T_h$ annähernd gleich $y_{\rm C}(t)$.		+ Das Signal  $y_{\rm CK}(t)$  ist für  $t > T_h$  annähernd gleich  $y_{\rm C}(t)$.
	- Das kausale Signal $y_{\rm SK}(t)$ ist für $t < T_h$ annähernd gleich $y_{\rm S}(t)$.		- Das kausale Signal  $y_{\rm SK}(t)$  ist für  $t < T_h$  annähernd gleich $y_{\rm S}(t)$.


	{Berechnen Sie mittels Residuensatz das Signal $y_{\rm CK}(t)$ nach dem Filter, wenn am Eingang $c_{\rm K}(t)$ anliegt. <br>Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt $t = T/5$ auf?		{Berechnen Sie mittels Residuensatz das Signal  $y_{\rm CK}(t)$  nach dem Filter, wenn am Eingang  $c_{\rm K}(t)$  anliegt. <br>Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt  $t = T/5$  auf?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$y_\text{CK}(t = T/5) \ = \ $ { 0.24 3% }		$y_\text{CK}(t = T/5) \ = \ $ { 0.24 3% }

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 16:03 Uhr
Zeile 76:		Zeile 76:
	'''(1)'''  Ersetzt man in  $H_{\rm L}(p)$  den Parameter  $T$  durch  $1/f_0$  sowie  $p$  durch  ${\rm j} \cdot 2 \pi f$,  so erhält man für den Frequenzgang allgemein bzw. für  $f_0 = 1 \ \rm MHz$:		'''(1)'''  Ersetzt man in  $H_{\rm L}(p)$  den Parameter  $T$  durch  $1/f_0$  sowie  $p$  durch  ${\rm j} \cdot 2 \pi f$,  so erhält man für den Frequenzgang allgemein bzw. für  $f_0 = 1 \ \rm MHz$:
	:$$H(f) = \frac {2 /T} { {\rm j} \cdot 2 \pi f + 2 /T}=\frac {f_0} { {\rm j} \cdot \pi f + f_0}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f= f_0) = \frac {1} { 1 + {\rm j} \cdot \pi }$$		:$$H(f) = \frac {2 /T} { {\rm j} \cdot 2 \pi f + 2 /T}=\frac {f_0} { {\rm j} \cdot \pi f + f_0}\hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} H(f= f_0) = \frac {1} { 1 + {\rm j} \cdot \pi }$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \|H(f= f_0)\| = \frac {1} { \sqrt{1 + \pi^2}} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.303}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}a(f= f_0)= - {\~~rmln~~}\,\, \|H(f= f_0)\| \hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.194\,\,{\~~rmNp~~}}$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} \|H(f= f_0)\| = \frac {1} { \sqrt{1 + \pi^2}} \hspace{0.15cm}\underline{= 0.303}\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}a(f= f_0)= - {\rm ln}\,\, \|H(f= f_0)\| \hspace{0.15cm}\underline{\approx 1.194\,\,{\rm Np}}$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm arc}\,H(f= f_0)= - {\~~rmarctan~~}\,(\pi) \hspace{0.15cm}\underline{\approx -72^\circ} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}b(f= f_0)=-{\rm arc}\,H(f= f_0) \hspace{0.15cm}\underline{\approx +72^\circ} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} {\rm arc}\,H(f= f_0)= - {\rm arctan}\,(\pi) \hspace{0.15cm}\underline{\approx -72^\circ} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}b(f= f_0)=-{\rm arc}\,H(f= f_0) \hspace{0.15cm}\underline{\approx +72^\circ} \hspace{0.05cm}.$$


Zeile 122:		Zeile 122:

	* Der erste Anteil ergibt sich unter Berücksichtigung von  $p_{\rm x2}= -p_{\rm x1}$  zu		* Der erste Anteil ergibt sich unter Berücksichtigung von  $p_{\rm x2}= -p_{\rm x1}$  zu
	:$$y_1(t)= {\rm Res} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}\hspace{0.05cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}p t}\}=\frac {-p_{{\rm x}3}\cdot p} { (p-p_{{\rm x}2})(p-p_{{\rm x}3})}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}p\hspace{0.05cm}t}\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}=\frac {-p_{{\rm x}3}\cdotp_{{\rm x}1}} { (p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2})(p_{{\rm x}1}-p_{{\~~rmx~~}3})}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}p_{{\rm x}1}\cdot\hspace{0.03cm}t}= \frac {-p_{{\rm x}3}/2} { p_{{\rm x}1}-p_{{\~~rmx~~}3}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}p_{{\rm x}1}\cdot\hspace{0.03cm}t}\hspace{0.05cm} .$$		:$$y_1(t)= {\rm Res} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}\hspace{0.05cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}p t}\}=\frac {-p_{{\rm x}3}\cdot p} { (p-p_{{\rm x}2})(p-p_{{\rm x}3})}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}p\hspace{0.05cm}t}\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}=\frac {-p_{{\rm x}3}\cdotp_{{\rm x}1}} { (p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2})(p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}3})}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}p_{{\rm x}1}\cdot\hspace{0.03cm}t}= \frac {-p_{{\rm x}3}/2} { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}3}}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}p_{{\rm x}1}\cdot\hspace{0.03cm}t}\hspace{0.05cm} .$$

	* In gleicher Weise erhält man für den zweiten Anteil:		* In gleicher Weise erhält man für den zweiten Anteil:
	:$$y_2(t)= {\rm Res} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}}\hspace{0.05cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}p t}\}=\frac {-p_{{\rm x}3}\cdot p} { (p-p_{{\rm x}1})(p-p_{{\rm x}3})}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}p\hspace{0.05cm}t}\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}}=\frac {-p_{{\rm x}3}\cdotp_{{\rm x}2}} { (p_{{\rm x}2}-p_{{\rm x}1})(p_{{\rm x}2}-p_{{\~~rmx~~}3})}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}p_{{\rm x}2}\cdot\hspace{0.03cm}t}= \frac {p_{{\rm x}3}/2} { p_{{\rm x}1}+p_{{\~~rmx~~}3}}\cdot {\rm e}^{-p_{{\rm x}1}\cdot\hspace{0.03cm}t}\hspace{0.05cm} .$$		:$$y_2(t)= {\rm Res} \bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}}\hspace{0.05cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}p t}\}=\frac {-p_{{\rm x}3}\cdot p} { (p-p_{{\rm x}1})(p-p_{{\rm x}3})}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}p\hspace{0.05cm}t}\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}}=\frac {-p_{{\rm x}3}\cdotp_{{\rm x}2}} { (p_{{\rm x}2}-p_{{\rm x}1})(p_{{\rm x}2}-p_{{\rm x}3})}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}p_{{\rm x}2}\cdot\hspace{0.03cm}t}= \frac {p_{{\rm x}3}/2} { p_{{\rm x}1}+p_{{\rm x}3}}\cdot {\rm e}^{-p_{{\rm x}1}\cdot\hspace{0.03cm}t}\hspace{0.05cm} .$$

	* Fasst man beide Anteile zusammen und berücksichtigt die Zahlenwerte von  $p_{\rm x1}$  und  $p_{\rm x3}$, so erhält man		* Fasst man beide Anteile zusammen und berücksichtigt die Zahlenwerte von  $p_{\rm x1}$  und  $p_{\rm x3}$, so erhält man
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	* Schließlich erhält man für das letzte Residuum:		* Schließlich erhält man für das letzte Residuum:
	:$$y_3(t)=\frac {-p_{{\rm x}3}^2} { (p_{{\rm x}3}-p_{{\~~rmx~~}1}) (p_{{\rm x}3}-p_{{\rm x}2})} \cdot {\~~rme~~}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}3}\cdot\hspace{0.03cm}t}= \frac {-(2/T)^2 \cdot {\~~rme~~}^{\hspace{0.05cm}-2\hspace{0.03cm}t/T}} { (-2/T-{\rm j} \cdot 2\pi /T) (-2/T+{\rm j} \cdot 2\pi /T)} =\frac {- {\~~rme~~}^{\hspace{0.05cm}-2\hspace{0.03cm}t/T} } { (1+{\rm j} \cdot \pi ) (1-{\rm j} \cdot\pi)} =\frac {- {\~~rme~~}^{\hspace{0.05cm}-2\hspace{0.03cm}t/T}} { 1+\pi^2} \hspace{0.05cm} .$$		:$$y_3(t)=\frac {-p_{{\rm x}3}^2} { (p_{{\rm x}3}-p_{{\rm x}1}) (p_{{\rm x}3}-p_{{\rm x}2})} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}3}\cdot\hspace{0.03cm}t}= \frac {-(2/T)^2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-2\hspace{0.03cm}t/T}} { (-2/T-{\rm j} \cdot 2\pi /T) (-2/T+{\rm j} \cdot 2\pi /T)} =\frac {- {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-2\hspace{0.03cm}t/T} } { (1+{\rm j} \cdot \pi ) (1-{\rm j} \cdot\pi)} =\frac {- {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-2\hspace{0.03cm}t/T}} { 1+\pi^2} \hspace{0.05cm} .$$

	* Damit lautet das Ausgangssignal bei kausalem Cosinussignal am Eingang:		* Damit lautet das Ausgangssignal bei kausalem Cosinussignal am Eingang:
	:$$y_{\rm CK}(t) = y_1(t)+y_2(t)+y_3(t) = \frac { \cos(2\pi {t}/{T}) + \pi \cdot \sin(2\pi {t}/{T})-{\~~rme~~}^{\hspace{0.05cm}-2\hspace{0.03cm}t/T}} { {1 + \pi^2}}$$		:$$y_{\rm CK}(t) = y_1(t)+y_2(t)+y_3(t) = \frac { \cos(2\pi {t}/{T}) + \pi \cdot \sin(2\pi {t}/{T})-{\rm e}^{\hspace{0.05cm}-2\hspace{0.03cm}t/T}} { {1 + \pi^2}}$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_{\rm CK}(t = {T}/{5}) = \frac { \cos(72^\circ) + \pi \cdot \sin(72^\circ)-{\~~rme~~}^{\hspace{0.05cm}-0.4}} { {1 + \pi^2}} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.24} < 0.303\hspace{0.05cm} .$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}y_{\rm CK}(t = {T}/{5}) = \frac { \cos(72^\circ) + \pi \cdot \sin(72^\circ)-{\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.4}} { {1 + \pi^2}} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.24} < 0.303\hspace{0.05cm} .$$
	:Zum Vergleich:   Das Signal  $y_{\rm C}(t)$  hat zu diesem Zeitpunkt den Wert  $0.303$.		:Zum Vergleich:   Das Signal  $y_{\rm C}(t)$  hat zu diesem Zeitpunkt den Wert  $0.303$.

	* Dagegen ergibt sich beim kausalen Sinussignal am Eingang allgemein und speziell zum Zeitpunkt des ersten Maximums bei  $t = 0.45 \cdot T$:		* Dagegen ergibt sich beim kausalen Sinussignal am Eingang allgemein und speziell zum Zeitpunkt des ersten Maximums bei  $t = 0.45 \cdot T$:
	:$$y_{\rm SK}(t) = \frac { -\pi \cdot \cos(2\pi {t}/{T}) + \sin(2\pi {t}/{T})+\pi \cdot {\~~rme~~}^{\hspace{0.05cm}-2\hspace{0.03cm}t/T}} { {1 + \pi^2}}$$		:$$y_{\rm SK}(t) = \frac { -\pi \cdot \cos(2\pi {t}/{T}) + \sin(2\pi {t}/{T})+\pi \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-2\hspace{0.03cm}t/T}} { {1 + \pi^2}}$$
	:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm SK}(t = 0.45 \cdot T) = \frac { -\pi \cdot \cos(162^\circ) + \sin(162^\circ)+\pi \cdot{\~~rme~~}^{\hspace{0.05cm}-0.9}} { {1 + \pi^2}} \approx 0.42 > 0.303\hspace{0.05cm} .$$		:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm SK}(t = 0.45 \cdot T) = \frac { -\pi \cdot \cos(162^\circ) + \sin(162^\circ)+\pi \cdot{\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.9}} { {1 + \pi^2}} \approx 0.42 > 0.303\hspace{0.05cm} .$$

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Zeile 101:		Zeile 101:
	arctan}\,(\pi) \hspace{0.15cm}\underline{\approx -72^\circ} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}b(f= f_0)=		arctan}\,(\pi) \hspace{0.15cm}\underline{\approx -72^\circ} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}b(f= f_0)=
	-{\rm arc}\,H(f= f_0) \hspace{0.15cm}\underline{\approx +72^\circ} \hspace{0.05cm}.$$		-{\rm arc}\,H(f= f_0) \hspace{0.15cm}\underline{\approx +72^\circ} \hspace{0.05cm}.$$



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	}}= 0.303 \cdot \cos(2\pi \cdot \frac{t-T/5}{T}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm C}(t=0) = \frac {1} { {1 + \pi^2		}}= 0.303 \cdot \cos(2\pi \cdot \frac{t-T/5}{T}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm C}(t=0) = \frac {1} { {1 + \pi^2
	}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.092} \hspace{0.05cm}.$$		}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.092} \hspace{0.05cm}.$$
	Dieses Signal ist in der linken Grafik zur Musterlösung (5) blau–gepunktet dargestellt.		Dieses Signal ist in der linken Grafik zur Musterlösung '''(5)''' blau–gepunktet dargestellt.



Zeile 116:		Zeile 118:
	}}= 0.303 \cdot \sin(2\pi \cdot \frac{t-T/5}{T}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm S}(t=0) = -\frac {\pi} { {1 + \pi^2		}}= 0.303 \cdot \sin(2\pi \cdot \frac{t-T/5}{T}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm} y_{\rm S}(t=0) = -\frac {\pi} { {1 + \pi^2
	}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.289} \hspace{0.05cm}.$$		}} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.289} \hspace{0.05cm}.$$
	Dieses Signal ist in der rechten Grafik zur Musterlösung (5) blau–gepunktet skizziert.		Dieses Signal ist in der rechten Grafik zur Musterlösung '''(5)''' blau–gepunktet skizziert.



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	{2}/{T}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}h(t=T_{ h}) =		{2}/{T}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}h(t=T_{ h}) =
	{0.02}/{T}\hspace{0.05cm}.$$		{0.02}/{T}\hspace{0.05cm}.$$



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	[[Datei:P_ID1785__LZI_A_3_6_e.png\|center\|frame\|Einschwingverhalten eines kausalen Cosinus– und eines kausalen Sinussignals]]		[[Datei:P_ID1785__LZI_A_3_6_e.png\|center\|frame\|Einschwingverhalten eines kausalen Cosinus– und eines kausalen Sinussignals]]

	Die Grafik zeigt links die Ausgangssignale $y_{\rm C}(t)$ und $y_{\rm CK}(t)$ bei cosinusförmigem Eingang und rechts die Signale $y_{\rm S}(t)$ und $y_{\rm SK}(t)$ bei sinusförmigem Eingang. Beachten Sie die Laufzeit von $T/5$ (entsprechend der Phase $72^\circ$ in beiden Fällen.		Die Grafik zeigt links die Ausgangssignale $y_{\rm C}(t)$ und $y_{\rm CK}(t)$ bei cosinusförmigem Eingang und rechts die Signale $y_{\rm S}(t)$ und $y_{\rm SK}(t)$ bei sinusförmigem Eingang. Beachten Sie die Laufzeit von $T/5$ (entsprechend der Phase $72^\circ$) in beiden Fällen.
	*Bei $y_{\rm CK}(t)$ sind die ersten Wellenberge kleiner als $1$, um die richtige Phasenlage von $y_{\rm C}(t)$ zu erreichen.		*Bei $y_{\rm CK}(t)$ sind die ersten Wellenberge kleiner als $1$, um die richtige Phasenlage von $y_{\rm C}(t)$ zu erreichen.
	*Bei $y_{\rm SK}(t)$ sind dagegen die ersten Wellenberge größer als $1$, um die richtige Phasenlage von $y_{\rm S}(t)$ zu erreichen.		*Bei $y_{\rm SK}(t)$ sind dagegen die ersten Wellenberge größer als $1$, um die richtige Phasenlage von $y_{\rm S}(t)$ zu erreichen.
Zeile 143:		Zeile 147:

	'''(6)'''  Mit		'''(6)'''  Mit
	$p_{\rm x1}= {\rm j} \cdot {2\pi}/{T} , \hspace{0.1cm}p_{\rm x2}= -{\rm j} \cdot {2\pi}/{T} \hspace{0.1cm}		$p_{\rm x1}= {\rm j} \cdot {2\pi}/{T} , \hspace{0.1cm}p_{\rm x2}= -{\rm j} \cdot {2\pi}/{T} , \hspace{0.1cm}
	p_{\rm x3}= -{2}/{T}		p_{\rm x3}= -{2}/{T}
	\hspace{0.05cm}$		\hspace{0.05cm}$
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	:$$y_{1\hspace{-0.03cm}+2} (t) = \frac { \cos(2\pi {t}/{T}) + \pi \cdot \sin(2\pi {t}/{T})} { {1 + \pi^2		:$$y_{1\hspace{-0.03cm}+2} (t) = \frac { \cos(2\pi {t}/{T}) + \pi \cdot \sin(2\pi {t}/{T})} { {1 + \pi^2
	}}= y_{\rm C}(t)\hspace{0.05cm}.$$		}}= y_{\rm C}(t)\hspace{0.05cm}.$$
	Man erkennt, dass $y_{1\hspace{0.03cm}+2}(t)$ gleich dem in der Teilaufgabe (2) berechneten Signal $y_{\rm C}(t)$ ist.		Man erkennt, dass $y_{1\hspace{0.03cm}+2}(t)$ gleich dem in der Teilaufgabe '''(2)''' berechneten Signal $y_{\rm C}(t)$ ist.

	* Schließlich erhält man für das letzte Residuum:		* Schließlich erhält man für das letzte Residuum:
Zeile 222:		Zeile 226:
	e}^{\hspace{0.05cm}-0.4}} { {1 + \pi^2		e}^{\hspace{0.05cm}-0.4}} { {1 + \pi^2
	}} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.24} < 0.303\hspace{0.05cm} .$$		}} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.24} < 0.303\hspace{0.05cm} .$$
	:Zum Vergleich: Das Signal $y_{\rm C}(t)$ hat zu diesem Zeitpunkt den Wert $0.303$.		:Zum Vergleich:   Das Signal $y_{\rm C}(t)$ hat zu diesem Zeitpunkt den Wert $0.303$.

	* Dagegen ergibt sich beim kausalen Sinussignal am Eingang allgemein und speziell zum Zeitpunkt des ersten Maximums bei $t = 0.45 \cdot T$:		* Dagegen ergibt sich beim kausalen Sinussignal am Eingang allgemein und speziell zum Zeitpunkt des ersten Maximums bei $t = 0.45 \cdot T$: