Aufgaben:Aufgabe 3.6: Einschwingverhalten - Versionsgeschichte

Guenter am 9. Dezember 2021 um 16:22 Uhr

2021-12-09T16:22:42Z

Guenter am 9. Dezember 2021 um 16:12 Uhr

2021-12-09T16:12:56Z

Guenter am 4. November 2019 um 08:27 Uhr

2019-11-04T08:27:52Z

Guenter am 2. November 2019 um 16:57 Uhr

2019-11-02T16:57:52Z

Guenter am 27. November 2018 um 16:40 Uhr

2018-11-27T16:40:07Z

Guenter am 27. November 2018 um 16:30 Uhr

2018-11-27T16:30:02Z

Guenter am 27. November 2018 um 16:24 Uhr

2018-11-27T16:24:07Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:53Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 17. März 2018 um 14:05 Uhr

2018-03-17T14:05:56Z

Guenter am 17. März 2018 um 13:50 Uhr

2018-03-17T13:50:19Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Ersetzt man in&nbsp; $H_{\rm L}(p)$&nbsp; den Parameter&nbsp; $T$&nbsp; durch&nbsp; $1/f_0$&nbsp; sowie&nbsp; $p$&nbsp; durch&nbsp; ${\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man für den Frequenzgang allgemein bzw. für&nbsp; $f_0 = 1 \ \rm MHz$:
+'''(1)'''&nbsp; Ersetzt man in&nbsp; $H_{\rm L}(p)$&nbsp; den Parameter&nbsp; $T$&nbsp; durch&nbsp; $1/f_0$&nbsp; sowie&nbsp; $p$&nbsp; durch&nbsp; ${\rm j} \cdot 2 \pi f$,&nbsp; so erhält man für den Frequenzgang allgemein bzw. für&nbsp; $f_0 = 1 \ \rm MHz$:
 :$$H(f) =  \frac {2 /T} { {\rm j} \cdot 2 \pi f + 2 /T}=
   \frac {f_0} { {\rm j} \cdot \pi f + f_0}
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 '''(2)'''&nbsp; Das Ausgangssignal&nbsp; $y_{\rm C}(t)$&nbsp; ist gegenüber dem Eingangssignal&nbsp; $c(t)$&nbsp; um den Faktor&nbsp; $0.303$&nbsp; gedämpft und um&nbsp; $\tau \approx 72/360 \cdot T = T/5$&nbsp; verzögert.
-Man kann dieses Signal somit auch folgendermaßen beschreiben:
+*Man kann dieses Signal somit auch folgendermaßen beschreiben:
 :$$y_{\rm C}(t) =  \frac { \cos(2\pi  {t}/{T}) + \pi \cdot \sin(2\pi  {t}/{T})} { {1 + \pi^2
   }}= 0.303 \cdot \cos(2\pi \cdot \frac{t-T/5}{T}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm} y_{\rm C}(t=0) =  \frac {1} { {1 + \pi^2
   }} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.092} \hspace{0.05cm}.$$
-Dieses Signal ist in der linken Grafik zur Musterlösung&nbsp; '''(5)'''&nbsp; blau&ndash;gepunktet dargestellt.
+*Dieses Signal ist in der linken Grafik zur Musterlösung&nbsp; '''(5)'''&nbsp; blau&ndash;gepunktet dargestellt.
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 '''(3)'''&nbsp; Das Signal&nbsp; $y_{\rm S}(t)$&nbsp;  ist gegenüber&nbsp;  $s(t)$&nbsp; ebenfalls um den Dämpfungsfaktor&nbsp; $0.303$&nbsp; kleiner und um die Zeitdauer&nbsp; $\tau = T/5$&nbsp; verzögert.
-Es lässt sich wie folgt beschreiben:
+*Es lässt sich wie folgt beschreiben:
 :$$y_{\rm S}(t) =  \frac { -\pi \cdot \cos(2\pi  {t}/{T}) +  \sin(2\pi  {t}/{T})} { {1 + \pi^2
   }}= 0.303 \cdot \sin(2\pi \cdot \frac{t-T/5}{T}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm} y_{\rm S}(t=0) =  -\frac {\pi} { {1 + \pi^2
   }} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.289} \hspace{0.05cm}.$$
-Dieses Signal ist in der rechten Grafik zur Musterlösung&nbsp; '''(5)'''&nbsp; blau&ndash;gepunktet skizziert.
+*Dieses Signal ist in der rechten Grafik zur Musterlösung&nbsp; '''(5)'''&nbsp; blau&ndash;gepunktet skizziert.
@@ Zeile 130: / Zeile 130: @@
   {0.02}/{T}\hspace{0.05cm}.$$
+[[Datei:P_ID1785__LZI_A_3_6_e.png|right|frame|Einschwingverhalten eines kausalen Cosinus– und eines kausalen Sinussignals]]
+<br>'''(5)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>die Aussagen 1 und 2</u>:
 *Die kausalen Signale&nbsp; $y_{\rm CK}(t)$&nbsp; und&nbsp; $y_{\rm SK}(t)$&nbsp; müssen für&nbsp; $t < 0$&nbsp; identisch Null sein.
-*Da aber die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; des betrachteten Filters für&nbsp; $t > T_h$&nbsp; (nahezu) verschwindet, ist es nach Abschluss des Einschwingvorganges egal, ob das zeitlich unbegrenzte Cosinussignal&nbsp;  $c(t)$&nbsp;   oder das kausale Signal&nbsp; $c_{\rm K}(t)$ am Eingang anliegt.
+*Da aber die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; des betrachteten Filters für&nbsp; $t > T_h$&nbsp; (nahezu) verschwindet,&nbsp; ist es nach Abschluss des Einschwingvorganges egal,&nbsp; ob das zeitlich unbegrenzte Signal&nbsp;  $c(t)$&nbsp;   oder das kausale Signal&nbsp; $c_{\rm K}(t)$ am Eingang anliegt.
 *Das gleiche gilt für die Sinussignale: &nbsp; Für&nbsp; $t >T_{ h}$&nbsp; ist&nbsp; $y_{\rm SK}(t)=y_{\rm S}(t)$.
-[[Datei:P_ID1785__LZI_A_3_6_e.png|center|frame|Einschwingverhalten eines kausalen Cosinus– und eines kausalen Sinussignals]]
+Die Grafik zeigt links die Ausgangssignale&nbsp; $y_{\rm C}(t)$&nbsp; und&nbsp; $y_{\rm CK}(t)$&nbsp; bei cosinusförmigem Eingang und rechts die Signale&nbsp; $y_{\rm S}(t)$&nbsp; und&nbsp; $y_{\rm SK}(t)$&nbsp; bei sinusförmigem Eingang.&nbsp; '''Beachten Sie die Laufzeit'''&nbsp; von&nbsp; $T/5$&nbsp; $($entsprechend der Phase&nbsp; $72^\circ)$&nbsp; '''in beiden Fällen'''.
+*Bei&nbsp; $y_{\rm CK}(t)$&nbsp; sind die ersten Wellenberge kleiner als&nbsp; $1$,&nbsp; um die richtige Phasenlage von&nbsp; $y_{\rm C}(t)$&nbsp; zu erreichen.
-Die Grafik zeigt links die Ausgangssignale&nbsp; $y_{\rm C}(t)$&nbsp; und&nbsp; $y_{\rm CK}(t)$&nbsp; bei cosinusförmigem Eingang und rechts die Signale&nbsp; $y_{\rm S}(t)$&nbsp; und&nbsp; $y_{\rm SK}(t)$&nbsp; bei sinusförmigem Eingang. Beachten Sie die Laufzeit von&nbsp; $T/5$&nbsp; $($entsprechend der Phase&nbsp; $72^\circ)$&nbsp; in beiden Fällen.
+*Bei&nbsp; $y_{\rm SK}(t)$&nbsp; sind dagegen die ersten Wellenberge größer als&nbsp; $1$,&nbsp; um die richtige Phasenlage von&nbsp; $y_{\rm S}(t)$&nbsp; zu erreichen.
@@ Zeile 203: / Zeile 199: @@
 :$$y_{1\hspace{-0.03cm}+2} (t) =  \frac { \cos(2\pi  {t}/{T}) + \pi \cdot \sin(2\pi  {t}/{T})} { {1 + \pi^2
   }}= y_{\rm C}(t)\hspace{0.05cm}.$$
-Man erkennt, dass&nbsp; $y_{1\hspace{0.03cm}+2}(t)$&nbsp; gleich dem in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; berechneten Signal&nbsp; $y_{\rm C}(t)$&nbsp; ist.
+Man erkennt,&nbsp; dass&nbsp; $y_{1\hspace{0.03cm}+2}(t)$&nbsp; exakt gleich dem in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; berechneten Signal&nbsp; $y_{\rm C}(t)$&nbsp; ist.
 * Schließlich erhält man für das letzte Residuum:

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID1784__LZI_A_3_6.png|right|frame|Cosinus– und Sinusschwingung,<br>jeweils kausal]]
-Wir betrachten in dieser Aufgabe ein Cosinussignal &nbsp;$c(t)$&nbsp; mit der Amplitude&nbsp; $1$&nbsp; und der Periodendauer $T = 1 \ \rm &micro; s$, das für alle Zeiten&nbsp; $t$&nbsp; $($im Bereich&nbsp; $ \pm \infty)$&nbsp; definiert ist:
+Wir betrachten in dieser Aufgabe ein Cosinussignal &nbsp;$c(t)$&nbsp; mit der Amplitude&nbsp; $1$&nbsp; und der Periodendauer $T = 1 \ \rm &micro; s$,&nbsp; das für alle Zeiten&nbsp; $t$&nbsp; $($im Bereich&nbsp; $ \pm \infty)$&nbsp; definiert ist:
 :$$c(t) = \cos(2\pi \cdot {t}/{T})
   \hspace{0.05cm} .$$
-Dagegen beginnt das kausale Cosinussignal &nbsp;$c_{\rm K}(t)$&nbsp; (rote Kurve) erst zum Einschaltzeitpunkt&nbsp; $t = 0$:
+Dagegen beginnt das kausale Cosinussignal &nbsp;$c_{\rm K}(t)$&nbsp; (rote Kurve)&nbsp; erst zum Einschaltzeitpunkt&nbsp; $t = 0$:
 :$$c_{\rm K}(t)= \left\{ \begin{array}{c} c(t) \\
    \end{array} \right.
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 Die beidseitig unbegrenzte Sinusfunktion wird mit &nbsp;$s(t)$&nbsp; bezeichnet und ist als blau&ndash;gepunktete Kurve im unteren Diagramm dargestellt.
+Die Signale &nbsp;$c(t)$,  &nbsp;$c_{\rm K}(t)$, &nbsp;$s(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_{\rm K}(t)$&nbsp; werden an den Eingang eines Tiefpasses erster Ordnung mit folgender Übertragungsfunktion&nbsp; (bzw. Impulsantwort)&nbsp; angelegt:
 :$$H_{\rm L}(p) =
   \frac {2 /T} { p + 2 /T} \quad
@@ Zeile 40: / Zeile 39: @@
 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]].
 *Die Berechnungen zur Teilaufgabe&nbsp; '''(6)'''&nbsp; sind umfangreich.
 *Zur Berechnung der Signale &nbsp;$y_{\rm CK}(t)$&nbsp; und &nbsp;$y_{\rm SK}(t)$&nbsp; bietet sich zum Beispiel der&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes|Residuensatz]]&nbsp; an.
@@ Zeile 71: / Zeile 66: @@
-{Bestimmen Sie die Einflusslänge &nbsp;$T_h$&nbsp; der Filterimpulsantwort, also diejenige Zeit, bei der &nbsp;$h(t)$&nbsp; auf &nbsp;$1\%$&nbsp; des Maximalwertes abgeklungen ist. Normierung auf&nbsp; $T$.
+{Bestimmen Sie die Einflusslänge &nbsp;$T_h$&nbsp; der Filterimpulsantwort,&nbsp; also diejenige Zeit,&nbsp; bei der &nbsp;$h(t)$&nbsp; auf &nbsp;$1\%$&nbsp; des Maximalwertes abgeklungen ist.&nbsp; Normierung auf&nbsp; $T$.
 |type="{}"}
 $T_h/T \ =  \ $  { 2.3 3% }
@@ Zeile 83: / Zeile 78: @@
-{Berechnen Sie mittels Residuensatz das Signal  &nbsp;$y_{\rm CK}(t)$&nbsp; nach dem Filter, wenn am Eingang &nbsp;$c_{\rm K}(t)$&nbsp; anliegt.&nbsp; Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt &nbsp;$t = T/5$&nbsp; auf?
+{Berechnen Sie mittels Residuensatz das Signal  &nbsp;$y_{\rm CK}(t)$&nbsp; nach dem Filter, wenn am Eingang &nbsp;$c_{\rm K}(t)$&nbsp; anliegt. &nbsp; Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt &nbsp;$t = T/5$&nbsp; auf?
 |type="{}"}
 $y_\text{CK}(t = T/5) \ =  \ $  { 0.24 3% }

@@ Zeile 93: / Zeile 93: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Ersetzt man in der Übertragungsfunktion $H_{\rm L}(p)$ den Parameter $T$ durch $1/f_0$ sowie $p$ durch ${\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man für den Frequenzgang allgemein bzw. für $f_0 = 1 \ \rm MHz$:
+'''(1)'''&nbsp; Ersetzt man in&nbsp; $H_{\rm L}(p)$&nbsp; den Parameter&nbsp; $T$&nbsp; durch&nbsp; $1/f_0$&nbsp; sowie&nbsp; $p$&nbsp; durch&nbsp; ${\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man für den Frequenzgang allgemein bzw. für&nbsp; $f_0 = 1 \ \rm MHz$:
 :$$H(f) =  \frac {2 /T} { {\rm j} \cdot 2 \pi f + 2 /T}=
   \frac {f_0} { {\rm j} \cdot \pi f + f_0}
@@ Zeile 107: / Zeile 107: @@
-'''(2)'''&nbsp; Das Ausgangssignal $y_{\rm C}(t)$ ist gegenüber dem Eingangssignal $c(t)$ um den Faktor $0.303$ gedämpft und um $\tau \approx 72/360 \cdot T = T/5$ verzögert. Man kann dieses Signal somit auch folgendermaßen beschreiben:
+'''(2)'''&nbsp; Das Ausgangssignal&nbsp; $y_{\rm C}(t)$&nbsp; ist gegenüber dem Eingangssignal&nbsp; $c(t)$&nbsp; um den Faktor&nbsp; $0.303$&nbsp; gedämpft und um&nbsp; $\tau \approx 72/360 \cdot T = T/5$&nbsp; verzögert.
 :$$y_{\rm C}(t) =  \frac { \cos(2\pi  {t}/{T}) + \pi \cdot \sin(2\pi  {t}/{T})} { {1 + \pi^2
   }}= 0.303 \cdot \cos(2\pi \cdot \frac{t-T/5}{T}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm} y_{\rm C}(t=0) =  \frac {1} { {1 + \pi^2
   }} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.092} \hspace{0.05cm}.$$
-Dieses Signal ist in der linken Grafik zur Musterlösung '''(5)''' blau&ndash;gepunktet dargestellt.
+Dieses Signal ist in der linken Grafik zur Musterlösung&nbsp; '''(5)'''&nbsp; blau&ndash;gepunktet dargestellt.
-'''(3)'''&nbsp; Das Signal $y_{\rm S}(t)$  ist gegenüber  $s(t)$ ebenfalls um den Dämpfungsfaktor $0.303$ kleiner und um die Zeitdauer $\tau = T/5$ verzögert.
+'''(3)'''&nbsp; Das Signal&nbsp; $y_{\rm S}(t)$&nbsp;  ist gegenüber&nbsp;  $s(t)$&nbsp; ebenfalls um den Dämpfungsfaktor&nbsp; $0.303$&nbsp; kleiner und um die Zeitdauer&nbsp; $\tau = T/5$&nbsp; verzögert.
 Es lässt sich wie folgt beschreiben:
@@ Zeile 121: / Zeile 123: @@
   }}= 0.303 \cdot \sin(2\pi \cdot \frac{t-T/5}{T}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm} y_{\rm S}(t=0) =  -\frac {\pi} { {1 + \pi^2
   }} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.289} \hspace{0.05cm}.$$
-Dieses Signal ist in der rechten Grafik zur Musterlösung '''(5)''' blau&ndash;gepunktet skizziert.
+Dieses Signal ist in der rechten Grafik zur Musterlösung&nbsp; '''(5)'''&nbsp; blau&ndash;gepunktet skizziert.
-'''(4)'''&nbsp; Bei $T_h$ soll die Impulsantwort $h(t)$ auf $1\%$ des Maximalwertes abgeklungen sein. Somit gilt:
+'''(4)'''&nbsp; Bei&nbsp; $T_h$&nbsp; soll die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; auf&nbsp; $1\%$&nbsp; des Maximalwertes abgeklungen sein. Somit gilt:
 :$${\rm e}^{\hspace{0.05cm}-\hspace{0.03cm}2
   \hspace{0.03cm}T_{ h}/T} = 0.01 \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm} {T_{ h}}/{T} =\frac{1}{2}
@@ Zeile 136: / Zeile 138: @@
 '''(5)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Aussagen 1 und 2</u>:
-*Die kausalen Signale $y_{\rm CK}(t)$ und $y_{\rm SK}(t)$ müssen für $t < 0$ identisch Null sein.
+*Die kausalen Signale&nbsp; $y_{\rm CK}(t)$&nbsp; und&nbsp; $y_{\rm SK}(t)$&nbsp; müssen für&nbsp; $t < 0$&nbsp; identisch Null sein.
-*Da aber die Impulsantwort $h(t)$ des betrachteten Filters für $t > T_h$ (nahezu) verschwindet, ist es nach Abschluss des Einschwingvorganges egal, ob das zeitlich unbegrenzte Cosinussignal  $c(t)$   oder das kausale Signal $c_{\rm K}(t)$ am Eingang anliegt.
+*Da aber die Impulsantwort&nbsp; $h(t)$&nbsp; des betrachteten Filters für&nbsp; $t > T_h$&nbsp; (nahezu) verschwindet, ist es nach Abschluss des Einschwingvorganges egal, ob das zeitlich unbegrenzte Cosinussignal&nbsp;  $c(t)$&nbsp;   oder das kausale Signal&nbsp; $c_{\rm K}(t)$ am Eingang anliegt.
-*Das gleiche gilt für die Sinussignale: &nbsp; Für $t >T_{ h}$ ist $y_{\rm SK}(t)=y_{\rm S}(t)$.
+*Das gleiche gilt für die Sinussignale: &nbsp; Für&nbsp; $t >T_{ h}$&nbsp; ist&nbsp; $y_{\rm SK}(t)=y_{\rm S}(t)$.
 [[Datei:P_ID1785__LZI_A_3_6_e.png|center|frame|Einschwingverhalten eines kausalen Cosinus– und eines kausalen Sinussignals]]
-Die Grafik zeigt links die Ausgangssignale $y_{\rm C}(t)$ und $y_{\rm CK}(t)$ bei cosinusförmigem Eingang und rechts die Signale $y_{\rm S}(t)$ und $y_{\rm SK}(t)$ bei sinusförmigem Eingang. Beachten Sie die Laufzeit von $T/5$ (entsprechend der Phase $72^\circ$) in beiden Fällen.
+Die Grafik zeigt links die Ausgangssignale&nbsp; $y_{\rm C}(t)$&nbsp; und&nbsp; $y_{\rm CK}(t)$&nbsp; bei cosinusförmigem Eingang und rechts die Signale&nbsp; $y_{\rm S}(t)$&nbsp; und&nbsp; $y_{\rm SK}(t)$&nbsp; bei sinusförmigem Eingang. Beachten Sie die Laufzeit von&nbsp; $T/5$&nbsp; $($entsprechend der Phase&nbsp; $72^\circ)$&nbsp; in beiden Fällen.
-*Bei $y_{\rm CK}(t)$ sind die ersten Wellenberge kleiner als $1$, um die richtige Phasenlage von $y_{\rm C}(t)$ zu erreichen.
+*Bei&nbsp; $y_{\rm CK}(t)$&nbsp; sind die ersten Wellenberge kleiner als&nbsp; $1$, um die richtige Phasenlage von&nbsp; $y_{\rm C}(t)$&nbsp; zu erreichen.
-*Bei $y_{\rm SK}(t)$ sind dagegen die ersten Wellenberge größer als $1$, um die richtige Phasenlage von $y_{\rm S}(t)$ zu erreichen.
+*Bei&nbsp; $y_{\rm SK}(t)$&nbsp; sind dagegen die ersten Wellenberge größer als&nbsp; $1$, um die richtige Phasenlage von&nbsp; $y_{\rm S}(t)$&nbsp; zu erreichen.
-'''(6)'''&nbsp; Mit
+'''(6)'''&nbsp; Mit&nbsp;
 $p_{\rm x1}= {\rm j} \cdot {2\pi}/{T} , \hspace{0.1cm}p_{\rm x2}= -{\rm j} \cdot {2\pi}/{T} , \hspace{0.1cm}
   p_{\rm x3}= -{2}/{T}
-  \hspace{0.05cm}$
+  \hspace{0.05cm}$&nbsp;
-kann für die Laplace&ndash;Transformierte des Signals $y_{\rm CK}(t)$ geschrieben werden:
+kann für die Laplace&ndash;Transformierte des Signals&nbsp; $y_{\rm CK}(t)$&nbsp; geschrieben werden:
 :$$Y_{\rm L}(p) =
   \frac {-p_{{\rm x}3}\cdot p} { (p-p_{{\rm x}1})(p-p_{{\rm x}2})(p-p_{{\rm x}3})}
   \hspace{0.05cm}.$$
-Die Zeitfunktion $y_{\rm CK}(t)$ setzt sich somit nach dem Residuensatz aus drei Anteilen zusammen:
+Die Zeitfunktion&nbsp; $y_{\rm CK}(t)$&nbsp; setzt sich somit nach dem Residuensatz aus drei Anteilen zusammen:
-* Der erste Anteil ergibt sich unter Berücksichtigung von $p_{\rm x2}= -p_{\rm x1}$ zu
+* Der erste Anteil ergibt sich unter Berücksichtigung von&nbsp; $p_{\rm x2}= -p_{\rm x1}$&nbsp; zu
 :$$y_1(t)= {\rm Res} \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}
   \hspace{0.05cm}\{Y_{\rm L}(p)\cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}p t}\}=
@@ Zeile 186: / Zeile 189: @@
   \hspace{0.05cm} .$$
-* Fasst man beide Anteile zusammen und berücksichtigt die Werte von $p_{\rm x1}$ und $p_{\rm x3}$, so erhält man
+* Fasst man beide Anteile zusammen und berücksichtigt die Zahlenwerte von&nbsp; $p_{\rm x1}$&nbsp; und&nbsp; $p_{\rm x3}$, so erhält man
 :$$y_{1\hspace{0.03cm}+2}(t)= \frac {1/T} { 2/T + {\rm j} \cdot 2\pi /T}
   \cdot {\rm e}^{\hspace{0.03cm}{\rm j} \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}2\pi \hspace{0.03cm} t/T}+\frac {1/T} { 2/T - {\rm j} \cdot 2\pi /T}
@@ Zeile 205: / Zeile 208: @@
 :$$y_{1\hspace{-0.03cm}+2} (t) =  \frac { \cos(2\pi  {t}/{T}) + \pi \cdot \sin(2\pi  {t}/{T})} { {1 + \pi^2
   }}= y_{\rm C}(t)\hspace{0.05cm}.$$
-Man erkennt, dass $y_{1\hspace{0.03cm}+2}(t)$ gleich dem in der Teilaufgabe '''(2)''' berechneten Signal $y_{\rm C}(t)$ ist.
+Man erkennt, dass&nbsp; $y_{1\hspace{0.03cm}+2}(t)$&nbsp; gleich dem in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; berechneten Signal&nbsp; $y_{\rm C}(t)$&nbsp; ist.
 * Schließlich erhält man für das letzte Residuum:
@@ Zeile 229: / Zeile 232: @@
 e}^{\hspace{0.05cm}-0.4}} { {1 + \pi^2
   }} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.24} < 0.303\hspace{0.05cm} .$$
-:Zum Vergleich: &nbsp; Das Signal $y_{\rm C}(t)$ hat zu diesem Zeitpunkt den Wert $0.303$.
+:Zum Vergleich: &nbsp; Das Signal&nbsp; $y_{\rm C}(t)$&nbsp; hat zu diesem Zeitpunkt den Wert&nbsp; $0.303$.
-* Dagegen ergibt sich beim kausalen Sinussignal am Eingang allgemein und speziell zum Zeitpunkt des ersten Maximums bei $t = 0.45 \cdot T$:
+* Dagegen ergibt sich beim kausalen Sinussignal am Eingang allgemein und speziell zum Zeitpunkt des ersten Maximums bei&nbsp; $t = 0.45 \cdot T$:
 :$$y_{\rm SK}(t) =  \frac { -\pi \cdot \cos(2\pi  {t}/{T}) + \sin(2\pi  {t}/{T})+\pi \cdot {\rm
 e}^{\hspace{0.05cm}-2

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID1784__LZI_A_3_6.png|right|frame|Cosinus– und Sinusschwingung,<br>jeweils kausal]]
-Wir betrachten in dieser Aufgabe ein Cosinussignal &nbsp;$c(t)$&nbsp; mit der Amplitude $1$ und der Periodendauer $T = 1 \ \rm &micro; s$, das für alle Zeiten $t$ (im Bereich $ \pm \infty$) definiert ist:
+Wir betrachten in dieser Aufgabe ein Cosinussignal &nbsp;$c(t)$&nbsp; mit der Amplitude&nbsp; $1$&nbsp; und der Periodendauer $T = 1 \ \rm &micro; s$, das für alle Zeiten&nbsp; $t$&nbsp; $($im Bereich&nbsp; $ \pm \infty)$&nbsp; definiert ist:
 :$$c(t) = \cos(2\pi \cdot {t}/{T})
   \hspace{0.05cm} .$$
-Dagegen beginnt das kausale Cosinussignal &nbsp;$c_{\rm K}(t)$&nbsp; (rote Kurve) erst zum Einschaltzeitpunkt $t = 0$:
+Dagegen beginnt das kausale Cosinussignal &nbsp;$c_{\rm K}(t)$&nbsp; (rote Kurve) erst zum Einschaltzeitpunkt&nbsp; $t = 0$:
 :$$c_{\rm K}(t)= \left\{ \begin{array}{c} c(t) \\
    \end{array} \right.
@@ Zeile 35: / Zeile 35: @@
 *Die entsprechenden Ausgangssignale werden mit &nbsp;$y_{\rm C}(t)$, &nbsp;$y_{\rm CK}(t)$, &nbsp;$y_{\rm S}(t)$&nbsp; und &nbsp;$y_{\rm SK}(t)$&nbsp; bezeichnet.
 *Diese Signale sollen in dieser Aufgabe berechnet und zueinander in Bezug gesetzt werden.
@@ Zeile 43: / Zeile 46: @@
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]].
-*Die Berechnungen zur Teilaufgabe '''(6)''' sind umfangreich.
+*Die Berechnungen zur Teilaufgabe&nbsp; '''(6)'''&nbsp; sind umfangreich.
-*Zur Berechnung der Signale &nbsp;$y_{\rm CK}(t)$&nbsp; und &nbsp;$y_{\rm SK}(t)$&nbsp; bietet sich zum Beispiel der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes|Residuensatz]] an.
+*Zur Berechnung der Signale &nbsp;$y_{\rm CK}(t)$&nbsp; und &nbsp;$y_{\rm SK}(t)$&nbsp; bietet sich zum Beispiel der&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes|Residuensatz]]&nbsp; an.
@@ Zeile 50: / Zeile 53: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie den Frequenzgang &nbsp;$H(f)$&nbsp; aus &nbsp;$H_{\rm L}(p)$&nbsp; nach Betrag und Phase. <br>Welche Werte ergeben sich für die Frequenz &nbsp;$ f = f_0 = 1/T  = 1 \ \rm MHz$?
+{Berechnen Sie den Frequenzgang &nbsp;$H(f)$&nbsp; aus &nbsp;$H_{\rm L}(p)$&nbsp; nach Betrag und Phase.&nbsp; Welche Werte ergeben sich für die Frequenz &nbsp;$ f = f_0 = 1/T  = 1 \ \rm MHz$?
 |type="{}"}
 $|H(f = f_0)| \ = \ $  { 0.303 3% }
@@ Zeile 58: / Zeile 61: @@
-{Berechnen Sie das Signal &nbsp;$y_{\rm C}(t)$&nbsp; am Filterausgang, wenn am Eingang des Filters das Cosinussignal  &nbsp;$c(t)$&nbsp; anliegt. <br>Welcher Wert ergibt sich für &nbsp;$t = 0$?
+{Berechnen Sie das Signal &nbsp;$y_{\rm C}(t)$&nbsp; am Filterausgang, wenn am Filtereingang das Cosinussignal  &nbsp;$c(t)$&nbsp; anliegt.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich für &nbsp;$t = 0$?
 |type="{}"}
 $y_{\rm C}(t = 0) \ =  \ $ { 0.092 3% }
-{Berechnen Sie das Ausgangssignal &nbsp;$y_{\rm S}(t)$, wenn am Eingang das Sinussignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; anliegt. <br>Welcher Wert ergibt sich für $t = 0$?
+{Berechnen Sie das Ausgangssignal &nbsp;$y_{\rm S}(t)$, wenn am Filtereingang das Sinussignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; anliegt.&nbsp; Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $t = 0$?
 |type="{}"}
 $y_{\rm S}(t = 0) \ = \ $  { -0.295--0.283 }
-{Bestimmen Sie die Einflusslänge &nbsp;$T_h$&nbsp; der Filterimpulsantwort, also diejenige Zeit, bei der &nbsp;$h(t)$&nbsp; auf &nbsp;$1\%$&nbsp; des Maximalwertes abgeklungen ist. Normierung auf $T$.
+{Bestimmen Sie die Einflusslänge &nbsp;$T_h$&nbsp; der Filterimpulsantwort, also diejenige Zeit, bei der &nbsp;$h(t)$&nbsp; auf &nbsp;$1\%$&nbsp; des Maximalwertes abgeklungen ist. Normierung auf&nbsp; $T$.
 |type="{}"}
 $T_h/T \ =  \ $  { 2.3 3% }
@@ Zeile 80: / Zeile 83: @@
-{Berechnen Sie mittels Residuensatz das Signal  &nbsp;$y_{\rm CK}(t)$&nbsp; nach dem Filter, wenn am Eingang &nbsp;$c_{\rm K}(t)$&nbsp; anliegt. <br>Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt &nbsp;$t = T/5$&nbsp; auf?
+{Berechnen Sie mittels Residuensatz das Signal  &nbsp;$y_{\rm CK}(t)$&nbsp; nach dem Filter, wenn am Eingang &nbsp;$c_{\rm K}(t)$&nbsp; anliegt.&nbsp; Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt &nbsp;$t = T/5$&nbsp; auf?
 |type="{}"}
 $y_\text{CK}(t = T/5) \ =  \ $  { 0.24 3% }

@@ Zeile 101: / Zeile 101: @@
   arctan}\,(\pi)  \hspace{0.15cm}\underline{\approx -72^\circ} \hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}b(f= f_0)=
   -{\rm arc}\,H(f= f_0) \hspace{0.15cm}\underline{\approx +72^\circ} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 107: / Zeile 108: @@
   }}= 0.303 \cdot \cos(2\pi \cdot \frac{t-T/5}{T}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm} y_{\rm C}(t=0) =  \frac {1} { {1 + \pi^2
   }} \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.092} \hspace{0.05cm}.$$
-Dieses Signal ist in der linken Grafik zur Musterlösung (5) blau&ndash;gepunktet dargestellt.
+Dieses Signal ist in der linken Grafik zur Musterlösung '''(5)''' blau&ndash;gepunktet dargestellt.
@@ Zeile 116: / Zeile 118: @@
   }}= 0.303 \cdot \sin(2\pi \cdot \frac{t-T/5}{T}) \hspace{0.3cm} \Rightarrow  \hspace{0.3cm} y_{\rm S}(t=0) =  -\frac {\pi} { {1 + \pi^2
   }} \hspace{0.15cm}\underline{\approx -0.289} \hspace{0.05cm}.$$
-Dieses Signal ist in der rechten Grafik zur Musterlösung (5) blau&ndash;gepunktet skizziert.
+Dieses Signal ist in der rechten Grafik zur Musterlösung '''(5)''' blau&ndash;gepunktet skizziert.
@@ Zeile 126: / Zeile 129: @@
   {2}/{T}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.2cm}h(t=T_{ h}) =
   {0.02}/{T}\hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 136: / Zeile 140: @@
 [[Datei:P_ID1785__LZI_A_3_6_e.png|center|frame|Einschwingverhalten eines kausalen Cosinus– und eines kausalen Sinussignals]]
-Die Grafik zeigt links die Ausgangssignale $y_{\rm C}(t)$ und $y_{\rm CK}(t)$ bei cosinusförmigem Eingang und rechts die Signale $y_{\rm S}(t)$ und $y_{\rm SK}(t)$ bei sinusförmigem Eingang. Beachten Sie die Laufzeit von $T/5$ (entsprechend der Phase $72^\circ$ in beiden Fällen.
+Die Grafik zeigt links die Ausgangssignale $y_{\rm C}(t)$ und $y_{\rm CK}(t)$ bei cosinusförmigem Eingang und rechts die Signale $y_{\rm S}(t)$ und $y_{\rm SK}(t)$ bei sinusförmigem Eingang. Beachten Sie die Laufzeit von $T/5$ (entsprechend der Phase $72^\circ$) in beiden Fällen.
 *Bei $y_{\rm CK}(t)$ sind die ersten Wellenberge kleiner als $1$, um die richtige Phasenlage von $y_{\rm C}(t)$ zu erreichen.
 *Bei $y_{\rm SK}(t)$ sind dagegen die ersten Wellenberge größer als $1$, um die richtige Phasenlage von $y_{\rm S}(t)$ zu erreichen.
@@ Zeile 143: / Zeile 147: @@
 '''(6)'''&nbsp; Mit
-$p_{\rm x1}= {\rm j} \cdot {2\pi}/{T} , \hspace{0.1cm}p_{\rm x2}= -{\rm j} \cdot {2\pi}/{T}  \hspace{0.1cm}
+$p_{\rm x1}= {\rm j} \cdot {2\pi}/{T} , \hspace{0.1cm}p_{\rm x2}= -{\rm j} \cdot {2\pi}/{T} , \hspace{0.1cm}
   p_{\rm x3}= -{2}/{T}
   \hspace{0.05cm}$
@@ Zeile 198: / Zeile 202: @@
 :$$y_{1\hspace{-0.03cm}+2} (t) =  \frac { \cos(2\pi  {t}/{T}) + \pi \cdot \sin(2\pi  {t}/{T})} { {1 + \pi^2
   }}= y_{\rm C}(t)\hspace{0.05cm}.$$
-Man erkennt, dass $y_{1\hspace{0.03cm}+2}(t)$ gleich dem in der Teilaufgabe (2) berechneten Signal $y_{\rm C}(t)$ ist.
+Man erkennt, dass $y_{1\hspace{0.03cm}+2}(t)$ gleich dem in der Teilaufgabe '''(2)''' berechneten Signal $y_{\rm C}(t)$ ist.
 * Schließlich erhält man für das letzte Residuum:
@@ Zeile 222: / Zeile 226: @@
 e}^{\hspace{0.05cm}-0.4}} { {1 + \pi^2
   }} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.24} < 0.303\hspace{0.05cm} .$$
-:Zum Vergleich: Das Signal $y_{\rm C}(t)$ hat zu diesem Zeitpunkt den Wert $0.303$.
+:Zum Vergleich: &nbsp; Das Signal $y_{\rm C}(t)$ hat zu diesem Zeitpunkt den Wert $0.303$.
 * Dagegen ergibt sich beim kausalen Sinussignal am Eingang allgemein und speziell zum Zeitpunkt des ersten Maximums bei $t = 0.45 \cdot T$:

@@ Zeile 54: / Zeile 54: @@
 $|H(f = f_0)| \ = \ $  { 0.303 3% }
 $a(f = f_0)\hspace{0.2cm} =  \ $ { 1.194 3% } $\ \rm Np$
 $b(f = f_0)\hspace{0.24cm} = \  $ { 72 3% } $\ \rm Grad$

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID1784__LZI_A_3_6.png|right|frame|Cosinus– und Sinusschwingung,<br>jeweils kausal]]
-Wir betrachten in dieser Aufgabe ein Cosinussignal $c(t)$ mit der Amplitude $1$ und der Periodendauer $T = 1 \ \rm &micro; s$, das für alle Zeiten $t$ (im Bereich $ \pm \infty$) definiert ist:
+Wir betrachten in dieser Aufgabe ein Cosinussignal &nbsp;$c(t)$&nbsp; mit der Amplitude $1$ und der Periodendauer $T = 1 \ \rm &micro; s$, das für alle Zeiten $t$ (im Bereich $ \pm \infty$) definiert ist:
 :$$c(t) = \cos(2\pi \cdot {t}/{T})
   \hspace{0.05cm} .$$
-Dagegen beginnt das kausale Cosinussignal $c_{\rm K}(t)$ (rote Kurve) erst zum Einschaltzeitpunkt $t = 0$:
+Dagegen beginnt das kausale Cosinussignal &nbsp;$c_{\rm K}(t)$&nbsp; (rote Kurve) erst zum Einschaltzeitpunkt $t = 0$:
 :$$c_{\rm K}(t)= \left\{ \begin{array}{c} c(t) \\
    \end{array} \right.
@@ Zeile 15: / Zeile 15: @@
 { t < 0\hspace{0.05cm}.}
 \end{array}$$
-Für das beidseitig unbegrenzte Signal $c(t)$ kann man nur das Fourierspektrum angeben:
+Für das beidseitig unbegrenzte Signal &nbsp;$c(t)$&nbsp; kann man nur das Fourierspektrum angeben:
 :$$C(f) =  {1}/{ 2} \cdot \delta (f - f_0) + {1}/{ 2} \cdot \delta (f + f_0)
   \quad {\rm mit} \quad f_0 =  {1}/{ T}= 1\,\,{\rm MHz.}$$
-Dagegen ist für das kausale Cosinussignal $c_{\rm K}(t)$ auch die Laplace&ndash;Transformierte angebbar:
+Dagegen ist für das kausale Cosinussignal &nbsp;$c_{\rm K}(t)$&nbsp; auch die Laplace&ndash;Transformierte angebbar:
 :$$C_{\rm L}(p) =
   \frac {p} { (p-{\rm j} \cdot 2 \pi/T)\cdot (p+{\rm j} \cdot 2 \pi/T)}\hspace{0.05cm} .$$
-Entsprechend gilt für die Laplace&ndash;Transformierte der kausalen Sinusfunktion $s_{\rm K}(t)$:
+Entsprechend gilt für die Laplace&ndash;Transformierte der kausalen Sinusfunktion &nbsp;$s_{\rm K}(t)$:
 :$$S_{\rm L}(p) =
   \frac {2 \pi/T} { (p-{\rm j} \cdot 2 \pi/T)\cdot (p+{\rm j} \cdot 2 \pi/T)}\hspace{0.05cm} .$$
-Die beidseitig unbegrenzte Sinusfunktion wird mit $s(t)$ bezeichnet und ist als blau&ndash;gepunktete Kurve im unteren Diagramm dargestellt.
+Die beidseitig unbegrenzte Sinusfunktion wird mit &nbsp;$s(t)$&nbsp; bezeichnet und ist als blau&ndash;gepunktete Kurve im unteren Diagramm dargestellt.
-Die Signale $c(t)$,  $c_{\rm K}(t)$, $s(t)$ und  $s_{\rm K}(t)$ werden nun an den Eingang eines Tiefpasses erster Ordnung mit der Übertragungsfunktion (bzw. der Impulsantwort)
+Die Signale &nbsp;$c(t)$,  &nbsp;$c_{\rm K}(t)$, &nbsp;$s(t)$&nbsp; und &nbsp;$s_{\rm K}(t)$&nbsp; werden an den Eingang eines Tiefpasses erster Ordnung mit folgender Übertragungsfunktion (bzw. der Impulsantwort) angelegt:
 :$$H_{\rm L}(p) =
   \frac {2 /T} { p + 2 /T} \quad
 \bullet\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}\rm L}\!\!\!-\!\!\circ\quad
 h(t) = {2}/{T} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-\hspace{0.03cm}2
-  \hspace{0.03cm}t/T}$$
+  \hspace{0.03cm}t/T}.$$
-angelegt. Die entsprechenden Ausgangssignale werden mit $y_{\rm C}(t)$, $y_{\rm CK}(t)$, $y_{\rm S}(t)$ und $y_{\rm SK}(t)$ bezeichnet. Diese Signale sollen in dieser Aufgabe berechnet und zueinander in Bezug gesetzt werden.
+*Die entsprechenden Ausgangssignale werden mit &nbsp;$y_{\rm C}(t)$, &nbsp;$y_{\rm CK}(t)$, &nbsp;$y_{\rm S}(t)$&nbsp; und &nbsp;$y_{\rm SK}(t)$&nbsp; bezeichnet.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]].
-*Die Berechnungen zur Teilaufgabe (6) sind umfangreich.
+*Die Berechnungen zur Teilaufgabe '''(6)''' sind umfangreich.
-*Zur Berechnung der Signale $y_{\rm CK}(t)$ und $y_{\rm SK}(t)$ bietet sich zum Beispiel der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes|Residuensatz]] an.
+*Zur Berechnung der Signale &nbsp;$y_{\rm CK}(t)$&nbsp; und &nbsp;$y_{\rm SK}(t)$&nbsp; bietet sich zum Beispiel der [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes|Residuensatz]] an.
@@ Zeile 49: / Zeile 50: @@
 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie en Frequenzgang $H(f)$ aus $H_{\rm L}(p)$ nach Betrag und Phase. <br>Welche Werte ergeben sich für die Frequenz $ f = f_0 = 1/T  = 1 \ \rm MHz$?
+{Berechnen Sie den Frequenzgang &nbsp;$H(f)$&nbsp; aus &nbsp;$H_{\rm L}(p)$&nbsp; nach Betrag und Phase. <br>Welche Werte ergeben sich für die Frequenz &nbsp;$ f = f_0 = 1/T  = 1 \ \rm MHz$?
 |type="{}"}
 $|H(f = f_0)| \ = \ $  { 0.303 3% }
@@ Zeile 57: / Zeile 58: @@
-{Berechnen Sie das Signal $y_{\rm C}(t)$ am Filterausgang, wenn am Eingang des Filters das Cosinussignal  $c(t)$ anliegt. Welcher Wert ergibt sich für $t = 0$?
+{Berechnen Sie das Signal &nbsp;$y_{\rm C}(t)$&nbsp; am Filterausgang, wenn am Eingang des Filters das Cosinussignal  &nbsp;$c(t)$&nbsp; anliegt. <br>Welcher Wert ergibt sich für &nbsp;$t = 0$?
 |type="{}"}
 $y_{\rm C}(t = 0) \ =  \ $ { 0.092 3% }
-{Berechnen Sie das Ausgangssignal $y_{\rm S}(t)$, wenn am Eingang das Sinussignal $s(t)$ anliegt. Welcher Wert ergibt sich für $t = 0$?
+{Berechnen Sie das Ausgangssignal &nbsp;$y_{\rm S}(t)$, wenn am Eingang das Sinussignal &nbsp;$s(t)$&nbsp; anliegt. <br>Welcher Wert ergibt sich für $t = 0$?
 |type="{}"}
 $y_{\rm S}(t = 0) \ = \ $  { -0.295--0.283 }
-{Bestimmen Sie die Einflusslänge $T_h$ der Filterimpulsantwort, also diejenige Zeit, bei der $h(t)$ auf $1\%$ des Maximalwertes abgeklungen ist. Normierung auf $T$.
+{Bestimmen Sie die Einflusslänge &nbsp;$T_h$&nbsp; der Filterimpulsantwort, also diejenige Zeit, bei der &nbsp;$h(t)$&nbsp; auf &nbsp;$1\%$&nbsp; des Maximalwertes abgeklungen ist. Normierung auf $T$.
 |type="{}"}
 $T_h/T \ =  \ $  { 2.3 3% }
-{Welche Aussagen sind für die Signale $y_{\rm CK}(t)$ und $y_{\rm SK}(t)$ zutreffend?
+{Welche Aussagen sind für die Signale &nbsp;$y_{\rm CK}(t)$&nbsp; und &nbsp;$y_{\rm SK}(t)$&nbsp; zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Es gilt $y_{\rm CK}(t) \equiv 0$ und $y_{\rm SK}(t) \equiv 0$ für $t < 0$.
++ Es gilt &nbsp;$y_{\rm CK}(t) \equiv 0$&nbsp; und &nbsp;$y_{\rm SK}(t) \equiv 0$&nbsp; für &nbsp;$t < 0$.
-+ Das Signal $y_{\rm CK}(t)$ ist für $t > T_h$ annähernd gleich $y_{\rm C}(t)$.
++ Das Signal &nbsp;$y_{\rm CK}(t)$&nbsp; ist für &nbsp;$t > T_h$&nbsp; annähernd gleich &nbsp;$y_{\rm C}(t)$.
-- Das kausale Signal $y_{\rm SK}(t)$ ist für $t < T_h$ annähernd gleich $y_{\rm S}(t)$.
+- Das kausale Signal &nbsp;$y_{\rm SK}(t)$&nbsp; ist für &nbsp;$t < T_h$&nbsp; annähernd gleich $y_{\rm S}(t)$.
-{Berechnen Sie mittels Residuensatz das Signal  $y_{\rm CK}(t)$ nach dem Filter, wenn am Eingang $c_{\rm K}(t)$ anliegt. <br>Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt $t = T/5$ auf?
+{Berechnen Sie mittels Residuensatz das Signal  &nbsp;$y_{\rm CK}(t)$&nbsp; nach dem Filter, wenn am Eingang &nbsp;$c_{\rm K}(t)$&nbsp; anliegt. <br>Welcher Signalwert tritt zum Zeitpunkt &nbsp;$t = T/5$&nbsp; auf?
 |type="{}"}
 $y_\text{CK}(t = T/5) \ =  \ $  { 0.24 3% }