Aufgaben:Aufgabe 3.5Z: Integration von Diracfunktionen - Versionsgeschichte

Maintenance script: Add English interlanguage link

2026-03-16T12:36:39Z

Add English interlanguage link

← Nächstältere Version		Version vom 16. März 2026, 14:36 Uhr
Zeile 73:		Zeile 73:
	__NOEDITSECTION__		__NOEDITSECTION__
	[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^3. Aperiodische Signale - Impulse^]]		[[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung\|^3. Aperiodische Signale - Impulse^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.5Z:_Integration_of_Dirac_Functions]]

Maintenance script: Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

2026-02-24T13:39:24Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

← Nächstältere Version		Version vom 24. Februar 2026, 15:39 Uhr
Zeile 57:		Zeile 57:
	:*Bei der Frequenz  $f = 0$  hat  ${x(t)}$  keine Spektralanteile   ⇒   ${X(f = 0)} \;\underline{= 0}$.		:*Bei der Frequenz  $f = 0$  hat  ${x(t)}$  keine Spektralanteile   ⇒   ${X(f = 0)} \;\underline{= 0}$.
	:*Für  $f = 1 \,\text{kHz}$  – also  $f \cdot T = 0.5$  –   gilt dagegen:		:*Für  $f = 1 \,\text{kHz}$  – also  $f \cdot T = 0.5$  –   gilt dagegen:
	:$$X( f = 1\;{\rm{kHz}} ) = - 4 \cdot A \cdot T = -2 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}}\; \Rightarrow \;		:$$X( f = 1\;{\rm{kHz}} ) = - 4 \cdot A \cdot T = -2 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}}\; \Rightarrow \;\|X( {f = 1\;{\rm{kHz}}} )\| \hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
	\|X( {f = 1\;{\rm{kHz}}} )\| \hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$

Guenter am 27. April 2021 um 12:27 Uhr

2021-04-27T12:27:09Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. April 2021, 14:27 Uhr
Zeile 6:		Zeile 6:
	Wie in der  [[Aufgaben:3.5_Differentiation_eines_Dreicksignals\|Aufgabe 3.5]]  soll das Spektrum  ${Y(f)}$  des Signals		Wie in der  [[Aufgaben:3.5_Differentiation_eines_Dreicksignals\|Aufgabe 3.5]]  soll das Spektrum  ${Y(f)}$  des Signals
	:$$y( t ) = \left\{ \begin{array}{c} A \\ - A \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{20}c} {{\rm{f \ddot{u}r}}} \\ {{\rm{f\ddot{u} r}}} \\ {\rm{sonst.}} \\ \end{array}\;\begin{array}{{20}c} { - T \le t < 0,} \\ {0 < t \le T,} \\ {} \\\end{array}$$		:$$y( t ) = \left\{ \begin{array}{c} A \\ - A \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{20}c} {{\rm{f \ddot{u}r}}} \\ {{\rm{f\ddot{u} r}}} \\ {\rm{sonst.}} \\ \end{array}\;\begin{array}{{20}c} { - T \le t < 0,} \\ {0 < t \le T,} \\ {} \\\end{array}$$
	ermittelt werden. Es gelte wieder  $A = 1 \,\text{V}$  und  $T = 0.5 \,\text{ms}$.		ermittelt werden.  Es gelte wieder  $A = 1 \,\text{V}$  und  $T = 0.5 \,\text{ms}$.

	Ausgegangen wird vom Zeitsignal  ${x(t)}$  gemäß der mittleren Skizze, das sich aus drei Diracimpulsen bei  $–T$,  $0$  und  $+T$  mit den Impulsgewichte  ${AT}$,  $-2{AT}$  und  ${AT}$  zusammensetzt.		Ausgegangen wird vom Zeitsignal  ${x(t)}$  gemäß der mittleren Skizze, das sich aus drei Diracimpulsen bei  $–T$,  $0$  und  $+T$  mit den Impulsgewichte  ${AT}$,  $-2{AT}$  und  ${AT}$  zusammensetzt.
Zeile 33:		Zeile 33:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie die Spektralfunktion  ${X(f)}$. Wie groß ist deren Betrag bei den Frequenzen  $f = 0$  und  $f = 1\, \text{kHz}$?		{Berechnen Sie die Spektralfunktion  ${X(f)}$.  Wie groß ist deren Betrag bei den Frequenzen  $f = 0$  und  $f = 1\, \text{kHz}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|{X(f = 0)}\| \ = \ $ { 0. }  $\text{mV/Hz}$		$\|{X(f = 0)}\| \ = \ $ { 0. }  $\text{mV/Hz}$
Zeile 39:		Zeile 39:


	{Berechnen Sie die Spektralfunktion  ${Y(f)}$. Welche Werte ergeben sich bei den Frequenzen  $f = 0$  und  $f = 1\, \text{kHz}$?		{Berechnen Sie die Spektralfunktion  ${Y(f)}$.  Welche Werte ergeben sich bei den Frequenzen  $f = 0$  und  $f = 1\, \text{kHz}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|{Y(f = 0)}\|\ = \ $ { 0. }  $\text{mV/Hz}$		$\|{Y(f = 0)}\|\ = \ $ { 0. }  $\text{mV/Hz}$

Guenter am 26. September 2019 um 15:32 Uhr

2019-09-26T15:32:32Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. September 2019, 17:32 Uhr
Zeile 50:		Zeile 50:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Im Angabenteil zur Aufgabe finden Sie die Fourierkorrespondenz zwischen ${u(t)}$ und ${U(f)}$. Da sowohl die Zeitfunktionen ${u(t)}$ und ${x(t)}$ als auch die dazugehörigen Spektren ${U(f)}$ und ${X(f)}$ gerade und reell sind, kann man ${X(f)}$ durch Anwendung des Vertauschungssatzes leicht berechnen:		'''(1)'''  Im Angabenteil zur Aufgabe finden Sie die Fourierkorrespondenz zwischen  ${u(t)}$  und  ${U(f)}$.
			*Da sowohl die Zeitfunktionen  ${u(t)}$  und  ${x(t)}$  als auch die dazugehörigen Spektren  ${U(f)}$  und  ${X(f)}$  gerade und reell sind, kann man  ${X(f)}$  durch Anwendung des Vertauschungssatzes leicht berechnen:
	:$$X( f ) = - 2 \cdot A \cdot T + 2 \cdot A \cdot T \cdot \cos \left( {{\rm{2\pi }}fT} \right).$$		:$$X( f ) = - 2 \cdot A \cdot T + 2 \cdot A \cdot T \cdot \cos \left( {{\rm{2\pi }}fT} \right).$$
	Wegen der Beziehung $\sin^{2}(\alpha) = (1 – \cos(\alpha))/2$ kann hierfür auch geschrieben werden:		*Wegen der Beziehung  $\sin^{2}(\alpha) = (1 – \cos(\alpha))/2$  kann hierfür auch geschrieben werden:
	:$$X( f ) = - 4 \cdot A \cdot T \cdot \sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} ).$$		:$$X( f ) = - 4 \cdot A \cdot T \cdot \sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} ).$$
	*Bei der Frequenz $f = 0$ hat ${x(t)}$ keine Spektralanteile   ⇒   ${X(f = 0)} \;\underline{= 0}$.		:*Bei der Frequenz  $f = 0$  hat  ${x(t)}$  keine Spektralanteile   ⇒   ${X(f = 0)} \;\underline{= 0}$.
	*Für $f = 1 \,\text{kHz}$, also $f \cdot T = 0.5$, gilt dagegen:		:*Für  $f = 1 \,\text{kHz}$  – also  $f \cdot T = 0.5$  –   gilt dagegen:
	:$$X( f = 1\;{\rm{kHz}} ) = - 4 \cdot A \cdot T = -2 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}}\; \Rightarrow \;		:$$X( f = 1\;{\rm{kHz}} ) = - 4 \cdot A \cdot T = -2 \cdot 10^{ - 3} \;{\rm{V/Hz}}\; \Rightarrow \;
	\|X( {f = 1\;{\rm{kHz}}} )\| \hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$		\|X( {f = 1\;{\rm{kHz}}} )\| \hspace{0.15 cm}\underline{= 2 \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$


	'''(2)'''  Das Spektrum ${Y(f)}$ kann aus ${X(f)}$ durch Anwendung des Integrationssatzes ermittelt werden. Wegen ${X(f = 0)} = 0$ muss die Diracfunktion bei der Frequenz $f = 0$ nicht berücksichtigt werden und man erhält:
			'''(2)'''  Das Spektrum  ${Y(f)}$  kann aus  ${X(f)}$  durch Anwendung des Integrationssatzes ermittelt werden.
			*Wegen  ${X(f = 0)} = 0$  muss die Diracfunktion bei der Frequenz  $f = 0$  nicht berücksichtigt werden und man erhält:
	:$$Y( f ) = \frac{X( f )}{{{\rm{j}} \cdot 2{\rm{\pi }}fT}} = \frac{{ - 4 \cdot A \cdot T \cdot \sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{{\rm{j}}\cdot 2{\rm{\pi }}fT}} = 2{\rm{j}} \cdot A \cdot T \cdot \frac{{\sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{{\rm{\pi }}fT}}.$$		:$$Y( f ) = \frac{X( f )}{{{\rm{j}} \cdot 2{\rm{\pi }}fT}} = \frac{{ - 4 \cdot A \cdot T \cdot \sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{{\rm{j}}\cdot 2{\rm{\pi }}fT}} = 2{\rm{j}} \cdot A \cdot T \cdot \frac{{\sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{{\rm{\pi }}fT}}.$$
	Es ergibt sich selbstverständlich das gleiche Ergebnis wie in der [[Aufgaben:3.5_Differentiation_eines_Dreicksignals\|Aufgabe 3.5]]:		*Es ergibt sich selbstverständlich das gleiche Ergebnis wie in der  [[Aufgaben:3.5_Differentiation_eines_Dreicksignals\|Aufgabe 3.5]]:
	*Bei der Frequenz $f = 0$ hat auch ${y(t)}$ keine Spektralanteile   ⇒   ${Y(f = 0)} \;\underline{= 0}$.		:*Bei der Frequenz  $f = 0$  hat auch  ${y(t)}$  keine Spektralanteile   ⇒   ${Y(f = 0)} \;\underline{= 0}$.
	*Für $f = 1\,\text{kHz} \ \ (f \cdot T = 0.5)$ erhält man gegenüber $X(f)$ einen um den Faktor $\pi$ kleineren Wert:		:*Für  $f = 1\,\text{kHz} \ \ (f \cdot T = 0.5)$  erhält man gegenüber  $X(f)$  einen um den Faktor  $\pi$  kleineren Wert:
	:$$\|Y( {f = 1\;{\rm{kHz}}} )\| = \frac{4 \cdot A \cdot T}{\rm{\pi }} \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm{0}}{\rm{.636}} \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$		:$$\|Y( {f = 1\;{\rm{kHz}}} )\| = \frac{4 \cdot A \cdot T}{\rm{\pi }} \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm{0}}{\rm{.636}} \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 26. September 2019 um 15:22 Uhr

2019-09-26T15:22:59Z

← Nächstältere Version		Version vom 26. September 2019, 17:22 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID515__Sig_Z_3_5_neu.png\|right\|frame\|Integration von Diracfunktionen ]]		[[Datei:P_ID515__Sig_Z_3_5_neu.png\|right\|frame\|Integration von Diracfunktionen ]]
	Wie in der [[Aufgaben:3.5_Differentiation_eines_Dreicksignals\|Aufgabe 3.5]] soll das Spektrum ${Y(f)}$ des Signals		Wie in der  [[Aufgaben:3.5_Differentiation_eines_Dreicksignals\|Aufgabe 3.5]]  soll das Spektrum  ${Y(f)}$  des Signals
	:$$y( t ) = \left\{ \begin{array}{c} A \\ - A \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{20}c} {{\rm{f \ddot{u}r}}} \\ {{\rm{f\ddot{u} r}}} \\ {\rm{sonst.}} \\ \end{array}\;\begin{array}{{20}c} { - T \le t < 0,} \\ {0 < t \le T,} \\ {} \\\end{array}$$		:$$y( t ) = \left\{ \begin{array}{c} A \\ - A \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{20}c} {{\rm{f \ddot{u}r}}} \\ {{\rm{f\ddot{u} r}}} \\ {\rm{sonst.}} \\ \end{array}\;\begin{array}{{20}c} { - T \le t < 0,} \\ {0 < t \le T,} \\ {} \\\end{array}$$
	ermittelt werden. Es gelte wieder $A = 1 \,\text{V}$ und $T = 0.5 \,\text{ms}$.		ermittelt werden. Es gelte wieder  $A = 1 \,\text{V}$  und  $T = 0.5 \,\text{ms}$.

	Ausgegangen wird vom Zeitsignal ${x(t)}$ gemäß der mittleren Skizze, das sich aus drei Diracimpulsen bei $–T$, $0$ und $+T$ mit den Impulsgewichte ${AT}$, $-2{AT}$ und ${AT}$ zusammensetzt.		Ausgegangen wird vom Zeitsignal  ${x(t)}$  gemäß der mittleren Skizze, das sich aus drei Diracimpulsen bei  $–T$,  $0$  und  $+T$  mit den Impulsgewichte  ${AT}$,  $-2{AT}$  und  ${AT}$  zusammensetzt.

	Die Spektralfunktion ${X(f)}$ kann durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz\|Vertauschungssatzes]] direkt angegeben werden, wenn man berücksichtigt, dass die zu ${U(f)}$ gehörige Zeitfunktion wie folgt lautet (siehe untere Skizze):		Die Spektralfunktion  ${X(f)}$  kann durch Anwendung des  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz\|Vertauschungssatzes]]  direkt angegeben werden, wenn man berücksichtigt, dass die zu  ${U(f)}$  gehörige Zeitfunktion wie folgt lautet (siehe untere Skizze):
	:$$u( t ) = - 2A + 2A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$		:$$u( t ) = - 2A + 2A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$





Zeile 18:		Zeile 21:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
	*Alle diese Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] an Beispielen verdeutlicht.		*Alle diese Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo  [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]  an Beispielen verdeutlicht.
	*Zwischen ${x(t)}$ und ${y(t)}$ besteht folgender Zusammenhang:		*Zwischen  ${x(t)}$  und  ${y(t)}$  besteht folgender Zusammenhang:
	:$$y( t ) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau )}\, {\rm d}\tau .$$		:$$y( t ) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau )}\, {\rm d}\tau .$$
	*Der [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]] lautet in entsprechend angepasster Form:		*Der  [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]]  lautet in entsprechend angepasster Form:
	:$$\frac{1}{T}\cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau )}\,\, {\rm d}\tau\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ X( f ) \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}fT}} + \frac{1}{2T}\cdot {\rm \delta} ( f )} \right).$$		:$$\frac{1}{T}\cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau )}\,\, {\rm d}\tau\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ X( f ) \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{j}}\cdot 2{\rm{\pi }\cdot }fT}} + \frac{1}{2T}\cdot {\rm \delta} ( f )} \right).$$


Zeile 30:		Zeile 33:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Berechnen Sie die Spektralfunktion ${X(f)}$. Wie groß ist deren Betrag bei den Frequenzen $f = 0$ und $f = 1\, \text{kHz}$?		{Berechnen Sie die Spektralfunktion  ${X(f)}$. Wie groß ist deren Betrag bei den Frequenzen  $f = 0$  und  $f = 1\, \text{kHz}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|{X(f = 0)}\| \ = \ $ { 0. }  $\text{mV/Hz}$		$\|{X(f = 0)}\| \ = \ $ { 0. }  $\text{mV/Hz}$
Zeile 36:		Zeile 39:


	{Berechnen Sie die Spektralfunktion ${Y(f)}$. Welche Werte ergeben sich bei den Frequenzen $f = 0$ und $f = 1\, \text{kHz}$?		{Berechnen Sie die Spektralfunktion  ${Y(f)}$. Welche Werte ergeben sich bei den Frequenzen  $f = 0$  und  $f = 1\, \text{kHz}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|{Y(f = 0)}\|\ = \ $ { 0. }  $\text{mV/Hz}$		$\|{Y(f = 0)}\|\ = \ $ { 0. }  $\text{mV/Hz}$

Guenter am 24. Juli 2018 um 09:35 Uhr

2018-07-24T09:35:10Z

← Nächstältere Version		Version vom 24. Juli 2018, 11:35 Uhr
Zeile 19:		Zeile 19:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
	*Alle ~~dort dargelegten~~ Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] an Beispielen verdeutlicht.		*Alle diese Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] an Beispielen verdeutlicht.
	*Zwischen ${x(t)}$ und ${y(t)}$ besteht folgender Zusammenhang:		*Zwischen ${x(t)}$ und ${y(t)}$ besteht folgender Zusammenhang:
	:$$y( t ) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau )}\, {\rm d}\tau .$$		:$$y( t ) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau )}\, {\rm d}\tau .$$

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:53Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:02 Uhr
Zeile 24:		Zeile 24:
	*Der [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]] lautet in entsprechend angepasster Form:		*Der [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]] lautet in entsprechend angepasster Form:
	:$$\frac{1}{T}\cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau )}\,\, {\rm d}\tau\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ X( f ) \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}fT}} + \frac{1}{2T}\cdot {\rm \delta} ( f )} \right).$$		:$$\frac{1}{T}\cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau )}\,\, {\rm d}\tau\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ X( f ) \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}fT}} + \frac{1}{2T}\cdot {\rm \delta} ( f )} \right).$$
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter am 17. Januar 2018 um 15:05 Uhr

2018-01-17T15:05:27Z

Guenter am 17. Januar 2018 um 15:00 Uhr

2018-01-17T15:00:48Z

← Nächstältere Version		Version vom 17. Januar 2018, 17:00 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	}}		}}

	[[Datei:P_ID515__Sig_Z_3_5_neu.png\|right\|Integration von Diracfunktionen ]]		[[Datei:P_ID515__Sig_Z_3_5_neu.png\|right\|frame\|Integration von Diracfunktionen ]]
	Wie in [[Aufgaben:3.5_Differentiation_eines_Dreicksignals\|Aufgabe 3.5]] soll das Spektrum ${Y(f)}$ des Signals		Wie in der [[Aufgaben:3.5_Differentiation_eines_Dreicksignals\|Aufgabe 3.5]] soll das Spektrum ${Y(f)}$ des Signals
	:$$y( t ) = \left\{ \begin{array}{c} A \\ - A \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{20}c} {{\rm{f \ddot{u}r}}} \\ {{\rm{f\ddot{u} r}}} \\ {\rm{sonst.}} \\ \end{array}\;\begin{array}{{20}c} { - T \le t < 0,} \\ {0 < t \le T,} \\ {} \\\end{array}$$		:$$y( t ) = \left\{ \begin{array}{c} A \\ - A \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{{20}c} {{\rm{f \ddot{u}r}}} \\ {{\rm{f\ddot{u} r}}} \\ {\rm{sonst.}} \\ \end{array}\;\begin{array}{{20}c} { - T \le t < 0,} \\ {0 < t \le T,} \\ {} \\\end{array}$$
	ermittelt werden. Es gelte wieder $A = 1 \,\text{V}$ und $T = 0.5 \,\text{ms}$.		ermittelt werden. Es gelte wieder $A = 1 \,\text{V}$ und $T = 0.5 \,\text{ms}$.
Zeile 12:		Zeile 12:
	Die Spektralfunktion ${X(f)}$ kann durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz\|Vertauschungssatzes]] direkt angegeben werden, wenn man berücksichtigt, dass die zu ${U(f)}$ gehörige Zeitfunktion wie folgt lautet (siehe untere Skizze):		Die Spektralfunktion ${X(f)}$ kann durch Anwendung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Vertauschungssatz\|Vertauschungssatzes]] direkt angegeben werden, wenn man berücksichtigt, dass die zu ${U(f)}$ gehörige Zeitfunktion wie folgt lautet (siehe untere Skizze):
	:$$u( t ) = - 2A + 2A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$		:$$u( t ) = - 2A + 2A \cdot \cos ( {2{\rm{\pi }}f_0 t} ).$$





	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
	*Alle dort dargelegten Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation ~~(Dauer Teil 1: 5:57 – Teil 2: 5:55)~~]] an Beispielen verdeutlicht.		*Alle dort dargelegten Gesetzmäßigkeiten werden im Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)\|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] an Beispielen verdeutlicht.
	*Zwischen ${x(t)}$ und ${y(t)}$ besteht folgender Zusammenhang:		*Zwischen ${x(t)}$ und ${y(t)}$ besteht folgender Zusammenhang:
	:$$y( t ) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau )}\, {\rm d}\tau .$$		:$$y( t ) = \frac{1}{T} \cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau )}\, {\rm d}\tau .$$
	*Der [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]] lautet in entsprechend angepasster Form:		*Der [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz\|Integrationssatz]] lautet in entsprechend angepasster Form:
	:$$\frac{1}{T}\cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau )}\,\, {\rm d}\tau\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,X( f ) \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}fT}} + \frac{1}{2T}\cdot {\rm \delta} ( f )} \right).$$		:$$\frac{1}{T}\cdot \hspace{-0.1cm} \int_{ - \infty }^{\hspace{0.05cm}t} {x( \tau )}\,\, {\rm d}\tau\ \ \circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\, \ \ X( f ) \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{j}}2{\rm{\pi }}fT}} + \frac{1}{2T}\cdot {\rm \delta} ( f )} \right).$$
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.		*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Zeile 28:		Zeile 32:
	{Berechnen Sie die Spektralfunktion ${X(f)}$. Wie groß ist deren Betrag bei den Frequenzen $f = 0$ und $f = 1\, \text{kHz}$?		{Berechnen Sie die Spektralfunktion ${X(f)}$. Wie groß ist deren Betrag bei den Frequenzen $f = 0$ und $f = 1\, \text{kHz}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|{X(f = 0)}\|$ ~~ =~~ { 0. }  $\text{mV/Hz}$		$\|{X(f = 0)}\| \ = \ $ { 0. }  $\text{mV/Hz}$
	$\|{X(f = 1\, \text{kHz})}\|$ ~~ =~~ { 2 3% }  $\text{mV/Hz}$		$\|{X(f = 1\, \text{kHz})}\|\ = \ $ { 2 3% }  $\text{mV/Hz}$


	{Berechnen Sie die Spektralfunktion ${Y(f)}$. Welche Werte ergeben sich bei den Frequenzen $f = 0$ und $f = 1\, \text{kHz}$?		{Berechnen Sie die Spektralfunktion ${Y(f)}$. Welche Werte ergeben sich bei den Frequenzen $f = 0$ und $f = 1\, \text{kHz}$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\|{Y(f = 0)}\|$ ~~ =~~ { 0. }  $\text{mV/Hz}$		$\|{Y(f = 0)}\|\ = \ $ { 0. }  $\text{mV/Hz}$
	$\|{Y(f = 1\, \text{kHz})}\|$ ~~ =~~ { 0.636 3% }  $\text{mV/Hz}$		$\|{Y(f = 1\, \text{kHz})}\| \ = \ $ { 0.636 3% }  $\text{mV/Hz}$

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.5Z Integration von Diracfunktionen nach Aufgaben:Aufgabe 3.5Z: Integration von Diracfunktionen

2018-01-01T17:21:24Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.5Z Integration von Diracfunktionen nach Aufgaben:Aufgabe 3.5Z: Integration von Diracfunktionen

← Nächstältere Version	Version vom 1. Januar 2018, 19:21 Uhr
(kein Unterschied)

← Nächstältere Version		Version vom 17. Januar 2018, 17:05 Uhr
Zeile 47:		Zeile 47:
	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''1.''' Im Angabenteil zur Aufgabe finden Sie die Fourierkorrespondenz zwischen ${u(t)}$ und ${U(f)}$. Da sowohl die Zeitfunktionen ${u(t)}$ und ${x(t)}$ als auch die dazugehörigen Spektren ${U(f)}$ und ${X(f)}$ gerade und reell sind, kann man ${X(f)}$ durch Anwendung des Vertauschungssatzes leicht berechnen:		'''(1)'''  Im Angabenteil zur Aufgabe finden Sie die Fourierkorrespondenz zwischen ${u(t)}$ und ${U(f)}$. Da sowohl die Zeitfunktionen ${u(t)}$ und ${x(t)}$ als auch die dazugehörigen Spektren ${U(f)}$ und ${X(f)}$ gerade und reell sind, kann man ${X(f)}$ durch Anwendung des Vertauschungssatzes leicht berechnen:
	:$$X( f ) = - 2 \cdot A \cdot T + 2 \cdot A \cdot T \cdot \cos \left( {{\rm{2\pi }}fT} \right).$$		:$$X( f ) = - 2 \cdot A \cdot T + 2 \cdot A \cdot T \cdot \cos \left( {{\rm{2\pi }}fT} \right).$$
	Wegen der Beziehung $\sin^{2}(\alpha) = (1 – \cos(\alpha))/2$ kann hierfür auch geschrieben werden:		Wegen der Beziehung $\sin^{2}(\alpha) = (1 – \cos(\alpha))/2$ kann hierfür auch geschrieben werden:
Zeile 57:		Zeile 57:


	'''2.''' Das Spektrum ${Y(f)}$ kann aus ${X(f)}$ durch Anwendung des Integrationssatzes ermittelt werden. Wegen ${X(f = 0)} = 0$ muss die Diracfunktion bei der Frequenz $f = 0$ nicht berücksichtigt werden und man erhält:		'''(2)'''  Das Spektrum ${Y(f)}$ kann aus ${X(f)}$ durch Anwendung des Integrationssatzes ermittelt werden. Wegen ${X(f = 0)} = 0$ muss die Diracfunktion bei der Frequenz $f = 0$ nicht berücksichtigt werden und man erhält:
	:$$Y( f ) = \frac{X( f )}{{{\rm{j}} \cdot 2{\rm{\pi }}fT}} = \frac{{ - 4 \cdot A \cdot T \cdot \sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{{\rm{j}}\cdot 2{\rm{\pi }}fT}} = 2{\rm{j}} \cdot A \cdot T \cdot \frac{{\sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{{\rm{\pi }}fT}}.$$		:$$Y( f ) = \frac{X( f )}{{{\rm{j}} \cdot 2{\rm{\pi }}fT}} = \frac{{ - 4 \cdot A \cdot T \cdot \sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{{\rm{j}}\cdot 2{\rm{\pi }}fT}} = 2{\rm{j}} \cdot A \cdot T \cdot \frac{{\sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{{\rm{\pi }}fT}}.$$
	Es ergibt sich selbstverständlich das gleiche Ergebnis wie in der [[Aufgaben:3.5_Differentiation_eines_Dreicksignals\|Aufgabe 3.5]]:		Es ergibt sich selbstverständlich das gleiche Ergebnis wie in der [[Aufgaben:3.5_Differentiation_eines_Dreicksignals\|Aufgabe 3.5]]:
	*Bei der Frequenz $f = 0$ hat auch ${y(t)}$ keine Spektralanteile   ⇒   ${Y(f = 0)} \;\underline{= 0}$.		*Bei der Frequenz $f = 0$ hat auch ${y(t)}$ keine Spektralanteile   ⇒   ${Y(f = 0)} \;\underline{= 0}$.
	*Für $f = 1\,\text{kHz}$ ($f \cdot T = 0.5$) erhält man gegenüber $X(f)$ einen um den Faktor $\pi$ kleineren Wert:		*Für $f = 1\,\text{kHz} \ \ (f \cdot T = 0.5)$ erhält man gegenüber $X(f)$ einen um den Faktor $\pi$ kleineren Wert:
	:$$\|Y( {f = 1\;{\rm{kHz}}} )\| = \frac{4 \cdot A \cdot T}{\rm{\pi }} \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm{0}}{\rm{.636}} \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$		:$$\|Y( {f = 1\;{\rm{kHz}}} )\| = \frac{4 \cdot A \cdot T}{\rm{\pi }} \hspace{0.15 cm}\underline{= {\rm{0}}{\rm{.636}} \;{\rm{mV/Hz}}}{\rm{.}}$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}