Aufgaben:Aufgabe 3.5Z: Anwendung des Residuensatzes - Versionsgeschichte

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	'''(2)'''  Mit  $Y_{\rm L}(p) = 2/(p+1)$  ergibt sich aus dem Residuensatz mit  $I=1$:		'''(2)'''  Mit  $Y_{\rm L}(p) = 2/(p+1)$  ergibt sich aus dem Residuensatz mit  $I=1$:
	:$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}t}\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1}= 2 \cdot {\~~rme~~}^{- \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y(t=1)=\frac{2}{\rm e} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.736 \hspace{0.15cm}{\rm (rein\hspace{0.15cm}reell)}}\hspace{0.05cm} .$$		:$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}t}\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1}= 2 \cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y(t=1)=\frac{2}{\rm e} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.736 \hspace{0.15cm}{\rm (rein\hspace{0.15cm}reell)}}\hspace{0.05cm} .$$


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	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.3 Laplace–Rücktransformation^]]		[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.3 Laplace–Rücktransformation^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.5Z:_Application_of_the_Residue_Theorem]]

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Zeile 15:		Zeile 15:

	In diesem Fall gilt		In diesem Fall gilt
	:$$y(t) = \sum_{i=1}^{I} \left \{		:$$y(t) = \sum_{i=1}^{I} \left \{Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}i})\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p\hspace{0.05cm}t}\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} \right\} \hspace{0.05cm}.$$
	Y_{\rm L}(p)\cdot (p - p_{{\rm x}i})\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p
	\hspace{0.05cm}t}
	\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} \right
	\} \hspace{0.05cm}.$$
	$I$  gibt die Anzahl der unterscheidbaren Pole an;  bei allen vorgegebenen Konstellationen ist  $I = N$.		$I$  gibt die Anzahl der unterscheidbaren Pole an;  bei allen vorgegebenen Konstellationen ist  $I = N$.

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	*Diese Voraussetzung ist bei den Konfigurationen  $\rm B$,  $\rm D$ und  $\rm F$ nicht gegeben.		*Diese Voraussetzung ist bei den Konfigurationen  $\rm B$,  $\rm D$ und  $\rm F$ nicht gegeben.
	*Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden,  zum Beispiel für die Konfiguration  $\rm B$  mit  $p_x = -1$:		*Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden,  zum Beispiel für die Konfiguration  $\rm B$  mit  $p_x = -1$:
	:$$Y_{\rm L}(p)= \frac {p} {p +1}= 1-\frac {1} {p +1}		:$$Y_{\rm L}(p)= \frac {p} {p +1}= 1-\frac {1} {p +1}\hspace{0.05cm} .$$
	\hspace{0.05cm} .$$



	'''(2)'''  Mit  $Y_{\rm L}(p) = 2/(p+1)$  ergibt sich aus dem Residuensatz mit  $I=1$:		'''(2)'''  Mit  $Y_{\rm L}(p) = 2/(p+1)$  ergibt sich aus dem Residuensatz mit  $I=1$:
	:$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}t}		:$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}t}\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1}= 2 \cdot {\rme}^{- \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y(t=1)=\frac{2}{\rm e} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.736 \hspace{0.15cm}{\rm (rein\hspace{0.15cm}reell)}}\hspace{0.05cm} .$$
	\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1}= 2 \cdot {\rm
	e}^{- \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y(t=1)
	=\frac{2}{\rm e} \hspace{0.15cm}\underline{ \approx 0.736 \hspace{0.15cm}{\rm (rein\hspace{0.15cm}reell)}}
	\hspace{0.05cm} .$$


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	[[Datei:P_ID1782__LZI_Z_3_5_c.png\|right\|frame\|Komplexe Signale bei einem einzigen komplexen Pol]]		[[Datei:P_ID1782__LZI_Z_3_5_c.png\|right\|frame\|Komplexe Signale bei einem einzigen komplexen Pol]]
	'''(3)'''  Bei gleicher Vorgehensweise wie in Teilaufgabe  '''(2)'''  erhält man nun:		'''(3)'''  Bei gleicher Vorgehensweise wie in Teilaufgabe  '''(2)'''  erhält man nun:
	:$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-(0.2 \hspace{0.05cm}+		:$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-(0.2 \hspace{0.05cm}+\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t}= 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2 \hspace{0.08cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5\pi\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}\hspace{0.05cm} .$$
	\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t}
	= 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2 \hspace{0.08cm}\cdot
	\hspace{0.05cm}t}\cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-{\rm j} \hspace{0.08cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5
	\pi\hspace{0.05cm}\cdot
	\hspace{0.05cm}t}
	\hspace{0.05cm} .$$

	*Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal,  dessen Phase in mathematisch positiver Richtung  (entgegen dem Uhrzeigersinn)  dreht.  Für den Zeitpunkt  $t=1$  gilt:		*Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal,  dessen Phase in mathematisch positiver Richtung  (entgegen dem Uhrzeigersinn)  dreht.  Für den Zeitpunkt  $t=1$  gilt:
	:$$y(t = 1) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2} \cdot \big [		:$$y(t = 1) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2} \cdot \big [\cos(1.5 \pi) + {\rm j} \cdot \sin(1.5 \pi)\big ]= - {\rm j} \cdot 1.638$$
	\cos(1.5 \pi) + {\rm j} \cdot \sin(1.5 \pi)		:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}{\rm Re}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0},\hspace{0.2cm} {\rm Im}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{=- 1.638}\hspace{0.05cm} .$$
	\big ]= - {\rm j} \cdot 1.638$$
	:$$\Rightarrow
	\hspace{0.3cm}{\rm Re}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0},\hspace{0.2cm} {\rm Im}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{=- 1.638}
	\hspace{0.05cm} .$$
	*Die linke Grafik zeigt das komplexe Signal für einen Pol bei  $p_x = -2 + {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.  Rechts sieht man das dazu konjugiert–komplexe Signal für  $p_x = -2 - {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.		*Die linke Grafik zeigt das komplexe Signal für einen Pol bei  $p_x = -2 + {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.  Rechts sieht man das dazu konjugiert–komplexe Signal für  $p_x = -2 - {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.

Zeile 113:		Zeile 94:
	[[Datei:P_ID1783__LZI_Z_3_5_d.png\|right\|frame\|Signalverlauf der Konfiguration $\rm E$]]		[[Datei:P_ID1783__LZI_Z_3_5_d.png\|right\|frame\|Signalverlauf der Konfiguration $\rm E$]]
	'''(4)'''  Nun gilt  $I=2$. Die Residien von  $p_{x1}$  bzw.  $p_{x2}$  liefern:		'''(4)'''  Nun gilt  $I=2$. Die Residien von  $p_{x1}$  bzw.  $p_{x2}$  liefern:
	:$$y_1(t) =		:$$y_1(t) =\frac {K \cdot (p-p_{{\rm x}1})} { (p-p_{{\rm x}1})(p-p_{{\rm x}2})} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}=\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}\hspace{0.05cm} ,$$
	\frac {K \cdot (p-p_{{\rm x}1})} { (p-p_{{\rm x}1})(p-p_{{\rm x}2})} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p\hspace{0.05cm}\cdot		:$$ y_2(t) =\frac {K } { p_{{\rm x}2}-p_{{\rm x}1}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}=-\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot {\rm e}^{-p_{{\rm x}1}\hspace{0.05cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}$$
	\hspace{0.05cm}t}		:$$y(t)= y_1(t)+y_2(t) =\frac {2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2\hspace{0.08cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}}{{\rm j} \cdot 3 \pi} \cdot \big [ \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)- \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)\big ]$$
	\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}=		:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}y(t)= \frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2\hspace{0.08cm}\cdot\hspace{0.05cm}t}\cdot \sin(1.5\pi \cdot t)$$
	\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}\hspace{0.05cm}\cdot		:$$\Rightarrow\hspace{0.3cm}y(t=1)= -\frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2\hspace{0.08cm}\cdot\hspace{0.05cm}t} \hspace{0.15cm}\underline{= -0.347}\hspace{0.05cm} .$$
	\hspace{0.05cm}t}
	\hspace{0.05cm} ,$$
	:$$ y_2(t) =
	\frac {K } { p_{{\rm x}2}-p_{{\rm x}1}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}\hspace{0.05cm}\cdot
	\hspace{0.05cm}t}=
	-\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot {\rm e}^{-p_{{\rm x}1}\hspace{0.05cm}\cdot
	\hspace{0.05cm}t}$$
	:$$y(t)= y_1(t)+y_2(t) =
	\frac {2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
	\hspace{0.08cm}\cdot
	\hspace{0.05cm}t}}{{\rm j} \cdot 3 \pi} \cdot \big [ \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)
	- \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)\big ]$$
	:$$\Rightarrow
	\hspace{0.3cm}y(t)=
	\frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
	\hspace{0.08cm}\cdot
	\hspace{0.05cm}t}\cdot \sin(1.5\pi \cdot t)$$
	:$$\Rightarrow
	\hspace{0.3cm}y(t=1)= -\frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
	\hspace{0.08cm}\cdot
	\hspace{0.05cm}t} \hspace{0.15cm}\underline{= -0.347}
	\hspace{0.05cm} .$$

	Die Grafik zeigt den  (rein reellen)  Signalverlauf  $y(t)$  für diese Konfiguration.		Die Grafik zeigt den  (rein reellen)  Signalverlauf  $y(t)$  für diese Konfiguration.

Guenter am 10. November 2021 um 09:52 Uhr

2021-11-10T09:52:34Z

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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 4 und 6</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die  <u>Lösungsvorschläge 2,  4  und  6</u>:
	*Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt, das heißt, es muss  $Z < N$  gelten.		*Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist,  dass es weniger Nullstellen als Pole gibt,  das heißt,  es muss  $Z < N$  gelten.
	*Diese Voraussetzung ist bei den Konfigurationen  $\rm B$,  $\rm D$ und  $\rm F$ nicht gegeben.		*Diese Voraussetzung ist bei den Konfigurationen  $\rm B$,  $\rm D$ und  $\rm F$ nicht gegeben.
	*Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden, zum Beispiel für die Konfiguration  $\rm B$  mit  $p_x = -1$:		*Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden,  zum Beispiel für die Konfiguration  $\rm B$  mit  $p_x = -1$:
	:$$Y_{\rm L}(p)= \frac {p} {p +1}= 1-\frac {1} {p +1}		:$$Y_{\rm L}(p)= \frac {p} {p +1}= 1-\frac {1} {p +1}
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$
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	'''(3)'''  Bei gleicher Vorgehensweise wie in ~~der~~ Teilaufgabe  '''(2)'''  erhält man nun:		[[Datei:P_ID1782__LZI_Z_3_5_c.png\|right\|frame\|Komplexe Signale bei einem einzigen komplexen Pol]]
			'''(3)'''  Bei gleicher Vorgehensweise wie in Teilaufgabe  '''(2)'''  erhält man nun:
	:$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-(0.2 \hspace{0.05cm}+		:$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-(0.2 \hspace{0.05cm}+
	\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t}		\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t}
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	\hspace{0.05cm}t}		\hspace{0.05cm}t}
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$
	*Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal, dessen Phase in mathematisch positiver Richtung  (entgegen dem Uhrzeigersinn)  dreht.
	*Für den Zeitpunkt  $t=1$  gilt:		*Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal,  dessen Phase in mathematisch positiver Richtung  (entgegen dem Uhrzeigersinn)  dreht.  Für den Zeitpunkt  $t=1$  gilt:
	:$$y(t = 1) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2} \cdot \big [		:$$y(t = 1) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2} \cdot \big [
	\cos(1.5 \pi) + {\rm j} \cdot \sin(1.5 \pi)		\cos(1.5 \pi) + {\rm j} \cdot \sin(1.5 \pi)
	\big ]= - {\rm j} \cdot 1.638~~\hspace{0.3cm}~~\Rightarrow		\big ]= - {\rm j} \cdot 1.638$$
			:$$\Rightarrow
	\hspace{0.3cm}{\rm Re}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0},\hspace{0.2cm} {\rm Im}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{=- 1.638}		\hspace{0.3cm}{\rm Re}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0},\hspace{0.2cm} {\rm Im}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{=- 1.638}
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$
Zeile 107:		Zeile 109:


	~~[[Datei:P_ID1782__LZI_Z_3_5_c.png\|center\|frame\|Komplexe Signale bei einem Pol]]~~


			[[Datei:P_ID1783__LZI_Z_3_5_d.png\|right\|frame\|Signalverlauf der Konfiguration $\rm E$]]
	'''(4)'''  Nun gilt  $I=2$. Die Residien von  $p_{x1}$  bzw.  $p_{x2}$  liefern:		'''(4)'''  Nun gilt  $I=2$. Die Residien von  $p_{x1}$  bzw.  $p_{x2}$  liefern:
	:$$y_1(t) =		:$$y_1(t) =
Zeile 123:		Zeile 125:
	-\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot {\rm e}^{-p_{{\rm x}1}\hspace{0.05cm}\cdot		-\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot {\rm e}^{-p_{{\rm x}1}\hspace{0.05cm}\cdot
	\hspace{0.05cm}t}$$		\hspace{0.05cm}t}$$
	:$$~~\Rightarrow~~		:$$y(t)= y_1(t)+y_2(t) =
	~~\hspace{0.3cm}~~y(t)= y_1(t)+y_2(t) =
	\frac {2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2		\frac {2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
	\hspace{0.08cm}\cdot		\hspace{0.08cm}\cdot
	\hspace{0.05cm}t}}{{\rm j} \cdot 3 \pi} \cdot \big [ \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)		\hspace{0.05cm}t}}{{\rm j} \cdot 3 \pi} \cdot \big [ \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)
	- \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)\big ]=		- \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)\big ]$$
			:$$\Rightarrow
			\hspace{0.3cm}y(t)=
	\frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2		\frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
	\hspace{0.08cm}\cdot		\hspace{0.08cm}\cdot
	\hspace{0.05cm}t}\cdot \sin(1.5\pi \cdot t)$$		\hspace{0.05cm}t}\cdot \sin(1.5\pi \cdot t)$$
	~~[[Datei:P_ID1783__LZI_Z_3_5_d.png\|right\|frame\|Signalverlauf der Konfiguration $\rm E$]]~~
	:$$\Rightarrow		:$$\Rightarrow
	\hspace{0.3cm}y(t=1)= -\frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2		\hspace{0.3cm}y(t=1)= -\frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
Zeile 139:		Zeile 141:
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$

	Die Grafik zeigt den (rein reellen) Signalverlauf  $y(t)$  für diese Konfiguration.		Die Grafik zeigt den  (rein reellen)  Signalverlauf  $y(t)$  für diese Konfiguration.

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 10. November 2021 um 09:36 Uhr

2021-11-10T09:36:06Z

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	}}		}}

	[[Datei:P_ID1781__LZI_Z_3_5.png\|right\|frame\|Sechs ~~verschiedene <br>Pol–Nullstellen–Konfigurationen~~]]		[[Datei:P_ID1781__LZI_Z_3_5.png\|right\|frame\|Sechs Pol–Nullstellen–Diagramme]]
	Die Spektralfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  sei in Pol–Nullstellen–Form gegeben, gekennzeichnet durch		Die Spektralfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  sei in Pol–Nullstellen–Form gegeben,  gekennzeichnet durch
	*$Z$  Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$,		*$Z$  Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$,
	*$N$  Pole  $p_{{\rm x}i}$, sowie		*$N$  Pole  $p_{{\rm x}i}$, sowie
Zeile 10:		Zeile 10:


	Betrachtet werden im Folgenden die in der Grafik dargestellten Konfigurationen. Es gelte stets  $K= 2$.		Betrachtet werden im Folgenden die in der Grafik dargestellten Konfigurationen.  Es gelte stets  $K= 2$.

	Für den Fall, dass die Anzahl  $Z$  der Nullstellen kleiner als die Anzahl  $N$  der Pole ist, kann das zugehörige Zeitsignal  $y(t)$  durch Anwendung des  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes\|Residuensatzes]]  direkt ermittelt werden.		Für den Fall,  dass die Anzahl  $Z$  der Nullstellen kleiner als die Anzahl  $N$  der Pole ist,  kann das zugehörige Zeitsignal  $y(t)$  durch Anwendung des  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes\|Residuensatzes]]  direkt ermittelt werden.

	In diesem Fall gilt		In diesem Fall gilt
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			Hinweise:


	''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation\|Laplace–Rücktransformation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation\|Laplace–Rücktransformation]].

	*Ist das Zeitsignal  $y(t)$  komplex, so kann  $Y_{\rm L}(p)$  nicht als Schaltung realisiert werden.  Die Anwendung des Residuensatzes ist aber trotzdem möglich.		*Ist das Zeitsignal  $y(t)$  komplex, so kann  $Y_{\rm L}(p)$  nicht als Schaltung realisiert werden.  Die Anwendung des Residuensatzes ist aber trotzdem möglich.
	*Die komplexe Frequenz  $p$, die Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$  sowie die Pole  $p_{{\rm x}i}$  beschreiben in dieser Aufgabe jeweils normierte Größen ohne Einheit.		*Die komplexe Frequenz  $p$,  die Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$  sowie die Pole  $p_{{\rm x}i}$  beschreiben in dieser Aufgabe jeweils normierte Größen ohne Einheit.
	*Damit ist auch die Zeit  $t$  dimensionslos.		*Damit ist auch die Zeit  $t$  dimensionslos.

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	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Bei welchen Konfigurationen lässt sich der Residuensatz <u>nicht direkt</u> anwenden?		{Bei welchen Konfigurationen lässt sich der Residuensatz  <u>nicht direkt</u>  anwenden?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Konfiguration  $\rm A$,		- Konfiguration  $\rm A$,
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	{Berechnen Sie  $y(t)$  für die Konfiguration  $\rm A$ mit  $K= 2$  und  $p_{\rm x} = -1$.  Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt  $t = 1$?		{Berechnen Sie  $y(t)$  für die Konfiguration  $\rm A$  mit  $K= 2$  und  $p_{\rm x} = -1$.  Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt  $t = 1$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { 0.736 3% }		$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { 0.736 3% }
Zeile 57:		Zeile 54:


	{Berechnen Sie  $y(t)$  für die Konfiguration  $\rm C$ mit  $K= 2$  und  $p_{\rm x} = -0.2 + {\rm j} \cdot 1.5\pi$.  Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt  $t = 1$?		{Berechnen Sie  $y(t)$  für die Konfiguration  $\rm C$  mit  $K= 2$  und  $p_{\rm x} = -0.2 + {\rm j} \cdot 1.5\pi$.  Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt  $t = 1$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { 0. }		$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { 0. }
Zeile 63:		Zeile 60:


	{Welcher Signalwert  $y(t = 1)$  ergibt sich bei der Konstellation  $\rm E$ mit  $K= 2$  und zwei Polstellen bei  $p_{\rm x} = -0.2 \pm {\rm j} \cdot 1.5\pi$?		{Welcher Signalwert  $y(t = 1)$  ergibt sich bei der Konstellation  $\rm E$  mit  $K= 2$  und zwei Polstellen bei  $p_{\rm x} = -0.2 \pm {\rm j} \cdot 1.5\pi$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { -0.357--0.337 }		$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { -0.357--0.337 }

Guenter am 2. November 2019 um 16:49 Uhr

2019-11-02T16:49:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. November 2019, 18:49 Uhr
Zeile 77:		Zeile 77:
	*Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt, das heißt, es muss  $Z < N$  gelten.		*Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt, das heißt, es muss  $Z < N$  gelten.
	*Diese Voraussetzung ist bei den Konfigurationen  $\rm B$,  $\rm D$ und  $\rm F$ nicht gegeben.		*Diese Voraussetzung ist bei den Konfigurationen  $\rm B$,  $\rm D$ und  $\rm F$ nicht gegeben.
	*Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden, zum Beispiel für die Konfiguration  $\rm B$ mit  $p_x = -1$:		*Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden, zum Beispiel für die Konfiguration  $\rm B$  mit  $p_x = -1$:
	:$$Y_{\rm L}(p)= \frac {p} {p +1}= 1-\frac {1} {p +1}		:$$Y_{\rm L}(p)= \frac {p} {p +1}= 1-\frac {1} {p +1}
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$



Zeile 90:		Zeile 91:


	'''(3)'''  Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe '''(2)''' erhält man nun:
			'''(3)'''  Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe  '''(2)'''  erhält man nun:
	:$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-(0.2 \hspace{0.05cm}+		:$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-(0.2 \hspace{0.05cm}+
	\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t}		\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t}
Zeile 98:		Zeile 100:
	\hspace{0.05cm}t}		\hspace{0.05cm}t}
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$
	*Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal, dessen Phase in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn) dreht.		*Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal, dessen Phase in mathematisch positiver Richtung  (entgegen dem Uhrzeigersinn)  dreht.
	*Für den Zeitpunkt  $t=1$  gilt:		*Für den Zeitpunkt  $t=1$  gilt:
	:$$y(t = 1) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2} \cdot \big [		:$$y(t = 1) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2} \cdot \big [
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	\hspace{0.3cm}{\rm Re}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0},\hspace{0.2cm} {\rm Im}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{=- 1.638}		\hspace{0.3cm}{\rm Re}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0},\hspace{0.2cm} {\rm Im}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{=- 1.638}
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$
	*Die linke Grafik zeigt das komplexe Signal für einen Pol bei  $p_x = -2 + {\rm j} \cdot 1.5 \pi$. Rechts sieht man das dazu konjugiert–komplexe Signal für  $p_x = -2 - {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.		*Die linke Grafik zeigt das komplexe Signal für einen Pol bei  $p_x = -2 + {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.  Rechts sieht man das dazu konjugiert–komplexe Signal für  $p_x = -2 - {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.


Zeile 140:		Zeile 142:
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$

	Die Grafik zeigt den (rein reellen) Signalverlauf $y(t)$ für diese Konfiguration.		Die Grafik zeigt den (rein reellen) Signalverlauf  $y(t)$  für diese Konfiguration.

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}

Guenter am 2. November 2019 um 16:44 Uhr

2019-11-02T16:44:32Z

← Nächstältere Version		Version vom 2. November 2019, 18:44 Uhr
Zeile 3:		Zeile 3:
	}}		}}

	[[Datei:P_ID1781__LZI_Z_3_5.png\|right\|frame\|Sechs verschiedene Pol–Nullstellen–Konfigurationen]]		[[Datei:P_ID1781__LZI_Z_3_5.png\|right\|frame\|Sechs verschiedene <br>Pol–Nullstellen–Konfigurationen]]
	Die Spektralfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  sei in Pol–Nullstellen–Form gegeben, gekennzeichnet durch		Die Spektralfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  sei in Pol–Nullstellen–Form gegeben, gekennzeichnet durch
	*$Z$ Nullstellen $p_{{\rm o}i}$,		*$Z$  Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$,
	*$N$ Pole $p_{{\rm x}i}$, sowie		*$N$  Pole  $p_{{\rm x}i}$, sowie
	*die Konstante $K$.		*die Konstante  $K$.


	Betrachtet werden im Folgenden die in der Grafik dargestellten Konfigurationen. Es gelte stets  $K= 2$.		Betrachtet werden im Folgenden die in der Grafik dargestellten Konfigurationen. Es gelte stets  $K= 2$.

	Für den Fall, dass die Anzahl $Z$ der Nullstellen kleiner als die Anzahl $N$ der Pole ist, kann das zugehörige Zeitsignal  $y(t)$  durch Anwendung des [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes\|Residuensatzes]] direkt ermittelt werden.		Für den Fall, dass die Anzahl  $Z$  der Nullstellen kleiner als die Anzahl  $N$  der Pole ist, kann das zugehörige Zeitsignal  $y(t)$  durch Anwendung des  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes\|Residuensatzes]]  direkt ermittelt werden.

	In diesem Fall gilt		In diesem Fall gilt
Zeile 20:		Zeile 20:
	\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} \right		\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} \right
	\} \hspace{0.05cm}.$$		\} \hspace{0.05cm}.$$
	$I$  gibt die Anzahl der unterscheidbaren Pole an; bei allen vorgegebenen Konstellationen ist $I = N$.		$I$  gibt die Anzahl der unterscheidbaren Pole an;  bei allen vorgegebenen Konstellationen ist  $I = N$.





Zeile 30:		Zeile 33:
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation\|Laplace–Rücktransformation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation\|Laplace–Rücktransformation]].

	*Ist das Zeitsignal  $y(t)$  komplex, so kann  $Y_{\rm L}(p)$  nicht als Schaltung realisiert werden. Die Anwendung des Residuensatzes ist aber trotzdem möglich.		*Ist das Zeitsignal  $y(t)$  komplex, so kann  $Y_{\rm L}(p)$  nicht als Schaltung realisiert werden.  Die Anwendung des Residuensatzes ist aber trotzdem möglich.
	*Die komplexe Frequenz  $p$, die Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$  sowie die Pole  $p_{{\rm x}i}$  beschreiben in dieser Aufgabe jeweils normierte Größen ohne Einheit.		*Die komplexe Frequenz  $p$, die Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$  sowie die Pole  $p_{{\rm x}i}$  beschreiben in dieser Aufgabe jeweils normierte Größen ohne Einheit.
	*Damit ist auch die Zeit $t$ dimensionslos.		*Damit ist auch die Zeit  $t$  dimensionslos.


Zeile 48:		Zeile 51:


	{Berechnen Sie  $y(t)$  für die Konfiguration  $\rm A$ mit  $K= 2$  und  $p_{\rm x} = -1$. ~~<br>~~Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt  $t = 1$?		{Berechnen Sie  $y(t)$  für die Konfiguration  $\rm A$ mit  $K= 2$  und  $p_{\rm x} = -1$.  Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt  $t = 1$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { 0.736 3% }		$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { 0.736 3% }
Zeile 54:		Zeile 57:


	{Berechnen Sie  $y(t)$  für die Konfiguration  $\rm C$ mit  $K= 2$  und  $p_{\rm x} = -0.2 + {\rm j} \cdot 1.5\pi$. ~~<br>~~Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt  $t = 1$?		{Berechnen Sie  $y(t)$  für die Konfiguration  $\rm C$ mit  $K= 2$  und  $p_{\rm x} = -0.2 + {\rm j} \cdot 1.5\pi$.  Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt  $t = 1$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { 0. }		$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { 0. }

Guenter am 27. November 2018 um 15:46 Uhr

2018-11-27T15:46:49Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. November 2018, 17:46 Uhr
Zeile 72:		Zeile 72:
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 4 und 6</u>:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 4 und 6</u>:
	*Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt, das heißt, es muss $Z < N$ gelten.		*Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt, das heißt, es muss  $Z < N$  gelten.
	*Diese Voraussetzung ist bei den Konfigurationen $\rm B$, $\rm D$ und $\rm F$ nicht gegeben.		*Diese Voraussetzung ist bei den Konfigurationen  $\rm B$,  $\rm D$ und  $\rm F$ nicht gegeben.
	*Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden, zum Beispiel für die Konfiguration $\rm B$ mit $p_x = -1$:		*Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden, zum Beispiel für die Konfiguration  $\rm B$ mit  $p_x = -1$:
	:$$Y_{\rm L}(p)= \frac {p} {p +1}= 1-\frac {1} {p +1}		:$$Y_{\rm L}(p)= \frac {p} {p +1}= 1-\frac {1} {p +1}
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$


	'''(2)'''  Mit $Y_{\rm L}(p) = 2/(p+1)$ ergibt sich aus dem Residuensatz mit $I=1$:		'''(2)'''  Mit  $Y_{\rm L}(p) = 2/(p+1)$  ergibt sich aus dem Residuensatz mit  $I=1$:
	:$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}t}		:$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}t}
	\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1}= 2 \cdot {\rm		\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1}= 2 \cdot {\rm
Zeile 87:		Zeile 87:


	'''(3)'''  Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe (2) erhält man nun:		'''(3)'''  Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe '''(2)''' erhält man nun:
	:$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-(0.2 \hspace{0.05cm}+		:$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-(0.2 \hspace{0.05cm}+
	\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t}		\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t}
Zeile 95:		Zeile 95:
	\hspace{0.05cm}t}		\hspace{0.05cm}t}
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$
	Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal, dessen Phase in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn) dreht. Für $t=1$ gilt:		*Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal, dessen Phase in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn) dreht.
	:$$y(t = 1) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2} \cdot \~~left~~ [		*Für den Zeitpunkt  $t=1$  gilt:
			:$$y(t = 1) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2} \cdot \big [
	\cos(1.5 \pi) + {\rm j} \cdot \sin(1.5 \pi)		\cos(1.5 \pi) + {\rm j} \cdot \sin(1.5 \pi)
	\~~right~~ ]= - {\rm j} \cdot 1.638\hspace{0.3cm}\Rightarrow		\big ]= - {\rm j} \cdot 1.638\hspace{0.3cm}\Rightarrow
	\hspace{0.3cm}{\rm Re}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0},\hspace{0.2cm} {\rm Im}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{=- 1.638}		\hspace{0.3cm}{\rm Re}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0},\hspace{0.2cm} {\rm Im}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{=- 1.638}
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$
	Die linke Grafik zeigt das komplexe Signal für einen Pol bei $p_x = -2 + {\rm j} \cdot 1.5 \pi$ . Rechts ~~daneben~~ sieht man das dazu konjugiert–komplexe Signal~~, wenn der Pol bei~~ $p_x = -2 - {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.		*Die linke Grafik zeigt das komplexe Signal für einen Pol bei  $p_x = -2 + {\rm j} \cdot 1.5 \pi$. Rechts sieht man das dazu konjugiert–komplexe Signal für  $p_x = -2 - {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.


	[[Datei:P_ID1782__LZI_Z_3_5_c.png\|center\|frame\|Komplexe Signale bei einem Pol]]		[[Datei:P_ID1782__LZI_Z_3_5_c.png\|center\|frame\|Komplexe Signale bei einem Pol]]

	'''(4)'''  Nun gilt $I=2$. Die Residien von $p_{x1}$ bzw. $p_{x2}$ liefern:
			'''(4)'''  Nun gilt  $I=2$. Die Residien von  $p_{x1}$  bzw.  $p_{x2}$  liefern:
	:$$y_1(t) =		:$$y_1(t) =
	\frac {K \cdot (p-p_{{\rm x}1})} { (p-p_{{\rm x}1})(p-p_{{\rm x}2})} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p		\frac {K \cdot (p-p_{{\rm x}1})} { (p-p_{{\rm x}1})(p-p_{{\rm x}2})} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p\hspace{0.05cm}\cdot
	\hspace{0.05cm}t}		\hspace{0.05cm}t}
	\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}=		\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}=
	\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}		\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}\hspace{0.05cm}\cdot
	\hspace{0.05cm}t}		\hspace{0.05cm}t}
	\hspace{0.05cm} ,$$		\hspace{0.05cm} ,$$
	:$$ y_2(t) =		:$$ y_2(t) =
	\frac {K } { p_{{\rm x}2}-p_{{\rm x}1}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}		\frac {K } { p_{{\rm x}2}-p_{{\rm x}1}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}\hspace{0.05cm}\cdot
	\hspace{0.05cm}t}=		\hspace{0.05cm}t}=
	-\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot {\rm e}^{-p_{{\rm x}1}		-\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot {\rm e}^{-p_{{\rm x}1}\hspace{0.05cm}\cdot
	\hspace{0.05cm}t}$$		\hspace{0.05cm}t}$$
	:$$\Rightarrow		:$$\Rightarrow
Zeile 122:		Zeile 125:
	\frac {2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2		\frac {2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
	\hspace{0.08cm}\cdot		\hspace{0.08cm}\cdot
	\hspace{0.05cm}t}}{{\rm j} \cdot 3 \pi} \cdot \~~left~~ [ \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)		\hspace{0.05cm}t}}{{\rm j} \cdot 3 \pi} \cdot \big [ \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)
	- \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)\~~right~~ ]=		- \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)\big ]=
	\frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2		\frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
	\hspace{0.08cm}\cdot		\hspace{0.08cm}\cdot

Guenter am 27. November 2018 um 15:23 Uhr

2018-11-27T15:23:24Z

← Nächstältere Version		Version vom 27. November 2018, 17:23 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID1781__LZI_Z_3_5.png\|right\|frame\|Sechs verschiedene Pol–Nullstellen–Konfigurationen]]		[[Datei:P_ID1781__LZI_Z_3_5.png\|right\|frame\|Sechs verschiedene Pol–Nullstellen–Konfigurationen]]
	Die Spektralfunktion $Y_{\rm L}(p)$ sei in Pol–Nullstellen–Form gegeben, gekennzeichnet durch		Die Spektralfunktion  $Y_{\rm L}(p)$  sei in Pol–Nullstellen–Form gegeben, gekennzeichnet durch
	*$Z$ Nullstellen $p_{{\rm o}i}$,		*$Z$ Nullstellen $p_{{\rm o}i}$,
	*$N$ Pole $p_{{\rm x}i}$, sowie		*$N$ Pole $p_{{\rm x}i}$, sowie
Zeile 10:		Zeile 10:


	Betrachtet werden im Folgenden die in der Grafik dargestellten Konfigurationen. Es gelte stets $K= 2$.		Betrachtet werden im Folgenden die in der Grafik dargestellten Konfigurationen. Es gelte stets  $K= 2$.

	Für den Fall, dass die Anzahl $Z$ der Nullstellen kleiner als die Anzahl $N$ der Pole ist, kann das zugehörige Zeitsignal $y(t)$ durch Anwendung des [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes\|Residuensatzes]] direkt ermittelt werden.		Für den Fall, dass die Anzahl $Z$ der Nullstellen kleiner als die Anzahl $N$ der Pole ist, kann das zugehörige Zeitsignal  $y(t)$  durch Anwendung des [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes\|Residuensatzes]] direkt ermittelt werden.

	In diesem Fall gilt		In diesem Fall gilt
Zeile 20:		Zeile 20:
	\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} \right		\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} \right
	\} \hspace{0.05cm}.$$		\} \hspace{0.05cm}.$$
	$I$ gibt die Anzahl der unterscheidbaren Pole an (bei allen vorgegebenen Konstellationen ist $I = N$).		$I$  gibt die Anzahl der unterscheidbaren Pole an; bei allen vorgegebenen Konstellationen ist $I = N$.


Zeile 28:		Zeile 28:

	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation\|Laplace–Rücktransformation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation\|Laplace–Rücktransformation]].

	*Ist das Zeitsignal $y(t)$ komplex, so kann $Y_{\rm L}(p)$ nicht als Schaltung realisiert werden. Die Anwendung des Residuensatzes ist aber trotzdem möglich.		*Ist das Zeitsignal  $y(t)$  komplex, so kann  $Y_{\rm L}(p)$  nicht als Schaltung realisiert werden. Die Anwendung des Residuensatzes ist aber trotzdem möglich.
	*Die komplexe Frequenz $p$, die Nullstellen $p_{{\rm o}i}$ sowie die Pole $p_{{\rm o}i}$ beschreiben in dieser Aufgabe jeweils normierte Größen ohne Einheit. Damit ist auch die Zeit $t$ dimensionslos.		*Die komplexe Frequenz  $p$, die Nullstellen  $p_{{\rm o}i}$  sowie die Pole  $p_{{\rm x}i}$  beschreiben in dieser Aufgabe jeweils normierte Größen ohne Einheit.
			*Damit ist auch die Zeit $t$ dimensionslos.


Zeile 37:		Zeile 38:

	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Bei welchen Konfigurationen lässt sich der Residuensatz nicht direkt anwenden?		{Bei welchen Konfigurationen lässt sich der Residuensatz <u>nicht direkt</u> anwenden?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	- Konfiguration $\rm A$,		- Konfiguration  $\rm A$,
	+ Konfiguration $\rm B$,		+ Konfiguration  $\rm B$,
	- Konfiguration $\rm C$,		- Konfiguration  $\rm C$,
	+ Konfiguration $\rm D$,		+ Konfiguration  $\rm D$,
	- Konfiguration $\rm E$,		- Konfiguration  $\rm E$,
	+ Konfiguration $\rm F$.		+ Konfiguration  $\rm F$.


	{Berechnen Sie $y(t)$ für die Konfiguration $\rm A$ mit $K= 2$ und $p_{\rm x} = -1$. Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt $t = 1$?		{Berechnen Sie  $y(t)$  für die Konfiguration  $\rm A$ mit  $K= 2$  und  $p_{\rm x} = -1$. <br>Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt  $t = 1$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { 0.736 3% }		$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { 0.736 3% }
Zeile 53:		Zeile 54:


	{Berechnen Sie $y(t)$ für die Konfiguration $\rm C$ mit $K= 2$ und $p_{\rm x} = -0.2 + {\rm j} \cdot 1.5\pi$. Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt $t = 1$?		{Berechnen Sie  $y(t)$  für die Konfiguration  $\rm C$ mit  $K= 2$  und  $p_{\rm x} = -0.2 + {\rm j} \cdot 1.5\pi$. <br>Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt  $t = 1$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { 0. }		$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { 0. }
Zeile 59:		Zeile 60:


	{Welcher Signalwert $y(t = 1)$ ergibt sich bei der Konstellation $\rm E$ mit $K= 2$ und zwei Polstellen bei $p_{\rm x} = -0.2 \pm {\rm j} \cdot 1.5\pi$?		{Welcher Signalwert  $y(t = 1)$  ergibt sich bei der Konstellation  $\rm E$ mit  $K= 2$  und zwei Polstellen bei  $p_{\rm x} = -0.2 \pm {\rm j} \cdot 1.5\pi$?
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { -0.357--0.337 }		$\ {\rm Re}\{y(t = 1)\} \ = \ $ { -0.357--0.337 }

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:52Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:02 Uhr
Zeile 29:		Zeile 29:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation\|Laplace–Rücktransformation]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation\|Laplace–Rücktransformation]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.
	*Ist das Zeitsignal $y(t)$ komplex, so kann $Y_{\rm L}(p)$ nicht als Schaltung realisiert werden. Die Anwendung des Residuensatzes ist aber trotzdem möglich.		*Ist das Zeitsignal $y(t)$ komplex, so kann $Y_{\rm L}(p)$ nicht als Schaltung realisiert werden. Die Anwendung des Residuensatzes ist aber trotzdem möglich.
	*Die komplexe Frequenz $p$, die Nullstellen $p_{{\rm o}i}$ sowie die Pole $p_{{\rm o}i}$ beschreiben in dieser Aufgabe jeweils normierte Größen ohne Einheit. Damit ist auch die Zeit $t$ dimensionslos.		*Die komplexe Frequenz $p$, die Nullstellen $p_{{\rm o}i}$ sowie die Pole $p_{{\rm o}i}$ beschreiben in dieser Aufgabe jeweils normierte Größen ohne Einheit. Damit ist auch die Zeit $t$ dimensionslos.

Guenter am 17. März 2018 um 13:40 Uhr

2018-03-17T13:40:32Z

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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
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	'''(1)'''  Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt, das heißt, es muss $Z < N$ gelten. Diese Voraussetzung ist ~~<u>~~bei den Konfigurationen ~~<b>~~B~~</b>~~, ~~<b>~~D~~</b>~~ und ~~<b>~~F~~</b>~~ nicht gegeben~~</u>~~. Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden, zum Beispiel für die Konfiguration ~~<b>~~B~~</b>~~ mit $p_x = -1$:		'''(1)'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 4 und 6</u>:
	$$Y_{\rm L}(p)= \frac {p} {p +1}= 1-\frac {1} {p +1}		*Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt, das heißt, es muss $Z < N$ gelten.
			*Diese Voraussetzung ist bei den Konfigurationen $\rm B$, $\rm D$ und $\rm F$ nicht gegeben.
			*Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden, zum Beispiel für die Konfiguration $\rm B$ mit $p_x = -1$:
			:$$Y_{\rm L}(p)= \frac {p} {p +1}= 1-\frac {1} {p +1}
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$


	'''(2)'''  Mit $Y_{\rm L}(p) = 2/(p+1)$ ergibt sich aus dem Residuensatz mit $I=1$:		'''(2)'''  Mit $Y_{\rm L}(p) = 2/(p+1)$ ergibt sich aus dem Residuensatz mit $I=1$:
	$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}t}		:$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p \hspace{0.05cm}t}
	\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1}= 2 \cdot {\rm		\bigg \|_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1}= 2 \cdot {\rm
	e}^{- \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y(t=1)		e}^{- \hspace{0.05cm}t}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}y(t=1)
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	'''(3)'''  Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe (2) erhält man nun:		'''(3)'''  Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe (2) erhält man nun:
	$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-(0.2 \hspace{0.05cm}+		:$$y(t) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-(0.2 \hspace{0.05cm}+
	\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t}		\hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t}
	= 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2 \hspace{0.08cm}\cdot		= 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2 \hspace{0.08cm}\cdot
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	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$
	Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal, dessen Phase in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn) dreht. Für $t=1$ gilt:		Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal, dessen Phase in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn) dreht. Für $t=1$ gilt:
	$$y(t = 1) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2} \cdot \left [		:$$y(t = 1) = 2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2} \cdot \left [
	\cos(1.5 \pi) + {\rm j} \cdot \sin(1.5 \pi)		\cos(1.5 \pi) + {\rm j} \cdot \sin(1.5 \pi)
	\right ]= - {\rm j} \cdot 1.638$$		\right ]= - {\rm j} \cdot 1.638\hspace{0.3cm}\Rightarrow
	$$\Rightarrow
	\hspace{0.3cm}{\rm Re}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0},\hspace{0.2cm} {\rm Im}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{=- 1.638}		\hspace{0.3cm}{\rm Re}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{ = 0},\hspace{0.2cm} {\rm Im}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{=- 1.638}
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$
	Die linke Grafik zeigt das komplexe Signal für einen Pol bei $p_x = -2 + {\rm j} \cdot 1.5 \pi$ . Rechts daneben sieht man das dazu konjugiert–komplexe Signal, wenn der Pol bei $p_x = -2 - {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.		Die linke Grafik zeigt das komplexe Signal für einen Pol bei $p_x = -2 + {\rm j} \cdot 1.5 \pi$ . Rechts daneben sieht man das dazu konjugiert–komplexe Signal, wenn der Pol bei $p_x = -2 - {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.

	[[Datei:P_ID1782__LZI_Z_3_5_c.png\|\|Komplexe Signale bei einem Pol]]		[[Datei:P_ID1782__LZI_Z_3_5_c.png\|center\|frame\|Komplexe Signale bei einem Pol]]


	'''(4)'''  Nun gilt $I=2$. Die Residien von $p_{x1}$ bzw. $p_{x2}$ liefern:		'''(4)'''  Nun gilt $I=2$. Die Residien von $p_{x1}$ bzw. $p_{x2}$ liefern:
	$$y_1(t) =		:$$y_1(t) =
	\frac {K \cdot (p-p_{{\rm x}1})} { (p-p_{{\rm x}1})(p-p_{{\rm x}2})} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p		\frac {K \cdot (p-p_{{\rm x}1})} { (p-p_{{\rm x}1})(p-p_{{\rm x}2})} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p
	\hspace{0.05cm}t}		\hspace{0.05cm}t}
Zeile 111:		Zeile 112:
	\hspace{0.05cm}t}		\hspace{0.05cm}t}
	\hspace{0.05cm} ,$$		\hspace{0.05cm} ,$$
	$$ y_2(t) =		:$$ y_2(t) =
	\frac {K } { p_{{\rm x}2}-p_{{\rm x}1}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}		\frac {K } { p_{{\rm x}2}-p_{{\rm x}1}} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}
	\hspace{0.05cm}t}=		\hspace{0.05cm}t}=
	-\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot {\rm e}^{-p_{{\rm x}1}		-\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot {\rm e}^{-p_{{\rm x}1}
	\hspace{0.05cm}t}$$		\hspace{0.05cm}t}$$
	$$\Rightarrow		:$$\Rightarrow
	\hspace{0.3cm}y(t)= y_1(t)+y_2(t) =		\hspace{0.3cm}y(t)= y_1(t)+y_2(t) =
	\frac {2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2		\frac {2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
Zeile 125:		Zeile 126:
	\hspace{0.08cm}\cdot		\hspace{0.08cm}\cdot
	\hspace{0.05cm}t}\cdot \sin(1.5\pi \cdot t)$$		\hspace{0.05cm}t}\cdot \sin(1.5\pi \cdot t)$$
			[[Datei:P_ID1783__LZI_Z_3_5_d.png\|right\|frame\|Signalverlauf der Konfiguration $\rm E$]]
	[[Datei:P_ID1783__LZI_Z_3_5_d.png\|right\|Signalverlauf der Konfiguration ~~'''~~E~~'''~~]]		:$$\Rightarrow
	$$\Rightarrow
	\hspace{0.3cm}y(t=1)= -\frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2		\hspace{0.3cm}y(t=1)= -\frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
	\hspace{0.08cm}\cdot		\hspace{0.08cm}\cdot
Zeile 133:		Zeile 133:
	\hspace{0.05cm} .$$		\hspace{0.05cm} .$$

	Die Grafik zeigt den (rein reellen) Signalverlauf $y(t)$ für ~~die~~ Konfiguration ~~<b>E</b>~~.		Die Grafik zeigt den (rein reellen) Signalverlauf $y(t)$ für diese Konfiguration.

	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}