Aufgaben:Aufgabe 3.5Z: Anwendung des Residuensatzes - Versionsgeschichte

Guenter am 10. November 2021 um 09:52 Uhr

2021-11-10T09:52:34Z

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2021-11-10T09:36:06Z

Guenter am 2. November 2019 um 16:49 Uhr

2019-11-02T16:49:34Z

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2019-11-02T16:44:32Z

Guenter am 27. November 2018 um 15:46 Uhr

2018-11-27T15:46:49Z

Guenter am 27. November 2018 um 15:23 Uhr

2018-11-27T15:23:24Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:52Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 17. März 2018 um 13:40 Uhr

2018-03-17T13:40:32Z

Guenter am 17. März 2018 um 13:24 Uhr

2018-03-17T13:24:08Z

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2018-01-03T13:21:15Z

Guenter verschob die Seite 3.5Z Anwendung des Residuensatzes nach Aufgabe 3.5Z: Anwendung des Residuensatzes

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 4 und 6</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Lösungsvorschläge 2,&nbsp; 4&nbsp; und&nbsp; 6</u>:
-*Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt, das heißt, es muss &nbsp;$Z < N$&nbsp; gelten.
+*Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist,&nbsp; dass es weniger Nullstellen als Pole gibt,&nbsp; das heißt,&nbsp; es muss &nbsp;$Z < N$&nbsp; gelten.
 *Diese Voraussetzung ist bei den Konfigurationen &nbsp;$\rm B$, &nbsp;$\rm D$ und &nbsp;$\rm F$ nicht gegeben.
-*Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden, zum Beispiel für die Konfiguration &nbsp;$\rm B$&nbsp; mit &nbsp;$p_x =  -1$:
+*Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden,&nbsp; zum Beispiel für die Konfiguration &nbsp;$\rm B$&nbsp; mit &nbsp;$p_x =  -1$:
 :$$Y_{\rm L}(p)=   \frac {p} {p +1}= 1-\frac {1} {p +1}
   \hspace{0.05cm} .$$
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-'''(3)'''&nbsp; Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; erhält man nun:
+[[Datei:P_ID1782__LZI_Z_3_5_c.png|right|frame|Komplexe Signale bei einem einzigen komplexen Pol]]
 :$$y(t) = 2 \cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-(0.2 \hspace{0.05cm}+
   \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t}
@@ Zeile 97: / Zeile 98: @@
   \hspace{0.05cm}t}
   \hspace{0.05cm} .$$
 *Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal, dessen Phase in mathematisch positiver Richtung&nbsp; (entgegen dem Uhrzeigersinn)&nbsp; dreht.
-*Für den Zeitpunkt &nbsp;$t=1$&nbsp; gilt:
+*Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal,&nbsp; dessen Phase in mathematisch positiver Richtung&nbsp; (entgegen dem Uhrzeigersinn)&nbsp; dreht.&nbsp; Für den Zeitpunkt &nbsp;$t=1$&nbsp; gilt:
 :$$y(t = 1)  = 2 \cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2} \cdot  \big [
   \cos(1.5 \pi) + {\rm j} \cdot \sin(1.5 \pi)
-  \big ]= - {\rm j} \cdot 1.638\hspace{0.3cm}\Rightarrow
+  \big ]= - {\rm j} \cdot 1.638$$
   \hspace{0.3cm}{\rm Re}\{y(t = 1)\}  \hspace{0.15cm}\underline{ = 0},\hspace{0.2cm}  {\rm Im}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{=- 1.638}
   \hspace{0.05cm} .$$
@@ Zeile 107: / Zeile 109: @@
 '''(4)'''&nbsp; Nun gilt &nbsp;$I=2$. Die Residien von &nbsp;$p_{x1}$&nbsp; bzw. &nbsp;$p_{x2}$&nbsp; liefern:
 :$$y_1(t) =
@@ Zeile 123: / Zeile 125: @@
   -\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot  {\rm e}^{-p_{{\rm x}1}\hspace{0.05cm}\cdot
   \hspace{0.05cm}t}$$
-:$$\Rightarrow
+:$$y(t)= y_1(t)+y_2(t) =
   \frac {2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
 \hspace{0.08cm}\cdot
   \hspace{0.05cm}t}}{{\rm j} \cdot 3 \pi} \cdot \big [ \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)
-  - \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)\big ]=
+  - \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)\big ]$$
   \frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
 \hspace{0.08cm}\cdot
   \hspace{0.05cm}t}\cdot  \sin(1.5\pi \cdot t)$$
 :$$\Rightarrow
 \hspace{0.3cm}y(t=1)= -\frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
@@ Zeile 139: / Zeile 141: @@
   \hspace{0.05cm} .$$
-Die Grafik zeigt den (rein reellen) Signalverlauf&nbsp; $y(t)$&nbsp; für diese Konfiguration.
+Die Grafik zeigt den&nbsp; (rein reellen)&nbsp; Signalverlauf&nbsp; $y(t)$&nbsp; für diese Konfiguration.
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[Datei:P_ID1781__LZI_Z_3_5.png|right|frame|Sechs verschiedene <br>Pol–Nullstellen–Konfigurationen]]
+[[Datei:P_ID1781__LZI_Z_3_5.png|right|frame|Sechs Pol–Nullstellen–Diagramme]]
-Die Spektralfunktion &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; sei in Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Form gegeben, gekennzeichnet durch
+Die Spektralfunktion &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; sei in Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Form gegeben,&nbsp; gekennzeichnet durch
 *$Z$&nbsp; Nullstellen&nbsp; $p_{{\rm o}i}$,
 *$N$&nbsp; Pole&nbsp; $p_{{\rm x}i}$, sowie
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-Betrachtet werden im Folgenden die in der Grafik dargestellten Konfigurationen. Es gelte stets &nbsp;$K= 2$.
+Betrachtet werden im Folgenden die in der Grafik dargestellten Konfigurationen.&nbsp; Es gelte stets &nbsp;$K= 2$.
-Für den Fall, dass die Anzahl&nbsp; $Z$&nbsp; der Nullstellen kleiner als die Anzahl&nbsp; $N$&nbsp; der Pole ist, kann das zugehörige Zeitsignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; durch Anwendung des&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes|Residuensatzes]]&nbsp; direkt ermittelt werden.
+Für den Fall,&nbsp; dass die Anzahl&nbsp; $Z$&nbsp; der Nullstellen kleiner als die Anzahl&nbsp; $N$&nbsp; der Pole ist,&nbsp; kann das zugehörige Zeitsignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; durch Anwendung des&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes|Residuensatzes]]&nbsp; direkt ermittelt werden.
 In diesem Fall gilt
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 Hinweise:
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]].
 *Ist das Zeitsignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; komplex, so kann &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; nicht als Schaltung realisiert werden.&nbsp; Die Anwendung des Residuensatzes ist aber trotzdem möglich.
-*Die komplexe Frequenz &nbsp;$p$, die Nullstellen &nbsp;$p_{{\rm o}i}$&nbsp; sowie die Pole &nbsp;$p_{{\rm x}i}$&nbsp; beschreiben in dieser Aufgabe jeweils normierte Größen ohne Einheit.
+*Die komplexe Frequenz &nbsp;$p$,&nbsp; die Nullstellen &nbsp;$p_{{\rm o}i}$&nbsp; sowie die Pole &nbsp;$p_{{\rm x}i}$&nbsp; beschreiben in dieser Aufgabe jeweils normierte Größen ohne Einheit.
 *Damit ist auch die Zeit&nbsp; $t$&nbsp; dimensionslos.
@@ Zeile 41: / Zeile 38: @@
 <quiz display=simple>
-{Bei welchen Konfigurationen lässt sich der Residuensatz <u>nicht direkt</u> anwenden?
+{Bei welchen Konfigurationen lässt sich der Residuensatz&nbsp; <u>nicht direkt</u>&nbsp; anwenden?
 |type="[]"}
 - Konfiguration &nbsp;$\rm A$,
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-{Berechnen Sie &nbsp;$y(t)$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$\rm A$ mit &nbsp;$K= 2$&nbsp; und &nbsp;$p_{\rm x} = -1$.&nbsp; Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt &nbsp;$t = 1$?
+{Berechnen Sie &nbsp;$y(t)$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$\rm A$&nbsp; mit &nbsp;$K= 2$&nbsp; und &nbsp;$p_{\rm x} = -1$.&nbsp; Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt &nbsp;$t = 1$?
 |type="{}"}
 $\ {\rm Re}\{y(t = 1)\}  \ = \ $  { 0.736 3% }
@@ Zeile 57: / Zeile 54: @@
-{Berechnen Sie &nbsp;$y(t)$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$\rm C$ mit &nbsp;$K= 2$&nbsp; und &nbsp;$p_{\rm x} = -0.2 + {\rm j} \cdot 1.5\pi$.&nbsp; Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt &nbsp;$t = 1$?
+{Berechnen Sie &nbsp;$y(t)$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$\rm C$&nbsp; mit &nbsp;$K= 2$&nbsp; und &nbsp;$p_{\rm x} = -0.2 + {\rm j} \cdot 1.5\pi$.&nbsp; Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt &nbsp;$t = 1$?
 |type="{}"}
 $\ {\rm Re}\{y(t = 1)\}  \ = \ $ { 0. }
@@ Zeile 63: / Zeile 60: @@
-{Welcher Signalwert &nbsp;$y(t = 1)$&nbsp; ergibt sich bei der Konstellation &nbsp;$\rm E$ mit &nbsp;$K= 2$&nbsp; und zwei Polstellen bei &nbsp;$p_{\rm x} = -0.2 \pm {\rm j} \cdot 1.5\pi$?
+{Welcher Signalwert &nbsp;$y(t = 1)$&nbsp; ergibt sich bei der Konstellation &nbsp;$\rm E$&nbsp; mit &nbsp;$K= 2$&nbsp; und zwei Polstellen bei &nbsp;$p_{\rm x} = -0.2 \pm {\rm j} \cdot 1.5\pi$?
 |type="{}"}
   $\ {\rm Re}\{y(t = 1)\}  \ = \ $ { -0.357--0.337 }

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 *Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt, das heißt, es muss &nbsp;$Z < N$&nbsp; gelten.
 *Diese Voraussetzung ist bei den Konfigurationen &nbsp;$\rm B$, &nbsp;$\rm D$ und &nbsp;$\rm F$ nicht gegeben.
-*Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden, zum Beispiel für die Konfiguration &nbsp;$\rm B$ mit &nbsp;$p_x =  -1$:
+*Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden, zum Beispiel für die Konfiguration &nbsp;$\rm B$&nbsp; mit &nbsp;$p_x =  -1$:
 :$$Y_{\rm L}(p)=   \frac {p} {p +1}= 1-\frac {1} {p +1}
   \hspace{0.05cm} .$$
@@ Zeile 90: / Zeile 91: @@
 '''(3)'''&nbsp; Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe '''(2)''' erhält man nun:
 :$$y(t) = 2 \cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-(0.2 \hspace{0.05cm}+
   \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t}
@@ Zeile 98: / Zeile 100: @@
   \hspace{0.05cm}t}
   \hspace{0.05cm} .$$
-*Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal, dessen Phase in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn) dreht.
+*Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal, dessen Phase in mathematisch positiver Richtung&nbsp; (entgegen dem Uhrzeigersinn)&nbsp; dreht.
 *Für den Zeitpunkt &nbsp;$t=1$&nbsp; gilt:
 :$$y(t = 1)  = 2 \cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2} \cdot  \big [
@@ Zeile 105: / Zeile 107: @@
   \hspace{0.3cm}{\rm Re}\{y(t = 1)\}  \hspace{0.15cm}\underline{ = 0},\hspace{0.2cm}  {\rm Im}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{=- 1.638}
   \hspace{0.05cm} .$$
-*Die linke Grafik zeigt das komplexe Signal für einen Pol bei &nbsp;$p_x =  -2 + {\rm j} \cdot 1.5 \pi$. Rechts sieht man das dazu konjugiert&ndash;komplexe Signal für &nbsp;$p_x =  -2 - {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.
+*Die linke Grafik zeigt das komplexe Signal für einen Pol bei &nbsp;$p_x =  -2 + {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.&nbsp; Rechts sieht man das dazu konjugiert&ndash;komplexe Signal für &nbsp;$p_x =  -2 - {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.
@@ Zeile 140: / Zeile 142: @@
   \hspace{0.05cm} .$$
-Die Grafik zeigt den (rein reellen) Signalverlauf $y(t)$ für diese Konfiguration.
+Die Grafik zeigt den (rein reellen) Signalverlauf&nbsp; $y(t)$&nbsp; für diese Konfiguration.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID1781__LZI_Z_3_5.png|right|frame|Sechs verschiedene Pol–Nullstellen–Konfigurationen]]
+[[Datei:P_ID1781__LZI_Z_3_5.png|right|frame|Sechs verschiedene <br>Pol–Nullstellen–Konfigurationen]]
 Die Spektralfunktion &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; sei in Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Form gegeben, gekennzeichnet durch
-*$Z$ Nullstellen $p_{{\rm o}i}$,
+*$Z$&nbsp; Nullstellen&nbsp; $p_{{\rm o}i}$,
-*$N$ Pole $p_{{\rm x}i}$, sowie
+*$N$&nbsp; Pole&nbsp; $p_{{\rm x}i}$, sowie
-*die Konstante $K$.
+*die Konstante&nbsp; $K$.
 Betrachtet werden im Folgenden die in der Grafik dargestellten Konfigurationen. Es gelte stets &nbsp;$K= 2$.
-Für den Fall, dass die Anzahl $Z$ der Nullstellen kleiner als die Anzahl $N$ der Pole ist, kann das zugehörige Zeitsignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; durch Anwendung des [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes|Residuensatzes]] direkt ermittelt werden.
+Für den Fall, dass die Anzahl&nbsp; $Z$&nbsp; der Nullstellen kleiner als die Anzahl&nbsp; $N$&nbsp; der Pole ist, kann das zugehörige Zeitsignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; durch Anwendung des&nbsp; [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes|Residuensatzes]]&nbsp; direkt ermittelt werden.
 In diesem Fall gilt
@@ Zeile 20: / Zeile 20: @@
   \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} \right
   \} \hspace{0.05cm}.$$
-$I$&nbsp; gibt die Anzahl der unterscheidbaren Pole an; bei allen vorgegebenen Konstellationen ist $I = N$.
+$I$&nbsp; gibt die Anzahl der unterscheidbaren Pole an;&nbsp; bei allen vorgegebenen Konstellationen ist&nbsp; $I = N$.
@@ Zeile 30: / Zeile 33: @@
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]].
-*Ist das Zeitsignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; komplex, so kann &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; nicht als Schaltung realisiert werden. Die Anwendung des Residuensatzes ist aber trotzdem möglich.
+*Ist das Zeitsignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; komplex, so kann &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; nicht als Schaltung realisiert werden.&nbsp; Die Anwendung des Residuensatzes ist aber trotzdem möglich.
 *Die komplexe Frequenz &nbsp;$p$, die Nullstellen &nbsp;$p_{{\rm o}i}$&nbsp; sowie die Pole &nbsp;$p_{{\rm x}i}$&nbsp; beschreiben in dieser Aufgabe jeweils normierte Größen ohne Einheit.
-*Damit ist auch die Zeit $t$ dimensionslos.
+*Damit ist auch die Zeit&nbsp; $t$&nbsp; dimensionslos.
@@ Zeile 48: / Zeile 51: @@
-{Berechnen Sie &nbsp;$y(t)$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$\rm A$ mit &nbsp;$K= 2$&nbsp; und &nbsp;$p_{\rm x} = -1$. <br>Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt &nbsp;$t = 1$?
+{Berechnen Sie &nbsp;$y(t)$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$\rm A$ mit &nbsp;$K= 2$&nbsp; und &nbsp;$p_{\rm x} = -1$.&nbsp; Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt &nbsp;$t = 1$?
 |type="{}"}
 $\ {\rm Re}\{y(t = 1)\}  \ = \ $  { 0.736 3% }
@@ Zeile 54: / Zeile 57: @@
-{Berechnen Sie &nbsp;$y(t)$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$\rm C$ mit &nbsp;$K= 2$&nbsp; und &nbsp;$p_{\rm x} = -0.2 + {\rm j} \cdot 1.5\pi$. <br>Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt &nbsp;$t = 1$?
+{Berechnen Sie &nbsp;$y(t)$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$\rm C$ mit &nbsp;$K= 2$&nbsp; und &nbsp;$p_{\rm x} = -0.2 + {\rm j} \cdot 1.5\pi$.&nbsp; Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt &nbsp;$t = 1$?
 |type="{}"}
 $\ {\rm Re}\{y(t = 1)\}  \ = \ $ { 0. }

@@ Zeile 72: / Zeile 72: @@
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2, 4 und 6</u>:
-*Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt, das heißt, es muss $Z < N$ gelten.
+*Voraussetzung für die Anwendung des Residuensatzes ist, dass es weniger Nullstellen als Pole gibt, das heißt, es muss &nbsp;$Z < N$&nbsp; gelten.
-*Diese Voraussetzung ist bei den Konfigurationen $\rm B$, $\rm D$ und $\rm F$ nicht gegeben.
+*Diese Voraussetzung ist bei den Konfigurationen &nbsp;$\rm B$, &nbsp;$\rm D$ und &nbsp;$\rm F$ nicht gegeben.
-*Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden, zum Beispiel für die Konfiguration $\rm B$ mit $p_x =  -1$:
+*Hier muss zunächst eine Partialbruchzerlegung vorgenommen werden, zum Beispiel für die Konfiguration &nbsp;$\rm B$ mit &nbsp;$p_x =  -1$:
 :$$Y_{\rm L}(p)=   \frac {p} {p +1}= 1-\frac {1} {p +1}
   \hspace{0.05cm} .$$
-'''(2)'''&nbsp; Mit  $Y_{\rm L}(p) = 2/(p+1)$ ergibt sich aus dem Residuensatz mit $I=1$:
+'''(2)'''&nbsp; Mit  &nbsp;$Y_{\rm L}(p) = 2/(p+1)$&nbsp; ergibt sich aus dem Residuensatz mit &nbsp;$I=1$:
 :$$y(t) = 2 \cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p  \hspace{0.05cm}t}
   \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}-1}= 2 \cdot  {\rm
@@ Zeile 87: / Zeile 87: @@
-'''(3)'''&nbsp; Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe (2) erhält man nun:
+'''(3)'''&nbsp; Bei gleicher Vorgehensweise wie in der Teilaufgabe '''(2)''' erhält man nun:
 :$$y(t) = 2 \cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-(0.2 \hspace{0.05cm}+
   \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}1.5 \pi) \hspace{0.05cm} \cdot \hspace{0.05cm}t}
@@ Zeile 95: / Zeile 95: @@
   \hspace{0.05cm}t}
   \hspace{0.05cm} .$$
-Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal, dessen Phase in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn) dreht. Für $t=1$ gilt:
+*Aufgrund des zweiten Terms handelt es sich um ein komplexes Signal, dessen Phase in mathematisch positiver Richtung (entgegen dem Uhrzeigersinn) dreht.
-:$$y(t = 1)  = 2 \cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2} \cdot  \left [
+*Für den Zeitpunkt &nbsp;$t=1$&nbsp; gilt:
   \cos(1.5 \pi) + {\rm j} \cdot \sin(1.5 \pi)
-  \right ]= - {\rm j} \cdot 1.638\hspace{0.3cm}\Rightarrow
+  \big ]= - {\rm j} \cdot 1.638\hspace{0.3cm}\Rightarrow
   \hspace{0.3cm}{\rm Re}\{y(t = 1)\}  \hspace{0.15cm}\underline{ = 0},\hspace{0.2cm}  {\rm Im}\{y(t = 1)\} \hspace{0.15cm}\underline{=- 1.638}
   \hspace{0.05cm} .$$
-Die linke Grafik zeigt das komplexe Signal für einen Pol bei $p_x =  -2 + {\rm j} \cdot 1.5 \pi$ . Rechts daneben sieht man das dazu konjugiert&ndash;komplexe Signal, wenn der Pol bei $p_x =  -2 - {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.
+*Die linke Grafik zeigt das komplexe Signal für einen Pol bei &nbsp;$p_x =  -2 + {\rm j} \cdot 1.5 \pi$. Rechts sieht man das dazu konjugiert&ndash;komplexe Signal für &nbsp;$p_x =  -2 - {\rm j} \cdot 1.5 \pi$.
 [[Datei:P_ID1782__LZI_Z_3_5_c.png|center|frame|Komplexe Signale bei einem Pol]]
 '''(4)'''&nbsp; Nun gilt $I=2$. Die Residien von $p_{x1}$ bzw. $p_{x2}$ liefern:
 :$$y_1(t) =
-  \frac {K \cdot (p-p_{{\rm x}1})} { (p-p_{{\rm x}1})(p-p_{{\rm x}2})} \cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p
+  \frac {K \cdot (p-p_{{\rm x}1})} { (p-p_{{\rm x}1})(p-p_{{\rm x}2})} \cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p\hspace{0.05cm}\cdot
   \hspace{0.05cm}t}
   \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}}=
-  \frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}
+  \frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}1}\hspace{0.05cm}\cdot
   \hspace{0.05cm}t}
   \hspace{0.05cm} ,$$
 :$$ y_2(t) =
-  \frac {K } { p_{{\rm x}2}-p_{{\rm x}1}} \cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}
+  \frac {K } { p_{{\rm x}2}-p_{{\rm x}1}} \cdot  {\rm e}^{\hspace{0.05cm}p_{{\rm x}2}\hspace{0.05cm}\cdot
   \hspace{0.05cm}t}=
-  -\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot  {\rm e}^{-p_{{\rm x}1}
+  -\frac {K } { p_{{\rm x}1}-p_{{\rm x}2}} \cdot  {\rm e}^{-p_{{\rm x}1}\hspace{0.05cm}\cdot
   \hspace{0.05cm}t}$$
 :$$\Rightarrow
@@ Zeile 122: / Zeile 125: @@
   \frac {2 \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
 \hspace{0.08cm}\cdot
-  \hspace{0.05cm}t}}{{\rm j} \cdot 3 \pi} \cdot \left [ \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)
+  \hspace{0.05cm}t}}{{\rm j} \cdot 3 \pi} \cdot \big [ \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)
-  - \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)\right ]=
+  - \cos(.) + {\rm j} \cdot \sin(.)\big ]=
   \frac {4 }{ 3 \pi} \cdot {\rm e}^{\hspace{0.05cm}-0.2
 \hspace{0.08cm}\cdot

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID1781__LZI_Z_3_5.png|right|frame|Sechs verschiedene Pol–Nullstellen–Konfigurationen]]
-Die Spektralfunktion $Y_{\rm L}(p)$ sei in Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Form gegeben, gekennzeichnet durch
+Die Spektralfunktion &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; sei in Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Form gegeben, gekennzeichnet durch
 *$Z$ Nullstellen $p_{{\rm o}i}$,
 *$N$ Pole $p_{{\rm x}i}$, sowie
@@ Zeile 10: / Zeile 10: @@
-Betrachtet werden im Folgenden die in der Grafik dargestellten Konfigurationen. Es gelte stets $K= 2$.
+Betrachtet werden im Folgenden die in der Grafik dargestellten Konfigurationen. Es gelte stets &nbsp;$K= 2$.
-Für den Fall, dass die Anzahl $Z$ der Nullstellen kleiner als die Anzahl $N$ der Pole ist, kann das zugehörige Zeitsignal $y(t)$ durch Anwendung des [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes|Residuensatzes]] direkt ermittelt werden.
+Für den Fall, dass die Anzahl $Z$ der Nullstellen kleiner als die Anzahl $N$ der Pole ist, kann das zugehörige Zeitsignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; durch Anwendung des [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation#Formulierung_des_Residuensatzes|Residuensatzes]] direkt ermittelt werden.
 In diesem Fall gilt
@@ Zeile 20: / Zeile 20: @@
   \bigg |_{p \hspace{0.05cm}= \hspace{0.05cm}p_{{\rm x}i}} \right
   \} \hspace{0.05cm}.$$
-$I$ gibt die Anzahl der unterscheidbaren Pole an (bei allen vorgegebenen Konstellationen ist $I = N$).
+$I$&nbsp; gibt die Anzahl der unterscheidbaren Pole an; bei allen vorgegebenen Konstellationen ist $I = N$.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]].
+*Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Rücktransformation|Laplace–Rücktransformation]].
-*Ist das Zeitsignal $y(t)$ komplex, so kann $Y_{\rm L}(p)$ nicht als Schaltung realisiert werden. Die Anwendung des Residuensatzes ist aber trotzdem möglich.
+*Ist das Zeitsignal &nbsp;$y(t)$&nbsp; komplex, so kann &nbsp;$Y_{\rm L}(p)$&nbsp; nicht als Schaltung realisiert werden. Die Anwendung des Residuensatzes ist aber trotzdem möglich.
-*Die komplexe Frequenz $p$, die Nullstellen $p_{{\rm o}i}$ sowie die Pole $p_{{\rm o}i}$ beschreiben in dieser Aufgabe jeweils normierte Größen ohne Einheit. Damit ist auch die Zeit $t$ dimensionslos.
+*Die komplexe Frequenz &nbsp;$p$, die Nullstellen &nbsp;$p_{{\rm o}i}$&nbsp; sowie die Pole &nbsp;$p_{{\rm x}i}$&nbsp; beschreiben in dieser Aufgabe jeweils normierte Größen ohne Einheit.
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 <quiz display=simple>
-{Bei welchen Konfigurationen lässt sich der Residuensatz nicht direkt anwenden?
+{Bei welchen Konfigurationen lässt sich der Residuensatz <u>nicht direkt</u> anwenden?
 |type="[]"}
-- Konfiguration $\rm A$,
+- Konfiguration &nbsp;$\rm A$,
-+ Konfiguration $\rm B$,
++ Konfiguration &nbsp;$\rm B$,
-- Konfiguration $\rm C$,
+- Konfiguration &nbsp;$\rm C$,
-+ Konfiguration $\rm D$,
++ Konfiguration &nbsp;$\rm D$,
-- Konfiguration $\rm E$,
+- Konfiguration &nbsp;$\rm E$,
-+ Konfiguration $\rm F$.
++ Konfiguration &nbsp;$\rm F$.
-{Berechnen Sie $y(t)$ für die Konfiguration $\rm A$ mit $K= 2$ und $p_{\rm x} = -1$. Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt $t = 1$?
+{Berechnen Sie &nbsp;$y(t)$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$\rm A$ mit &nbsp;$K= 2$&nbsp; und &nbsp;$p_{\rm x} = -1$. <br>Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt &nbsp;$t = 1$?
 |type="{}"}
 $\ {\rm Re}\{y(t = 1)\}  \ = \ $  { 0.736 3% }
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-{Berechnen Sie $y(t)$ für die Konfiguration $\rm C$ mit $K= 2$ und $p_{\rm x} = -0.2 + {\rm j} \cdot 1.5\pi$. Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt $t = 1$?
+{Berechnen Sie &nbsp;$y(t)$&nbsp; für die Konfiguration &nbsp;$\rm C$ mit &nbsp;$K= 2$&nbsp; und &nbsp;$p_{\rm x} = -0.2 + {\rm j} \cdot 1.5\pi$. <br>Welcher Zahlenwert ergibt sich für den Zeitpunkt &nbsp;$t = 1$?
 |type="{}"}
 $\ {\rm Re}\{y(t = 1)\}  \ = \ $ { 0. }
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-{Welcher Signalwert $y(t = 1)$ ergibt sich bei der Konstellation $\rm E$ mit $K= 2$ und zwei Polstellen bei $p_{\rm x} = -0.2 \pm {\rm j} \cdot 1.5\pi$?
+{Welcher Signalwert &nbsp;$y(t = 1)$&nbsp; ergibt sich bei der Konstellation &nbsp;$\rm E$ mit &nbsp;$K= 2$&nbsp; und zwei Polstellen bei &nbsp;$p_{\rm x} = -0.2 \pm {\rm j} \cdot 1.5\pi$?
 |type="{}"}
   $\ {\rm Re}\{y(t = 1)\}  \ = \ $ { -0.357--0.337 }

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(kein Unterschied)