Aufgaben:Aufgabe 3.5: Kullback-Leibler-Distanz & Binominalverteilung - Versionsgeschichte

Guenter am 8. Oktober 2018 um 10:07 Uhr

2018-10-08T10:07:18Z

Guenter am 8. Oktober 2018 um 08:56 Uhr

2018-10-08T08:56:49Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:52Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-03T14:04:05Z

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	Ob diese Aussage relevant ist, lasse ich dahingestellt. Denn: Aufgrund der stetigen Zunahme von <i>H</i>(<i>Y</i>) mit zunehmendem <i>λ</i> ist klar, dass für irgendeinen <i>λ</i>–Wert tatsächlich <i>H</i>(<i>Y</i>) = <i>H</i>(<i>X</i>) gelten muss.		Ob diese Aussage relevant ist, lasse ich dahingestellt. Denn: Aufgrund der stetigen Zunahme von <i>H</i>(<i>Y</i>) mit zunehmendem <i>λ</i> ist klar, dass für irgendeinen <i>λ</i>–Wert tatsächlich <i>H</i>(<i>Y</i>) = <i>H</i>(<i>X</i>) gelten muss.
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−	[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|~~^3.1 Allgemeines~~ zu ~~2D-Zufallsgrößen^~~]]	+	[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|Aufgaben zu Informationstheorie]]

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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen|Einige Vorbemerkungen zu den 2D-Zufallsgrößen]].
 *Insbesondere wird Bezug genommen auf die Seite [[Informationstheorie/Einige_Vorbemerkungen_zu_zweidimensionalen_Zufallsgrößen#Relative_Entropie_.E2.80.93_Kullback.E2.80.93Leibler.E2.80.93Distanz|Relative_Entropie &ndash; Kullback-Leibler-Distanz]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Um die numerischen Berechnungen in Grenzen zu halten, werden folgende Hilfsgrößen vorgegeben; &bdquo;lg&rdquo;  bezeichnet den Logarithmus zur Basis 10:
 :$$A' =

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−	[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|^3.1 ~~Vorbemerkungen~~ zu 2D-Zufallsgrößen^]]	+	[[Category:Aufgaben zu Informationstheorie\|^3.1 Allgemeines zu 2D-Zufallsgrößen^]]

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-<b>1.</b>&nbsp;&nbsp;Bei der Binomialverteilung sind alle Wahrscheinlichkeiten Pr(<i>X</i> > <i>I</i>) = 0 &nbsp;&#8658;&nbsp; <u><i>I</i> = 5</u>. Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass <i>X</i> gleich <i>I</i> = 5 ist:
+'''(1)'''&nbsp; Bei der Binomialverteilung sind alle Wahrscheinlichkeiten Pr(<i>X</i> > <i>I</i>) = 0 &nbsp;&#8658;&nbsp; <u><i>I</i> = 5</u>. <br>Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass <i>X</i> gleich <i>I</i> = 5 ist:
 :$${\rm Pr} (X = 5) = {5 \choose 5} \cdot p^{5} =  p^{5}  \approx 0.0003 \hspace{0.05cm}.$$
-Damit erhält man für
+Somit erhält man für
-:* die charakteristische Wahrscheinlichkeit:
+* die charakteristische Wahrscheinlichkeit: &nbsp; $p= (0.0003)^{1/5} = 0.1974 \hspace{0.15cm} \underline {\approx 0.2}\hspace{0.05cm},$
-:$$p= (0.0003)^{1/5} = 0.1974 \hspace{0.15cm} \underline {\approx 0.2}\hspace{0.05cm},$$
+* den linearen Mittelwert (Erwartungswert): &nbsp; $m_X = I  \cdot p  \hspace{0.15cm} \underline {= 1}\hspace{0.05cm},$
-:* die Varianz:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 2</u>:
-:$$\sigma_X^2 = I  \cdot p \cdot (1-p)  \hspace{0.15cm} \underline {= 0.8}\hspace{0.05cm}.$$
+*Bei Verwendung von <i>D</i>(<i>P<sub>Y</sub></i>||<i>P<sub>X</sub></i>) würde sich unabhängig von <i>&lambda;</i> stets ein unendlicher Wert ergeben, da für <i>&mu;</i> &#8805; 6 gilt:
-<b>3.</b>&nbsp;&nbsp;Wir verwenden die erste Kullback&ndash;Leibler&ndash;Distanz:
+'''(3)'''&nbsp; Wir verwenden die erste Kullback&ndash;Leibler&ndash;Distanz:
 :$$D = D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) =\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 0}^{5}  P_X(\mu) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_X(\mu)}{P_Y(\mu)} \hspace{0.05cm}.$$
 Bei Verwendung des Zehnerlogarithmus (&bdquo;lg&rdquo;) erhalten wir für die Poisson&ndash;Näherung mit <i>&lambda;</i> = 1:
 :$$D \hspace{0.05cm}' = 0.3277 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.3277}{0.3679} + A \hspace{0.05cm}' =
 -0.016468 + 0.021944 = 0.005476 \hspace{0.05cm}.$$
-Nach Umrechnung auf den Zweierlogarithmus (&bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo;)  erhält man:
+Nach Umrechnung auf den Zweierlogarithmus (&bdquo;log<sub>2</sub>&rdquo;)  erhält man schließlich:
 :$$D = D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) = \frac{0.005476}{{\rm lg} \hspace{0.1cm}(2)} \hspace{0.15cm} \underline {\approx 0.0182\,{\rm (bit)}}\hspace{0.05cm}.$$
-<b>4.</b>&nbsp;&nbsp;Unter Verwendung des Zehnerlogarithmus lautet die Entropie der Poisson&ndash;Näherung (<i>&lambda;</i> = 1):
+'''(4)'''&nbsp; Unter Verwendung des Zehnerlogarithmus lautet die Entropie der Poisson&ndash;Näherung (<i>&lambda;</i> = 1):
-:$$H\hspace{0.05cm}'(Y) \hspace{0.15cm}  =  \hspace{0.15cm} -{\rm E} \left [{\rm lg} \hspace{0.1cm} {P_Y(Y)} \right ]
+:$$H\hspace{0.05cm}'(Y) = -{\rm E} \left [{\rm lg} \hspace{0.1cm} {P_Y(Y)} \right ]
-= -2 \cdot 0.3679 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (0.3679) - B\hspace{0.05cm}' =\\
+= -2 \cdot 0.3679 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (0.3679) - B\hspace{0.05cm}' = 0.31954 + 0.24717 = 0.56126.$$
 Die Umrechnung in &bdquo;bit&rdquo; liefert das gesuchte Ergebnis:
 :$$H(Y) = \frac{0.56126}{{\rm lg} \hspace{0.1cm}(2)}
 \hspace{0.15cm} \underline {= 1.864\,{\rm (bit)}} \hspace{0.05cm}.$$
-<b>5.</b>&nbsp;&nbsp;Richtig ist die <u>Aussage 1</u>. Bei der numerischen Berechnung der Kullback&ndash;Leibler&ndash;Distanz ist
+'''(5)'''&nbsp; Richtig ist die <u>Aussage 1</u>. Bei der numerischen Berechnung der Kullback&ndash;Leibler&ndash;Distanz ist
 * der Beitrag des <i>&mu;</i>&ndash;ten Terms positiv, falls <i>P<sub>Y</sub></i>(<i>&mu;</i>) > <i>P<sub>X</sub></i>(<i>&mu;</i>),
-:* der Beitrag des <i>&mu;</i>&ndash;ten Terms positiv, falls <i>P<sub>Y</sub></i>(<i>&mu;</i>) > <i>P<sub>X</sub></i>(<i>&mu;</i>),
+* der Beitrag des <i>&mu;</i>&ndash;ten Terms negativ, falls <i>P<sub>Y</sub></i>(<i>&mu;</i>) < <i>P<sub>X</sub></i>(<i>&mu;</i>).
-<b>6.</b>&nbsp;&nbsp;Zutreffend ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>. Auch aus der nachfolgenden Grafik ist ersichtlich, dass <i>D</i>(<i>P<sub>X</sub></i>||<i>P<sub>Y</sub></i>)&nbsp;=&nbsp;0.0182 bit von keinem anderen <i>&lambda;</i>&ndash;Wert als <i>&lambda;</i>&nbsp;=&nbsp;1 unterschritten wird (grüne Kreuze).
+[[Datei:P_ID2761__Inf_A_3_4_C.png|right|Kullback–Leibler–Distanz und Entropie]]
-[[Datei:P_ID2761__Inf_A_3_4_C.png|center|]]
+'''(6)'''&nbsp; Zutreffend ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-Weiter erkennt man aus dieser Darstellung, dass man mit <i>&lambda;</i> = 0.9 eine bessere Entropie&ndash;Approximation als mit <i>&lambda;</i> = 1 erreicht  (blaue Kreise):
+*Auch aus der Grafik ist ersichtlich, dass <i>D</i>(<i>P<sub>X</sub></i>||<i>P<sub>Y</sub></i>)&nbsp;=&nbsp;0.0182 bit von keinem anderen <i>&lambda;</i>&ndash;Wert als <i>&lambda;</i>&nbsp;=&nbsp;1 unterschritten wird (grüne Kreuze).
 :$$H(Y) = 1.795\,{\rm bit} \hspace{0.15cm}\approx \hspace{0.15cm} H(X) = 1.793\,{\rm bit}\hspace{0.05cm}.$$
-Der zweite Lösungsvorschlag ist also falsch. Anzumerken ist:
+:Der zweite Lösungsvorschlag ist also falsch.
-:* Mit <i>&lambda;</i> = 1 stimmen die <u>linearen</u> Mittelwerte der beiden Zufallsgrößen  überein: <i>m<sub>X</sub></i> = <i>m<sub>Y</sub></i> = 1.
+Weiter ist anzumerken:
 Ob diese Aussage relevant ist, lasse ich dahingestellt. Denn: Aufgrund der stetigen Zunahme von <i>H</i>(<i>Y</i>) mit zunehmendem <i>&lambda;</i> ist klar, dass für irgendeinen <i>&lambda;</i>&ndash;Wert tatsächlich <i>H</i>(<i>Y</i>) = <i>H</i>(<i>X</i>) gelten muss.

@@ Zeile 68: / Zeile 68: @@
 $I \hspace{0.47cm}  = \ $ { 5 3% }
 $p \hspace{0.47cm} = \ $ { 0.2 3% }
-$m_x \ = \ $ { 5 3% }
+$m_x \ = \ $ { 1 3% }
-$\sigma^2_x \hspace{0.25cm}  = \ $ { 5 3% }
+$\sigma^2_x \hspace{0.25cm}  = \ $ { 0.8 3% }

@@ Zeile 44: / Zeile 44: @@
 *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Um die numerischen Berechnungen in Grenzen zu halten, werden folgende Hilfsgrößen vorgegeben; &bdquo;lg&rdquo;  bezeichnet den Logarithmus zur Basis 10:
-$$A' \hspace{0.15cm}  =  \hspace{0.15cm}
+:$$A' =
 .4096 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.4096}{0.3679} +
 .2048 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.2048}{0.1839} +
 .0512 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.0512}{0.0613} +
 .0064 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.0064}{0.0153} +
-.0003 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.0003}{0.0031} =
+.0003 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.0003}{0.0031} \hspace{0.05cm},$$
-\hspace{0.15cm} \underline {= 0.021944}  \hspace{0.05cm},$$
+:$$B' =
 .1839 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (0.1839) +
 .0613 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (0.0613) +
@@ Zeile 57: / Zeile 56: @@
 .0031 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (0.0031) +
 .0005 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (0.0005) +
-.0001 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (0.0001)
+.0001 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (0.0001)$$
-\hspace{0.15cm} \underline {= -0.24717}  \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} A'  \hspace{0.15cm} \underline {= 0.021944}  \hspace{0.05cm},\hspace{0.5cm}
@@ Zeile 66: / Zeile 66: @@
 {Wie lauten die Kenngrößen der vorliegenden Binomialverteilung?<br> <i>Hinweis:</i> Geben Sie (maximal) eine Nachkommastelle ein.
 |type="{}"}
-$I$ = { 5 3% }
+$I \hspace{0.47cm}  = \ $ { 5 3% }
-$p$ = { 0.2 3% }
+$p \hspace{0.47cm} = \ $ { 0.2 3% }
-$m_x$ = { 5 3% }
+$m_x \ = \ $ { 5 3% }
-$\sigma^2_x$ = { 5 3% }
+$\sigma^2_x \hspace{0.25cm}  = \ $ { 5 3% }
@@ Zeile 80: / Zeile 80: @@
-{Berechnen Sie die geeignete Kullback&ndash;Leibler&ndash;Distanz  (hier mit <i>D</i> bezeichnet) für <i>&lambda;</i> = 1. Berücksichtigen Sie die angegebene Hilfsgröße <i>A</i>&prime;.
+{Berechnen Sie die geeignete Kullback&ndash;Leibler&ndash;Distanz  (hier mit <i>D</i> abgekürzt) für <i>&lambda;</i> = 1. Berücksichtigen Sie die Hilfsgröße $A'$.
 |type="{}"}
-$\lambda = 1:\ D$ = { 0.0182 3% } $bit$
+$D \ = \ $ { 0.0182 3% } $\ \rm bit$
-{Berechnen Sie die Entropie <i>H</i>(<i>Y</i>) der Poisson&ndash;Näherung mit der Rate <i>&lambda;</i> = 1. Berücksichtigen Sie die angegebene Hilfsgröße <i>B</i>&prime;.
+{Berechnen Sie die Entropie <i>H</i>(<i>Y</i>) der Poisson&ndash;Näherung mit der Rate <i>&lambda;</i> = 1.
 |type="{}"}
-$\lambda = 1:\ H(Y)$ = { 1.864 3% } $bit$
+$H(Y) \ = \ $ { 1.864 3% } $\ \rm bit$
 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ <i>H</i>(<i>Y</i>)&ndash;Berechnung: Alle Terme haben gleiches Vorzeichen.
++ Bei der <i>H</i>(<i>Y</i>)&ndash;Berechnung haben alle Terme gleiches Vorzeichen.
-- <i>D</i>(<i>P<sub>X</sub></i>||<i>P<sub>Y</sub></i>)&ndash;Berechnung: Alle Terme haben gleiches Vorzeichen.
+- Bei der <i>D</i>(<i>P<sub>X</sub></i>||<i>P<sub>Y</sub></i>)&ndash;Berechnung haben alle Terme gleiches Vorzeichen.

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID2759__Inf_A_3_4_A.png|right|]]
+[[Datei:P_ID2759__Inf_A_3_4_A.png|right|Vorgegebene Wahrscheinlichkeiten]]
-Wir gehen hier von der Binomialverteilung aus, die durch die Parameter <i>I</i> und <i>p</i> gekennzeichnet ist &#8658; siehe  Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;:
+Wir gehen hier von der [[Stochastische_Signaltheorie/Binomialverteilung|Binomialverteilung]] aus, die durch die Parameter $I$ und $p$ gekennzeichnet ist &#8658; siehe  Buch &bdquo;Stochastische Signaltheorie&rdquo;:
-:* Wertebereich:
+* Wertebereich:
 :$$X = \{\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}
 \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}  ...\hspace{0.1cm} ,\hspace{0.05cm} {\mu}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm} , \hspace{0.05cm} I\hspace{0.05cm}\}\hspace{0.05cm},$$
-:* Wahrscheinlichkeiten:
+* Wahrscheinlichkeiten:
 :$$P_X (X = \mu) = {I \choose \mu} \cdot p^{\mu} \cdot (1-p)^{I-\mu} \hspace{0.05cm},$$
-:* linearer Mittelwert:
+* linearer Mittelwert:
 :$$m_X = I  \cdot p \hspace{0.05cm},$$
-:* Varianz:
+* Varianz:
 :$$\sigma_X^2 = I  \cdot p \cdot (1-p)\hspace{0.05cm}.$$
-Im rot hinterlegten Teil obiger Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten <i>P<sub>X</sub></i>(<i>X</i> = <i>&mu;</i>) der hier betrachteten Binomialverteilung angegeben. In der Teilaufgabe (a) sollen Sie die dazugehörigen Verteilungsparameter <i>I</i> und <i>p</i> bestimmen.
+Im rot hinterlegten Teil obiger Tabelle sind die Wahrscheinlichkeiten $P_X(X = \mu$) der hier betrachteten Binomialverteilung angegeben. In der Teilaufgabe (1) sollen Sie die dazugehörigen Verteilungsparameter $I$ und $p$ bestimmen.
-:* Wertebereich:
+Diese vorgegebene Binomialverteilung soll hier durch eine [[Stochastische_Signaltheorie/Poissonverteilung|Poissonverteilung]] $Y$ approximiert werden, gekennzeichnet durch die Rate $\lambda$:
 :$$Y = \{\hspace{0.05cm}0\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}
 \hspace{0.05cm},\hspace{0.05cm}  ...\hspace{0.1cm} ,\hspace{0.05cm} {\mu}\hspace{0.05cm}, \hspace{0.05cm}...\hspace{0.1cm}\}\hspace{0.05cm},$$
-:* Wahrscheinlichkeiten:
+* Wahrscheinlichkeiten:
 :$$P_Y (Y = \mu) = \frac{\lambda^{\mu}}{\mu !} \cdot {\rm e}^{\lambda} \hspace{0.05cm},$$
-:* Erwartungswerte:
+* Erwartungswerte:
 :$$m_Y = \sigma_Y^2 = \lambda\hspace{0.05cm}.$$
-Um abschätzen zu können, ob die Wahrscheinlichkeitsfunktion <i>P<sub>X</sub></i>(<i>X</i>) ausreichend gut durch <i>P<sub>Y</sub></i>(<i>Y</i>) approximiert wird, kann man auf die so genannten <i>Kullback&ndash;Leibler&ndash;Distanzen</i> (KLD) zurückgreifen, teilweise in der Literatur auch  <i>relative Entropien</i> genannt. Angepasst an das vorliegende Beispiel lauten diese:
-:$$D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) \hspace{0.15cm}  =  \hspace{0.15cm}  {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_X(X)}{P_Y(X)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 0}^{I}  P_X(\mu) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_X(\mu)}{P_Y(\mu)} \hspace{0.05cm},\\
+Um abschätzen zu können, ob die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_X(X)$ ausreichend gut durch $P_Y(Y)$ approximiert wird, kann man auf die so genannten <i>Kullback&ndash;Leibler&ndash;Distanzen</i> (KLD) zurückgreifen, teilweise in der Literatur auch  <i>relative Entropien</i> genannt. Angepasst an das vorliegende Beispiel lauten diese:
-D(P_Y \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_X) \hspace{0.15cm}  =  \hspace{0.15cm}  {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_Y(X)}{P_X(X)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 0}^{\infty}  P_Y(\mu) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_Y(\mu)}{P_X(\mu)} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$D(P_X \hspace{0.05cm}|| \hspace{0.05cm} P_Y) \hspace{0.15cm}  =  \hspace{0.15cm}  {\rm E} \left [ {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_X(X)}{P_Y(X)}\right ] \hspace{0.2cm}=\hspace{0.2cm} \sum_{\mu = 0}^{I}  P_X(\mu) \cdot {\rm log}_2 \hspace{0.1cm} \frac{P_X(\mu)}{P_Y(\mu)} \hspace{0.05cm},$$
 Bei Verwendung des <i>Logarithmus dualis</i> (zur Basis 2) ist hierbei dem Zahlenwert die Pseudo&ndash;Einheit &bdquo;bit&rdquo; hinzuzufügen.
-<br>Die Spalten für <i>&lambda;</i> = 1 sind in den Teilaufgaben (3) und (4) zu ergänzen. In der Teilaufgabe (f) sollen diese Ergebnisse interpretriert werden.
+[[Datei:P_ID2760__Inf_A_3_4_B.png|right|Beiliegende Ergebnistabelle]]
-<b>Hinweis:</b> Die Aufgabe gehört zu Kapitel 3.1. Um die numerischen Berechnungen in Grenzen zu halten, werden folgende Hilfsgrößen vorgegeben; &bdquo;lg&rdquo;  bezeichnet den Logarithmus zur Basis 10:
+''Hinweise:''
 :$$A' \hspace{0.15cm}  =  \hspace{0.15cm}
 .4096 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.4096}{0.3679} +
 .2048 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.2048}{0.1839} +
-.0512 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.0512}{0.0613} +\\
+.0512 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.0512}{0.0613} +
 .0064 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.0064}{0.0153} +
 .0003 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} \frac{0.0003}{0.0031} =
@@ Zeile 47: / Zeile 54: @@
 .1839 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (0.1839) +
 .0613 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (0.0613) +
-.0153 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (0.0153) +\\
+.0153 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (0.0153) +
 .0031 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (0.0031) +
 .0005 \cdot {\rm lg} \hspace{0.1cm} (0.0005) +