Aufgaben:Aufgabe 3.5: Dreieck- und Trapezsignal - Versionsgeschichte

Guenter am 1. Februar 2022 um 13:51 Uhr

2022-02-01T13:51:01Z

Guenter am 1. Februar 2022 um 13:45 Uhr

2022-02-01T13:45:21Z

Guenter am 15. November 2019 um 17:45 Uhr

2019-11-15T17:45:45Z

Guenter am 15. November 2019 um 17:30 Uhr

2019-11-15T17:30:13Z

Guenter am 15. November 2019 um 17:26 Uhr

2019-11-15T17:26:43Z

Guenter am 9. August 2018 um 09:15 Uhr

2018-08-09T09:15:35Z

Guenter am 9. August 2018 um 06:32 Uhr

2018-08-09T06:32:52Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:52Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.5 Dreieck- und Trapezsignal nach Aufgaben:Aufgabe 3.5: Dreieck- und Trapezsignal

2018-01-03T13:35:17Z

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Guenter am 13. März 2017 um 12:26 Uhr

2017-03-13T12:26:42Z

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-[[Datei:P_ID121__Sto_A_3_5_a_neu.png|right|frame|Amplitudenbegrenzung, ablesbar in der WDF]]
+[[Datei:P_ID121__Sto_A_3_5_a_neu.png|right|frame|Amplitudenbegrenzung,&nbsp; ablesbar in der WDF]]
-'''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>:
+'''(1)'''&nbsp; Richtig sind&nbsp; <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>:
 *Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y_1$&nbsp; ist gleichverteilt und dadurch ebenso wie&nbsp; $x$&nbsp; auch eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e.
 *Die WDF von&nbsp; $y_2$&nbsp; weist diskrete Anteile bei&nbsp; $0\hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; und&nbsp; $2\hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; auf.
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-'''(5)'''&nbsp; Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist das Integral &uuml;ber die WDF von&nbsp; $0.75\hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; bis $2\hspace{0.05cm} \rm V$, also
+'''(5)'''&nbsp; Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist das Integral &uuml;ber die WDF von&nbsp; $0.75\hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; bis $2\hspace{0.05cm} \rm V$,&nbsp; also
 :$${\rm Pr}(y_1 > 0.75\hspace{0.05cm} \rm V) \hspace{0.15cm}\underline{ = 62.5\%}.$$
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 \hspace{0.15cm}{ =\rm 0.417\,V^2}.$$
-*Der erste Anteil geht auf die kontinuierliche WDF zur&uuml;ck, der zweite auf die WDF&ndash;Diracfunktion bei&nbsp; $1\hspace{0.05cm} \rm V$.
+*Der erste Anteil geht auf die kontinuierliche WDF zur&uuml;ck,&nbsp; der zweite auf die WDF&ndash;Diracfunktion bei&nbsp; $1\hspace{0.05cm} \rm V$.
 *Die Diracfunktion bei&nbsp; $0\hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; liefert keinen Beitrag zur Leistung.&nbsp; Daraus folgt f&uuml;r den Effektivwert:
 :$$\sigma_{y_{\rm 2}} = \sqrt{{\rm 5}/{\rm 12}\rm V^2 -{1}/{4}\rm V^2}=

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 so ergibt sich an dessem Ausgang entsprechend der Faltung das Dreiecksignal&nbsp; $y_1(t) = x(t) \star  h_1(t)$&nbsp; mit
-*den Minimalwerten&nbsp; $0\hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; $($bei $t = 0, 2T, 4T,$ ...$)$,
+*den Minimalwerten&nbsp; $0\hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; $($bei&nbsp; $t = 0, 2T, 4T,$ ...$)$,
-*den Maximalwerten&nbsp; $2\hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; $($bei $t = T, 3T, 5T,$ ...$)$.
+*den Maximalwerten&nbsp; $2\hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; $($bei&nbsp; $t = T, 3T, 5T,$ ...$)$.
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-{Bestimmen Sie die Leistung des Signals&nbsp; $y_1(t)$ sowohl durch Zeitmittelung als auch durch Scharmittelung.
+{Bestimmen Sie die Leistung des Signals&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; sowohl durch Zeitmittelung als auch durch Scharmittelung.
 |type="{}"}
 $P_{y1} \ = \ $ { 1.333 3% } $\ \rm V^2$
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-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er ist als&nbsp; $0.75\hspace{0.05cm} \rm V$?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit,&nbsp; dass&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er ist als&nbsp; $0.75\hspace{0.05cm} \rm V$?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(y_1 > 0.75\hspace{0.05cm} \rm V) \ = \ $ { 62.5 3% } $ \ \%$

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 [[Datei:P_ID121__Sto_A_3_5_a_neu.png|right|frame|Amplitudenbegrenzung, ablesbar in der WDF]]
 '''(1)'''&nbsp; Richtig sind <u>die Lösungsvorschläge 1, 3 und 4</u>:
-*Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $y_1$ ist gleichverteilt und dadurch ebenso wie $x$ auch eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e.
+*Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $y_1$&nbsp; ist gleichverteilt und dadurch ebenso wie&nbsp; $x$&nbsp; auch eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e.
-*Die WDF von $y_2$ weist diskrete Anteile bei $0\hspace{0.05cm} \rm V$ und $2\hspace{0.05cm} \rm V$ auf.
+*Die WDF von&nbsp; $y_2$&nbsp; weist diskrete Anteile bei&nbsp; $0\hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; und&nbsp; $2\hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; auf.
-*Zwischen diesen zwei Begrenzungen gibt es selbstverständlich auch kontinuierliche Anteile. In diesem Bereich gilt $f_x(x) = 1/2$.
+*Zwischen diesen zwei Begrenzungen gibt es selbstverständlich auch kontinuierliche Anteile.&nbsp;
-'''(2)'''&nbsp; Der lineare Mittelwert $m_x = 1\hspace{0.05cm} \rm V$ ist aus der Angabenskizze direkt abzulesen, k&ouml;nnte aber auch formal mit der Gleichung f&uuml;r die Gleichverteilung (zwischen $0\hspace{0.05cm} \rm V$ und $2\hspace{0.05cm} \rm V$) berechnet werden. Eine weitere L&ouml;sungsm&ouml;glichkeit bietet die Beziehung:
 :$$m_{y_{\rm 1}}=m_x\cdot H_{\rm 1}( f= 0) = 1\hspace{0.05cm} \rm V \cdot 1 \hspace{0.15cm}\underline{ =\rm 1\hspace{0.05cm} \rm V}.$$
 '''(3)'''&nbsp; Eigentlich m&uuml;sste die Mittelung &uuml;ber den gesamten Zeitbereich (beidseitig bis ins Unendliche) erfolgen. Aus Symmetriegr&uuml;nden gen&uuml;gt jedoch die Mittelung &uuml;ber das Zeitintervall $0 \le t \le T$:
 :$$P_{y_{\rm 1}}=\rm\frac{1}{\it T}\cdot \int_{\rm 0}^{\it T} \hspace{-0.15cm}\it y_{\rm 1}{\rm (}\it t{\rm {\rm )}}^{\rm 2}\it \hspace{0.05cm}\hspace{0.1cm}{\rm d}t=\rm\frac{1}{\it T}\cdot \int_{\rm 0}^{\it T} \hspace{-0.15cm}(\rm 2V \cdot \it\frac{t}{T}{\rm )}^{\rm 2} \hspace{0.1cm}{\rm d} t
 = \rm {4}/{3}\, V^2  \hspace{0.15cm}\underline{= \rm 1.333\, V^2}.$$
-Die Scharmittelung liefert das gleiche Ergebnis. Mit der WDF $f_{y1}(y_1) = 1/(2\hspace{0.05cm} \rm V)$ gilt nämlich:
+*Die Scharmittelung liefert das gleiche Ergebnis. Mit der WDF&nbsp; $f_{y1}(y_1) = 1/(2\hspace{0.05cm} \rm V)$&nbsp; gilt nämlich:
 :$$P_{y_{\rm 1}}=
 \int_0^{2V} \hspace{-0.3cm}\it y_{\rm 1}^{\rm 2}\cdot f_{\it y_{\rm 1}}{\rm (}\it y_{\rm 1}{\rm )}\it \hspace{0.1cm}{\rm d}y_{\rm 1}
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-'''(4)'''&nbsp; Die Varianz kann mit dem Satz von Steiner ermittelt werden und ergibt $4/3\hspace{0.05cm} \rm V^2 - 1\hspace{0.05cm} \rm V^2 = 1/3\hspace{0.05cm} \rm V^2$. Die Wurzel daraus ist die gesuchte Streuung (der Effektivwert): &nbsp; &nbsp; $\sigma_{y_{\rm 1}}\hspace{0.15cm}\underline{=0.577 \, \rm V}.$
-'''(5)'''&nbsp; Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist das Integral &uuml;ber die WDF von $0.75\hspace{0.05cm} \rm V$ bis $2\hspace{0.05cm} \rm V$, also ${\rm Pr}(y_1 > 0.75\hspace{0.05cm} \rm V) \hspace{0.15cm}\underline{ =0.625}$.
+'''(6)'''&nbsp; Die WDF besteht aus zwei Diracfunktionen bei&nbsp; $0\hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; und&nbsp; $1\hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; $($jeweils mit dem Gewicht&nbsp; $1/4)$&nbsp; und einem konstanten kontinuierlichen Anteil von
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 \hspace{0.15cm}{ =\rm 0.417\,V^2}.$$
-*Der erste Anteil geht auf die kontinuierliche WDF zur&uuml;ck, der zweite auf die WDF&ndash;Diracfunktion bei $1\hspace{0.05cm} \rm V$.
+*Der erste Anteil geht auf die kontinuierliche WDF zur&uuml;ck, der zweite auf die WDF&ndash;Diracfunktion bei&nbsp; $1\hspace{0.05cm} \rm V$.
-*Die Diracfunktion bei $0\hspace{0.05cm} \rm V$ liefert keinen Beitrag zur Leistung. Daraus folgt f&uuml;r den Effektivwert:
+*Die Diracfunktion bei&nbsp; $0\hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; liefert keinen Beitrag zur Leistung.&nbsp; Daraus folgt f&uuml;r den Effektivwert:
 :$$\sigma_{y_{\rm 2}} = \sqrt{{\rm 5}/{\rm 12}\rm V^2 -{1}/{4}\rm V^2}=
 \sqrt{{\rm 1}/{\rm 6}\rm V^2}
 \hspace{0.15cm}\underline{=0.409\, \rm V}.$$
 '''(9)'''&nbsp; Diese Wahrscheinlichkeit setzt sich ebenfalls aus zwei Anteilen zusammen:
-:$${\rm Pr}(y_2 > 0.75 {\rm V} ) = {\rm Pr}(0.75 {\rm V} \le y_2 < 1 {\rm V} )  + {\rm Pr}(y_2 = 1 {\rm V} )  = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}+ \frac{1}{4} = \frac{3}{8}\hspace{0.15cm}\underline{ = 0.375}. $$
+:$${\rm Pr}(y_2 > 0.75 {\rm V} ) = {\rm Pr}(0.75 {\rm V} \le y_2 < 1 {\rm V} )  + {\rm Pr}(y_2 = 1 {\rm V} )  = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}+ \frac{1}{4} = \frac{3}{8}\hspace{0.15cm}\underline{ = 37.5\%}. $$
 {{ML-Fuß}}

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 {Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er ist als&nbsp; $0.75\hspace{0.05cm} \rm V$?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(y_1 > 0.75\hspace{0.05cm} \rm V) \ = \ $ { 0.625 3% }
+${\rm Pr}(y_1 > 0.75\hspace{0.05cm} \rm V) \ = \ $ { 62.5 3% } $ \ \%$
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 {Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $y_2(t)$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er ist als&nbsp; $0.75\hspace{0.05cm} \rm V$?
 |type="{}"}
-${\rm Pr}(y_2 > 0.75\hspace{0.05cm} \rm V) \ = \ $ { 0.375 3% }
+${\rm Pr}(y_2 > 0.75\hspace{0.05cm} \rm V) \ = \ $ { 37.5 3% } $ \ \%$

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 [[Datei:P_ID125__Sto_A_3_5.png|right|frame|Rechteck&ndash;, Dreieck&ndash; und Trapezsignal ]]
-Wir gehen vom Rechtecksignal $x(t)$ gem&auml;&szlig; der oberen Grafik aus.
+Wir gehen vom Rechtecksignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; gem&auml;&szlig; der oberen Grafik aus.
-*Die Amplitudenwerte sind $0\hspace{0.05cm} \rm V$ und $2\hspace{0.05cm} \rm V$.
+*Die Amplitudenwerte seien&nbsp; $0\hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; und&nbsp; $2\hspace{0.05cm} \rm V$.
-*Die Dauer eines Rechtecks sowie der Abstand zweier aufeinander folgender Rechteckimpulse seien jeweils gleich $T$.
+*Die Dauer eines Rechtecks sowie der Abstand zweier aufeinander folgender Rechteckimpulse seien jeweils gleich&nbsp; $T$.
-*Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e $x$ &ndash; der Momentanwert des Rechtecksignals $x(t)$ &ndash; hat somit folgende Kennwerte:
+*Die Zufallsgr&ouml;&szlig;e&nbsp; $x$&nbsp; &ndash; der Momentanwert des Rechtecksignals&nbsp; $x(t)$&nbsp; &ndash; hat somit folgende Kennwerte:
 :$$m_x = \sigma_x = 1\hspace{0.05cm} \rm V.$$
 Gibt man nun dieses Signal auf ein lineares Filter mit der Impulsantwort
-:$$h_{\rm 1}(t)=\left \{ \begin{array}{*{4}{c}} 1/T & {\; \rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm}{ 0\le  t \le  T} \\\ 0 & {\rm sonst} \end{array} \right. ,  $$
+:$$h_{\rm 1}(t)=\left \{ \begin{array}{*{4}{c}} 1/T & {\; \rm f\ddot{u}r}\hspace{0.2cm}{ 0\le  t \le  T} \\\ 0 & {\rm sonst} \end{array} \right. ,  $$
-so ergibt sich an dessem Ausgang entsprechend der Faltung das Dreiecksignal $y_1(t) = x(t) \star  h_1(t)$ mit
+so ergibt sich an dessem Ausgang entsprechend der Faltung das Dreiecksignal&nbsp; $y_1(t) = x(t) \star  h_1(t)$&nbsp; mit
-*den Minimalwerten $0\hspace{0.05cm} \rm V$ (bei $t = 0, 2T, 4T,$ ...),
+*den Minimalwerten&nbsp; $0\hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; $($bei $t = 0, 2T, 4T,$ ...$)$,
-*den Maximalwerten $2\hspace{0.05cm} \rm V$ (bei $t = T, 3T, 5T,$ ...).
+*den Maximalwerten&nbsp; $2\hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; $($bei $t = T, 3T, 5T,$ ...$)$.
-Bei diesem Tiefpassfilter handelt es sich also um einen Integrator &uuml;ber die Zeitdauer $T$.<br>
+Bei diesem Tiefpassfilter handelt es sich also um einen Integrator &uuml;ber die Zeitdauer&nbsp; $T$.<br>
-Legt man dagegen das Signal $x(t)$ an den Eingang eines Filters mit der Impulsantwort
+Legt man dagegen das Signal&nbsp; $x(t)$&nbsp; an den Eingang eines Filters mit der Impulsantwort
-$$h_{\rm 2}(t)=\left \{ \begin{array}{*{4}{c}} 1/T & {\; \rm f\ddot{u}r}\hspace{0.1cm}{ 0\le  t \le  T/2} \\\ 0 & {\rm sonst} \end{array} \right. ,  $$
+:$$h_{\rm 2}(t)=\left \{ \begin{array}{*{4}{c}} 1/T & {\; \rm f\ddot{u}r}\hspace{0.2cm}{ 0\le  t \le  T/2} \\\ 0 & {\rm sonst} \end{array} \right. ,  $$
-so ergibt sich das trapezf&ouml;rmige Signal $y_2(t) = x(t) \star  h_2(t)$. Dieses zweite Filter wirkt somit als ein Integrator &uuml;ber die Zeitdauer $T/2$.
+so ergibt sich das trapezf&ouml;rmige Signal&nbsp; $y_2(t) = x(t) \star  h_2(t)$.&nbsp; Dieses zweite Filter wirkt somit als ein Integrator &uuml;ber die Zeitdauer&nbsp; $T/2$.
 <br>
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgröße|Gleichverteilte Zufallsgröße]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Stochastische_Signaltheorie/Gleichverteilte_Zufallsgröße|Gleichverteilte Zufallsgröße]].
-*F&uuml;r die zugeh&ouml;rigen Frequenzg&auml;nge gilt $H_1(f=0)= 1$ bzw. $H_2(f=0)= 0.5$.
+*F&uuml;r die zugeh&ouml;rigen Frequenzg&auml;nge gilt&nbsp; $H_1(f=0)= 1$&nbsp; bzw.&nbsp; $H_2(f=0)= 0.5$.
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 {Welche der folgenden Aussagen sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ $y_1(t)$ ist eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e.
++ $y_1(t)$&nbsp; ist eine kontinuierliche Zufallsgr&ouml;&szlig;e.
-- $y_1(t)$ besitzt eine dreieckf&ouml;rmige WDF.
+- $y_1(t)$&nbsp; besitzt eine dreieckf&ouml;rmige WDF.
-+ $y_1(t)$ ist gleichverteilt.
++ $y_1(t)$&nbsp; ist gleichverteilt.
-+ $y_2(t)$ hat kontinuierliche und diskrete Anteile.
++ $y_2(t)$&nbsp; hat kontinuierliche und diskrete Anteile.
-{Wie gro&szlig; ist der Gleichanteil des Signals $y_1(t)$? <br>&Uuml;berpr&uuml;fen Sie diesen Wert $m_{y1}$ auch anhand der Gr&ouml;&szlig;en $m_x$ und $H_1(f=0)$.
+{Wie gro&szlig; ist der Gleichanteil des Signals&nbsp; $y_1(t)$?&nbsp; &Uuml;berpr&uuml;fen Sie diesen Wert&nbsp; $m_{y1}$&nbsp; auch anhand der Gr&ouml;&szlig;en&nbsp; $m_x$&nbsp; und&nbsp; $H_1(f=0)$.
 |type="{}"}
 $m_{y1} \ = \ $  { 1 3% } $\ \rm V$
-{Bestimmen Sie die Leistung des Signals $y_1(t)$ sowohl durch Zeitmittelung als auch durch Scharmittelung.
+{Bestimmen Sie die Leistung des Signals&nbsp; $y_1(t)$ sowohl durch Zeitmittelung als auch durch Scharmittelung.
 |type="{}"}
 $P_{y1} \ = \ $ { 1.333 3% } $\ \rm V^2$
-{Wie gro&szlig; ist der Effektivwert des Signals $y_1(t)$?
+{Wie gro&szlig; ist der Effektivwert des Signals&nbsp; $y_1(t)$?
 |type="{}"}
 $\sigma_{y1} \ = \ $  { 0.577 3% }  $\ \rm V$
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y_1(t)$ gr&ouml;&szlig;er ist als $0.75\hspace{0.05cm} \rm V$?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $y_1(t)$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er ist als&nbsp; $0.75\hspace{0.05cm} \rm V$?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(y_1 > 0.75\hspace{0.05cm} \rm V) \ = \ $ { 0.625 3% }
-{Ermitteln Sie die WDF des Signals $y_2(t)$ und skizzieren Sie diese. <br>Geben Sie zur Kontrolle den WDF-Wert an der Stelle $y_2 = 0.5\hspace{0.05cm} \rm V$ ein.
+{Ermitteln Sie die WDF des Signals&nbsp; $y_2(t)$&nbsp; und skizzieren Sie diese.&nbsp; Geben Sie zur Kontrolle den WDF-Wert an der Stelle&nbsp; $y_2 = 0.5\hspace{0.05cm} \rm V$&nbsp; ein.
 |type="{}"}
 $f_{y2}(y_2= 0.5\hspace{0.05cm} \rm V) \ = \ $  { 0.5 3% } $\ \rm 1/V$
-{Wie gro&szlig; ist der Gleichanteil des Signals $y_2(t)$? <br>&Uuml;berpr&uuml;fen Sie diesen Wert $m_{y2}$ auch anhand der Gr&ouml;&szlig;en $m_x$ und $H_2(f=0)$.
+{Wie gro&szlig; ist der Gleichanteil des Signals&nbsp; $y_2(t)$?&nbsp; &Uuml;berpr&uuml;fen Sie diesen Wert&nbsp; $m_{y2}$&nbsp; auch anhand der Gr&ouml;&szlig;en&nbsp; $m_x$&nbsp; und&nbsp; $H_2(f=0)$.
 |type="{}"}
 $m_{y2} \ = \ ${ 0.5 3% } $\ \rm V$
-{Wie gro&szlig; ist der Effektivwert des Signals $y_2(t)$?
+{Wie gro&szlig; ist der Effektivwert des Signals&nbsp; $y_2(t)$?
 |type="{}"}
 $\sigma_{y2} \ = \ $ { 0.409 3% } $\ \rm V$
-{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass $y_2(t)$ gr&ouml;&szlig;er ist als $0.75\hspace{0.05cm} \rm V$?
+{Wie gro&szlig; ist die Wahrscheinlichkeit, dass&nbsp; $y_2(t)$&nbsp; gr&ouml;&szlig;er ist als&nbsp; $0.75\hspace{0.05cm} \rm V$?
 |type="{}"}
 ${\rm Pr}(y_2 > 0.75\hspace{0.05cm} \rm V) \ = \ $ { 0.375 3% }