Aufgaben:Aufgabe 3.5: Differentiation eines Dreicksignals - Versionsgeschichte

Guenter am 27. April 2021 um 13:38 Uhr

2021-04-27T13:38:38Z

Guenter am 27. April 2021 um 12:10 Uhr

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Guenter am 27. April 2021 um 12:08 Uhr

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Guenter am 26. April 2021 um 16:16 Uhr

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Guenter am 26. April 2021 um 15:58 Uhr

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Guenter am 26. April 2021 um 15:44 Uhr

2021-04-26T15:44:40Z

Guenter am 26. April 2021 um 15:28 Uhr

2021-04-26T15:28:35Z

Guenter am 26. September 2019 um 15:10 Uhr

2019-09-26T15:10:45Z

Guenter am 26. September 2019 um 14:58 Uhr

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Guenter am 24. Juli 2018 um 09:32 Uhr

2018-07-24T09:32:36Z

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 |type="[]"}
 + Die Nullstellen von&nbsp; $X(f)$&nbsp; bleiben auch in&nbsp; $Y(f)$&nbsp; erhalten.
-- Für große&nbsp;  $f$&ndash;Werte genügt&nbsp; $|Y(f)|$&nbsp; der gleichen Schranke wie&nbsp; $|X(f)|$.
+- Für große&nbsp;  $f$&ndash;Werte genügt&nbsp; $Y(f)$&nbsp; der gleichen Schranke wie&nbsp; $X(f)$.
 + Für große&nbsp;  $f$&ndash;Werte ist&nbsp; $|X(f)|$&nbsp; kleiner als das Betragsspektrum eines Rechteckimpulses der Dauer&nbsp; $T$.

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 *Alle dort dargelegten Gesetzmäßigkeiten – unter Anderem auch der&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]&nbsp; und der&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Differentiationssatz|Differentiationssatz]]&nbsp; – werden im Lernvideo&nbsp; [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]&nbsp; an Beispielen verdeutlicht.
 *In der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; soll das Spektrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ausgehend von einem symmetrischen Rechteckimpuls&nbsp; $r(t)$&nbsp; mit Amplitude&nbsp; $A$&nbsp; und Dauer&nbsp; $T$&nbsp; sowie dessen Spektrum&nbsp; $R(f) = A \cdot T \cdot \text{si}(\pi fT)$&nbsp; berechnet werden.&nbsp; Dies erreicht man durch zweimalige Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]].
-*In&nbsp; [[Aufgaben:3.5Z_Integration_von_Diracfunktionen|Aufgabe 3.5Z]]&nbsp; wird das gleiche Spektrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ausgehend von einem aus drei Diracfunktionen bestehenden Signal mit Hilfe des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integratationssatz|Integratationssatzes]]&nbsp; berechnet.
+*In&nbsp; [[Aufgaben:3.5Z_Integration_von_Diracfunktionen|Aufgabe 3.5Z]]&nbsp; wird das gleiche Spektrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ausgehend von einem aus drei Diracfunktionen bestehenden Signal mit Hilfe des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integratationssatzes]]&nbsp; berechnet.

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 + Die Nullstellen von&nbsp; $X(f)$&nbsp; bleiben auch in&nbsp; $Y(f)$&nbsp; erhalten.
 - Für große&nbsp;  $f$&ndash;Werte genügt&nbsp; $|Y(f)|$&nbsp; der gleichen Schranke wie&nbsp; $|X(f)|$.
-+ Für große&nbsp;  $f$&ndash;Werte ist&nbsp; $|Y(f)|$&nbsp; kleiner als das Betragsspektrum eines Rechteckimpulses der Dauer&nbsp; $T$.
++ Für große&nbsp;  $f$&ndash;Werte ist&nbsp; $|X(f)|$&nbsp; kleiner als das Betragsspektrum eines Rechteckimpulses der Dauer&nbsp; $T$.
 {Berechnen Sie&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ausgehend vom Rechteckimpuls durch Anwendung des Verschiebungssatzes.&nbsp; Welche Aussage ist hier zutreffend?

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
-*Alle dort dargelegten Gesetzmäßigkeiten – unter Anderem auch der&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]&nbsp; und der&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatz]]&nbsp; – werden im Lernvideo&nbsp; [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]&nbsp; an Beispielen verdeutlicht.
+*Alle dort dargelegten Gesetzmäßigkeiten – unter Anderem auch der&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]&nbsp; und der&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Differentiationssatz|Differentiationssatz]]&nbsp; – werden im Lernvideo&nbsp; [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]&nbsp; an Beispielen verdeutlicht.
 *In der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; soll das Spektrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ausgehend von einem symmetrischen Rechteckimpuls&nbsp; $r(t)$&nbsp; mit Amplitude&nbsp; $A$&nbsp; und Dauer&nbsp; $T$&nbsp; sowie dessen Spektrum&nbsp; $R(f) = A \cdot T \cdot \text{si}(\pi fT)$&nbsp; berechnet werden.&nbsp; Dies erreicht man durch zweimalige Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]].
-*In&nbsp; [[Aufgaben:3.5Z_Integration_von_Diracfunktionen|Aufgabe 3.5Z]]&nbsp; wird das gleiche Spektrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ausgehend von einem aus drei Diracfunktionen bestehenden Signal mit Hilfe des Integrationssatzes berechnet.
+*In&nbsp; [[Aufgaben:3.5Z_Integration_von_Diracfunktionen|Aufgabe 3.5Z]]&nbsp; wird das gleiche Spektrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ausgehend von einem aus drei Diracfunktionen bestehenden Signal mit Hilfe des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integratationssatz|Integratationssatzes]]&nbsp; berechnet.

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 + Die Nullstellen von&nbsp; $X(f)$&nbsp; bleiben auch in&nbsp; $Y(f)$&nbsp; erhalten.
 - Für große&nbsp;  $f$&ndash;Werte genügt&nbsp; $|Y(f)|$&nbsp; der gleichen Schranke wie&nbsp; $|X(f)|$.
-+ Für große&nbsp;  $f$&ndash;Werte ist&nbsp; $|Y(f)|$&nbsp; doppelt so groß als das Betragsspektrum eines Rechteckimpulses der Dauer&nbsp; $T$.
++ Für große&nbsp;  $f$&ndash;Werte ist&nbsp; $|Y(f)|$&nbsp; kleiner als das Betragsspektrum eines Rechteckimpulses der Dauer&nbsp; $T$.
 {Berechnen Sie&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ausgehend vom Rechteckimpuls durch Anwendung des Verschiebungssatzes.&nbsp; Welche Aussage ist hier zutreffend?
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 :$$Y( f ) = T \cdot {\rm{j}}\cdot 2{\rm{\pi }}f \cdot A \cdot T \cdot \frac{{\sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{( {{\rm{\pi }}fT} )^2 }} = {\rm{j}} \cdot 2 \cdot A\cdot T \cdot \frac{{\sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{{\rm{\pi }}fT}}.$$
-*Diese Funktion ist rein imaginär. Bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; verschwindet auch der Imaginärteil. Dies kann man zum Beispiel durch Anwendung der Regel von l'Hospital formal nachweisen &nbsp; &rArr; &nbsp; $Y( f = 0 ) \;\underline{= 0}$.
+*Diese Funktion ist rein imaginär.&nbsp; Bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; verschwindet auch der Imaginärteil.
 *Das Ergebnis folgt aber auch aus der Tatsache, dass der Spektralwert bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; gleich dem Integral über die Zeitfunktion&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist.
 *Bei der normierten Frequenz&nbsp; $f \cdot T = 0.5$&nbsp; $($also für&nbsp; $f = 1\,\text{ kHz})$&nbsp; ist die Sinusfunktion gleich&nbsp; $1$&nbsp; und man erhält&nbsp; $|Y(f = 1 \,\text{kHz})| = 4/\pi  \cdot A \cdot T$, also näherungsweise&nbsp; $|Y(f=1 \ \text{kHz})| \ \underline{=0.636 \,\text{ mV/Hz}}$&nbsp;  (positiv imaginär).
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 *Es ergibt sich folgerichtig das gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''.
-*Welcher Weg schneller zum Ergebnis führt, muss jeder selbst für sich entscheiden. Der Autor meint, dass der erste Weg etwas günstiger ist.
+*Welcher Weg schneller zum Ergebnis führt, muss jeder selbst für sich entscheiden.
-*<u>Subjektiv entscheiden wir uns für den Lösungsvorschlag 1</u>.
+* Der Autor meint, dass der erste Weg etwas günstiger ist.&nbsp; <u>Subjektiv entscheiden wir uns für den Lösungsvorschlag 1</u>.
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^3. Aperiodische Signale - Impulse^]]

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 }}
-[[Datei:P_ID514__Sig_A_3_5.png|250px|right|frame|Dreiecksignal und <br>differenziertes Dreiecksignal]]
+[[Datei:P_ID514__Sig_A_3_5.png|250px|right|frame|Dreiecksignal&nbsp; $x(t)$&nbsp; und <br>differenziertes Dreieck&nbsp; $y(t)$]]
 Gesucht wird das Spektrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; des Signals
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 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
 *Alle dort dargelegten Gesetzmäßigkeiten – unter Anderem auch der&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]&nbsp; und der&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatz]]&nbsp; – werden im Lernvideo&nbsp; [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]&nbsp; an Beispielen verdeutlicht.
-*In der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; soll das Spektrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ausgehend von einem symmetrischen Rechteckimpuls&nbsp; $r(t)$&nbsp; mit Amplitude&nbsp; $A$&nbsp; und Dauer&nbsp; $T$&nbsp; sowie dessen Spektrum&nbsp; $R(f) = A \cdot T \cdot \text{si}(\pi fT)$&nbsp; berechnet werden. Dies erreicht man durch zweimalige Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]].
+*In der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; soll das Spektrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ausgehend von einem symmetrischen Rechteckimpuls&nbsp; $r(t)$&nbsp; mit Amplitude&nbsp; $A$&nbsp; und Dauer&nbsp; $T$&nbsp; sowie dessen Spektrum&nbsp; $R(f) = A \cdot T \cdot \text{si}(\pi fT)$&nbsp; berechnet werden.&nbsp; Dies erreicht man durch zweimalige Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]].
-*In&nbsp; [[Aufgaben:3.5Z_Integration_von_Diracfunktionen|Aufgabe 3.5Z]]&nbsp; wird das Spektrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ausgehend von einem aus drei Diracfunktionen bestehenden Signal durch Anwendung des Integrationssatzes berechnet.
+*In&nbsp; [[Aufgaben:3.5Z_Integration_von_Diracfunktionen|Aufgabe 3.5Z]]&nbsp; wird das gleiche Spektrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ausgehend von einem aus drei Diracfunktionen bestehenden Signal mit Hilfe des Integrationssatzes berechnet.
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; $Y(f)$&nbsp; am Ausgang. Wie groß ist deren Betrag bei den Frequenzen&nbsp; $f = 0$&nbsp; bzw.&nbsp; $f = 1 \ \rm kHz$?
+{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; $Y(f)$&nbsp; am Ausgang.&nbsp; Wie groß ist deren Betrag bei den Frequenzen&nbsp; $f = 0$&nbsp; bzw.&nbsp; $f = 1 \ \rm kHz$?
 |type="{}"}
 $|Y(f=0)| \hspace{0.2cm} = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
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 |type="[]"}
 + Die Nullstellen von&nbsp; $X(f)$&nbsp; bleiben auch in&nbsp; $Y(f)$&nbsp; erhalten.
-- Für&nbsp; $f \rightarrow \infty$&nbsp; hat&nbsp; $Y(f)$&nbsp; den gleichen Verlauf wie&nbsp; $X(f)$.
+- Für $f \rightarrow \infty$&nbsp; hat&nbsp; $Y(f)$&nbsp; den gleichen Endwert wie&nbsp; $X(f)$.
-+ Für&nbsp; $f \rightarrow \infty$&nbsp; ist&nbsp; $Y(f)$&nbsp; doppelt so groß als das Spektrum eines Rechteckimpulses der Dauer&nbsp; $T$.
++ Für $f \rightarrow \infty$&nbsp; ist&nbsp; $Y(f)$&nbsp; doppelt so groß als das Spektrum eines Rechteckimpulses der Dauer&nbsp; $T$.
-{Berechnen Sie&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ausgehend vom Rechteckimpuls durch Anwendung des Verschiebungssatzes. Welche Aussage ist hier zutreffend?
+{Berechnen Sie&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ausgehend vom Rechteckimpuls durch Anwendung des Verschiebungssatzes.&nbsp; Welche Aussage ist hier zutreffend?
 |type="()"}
 + Der Differentiationssatz führt schneller zum Ergebnis.

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 :$$\frac{{{\rm d}x( t )}}{{{\rm d}t}}\circ\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\bullet\,{\rm{j}} 2{\rm{\pi }}f \cdot X( f ).$$
-Angewandt auf das vorliegende Beispiel erhält man:
+*Angewandt auf das vorliegende Beispiel erhält man:
-:$$Y( f ) = T \cdot {\rm{j}}2{\rm{\pi }}f \cdot A \cdot T \cdot \frac{{\sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{( {{\rm{\pi }}fT} )^2 }} = {\rm{j}} \cdot 2 \cdot A\cdot T \cdot \frac{{\sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{{\rm{\pi }}fT}}.$$
+:$$Y( f ) = T \cdot {\rm{j}}\cdot 2{\rm{\pi }}f \cdot A \cdot T \cdot \frac{{\sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{( {{\rm{\pi }}fT} )^2 }} = {\rm{j}} \cdot 2 \cdot A\cdot T \cdot \frac{{\sin ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} )}}{{{\rm{\pi }}fT}}.$$
-*Diese Funktion ist rein imaginär. Bei der Frequenz $f = 0$ verschwindet auch der Imaginärteil. Dies kann man z. B. durch Anwendung der Regel von l'Hospital formal nachweisen &nbsp; &rArr; &nbsp; $Y( f = 0 ) \;\underline{= 0}$.
+*Diese Funktion ist rein imaginär. Bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; verschwindet auch der Imaginärteil. Dies kann man zum Beispiel durch Anwendung der Regel von l'Hospital formal nachweisen &nbsp; &rArr; &nbsp; $Y( f = 0 ) \;\underline{= 0}$.
-*Das Ergebnis folgt aber auch aus der Tatsache, dass der Spektralwert bei $f = 0$ gleich dem Integral über die Zeitfunktion $y(t)$ ist.
+*Das Ergebnis folgt aber auch aus der Tatsache, dass der Spektralwert bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; gleich dem Integral über die Zeitfunktion&nbsp; $y(t)$&nbsp; ist.
-*Bei der normierten Frequenz $f \cdot T = 0.5$ (also für $f = 1\,\text{ kHz}$) ist die Sinusfunktion gleich $1$ und man erhält $|Y(f = 1 \,\text{kHz})| = 4/\pi  \cdot A \cdot T$, also näherungsweise $|Y(f=1 \ \text{kHz})| \ \underline{=0.636 \,\text{ mV/Hz}}$  (positiv imaginär).
+*Bei der normierten Frequenz&nbsp; $f \cdot T = 0.5$&nbsp; $($also für&nbsp; $f = 1\,\text{ kHz})$&nbsp; ist die Sinusfunktion gleich&nbsp; $1$&nbsp; und man erhält&nbsp; $|Y(f = 1 \,\text{kHz})| = 4/\pi  \cdot A \cdot T$, also näherungsweise&nbsp; $|Y(f=1 \ \text{kHz})| \ \underline{=0.636 \,\text{ mV/Hz}}$&nbsp;  (positiv imaginär).
-'''(2)'''&nbsp; Richtig sind  die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>.:
-*Die Nullstellen von $X(f)$ bleiben erhalten und es gibt eine weitere Nullstelle bei der Frequenz $f = 0$. Als asymptotischen Verlauf bezeichnet man die obere Schranke
+'''(2)'''&nbsp; Richtig sind  die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>:
 :$$\left| {Y_{\max }( f )} \right| = \frac{2A}{{{\rm{\pi }} \cdot |f|}} \ge \left| {Y( f )} \right|.$$
-*Für die Frequenzen, bei denen die Sinusfunktion die Werte $\pm 1$ liefert, sind $|Y_{\text{max}}(f)|$ und $|Y(f)|$ identisch.
+*Für die Frequenzen, bei denen die Sinusfunktion die Werte&nbsp; $\pm 1$&nbsp; liefert, sind&nbsp; $|Y_{\text{max}}(f)|$&nbsp; und&nbsp; $|Y(f)|$&nbsp; identisch.
-*Beim Rechteckimpuls der Amplitude $A$ lautet die entsprechende Schranke $A/(\pi \cdot |f|)$.
+*Beim Rechteckimpuls der Amplitude&nbsp; $A$&nbsp; lautet die entsprechende Schranke&nbsp; $A/(\pi \cdot |f|)$.
-*Dagegen fällt das Spektrum $X(f)$ des Dreieckimpulses asymptotisch schneller ab:
+*Dagegen fällt das Spektrum&nbsp; $X(f)$&nbsp; des Dreieckimpulses asymptotisch schneller ab:
 :$$\left| {X_{\max }( f )} \right| = \frac{A}{{{\rm{\pi }}^{\rm{2}} f^2 T}} \ge \left| {X( f )} \right|.$$
-*Dies ist darauf zurückzuführen, dass $x(t)$ keine Unstetigkeitsstellen aufweist.
+*Dies ist darauf zurückzuführen, dass&nbsp; $x(t)$&nbsp; keine Unstetigkeitsstellen aufweist.
 '''(3)'''&nbsp; Ausgehend von einem symmetrischen Rechteckimpuls $r(t)$ mit Amplitude $A$ und Dauer $T$ kann das Signal $y(t)$ auch wie folgt dargestellt werden:
 :$$y(t) = r( {t + T/2} ) - r( {t - T/2} ).$$
-Durch zweimalige Anwendung des Verschiebungssatzes erhält man:
+*Durch zweimalige Anwendung des Verschiebungssatzes erhält man:
 :$$Y( f ) = R( f ) \cdot {\rm{e}}^{{\rm{j\pi }}fT}  - R( f ) \cdot {\rm{e}}^{ - {\rm{j\pi }}fT} .$$
-Mit der Beziehung $\text{e}^{\text{j}x} – \text{e}^{–\text{j}x} = 2\text{j} \cdot \text{sin}(x)$ kann hierfür auch geschrieben werden:
+*Mit der Beziehung&nbsp; $\text{e}^{\text{j}x} – \text{e}^{–\text{j}x} = 2\text{j} \cdot \text{sin}(x)$&nbsp; kann hierfür auch geschrieben werden:
 :$$Y( f ) = 2{\rm{j}} \cdot A \cdot T \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm{\pi }}fT} ) \cdot \sin ( {{\rm{\pi }}fT} ).$$
-Es ergibt sich folgerichtig das gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe (1).
+*Es ergibt sich folgerichtig das gleiche Ergebnis wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''.
-Der Autor meint, dass der erste Weg etwas günstiger ist. <u>Subjektiv entscheiden wir uns für den Lösungsvorschlag 1</u>.
+*Welcher Weg schneller zum Ergebnis führt, muss jeder selbst für sich entscheiden. Der Autor meint, dass der erste Weg etwas günstiger ist.
 {{ML-Fuß}}
 __NOEDITSECTION__
 [[Category:Aufgaben zu Signaldarstellung|^3. Aperiodische Signale - Impulse^]]

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID514__Sig_A_3_5.png|250px|right|frame|Dreiecksignal und differenziertes Dreiecksignal]]
+[[Datei:P_ID514__Sig_A_3_5.png|250px|right|frame|Dreiecksignal und <br>differenziertes Dreiecksignal]]
-Gesucht wird das Spektrum $Y(f)$ des Signals
+Gesucht wird das Spektrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; des Signals
 :$$y\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{c} A \\   - A \\  0 \\  \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{20}c}   {{\rm{f \ddot{u}r}}}  \\   {{\rm{f\ddot{u} r}}}  \\   {{\rm{f\ddot{u}r}}}  \\ \end{array}\;\begin{array}{*{20}c}   { - T \le t < 0,}  \\   {0 < t \le T,}  \\   {{\rm{sonst}}{\rm{.}}}  \\\end{array}$$
-Dabei gelte $A = 1\,{\rm V}$  und $T = 0.5\,{\rm ms}$.
+Dabei gelte&nbsp; $A = 1\,{\rm V}$&nbsp;  und&nbsp; $T = 0.5\,{\rm ms}$.
-Als bekannt vorausgesetzt wird die Fouriertransformierte des oben skizzierten Dreieckimpulses $x(t)$, nämlich
+Als bekannt vorausgesetzt wird die Fouriertransformierte des oben skizzierten Dreieckimpulses&nbsp; $x(t)$, nämlich
 :$$X( f ) = A \cdot T \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {{\rm{\pi }}fT} ),$$
-wobei wiederum $\text{si}(x) = \text{sin}(x)/x$ gilt.
+wobei&nbsp; $\text{si}(x) = \text{sin}(x)/x$&nbsp; gilt.
-Ein Vergleich der beiden Zeitsignale zeigt, dass zwischen den Funktionen $x(t)$ und $y(t)$ folgender Zusammenhang besteht:
+Ein Vergleich der beiden Zeitsignale zeigt, dass zwischen den Funktionen&nbsp; $x(t)$&nbsp; und&nbsp; $y(t)$&nbsp; folgender Zusammenhang besteht:
 :$$y(t) = T \cdot \frac{{{\rm d}x(t)}}{{{\rm d}t}}.$$
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
-*Alle dort dargelegten Gesetzmäßigkeiten – unter Anderem auch der [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]] und der [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatz]] – werden im Lernvideo [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]] an Beispielen verdeutlicht.
+*Alle dort dargelegten Gesetzmäßigkeiten – unter Anderem auch der&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatz]]&nbsp; und der&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Integrationssatz|Integrationssatz]]&nbsp; – werden im Lernvideo&nbsp; [[Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation_(Lernvideo)|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]]&nbsp; an Beispielen verdeutlicht.
-*In der Teilaufgabe (3) soll das Spektrum $Y(f)$ ausgehend von einem symmetrischen Rechteckimpuls $r(t)$ mit Amplitude $A$ und Dauer $T$ sowie dessen Spektrum $R(f) = A \cdot T \cdot \text{si}(\pi fT)$ berechnet werden. Dies erreicht man durch zweimalige Anwendung des [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]].
+*In der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; soll das Spektrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ausgehend von einem symmetrischen Rechteckimpuls&nbsp; $r(t)$&nbsp; mit Amplitude&nbsp; $A$&nbsp; und Dauer&nbsp; $T$&nbsp; sowie dessen Spektrum&nbsp; $R(f) = A \cdot T \cdot \text{si}(\pi fT)$&nbsp; berechnet werden. Dies erreicht man durch zweimalige Anwendung des&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Verschiebungssatz|Verschiebungssatzes]].
-*In der [[Aufgaben:3.5Z_Integration_von_Diracfunktionen|Aufgabe 3.5Z]] wird das gleiche Spektrum $Y(f)$ ausgehend von einem aus drei Diracfunktionen bestehenden Signal durch Anwendung des Integrationssatzes berechnet.
+*In&nbsp; [[Aufgaben:3.5Z_Integration_von_Diracfunktionen|Aufgabe 3.5Z]]&nbsp; wird das Spektrum&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ausgehend von einem aus drei Diracfunktionen bestehenden Signal durch Anwendung des Integrationssatzes berechnet.
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 <quiz display=simple>
-{Berechnen Sie die Spektralfunktion $Y(f)$ am Ausgang. Wie groß ist deren Betrag bei den Frequenzen $f = 0$ bzw. $f = 1 \ \rm kHz$?
+{Berechnen Sie die Spektralfunktion&nbsp; $Y(f)$&nbsp; am Ausgang. Wie groß ist deren Betrag bei den Frequenzen&nbsp; $f = 0$&nbsp; bzw.&nbsp; $f = 1 \ \rm kHz$?
 |type="{}"}
 $|Y(f=0)| \hspace{0.2cm} = \ $ { 0. } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
 $|Y(f=1 \ \text{kHz})| \ = \ $ { 0.636 3% } &nbsp;$\text{mV/Hz}$
-{Welche Aussagen sind hinsichtlich des Spektrums $Y(f)$ zutreffend?
+{Welche Aussagen sind hinsichtlich des Spektrums&nbsp; $Y(f)$&nbsp; zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Die Nullstellen von $X(f)$ bleiben auch in $Y(f)$ erhalten.
++ Die Nullstellen von&nbsp; $X(f)$&nbsp; bleiben auch in&nbsp; $Y(f)$&nbsp; erhalten.
-- Für $f \rightarrow \infty$ hat $Y(f)$ den gleichen Verlauf wie $X(f)$.
+- Für&nbsp; $f \rightarrow \infty$&nbsp; hat&nbsp; $Y(f)$&nbsp; den gleichen Verlauf wie&nbsp; $X(f)$.
-+ Für $f \rightarrow \infty$ ist $Y(f)$ doppelt so groß als das Spektrum eines Rechteckimpulses der Dauer $T$.
++ Für&nbsp; $f \rightarrow \infty$&nbsp; ist&nbsp; $Y(f)$&nbsp; doppelt so groß als das Spektrum eines Rechteckimpulses der Dauer&nbsp; $T$.
-{Berechnen Sie $Y(f)$ ausgehend vom Rechteckimpuls durch Anwendung des Verschiebungssatzes. Welche Aussage ist hier zutreffend?
+{Berechnen Sie&nbsp; $Y(f)$&nbsp; ausgehend vom Rechteckimpuls durch Anwendung des Verschiebungssatzes. Welche Aussage ist hier zutreffend?
 |type="()"}
 + Der Differentiationssatz führt schneller zum Ergebnis.