Aufgaben:Aufgabe 3.4Z: Verschiedene Allpässe - Versionsgeschichte

Guenter am 15. Oktober 2021 um 15:08 Uhr

2021-10-15T15:08:02Z

Guenter am 14. Oktober 2021 um 15:53 Uhr

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Guenter am 14. Oktober 2021 um 15:45 Uhr

2021-10-14T15:45:31Z

Guenter am 9. September 2021 um 16:47 Uhr

2021-09-09T16:47:16Z

Guenter am 31. Oktober 2019 um 16:29 Uhr

2019-10-31T16:29:34Z

Guenter am 31. Oktober 2019 um 16:19 Uhr

2019-10-31T16:19:08Z

Guenter am 26. November 2018 um 16:59 Uhr

2018-11-26T16:59:24Z

Guenter am 26. November 2018 um 16:48 Uhr

2018-11-26T16:48:56Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:52Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 16. März 2018 um 17:29 Uhr

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-[[Datei:P_ID1766__LZI_Z_3_4.png|right|frame|Allpass in zwei Darstellungen <br>$Z_{\rm I}$:&nbsp; Innenwiderstand der Quelle <br>$Z_{\rm A}$:&nbsp; Abschlusswiderstand]]
+[[Datei:P_ID1766__LZI_Z_3_4.png|right|frame|Allpass in zwei Darstellungen <br> &nbsp; &nbsp; $Z_{\rm I}$:&nbsp; Innenwiderstand der Quelle <br> &nbsp; &nbsp; $Z_{\rm A}$:&nbsp; Abschlusswiderstand]]
 Wir gehen zunächst von einem Vierpol mit der folgenden Übertragungsfunktion aus:
 :$$H_{\rm L}(p)=  \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}.$$
 Ermittelt werden soll aus dieser der herkömmliche Fourier&ndash;Frequenzgang
 :$$H(f) =  {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)},$$
-darstellbar durch die Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$&nbsp; und die Phasenfunktion &nbsp;$b(f)$.
+darstellbar durch

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+'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die&nbsp; <u>Aussagen 2 und 3</u>:
 *Setzt man &nbsp;$p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man:
 :$$H(f)=  \frac {1-{\rm j \cdot 2\pi \it
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 \Rightarrow \hspace{0.3cm} a(f)= -{\rm ln} \hspace{0.1cm} |H(f)|= 0\hspace{0.2cm}({\rm  Np \hspace{0.2cm}oder \hspace{0.2cm}dB})\hspace{0.05cm} .$$
 *Aber auch die &nbsp;$\text{Aussage 3}$&nbsp; ist richtig, wie aus der Theorieseite &bdquo;Grafische Ermittlung der Dämpfung&rdquo; zu ersehen ist.
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   .$$
 *Zu den gleichen Ergebnissen kommt man nach der Vorgehensweise nach der Seite &bdquo;Grafische Ermittlung der Phase&rdquo;  im Theorieteil.
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-Daraus folgt, dass nur die <u>Aussage 1</u> richtig ist:
+Daraus folgt, dass nur die&nbsp; <u>Aussage 1</u>&nbsp; richtig ist:
 *Der Dämpfungsverlauf ist &nbsp;$a(f) = 0\ \rm  (Np)$.&nbsp; Keine Frequenz wird gedämpft oder verstärkt.&nbsp; Man spricht deshalb auch von einem &bdquo;Allpass&rdquo;.
 *Die zweite Aussage ist falsch.&nbsp; Der Phasenverlauf &nbsp;$b(f)$&nbsp; ist nicht linear, sondern vielmehr gekrümmt, wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(3)'''&nbsp; berechnet.
-*Die Hilbert&ndash;Transformierte der Konstanten &nbsp;$a(f) = 0$&nbsp; müsste zur Phasenfunktion &nbsp;$b(f) = 0$&nbsp;  führen, wie im Theorieteil gezeigt.&nbsp; Das heißt:&nbsp; die Aussage 3 ist falsch.
+*Die Hilbert&ndash;Transformierte der Konstanten &nbsp;$a(f) = 0$&nbsp; müsste zur Phasenfunktion &nbsp;$b(f) = 0$&nbsp;  führen,&nbsp; wie im Theorieteil gezeigt.&nbsp; Das heißt:&nbsp; die Aussage 3 ist falsch.
 *Nur bei minimalphasigen Systemen hängen die Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$&nbsp; und Phasenfunktion &nbsp;$b(f)$&nbsp; über die Hilbert&ndash;Transformation zusammen.
-*Bei einem solchen Minimum&ndash;Phasen&ndash;System liegen aber alle Pole und Nullstellen in der linken $p$&ndash;Halbebene, was hier nicht zutrifft &nbsp; &#8658; &nbsp; ein Allpass ist kein Minimum&ndash;Phasen&ndash;System.
+*Bei einem solchen Minimum&ndash;Phasen&ndash;System liegen aber alle Pole und Nullstellen in der linken $p$&ndash;Halbebene, was hier nicht zutrifft &nbsp; <br>&#8658; &nbsp; ein Allpass ist kein Minimum&ndash;Phasen&ndash;System.
 '''(5)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:
 *Wie bereits in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; festgestellt wurde, ergibt sich immer dann eine konstante Dämpfung, wenn es zu jedem Pol in der linken $p$&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle in der rechten Halbebene gibt &nbsp; &#8658; &nbsp; die Schaltung&nbsp; $\rm B$&nbsp; zeigt ebenfalls Allpass&ndash;Charakteristik.
-*Da &nbsp;$b(f)$&nbsp; stets eine unsymmetrische Funktion ist, gilt &nbsp;$b(f= 0) = 0$&nbsp; ganz allgemein.
+*Da &nbsp;$b(f)$&nbsp; stets eine unsymmetrische Funktion ist,&nbsp; gilt &nbsp;$b(f= 0) = 0$&nbsp; ganz allgemein.
-* Das heißt für jede Spektralfunktion &nbsp;$H(f)$, deren Fourier&ndash;Rücktransformierte&nbsp; (&bdquo;Impulsantwort&rdquo;) &nbsp;reell ist.
+* Das heißt:&nbsp; Für jede Spektralfunktion &nbsp;$H(f)$,&nbsp; deren Fourier&ndash;Rücktransformierte&nbsp; (&bdquo;Impulsantwort&rdquo;) &nbsp;reell ist.
 {{ML-Fuß}}

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-[[Datei:P_ID1766__LZI_Z_3_4.png|right|frame|Allpass in zwei verschiedene Varianten]]
+[[Datei:P_ID1766__LZI_Z_3_4.png|right|frame|Allpass in zwei Darstellungen <br>$Z_{\rm I}$:&nbsp; Innenwiderstand der Quelle <br>$Z_{\rm A}$:&nbsp; Abschlusswiderstand]]
 Wir gehen zunächst von einem Vierpol mit der folgenden Übertragungsfunktion aus:
 :$$H_{\rm L}(p)=  \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}.$$
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-Die obere Grafik zeigt eine so genannte Allpass&ndash;Schaltung, wobei der komplexe Widerstand &nbsp;$Z_1$&nbsp; eine Induktivität und der komplexe Widerstand &nbsp;$Z_2$&nbsp;  eine Kapazität bezeichnet:
+Die obere Grafik zeigt eine so genannte&nbsp; '''Allpass'''&ndash;Schaltung,&nbsp; wobei der komplexe Widerstand &nbsp;$Z_1$&nbsp; eine Induktivität und der komplexe Widerstand &nbsp;$Z_2$&nbsp;  eine Kapazität bezeichnet:
 :$$Z_1 = p \cdot L\hspace{0.05cm},\hspace{0.2cm}Z_2 = \frac{1}{p \cdot C}\hspace{0.05cm}.$$
 Bei reflexionsfreier Anpassung am Eingang und Ausgang mit
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 Die Schaltung &nbsp;$\rm B$&nbsp; ist durch die &nbsp;$p$&ndash;Übertragungsfunktion festgelegt.&nbsp; Sie ist dadurch charakterisiert, dass
-*alle Pole (in der linken&nbsp; $p$&ndash;Halbebene)
+*alle Pole&nbsp; (in der linken&nbsp; $p$&ndash;Halbebene)&nbsp; spiegelbildlich
-*spiegelbildlich zu den Nullstellen (in der rechten Halbebene) liegen.
+* zu den Nullstellen&nbsp; (in der rechten Halbebene)&nbsp; liegen.
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 Hinweis:
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].

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−	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.2 Laplace–Transformation ~~und p–Übertragungsfunktion~~^]]	+	[[Category:Aufgaben zu Lineare zeitinvariante Systeme\|^3.2 Laplace–Transformation^]]

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-'''(2)'''&nbsp; Richtig ist sind die <u>Aussagen 2 und 3</u>:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Aussagen 2 und 3</u>:
 *Setzt man &nbsp;$p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man:
 :$$H(f)=  \frac {1-{\rm j \cdot 2\pi \it
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   \hspace{0.1cm}(\infty) = 2 \cdot 90^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 180^\circ}\hspace{0.05cm}
   .$$
-Zu den gleichen Ergebnissen kommt man nach der Vorgehensweise nach der Seite &bdquo;Grafische Ermittlung der Phase&rdquo;  im Theorieteil.
+*Zu den gleichen Ergebnissen kommt man nach der Vorgehensweise nach der Seite &bdquo;Grafische Ermittlung der Phase&rdquo;  im Theorieteil.
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 \Rightarrow \hspace{0.3cm}A = \sqrt{{1}/(LC)}: \hspace{0.2cm}H_{\rm L}(p)= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.05cm}.$$
-Es ergibt sich die gleiche Übertragungsfunktion, wie in der Teilaufgabe '''(1)''' berechnet. Daraus folgt, dass nur die <u>Aussage 1</u> richtig ist:
+*Es ergibt sich die gleiche Übertragungsfunktion, wie in der Teilaufgabe&nbsp; '''(1)'''&nbsp; berechnet.
 *Der Dämpfungsverlauf ist &nbsp;$a(f) = 0\ \rm  (Np)$. Keine Frequenz wird gedämpft oder verstärkt. Man spricht deshalb auch von einem &bdquo;Allpass&rdquo;.
 *Die zweite Aussage ist falsch. Der Phasenverlauf &nbsp;$b(f)$&nbsp; ist nicht linear, sondern vielmehr gekrümmt, wie in der Teilaufgabe '''(3)''' berechnet.
-*Die Hilbert&ndash;Transformierte der Konstanten &nbsp;$a(f) = 0$&nbsp; müsste zur Phasenfunktion &nbsp;$b(f) = 0$&nbsp;  führen, wie im Theorieteil gezeigt. Das heißt, dass die Aussage 3 falsch ist.
+Daraus folgt, dass nur die <u>Aussage 1</u> richtig ist:
 *Nur bei minimalphasigen Systemen hängen die Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$&nbsp; und Phasenfunktion &nbsp;$b(f)$&nbsp; über die Hilbert&ndash;Transformation zusammen.
 *Bei einem solchen Minimum&ndash;Phasen&ndash;System liegen aber alle Pole und Nullstellen in der linken $p$&ndash;Halbebene, was hier nicht zutrifft &nbsp; &#8658; &nbsp; ein Allpass ist kein Minimum&ndash;Phasen&ndash;System.
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 '''(5)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:
-*Wie bereits in der Teilaufgabe '''(2)''' festgestellt wurde, ergibt sich immer dann eine konstante Dämpfung, wenn es zu jedem Pol in der linken $p$&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle in der rechten Halbebene gibt &nbsp; &#8658; &nbsp; die Schaltung $\rm B$ zeigt ebenfalls Allpass&ndash;Charakteristik.
+*Wie bereits in der Teilaufgabe&nbsp; '''(2)'''&nbsp; festgestellt wurde, ergibt sich immer dann eine konstante Dämpfung, wenn es zu jedem Pol in der linken $p$&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle in der rechten Halbebene gibt &nbsp; &#8658; &nbsp; die Schaltung&nbsp; $\rm B$&nbsp; zeigt ebenfalls Allpass&ndash;Charakteristik.
 *Da &nbsp;$b(f)$&nbsp; stets eine unsymmetrische Funktion ist, gilt &nbsp;$b(f= 0) = 0$&nbsp; ganz allgemein.
-* Das heißt für jede Spektralfunktion &nbsp;$H(f)$, deren Fourier&ndash;Rücktransformierte reell ist.
+* Das heißt für jede Spektralfunktion &nbsp;$H(f)$, deren Fourier&ndash;Rücktransformierte&nbsp; (&bdquo;Impulsantwort&rdquo;) &nbsp;reell ist.
 {{ML-Fuß}}

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-[[Datei:P_ID1766__LZI_Z_3_4.png|right|frame|Allpass, zwei verschiedene Varianten]]
+[[Datei:P_ID1766__LZI_Z_3_4.png|right|frame|Allpass in zwei verschiedene Varianten]]
 Wir gehen zunächst von einem Vierpol mit der folgenden Übertragungsfunktion aus:
 :$$H_{\rm L}(p)=  \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}.$$
@@ Zeile 9: / Zeile 9: @@
 :$$H(f) =  {\rm e}^{-a(f)\hspace{0.05cm}}\cdot {\rm e}^{- \hspace{0.05cm}{\rm j} \hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}b(f)},$$
 darstellbar durch die Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$&nbsp; und die Phasenfunktion &nbsp;$b(f)$.
 Die obere Grafik zeigt eine so genannte Allpass&ndash;Schaltung, wobei der komplexe Widerstand &nbsp;$Z_1$&nbsp; eine Induktivität und der komplexe Widerstand &nbsp;$Z_2$&nbsp;  eine Kapazität bezeichnet:
@@ Zeile 14: / Zeile 15: @@
 Bei reflexionsfreier Anpassung am Eingang und Ausgang mit
 :$$Z_{\rm I}=Z_{\rm A} = \sqrt{Z_1 \cdot Z_2} = \sqrt{{L}/{C}}$$
-gilt für die $p$&ndash;Übertragungsfunktion der Schaltung $\rm A$ (siehe obere Grafik):
+gilt für die&nbsp; $p$&ndash;Übertragungsfunktion der Schaltung&nbsp; $\rm A$&nbsp; (siehe obere Grafik):
 :$$H_{\rm L}(p)=  \frac {Y_{\rm L}(p)} {X_{\rm L}(p)}=  \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}\hspace{0.05cm}.$$
-Die Schaltung &nbsp;$\rm B$&nbsp; ist durch die &nbsp;$p$&ndash;Übertragungsfunktion festgelegt. Sie ist dadurch charakterisiert, dass
+Die Schaltung &nbsp;$\rm B$&nbsp; ist durch die &nbsp;$p$&ndash;Übertragungsfunktion festgelegt.&nbsp; Sie ist dadurch charakterisiert, dass
-*alle Pole (in der linken $p$&ndash;Halbebene)
+*alle Pole (in der linken&nbsp; $p$&ndash;Halbebene)
 *spiegelbildlich zu den Nullstellen (in der rechten Halbebene) liegen.
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-''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].
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 <quiz display=simple>
-{Geben Sie die Nullstelle &nbsp;$p_{\rm o}$&nbsp; und den Pol &nbsp;$p_{\rm x}$&nbsp; von &nbsp;$H_{\rm L}(p)=  (1 -p/A)/(1 +p/A)$&nbsp; an. <br>Wie groß ist der konstante Faktor $K$?
+{Geben Sie die Nullstelle &nbsp;$p_{\rm o}$&nbsp; und den Pol &nbsp;$p_{\rm x}$&nbsp; von &nbsp;$H_{\rm L}(p)=  (1 -p/A)/(1 +p/A)$&nbsp; an. &nbsp;Wie groß ist der konstante Faktor&nbsp; $K$?
 |type="{}"}
 $K \ = \ $   { -1.03--0.97 }
@@ Zeile 41: / Zeile 45: @@
-{Berechnen Sie die Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$. Welche Aussagen treffen zu?
+{Berechnen Sie die Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$.&nbsp; Welche Aussagen treffen zu?
 |type="[]"}
 - Die Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$&nbsp; zeigt Tiefpassverhalten.
@@ Zeile 48: / Zeile 52: @@
-{Berechnen Sie den Phasenverlauf &nbsp;$b(f)$. Welche Phasenwerte ergeben sich für die angegebenen Frequenzen?
+{Berechnen Sie den Phasenverlauf &nbsp;$b(f)$.&nbsp; Welche Phasenwerte ergeben sich für die angegebenen Frequenzen?
 |type="{}"}
 $b(f = A/2 \pi) \ = \ $  { 90 3% } $\ \rm Grad$
@@ Zeile 55: / Zeile 59: @@
-{Berechnen Sie die &nbsp;$p$&ndash;Übertragungsfunktion von Schaltung &nbsp;$\rm A$. Welche Aussagen lassen sich daraus ableiten?
+{Berechnen Sie die &nbsp;$p$&ndash;Übertragungsfunktion von Schaltung &nbsp;$\rm A$.&nbsp; Welche Aussagen lassen sich daraus ableiten?
 |type="[]"}
-+ Die Dämpfung &nbsp;$a(f)$&nbsp; ist konstant gleich $0 \ \rm (Np)$.
++ Die Dämpfung &nbsp;$a(f)$&nbsp; ist konstant gleich&nbsp; $0 \ \rm (Np)$.
 - Die Phase &nbsp;$b(f)$&nbsp; steigt linear mit der Frequenz &nbsp;$f$&nbsp; an.
 - $b(f)$&nbsp; ist die Hilbert&ndash;Transformierte von &nbsp;$a(f)$.
-{Welche Aussagen können aus dem Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Diagramm von Schaltung &nbsp;$\rm B$ abgeleitet werden?
+{Welche Aussagen können aus dem Pol&ndash;Nullstellen&ndash;Diagramm von Schaltung &nbsp;$\rm B$&nbsp; abgeleitet werden?
 |type="[]"}
 + Die Dämpfung &nbsp;$a(f)$&nbsp; ist konstant.

@@ Zeile 55: / Zeile 55: @@
-{Berechnen Sie die &nbsp;$p$&ndash;Übertragungsfunktion von Schaltung &nbsp;$\rm A$. <br>Welche Aussagen lassen sich daraus ableiten?
+{Berechnen Sie die &nbsp;$p$&ndash;Übertragungsfunktion von Schaltung &nbsp;$\rm A$. Welche Aussagen lassen sich daraus ableiten?
 |type="[]"}
 + Die Dämpfung &nbsp;$a(f)$&nbsp; ist konstant gleich $0 \ \rm (Np)$.
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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Durch Umformung der angegebenen $p$&ndash;Übertragungsfunktion ergibt sich
+'''(1)'''&nbsp; Durch Umformung der angegebenen &nbsp;$p$&ndash;Übertragungsfunktion ergibt sich
 :$$H_{\rm L}(p)=  \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm} \underline{K =- 1}, \hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{p_{\rm  o}/A = 1} ,\hspace{0,2cm}
 \hspace{0.15cm} \underline{ p_{\rm  x}/A = -1} \hspace{0.05cm} .$$
 '''(2)'''&nbsp; Richtig ist sind die <u>Aussagen 2 und 3</u>:
-*Setzt man $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man:
+*Setzt man &nbsp;$p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man:
 :$$H(f)=  \frac {1-{\rm j \cdot 2\pi \it
   f}/A} {1+{\rm j \cdot 2\pi \it
@@ Zeile 90: / Zeile 91: @@
   f/A)^2}}= 1\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm} a(f)= -{\rm ln} \hspace{0.1cm} |H(f)|= 0\hspace{0.2cm}({\rm  Np \hspace{0.2cm}oder \hspace{0.2cm}dB})\hspace{0.05cm} .$$
-*Aber auch die <u>Aussage 3</u> ist richtig, wie aus der Theorieseite &bdquo;Grafische Ermittlung der Dämpfung&rdquo; zu ersehen ist.
+*Aber auch die &nbsp;$\text{Aussage 3}$&nbsp; ist richtig, wie aus der Theorieseite &bdquo;Grafische Ermittlung der Dämpfung&rdquo; zu ersehen ist.
-'''(3)'''&nbsp; Die Phasenfunktion $b(f)$ kann wie folgt berechnet werden:
+'''(3)'''&nbsp; Die Phasenfunktion &nbsp;$b(f)$&nbsp; kann wie folgt berechnet werden:
 :$$b(f)= -{\rm arc} \hspace{0.1cm} H(f) \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi
   f}/{A}) - {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({-2\pi
@@ Zeile 106: / Zeile 109: @@
   \hspace{0.1cm}(\infty) = 2 \cdot 90^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 180^\circ}\hspace{0.05cm}
   .$$
-Zu den gleichen Ergebnissen kommt man nach der Vorgehensweise entsprechend der Seite &bdquo;Grafische Ermittlung der Phase&rdquo;  im Theorieteil.
+Zu den gleichen Ergebnissen kommt man nach der Vorgehensweise nach der Seite &bdquo;Grafische Ermittlung der Phase&rdquo;  im Theorieteil.
 '''(4)'''&nbsp; Richtig ist nur die <u>Aussage 1</u>:
-*Die angegebene $p$&ndash;Übertragungsfunktion lässt sich wie folgt darstellen:
+*Die angegebene &nbsp;$p$&ndash;Übertragungsfunktion lässt sich wie folgt darstellen:
 :$$H_{\rm L}(p)=  \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}=
   \frac {(\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1})(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})} {(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})^2}=
   \frac {\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1}} {\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1}}\hspace{0.05cm}.$$
-*Mit $Z_1 = p \cdot L$ und $Z_2 = 1/(p \cdot C)$ erhält man weiter:
+*Mit &nbsp;$Z_1 = p \cdot L$&nbsp; und &nbsp;$Z_2 = 1/(p \cdot C)$&nbsp; erhält man weiter:
 :$$H_{\rm L}(p)= \frac {\sqrt{{1}/(pC)}-\sqrt{pL}} {\sqrt{{1}/(pC)}+\sqrt{pL}}
   = \frac {1- p \cdot \sqrt{LC}} {1+ p \cdot \sqrt{LC}}
@@ Zeile 120: / Zeile 124: @@
 \Rightarrow \hspace{0.3cm}A = \sqrt{{1}/(LC)}: \hspace{0.2cm}H_{\rm L}(p)= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.05cm}.$$
-Es ergibt sich die genau gleiche Übertragungsfunktion, wie in der Teilaufgabe (1) berechnet. Daraus folgt, dass nur die <u>Aussage 1</u> richtig ist:
+Es ergibt sich die gleiche Übertragungsfunktion, wie in der Teilaufgabe '''(1)''' berechnet. Daraus folgt, dass nur die <u>Aussage 1</u> richtig ist:
-*Der Dämpfungsverlauf ist $a(f) = 0\ \rm  (Np)$. Keine Frequenz wird gedämpft oder verstärkt. Man spricht deshalb auch von einem &bdquo;Allpass&rdquo;.
+*Der Dämpfungsverlauf ist &nbsp;$a(f) = 0\ \rm  (Np)$. Keine Frequenz wird gedämpft oder verstärkt. Man spricht deshalb auch von einem &bdquo;Allpass&rdquo;.
-*Die zweite Aussage ist falsch. Der Phasenverlauf $b(f)$ ist nicht linear, sondern vielmehr wie in der Teilaufgabe (3) berechnet.
+*Die zweite Aussage ist falsch. Der Phasenverlauf &nbsp;$b(f)$&nbsp; ist nicht linear, sondern vielmehr gekrümmt, wie in der Teilaufgabe '''(3)''' berechnet.
-*Die Hilbert&ndash;Transformierte der Konstanten $a(f) = 0$ müsste zur Phasenfunktion $b(f) = 0$  führen, wie im Theorieteil gezeigt. Das heißt, dass die Aussage 3 falsch ist.
+*Die Hilbert&ndash;Transformierte der Konstanten &nbsp;$a(f) = 0$&nbsp; müsste zur Phasenfunktion &nbsp;$b(f) = 0$&nbsp;  führen, wie im Theorieteil gezeigt. Das heißt, dass die Aussage 3 falsch ist.
-*Nur bei minimalphasigen Systemen hängen die Dämpfungsfunktion $a(f)$ und Phasenfunktion $b(f)$ über die Hilbert&ndash;Transformation zusammen.
+*Nur bei minimalphasigen Systemen hängen die Dämpfungsfunktion &nbsp;$a(f)$&nbsp; und Phasenfunktion &nbsp;$b(f)$&nbsp; über die Hilbert&ndash;Transformation zusammen.
 *Bei einem solchen Minimum&ndash;Phasen&ndash;System liegen aber alle Pole und Nullstellen in der linken $p$&ndash;Halbebene, was hier nicht zutrifft &nbsp; &#8658; &nbsp; ein Allpass ist kein Minimum&ndash;Phasen&ndash;System.
@@ Zeile 130: / Zeile 134: @@
 '''(5)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:
-*Wie bereits in der Teilaufgabe (2) festgestellt wurde, ergibt sich immer dann eine konstante Dämpfung, wenn es zu jedem Pol in der linken $p$&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle in der rechten Halbebene gibt &nbsp; &#8658; &nbsp; die Schaltung $\rm B$ zeigt ebenfalls Allpass&ndash;Charakteristik.
+*Wie bereits in der Teilaufgabe '''(2)''' festgestellt wurde, ergibt sich immer dann eine konstante Dämpfung, wenn es zu jedem Pol in der linken $p$&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle in der rechten Halbebene gibt &nbsp; &#8658; &nbsp; die Schaltung $\rm B$ zeigt ebenfalls Allpass&ndash;Charakteristik.
-*Da $b(f)$ stets eine unsymmetrische Funktion ist, gilt $b(f= 0) = 0$ ganz allgemein, das heißt für jede Spektralfunktion $H(f)$, deren Fourier&ndash;Rücktransformierte reell ist.
+*Da &nbsp;$b(f)$&nbsp; stets eine unsymmetrische Funktion ist, gilt &nbsp;$b(f= 0) = 0$&nbsp; ganz allgemein.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 28: / Zeile 28: @@
 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum Kapitel   [[Lineare_zeitinvariante_Systeme/Laplace–Transformation_und_p–Übertragungsfunktion|Laplace–Transformation und p–Übertragungsfunktion]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

@@ Zeile 73: / Zeile 73: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Durch Umformung der angegebenen <i>p</i>&ndash;Übertragungsfunktion ergibt sich
+'''(1)'''&nbsp; Durch Umformung der angegebenen $p$&ndash;Übertragungsfunktion ergibt sich
-$$H_{\rm L}(p)=  \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm} \underline{K =- 1}, \hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{p_{\rm  o}/A = 1} ,\hspace{0,2cm}
+:$$H_{\rm L}(p)=  \frac {1-{p}/{A}} {1+{p}/{A}}= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}\hspace{0.15cm} \underline{K =- 1}, \hspace{0,2cm} \hspace{0.15cm} \underline{p_{\rm  o}/A = 1} ,\hspace{0,2cm}
 \hspace{0.15cm} \underline{ p_{\rm  x}/A = -1} \hspace{0.05cm} .$$
-'''(2)'''&nbsp; Setzt man $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man:
+'''(2)'''&nbsp; Richtig ist sind die <u>Aussagen 2 und 3</u>:
-$$H(f)=  \frac {1-{\rm j \cdot 2\pi \it
+*Setzt man $p = {\rm j} \cdot 2 \pi f$, so erhält man:
   f}/A} {1+{\rm j \cdot 2\pi \it
   f}/A}\hspace{0.05cm} .$$
-Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Beträge:
+*Der Betrag eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Beträge:
-$$|H(f)|=  \frac {|1-{{\rm j} \cdot 2\pi
+:$$|H(f)|=  \frac {|1-{{\rm j} \cdot 2\pi
   f}/A|} {|1+{\rm j \cdot 2\pi \it
   f}/A|}=  \frac {\sqrt{1+(2\pi
   f/A)^2}} {\sqrt{1+(2\pi
-  f/A)^2}}= 1$$
+  f/A)^2}}= 1\hspace{0.3cm}
-$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} a(f)= -{\rm ln} \hspace{0.1cm} |H(f)|= 0\hspace{0.2cm}({\rm  Np \hspace{0.2cm}oder \hspace{0.2cm}dB})\hspace{0.05cm} .$$
+\Rightarrow \hspace{0.3cm} a(f)= -{\rm ln} \hspace{0.1cm} |H(f)|= 0\hspace{0.2cm}({\rm  Np \hspace{0.2cm}oder \hspace{0.2cm}dB})\hspace{0.05cm} .$$
-Richtig ist somit die <u>Aussage 2</u>. Aber uch die <u>Aussage 3</u> ist richtig, wie aus der Theorieseite &bdquo;Grafische Ermittlung der Dämpfung&rdquo; zu ersehen ist.
+*Aber auch die <u>Aussage 3</u> ist richtig, wie aus der Theorieseite &bdquo;Grafische Ermittlung der Dämpfung&rdquo; zu ersehen ist.
 '''(3)'''&nbsp; Die Phasenfunktion $b(f)$ kann wie folgt berechnet werden:
-$$b(f)= -{\rm arc} \hspace{0.1cm} H(f) \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi
+:$$b(f)= -{\rm arc} \hspace{0.1cm} H(f) \hspace{0.25cm} =  \hspace{0.2cm} {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi
   f}/{A}) - {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({-2\pi
   f}/{A}) = 2 \cdot {\rm arctan } \hspace{0.1cm} ({2\pi
   f}/{A}),$$
-$$b(f= {A}/{2\pi})= 2 \cdot {\rm arctan }
+:$$b(f= {A}/{2\pi})= 2 \cdot {\rm arctan }
   \hspace{0.1cm}(1) = 2 \cdot 45^\circ \hspace{0.15cm} \underline{ = 90^\circ}\hspace{0.05cm},$$
-$$ b(f= {A}/{\pi})=2 \cdot {\rm arctan }
+:$$ b(f= {A}/{\pi})=2 \cdot {\rm arctan }
   \hspace{0.1cm}(2) = 2 \cdot 63.4^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 126.8^\circ}\hspace{0.05cm}
   ,$$
-$$ b(f \rightarrow \infty)=2 \cdot {\rm arctan }
+:$$ b(f \rightarrow \infty)=2 \cdot {\rm arctan }
   \hspace{0.1cm}(\infty) = 2 \cdot 90^\circ \hspace{0.15cm} \underline{= 180^\circ}\hspace{0.05cm}
   .$$
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-'''(4)'''&nbsp; Die angegebene $p$&ndash;Übertragungsfunktion lässt sich wie folgt darstellen:
+'''(4)'''&nbsp; Richtig ist nur die <u>Aussage 1</u>:
-$$H_{\rm L}(p)=  \frac {Z_2-Z_1} {Z_1+2 \cdot \sqrt{Z_1 \cdot Z_2}+Z_2}=
+*Die angegebene $p$&ndash;Übertragungsfunktion lässt sich wie folgt darstellen:
   \frac {(\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1})(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})} {(\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1})^2}=
   \frac {\sqrt{Z_2}-\sqrt{Z_1}} {\sqrt{Z_2}+\sqrt{Z_1}}\hspace{0.05cm}.$$
-Mit $Z_1 = p \cdot L$ und $Z_2 = 1/(p \cdot C)$ erhält man weiter:
+*Mit $Z_1 = p \cdot L$ und $Z_2 = 1/(p \cdot C)$ erhält man weiter:
-$$H_{\rm L}(p)= \frac {\sqrt{{1}/(pC)}-\sqrt{pL}} {\sqrt{{1}/(pC)}+\sqrt{pL}}
+:$$H_{\rm L}(p)= \frac {\sqrt{{1}/(pC)}-\sqrt{pL}} {\sqrt{{1}/(pC)}+\sqrt{pL}}
   = \frac {1- p \cdot \sqrt{LC}} {1+ p \cdot \sqrt{LC}}
-  = -1 \cdot \frac {p-\sqrt{{1}/(LC)}} {p+\sqrt{{1}/(LC)}}$$
+  = -1 \cdot \frac {p-\sqrt{{1}/(LC)}} {p+\sqrt{{1}/(LC)}}\hspace{0.3cm}
-$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}A = \sqrt{{1}/(LC)}: \hspace{0.2cm}H_{\rm L}(p)= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.05cm}.$$
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}A = \sqrt{{1}/(LC)}: \hspace{0.2cm}H_{\rm L}(p)= -1 \cdot \frac {p-A} {p+A}\hspace{0.05cm}.$$
 Es ergibt sich die genau gleiche Übertragungsfunktion, wie in der Teilaufgabe (1) berechnet. Daraus folgt, dass nur die <u>Aussage 1</u> richtig ist:
-*Der Dämpfungsverlauf ist $a(f) == 0\ \rm  (Np)$. Keine Frequenz wird gedämpft oder verstärkt. Man spricht deshalb auch von einem &bdquo;Allpass&rdquo;.
+*Der Dämpfungsverlauf ist $a(f) = 0\ \rm  (Np)$. Keine Frequenz wird gedämpft oder verstärkt. Man spricht deshalb auch von einem &bdquo;Allpass&rdquo;.
 *Die zweite Aussage ist falsch. Der Phasenverlauf $b(f)$ ist nicht linear, sondern vielmehr wie in der Teilaufgabe (3) berechnet.
 *Die Hilbert&ndash;Transformierte der Konstanten $a(f) = 0$ müsste zur Phasenfunktion $b(f) = 0$  führen, wie im Theorieteil gezeigt. Das heißt, dass die Aussage 3 falsch ist.
 *Nur bei minimalphasigen Systemen hängen die Dämpfungsfunktion $a(f)$ und Phasenfunktion $b(f)$ über die Hilbert&ndash;Transformation zusammen.
 *Bei einem solchen Minimum&ndash;Phasen&ndash;System liegen aber alle Pole und Nullstellen in der linken $p$&ndash;Halbebene, was hier nicht zutrifft &nbsp; &#8658; &nbsp; ein Allpass ist kein Minimum&ndash;Phasen&ndash;System.
 '''(5)'''&nbsp; <u>Beide Aussagen</u> sind richtig:
-*Wie bereits in der Teilaufgabe (2) festgestellt wurde, ergibt sich immer dann eine konstante Dämpfung, wenn es zu jedem Pol in der linken $p$&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle in der rechten Halbebene gibt &nbsp; &#8658; &nbsp; die Schaltung <b>B</b> zeigt ebenfalls Allpass&ndash;Charakteristik.
+*Wie bereits in der Teilaufgabe (2) festgestellt wurde, ergibt sich immer dann eine konstante Dämpfung, wenn es zu jedem Pol in der linken $p$&ndash;Halbebene eine entsprechende Nullstelle in der rechten Halbebene gibt &nbsp; &#8658; &nbsp; die Schaltung $\rm B$ zeigt ebenfalls Allpass&ndash;Charakteristik.
 *Da $b(f)$ stets eine unsymmetrische Funktion ist, gilt $b(f= 0) = 0$ ganz allgemein, das heißt für jede Spektralfunktion $H(f)$, deren Fourier&ndash;Rücktransformierte reell ist.
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