Aufgaben:Aufgabe 3.4Z: Trapez, Rechteck und Dreieck - Versionsgeschichte

Guenter am 26. April 2021 um 14:59 Uhr

2021-04-26T14:59:54Z

Guenter am 26. April 2021 um 14:55 Uhr

2021-04-26T14:55:52Z

Guenter am 26. September 2019 um 14:50 Uhr

2019-09-26T14:50:06Z

Guenter am 26. September 2019 um 14:43 Uhr

2019-09-26T14:43:50Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:52Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 16. Januar 2018 um 10:40 Uhr

2018-01-16T10:40:13Z

Guenter am 16. Januar 2018 um 10:38 Uhr

2018-01-16T10:38:17Z

Guenter am 16. Januar 2018 um 10:30 Uhr

2018-01-16T10:30:05Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.4Z Trapez, Rechteck und Dreieck nach Aufgaben:Aufgabe 3.4Z: Trapez, Rechteck und Dreieck

2018-01-01T17:20:21Z

Guenter verschob die Seite 3.4Z Trapez, Rechteck und Dreieck nach Aufgabe 3.4Z: Trapez, Rechteck und Dreieck

Guenter am 17. Januar 2017 um 14:59 Uhr

2017-01-17T14:59:36Z

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 *Da&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; reell ist und sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, sind nur die zwei Phasenwerte&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $\pi$&nbsp; möglich.
 *Nullstellen gibt es aufgrund der ersten si-Funktion bei allen Vielfachen von&nbsp; $1/\Delta t = 100\, \text{Hz}$.
-*Die zweite si-Funktion führt zu Nulldurchgängen im Abstand&nbsp; $1/(r_t \cdot \Delta t) = 500 \,\text{Hz}$. Diese fallen exakt mit den Nullstellen der ersten si-Funktion zusammen.
+*Die zweite si-Funktion führt zu Nulldurchgängen im Abstand&nbsp; $1/(r_t \cdot \Delta t) = 500 \,\text{Hz}$.&nbsp; Diese fallen exakt mit den Nullstellen der ersten si-Funktion zusammen.
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 '''(4)'''&nbsp; Hier sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>  zutreffend:
 *Beim Dreieckimpuls ist der Rolloff-Faktor&nbsp; $r_t = 1$.
-*Die äquivalente Impulsdauer ist&nbsp; $\Delta t = 10 \,\text{ms}$. Daraus folgt &nbsp; $D( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} )$&nbsp; und&nbsp; $D( f = 0) = A \cdot \Delta t  = X( f = 0)$.
+*Die äquivalente Impulsdauer ist&nbsp; $\Delta t = 10 \,\text{ms}$.&nbsp; Daraus folgt &nbsp; $D( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} )$&nbsp; und&nbsp; $D( f = 0) = A \cdot \Delta t  = X( f = 0)$.
-*Da&nbsp; ${D(f)}$&nbsp; nicht negativ werden kann, ist die Phase&nbsp; $[{\rm arc} \; {D(f)}]$&nbsp; stets Null. Der Phasenwert&nbsp; $\pi$&nbsp; $(180°)$&nbsp; ist also bei der Dreieckform nicht möglich.
+*Da&nbsp; ${D(f)}$&nbsp; nicht negativ werden kann, ist die Phase&nbsp; $[{\rm arc} \; {D(f)}]$&nbsp; stets Null.&nbsp; Der Phasenwert&nbsp; $\pi$&nbsp; $(180°)$&nbsp; ist also bei der Dreieckform nicht möglich.
 {{ML-Fuß}}

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 [[Datei:P_ID510__Sig_Z_3_4.png|right|frame|Trapezimpuls und dessen Grenzfälle &bdquo;Rechteck&rdquo; und &bdquo;Dreieck&rdquo; ]]
-Betrachtet werden drei unterschiedliche Impulsformen. Der Impuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; ist trapezförmig. Für&nbsp; $| t | < t_1 = 4 \,\text{ms}$&nbsp; ist der Zeitverlauf konstant gleich&nbsp; ${A} = 1\, \text{V}$. Danach fällt&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; bis zum Zeitpunkt&nbsp; $t_2 = 6\, \text{ms}$&nbsp; linear bis auf den Wert Null ab.
+Betrachtet werden drei unterschiedliche Impulsformen.&nbsp; Der Impuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; ist trapezförmig.&nbsp; Für&nbsp; $| t | < t_1 = 4 \,\text{ms}$&nbsp; ist der Zeitverlauf konstant gleich&nbsp; ${A} = 1\, \text{V}$.&nbsp; Danach fällt&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; bis zum Zeitpunkt&nbsp; $t_2 = 6\, \text{ms}$&nbsp; linear bis auf den Wert Null ab.
 Mit den beiden abgeleiteten Systemgrößen, nämlich
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 :$$r_t = \frac{t_2  - t_1 }{t_2  + t_1 }$$
-lautet die Spektralfunktion des Trapezimpulses:
+:lautet die Spektralfunktion des Trapezimpulses:
 :$$X( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}  \cdot \Delta t \cdot f} ) \cdot  \hspace{0.1cm}{\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}\cdot \Delta t \cdot  r_t \cdot  f} ).$$
 Weiter sind in der Grafik noch der Rechteckimpuls&nbsp; ${r(t)}$&nbsp; und der Dreieckimpuls&nbsp; ${d(t)}$&nbsp; dargestellt, die beide als Grenzfälle des Trapezimpulses&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; interpretiert werden können.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp;  Die äquivalente Impulsdauer ist $\Delta t = t_1 + t_2 \;\underline{= 10 \,\text{ms}}$ und der Rolloff-Faktor $r_t = 2/10 \;\underline{= 0.2}$.
+'''(1)'''&nbsp;  Die äquivalente Impulsdauer ist&nbsp; $\Delta t = t_1 + t_2 \;\underline{= 10 \,\text{ms}}$&nbsp; und der Rolloff-Faktor&nbsp; $r_t = 2/10 \;\underline{= 0.2}$.
 '''(2)'''&nbsp; Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-*Der Spektralwert bei $f = 0$ beträgt $A \cdot \Delta t = 10 \,\text{mV/Hz}$.
+*Der Spektralwert bei&nbsp; $f = 0$&nbsp; beträgt&nbsp; $A \cdot \Delta t = 10 \,\text{mV/Hz}$.
-*Da ${X(f)}$ reell ist und sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, sind nur die zwei Phasenwerte $0$ und $\pi$ möglich.
+*Da&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; reell ist und sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, sind nur die zwei Phasenwerte&nbsp; $0$&nbsp; und&nbsp; $\pi$&nbsp; möglich.
-*Nullstellen gibt es aufgrund der ersten si-Funktion bei allen Vielfachen von $1/\Delta t = 100\, \text{Hz}$.
+*Nullstellen gibt es aufgrund der ersten si-Funktion bei allen Vielfachen von&nbsp; $1/\Delta t = 100\, \text{Hz}$.
-*Die zweite si-Funktion führt zu Nulldurchgängen im Abstand $1/(r_t \cdot \Delta t) = 500 \,\text{Hz}$. Diese fallen exakt mit den Nullstellen der ersten si-Funktion zusammen.
+*Die zweite si-Funktion führt zu Nulldurchgängen im Abstand&nbsp; $1/(r_t \cdot \Delta t) = 500 \,\text{Hz}$. Diese fallen exakt mit den Nullstellen der ersten si-Funktion zusammen.
 '''(3)'''&nbsp;   <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind zutreffend:
-*Mit der äquivalenten Impulsdauer $\Delta t = 10 \,\text{ms}$ und dem Rolloff-Faktor $r_t = 0$ erhält man: &nbsp; $R( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} ).$
+*Mit der äquivalenten Impulsdauer&nbsp; $\Delta t = 10 \,\text{ms}$&nbsp; und dem Rolloff-Faktor&nbsp; $r_t = 0$&nbsp; erhält man: &nbsp; $R( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} ).$
-*Daraus folgt $R( f = 0) = A \cdot \Delta t = X( f = 0).$
+*Daraus folgt&nbsp; $R( f = 0) = A \cdot \Delta t = X( f = 0).$
 '''(4)'''&nbsp; Hier sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>  zutreffend:
-*Beim Dreieckimpuls ist der Rolloff-Faktor $r_t = 1$.
+*Beim Dreieckimpuls ist der Rolloff-Faktor&nbsp; $r_t = 1$.
-*Die äquivalente Impulsdauer ist $\Delta t = 10 \,\text{ms}$. Daraus folgt &nbsp; $D( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} )$ und $D( f = 0) = A \cdot \Delta t  = X( f = 0)$.
+*Die äquivalente Impulsdauer ist&nbsp; $\Delta t = 10 \,\text{ms}$. Daraus folgt &nbsp; $D( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} )$&nbsp; und&nbsp; $D( f = 0) = A \cdot \Delta t  = X( f = 0)$.
-*Da ${D(f)}$ nicht negativ werden kann, ist die Phase $[{\rm arc} \; {D(f)}]$ stets $0$. Der Phasenwert $\pi$ ($180°$) ist also bei der Dreieckform nicht möglich.
+*Da&nbsp; ${D(f)}$&nbsp; nicht negativ werden kann, ist die Phase&nbsp; $[{\rm arc} \; {D(f)}]$&nbsp; stets Null. Der Phasenwert&nbsp; $\pi$&nbsp; $(180°)$&nbsp; ist also bei der Dreieckform nicht möglich.
 {{ML-Fuß}}

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 }}
-[[Datei:P_ID510__Sig_Z_3_4.png|right|frame|Trapezimpuls und die Grenzfälle &bdquo;Rechteck&rdquo; und &bdquo;Dreieck&rdquo; ]]
+[[Datei:P_ID510__Sig_Z_3_4.png|right|frame|Trapezimpuls und dessen Grenzfälle &bdquo;Rechteck&rdquo; und &bdquo;Dreieck&rdquo; ]]
-Betrachtet werden drei unterschiedliche Impulsformen. Der Impuls ${x(t)}$ ist trapezförmig. Für $| t | < t_1 = 4 \,\text{ms}$ ist der Zeitverlauf konstant ${A} = 1\, \text{V}$. Danach fällt ${x(t)}$ bis zum Zeitpunkt $t_2 = 6\, \text{ms}$ linear bis auf den Wert $0$ ab.
+Betrachtet werden drei unterschiedliche Impulsformen. Der Impuls&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; ist trapezförmig. Für&nbsp; $| t | < t_1 = 4 \,\text{ms}$&nbsp; ist der Zeitverlauf konstant gleich&nbsp; ${A} = 1\, \text{V}$. Danach fällt&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; bis zum Zeitpunkt&nbsp; $t_2 = 6\, \text{ms}$&nbsp; linear bis auf den Wert Null ab.
 Mit den beiden abgeleiteten Systemgrößen, nämlich
-* der [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|äquivalenten Impulsdauer]]
+* der&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation#Reziprozit.C3.A4tsgesetz_von_Zeitdauer_und_Bandbreite|äquivalenten Impulsdauer]]&nbsp;
 :$$\Delta t = t_1  + t_2$$
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 lautet die Spektralfunktion des Trapezimpulses:
 :$$X( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}  \cdot \Delta t \cdot f} ) \cdot  \hspace{0.1cm}{\mathop{\rm si}\nolimits}( {{\rm \pi}\cdot \Delta t \cdot  r_t \cdot  f} ).$$
-Weiter sind in der Grafik noch der Rechteckimpuls ${r(t)}$ und der Dreieckimpuls ${d(t)}$ dargestellt, die beide als Grenzfälle des Trapezimpulses ${x(t)}$ interpretiert werden können.
+Weiter sind in der Grafik noch der Rechteckimpuls&nbsp; ${r(t)}$&nbsp; und der Dreieckimpuls&nbsp; ${d(t)}$&nbsp; dargestellt, die beide als Grenzfälle des Trapezimpulses&nbsp; ${x(t)}$&nbsp; interpretiert werden können.
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 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
-*Sie können Ihre Ergebnisse anhand der beiden  interaktiven Applets [[Applets:Impulse_und_Spektren|Impulse und Spektren]] sowie  [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und Impulsantwort]] überprüfen.
+*Sie können Ihre Ergebnisse anhand der beiden  interaktiven Applets&nbsp; [[Applets:Impulse_und_Spektren|Impulse und Spektren]]&nbsp; sowie&nbsp;  [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und Impulsantwort]]&nbsp; überprüfen.
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 <quiz display=simple>
-{Wie groß sind die äquivalente Impulsdauer und der Rolloff-Faktor von ${x(t)}$?
+{Wie groß sind die äquivalente Impulsdauer und der Rolloff-Faktor von&nbsp; ${x(t)}$?
 |type="{}"}
 $\Delta t \ = \ $ { 10 3% } &nbsp;$\text{ms}$
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-{Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion ${X(f)}$ zutreffend?
+{Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion&nbsp; ${X(f)}$&nbsp; zutreffend?
 |type="[]"}
-- Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ ist gleich $20 \,\text{mV/Hz}$.
+- Der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ist gleich&nbsp; $20 \,\text{mV/Hz}$.
-+ Für die Phasenfunktion sind die Werte $0$ oder $\pi$ ($180^{\circ}$) möglich.
++ Für die Phasenfunktion sind die Werte&nbsp; $0$&nbsp; oder&nbsp; $\pi$&nbsp; $(180^{\circ})$&nbsp; möglich.
-+ ${X(f)}$ weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von $100 \,\text{Hz}$ auf.
++ ${X(f)}$&nbsp; weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von&nbsp; $100 \,\text{Hz}$&nbsp; auf.
-{Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion ${R(f)}$ zutreffend?
+{Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion&nbsp; ${R(f)}$&nbsp; zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ ist gleich ${X(f = 0)}$.
++ Der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ist gleich ${X(f = 0)}$.
-+ Für die Phasenfunktion sind die Werte $0$ oder $\pi$ ($180^{\circ}$) möglich.
++ Für die Phasenfunktion sind die Werte&nbsp; $0$&nbsp; oder&nbsp; $\pi$&nbsp; $(180^{\circ})$&nbsp; möglich.
-+ ${R(f)}$ weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von $100 \,\text{Hz}$ auf.
++ ${R(f)}$&nbsp; weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von&nbsp; $100 \,\text{Hz}$&nbsp; auf.
-{Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion ${D(f)}$ zutreffend?
+{Welche Aussagen sind hinsichtlich der Spektralfunktion&nbsp; ${D(f)}$&nbsp; zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Der Spektralwert bei der Frequenz $f = 0$ ist gleich ${X(f = 0)}$.
++ Der Spektralwert bei der Frequenz&nbsp; $f = 0$&nbsp; ist gleich&nbsp; ${X(f = 0)}$.
-- Für die Phasenfunktion sind die Werte $0$ oder $\pi$ ($180^{\circ}$) möglich.
+- Für die Phasenfunktion sind die Werte $0$ oder&nbsp; $\pi$&nbsp; $(180^{\circ})$&nbsp; möglich.
-+ ${D(f)}$ weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von $100 \,\text{Hz}$ auf.
++ ${D(f)}$&nbsp; weist nur Nullstellen bei allen Vielfachen von&nbsp; $100 \,\text{Hz}$ auf.

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Signaldarstellung/Gesetzmäßigkeiten_der_Fouriertransformation|Gesetzmäßigkeiten der Fouriertransformation]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.
 *Sie können Ihre Ergebnisse anhand der beiden  interaktiven Applets [[Applets:Impulse_und_Spektren|Impulse und Spektren]] sowie  [[Applets:Frequenzgang_und_Impulsantwort|Frequenzgang und Impulsantwort]] überprüfen.

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 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''1.'''  Die äquivalente Impulsdauer ist $\Delta t = t_1 + t_2 = 10 \text{ms}$ und der Rolloff-Faktor $r_t = 2/10 \underline{= 0.2}$.
+'''1.'''  Die äquivalente Impulsdauer ist $\Delta t = t_1 + t_2 \;\underline{= 10 \,\text{ms}}$ und der Rolloff-Faktor $r_t = 2/10 \;\underline{= 0.2}$.
-'''2.'''  Der Spektralwert bei $f = 0$ beträgt $A \cdot \Delta t = 10 \text{mV/Hz}$. Da $\text{X(f)}$ reell ist und sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann, sind nur die zwei Phasenwerte $0$ und $\pi$ möglich.
+'''2.'''  Richtig sind die <u>Lösungsvorschläge 2 und 3</u>:
-'''3.'''  Mit der äquivalenten Impulsdauer $\Delta t = 10 \text{ms}$ und dem Rolloff-Faktor $r_t = 0$ erhält man:
+'''3.'''  <u>Alle Lösungsvorschläge</u> sind zutreffend:
-:$$R( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} ).$$
+*Mit der äquivalenten Impulsdauer $\Delta t = 10 \,\text{ms}$ und dem Rolloff-Faktor $r_t = 0$ erhält man: &nbsp; $R( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} ).$
-'''4.'''  Beim Dreieckimpuls ist der Rolloff-Faktor $r_t = 1$. Die äquivalente Impulsdauer ist ebenfalls $\Delta t = 10 \text{ms}$. Daraus folgt:
+'''4.'''  Hier sind die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u>  zutreffend:
-:$$D( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} ).$$
+*Beim Dreieckimpuls ist der Rolloff-Faktor $r_t = 1$.
-Da $\text{D(f)}$ nicht negativ werden kann, ist die Phasenfunktion arc[$\text{D(f)}$] stets $0$. Der Phasenwert $\pi$ ($180°$) ist also bei der Dreieckform nicht möglich. Die <u>Lösungsvorschläge 1 und 3</u> sind dagegen zutreffend.
+*Die äquivalente Impulsdauer ist ebenfalls $\Delta t = 10 \,\text{ms}$. Daraus folgt &nbsp; $D( f ) = A \cdot \Delta t \cdot {\mathop{\rm si}\nolimits} ^2 ( {{\rm{\pi }} \cdot \Delta t \cdot f} ).$
 {{ML-Fuß}}