Aufgaben:Aufgabe 3.4: Systematische Faltungscodes - Versionsgeschichte

Guenter am 6. Juni 2019 um 15:44 Uhr

2019-06-06T15:44:42Z

Guenter am 6. Juni 2019 um 15:35 Uhr

2019-06-06T15:35:13Z

Guenter am 6. Juni 2019 um 15:33 Uhr

2019-06-06T15:33:01Z

Guenter am 20. Januar 2018 um 15:54 Uhr

2018-01-20T15:54:14Z

Guenter am 20. Januar 2018 um 15:44 Uhr

2018-01-20T15:44:23Z

Guenter am 20. Januar 2018 um 15:39 Uhr

2018-01-20T15:39:32Z

Guenter am 8. Januar 2018 um 09:49 Uhr

2018-01-08T09:49:53Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.4 Systematische Faltungscodes nach Aufgaben:Aufgabe 3.4: Systematische Faltungscodes

2018-01-04T06:46:05Z

Guenter verschob die Seite 3.4 Systematische Faltungscodes nach Aufgabe 3.4: Systematische Faltungscodes

Hussain am 30. November 2017 um 09:39 Uhr

2017-11-30T09:39:49Z

Hussain am 30. November 2017 um 09:25 Uhr

2017-11-30T09:25:10Z

@@ Zeile 67: / Zeile 67: @@
 *Der Vorschlag 2 würde sich ergeben, wenn man die beiden Ausgänge vertauscht, also für den im Theorieteil meist betrachteten [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Anwendung_der_D.E2.80.93Transformation_auf_Rate.E2.80.931.2Fn.E2.80.93Faltungscoder| Rate&ndash;1/2&ndash;Standardcode]].
-*Der Vorschlag 3 gilt für einen systematischen Code &#8658; $\underline{x}^{(1)} = \underline{u}$. Der hier betrachtete Coder A weist diese Eigenschaft allerdings nicht auf.
+*Der Vorschlag 3 gilt für einen systematischen Code &#8658; $\underline{x}^{(1)} = \underline{u}$. Der hier betrachtete Coder &nbsp;$\rm A$&nbsp; weist diese Eigenschaft allerdings nicht auf.
-'''(2)'''&nbsp; Um von einem nichtsystematischen $(n, \ k)$&ndash;Code mit Matrix $\mathbf{G}(D)$ zum äquivalenten systematischen Code &nbsp; &#8658; &nbsp; Matrix $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ zu gelangen, muss man allgemein $\mathbf{G}(D)$ aufspalten in eine $k &times; k$&ndash;Matrix $\mathbf{T}(D)$ und eine Restmatrix $\mathbf{Q}(D)$.
+'''(2)'''&nbsp; Um von einem nichtsystematischen $(n, \ k)$&ndash;Code mit Matrix $\mathbf{G}(D)$ zum äquivalenten systematischen Code &nbsp; &#8658; &nbsp; Matrix $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ zu gelangen, <br>muss man allgemein $\mathbf{G}(D)$ aufspalten in eine $k &times; k$&ndash;Matrix $\mathbf{T}(D)$ und eine Restmatrix $\mathbf{Q}(D)$.
-Das gewünschte Ergebnis lautet dann mit der $k &times; k$&ndash;Einheitsmatrix $\mathbf{I}_k$:
+*Das gewünschte Ergebnis lautet dann mit der $k &times; k$&ndash;Einheitsmatrix $\mathbf{I}_k$:
 :$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm I}}_k\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.1cm} {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot  {\boldsymbol{\rm Q}}(D)\hspace{0.05cm}\big )
   \hspace{0.05cm}.$$
-Wir gehen hier von der $\mathbf{G}(D)$&ndash;Matrix für den Coder A aus. Wegen $k = 1$ haben hier sowohl $\mathbf{T}(D)$ als auch $\mathbf{Q}(D)$ die Dimension $1 &times; 1$, sind also streng genommen gar keine Matrizen:
+*Wir gehen hier von der $\mathbf{G}(D)$&ndash;Matrix für den Coder &nbsp;$\rm A$&nbsp; aus.
 :$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm T}}(D)\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.2cm}   {\boldsymbol{\rm Q}}(D)\hspace{0.05cm}\big )
   \hspace{0.3cm} \Rightarrow \hspace{0.3cm}{\boldsymbol{\rm T}}(D) = \big ( 1+D^2\big )\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm}
   {\boldsymbol{\rm Q}}(D) = \big ( 1+D+D^2\big )\hspace{0.05cm} .$$
-Für die beiden Elemente der systematischen Übertragungsfunktionsmatrix erhält man:
+*Für die beiden Elemente der systematischen Übertragungsfunktionsmatrix erhält man:
 :$$G^{(1)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\boldsymbol{\rm T}}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) = 1 C,\hspace{0.8cm}
 G^{(2)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\boldsymbol{\rm Q}}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) = \frac{1+D+D^2}{1+D^2}$$
@@ Zeile 90: / Zeile 91: @@
 Richtig ist also der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
 *Der Lösungsvorschlag 1 beschreibt keinen systematischen Code.
-*Ein Code entsprechend Lösungsvorschlag 2 ist zwar systematisch, aber nicht äquivalent zum '''Coder A''' entsprechend der vorgegebenen Schaltung und Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$.
+*Ein Code entsprechend Lösungsvorschlag 2 ist zwar systematisch, aber nicht äquivalent zum Coder &nbsp;$\rm A$&nbsp; entsprechend der vorgegebenen Schaltung und Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$.
-'''(3)'''&nbsp; Die Generatorfunktionsmatrix von <b>Coder B</b> lautet:
+'''(3)'''&nbsp; Die Generatorfunktionsmatrix von Coder &nbsp;$\rm B$&nbsp; lautet:
 :$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm B}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} {1+D+D^2} \hspace{0.05cm}\big )
   \hspace{0.05cm}.$$
-*Dieser Coder ist also nicht äquivalent zum '''Coder A'''.
+*Dieser Coder ist also nicht äquivalent zum Coder &nbsp;$\rm A$.
-*Betrachten wir nun den <b>Coder C</b>. Hier gilt für das zweite Matrixelement von $\mathbf{G}(D)$:
+*Betrachten wir nun den Coder &nbsp;$\rm C$. Hier gilt für das zweite Matrixelement von $\mathbf{G}(D)$:
 :$$w_i \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_i + w_{i-2} \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
 {U}(D) =  W(D) \cdot (1 + D^2 ) \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}
@@ Zeile 105: / Zeile 106: @@
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G^{(2)}(D) = \frac{{X}^{(2)}(D)}{{U}(D)} = \frac{1+D+D^2}{1+D^2}\hspace{0.05cm}.$$
-Dies entspricht genau dem Ergebnis der Teilaufgabe (2) &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
+Dies entspricht genau dem Ergebnis der Teilaufgabe '''(2)''' &nbsp;&#8658;&nbsp; <u>Lösungsvorschlag 2</u>.
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 36: / Zeile 36: @@
 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]].
-* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp; [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#.C3.9Cbertragungsfunktionsmatrix_.E2.80.93_Transfer_Function_Matrix|Übertragungsfunktionsmatrix &ndash; Transfer Function Matrix]]&nbsp; sowie&nbsp; [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#.C3.84quivalenter_systematischer_Faltungscode|Äquivalenter systematischer Faltungscode]].
+* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp;

@@ Zeile 2: / Zeile 2: @@
 [[Datei:P_ID2629__KC_A_3_4.png|right|frame|Vorgegebene Filterstrukturen]]
-Man spricht von einem systematischen Faltungscode der Rate $R = 1/2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $k = 1, \ n = 2$, wenn das Codebit $x_i^{(1)}$ gleich dem momentan anliegenden Informationsbit $u_i$ ist.
+Man spricht von einem systematischen Faltungscode der Rate&nbsp; $R = 1/2$ &nbsp; &#8658; &nbsp; $k = 1, \ n = 2$, wenn das Codebit&nbsp; $x_i^{(1)}$&nbsp; gleich dem momentan anliegenden Informationsbit&nbsp; $u_i$&nbsp; ist.
 Die Übertragungsfunktionsmatrix eines solchen Codes lautet:
@@ Zeile 8: / Zeile 8: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Der in der oberen Grafik dargestellte <b>Coder A</b> ist sicher nicht systematisch, da für diesen $G^{(1)}(D) &ne; 1$ gilt. Zur Herleitung der Matrix $\mathbf{G}(D)$ verweisen wir auf ein [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Anwendung_der_D.E2.80.93Transformation_auf_Rate.E2.80.931.2Fn.E2.80.93Faltungscoder| früheres Beispiel]], in dem für unseren Standard&ndash;Rate&ndash;1/2&ndash;Coder mit Gedächtnis $m = 2$ die Übertragungsfunktionsmatrix ermittelt wurde:
+Der in der oberen Grafik dargestellte Coder &nbsp;$\rm A$&nbsp; ist sicher nicht systematisch, da für diesen&nbsp; $G^{(1)}(D) &ne; 1$&nbsp; gilt. Zur Herleitung der Matrix&nbsp; $\mathbf{G}(D)$&nbsp; verweisen wir auf ein&nbsp; [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Anwendung_der_D.E2.80.93Transformation_auf_Rate.E2.80.931.2Fn.E2.80.93Faltungscoder| früheres Beispiel]], in dem für unseren Standard&ndash;Rate&ndash;1/2&ndash;Coder mit Gedächtnis&nbsp; $m = 2$&nbsp; die Übertragungsfunktionsmatrix ermittelt wurde:
 :$${\boldsymbol{\rm G}}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} \big ( \hspace{0.05cm} G^{(1)}(D)\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} G^{(2)}(D) \hspace{0.05cm}\big ) = \big ( \hspace{0.05cm} 1 + D + D^2\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} 1 +  D^2 \hspace{0.05cm}\big )
   \hspace{0.05cm}.$$
-Der <b>Coder A</b> unterscheidet sich gegenüber diesem Beispiel nur durch Vertauschen der beiden Ausgänge. Lautet die Übertragungsfunktionsmatrix eines Codes
+Der Coder &nbsp;$\rm A$&nbsp; unterscheidet sich gegenüber diesem Beispiel nur durch Vertauschen der beiden Ausgänge.
 :$${\boldsymbol{\rm G}}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} G^{(1)}(D)\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} G^{(2)}(D) \hspace{0.05cm}\big )
   \hspace{0.05cm},$$
-so gilt für die äquivalente systematische Repräsentation dieses Rate&ndash;1/2&ndash;Faltungscodes allgemein:
+*so gilt für die äquivalente systematische Repräsentation dieses Rate&ndash;1/2&ndash;Faltungscodes allgemein:
 :$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm} , \hspace{0.2cm} {G^{(2)}(D)}/{G^{(1)}(D)} \hspace{0.05cm}\big )
   \hspace{0.05cm}.$$
-In der Teilaufgabe (3) ist zu prüfen, welcher der systematischen Anordnungen (entweder <b>Code B</b> oder <b>Code C</b> oder auch beide) äquivalent zum '''Code A''' ist.
 ''Hinweise:''
-* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]].
+* Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]].
-* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#.C3.9Cbertragungsfunktionsmatrix_.E2.80.93_Transfer_Function_Matrix|Übertragungsfunktionsmatrix &ndash; Transfer Function Matrix]] sowie [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#.C3.84quivalenter_systematischer_Faltungscode|Äquivalenter systematischer Faltungscode]].
+* Bezug genommen wird insbesondere auf die Seiten&nbsp; [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#.C3.9Cbertragungsfunktionsmatrix_.E2.80.93_Transfer_Function_Matrix|Übertragungsfunktionsmatrix &ndash; Transfer Function Matrix]]&nbsp; sowie&nbsp; [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#.C3.84quivalenter_systematischer_Faltungscode|Äquivalenter systematischer Faltungscode]].
@@ Zeile 30: / Zeile 42: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Wie lautet die Übertragungsfunktionsmatrix von <b>Coder A</b>?
+{Wie lautet die Übertragungsfunktionsmatrix von &nbsp;$\rm A$?
 |type="()"}
 + $\mathbf{G}(D) = (1 + D^2, \ 1 + D + D^2)$,
@@ Zeile 42: / Zeile 54: @@
 + $\mathbf{G}_{\rm sys}(D) = (1, \ (1 + D + D^2)/(1 + D^2))$.
-{Welcher Coder ist zu '''Coder A''' äquivalent und systematisch?
+{Welcher Coder ist zu &nbsp;$\rm A$&nbsp; äquivalent und systematisch?
 |type="()"}
-- <b>Coder B</b>,
+- Coder &nbsp;$\rm B$&nbsp;,
-+ <b>Coder C</b>.
++ Coder &nbsp;$\rm C$&nbsp;.
 </quiz>

@@ Zeile 31: / Zeile 31: @@
 <quiz display=simple>
 {Wie lautet die Übertragungsfunktionsmatrix von <b>Coder A</b>?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 + $\mathbf{G}(D) = (1 + D^2, \ 1 + D + D^2)$,
 - $\mathbf{G}(D) = (1 + D + D^2, \ 1 + D^2)$,
@@ Zeile 37: / Zeile 37: @@
 {Wie lautet die äquivalente systematische Übertragungsfunktionsmatrix?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - $\mathbf{G}_{\rm sys}(D) = (1 + D + D^2, \ 1 + D^2)$,
 - $\mathbf{G}_{\rm sys}(D) = (1, \ 1 + D + D^2)$,
@@ Zeile 43: / Zeile 43: @@
 {Welcher Coder ist zu '''Coder A''' äquivalent und systematisch?
-|type="[]"}
+|type="()"}
 - <b>Coder B</b>,
 + <b>Coder C</b>.
@@ Zeile 50: / Zeile 50: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>. Der Vorschlag 2 würde sich ergeben, wenn man die beiden Ausgänge vertauscht, also für den im Theorieteil meist betrachteten [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung#Anwendung_der_D.E2.80.93Transformation_auf_Rate.E2.80.931.2Fn.E2.80.93Faltungscoder| Rate&ndash;1/2&ndash;Standardcode]].
+'''(1)'''&nbsp; Richtig ist der <u>Lösungsvorschlag 1</u>:
-Der Vorschlag 3 gilt für einen systematischen Code &#8658; $\underline{x}^{(1)} = \underline{u}$. Der hier betrachtete Coder A weist diese Eigenschaft allerdings nicht auf.
+*Der Vorschlag 3 gilt für einen systematischen Code &#8658; $\underline{x}^{(1)} = \underline{u}$. Der hier betrachtete Coder A weist diese Eigenschaft allerdings nicht auf.
 '''(2)'''&nbsp; Um von einem nichtsystematischen $(n, \ k)$&ndash;Code mit Matrix $\mathbf{G}(D)$ zum äquivalenten systematischen Code &#8658; Matrix $\mathbf{G}_{\rm sys}(D)$ zu gelangen, muss man allgemein $\mathbf{G}(D)$ aufspalten in eine $k &times; k$&ndash;Matrix $\mathbf{T}(D)$ und eine Restmatrix $\mathbf{Q}(D)$. Das gewünschte Ergebnis lautet dann mit der $k &times; k$&ndash;Einheitsmatrix $\mathbf{I}_k$:
 :$${\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} {\boldsymbol{\rm I}}_k\hspace{0.05cm} ; \hspace{0.1cm} {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) \cdot  {\boldsymbol{\rm Q}}(D)\hspace{0.05cm}\big )
   \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 65: / Zeile 69: @@
 Für die beiden Elemente der systematischen Übertragungsfunktionsmatrix erhält man:
-:$$G^{(1)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\boldsymbol{\rm T}}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) = 1  \hspace{0.05cm},$$
+:$$G^{(1)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\boldsymbol{\rm T}}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) = 1 C,\hspace{0.8cm}
-:$$G^{(2)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\boldsymbol{\rm Q}}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) = \frac{1+D+D^2}{1+D^2}$$
+G^{(2)}(D) \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} {\boldsymbol{\rm Q}}(D) \cdot {\boldsymbol{\rm T}}^{-1}(D) = \frac{1+D+D^2}{1+D^2}$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}{\boldsymbol{\rm G}}_{\rm sys}(D) = \big ( \hspace{0.05cm} 1\hspace{0.05cm} , \hspace{0.1cm} \frac{1+D+D^2}{1+D^2} \hspace{0.05cm}\big )
   \hspace{0.05cm}.$$
-Richtig ist also der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>. Der Lösungsvorschlag 1 beschreibt keinen systematischen Code. Ein Code entsprechend Lösungsvorschlag 2 ist zwar systematisch, aber nicht äquivalent zum Code A entsprechend der vorgegebenen Schaltung und Übertragungsfunktionsmatrix $\mathbf{G}(D)$.
+Richtig ist also der <u>letzte Lösungsvorschlag</u>:
@@ Zeile 77: / Zeile 83: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-Dieser Coder ist also nicht äquivalent zum Coder A. Betrachten wir nun den <b>Coder C</b>. Hier gilt für das zweite Matrixelement von $\mathbf{G}(D)$:
+*Dieser Coder ist also nicht äquivalent zum '''Coder A'''.
 :$$w_i \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} u_i + w_{i-2} \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
-{U}(D) =  W(D) \cdot (1 + D^2 ) \hspace{0.05cm},$$
+{U}(D) =  W(D) \cdot (1 + D^2 ) \hspace{0.05cm},\hspace{0.8cm}
-:$$x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} w_i + w_{i-1} + w_{i-2} \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
+x_i^{(2)} \hspace{-0.15cm} \ = \ \hspace{-0.15cm} w_i + w_{i-1} + w_{i-2} \hspace{0.25cm} \circ\!\!-\!\!\!-^{\hspace{-0.25cm}D}\!\!\!-\!\!\bullet\hspace{0.25cm}
 {X}^{(2)}(D) =  W(D) \cdot (1 +D + D^2 )$$
 :$$\Rightarrow \hspace{0.3cm} G^{(2)}(D) = \frac{{X}^{(2)}(D)}{{U}(D)} = \frac{1+D+D^2}{1+D^2}\hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 24: / Zeile 24: @@
 ''Hinweise:''
 * Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung| Algebraische und polynomische Beschreibung]].
@@ Zeile 41: / Zeile 42: @@
 + $\mathbf{G}_{\rm sys}(D) = (1, \ (1 + D + D^2)/(1 + D^2))$.
-{Welcher Coder ist zu Coder A äquivalent und systematisch?
+{Welcher Coder ist zu '''Coder A''' äquivalent und systematisch?
 |type="[]"}
 - <b>Coder B</b>,

← Nächstältere Version		Version vom 8. Januar 2018, 09:49 Uhr
Zeile 89:		Zeile 89:


−	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^3.2 ~~Algebraische und polynomische~~ Beschreibung^]]	+	[[Category:Aufgaben zu Kanalcodierung\|^3.2 Polynomische Beschreibung^]]

← Nächstältere Version		Version vom 30. November 2017, 09:39 Uhr
Zeile 24:		Zeile 24:

	''Hinweis:''		''Hinweis:''
−	* Die Aufgabe bezieht sich auf die Thematik ~~von~~ [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung\| ~~Kapitel 3.2~~]].	+	* Die Aufgabe bezieht sich auf die Thematik des Kapitels [[Kanalcodierung/Algebraische_und_polynomische_Beschreibung\| Algebraische und polynomische Beschreibung]].