Aufgaben:Aufgabe 3.4: Grenzfrequenzoptimierung - Versionsgeschichte

Guenter am 20. Juni 2022 um 14:06 Uhr

2022-06-20T14:06:42Z

Guenter am 20. Juni 2022 um 13:52 Uhr

2022-06-20T13:52:55Z

Guenter am 21. Februar 2019 um 14:53 Uhr

2019-02-21T14:53:14Z

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2019-02-21T13:57:20Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:51Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

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2018-01-04T06:27:42Z

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2017-11-09T06:33:38Z

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2017-10-29T13:21:49Z

Guenter am 29. Oktober 2017 um 13:15 Uhr

2017-10-29T13:15:00Z

Guenter am 29. Oktober 2017 um 13:03 Uhr

2017-10-29T13:03:59Z

@@ Zeile 90: / Zeile 90: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Normiert man die Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ auf die Bitrate $R_{\rm B}$ (und nicht auf die Symbolrate $1/T$), so gelten die angegebenen Rauscheffektivwerte unabhängig von der Stufenzahl. Damit erhält man:
+'''(1)'''&nbsp; Normiert man die Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; auf die Bitrate&nbsp; $R_{\rm B}$&nbsp; $($und nicht auf die Symbolrate $1/T)$,&nbsp; so gelten die angegebenen Rauscheffektivwerte unabhängig von der Stufenzahl.&nbsp; Damit erhält man:
 :$$M = 2, \hspace{0.1cm}f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33\text{:} \hspace{0.2cm}
   \sigma_d/s_0 \ \hspace{0.15cm}\underline { = 0.047}
@@ Zeile 98: / Zeile 98: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
 '''(2)'''&nbsp; Die optimale Grenzfrequenz ist dann gegeben, wenn der Quotient aus (halber) Augenöffnung und Rauscheffektivwert maximal ist.
-*Das Optimum ergibt sich beim Binärsystem  für $f_{\rm G}/R_{\rm B} \underline {= 0.33}$:
+'''(2)'''&nbsp; Die optimale Grenzfrequenz ist dann gegeben,&nbsp; wenn der Quotient aus (halber) Augenöffnung und Rauscheffektivwert maximal ist.
 :$$\rho_{\rm U,\hspace{0.05cm} max} = \frac{0.184^2}{  0.047^2} = 15.32
   \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 119: / Zeile 120: @@
 '''(3)'''&nbsp; Für $M = 4$ erhält man folgende Ergebnisse:
 :$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.27 \text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.097^2}{  0.017^2} =
 .56  \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 133: / Zeile 135: @@
 lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 14.90\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$
-*Die optimale Grenzfrequenz liegt demnach beim Quaternärsystem bei $f_{\rm G}/R_{\rm B} \underline {= 0.28}$.
+*Die optimale Grenzfrequenz liegt demnach beim Quaternärsystem bei&nbsp; $f_{\rm G}/R_{\rm B} \underline {= 0.28}$.
 *Der Störabstand ist dann um mehr als $3 \, {\rm dB}$ größer als beim Binärsystem mit optimierter Grenzfrequenz.
-'''(4)'''&nbsp; Zutreffend sind die <u>Aussagen 1, 3 und 4</u>:
+'''(4)'''&nbsp; Zutreffend sind die&nbsp; <u>Aussagen 1, 3 und 4</u>:
-*Die Richtigkeit der ersten Aussage wird durch die Tabelle bestätigt. Für $f_{\rm G}/R_{\rm B} &#8805; 0.35$ weist das Binärsystem eine größere Augenöffnung als das Quaternärsystem auf. Durch die Normierung aller Frequenzen auf die Bitrate ist zudem der Rauscheffektivwert unabhängig von der Stufenzahl $M$, so dass die Optimierung auf die Augenöffnung beschränkt werden kann.
+*Die Richtigkeit der ersten Aussage wird durch die Tabelle bestätigt.&nbsp; Für&nbsp; $f_{\rm G}/R_{\rm B} &#8805; 0.35$&nbsp; weist das Binärsystem eine größere Augenöffnung als das Quaternärsystem auf.&nbsp; Durch die Normierung aller Frequenzen auf die Bitrate ist zudem der Rauscheffektivwert unabhängig von der Stufenzahl&nbsp; $M$,&nbsp; so dass die Optimierung auf die Augenöffnung beschränkt werden kann.
-*Für $f_{\rm G}/R_{\rm B} < 0.35$ ist dagegen das Quaternärsystem besser, also auch für $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33$. Obwohl diese Grenzfrequenz für $M = 2$ optimal ist und für $M = 4$ nicht, ist mit $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33$ das Quaternärsystem um etwa $0.85 \, {\rm dB}$ besser als das Binärsystem.
+*Für&nbsp; $f_{\rm G}/R_{\rm B} < 0.35$&nbsp; ist dagegen das Quaternärsystem besser,&nbsp; also auch für&nbsp; $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33$.&nbsp; Obwohl diese Grenzfrequenz für&nbsp; $M = 2$&nbsp; optimal ist und für&nbsp; $M = 4$&nbsp; nicht,&nbsp; ist mit&nbsp; $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33$&nbsp; das Quaternärsystem um etwa&nbsp; $0.85 \, {\rm dB}$&nbsp; besser als das Binärsystem.
-*Die dritte Aussage trifft zu. Durch die niedrigere (genauer gesagt: halbe) Symbolrate ist für $M = 4$ das Auge auch mit $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.23$ noch geöffnet, während bei einem Binärsystem bereits für $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.27$ ein (fast) geschlossenes Auge vorliegt.
+*Die dritte Aussage trifft zu.&nbsp; Durch die niedrigere (genauer gesagt:&nbsp; halbe) Symbolrate ist für&nbsp; $M = 4$&nbsp; das Auge auch mit&nbsp; $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.23$&nbsp; noch geöffnet,&nbsp; während bei einem Binärsystem bereits für&nbsp; $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.27$&nbsp; ein (fast) geschlossenes Auge vorliegt.
-*Mit größerer charakteristischer Kabeldämpfung geht die Tendenz zu immer kleinerer Grenzfrequenz, um die Anhebung des Rauschens möglichst gering zu halten. Wenn aber bereits bei $a_* = 80 \, {\rm dB}$ das (bezüglich der Grenzfrequenz optimierte) Quaternärsystem besser ist, so gilt das auch für $100 \, {\rm dB}$. Der Gewinn ist größer als $15.21 \, &ndash; \, 11.85 \approx 3.4 \, {\rm dB}$. Diese Werte wurden in den Aufgaben (2) und (3) ermittelt.
+*Mit größerer charakteristischer Kabeldämpfung geht die Tendenz zu immer kleinerer Grenzfrequenz,&nbsp; um die Anhebung des Rauschens möglichst gering zu halten.&nbsp; Wenn aber bereits bei $a_* = 80 \, {\rm dB}$ das&nbsp; (bezüglich der Grenzfrequenz optimierte)&nbsp; Quaternärsystem besser ist,&nbsp; so gilt das auch für&nbsp; $100 \, {\rm dB}$.&nbsp; Der Gewinn ist größer als&nbsp; $15.21 - 11.85 \approx 3.4 \, {\rm dB}$.&nbsp; Diese Werte wurden in den Aufgaben&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(3)''' ermittelt.
-*Dagegen ist für die charakteristische Kabeldämpfung $a_* = 40 \, {\rm dB}$ anhand des vorliegenden Zahlenmaterials keine Aussage möglich. Eine Systemsimulation lieferte hierfür folgende Ergebnisse $($für $E_{\rm B}/N_0 = 50 \, {\rm dB})$:
+*Dagegen ist für die charakteristische Kabeldämpfung&nbsp; $a_* = 40 \, {\rm dB}$&nbsp; anhand des vorliegenden Zahlenmaterials keine Aussage möglich.&nbsp; Eine Systemsimulation lieferte hierfür folgende Ergebnisse&nbsp; $($für $E_{\rm B}/N_0 = 50 \, {\rm dB})$:
 :$$M =2\text{:}  \hspace{0.2cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 15.43\,{\rm dB} \hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}
 f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.4 \hspace{0.05cm},$$

@@ Zeile 7: / Zeile 7: @@
 :$$\rho_{\rm U} = \frac{\big[\ddot{o}(T_{\rm D})/2 \big]^2}{ \sigma_d^2} \hspace{0.05cm}.$$
-$\ddot{o}(T_{\rm D})$&nbsp; ist  die vertikale Augenöffnung und &nbsp;$\sigma_d^2$&nbsp; gibt die Detektionsrauschleistung an. Für beide Systemkonfigurationen gelten die gleichen Randbedingungen (ähnlich wie in &nbsp;[[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl|Aufgabe 3.4Z]]):
+$\ddot{o}(T_{\rm D})$&nbsp; ist  die vertikale Augenöffnung und &nbsp;$\sigma_d^2$&nbsp; gibt die Detektionsrauschleistung an.&nbsp; Für beide Systemkonfigurationen gelten die gleichen Randbedingungen&nbsp; (ähnlich wie in &nbsp;[[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl|Aufgabe 3.4Z]]):
 * Der rechteckige Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; im NRZ&ndash;Format hat die Höhe &nbsp;$s_0 = 1 \, {\rm V}$.
 * Die (äquivalente) Bitrate beträgt in beiden Fällen &nbsp;$R_{\rm B} = 100 \, {\rm Mbit/s}$.
-* Der Kanal besteht aus einem Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_* = 80 \, {\rm dB}= 9.2 \, {\rm Np}$.
-* Das Empfangsfilter sei ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G}$, die zu optimieren ist:
+* Der Kanal besteht aus einem Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_* = 80 \, {\rm dB}\Rightarrow 9.2 \, {\rm Np}$.
 :$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{{- \pi \cdot f^2}/{(2f_{\rm G})^2}}\hspace{0.05cm}.$$
 * Am Kanalausgang liegt AWGN&ndash;Rauschen mit der Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; vor.
 * Die Entscheiderschwellen sind optimal gewählt und auch der Detektionszeitpunkt &nbsp;$T_{\rm D} = 0$&nbsp; ist bestmöglich.
-Im Gegensatz zur &nbsp;[[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl|Aufgabe 3.4Z]]&nbsp; $($feste Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G} = 30 \, {\rm MHz})$&nbsp; ist hier die Grenzfrequenz des Tiefpasses variabel. Diese soll so bestimmt werden, dass das ungünstigste S/N&ndash;Verhältnis &nbsp;$\rho_{\rm U}$&nbsp; maximiert und damit die (ungünstigste) Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm U}$&nbsp; minimiert wird.
+Im Gegensatz zur &nbsp;[[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl|Aufgabe 3.4Z]]&nbsp; $($feste Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G} = 30 \, {\rm MHz})$&nbsp; ist hier die Grenzfrequenz des Tiefpasses variabel.&nbsp; Diese soll so bestimmt werden,&nbsp; dass das ungünstigste S/N&ndash;Verhältnis &nbsp;$\rho_{\rm U}$&nbsp; maximiert und damit die (ungünstigste) Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm U}$&nbsp; minimiert wird.
 Die Tabelle zeigt
@@ Zeile 24: / Zeile 28: @@
-für das Binärsystem &nbsp;$(M = 2)$&nbsp; und das Quaternärsystem &nbsp;$(M = 4)$&nbsp; sowie für verschiedene (normierte) Grenzfrequenzen. Die Normierung basiert dabei auf der Bitrate &nbsp;$R_{\rm B}$.
+für das Binärsystem &nbsp;$(M = 2)$&nbsp; und das Quaternärsystem &nbsp;$(M = 4)$&nbsp; sowie für verschiedene (normierte) Grenzfrequenzen.&nbsp; Die Normierung basiert dabei auf der Bitrate &nbsp;$R_{\rm B}$.
 Anzumerken ist:
-* Die Tabelle gilt für &nbsp;$E_{\rm B}/N_0 = 5 \cdot 10^8$&nbsp; und &nbsp;$a_* = 80 \, {\rm dB}= 9.2 \, {\rm Np}$.
+* Die Tabelle gilt für &nbsp;$E_{\rm B}/N_0 = 5 \cdot 10^8$&nbsp; und &nbsp;$a_* = 80 \, {\rm dB}\Rightarrow 9.2 \, {\rm Np}$.
 * Die (normierte Rauchleistung ergibt sich unter Berücksichtigung des idealen Kanalentzerrers zu
 :$$\frac{ \sigma_d^2}{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}} = \frac{ 1}{R_{\rm
 B}} \cdot \int_{0}^{\infty}{\rm exp}\left [2 \cdot 9.2
@@ Zeile 34: / Zeile 39: @@
 B})^2}{(2 f_{\rm G}/R_{\rm B})^2} \right ]{\rm d} \hspace{0.05cm} f
 \hspace{0.05cm}.$$
-* Wie in Aufgabe &nbsp;[[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl|Aufgabe 3.4Z]]&nbsp;  noch hergeleitet wird, gilt für die (normierte) halbe Augenöffnung:
+* Wie in Aufgabe &nbsp;[[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl|Aufgabe 3.4Z]]&nbsp;  noch hergeleitet wird,&nbsp; gilt für die (normierte) halbe Augenöffnung:
 :$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} = \frac{1}{ M-1}\cdot \big [1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left(
 \sqrt{2\pi} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(M) \cdot {f_{\rm
@@ Zeile 40: / Zeile 45: @@
    \right)\big]
   \hspace{0.05cm}.$$
-* Damit kann für das ungünstigste S/N&ndash;Verhältnis geschrieben werden, wobei der letzte Term bei dem hier betrachteten NRZ&ndash;Rechteckimpuls als &bdquo;<i>Energie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte</i>&rdquo; interpretiert werden kann:
+* Damit kann für das ungünstigste S/N&ndash;Verhältnis geschrieben werden,&nbsp; wobei der letzte Term bei dem hier betrachteten NRZ&ndash;Rechteckimpuls als &bdquo;Energie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte&rdquo; interpretiert werden kann:
 :$$\rho_{\rm U} = \left [\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{  2 \cdot s_0} \right ]^2 \cdot
   \frac{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}}{ \sigma_d^2} \cdot \frac{ s_0^2}{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}}
@@ Zeile 48: / Zeile 53: @@
+*In der Tabelle ist &nbsp;$\sigma_d/s_0$&nbsp; angegeben,&nbsp; das heißt,&nbsp; dass hier der zweite und der dritte Term obiger Gleichung zusammengefasst sind.
-''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_%C3%9Cbertragung|Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung]].
+*Durch Division des jeweils ersten Spaltenelements&nbsp; (normierte halbe Augenöffnung)&nbsp; durch das zweite in der Tabelle angegebene Element &nbsp;$(\sigma_d/s_0)$&nbsp; und Quadrieren des Quotienten kommt man hier sehr einfach zum Ergebnis &nbsp;$\rho_{\rm U}$.
@@ Zeile 59: / Zeile 64: @@
 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Die Tabelle ist bezüglich &nbsp;$\sigma_d$&nbsp; nicht vollständig. Ermitteln Sie folgende Werte:
+{Die Tabelle ist bezüglich &nbsp;$\sigma_d$&nbsp; nicht vollständig.&nbsp; Ermitteln Sie folgende Werte:
 |type="{}"}
 $M = 2, f_{\rm G} = 0.33\text{:}\hspace{0.4cm} \sigma_d/s_0 \ = \ $  { 0.047 3% }
@@ Zeile 74: / Zeile 79: @@
 $M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U,\ max}\ = \ $ { 15.21 3% } ${\ \rm dB}$
-{Bewerten Sie die Ergebnisse der Teilaufgaben '''(2)''' und '''(3)''' anhand der folgenden Aussagen. Welche sind zutreffend?
+{Bewerten Sie die Ergebnisse der Teilaufgaben&nbsp; '''(2)'''&nbsp; und&nbsp; '''(3)'''&nbsp; anhand der folgenden Aussagen.&nbsp; Welche sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Ist die normierte Grenzfrequen &nbsp;$f_{\rm G}/R_{\rm B} &#8805; 0.35$, so ist das Binärsystem dem Quaternärsystem überlegen.
++ Ist die normierte Grenzfrequen &nbsp;$f_{\rm G}/R_{\rm B} &#8805; 0.35$,&nbsp; so ist das Binärsystem dem Quaternärsystem überlegen.
 - Mit der normierten Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33$&nbsp; ist das Binärsystem besser als das Quaternärsystem.
 + Der Hauptgrund für die Überlegenheit des Quaternärsystems gegenüber dem Binärsystem (jeweils optimiert) ist die niedrigere Symbolrate.
-+ Aus den vorliegenden Werten kann geschlossen werden, dass das (optimale) Quaternärsystem auch für &nbsp;$a_* = 100 \, {\rm dB}$&nbsp; besser ist.
++ Aus den vorliegenden Werten kann geschlossen werden,&nbsp; dass das (optimale) Quaternärsystem auch für &nbsp;$a_* = 100 \, {\rm dB}$&nbsp; besser ist.
-- Aus den vorliegenden Werten kann geschlossen werden, dass das (optimale) Quaternärsystem auch für &nbsp;$a_* = 40 \, {\rm dB}$&nbsp; besser ist.
+- Aus den vorliegenden Werten kann geschlossen werden,&nbsp; dass das (optimale) Quaternärsystem auch für &nbsp;$a_* = 40 \, {\rm dB}$&nbsp; besser ist.
 </quiz>

@@ Zeile 93: / Zeile 93: @@
   \hspace{0.05cm}.$$
-'''(2)'''&nbsp; Die optimale Grenzfrequenz ist dann gegeben, wenn der Quotient aus (halber) Augenöffnung und Rauscheffektivwert maximal ist. Das Optimum ergibt sich beim Binärsystem  für $f_{\rm G}/R_{\rm B} \underline {= 0.33}$:
+'''(2)'''&nbsp; Die optimale Grenzfrequenz ist dann gegeben, wenn der Quotient aus (halber) Augenöffnung und Rauscheffektivwert maximal ist.
 :$$\rho_{\rm U,\hspace{0.05cm} max} = \frac{0.184^2}{  0.047^2} = 15.32
   \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 100: / Zeile 101: @@
 dB}} \hspace{0.05cm}.$$
-Dagegen gilt für die benachbarten Grenzfrequenzwerte:
+*Dagegen gilt für die benachbarten Grenzfrequenzwerte:
 :$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.32\text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.155^2}{  0.040^2} = 15.02
   \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
@@ Zeile 110: / Zeile 111: @@
 \cdot {\rm
 lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 11.72\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$
-Hieraus erkennt man das &ndash; wenn auch flache &ndash; Optimum.
+*Hieraus erkennt man das &ndash; wenn auch flache &ndash; Optimum.
@@ Zeile 127: / Zeile 128: @@
 lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 14.90\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$
-Die optimale Grenzfrequenz liegt demnach beim Quaternärsystem bei $f_{\rm G}/R_{\rm B} \underline {= 0.28}$. Der Störabstand ist dann um mehr als $3 \, {\rm dB}$ größer als beim Binärsystem mit optimierter Grenzfrequenz.
+*Die optimale Grenzfrequenz liegt demnach beim Quaternärsystem bei $f_{\rm G}/R_{\rm B} \underline {= 0.28}$.
@@ Zeile 139: / Zeile 141: @@
 *Mit größerer charakteristischer Kabeldämpfung geht die Tendenz zu immer kleinerer Grenzfrequenz, um die Anhebung des Rauschens möglichst gering zu halten. Wenn aber bereits bei $a_* = 80 \, {\rm dB}$ das (bezüglich der Grenzfrequenz optimierte) Quaternärsystem besser ist, so gilt das auch für $100 \, {\rm dB}$. Der Gewinn ist größer als $15.21 \, &ndash; \, 11.85 \approx 3.4 \, {\rm dB}$. Diese Werte wurden in den Aufgaben (2) und (3) ermittelt.
-*Dagegen ist für die charakteristische Kabeldämpfung $a_* = 40 \, {\rm dB}$ anhand des vorliegenden Zahlenmaterials keine Aussage möglich. Eine Systemsimulation lieferte hierfür folgende Ergebnisse (für $E_{\rm B}/N_0 = 50 \, {\rm dB}$:
+*Dagegen ist für die charakteristische Kabeldämpfung $a_* = 40 \, {\rm dB}$ anhand des vorliegenden Zahlenmaterials keine Aussage möglich. Eine Systemsimulation lieferte hierfür folgende Ergebnisse $($für $E_{\rm B}/N_0 = 50 \, {\rm dB})$:
 :$$M =2\text{:}  \hspace{0.2cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 15.43\,{\rm dB} \hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}
 f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.4 \hspace{0.05cm},$$

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID1419__Dig_A_3_4.png|right|frame|Systemgrößen für Binär&ndash; und Quaternärsystem sowie für verschiedene Grenzfrequenzen]]
-Wir vergleichen ein redundanzfreies Binärsystem ($M = 2$) und ein redundanzfreies Quaternärsystem ($M = 4$) hinsichtlich ihrer S/N&ndash;Verhältnisse im ungünstigsten Fall:
+Wir vergleichen ein redundanzfreies Binärsystem &nbsp;$(M = 2)$&nbsp; und ein redundanzfreies Quaternärsystem &nbsp;$(M = 4)$&nbsp; hinsichtlich ihrer S/N&ndash;Verhältnisse im ungünstigsten Fall:
-:$$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\rho_{\rm U} = \frac{\big[\ddot{o}(T_{\rm D})/2 \big]^2}{ \sigma_d^2} \hspace{0.05cm}.$$
-$\ddot{o}(T_{\rm D})$ ist  die vertikale Augenöffnung und $\sigma_d^2$ gibt die Detektionsrauschleistung an. Für beide Systemkonfigurationen gelten die gleichen Randbedingungen (ähnlich wie in [[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl|Aufgabe 3.4Z]]):
+$\ddot{o}(T_{\rm D})$&nbsp; ist  die vertikale Augenöffnung und &nbsp;$\sigma_d^2$&nbsp; gibt die Detektionsrauschleistung an. Für beide Systemkonfigurationen gelten die gleichen Randbedingungen (ähnlich wie in &nbsp;[[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl|Aufgabe 3.4Z]]):
-* Der rechteckige Sendegrundimpuls $g_s(t)$ im NRZ&ndash;Format hat die Höhe $s_0 = 1 \, {\rm V}$.
+* Der rechteckige Sendegrundimpuls &nbsp;$g_s(t)$&nbsp; im NRZ&ndash;Format hat die Höhe &nbsp;$s_0 = 1 \, {\rm V}$.
-* Die (äquivalente) Bitrate beträgt in beiden Fällen $R_{\rm B} = 100 \, {\rm Mbit/s}$.
+* Die (äquivalente) Bitrate beträgt in beiden Fällen &nbsp;$R_{\rm B} = 100 \, {\rm Mbit/s}$.
-* Der Kanal besteht aus einem Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung $a_* = 80 \, {\rm dB}$ (bzw. $9.2 \, {\rm Np}$).
+* Der Kanal besteht aus einem Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung &nbsp;$a_* = 80 \, {\rm dB}= 9.2 \, {\rm Np}$.
-* Das Empfangsfilter sei ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G}$, die zu optimieren ist:
+* Das Empfangsfilter sei ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G}$, die zu optimieren ist:
 :$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{{- \pi \cdot f^2}/{(2f_{\rm G})^2}}\hspace{0.05cm}.$$
-* Am Kanalausgang liegt AWGN&ndash;Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0$ vor.
+* Am Kanalausgang liegt AWGN&ndash;Rauschen mit der Rauschleistungsdichte &nbsp;$N_0$&nbsp; vor.
-* Die Entscheiderschwellen sind optimal gewählt und auch der Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$.
+* Die Entscheiderschwellen sind optimal gewählt und auch der Detektionszeitpunkt &nbsp;$T_{\rm D} = 0$&nbsp; ist bestmöglich.
-Im Gegensatz zur [[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl|Aufgabe 3.4Z]] (feste Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 30 \, {\rm MHz}$) ist hier die Grenzfrequenz des Tiefpasses variabel. Diese soll so bestimmt werden, dass das ungünstigste S/N&ndash;Verhältnis $\rho_{\rm U}$ maximiert und damit die (ungünstigste) Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ minimiert wird.
+Im Gegensatz zur &nbsp;[[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl|Aufgabe 3.4Z]]&nbsp; $($feste Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G} = 30 \, {\rm MHz})$&nbsp; ist hier die Grenzfrequenz des Tiefpasses variabel. Diese soll so bestimmt werden, dass das ungünstigste S/N&ndash;Verhältnis &nbsp;$\rho_{\rm U}$&nbsp; maximiert und damit die (ungünstigste) Fehlerwahrscheinlichkeit &nbsp;$p_{\rm U}$&nbsp; minimiert wird.
 Die Tabelle zeigt
@@ Zeile 24: / Zeile 24: @@
-für das Binärsystem ($M = 2$) und das Quaternärsystem ($M = 4$) sowie für verschiedene (normierte) Grenzfrequenzen. Die Normierung basiert dabei auf der Bitrate $R_{\rm B}$.
+für das Binärsystem &nbsp;$(M = 2)$&nbsp; und das Quaternärsystem &nbsp;$(M = 4)$&nbsp; sowie für verschiedene (normierte) Grenzfrequenzen. Die Normierung basiert dabei auf der Bitrate &nbsp;$R_{\rm B}$.
 Anzumerken ist:
-* Die Tabelle gilt für $E_{\rm B}/N_0 = 5 \cdot 10^8$ und $a_* = 80 \, {\rm dB}$ (bzw. $9.2 \, {\rm Np}$).
+* Die Tabelle gilt für &nbsp;$E_{\rm B}/N_0 = 5 \cdot 10^8$&nbsp; und &nbsp;$a_* = 80 \, {\rm dB}= 9.2 \, {\rm Np}$.
 * Die (normierte Rauchleistung ergibt sich unter Berücksichtigung des idealen Kanalentzerrers zu
 :$$\frac{ \sigma_d^2}{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}} = \frac{ 1}{R_{\rm
@@ Zeile 34: / Zeile 34: @@
 B})^2}{(2 f_{\rm G}/R_{\rm B})^2} \right ]{\rm d} \hspace{0.05cm} f
 \hspace{0.05cm}.$$
-* Wie in Aufgabe [[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl|Aufgabe 3.4Z]]  noch hergeleitet wird, gilt für die (normierte) halbe Augenöffnung:
+* Wie in Aufgabe &nbsp;[[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl|Aufgabe 3.4Z]]&nbsp;  noch hergeleitet wird, gilt für die (normierte) halbe Augenöffnung:
-:$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} = \frac{1}{ M-1}\cdot \left [1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left(
+:$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} = \frac{1}{ M-1}\cdot \big [1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left(
 \sqrt{2\pi} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(M) \cdot {f_{\rm
 G}}/{R_{\rm B}}
-   \right)\right]
+   \right)\big]
   \hspace{0.05cm}.$$
-* Damit kann für das ungünstigste S/N&ndash;Verhältnis geschrieben werden:
+* Damit kann für das ungünstigste S/N&ndash;Verhältnis geschrieben werden, wobei der letzte Term bei dem hier betrachteten NRZ&ndash;Rechteckimpuls als &bdquo;<i>Energie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte</i>&rdquo; interpretiert werden kann:
 :$$\rho_{\rm U} = \left [\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{  2 \cdot s_0} \right ]^2 \cdot
   \frac{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}}{ \sigma_d^2} \cdot \frac{ s_0^2}{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}}
-  \hspace{0.05cm},$$
+  \hspace{0.05cm}.$$
 ''Hinweise:''
-*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_%C3%9Cbertragung|Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung]].
+*Die Aufgabe gehört zum  Kapitel&nbsp; [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_%C3%9Cbertragung|Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung]].
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 ===Fragebogen===
 <quiz display=simple>
-{Die Tabelle ist bezüglich $\sigma_d$ nicht vollständig. Ermitteln Sie folgende Werte:
+{Die Tabelle ist bezüglich &nbsp;$\sigma_d$&nbsp; nicht vollständig. Ermitteln Sie folgende Werte:
 |type="{}"}
 $M = 2, f_{\rm G} = 0.33\text{:}\hspace{0.4cm} \sigma_d/s_0 \ = \ $  { 0.047 3% }
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 $M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U,\ max}\ = \ $ { 15.21 3% } ${\ \rm dB}$
-{Bewerten Sie die Ergebnisse der Teilaufgaben (2) und 3) anhand der folgenden Aussagen. Welche sind zutreffend?
+{Bewerten Sie die Ergebnisse der Teilaufgaben '''(2)''' und '''(3)''' anhand der folgenden Aussagen. Welche sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Ist die normierte Grenzfrequen $f_{\rm G}/R_{\rm B} &#8805; 0.35$, so ist das Binärsystem dem Quaternärsystem überlegen.
++ Ist die normierte Grenzfrequen &nbsp;$f_{\rm G}/R_{\rm B} &#8805; 0.35$, so ist das Binärsystem dem Quaternärsystem überlegen.
-- Mit der normierten Grenzfrequenz $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33$ ist das Binärsystem besser als das Quaternärsystem.
+- Mit der normierten Grenzfrequenz &nbsp;$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33$&nbsp; ist das Binärsystem besser als das Quaternärsystem.
 + Der Hauptgrund für die Überlegenheit des Quaternärsystems gegenüber dem Binärsystem (jeweils optimiert) ist die niedrigere Symbolrate.
-+ Aus den vorliegenden Werten kann geschlossen werden, dass das (optimale) Quaternärsystem auch für $a_* = 100 \, {\rm dB}$ besser ist.
++ Aus den vorliegenden Werten kann geschlossen werden, dass das (optimale) Quaternärsystem auch für &nbsp;$a_* = 100 \, {\rm dB}$&nbsp; besser ist.
-- Aus den vorliegenden Werten kann geschlossen werden, dass das (optimale) Quaternärsystem auch für $a_* = 40 \, {\rm dB}$ besser ist.
+- Aus den vorliegenden Werten kann geschlossen werden, dass das (optimale) Quaternärsystem auch für &nbsp;$a_* = 40 \, {\rm dB}$&nbsp; besser ist.
 </quiz>

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 ''Hinweise:''
 *Die Aufgabe gehört zum  Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_%C3%9Cbertragung|Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung]].
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0&rdquo; erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.&rdquo; ein.

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(kein Unterschied)

← Nächstältere Version		Version vom 9. November 2017, 06:33 Uhr
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−	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.4 ~~Augendiagramm mehrstufiger Systeme~~^]]	+	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.4 Auge bei mehrstufigen Systemen^]]

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 {Die Tabelle ist bezüglich $\sigma_d$ nicht vollständig. Ermitteln Sie folgende Werte:
 |type="{}"}
-$M = 2, f_{\rm G} = 0.33: \sigma_d/s_0$ = { 0.047 3% }
+$M = 2, f_{\rm G} = 0.33\text{:}\hspace{0.4cm} \sigma_d/s_0 \ = \ $  { 0.047 3% }
-$M = 4, f_{\rm G} = 0.28: \sigma_d/s_0$ = { 0.021 3% }
+$M = 4, f_{\rm G} = 0.28\text{:}\hspace{0.4cm} \sigma_d/s_0 \ = \ $ { 0.021 3% }
 {Ermitteln Sie die optimale Grenzfrequenz und den erreichbaren (ungünstigsten) Störabstand für das Binärsystem.
 |type="{}"}
-$M = 2: f_{\rm G, \ opt}/R_{\rm B}$ = { 0.33 3% }
+$M = 2\text{:}\hspace{0.9cm} f_{\rm G, \ opt}/R_{\rm B}\ = \ $ { 0.33 3% }
-$M = 2: 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U, \ max}$ = { 11.85 3% } ${\rm dB}$
+$M = 2\text{:}\hspace{0.4cm} 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U, \ max}\ = \ $ { 11.85 3% } ${\ \rm dB}$
 {Ermitteln Sie die optimale Grenzfrequenz und den erreichbaren (ungünstigsten) Störabstand für das Quaternärsystem.
 |type="{}"}
-$M = 4: f_{\rm G, \ opt}/R_{\rm B}$ = { 0.28 3% }
+$M = 4\text{:}\hspace{0.9cm} f_{\rm G, \ opt}/R_{\rm B}\ = \ ${ 0.28 3% }
-$M = 4: 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U,\ max}$ = { 15.21 3% } ${\rm dB}$
+$M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U,\ max}\ = \ $ { 15.21 3% } ${\ \rm dB}$
-{Bewerten Sie die Ergebnisse aus 2) und 3) anhand der folgenden Aussagen. Welche sind zutreffend?
+{Bewerten Sie die Ergebnisse der Teilaufgaben (2) und 3) anhand der folgenden Aussagen. Welche sind zutreffend?
 |type="[]"}
-+ Ist die Grenzfrequen $f_{\rm G}/R_{\rm B} &#8805; 0.35$, so ist das Binärsystem dem Quaternärsystem überlegen.
++ Ist die normierte Grenzfrequen $f_{\rm G}/R_{\rm B} &#8805; 0.35$, so ist das Binärsystem dem Quaternärsystem überlegen.
-- Mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33$ ist das Binärsystem besser als das Quaternärsystem.
+- Mit der normierten Grenzfrequenz $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33$ ist das Binärsystem besser als das Quaternärsystem.
 + Der Hauptgrund für die Überlegenheit des Quaternärsystems gegenüber dem Binärsystem (jeweils optimiert) ist die niedrigere Symbolrate.
 + Aus den vorliegenden Werten kann geschlossen werden, dass das (optimale) Quaternärsystem auch für $a_* = 100 \, {\rm dB}$ besser ist.