Aufgaben:Aufgabe 3.4: Grenzfrequenzoptimierung - Versionsgeschichte

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2026-03-16T14:03:59Z

Fix LaTeX typos: \rmdB

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	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.4 Auge bei mehrstufigen Systemen^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.4 Auge bei mehrstufigen Systemen^]]
			[[en:Aufgaben:Exercise_3.4:_Optimization_of_the_Cutoff_Frequency]]

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2026-02-24T13:39:20Z

Join multi-line formulas for MW 1.43 parser compat

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	* Die (normierte) Rauchleistung ergibt sich unter Berücksichtigung des idealen Kanalentzerrers zu		* Die (normierte) Rauchleistung ergibt sich unter Berücksichtigung des idealen Kanalentzerrers zu
	:$$\frac{ \sigma_d^2}{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}} = \frac{ 1}{R_{\rm		:$$\frac{ \sigma_d^2}{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}} = \frac{ 1}{R_{\rmB}} \cdot \int_{0}^{\infty}{\rm exp}\left [2 \cdot 9.2\cdot \sqrt{2 \cdot f/R_{\rm B}} - 2\pi \cdot \frac{(f/R_{\rmB})^2}{(2 f_{\rm G}/R_{\rm B})^2} \right ]{\rm d} \hspace{0.05cm} f\hspace{0.05cm}.$$
	B}} \cdot \int_{0}^{\infty}{\rm exp}\left [2 \cdot 9.2
	\cdot \sqrt{2 \cdot f/R_{\rm B}} - 2\pi \cdot \frac{(f/R_{\rm
	B})^2}{(2 f_{\rm G}/R_{\rm B})^2} \right ]{\rm d} \hspace{0.05cm} f
	\hspace{0.05cm}.$$
	* Wie in Aufgabe  [[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl\|Aufgabe 3.4Z]]  noch hergeleitet wird,  gilt für die (normierte) halbe Augenöffnung:		* Wie in Aufgabe  [[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl\|Aufgabe 3.4Z]]  noch hergeleitet wird,  gilt für die (normierte) halbe Augenöffnung:
	:$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} = \frac{1}{ M-1}\cdot \big [1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left(		:$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} = \frac{1}{ M-1}\cdot \big [1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left(\sqrt{2\pi} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(M) \cdot {f_{\rmG}}/{R_{\rm B}}\right)\big]\hspace{0.05cm}.$$
	\sqrt{2\pi} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(M) \cdot {f_{\rm
	G}}/{R_{\rm B}}
	\right)\big]
	\hspace{0.05cm}.$$
	* Damit kann für das ungünstigste S/N–Verhältnis geschrieben werden,  wobei der letzte Term bei dem hier betrachteten NRZ–Rechteckimpuls als &bdquo;Energie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte” interpretiert werden kann:		* Damit kann für das ungünstigste S/N–Verhältnis geschrieben werden,  wobei der letzte Term bei dem hier betrachteten NRZ–Rechteckimpuls als &bdquo;Energie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte” interpretiert werden kann:
	:$$\rho_{\rm U} = \left [\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} \right ]^2 \cdot		:$$\rho_{\rm U} = \left [\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} \right ]^2 \cdot\frac{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}}{ \sigma_d^2} \cdot \frac{ s_0^2}{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}}\hspace{0.05cm}.$$
	\frac{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}}{ \sigma_d^2} \cdot \frac{ s_0^2}{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}}
	\hspace{0.05cm}.$$


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	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Normiert man die Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  auf die Bitrate  $R_{\rm B}$  $($und nicht auf die Symbolrate $1/T)$,  so gelten die angegebenen Rauscheffektivwerte unabhängig von der Stufenzahl.  Damit erhält man:		'''(1)'''  Normiert man die Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  auf die Bitrate  $R_{\rm B}$  $($und nicht auf die Symbolrate $1/T)$,  so gelten die angegebenen Rauscheffektivwerte unabhängig von der Stufenzahl.  Damit erhält man:
	:$$M = 2, \hspace{0.1cm}f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33\text{:} \hspace{0.2cm}		:$$M = 2, \hspace{0.1cm}f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33\text{:} \hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \ \hspace{0.15cm}\underline { = 0.047}\hspace{0.05cm},$$
	\sigma_d/s_0 \ \hspace{0.15cm}\underline { = 0.047}		:$$M = 4, \hspace{0.1cm}f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.28\text{:} \hspace{0.2cm}\sigma_d/s_0 \ \hspace{0.15cm}\underline { = 0.021}\hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.05cm},$$
	:$$M = 4, \hspace{0.1cm}f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.28\text{:} \hspace{0.2cm}
	\sigma_d/s_0 \ \hspace{0.15cm}\underline { = 0.021}
	\hspace{0.05cm}.$$


	'''(2)'''  Die optimale Grenzfrequenz ist dann gegeben,  wenn der Quotient aus (halber) Augenöffnung und Rauscheffektivwert maximal ist.		'''(2)'''  Die optimale Grenzfrequenz ist dann gegeben,  wenn der Quotient aus (halber) Augenöffnung und Rauscheffektivwert maximal ist.
	*Das Optimum ergibt sich beim Binärsystem für  $f_{\rm G}/R_{\rm B} \ \underline {= 0.33}$:		*Das Optimum ergibt sich beim Binärsystem für  $f_{\rm G}/R_{\rm B} \ \underline {= 0.33}$:
	:$$\rho_{\rm U,\hspace{0.05cm} max} = \frac{0.184^2}{ 0.047^2} = 15.32		:$$\rho_{\rm U,\hspace{0.05cm} max} = \frac{0.184^2}{ 0.047^2} = 15.32\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U,\hspace{0.05cm} max}\hspace{0.15cm}\underline { = 11.85\,{\rmdB}} \hspace{0.05cm}.$$
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	10 \cdot {\rm
	lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U,\hspace{0.05cm} max}\hspace{0.15cm}\underline { = 11.85\,{\rm
	dB}} \hspace{0.05cm}.$$

	*Dagegen gilt für die benachbarten Grenzfrequenzwerte:		*Dagegen gilt für die benachbarten Grenzfrequenzwerte:
	:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.32\text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.155^2}{ 0.040^2} = 15.02		:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.32\text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.155^2}{ 0.040^2} = 15.02\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 11.76\,{\rm dB} \hspace{0.05cm},$$
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.34 \text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.212^2}{ 0.055^2} =14.86\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 11.72\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$
	10 \cdot {\rm
	lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 11.76\,{\rm dB} \hspace{0.05cm},$$
	:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.34 \text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.212^2}{ 0.055^2} =
	14.86
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	10 \cdot {\rm
	lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 11.72\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$
	*Hieraus erkennt man das – wenn auch flache – Optimum.		*Hieraus erkennt man das – wenn auch flache – Optimum.

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	'''(3)'''  Für  $M = 4$  erhält man folgende Ergebnisse:		'''(3)'''  Für  $M = 4$  erhält man folgende Ergebnisse:
	:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.27 \text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.097^2}{ 0.017^2} =		:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.27 \text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.097^2}{ 0.017^2} =32.56 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 15.13\,{\rm dB} \hspace{0.05cm},$$
	32.56 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.28 \text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.121^2}{ 0.021^2} =33.20 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline {= 15.21\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm},$$
	10 \cdot {\rm		:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.29 \text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.139^2}{ 0.025^2} =30.91 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rmlg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 14.90\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$
	lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 15.13\,{\rm dB} \hspace{0.05cm},$$
	:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.28 \text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.121^2}{ 0.021^2} =
	33.20 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	10 \cdot {\rm
	lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline {= 15.21\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm},$$
	:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.29 \text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.139^2}{ 0.025^2} =
	30.91 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
	10 \cdot {\rm
	lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 14.90\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$

	*Die optimale Grenzfrequenz liegt demnach beim Quaternärsystem bei  $f_{\rm G}/R_{\rm B} \underline {= 0.28}$.		*Die optimale Grenzfrequenz liegt demnach beim Quaternärsystem bei  $f_{\rm G}/R_{\rm B} \underline {= 0.28}$.
Zeile 151:		Zeile 117:

	Dagegen ist für die charakteristische Kabeldämpfung  $a_ = 40 \, {\rm dB}$  anhand des vorliegenden Zahlenmaterials keine Aussage möglich.  Eine Systemsimulation lieferte hierfür folgende Ergebnisse  $($für $E_{\rm B}/N_0 = 50 \, {\rm dB})$:		Dagegen ist für die charakteristische Kabeldämpfung  $a_ = 40 \, {\rm dB}$  anhand des vorliegenden Zahlenmaterials keine Aussage möglich.  Eine Systemsimulation lieferte hierfür folgende Ergebnisse  $($für $E_{\rm B}/N_0 = 50 \, {\rm dB})$:
	:$$M =2\text{:} \hspace{0.2cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 15.43\,{\rm dB} \hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}		:$$M =2\text{:} \hspace{0.2cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 15.43\,{\rm dB} \hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.4 \hspace{0.05cm},$$
	f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.4 \hspace{0.05cm},$$		:$$M =4\text{:} \hspace{0.2cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 14.65\,{\rm dB} \hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.32 \hspace{0.05cm}.$$
	:$$M =4\text{:} \hspace{0.2cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 14.65\,{\rm dB} \hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}
	f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.32 \hspace{0.05cm}.$$
	{{ML-Fuß}}		{{ML-Fuß}}


	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.4 Auge bei mehrstufigen Systemen^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.4 Auge bei mehrstufigen Systemen^]]

Guenter am 20. Juni 2022 um 14:06 Uhr

2022-06-20T14:06:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. Juni 2022, 16:06 Uhr
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	===Musterlösung===		===Musterlösung===
	{{ML-Kopf}}		{{ML-Kopf}}
	'''(1)'''  Normiert man die Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ auf die Bitrate $R_{\rm B}$ (und nicht auf die Symbolrate $1/T$), so gelten die angegebenen Rauscheffektivwerte unabhängig von der Stufenzahl. Damit erhält man:		'''(1)'''  Normiert man die Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$  auf die Bitrate  $R_{\rm B}$  $($und nicht auf die Symbolrate $1/T)$,  so gelten die angegebenen Rauscheffektivwerte unabhängig von der Stufenzahl.  Damit erhält man:
	:$$M = 2, \hspace{0.1cm}f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33\text{:} \hspace{0.2cm}		:$$M = 2, \hspace{0.1cm}f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33\text{:} \hspace{0.2cm}
	\sigma_d/s_0 \ \hspace{0.15cm}\underline { = 0.047}		\sigma_d/s_0 \ \hspace{0.15cm}\underline { = 0.047}
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	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	'''(2)'''  Die optimale Grenzfrequenz ist dann gegeben, wenn der Quotient aus (halber) Augenöffnung und Rauscheffektivwert maximal ist.
	*Das Optimum ergibt sich beim Binärsystem für $f_{\rm G}/R_{\rm B} \underline {= 0.33}$:		'''(2)'''  Die optimale Grenzfrequenz ist dann gegeben,  wenn der Quotient aus (halber) Augenöffnung und Rauscheffektivwert maximal ist.
			*Das Optimum ergibt sich beim Binärsystem für  $f_{\rm G}/R_{\rm B} \ \underline {= 0.33}$:
	:$$\rho_{\rm U,\hspace{0.05cm} max} = \frac{0.184^2}{ 0.047^2} = 15.32		:$$\rho_{\rm U,\hspace{0.05cm} max} = \frac{0.184^2}{ 0.047^2} = 15.32
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
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	'''(3)'''  Für $M = 4$ erhält man folgende Ergebnisse:
			'''(3)'''  Für  $M = 4$  erhält man folgende Ergebnisse:
	:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.27 \text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.097^2}{ 0.017^2} =		:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.27 \text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.097^2}{ 0.017^2} =
	32.56 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		32.56 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
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	lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 14.90\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$		lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 14.90\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$

	*Die optimale Grenzfrequenz liegt demnach beim Quaternärsystem bei $f_{\rm G}/R_{\rm B} \underline {= 0.28}$.		*Die optimale Grenzfrequenz liegt demnach beim Quaternärsystem bei  $f_{\rm G}/R_{\rm B} \underline {= 0.28}$.
	*Der Störabstand ist dann um mehr als $3 \, {\rm dB}$ größer als beim Binärsystem mit optimierter Grenzfrequenz.
			*Der Störabstand ist dann um mehr als  $3 \, {\rm dB}$  größer als beim Binärsystem mit optimierter Grenzfrequenz.



	'''(4)'''  Zutreffend sind die <u>Aussagen 1, 3 und 4</u>:		'''(4)'''  Zutreffend sind die  <u>Aussagen 1, 3 und 4</u>:
	*Die Richtigkeit der ersten Aussage wird durch die Tabelle bestätigt. Für $f_{\rm G}/R_{\rm B} ≥ 0.35$ weist das Binärsystem eine größere Augenöffnung als das Quaternärsystem auf. Durch die Normierung aller Frequenzen auf die Bitrate ist zudem der Rauscheffektivwert unabhängig von der Stufenzahl $M$, so dass die Optimierung auf die Augenöffnung beschränkt werden kann.		*Die Richtigkeit der ersten Aussage wird durch die Tabelle bestätigt.  Für  $f_{\rm G}/R_{\rm B} ≥ 0.35$  weist das Binärsystem eine größere Augenöffnung als das Quaternärsystem auf.  Durch die Normierung aller Frequenzen auf die Bitrate ist zudem der Rauscheffektivwert unabhängig von der Stufenzahl  $M$,  so dass die Optimierung auf die Augenöffnung beschränkt werden kann.

	*Für $f_{\rm G}/R_{\rm B} < 0.35$ ist dagegen das Quaternärsystem besser, also auch für $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33$. Obwohl diese Grenzfrequenz für $M = 2$ optimal ist und für $M = 4$ nicht, ist mit $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33$ das Quaternärsystem um etwa $0.85 \, {\rm dB}$ besser als das Binärsystem.		*Für  $f_{\rm G}/R_{\rm B} < 0.35$  ist dagegen das Quaternärsystem besser,  also auch für  $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33$.  Obwohl diese Grenzfrequenz für  $M = 2$  optimal ist und für  $M = 4$  nicht,  ist mit  $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33$  das Quaternärsystem um etwa  $0.85 \, {\rm dB}$  besser als das Binärsystem.

	*Die dritte Aussage trifft zu. Durch die niedrigere (genauer gesagt: halbe) Symbolrate ist für $M = 4$ das Auge auch mit $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.23$ noch geöffnet, während bei einem Binärsystem bereits für $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.27$ ein (fast) geschlossenes Auge vorliegt.		*Die dritte Aussage trifft zu.  Durch die niedrigere (genauer gesagt:  halbe) Symbolrate ist für  $M = 4$  das Auge auch mit  $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.23$  noch geöffnet,  während bei einem Binärsystem bereits für  $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.27$  ein (fast) geschlossenes Auge vorliegt.

	Mit größerer charakteristischer Kabeldämpfung geht die Tendenz zu immer kleinerer Grenzfrequenz, um die Anhebung des Rauschens möglichst gering zu halten. Wenn aber bereits bei $a_ = 80 \, {\rm dB}$ das (bezüglich der Grenzfrequenz optimierte) Quaternärsystem besser ist, so gilt das auch für $100 \, {\rm dB}$. Der Gewinn ist größer als $15.21 ~~\, – \,~~ 11.85 \approx 3.4 \, {\rm dB}$. Diese Werte wurden in den Aufgaben (2) und (3) ermittelt.		Mit größerer charakteristischer Kabeldämpfung geht die Tendenz zu immer kleinerer Grenzfrequenz,  um die Anhebung des Rauschens möglichst gering zu halten.  Wenn aber bereits bei $a_ = 80 \, {\rm dB}$ das  (bezüglich der Grenzfrequenz optimierte)  Quaternärsystem besser ist,  so gilt das auch für  $100 \, {\rm dB}$.  Der Gewinn ist größer als  $15.21 - 11.85 \approx 3.4 \, {\rm dB}$.  Diese Werte wurden in den Aufgaben  '''(2)'''  und  '''(3)''' ermittelt.

	Dagegen ist für die charakteristische Kabeldämpfung $a_ = 40 \, {\rm dB}$ anhand des vorliegenden Zahlenmaterials keine Aussage möglich. Eine Systemsimulation lieferte hierfür folgende Ergebnisse $($für $E_{\rm B}/N_0 = 50 \, {\rm dB})$:		Dagegen ist für die charakteristische Kabeldämpfung  $a_ = 40 \, {\rm dB}$  anhand des vorliegenden Zahlenmaterials keine Aussage möglich.  Eine Systemsimulation lieferte hierfür folgende Ergebnisse  $($für $E_{\rm B}/N_0 = 50 \, {\rm dB})$:
	:$$M =2\text{:} \hspace{0.2cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 15.43\,{\rm dB} \hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}		:$$M =2\text{:} \hspace{0.2cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 15.43\,{\rm dB} \hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}
	f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.4 \hspace{0.05cm},$$		f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.4 \hspace{0.05cm},$$

Guenter am 20. Juni 2022 um 13:52 Uhr

2022-06-20T13:52:55Z

← Nächstältere Version		Version vom 20. Juni 2022, 15:52 Uhr
Zeile 7:		Zeile 7:
	:$$\rho_{\rm U} = \frac{\big[\ddot{o}(T_{\rm D})/2 \big]^2}{ \sigma_d^2} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\rho_{\rm U} = \frac{\big[\ddot{o}(T_{\rm D})/2 \big]^2}{ \sigma_d^2} \hspace{0.05cm}.$$

	$\ddot{o}(T_{\rm D})$  ist die vertikale Augenöffnung und  $\sigma_d^2$  gibt die Detektionsrauschleistung an. Für beide Systemkonfigurationen gelten die gleichen Randbedingungen (ähnlich wie in  [[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl\|Aufgabe 3.4Z]]):		$\ddot{o}(T_{\rm D})$  ist die vertikale Augenöffnung und  $\sigma_d^2$  gibt die Detektionsrauschleistung an.  Für beide Systemkonfigurationen gelten die gleichen Randbedingungen  (ähnlich wie in  [[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl\|Aufgabe 3.4Z]]):
	* Der rechteckige Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  im NRZ–Format hat die Höhe  $s_0 = 1 \, {\rm V}$.		* Der rechteckige Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  im NRZ–Format hat die Höhe  $s_0 = 1 \, {\rm V}$.

	* Die (äquivalente) Bitrate beträgt in beiden Fällen  $R_{\rm B} = 100 \, {\rm Mbit/s}$.		* Die (äquivalente) Bitrate beträgt in beiden Fällen  $R_{\rm B} = 100 \, {\rm Mbit/s}$.
	* Der Kanal besteht aus einem Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_* = 80 \, {\rm dB}= 9.2 \, {\rm Np}$.
	* Das Empfangsfilter sei ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$, die zu optimieren ist:		* Der Kanal besteht aus einem Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_* = 80 \, {\rm dB}\Rightarrow 9.2 \, {\rm Np}$.

			* Das Empfangsfilter sei ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$,  die zu optimieren ist:
	:$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{{- \pi \cdot f^2}/{(2f_{\rm G})^2}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{{- \pi \cdot f^2}/{(2f_{\rm G})^2}}\hspace{0.05cm}.$$
	* Am Kanalausgang liegt AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte  $N_0$  vor.		* Am Kanalausgang liegt AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte  $N_0$  vor.

	* Die Entscheiderschwellen sind optimal gewählt und auch der Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D} = 0$  ist bestmöglich.		* Die Entscheiderschwellen sind optimal gewählt und auch der Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D} = 0$  ist bestmöglich.


	Im Gegensatz zur  [[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl\|Aufgabe 3.4Z]]  $($feste Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = 30 \, {\rm MHz})$  ist hier die Grenzfrequenz des Tiefpasses variabel. Diese soll so bestimmt werden, dass das ungünstigste S/N–Verhältnis  $\rho_{\rm U}$  maximiert und damit die (ungünstigste) Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U}$  minimiert wird.		Im Gegensatz zur  [[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl\|Aufgabe 3.4Z]]  $($feste Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = 30 \, {\rm MHz})$  ist hier die Grenzfrequenz des Tiefpasses variabel.  Diese soll so bestimmt werden,  dass das ungünstigste S/N–Verhältnis  $\rho_{\rm U}$  maximiert und damit die (ungünstigste) Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U}$  minimiert wird.

	Die Tabelle zeigt		Die Tabelle zeigt
Zeile 24:		Zeile 28:


	für das Binärsystem  $(M = 2)$  und das Quaternärsystem  $(M = 4)$  sowie für verschiedene (normierte) Grenzfrequenzen. Die Normierung basiert dabei auf der Bitrate  $R_{\rm B}$.		für das Binärsystem  $(M = 2)$  und das Quaternärsystem  $(M = 4)$  sowie für verschiedene (normierte) Grenzfrequenzen.  Die Normierung basiert dabei auf der Bitrate  $R_{\rm B}$.

	Anzumerken ist:		Anzumerken ist:
	* Die Tabelle gilt für  $E_{\rm B}/N_0 = 5 \cdot 10^8$  und  $a_* = 80 \, {\rm dB}= 9.2 \, {\rm Np}$.		* Die Tabelle gilt für  $E_{\rm B}/N_0 = 5 \cdot 10^8$  und  $a_* = 80 \, {\rm dB}\Rightarrow 9.2 \, {\rm Np}$.
	* Die (normierte Rauchleistung ergibt sich unter Berücksichtigung des idealen Kanalentzerrers zu
			* Die (normierte) Rauchleistung ergibt sich unter Berücksichtigung des idealen Kanalentzerrers zu
	:$$\frac{ \sigma_d^2}{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}} = \frac{ 1}{R_{\rm		:$$\frac{ \sigma_d^2}{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}} = \frac{ 1}{R_{\rm
	B}} \cdot \int_{0}^{\infty}{\rm exp}\left [2 \cdot 9.2		B}} \cdot \int_{0}^{\infty}{\rm exp}\left [2 \cdot 9.2
Zeile 34:		Zeile 39:
	B})^2}{(2 f_{\rm G}/R_{\rm B})^2} \right ]{\rm d} \hspace{0.05cm} f		B})^2}{(2 f_{\rm G}/R_{\rm B})^2} \right ]{\rm d} \hspace{0.05cm} f
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	* Wie in Aufgabe  [[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl\|Aufgabe 3.4Z]]  noch hergeleitet wird, gilt für die (normierte) halbe Augenöffnung:		* Wie in Aufgabe  [[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl\|Aufgabe 3.4Z]]  noch hergeleitet wird,  gilt für die (normierte) halbe Augenöffnung:
	:$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} = \frac{1}{ M-1}\cdot \big [1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left(		:$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} = \frac{1}{ M-1}\cdot \big [1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left(
	\sqrt{2\pi} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(M) \cdot {f_{\rm		\sqrt{2\pi} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(M) \cdot {f_{\rm
Zeile 40:		Zeile 45:
	\right)\big]		\right)\big]
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	* Damit kann für das ungünstigste S/N–Verhältnis geschrieben werden, wobei der letzte Term bei dem hier betrachteten NRZ–Rechteckimpuls als &bdquo;~~<i>~~Energie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte~~</i>~~” interpretiert werden kann:		* Damit kann für das ungünstigste S/N–Verhältnis geschrieben werden,  wobei der letzte Term bei dem hier betrachteten NRZ–Rechteckimpuls als &bdquo;Energie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte” interpretiert werden kann:
	:$$\rho_{\rm U} = \left [\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} \right ]^2 \cdot		:$$\rho_{\rm U} = \left [\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} \right ]^2 \cdot
	\frac{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}}{ \sigma_d^2} \cdot \frac{ s_0^2}{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}}		\frac{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}}{ \sigma_d^2} \cdot \frac{ s_0^2}{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}}
Zeile 48:		Zeile 53:


			Hinweise:
			*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_%C3%9Cbertragung\|"Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung"]].

			*In der Tabelle ist  $\sigma_d/s_0$  angegeben,  das heißt,  dass hier der zweite und der dritte Term obiger Gleichung zusammengefasst sind.
	~~''Hinweise:''~~
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_%C3%9Cbertragung\|Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung]].		*Durch Division des jeweils ersten Spaltenelements  (normierte halbe Augenöffnung)  durch das zweite in der Tabelle angegebene Element  $(\sigma_d/s_0)$  und Quadrieren des Quotienten kommt man hier sehr einfach zum Ergebnis  $\rho_{\rm U}$.
	*In der Tabelle ist  $\sigma_d/s_0$  angegeben, das heißt, dass hier der zweite und der dritte Term obiger Gleichung zusammengefasst sind.
	*Durch Division des jeweils ersten Spaltenelements (normierte halbe Augenöffnung) durch das zweite in der Tabelle angegebene Element  $(\sigma_d/s_0)$  und Quadrieren des Quotienten kommt man hier sehr einfach zum Ergebnis  $\rho_{\rm U}$.


Zeile 59:		Zeile 64:
	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Die Tabelle ist bezüglich  $\sigma_d$  nicht vollständig. Ermitteln Sie folgende Werte:		{Die Tabelle ist bezüglich  $\sigma_d$  nicht vollständig.  Ermitteln Sie folgende Werte:
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$M = 2, f_{\rm G} = 0.33\text{:}\hspace{0.4cm} \sigma_d/s_0 \ = \ $ { 0.047 3% }		$M = 2, f_{\rm G} = 0.33\text{:}\hspace{0.4cm} \sigma_d/s_0 \ = \ $ { 0.047 3% }
Zeile 74:		Zeile 79:
	$M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U,\ max}\ = \ $ { 15.21 3% } ${\ \rm dB}$		$M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U,\ max}\ = \ $ { 15.21 3% } ${\ \rm dB}$

	{Bewerten Sie die Ergebnisse der Teilaufgaben '''(2)''' und '''(3)''' anhand der folgenden Aussagen. Welche sind zutreffend?		{Bewerten Sie die Ergebnisse der Teilaufgaben  '''(2)'''  und  '''(3)'''  anhand der folgenden Aussagen.  Welche sind zutreffend?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Ist die normierte Grenzfrequen  $f_{\rm G}/R_{\rm B} ≥ 0.35$, so ist das Binärsystem dem Quaternärsystem überlegen.		+ Ist die normierte Grenzfrequen  $f_{\rm G}/R_{\rm B} ≥ 0.35$,  so ist das Binärsystem dem Quaternärsystem überlegen.
	- Mit der normierten Grenzfrequenz  $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33$  ist das Binärsystem besser als das Quaternärsystem.		- Mit der normierten Grenzfrequenz  $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33$  ist das Binärsystem besser als das Quaternärsystem.
	+ Der Hauptgrund für die Überlegenheit des Quaternärsystems gegenüber dem Binärsystem (jeweils optimiert) ist die niedrigere Symbolrate.		+ Der Hauptgrund für die Überlegenheit des Quaternärsystems gegenüber dem Binärsystem (jeweils optimiert) ist die niedrigere Symbolrate.
	+ Aus den vorliegenden Werten kann geschlossen werden, dass das (optimale) Quaternärsystem auch für  $a_* = 100 \, {\rm dB}$  besser ist.		+ Aus den vorliegenden Werten kann geschlossen werden,  dass das (optimale) Quaternärsystem auch für  $a_* = 100 \, {\rm dB}$  besser ist.
	- Aus den vorliegenden Werten kann geschlossen werden, dass das (optimale) Quaternärsystem auch für  $a_* = 40 \, {\rm dB}$  besser ist.		- Aus den vorliegenden Werten kann geschlossen werden,  dass das (optimale) Quaternärsystem auch für  $a_* = 40 \, {\rm dB}$  besser ist.
	</quiz>		</quiz>

Guenter am 21. Februar 2019 um 14:53 Uhr

2019-02-21T14:53:14Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. Februar 2019, 16:53 Uhr
Zeile 93:		Zeile 93:
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$

	'''(2)'''  Die optimale Grenzfrequenz ist dann gegeben, wenn der Quotient aus (halber) Augenöffnung und Rauscheffektivwert maximal ist. Das Optimum ergibt sich beim Binärsystem für $f_{\rm G}/R_{\rm B} \underline {= 0.33}$:		'''(2)'''  Die optimale Grenzfrequenz ist dann gegeben, wenn der Quotient aus (halber) Augenöffnung und Rauscheffektivwert maximal ist.
			*Das Optimum ergibt sich beim Binärsystem für $f_{\rm G}/R_{\rm B} \underline {= 0.33}$:
	:$$\rho_{\rm U,\hspace{0.05cm} max} = \frac{0.184^2}{ 0.047^2} = 15.32		:$$\rho_{\rm U,\hspace{0.05cm} max} = \frac{0.184^2}{ 0.047^2} = 15.32
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
Zeile 100:		Zeile 101:
	dB}} \hspace{0.05cm}.$$		dB}} \hspace{0.05cm}.$$

	Dagegen gilt für die benachbarten Grenzfrequenzwerte:		*Dagegen gilt für die benachbarten Grenzfrequenzwerte:
	:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.32\text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.155^2}{ 0.040^2} = 15.02		:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.32\text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.155^2}{ 0.040^2} = 15.02
	\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}		\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}
Zeile 110:		Zeile 111:
	10 \cdot {\rm		10 \cdot {\rm
	lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 11.72\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$		lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 11.72\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$
	Hieraus erkennt man das – wenn auch flache – Optimum.		*Hieraus erkennt man das – wenn auch flache – Optimum.


Zeile 127:		Zeile 128:
	lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 14.90\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$		lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 14.90\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$

	Die optimale Grenzfrequenz liegt demnach beim Quaternärsystem bei $f_{\rm G}/R_{\rm B} \underline {= 0.28}$. Der Störabstand ist dann um mehr als $3 \, {\rm dB}$ größer als beim Binärsystem mit optimierter Grenzfrequenz.		*Die optimale Grenzfrequenz liegt demnach beim Quaternärsystem bei $f_{\rm G}/R_{\rm B} \underline {= 0.28}$.
			*Der Störabstand ist dann um mehr als $3 \, {\rm dB}$ größer als beim Binärsystem mit optimierter Grenzfrequenz.


Zeile 139:		Zeile 141:
	Mit größerer charakteristischer Kabeldämpfung geht die Tendenz zu immer kleinerer Grenzfrequenz, um die Anhebung des Rauschens möglichst gering zu halten. Wenn aber bereits bei $a_ = 80 \, {\rm dB}$ das (bezüglich der Grenzfrequenz optimierte) Quaternärsystem besser ist, so gilt das auch für $100 \, {\rm dB}$. Der Gewinn ist größer als $15.21 \, – \, 11.85 \approx 3.4 \, {\rm dB}$. Diese Werte wurden in den Aufgaben (2) und (3) ermittelt.		Mit größerer charakteristischer Kabeldämpfung geht die Tendenz zu immer kleinerer Grenzfrequenz, um die Anhebung des Rauschens möglichst gering zu halten. Wenn aber bereits bei $a_ = 80 \, {\rm dB}$ das (bezüglich der Grenzfrequenz optimierte) Quaternärsystem besser ist, so gilt das auch für $100 \, {\rm dB}$. Der Gewinn ist größer als $15.21 \, – \, 11.85 \approx 3.4 \, {\rm dB}$. Diese Werte wurden in den Aufgaben (2) und (3) ermittelt.

	Dagegen ist für die charakteristische Kabeldämpfung $a_ = 40 \, {\rm dB}$ anhand des vorliegenden Zahlenmaterials keine Aussage möglich. Eine Systemsimulation lieferte hierfür folgende Ergebnisse (für $E_{\rm B}/N_0 = 50 \, {\rm dB}$:		Dagegen ist für die charakteristische Kabeldämpfung $a_ = 40 \, {\rm dB}$ anhand des vorliegenden Zahlenmaterials keine Aussage möglich. Eine Systemsimulation lieferte hierfür folgende Ergebnisse $($für $E_{\rm B}/N_0 = 50 \, {\rm dB})$:
	:$$M =2\text{:} \hspace{0.2cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 15.43\,{\rm dB} \hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}		:$$M =2\text{:} \hspace{0.2cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 15.43\,{\rm dB} \hspace{0.2cm}{\rm mit}\hspace{0.2cm}
	f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.4 \hspace{0.05cm},$$		f_{\rm G}/R_{\rm B} \approx 0.4 \hspace{0.05cm},$$

Guenter am 21. Februar 2019 um 13:57 Uhr

2019-02-21T13:57:20Z

← Nächstältere Version		Version vom 21. Februar 2019, 15:57 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:

	[[Datei:P_ID1419__Dig_A_3_4.png\|right\|frame\|Systemgrößen für Binär– und Quaternärsystem sowie für verschiedene Grenzfrequenzen]]		[[Datei:P_ID1419__Dig_A_3_4.png\|right\|frame\|Systemgrößen für Binär– und Quaternärsystem sowie für verschiedene Grenzfrequenzen]]
	Wir vergleichen ein redundanzfreies Binärsystem ($M = 2$) und ein redundanzfreies Quaternärsystem ($M = 4$) hinsichtlich ihrer S/N–Verhältnisse im ungünstigsten Fall:		Wir vergleichen ein redundanzfreies Binärsystem  $(M = 2)$  und ein redundanzfreies Quaternärsystem  $(M = 4)$  hinsichtlich ihrer S/N–Verhältnisse im ungünstigsten Fall:
	:$$\rho_{\rm U} = \frac{[\ddot{o}(T_{\rm D})/2]^2}{ \sigma_d^2} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\rho_{\rm U} = \frac{\big[\ddot{o}(T_{\rm D})/2 \big]^2}{ \sigma_d^2} \hspace{0.05cm}.$$

	$\ddot{o}(T_{\rm D})$ ist die vertikale Augenöffnung und $\sigma_d^2$ gibt die Detektionsrauschleistung an. Für beide Systemkonfigurationen gelten die gleichen Randbedingungen (ähnlich wie in [[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl\|Aufgabe 3.4Z]]):		$\ddot{o}(T_{\rm D})$  ist die vertikale Augenöffnung und  $\sigma_d^2$  gibt die Detektionsrauschleistung an. Für beide Systemkonfigurationen gelten die gleichen Randbedingungen (ähnlich wie in  [[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl\|Aufgabe 3.4Z]]):
	* Der rechteckige Sendegrundimpuls $g_s(t)$ im NRZ–Format hat die Höhe $s_0 = 1 \, {\rm V}$.		* Der rechteckige Sendegrundimpuls  $g_s(t)$  im NRZ–Format hat die Höhe  $s_0 = 1 \, {\rm V}$.
	* Die (äquivalente) Bitrate beträgt in beiden Fällen $R_{\rm B} = 100 \, {\rm Mbit/s}$.		* Die (äquivalente) Bitrate beträgt in beiden Fällen  $R_{\rm B} = 100 \, {\rm Mbit/s}$.
	* Der Kanal besteht aus einem Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung $a_* = 80 \, {\rm dB}~~$ (bzw. $~~9.2 \, {\rm Np}$).		* Der Kanal besteht aus einem Koaxialkabel mit der charakteristischen Kabeldämpfung  $a_* = 80 \, {\rm dB}= 9.2 \, {\rm Np}$.
	* Das Empfangsfilter sei ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz $f_{\rm G}$, die zu optimieren ist:		* Das Empfangsfilter sei ein Gaußtiefpass mit der Grenzfrequenz  $f_{\rm G}$, die zu optimieren ist:
	:$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{{- \pi \cdot f^2}/{(2f_{\rm G})^2}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{{- \pi \cdot f^2}/{(2f_{\rm G})^2}}\hspace{0.05cm}.$$
	* Am Kanalausgang liegt AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte $N_0$ vor.		* Am Kanalausgang liegt AWGN–Rauschen mit der Rauschleistungsdichte  $N_0$  vor.
	* Die Entscheiderschwellen sind optimal gewählt und auch der Detektionszeitpunkt $T_{\rm D} = 0$.		* Die Entscheiderschwellen sind optimal gewählt und auch der Detektionszeitpunkt  $T_{\rm D} = 0$  ist bestmöglich.


	Im Gegensatz zur [[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl\|Aufgabe 3.4Z]] (feste Grenzfrequenz $f_{\rm G} = 30 \, {\rm MHz}$) ist hier die Grenzfrequenz des Tiefpasses variabel. Diese soll so bestimmt werden, dass das ungünstigste S/N–Verhältnis $\rho_{\rm U}$ maximiert und damit die (ungünstigste) Fehlerwahrscheinlichkeit $p_{\rm U}$ minimiert wird.		Im Gegensatz zur  [[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl\|Aufgabe 3.4Z]]  $($feste Grenzfrequenz  $f_{\rm G} = 30 \, {\rm MHz})$  ist hier die Grenzfrequenz des Tiefpasses variabel. Diese soll so bestimmt werden, dass das ungünstigste S/N–Verhältnis  $\rho_{\rm U}$  maximiert und damit die (ungünstigste) Fehlerwahrscheinlichkeit  $p_{\rm U}$  minimiert wird.

	Die Tabelle zeigt		Die Tabelle zeigt
Zeile 24:		Zeile 24:


	für das Binärsystem ($M = 2$) und das Quaternärsystem ($M = 4$) sowie für verschiedene (normierte) Grenzfrequenzen. Die Normierung basiert dabei auf der Bitrate $R_{\rm B}$.		für das Binärsystem  $(M = 2)$  und das Quaternärsystem  $(M = 4)$  sowie für verschiedene (normierte) Grenzfrequenzen. Die Normierung basiert dabei auf der Bitrate  $R_{\rm B}$.

	Anzumerken ist:		Anzumerken ist:
	* Die Tabelle gilt für $E_{\rm B}/N_0 = 5 \cdot 10^8$ und $a_* = 80 \, {\rm dB}~~$ (bzw. $~~9.2 \, {\rm Np}$).		* Die Tabelle gilt für  $E_{\rm B}/N_0 = 5 \cdot 10^8$  und  $a_* = 80 \, {\rm dB}= 9.2 \, {\rm Np}$.
	* Die (normierte Rauchleistung ergibt sich unter Berücksichtigung des idealen Kanalentzerrers zu		* Die (normierte Rauchleistung ergibt sich unter Berücksichtigung des idealen Kanalentzerrers zu
	:$$\frac{ \sigma_d^2}{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}} = \frac{ 1}{R_{\rm		:$$\frac{ \sigma_d^2}{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}} = \frac{ 1}{R_{\rm
Zeile 34:		Zeile 34:
	B})^2}{(2 f_{\rm G}/R_{\rm B})^2} \right ]{\rm d} \hspace{0.05cm} f		B})^2}{(2 f_{\rm G}/R_{\rm B})^2} \right ]{\rm d} \hspace{0.05cm} f
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	* Wie in Aufgabe [[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl\|Aufgabe 3.4Z]] noch hergeleitet wird, gilt für die (normierte) halbe Augenöffnung:		* Wie in Aufgabe  [[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl\|Aufgabe 3.4Z]]  noch hergeleitet wird, gilt für die (normierte) halbe Augenöffnung:
	:$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} = \frac{1}{ M-1}\cdot \~~left~~ [1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left(		:$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} = \frac{1}{ M-1}\cdot \big [1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left(
	\sqrt{2\pi} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(M) \cdot {f_{\rm		\sqrt{2\pi} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(M) \cdot {f_{\rm
	G}}/{R_{\rm B}}		G}}/{R_{\rm B}}
	\right)\~~right~~]		\right)\big]
	\hspace{0.05cm}.$$		\hspace{0.05cm}.$$
	* Damit kann für das ungünstigste S/N–Verhältnis geschrieben werden:		* Damit kann für das ungünstigste S/N–Verhältnis geschrieben werden, wobei der letzte Term bei dem hier betrachteten NRZ–Rechteckimpuls als &bdquo;<i>Energie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte</i>” interpretiert werden kann:
	:$$\rho_{\rm U} = \left [\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} \right ]^2 \cdot		:$$\rho_{\rm U} = \left [\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} \right ]^2 \cdot
	\frac{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}}{ \sigma_d^2} \cdot \frac{ s_0^2}{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}}		\frac{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}}{ \sigma_d^2} \cdot \frac{ s_0^2}{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}}
	\hspace{0.05cm},$$		\hspace{0.05cm}.$$



	~~:wobei der letzte Term bei dem hier betrachteten NRZ–Rechteckimpuls als &bdquo;<i>Energie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte</i>” interpretiert werden kann.~~

	~~Für die Lösung der Aufgabe sind die hier gemachten Anmerkungen nicht relevant:~~
	*In der Tabelle ist $\sigma_d/s_0$ angegeben, das heißt, dass hier der zweite und der dritte Term obiger Gleichung zusammengefasst sind.
	*Durch Division des jeweils ersten Spaltenelements (normierte halbe Augenöffnung) durch das zweite in der Tabelle angegebene Element ($\sigma_d/s_0$) und Quadrieren des Quotienten kommt man hier sehr einfach zum Ergebnis $\rho_{\rm U}$.


	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_%C3%9Cbertragung\|Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_%C3%9Cbertragung\|Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung]].
			*In der Tabelle ist  $\sigma_d/s_0$  angegeben, das heißt, dass hier der zweite und der dritte Term obiger Gleichung zusammengefasst sind.
			*Durch Division des jeweils ersten Spaltenelements (normierte halbe Augenöffnung) durch das zweite in der Tabelle angegebene Element  $(\sigma_d/s_0)$  und Quadrieren des Quotienten kommt man hier sehr einfach zum Ergebnis  $\rho_{\rm U}$.


Zeile 59:		Zeile 59:
	===Fragebogen===		===Fragebogen===
	<quiz display=simple>		<quiz display=simple>
	{Die Tabelle ist bezüglich $\sigma_d$ nicht vollständig. Ermitteln Sie folgende Werte:		{Die Tabelle ist bezüglich  $\sigma_d$  nicht vollständig. Ermitteln Sie folgende Werte:
	\|type="{}"}		\|type="{}"}
	$M = 2, f_{\rm G} = 0.33\text{:}\hspace{0.4cm} \sigma_d/s_0 \ = \ $ { 0.047 3% }		$M = 2, f_{\rm G} = 0.33\text{:}\hspace{0.4cm} \sigma_d/s_0 \ = \ $ { 0.047 3% }
Zeile 74:		Zeile 74:
	$M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U,\ max}\ = \ $ { 15.21 3% } ${\ \rm dB}$		$M = 4\text{:}\hspace{0.4cm} 10 \cdot {\rm lg} \, \rho_{\rm U,\ max}\ = \ $ { 15.21 3% } ${\ \rm dB}$

	{Bewerten Sie die Ergebnisse der Teilaufgaben (2) und 3) anhand der folgenden Aussagen. Welche sind zutreffend?		{Bewerten Sie die Ergebnisse der Teilaufgaben '''(2)''' und '''(3)''' anhand der folgenden Aussagen. Welche sind zutreffend?
	\|type="[]"}		\|type="[]"}
	+ Ist die normierte Grenzfrequen $f_{\rm G}/R_{\rm B} ≥ 0.35$, so ist das Binärsystem dem Quaternärsystem überlegen.		+ Ist die normierte Grenzfrequen  $f_{\rm G}/R_{\rm B} ≥ 0.35$, so ist das Binärsystem dem Quaternärsystem überlegen.
	- Mit der normierten Grenzfrequenz $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33$ ist das Binärsystem besser als das Quaternärsystem.		- Mit der normierten Grenzfrequenz  $f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.33$  ist das Binärsystem besser als das Quaternärsystem.
	+ Der Hauptgrund für die Überlegenheit des Quaternärsystems gegenüber dem Binärsystem (jeweils optimiert) ist die niedrigere Symbolrate.		+ Der Hauptgrund für die Überlegenheit des Quaternärsystems gegenüber dem Binärsystem (jeweils optimiert) ist die niedrigere Symbolrate.
	+ Aus den vorliegenden Werten kann geschlossen werden, dass das (optimale) Quaternärsystem auch für $a_* = 100 \, {\rm dB}$ besser ist.		+ Aus den vorliegenden Werten kann geschlossen werden, dass das (optimale) Quaternärsystem auch für  $a_* = 100 \, {\rm dB}$  besser ist.
	- Aus den vorliegenden Werten kann geschlossen werden, dass das (optimale) Quaternärsystem auch für $a_* = 40 \, {\rm dB}$ besser ist.		- Aus den vorliegenden Werten kann geschlossen werden, dass das (optimale) Quaternärsystem auch für  $a_* = 40 \, {\rm dB}$  besser ist.
	</quiz>		</quiz>

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T12:02:51Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

← Nächstältere Version		Version vom 29. Mai 2018, 14:02 Uhr
Zeile 54:		Zeile 54:
	''Hinweise:''		''Hinweise:''
	*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_%C3%9Cbertragung\|Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung]].		*Die Aufgabe gehört zum Kapitel [[Digitalsignal%C3%BCbertragung/Impulsinterferenzen_bei_mehrstufiger_%C3%9Cbertragung\|Impulsinterferenzen bei mehrstufiger Übertragung]].
	*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes &bdquo;0” erforderlich sein, so geben Sie bitte &bdquo;0.” ein.

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.4 Grenzfrequenzoptimierung nach Aufgaben:Aufgabe 3.4: Grenzfrequenzoptimierung

2018-01-04T06:27:42Z

Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.4 Grenzfrequenzoptimierung nach Aufgaben:Aufgabe 3.4: Grenzfrequenzoptimierung

← Nächstältere Version	Version vom 4. Januar 2018, 08:27 Uhr
(kein Unterschied)

Guenter am 9. November 2017 um 06:33 Uhr

2017-11-09T06:33:38Z

← Nächstältere Version		Version vom 9. November 2017, 08:33 Uhr
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	[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.4 ~~Augendiagramm mehrstufiger Systeme~~^]]		[[Category:Aufgaben zu Digitalsignalübertragung\|^3.4 Auge bei mehrstufigen Systemen^]]

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	* Die (normierte) Rauchleistung ergibt sich unter Berücksichtigung des idealen Kanalentzerrers zu		* Die (normierte) Rauchleistung ergibt sich unter Berücksichtigung des idealen Kanalentzerrers zu
	:$$\frac{ \sigma_d^2}{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}} = \frac{ 1}{R_{\~~rmB~~}} \cdot \int_{0}^{\infty}{\rm exp}\left [2 \cdot 9.2\cdot \sqrt{2 \cdot f/R_{\rm B}} - 2\pi \cdot \frac{(f/R_{\~~rmB~~})^2}{(2 f_{\rm G}/R_{\rm B})^2} \right ]{\rm d} \hspace{0.05cm} f\hspace{0.05cm}.$$		:$$\frac{ \sigma_d^2}{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}} = \frac{ 1}{R_{\rm B}} \cdot \int_{0}^{\infty}{\rm exp}\left [2 \cdot 9.2\cdot \sqrt{2 \cdot f/R_{\rm B}} - 2\pi \cdot \frac{(f/R_{\rm B})^2}{(2 f_{\rm G}/R_{\rm B})^2} \right ]{\rm d} \hspace{0.05cm} f\hspace{0.05cm}.$$
	* Wie in Aufgabe  [[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl\|Aufgabe 3.4Z]]  noch hergeleitet wird,  gilt für die (normierte) halbe Augenöffnung:		* Wie in Aufgabe  [[Aufgaben:3.4Z_Augenöffnung_und_Stufenzahl\|Aufgabe 3.4Z]]  noch hergeleitet wird,  gilt für die (normierte) halbe Augenöffnung:
	:$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} = \frac{1}{ M-1}\cdot \big [1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left(\sqrt{2\pi} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(M) \cdot {f_{\~~rmG~~}}/{R_{\rm B}}\right)\big]\hspace{0.05cm}.$$		:$$\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} = \frac{1}{ M-1}\cdot \big [1- 2 \cdot M \cdot {\rm Q} \left(\sqrt{2\pi} \cdot {\rm log_2}\hspace{0.1cm}(M) \cdot {f_{\rm G}}/{R_{\rm B}}\right)\big]\hspace{0.05cm}.$$
	* Damit kann für das ungünstigste S/N–Verhältnis geschrieben werden,  wobei der letzte Term bei dem hier betrachteten NRZ–Rechteckimpuls als &bdquo;Energie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte” interpretiert werden kann:		* Damit kann für das ungünstigste S/N–Verhältnis geschrieben werden,  wobei der letzte Term bei dem hier betrachteten NRZ–Rechteckimpuls als &bdquo;Energie pro Bit bezogen auf die Rauschleistungsdichte” interpretiert werden kann:
	:$$\rho_{\rm U} = \left [\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} \right ]^2 \cdot\frac{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}}{ \sigma_d^2} \cdot \frac{ s_0^2}{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}}\hspace{0.05cm}.$$		:$$\rho_{\rm U} = \left [\frac{\ddot{o}(T_{\rm D})}{ 2 \cdot s_0} \right ]^2 \cdot\frac{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}}{ \sigma_d^2} \cdot \frac{ s_0^2}{N_{\rm 0} \cdot R_{\rm B}}\hspace{0.05cm}.$$
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	'''(2)'''  Die optimale Grenzfrequenz ist dann gegeben,  wenn der Quotient aus (halber) Augenöffnung und Rauscheffektivwert maximal ist.		'''(2)'''  Die optimale Grenzfrequenz ist dann gegeben,  wenn der Quotient aus (halber) Augenöffnung und Rauscheffektivwert maximal ist.
	*Das Optimum ergibt sich beim Binärsystem für  $f_{\rm G}/R_{\rm B} \ \underline {= 0.33}$:		*Das Optimum ergibt sich beim Binärsystem für  $f_{\rm G}/R_{\rm B} \ \underline {= 0.33}$:
	:$$\rho_{\rm U,\hspace{0.05cm} max} = \frac{0.184^2}{ 0.047^2} = 15.32\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\~~rmlg~~}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U,\hspace{0.05cm} max}\hspace{0.15cm}\underline { = 11.85\,{\~~rmdB~~}} \hspace{0.05cm}.$$		:$$\rho_{\rm U,\hspace{0.05cm} max} = \frac{0.184^2}{ 0.047^2} = 15.32\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U,\hspace{0.05cm} max}\hspace{0.15cm}\underline { = 11.85\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm}.$$

	*Dagegen gilt für die benachbarten Grenzfrequenzwerte:		*Dagegen gilt für die benachbarten Grenzfrequenzwerte:
	:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.32\text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.155^2}{ 0.040^2} = 15.02\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\~~rmlg~~}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 11.76\,{\rm dB} \hspace{0.05cm},$$		:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.32\text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.155^2}{ 0.040^2} = 15.02\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 11.76\,{\rm dB} \hspace{0.05cm},$$
	:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.34 \text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.212^2}{ 0.055^2} =14.86\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\~~rmlg~~}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 11.72\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$		:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.34 \text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.212^2}{ 0.055^2} =14.86\hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 11.72\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$
	*Hieraus erkennt man das – wenn auch flache – Optimum.		*Hieraus erkennt man das – wenn auch flache – Optimum.

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	'''(3)'''  Für  $M = 4$  erhält man folgende Ergebnisse:		'''(3)'''  Für  $M = 4$  erhält man folgende Ergebnisse:
	:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.27 \text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.097^2}{ 0.017^2} =32.56 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\~~rmlg~~}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 15.13\,{\rm dB} \hspace{0.05cm},$$		:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.27 \text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.097^2}{ 0.017^2} =32.56 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 15.13\,{\rm dB} \hspace{0.05cm},$$
	:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.28 \text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.121^2}{ 0.021^2} =33.20 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\~~rmlg~~}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline {= 15.21\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm},$$		:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.28 \text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.121^2}{ 0.021^2} =33.20 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} \hspace{0.15cm}\underline {= 15.21\,{\rm dB}} \hspace{0.05cm},$$
	:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.29 \text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.139^2}{ 0.025^2} =30.91 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\~~rmlg~~}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 14.90\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$		:$$f_{\rm G}/R_{\rm B} = 0.29 \text{:} \hspace{0.2cm}\rho_{\rm U} = \frac{0.139^2}{ 0.025^2} =30.91 \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}10 \cdot {\rm lg}\hspace{0.1cm}\rho_{\rm U} = 14.90\,{\rm dB} \hspace{0.05cm}.$$

	*Die optimale Grenzfrequenz liegt demnach beim Quaternärsystem bei  $f_{\rm G}/R_{\rm B} \underline {= 0.28}$.		*Die optimale Grenzfrequenz liegt demnach beim Quaternärsystem bei  $f_{\rm G}/R_{\rm B} \underline {= 0.28}$.