Aufgaben:Aufgabe 3.4: GMSK–Modulation - Versionsgeschichte

Guenter am 8. August 2019 um 14:14 Uhr

2019-08-08T14:14:19Z

Guenter am 8. August 2019 um 14:05 Uhr

2019-08-08T14:05:27Z

Mwiki-lnt: Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

2018-05-29T13:19:54Z

Textersetzung - „*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.“ durch „ “

Guenter am 19. Februar 2018 um 16:43 Uhr

2018-02-19T16:43:06Z

Guenter am 19. Februar 2018 um 16:19 Uhr

2018-02-19T16:19:26Z

Guenter am 19. Februar 2018 um 16:18 Uhr

2018-02-19T16:18:01Z

Guenter: Guenter verschob die Seite Aufgaben:3.4 GMSK–Modulation nach Aufgaben:Aufgabe 3.4: GMSK–Modulation

2018-01-04T07:01:40Z

Guenter verschob die Seite 3.4 GMSK–Modulation nach Aufgabe 3.4: GMSK–Modulation

Mohamed: /* Musterlösung */

2017-12-19T15:56:06Z

Musterlösung

Mohamed: /* Musterlösung */

2017-12-19T15:54:05Z

Musterlösung

Mohamed am 19. Dezember 2017 um 15:43 Uhr

2017-12-19T15:43:49Z

@@ Zeile 86: / Zeile 86: @@
 ===Musterlösung===
 {{ML-Kopf}}
-'''(1)'''&nbsp; Wenn alle Amplitudenkoeffizienten $a_{\nu}$ gleich $+1$ sind, ist $q_{\rm R}(t) = 1$ eine Konstante. Der Gaußtiefpass hat deshalb keinen Einfluss und es ergibt sich $q_{\rm G}(t) = 1$. Die maximale Frequenz ist somit
+'''(1)'''&nbsp; Wenn alle Amplitudenkoeffizienten $a_{\nu}$ gleich $+1$ sind, ist $q_{\rm R}(t) = 1$ eine Konstante.
 :$${\rm Max}\hspace{0.05cm}[f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline {= 900.068\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
-Das Minimum der Augenblicksfrequenz
+*Das Minimum der Augenblicksfrequenz ergibt sich, wenn alle Amplitudenkoeffizienten negativ sind:
 :$${\rm Min}\hspace{0.05cm}[f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} - \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline { = 899.932\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$
-ergibt sich, wenn alle Amplitudenkoeffizienten negativ sind. In diesem Fall ist $q_{\rm R}(t) = q_{\rm G}(t) = -1$.
+*In diesem Fall ist $q_{\rm R}(t) = q_{\rm G}(t) = -1$.
-'''(2)'''&nbsp; Diejenige Frequenz, bei der die logarithmierte Leistungsübertragungsfunktion gegenüber $f = 0$ um $3 \ \rm dB$ kleiner ist, bezeichnet man als die $3\hspace{0.05cm}\rm dB$–Grenzfrequenz. Dies lässt sich auch wie folgt ausdrücken:
 :$$\frac {|H(f = f_{\rm 3\hspace{0.05cm}dB})|}{|H(f = 0)|}= \frac{1}{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm}.$$
-Insbesondere gilt für den Gaußtiefpass wegen $H(f = 0) = 1$:
+*Insbesondere gilt für den Gaußtiefpass wegen $H(f = 0) = 1$:
 :$$H(f = f_{\rm 3dB})= {\rm e}^{-\pi\cdot ({f_{\rm 3dB}}/{2 f_{\rm G}})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hspace{0.3cm}
 \Rightarrow \hspace{0.3cm}(\frac{f_{\rm 3dB}}{2 f_{\rm G}})^2 = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}{\pi} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm G} = \sqrt{\frac{\pi}{4 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}}\cdot f_{\rm 3dB}\hspace{0.05cm}.$$
-Die numerische Auswertung führt auf $f_{\rm G} \approx 1.5 \cdot f_{\rm 3\hspace{0.05cm}dB}$. Aus $f_{\rm 3\hspace{0.05cm}dB} \cdot T = 0.3$ folgt somit $f_{\rm G} \cdot T \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.45}$.
+*Die numerische Auswertung führt auf $f_{\rm G} \approx 1.5 \cdot f_{\rm 3\hspace{0.05cm}dB}$.
@@ Zeile 106: / Zeile 114: @@
 :$$g(t) = g_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot \int \limits^{t + T/2} _{t - T/2} {\rm e}^{-\pi\cdot (2 f_{\rm G}\cdot \tau)^2}\,{\rm d}\tau \hspace{0.05cm}.$$
-Mit der Substitution $u^{2 } = 8π \cdot f_{\rm G}^{2} \cdot \tau^{2}$ und der Funktion $\phi (x)$ kann hierfür auch geschrieben werden:
+*Mit der Substitution $u^{2 } = 8π \cdot f_{\rm G}^{2} \cdot \tau^{2}$ und der Funktion $\phi (x)$ kann hierfür auch geschrieben werden:
 :$$g(t) \ = \ \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int \limits^{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2)} _{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u = \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2))- \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)) \hspace{0.05cm}.$$
-Für die Zeit $t = 0$ gilt unter Berücksichtigung von $\phi (-x) = 1 - \phi (x)$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$:
+*Für die Zeit $t = 0$ gilt unter Berücksichtigung von $\phi (-x) = 1 - \phi (x)$ und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$:
 :$$g(t = 0) \ = \ \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(-\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)= 2 \cdot \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)-1 \approx 2 \cdot \phi(1.12)-1 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.737} \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 117: / Zeile 127: @@
 '''(5)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  (3) und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$ erhält man:
 :$$g(t = T) \ = \ \phi(3 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T) \approx \ \phi(3.36)-\phi(1.12) = 0.999 - 0.868 \hspace{0.15cm} \underline { = 0.131} \hspace{0.05cm}.$$
 '''(6)'''&nbsp; Bei der alternierenden Folge sind aus Symmetriegründen die Beträge $|q_{\rm G}(\nu \cdot T)|$ bei allen Vielfachen der Bitdauer $T$ alle gleich.
-*Alle Zwischenwerte bei $t \neq \nu · T$ sind kleiner. Unter Berücksichtigung von $g(t ≥ 2T) \approx 0$ wird jeder einzelne Impulswert $g(0)$ durch den vorangegangenen Impuls mit $g(t = T)$ verkleinert, zusätzlich vom nachfolgenden mit $g(t = –T)$.
+*Alle Zwischenwerte bei $t \neq \nu · T$ sind kleiner.
 *Es ergeben sich also Impulsinterferenzen und man erhält:
 :$${\rm Max} \hspace{0.08cm}q_{\rm G}(t) = g(0) - 2 \cdot g(T) = 0.737 - 2 \cdot 0.131 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.475 }\hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 4: / Zeile 4: @@
 [[Datei:P_ID1229__Bei_A_3_4.png|right|frame|Verschiedene Signale der GMSK-Modulation]]
-Das bei GSM eingesetzte Modulationsverfahren ist bekanntlich ''Gaussian Minimum Shift Keying'', abgekürtzt $\rm GMSK$. Dabei handelt es sich um eine Art von'' Frequency Shift Keying'' (FSK) mit kontinuierlicher Phasenanpassung ($\rm CP–FSK$), bei der
+Das bei GSM eingesetzte Modulationsverfahren ist bekanntlich&nbsp; ''Gaussian Minimum Shift Keying'', abgekürtzt&nbsp; $\rm GMSK$. Dabei handelt es sich um eine Art von&nbsp; '' Frequency Shift Keying''&nbsp; (FSK) mit kontinuierlicher Phasenanpassung&nbsp; $(\rm CP–FSK)$, bei der
-*der Modulationsindex kleinstmöglich ist, um die Orthogonalitätsbedingung noch zu erfüllen ($h = 0.5$: „Minimum Shift Keying”),
+*der Modulationsindex kleinstmöglich ist, um die Orthogonalitätsbedingung noch zu erfüllen&nbsp; <br> &nbsp; &nbsp; $h = 0.5$ &nbsp; &rArr; &nbsp;  ''Minimum Shift Keying'',
-*ein Gaußtiefpass mit Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$ vor dem FSK–Modulator eingebracht ist, um noch weiter Bandbreite einzusparen.
+*ein Gaußtiefpass mit Impulsantwort&nbsp; $h_{\rm G}(t)$&nbsp; vor dem FSK–Modulator eingebracht ist, <br>um noch weiter Bandbreite einzusparen.
-Das Bild verdeutlicht den Sachverhalt.
+Die Grafik verdeutlicht den Sachverhalt:
-Die digitale Nachricht wird durch die Amplitudenkoeffizienten $a_{\nu} ∈ ±1$ repräsentiert, die einem Diracpuls beaufschlagt sind. Anzumerken ist, dass die eingezeichnete (rote) Folge für die Teilaufgabe (3) vorausgesetzt wird.
+*Die digitale Nachricht wird durch die Amplitudenkoeffizienten&nbsp; $a_{\nu} ∈ ±1$&nbsp; repräsentiert, die einem Diracpuls beaufschlagt sind. Anzumerken ist, dass die eingezeichnete (rote) Folge für die Teilaufgabe '''(3)''' vorausgesetzt wird.
-Der Rechteckimpuls sei dimensionslos, symmetrisch und besitze die GSM–Bitdauer $T_{\rm B} = T$:
+*Der Rechteckimpuls sei dimensionslos, symmetrisch und besitze die GSM–Bitdauer&nbsp; $T_{\rm B} = T$:
 :$$g_{\rm R}(t) = \left\{ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right.\quad \begin{array}{*{5}c} {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ {\rm{{\rm{f\ddot{u}r}}}} \\ \end{array}\begin{array}{*{5}c} |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| < T/2 \hspace{0.05cm}, \\ |\hspace{0.05cm} t \hspace{0.05cm}| > T/2 \hspace{0.05cm}. \\ \end{array}$$
-Damit ergibt sich für das Rechtecksignal:
+:Damit ergibt sich für das Rechtecksignal:
 :$$q_{\rm R} (t) = q_{\rm \delta} (t) \star g_{\rm R}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g_{\rm R}(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
-Der Gaußtiefpass ist durch seinen Frequenzgang bzw. seine Impulsantwort gegeben:
+*Der Gaußtiefpass ist durch seinen Frequenzgang bzw. seine Impulsantwort gegeben:
-:$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}[f/(2 f_{\rm G}))]^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2 f_{\rm G}\cdot t)^2}\hspace{0.05cm},$$
+:$$H_{\rm G}(f) = {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}[f/(2 f_{\rm G})]^2} \hspace{0.2cm}\bullet\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\circ\, \hspace{0.2cm} h_{\rm G}(t) = 2 f_{\rm G} \cdot {\rm e}^{-\pi\hspace{0.05cm}\cdot \hspace{0.05cm}(2 f_{\rm G}\cdot t)^2}\hspace{0.05cm},$$
-wobei die systemtheoretische Grenzfrequenz $f_{\rm G}$ verwendet wird. In der GSM–Spezifikation wird aber die $3 \hspace{0.05cm}\rm dB$–Grenzfrequenz mit $f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB} = 0.3/T$ angegeben. Daraus kann $f_{\rm G}$ direkt berechnet werden.
+:wobei die systemtheoretische Grenzfrequenz&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; verwendet wird. In der GSM–Spezifikation wird aber die&nbsp; $3 \hspace{0.05cm}\rm dB$–Grenzfrequenz mit&nbsp; $f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB} = 0.3/T$&nbsp; angegeben. Daraus kann&nbsp; $f_{\rm G}$&nbsp; direkt berechnet werden.
-Das Signal nach dem Gaußtiefpass lautet somit:
+*Das Signal nach dem Gaußtiefpass lautet somit:
 :$$q_{\rm G} (t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) = \sum_{\nu} a_{\nu}\cdot g(t - \nu \cdot T)\hspace{0.05cm}.$$
-Hierbei wird $g(t)$ als Frequenzimpuls bezeichnet. Für diesen gilt:
+:Hierbei wird&nbsp; $g(t)$&nbsp; als Frequenzimpuls bezeichnet. Für diesen gilt:
 :$$g(t) = q_{\rm R} (t) \star h_{\rm G}(t) \hspace{0.05cm}.$$
-Mit dem tiefpassgefilterten Signal $q_{\rm G}(t)$, der Trägerfrequenz $f_{\rm T}$ und dem Frequenzhub $\Delta f_{\rm A}$ kann somit für die Augenblicksfrequenz am Ausgang des FSK–Modulators geschrieben werden:
+*Mit dem tiefpassgefilterten Signal&nbsp; $q_{\rm G}(t)$, der Trägerfrequenz&nbsp; $f_{\rm T}$&nbsp; und dem Frequenzhub&nbsp; $\Delta f_{\rm A}$&nbsp; kann somit für die Augenblicksfrequenz am Ausgang des FSK–Modulators geschrieben werden:
 :$$f_{\rm A}(t) = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \cdot q_{\rm G} (t)\hspace{0.05cm}.$$
-Verwenden Sie für Ihre Berechnungen die beispielhaften Werte $f_{\rm T} = 900 \ \rm MHz$ und $\Delta f_{\rm A} = 68 \ \rm kHz$.
+:Verwenden Sie für Ihre Berechnungen die beispielhaften Werte&nbsp; $f_{\rm T} = 900 \ \rm MHz$&nbsp; und&nbsp; $\Delta f_{\rm A} = 68 \ \rm kHz$.
@@ Zeile 40: / Zeile 44: @@
 [[Datei:P_ID1230__Bei_A_3_4b.png|right|frame|Tabelle der Gaußschen Fehlerfunktion]]
-*Diese Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle|Funkschnittstelle]].
+*Diese Aufgabe gehört zum Kapitel&nbsp;  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle|Funkschnittstelle]].
-*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle#Gaussian_Minimum_Shift_Keying_.28GMSK.29|Gaussian Minimum Shift Keying]]
+*Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite&nbsp; [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle#Gaussian_Minimum_Shift_Keying_.28GMSK.29|Gaussian Minimum Shift Keying]]
 *Verwenden Sie zur Lösung dieser Aufgabe das Gaußintegral (siehe nebenstehende Tabelle):
@@ Zeile 53: / Zeile 57: @@
 <quiz display=simple>
-{In welchem Bereich kann die Augenblicksfrequenz $f_{\rm A}(t)$ schwanken? Welche Voraussetzungen müssen dafür erfüllt sein?
+{In welchem Bereich kann die Augenblicksfrequenz&nbsp; $f_{\rm A}(t)$&nbsp; schwanken? Welche Voraussetzungen müssen dafür erfüllt sein?
 |type="{}"}
-${\rm Max} \ [f_{\rm A}(t)] \ = \ $ { 900.068 3% }
+${\rm Max} \ \big [f_{\rm A}(t) \big ] \ = \ $ { 900.068 3% }
-{Welche systemtheoretische Grenzfrequenz des Gaußtiefpasses ergibt sich aus der Forderung $f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB} \cdot T = 0.3$?
+{Welche systemtheoretische Grenzfrequenz des Gaußtiefpasses ergibt sich aus der Forderung&nbsp; $f_{\rm 3\hspace{0.05cm} dB} \cdot T = 0.3$?
 |type="{}"}
 $f_{\rm G} \cdot T \ = \ $ { 0.45 3% }
-{Berechnen Sie den Frequenzimpuls $g(t)$ unter Verwendung der Funktion $\Phi (x)$. Wie groß ist der Impulswert $g(t = 0)$?
+{Berechnen Sie den Frequenzimpuls&nbsp; $g(t)$&nbsp; unter Verwendung der Funktion&nbsp; $\Phi (x)$. Wie groß ist der Impulswert&nbsp; $g(t = 0)$?
 |type="{}"}
 $g(t = 0) \ = \ $ { 0.737 3% }
-{Welcher Wert ergibt sich für $q_{\rm G}(t = 3T)$, wenn alle Koeffizienten außer $a_{3} = -1$ weiterhin $a_{\nu \neq 3} = +1$ sind? Wie groß ist hier $f_{\rm A}(t = 3T)$?
+{Welcher Wert ergibt sich für&nbsp; $q_{\rm G}(t = 3T)$, wenn alle Koeffizienten außer&nbsp; $a_{3} = -1$&nbsp; weiterhin&nbsp; $a_{\nu \neq 3} = +1$&nbsp; sind?&nbsp; Wie groß ist hier&nbsp; $f_{\rm A}(t = 3T)$?
 |type="{}"}
 $q_{\rm G}(t = 3T) \ = \ $ { -0.48822--0.45978 }
-{Berechnen Sie die Impulswerte $g(t = ±T)$.
+{Berechnen Sie die Impulswerte&nbsp; $g(t = ±T)$.
 |type="{}"}
 $ g(t = ±T) \ = \ $ { 0.131 3% }
-{Wie groß ist der maximale Betrag von $q_{\rm G}(t)$ bei alternierenden Koeffizienten? Berücksichtigen Sie, dass $g(t ≥ 2 T) \approx 0$ ist.
+{Wie groß ist der maximale Betrag von&nbsp; $q_{\rm G}(t)$&nbsp; bei alternierenden Koeffizienten? Berücksichtigen Sie, dass&nbsp; $g(t ≥ 2 T) \approx 0$&nbsp; ist.
 |type="{}"}
 ${\rm Max} \ |q_{\rm G}(t)| \ = \ $ { 0.475 3% }

@@ Zeile 42: / Zeile 42: @@
 *Diese Aufgabe gehört zum Kapitel  [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle|Funkschnittstelle]].
 *Bezug genommen wird insbesondere auf die Seite [[Beispiele_von_Nachrichtensystemen/Funkschnittstelle#Gaussian_Minimum_Shift_Keying_.28GMSK.29|Gaussian Minimum Shift Keying]]
-*Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 *Verwenden Sie zur Lösung dieser Aufgabe das Gaußintegral (siehe nebenstehende Tabelle):
 :$$\phi(x) =\frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int^{x} _{-\infty} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u \hspace{0.05cm}.$$

@@ Zeile 44: / Zeile 44: @@
 *Sollte die Eingabe des Zahlenwertes „0” erforderlich sein, so geben Sie bitte „0.” ein.
 *Verwenden Sie zur Lösung dieser Aufgabe das Gaußintegral (siehe nebenstehende Tabelle):
-:$$\Phi(x) =\frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int^{x} _{-\infty} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u \hspace{0.05cm}.$$
+:$$\phi(x) =\frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int^{x} _{-\infty} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u \hspace{0.05cm}.$$
@@ Zeile 83: / Zeile 83: @@
 {{ML-Kopf}}
 '''(1)'''&nbsp; Wenn alle Amplitudenkoeffizienten $a_{\nu}$ gleich $+1$ sind, ist $q_{\rm R}(t) = 1$ eine Konstante. Der Gaußtiefpass hat deshalb keinen Einfluss und es ergibt sich $q_{\rm G}(t) = 1$. Die maximale Frequenz ist somit
-:$${\rm Max}[f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline {= 900.068\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
+:$${\rm Max}\hspace{0.05cm}[f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} + \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline {= 900.068\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}.$$
 Das Minimum der Augenblicksfrequenz
-:$${\rm Min}[f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} - \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline { = 899.932\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$
+:$${\rm Min}\hspace{0.05cm}[f_{\rm A}(t)] = f_{\rm T} - \Delta f_{\rm A} \hspace{0.15cm} \underline { = 899.932\,{\rm MHz}} \hspace{0.05cm}$$
-ergibt sich, wenn alle Amplitudenkoeffizienten negativ sind. In diesem Fall ist $q_{\rm R}(t) = q_{\rm G}(t) = –1$.
+ergibt sich, wenn alle Amplitudenkoeffizienten negativ sind. In diesem Fall ist $q_{\rm R}(t) = q_{\rm G}(t) = -1$.
-'''(2)'''&nbsp; Diejenige Frequenz, bei der die logarithmierte Leistungsübertragungsfunktion gegenüber $f = 0$ um $3 \ \rm dB$ kleiner ist, bezeichnet man als die 3dB–Grenzfrequenz. Dies lässt sich auch wie folgt ausdrücken:
-:$$\frac {|H(f = f_{\rm 3dB})|}{|H(f = 0)|}= \frac{1}{\sqrt{2}} \hspace{0.05cm}.$$
+'''(2)'''&nbsp; Diejenige Frequenz, bei der die logarithmierte Leistungsübertragungsfunktion gegenüber $f = 0$ um $3 \ \rm dB$ kleiner ist, bezeichnet man als die $3\hspace{0.05cm}\rm dB$–Grenzfrequenz. Dies lässt sich auch wie folgt ausdrücken:
 Insbesondere gilt für den Gaußtiefpass wegen $H(f = 0) = 1$:
-:$$H(f = f_{\rm 3dB})= {\rm e}^{-\pi\cdot ({f_{\rm 3dB}}/{2 f_{\rm G}})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
+:$$H(f = f_{\rm 3dB})= {\rm e}^{-\pi\cdot ({f_{\rm 3dB}}/{2 f_{\rm G}})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hspace{0.3cm}
-:$$\Rightarrow \hspace{0.3cm}(\frac{f_{\rm 3dB}}{2 f_{\rm G}})^2 = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}{\pi} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm G} = \sqrt{\frac{\pi}{4 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}}\cdot f_{\rm 3dB}\hspace{0.05cm}.$$
+\Rightarrow \hspace{0.3cm}(\frac{f_{\rm 3dB}}{2 f_{\rm G}})^2 = \frac{{\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}{\pi} \hspace{0.3cm}\Rightarrow \hspace{0.3cm}f_{\rm G} = \sqrt{\frac{\pi}{4 \cdot {\rm ln}\hspace{0.1cm}\sqrt{2}}}\cdot f_{\rm 3dB}\hspace{0.05cm}.$$
-Die numerische Auswertung führt auf $f_{\rm G} \approx 1.5 \cdot f_{\rm 3dB}$. Aus $f_{\rm 3dB} \cdot T = 0.3$ folgt somit $f_{\rm G} \cdot T \underline{\approx 0.45}$.
+Die numerische Auswertung führt auf $f_{\rm G} \approx 1.5 \cdot f_{\rm 3\hspace{0.05cm}dB}$. Aus $f_{\rm 3\hspace{0.05cm}dB} \cdot T = 0.3$ folgt somit $f_{\rm G} \cdot T \hspace{0.15cm}\underline{\approx 0.45}$.
 '''(3)'''&nbsp; Der Frequenzimpuls ergibt sich aus der Faltung von Rechteckfunktion $g_{\rm R}(t)$ und Impulsantwort $h_{\rm G}(t)$:
@@ Zeile 101: / Zeile 103: @@
 Mit der Substitution $u^{2 } = 8π \cdot f_{\rm G}^{2} \cdot \tau^{2}$ und der Funktion $\phi (x)$ kann hierfür auch geschrieben werden:
-:$$g(t) \ = \ \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int \limits^{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2)} _{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u = $$
+:$$g(t) \ = \ \frac {1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \int \limits^{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2)} _{2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)} {\rm e}^{-u^2/2}\,{\rm d}u = \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2))- \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)) \hspace{0.05cm}.$$
-:$$\hspace{0.65cm}\ = \ \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t + T/2))- \phi(2 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot(t - T/2)) \hspace{0.05cm}.$$
 '''(4)'''&nbsp; Mit $a_{3} = +1$ würde sich $q_{\rm G}(t = 3 T) = 1$ ergeben. Aufgrund der Linearität gilt somit:
 :$$q_{\rm G}(t = 3 T ) = 1 - 2 \cdot g(t = 0)= 1 - 2 \cdot 0.737 \hspace{0.15cm} \underline {= -0.474} \hspace{0.05cm}.$$
-'''(6)'''&nbsp; Bei der alternierenden Folge sind aus Symmetriegründen die Beträge $|q_{\rm G}(\nu \cdot T)|$ bei allen Vielfachen der Bitdauer $T$ alle gleich. Alle Zwischenwerte bei $t \neq \nu · T$ sind kleiner. Unter Berücksichtigung von $g(t ≥ 2T) \approx 0$ wird jeder einzelne Impulswert $g(0)$ durch den vorangegangenen Impuls mit $g(t = T)$ verkleinert, zusätzlich vom nachfolgenden mit $g(t = –T)$. Es ergeben sich also Impulsinterferenzen und man erhält:
+'''(5)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis der Teilaufgabe  (3) und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$ erhält man:
-:$${\rm Max} \hspace{0.08cm}[q_{\rm G}(t)] = g(0) - 2 \cdot g(T) = 0.737 - 2 \cdot 0.131 \hspace{0.15cm} \underline {= 0.475 }\hspace{0.05cm}.$$
+:$$g(t = T) \ = \ \phi(3 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T) \approx \ \phi(3.36)-\phi(1.12) = 0.999 - 0.868 \hspace{0.15cm} \underline { = 0.131} \hspace{0.05cm}.$$
 {{ML-Fuß}}

@@ Zeile 3: / Zeile 3: @@
 }}
-[[Datei:P_ID1229__Bei_A_3_4.png|right|frame|Signale zur Kennzeichnung der GMSK-Modulation]]
+[[Datei:P_ID1229__Bei_A_3_4.png|right|frame|Verschiedene Signale der GMSK-Modulation]]
 Das bei GSM eingesetzte Modulationsverfahren ist bekanntlich ''Gaussian Minimum Shift Keying'', abgekürtzt $\rm GMSK$. Dabei handelt es sich um eine Art von'' Frequency Shift Keying'' (FSK) mit kontinuierlicher Phasenanpassung ($\rm CP–FSK$), bei der
 *der Modulationsindex kleinstmöglich ist, um die Orthogonalitätsbedingung noch zu erfüllen ($h = 0.5$: „Minimum Shift Keying”),

@@ Zeile 105: / Zeile 105: @@
 '''(5)'''&nbsp; Mit dem Ergebnis aus (3) und $f_{\rm G} \cdot T = 0.45$ erhält man:
-:$$g(t = T) & = & \phi(3 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)= \\ & \approx & \phi(3.36)-\phi(1.12) = 0.999 - 0.868 \hspace{0.15cm} \underline { = 0.131} \hspace{0.05cm}.$$
+:$$g(t = T) \ = \ \phi(3 \cdot \sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)- \phi(\sqrt{2 \pi} \cdot f_{\rm G} \cdot T)= $$
 '''(6)'''&nbsp; Bei der alternierenden Folge sind aus Symmetriegründen die Beträge $|q_{\rm G}(\nu \cdot T)|$ bei allen Vielfachen der Bitdauer $T$ alle gleich. Alle Zwischenwerte bei $t \neq \nu · T$ sind kleiner. Unter Berücksichtigung von $g(t ≥ 2T) \approx 0$ wird jeder einzelne Impulswert $g(0)$ durch den vorangegangenen Impuls mit $g(t = T)$ verkleinert, zusätzlich vom nachfolgenden mit $g(t = –T)$. Es ergeben sich also Impulsinterferenzen und man erhält: